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1
EXERCICE N°1
Montrer que : pour tout n de N* :
1°) 1n
2
cos +
π
=
foisn
2...222
2
1
++++ et 1n
2
sin +
π
=
foisn
2...222
2
1
+++−
2°)En déduire que π = ( )
foisn
n
n
2...2222Lim +++−×
+∞→
EXERCICE N°2
Soit [ ]1,1−∈λ , on considère la fonction f définie sur par :




=
≠
=
0xsi
0xsi
x
1
sin
)x(f
λ
1°)Soit pour tout n de N :
π
π
n2
2
1
un
+
= et
π
π
n2
2
1
vn
+−
= . Calculer ( )nuf et ( )nvf .
2°)Existe t –il un valeur de λ tel que f soit continue en 0
EXERCICE N°2
Exprimer un en fonction de n .
1°) 0u =2 et pour tout n de N : nuu n1n +=+
2°) 0u =3 , 1u = 2 et pour tout n de N : n1n2n u2u3u −= ++
3°) 0u =3 , 1u = 2 et pour tout n de N : 1nn2n uu2u ++ −=
4°) 0u =
5
2
et pour tout n de N* : . ( ) ( ) 1nn u2n2u1n3 −+=+
EXERCICE N°3
1°) Soit x un réel tel que 0 < x ≤ 1.Montrer que : pour tout k de N : ( )k
x1 + ≤ 1+ k
2 x
2°)Soit (x) la suite définie sur N* par : nx = n
3
3
n
(a) Etablir l’égalité suivante : pour tout n de N* :
n
1n
x
x +
=
3
n
1
1
3
1






+
(b) En déduire que : pour tout n ≥ 16 :
n
1n
x
x +
≤
2
1
(c) Montrer que : pour tout n ≥ 16 : nx ≤ 16
16n
x
2
1
−






. En déduire alors n
x
xlim
+∞→
EXERCICE N°4
Soient a et b deux réels tels que 0<a ≤ b et ( )nu la suite définie par :
1u =a+b et *Nn ∈∀ : 1nu + =
nu
ab
ba −+ .
1°) On suppose que a<b.
(a) Montrer que ( )nu est minorée par b .
(b) Etudier la monotonie de la suite ( )nu en déduire qu’elle est convergente.
2°) Soit v la suite définie par : *Nn ∈∀ :
au
bu
v
n
n
n
−
−
=
(a) Montrer que v est une suite géométrique.
(b) En déduire nu en fonction de n , a et b
(c) Calculer alors n
n
ulim
+∞→
3°) On suppose que a=b .
(a) Calculer 4321 u,u,u,u en fonction de a .
Séries d’exercices 4ème Maths
Suites rSuites rSuites rSuites reeeeelleselleselleselles
Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
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2
(b) Exprimer alors nu en fonction de n et a puis n
n
ulim
+∞→
.
EXERCICE N°5
Soit la fonction f :R+ → R , x ֏ f(x)= x)1p(p −+ , où p est un réel tel que 1p >
On considère la suite réelle u définie par 0u0 = et Nn ∈∀ : ( )n1n ufu =+
1°)(a) Montrer que : Nn ∈∀ : pu0 n ≤≤
(b) Etudier la monotonie de u .
(c) En déduire que u est convergente .
2°)(a) Montrer que : Nn ∈∀ , pu 1n −+ ≤
p
1p −
pun −
(b) En déduire : Nn ∈∀ , pun − ≤ p
n
p
1
1 





− . En déduire alors n
n
ulim
+∞→
.
EXERCICE N°6
On considère la suite u définie par 1u0 = et Nn ∈∀ :
n
n
1n
u2
9u3
u
+
=+
1°) Montrer que 3u 1n −+ et 3un − sont de signes contraires.
2°) En déduire que : Np ∈∀ , p2u ≤ 3 ≤ 1p2u + .
3°) En déduire que si u est convergente, alors n
n
ulim
+∞→
=3.
4°) Vérifier que : *Nn ∈∀ , nu 2≥
5°) (a) Montrer que : 2n ≥∀ , 3un − ≤
4
3
3u 1n −−
(b) En déduire 2n ≥∀ , 3un − ≤ 3
1n
4
3
−






(a) Montrer que u est convergente et précisera sa limite.
EXERCICE N°7
On considère les suites u et v définies sur N par : 0vu 00 == et pour tout n de N :
n1n v3u −=+ et n1n u3v +=+ .
1°)Montrer que pour tout n de N on a : 3u0 n ≤≤ et 3v0 n ≤≤ .
2°)Soient a et b deux suites définies sur N par : 1ua nn −= et 1vb nn −= .
a)Montrer que pour tout n de N on a : n1n ba ≤+ et n1n a
2
1
b ≤+ .
b)En déduire que pour tout n de N on a : n2n a
2
1
a ≤+ et n2n b
2
1
b ≤+
c)En utilisant les résultats de b/, montrer que pour tout n de n :
p
p2
2
1
a 





≤ et
1p
p2
2
1
b
−






≤ .
d)Étudier alors la convergence des suites ( )p2u et ( )p2v
EXERCICE N°8
1°) Montrer que pour tout réel positif x on a : x –
6
x3
≤ sinx ≤ x.
2°) Montrer que pour tout entier naturel n :
4
)²1n²(n
k
n
0k
3 +
=∑=
3°)Soit x un réel positif fixé et ( )( )xun la suite définie sur N* par : ( ) ∑=






=
n
1k
n
²n
kx
sinxu .
(a) Montrer que pour tout n de N* :
n2
x)1n( +
4
3
n24
x)²1n( +
− ≤ ( )xun ≤
n2
x)1n( +
.
(b) En déduire que ( )( )xun est convergente et calculer sa limite.
4°) Soit v la suite définie sur N* par : ∑=






=
n
1k
3
n
²n
k
sinv
(a) Montrer que pour tout réel x : sin3x =
4
3
sinx -
4
1
sin3x
3
(b) En déduire que : ( ) ( )3u
4
1
1u
4
3
v nnn −=
(c) Calculer alors : n
n
vlim
+∞→
EXERCICE N°8
1°)Etudier les variations de la fonction g définie par : 1x5x)x(g 3
−−= sur R.
2°)En déduire que l'équation 01x5x3
=−− possède trois racines a, b, c, avec a < b < c Donner des valeurs
approchées de a, b, c à 10-1 près. (On trouve : −2,2 ; −0,3 ; 2,3.)
3°)On considère la suite u définie par son premier terme u0, et par la relation de récurrence :
∀n ∈ N un+1 = )1u(
5
1 3
n − .
a) Montrer que la suite u est monotone.
b) Si la suite u est convergente, quelles sont les valeurs possibles de sa limite ?
c) Etudier la suite u dans les trois cas particuliers suivants :u0 = -3 ;u0 = 0; u0 = 3 .
EXERCICE N°10
1°) Soit ( )nu la suite réelle définie sur N par
2
1
u0 = et pour tout n de N : 2
n
n
1n
u1
u2
u
+
=+
(a) Montrer que pour tout n de N on a : 0 < nu <1
(b) En déduire que ( )nu est convergente et calculer sa limite.
2°) Soit v la suite de terme général :
n
n
n
u1
u1
v
+
−
=
(a) Montrer que pour tout n de N on a : 2
n1n vv =+
(b) En déduire que pour tout n de N : n
2n
3
1
v =
(c) Déduire n
n
vlim
+∞→
et l’expression de nu .
(d) On pose pour tout n de N : n10n v....v.vp = . Calculer np puis calculer 







++∞→ 1n
n
n v
p
lim
3°) Soit la suite s définie sur N* par ∑
−
=
=
1n
0k
kn u
n
1
s
(a) Montrer que pour tout n *
N∈ , on : ( )1n2
0
n u1
u1
1
u10 −−
+
<−<
(b) En déduire que pour tout n de N ,
n
n
5
4
u10 





<−<
(c) Montrer que pour tout n de N* ; 1s
4
5
1
n
5
1 n
n
≤≤














−− . En déduire alors n
n
slim
+∞→
EXERCICE N°11
Soit u la suite réelle définie sur N par :













+=
>
+
n
n1n
0
u
a
u
2
1
u
0u
avec a *
R+∈ et n N∈
1°)Pour quelle valeur de 0u la suite u est constante.
2°)Montrer que pour tout n de N : nu > 0
3°)On suppose dans la suite que : 0a²u0 ≠−
(a) Montrer que pour tout n de N : nu ≠ a
(b) Montrer que pour tout n de N : 1nu + a− =
nu2
1
( )²
n au −
(c) Montrer que pour tout n de N : 1nu + + a =
nu2
1
( )²
n au +
(d) Montrer que si u est convergente elle converge nécessairement vers a
(e) Montrer que u est strictement décroissante et qu’elle converge et déterminer sa limite.
4
4°)Soit pour tout n de N : nv =
au
au
n
n
+
−
.
(a) Calculer 1nv + en fonction de nv .
(b) En déduire nv en fonction de n et 0v .
(c) Calculer alors : n
x
vlim
+∞→
puis n
x
ulim
+∞→
5°)On suppose que : 0u = a
2
3
(a) Montrer que pour tout n de N : nu > a
(b) Montrer que pour tout n de N : 1nu + a− <
2
1
( )aun −
(c) Montrer que pour tout n de N : nu a− <
n
2
1






. a
(d) En déduire n
x
ulim
+∞→
EXERCICE N°12
1°) Soit la fonction f : x → f(x)=
²x1
x2
+
(a) Etudier les variations de f .
(b) Résoudre dans R : f(x) = x .
(c) Montrer que si : 1 ≤ x ≤ 3 alors 1 ≤ f(x) ≤ 3
2°)Soit la suite réelle u définie par : 1u0 = et Nn ∈∀ , ( )n1n ufu =+ .
(a) Montrer que Nn ∈∀ , 1 ≤ nu ≤ 3 .
(b) Etudier la monotonie de u.
(c) Montrer que u est convergente et calculer sa limite.
3°) Nn ∈∀ , on pose 2
n
2
n
n
u3
u
v
−
=
(a) Montrer que v est une suite géométrique.
(b) En déduire l’expression de nu .
(c) Retrouver n
n
ulim
+∞→
4°)On pose ∑
−
=
=
1n
0k
2
kn us , *Nn ∈∀
(a) Montrer que *Nn ∈∀ : n ≤ ns ≤ 3n
(b) En déduire : n
n
slim
+∞→
et
²n
s
lim n
n +∞→
5°)On pose : *Nn ∈∀ :
n
s
r n
n =
(a) Montrer que *Nn ∈∀ : ( ) n
2
n1n1n snus1nns −=+− ++
(b) En déduire que ( )nr est suite croissante.
(c) Montrer que ( )nr est une suite convergente et trouver sa limite ℓ .
6°)Soit n , p *
N∈ tel que n > p.
(a) Montrer que : ( ) 2
1nn
2
p nusupn −≤≤−
(b) En déduire que : 2
1nn ur
n
pn
−≤≤
−
(c) Montrer que : *Np ∈∀ 3u2
p ≤≤ ℓ . En déduire la valeur de ℓ .
EXERCICE N°13
On se donne deux réels a et b tels que 0 ≤ b ≤a. On définit les suites ( )nu et ( )nv par les relations :
0u =a , 0v =b , Nn ∈∀ :
2
vu
u nn
1n
+
=+ et
2
vu
v n1n
1n
+
= +
+
1°)Etablir une relation entre 1n1n vu ++ − et nn vu − .
5
2°)En déduire l’expression de nn vu − en fonction de n , a et b .
3°)En déduire l’expression de 1nu + en fonction de nu , n , a et b.
4°)Montrer que les suites u et v convergent vers une limite commune que l’on déterminera.
EXERCICE N°14
On définit des suites ( )nu et ( )nv par : 0v,u 00 > et pour tout n de N :
2
vu
u nn
1n
+
=+ et 







+=
+ nn1n v
1
u
1
2
1
v
1
.
1°)Montrer que ( )nu et décroissante et ( )nv est croissante.
2°)Montrer que pour tout n de N : nn vu ≥ et ( )nn1n1n vu
2
1
vu −≤− ++
3°)En déduire que ( )nu et ( )nv sont convergentes et ont même limite.
EXERCICE N°15
Soit (a , b) ²R∈ tel que 0 < a < b.
On définit les suites ( )nu et ( )nv sur N par : ( )





+
=
+
=
==
++
2
vuv
v,
2
vu
u
bv,au
nnn
1n
nn
1n
00
1°)Montrer que ( )nu et ( )nv convergent vers une même limite ℓ > 0.
2°)On suppose que a = b φcos ; 0 < φ <
2
π
. Exprimer ℓ en fonction de b et φ
EXERCICE N°16
Pour tout n de N* , on pose : nu = n
n
n2
4
C
.n .
1°)Calculer 1u et
n
1n
u
u +
.
2°)Prouver par récurrence que *
Nn ∈∀ : nu ≤
1n2
n
+
.
3°)Montrer qu’il existe 





∈
2
1
,
2
1
ℓ tel que : ℓ=
+∞→
n
n
ulim .
4°)Montrer que 0x >∀ :






+
2
1
x8
1
≤ ( )1xx
2
1
x +−





+ ≤
( )1xx.8
1
+
5°)En déduire que *
Nk ∈∀ : −






+
2
1
k8
uk






+
2
3
k8
uk
≤ k1k uu −+ ≤ −
k8
uk
( )1k8
uk
+
.
6°)En cadrer np uu − (pour p > n ), puis établir : *
Nn ∈∀ :






+
2
1
n8
un
≤ nu−ℓ ≤
n8
ℓ
7°)En déduire la majoration suivante : *
Nn ∈∀ :
²n16
u
n8
1
1 n
ℓ
ℓ ≤





+− .
8°)Comment suffit-il de choisir n pour que nu
n8
1
1 





+ soit une valeur approchée de ℓ à 10-5 prés ?
EXERCICE N°17
Prouver que la suite de terme générale
n
n
n
1
1u 





+= est croissante sur N*.
EXERCICE N°18
On considère la suite de terme générale
( )
∑=
−
−
=
n
1k
1k
n
k
1
u .
1°)Montrer que les suites ( ) 1nn2u ≥ et ( ) 0n1n2u ≥+ sont des suites adjacentes.
2°)Déduire que la suite ( ) 1nnu ≥ est convergente.
6
EXERCICE N°19
On considère la suite de terme générale
( )
( )∑=
−
=
n
0k
k
n
!k2
1
u .
1°)Montrer que les suites ( ) 0nn2u ≥ et ( ) 0n1n2u ≥+ sont des suites adjacentes.
2°)Déduire que la suite ( ) 0nnu ≥ est convergente.
EXERCICE N°20
Soient les deux réels a et b, tels que 0 < a < b, et les deux suites ( ) Nnnu ∈ et ( ) Nnnv ∈ définies par :
( )





+
+
=
=
+ 2
n
2
n
nnnn
1n
0
vu
vuvu
u
au
et




+
=
=
+
2
vu
v
bv
nn
1n
0
.
1°)Montrer que pour tout n de N, .uv nn >
2°)Montrer que les deux suites ( ) Nnnu ∈ et ( ) Nnnv ∈ sont convergentes.
3°)Déduire que les deux suites ( ) Nnnu ∈ et ( ) Nnnv ∈ sont adjacentes.
4°)Montrer que la suite ( ) Nnnw ∈ définie par son terme général
nn
n
v
1
u
1
w += est constante.
5°)Déduire la valeur des limites des suites ( ) Nnnu ∈ et ( ) Nnnv ∈ en fonction de a et b .
EXERCICE N°21
1°) Pour tout entier naturel n, on note 12F
n
2
n += . Calculer F0, F1, F2, F3.
2°) Démontrer par récurrence que pour tout n > 1, on a : 2FF....FF 1nn10 −= + .
3°) Montrer que la suite ( )nF est croissante et non majorée. Quelle est sa limite ?
EXERCICE N°22
Partie A :
Soit ( )nx une suite numérique définie par : x :







+=
∈∀
∈
++ n1n2n
10
x
3
1
x
3
1
x
Nn
Rx;x
1°)On pose ∑=
=+++=
n
0k
kn10n xx...xxs
Montrer que si ( )nx est convergente vers ℓ alors ( )nx converge vers 'ℓ qui l’on déterminera en fonction ℓ .
2°)On pose n1nn txxa += + . Déterminer les valeurs de t tel que ( )na soit une suite géométrique
3°)En déduire nx en fonction de n , 0x et 1x
4°)Calculer alors n
n
xlim
+∞→
et n
n
slim
+∞→
Partie B :
Soient a et b sont deux réels supérieurs ou égaux à 1.
On étudie la suite numérique ( )nu définie par : u :





+=
∈∀
==
++ 1nn2n
10
uuu
Nn
bu;au
1°) Montrer que pour tout entier naturel n, nu est bien défini et vérifie nu ≥ 1.
2°) Montrer que la seule limite possible de la suite ( )nu est 4.
3°) On se propose d’établir la convergence de la suite ( )nu par l’étude d’une suite auxiliaire ( )nv définie, pour
tout entier naturel n, par : nn u
2
1
v = − 1.
(a) Montrer que si n
n
vlim
+∞→
= 0, alors n
n
ulim
+∞→
= 4.
(b) Vérifier que, pour tout entier naturel n :
)v2(2
vv
v
2n
n1n
2n
+
+
+
+
+
= .
4°) On note ( )nx la suite définie par : 00 vx = , 11 vx = et, pour tout entier naturel n,
2nx + =
3
1
nx +
3
1
1nx + .
Montrer que pour tout entier naturel n, nn xv ≤ et conclure quant à la convergence de la suite ( )nu .
7
(c ) En déduire que : 2nv + ≤ ( )n1n vv
3
1
++
EXERCICE N°23
Répondre par Vrai ou Faux en justifiant la réponse
Soient ℓ , k et q des réels tel que 0 < k <1 et 0< x < 1.
1°)Si Nn ∈∀ : ℓ−+1nu ≤ k ℓ−nu alors u est convergente .
2°) Si Nn ∈∀ : ℓ−+1nu ≤ k ℓ−nu alors s est convergente tel que : *
Nn ∈∀ : sn = ∑
−
=
1n
0k
ku
n
1
3°) Si Nn ∈∀ : ℓ−+2nu ≤ k ℓ−nu alors u est convergente .
4°) Si Nn ∈∀ : 1n2n uu ++ − ≤ k n1n uu −+ alors ( ) 0uulim n1n
n
=−+
+∞→
5°) Si Nn ∈∀ : ℓ−+1nu ≤ k n
n xu +− ℓ alors u est convergente .
6°)Si ( ) Nnnu ∈ est croissante et ( ) Nnnv ∈ est décroissante alors ( )nvu − est décroissante .
7°)Soient u et v deux suites réelles tel que :
Si : ( ) 0vvuulim 2
nnn
2
n
n
=+×+
+∞→
alors 0vlimulim n
n
n
n
==
+∞→+∞→
8°)Si ( ) ℓ=+++
+∞→
n10
n
u...uulim alors 0ulim n
n
=
+∞→

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  • 1. 1 EXERCICE N°1 Montrer que : pour tout n de N* : 1°) 1n 2 cos + π = foisn 2...222 2 1 ++++ et 1n 2 sin + π = foisn 2...222 2 1 +++− 2°)En déduire que π = ( ) foisn n n 2...2222Lim +++−× +∞→ EXERCICE N°2 Soit [ ]1,1−∈λ , on considère la fonction f définie sur par :     = ≠ = 0xsi 0xsi x 1 sin )x(f λ 1°)Soit pour tout n de N : π π n2 2 1 un + = et π π n2 2 1 vn +− = . Calculer ( )nuf et ( )nvf . 2°)Existe t –il un valeur de λ tel que f soit continue en 0 EXERCICE N°2 Exprimer un en fonction de n . 1°) 0u =2 et pour tout n de N : nuu n1n +=+ 2°) 0u =3 , 1u = 2 et pour tout n de N : n1n2n u2u3u −= ++ 3°) 0u =3 , 1u = 2 et pour tout n de N : 1nn2n uu2u ++ −= 4°) 0u = 5 2 et pour tout n de N* : . ( ) ( ) 1nn u2n2u1n3 −+=+ EXERCICE N°3 1°) Soit x un réel tel que 0 < x ≤ 1.Montrer que : pour tout k de N : ( )k x1 + ≤ 1+ k 2 x 2°)Soit (x) la suite définie sur N* par : nx = n 3 3 n (a) Etablir l’égalité suivante : pour tout n de N* : n 1n x x + = 3 n 1 1 3 1       + (b) En déduire que : pour tout n ≥ 16 : n 1n x x + ≤ 2 1 (c) Montrer que : pour tout n ≥ 16 : nx ≤ 16 16n x 2 1 −       . En déduire alors n x xlim +∞→ EXERCICE N°4 Soient a et b deux réels tels que 0<a ≤ b et ( )nu la suite définie par : 1u =a+b et *Nn ∈∀ : 1nu + = nu ab ba −+ . 1°) On suppose que a<b. (a) Montrer que ( )nu est minorée par b . (b) Etudier la monotonie de la suite ( )nu en déduire qu’elle est convergente. 2°) Soit v la suite définie par : *Nn ∈∀ : au bu v n n n − − = (a) Montrer que v est une suite géométrique. (b) En déduire nu en fonction de n , a et b (c) Calculer alors n n ulim +∞→ 3°) On suppose que a=b . (a) Calculer 4321 u,u,u,u en fonction de a . Séries d’exercices 4ème Maths Suites rSuites rSuites rSuites reeeeelleselleselleselles Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
  • 2. 2 (b) Exprimer alors nu en fonction de n et a puis n n ulim +∞→ . EXERCICE N°5 Soit la fonction f :R+ → R , x ֏ f(x)= x)1p(p −+ , où p est un réel tel que 1p > On considère la suite réelle u définie par 0u0 = et Nn ∈∀ : ( )n1n ufu =+ 1°)(a) Montrer que : Nn ∈∀ : pu0 n ≤≤ (b) Etudier la monotonie de u . (c) En déduire que u est convergente . 2°)(a) Montrer que : Nn ∈∀ , pu 1n −+ ≤ p 1p − pun − (b) En déduire : Nn ∈∀ , pun − ≤ p n p 1 1       − . En déduire alors n n ulim +∞→ . EXERCICE N°6 On considère la suite u définie par 1u0 = et Nn ∈∀ : n n 1n u2 9u3 u + =+ 1°) Montrer que 3u 1n −+ et 3un − sont de signes contraires. 2°) En déduire que : Np ∈∀ , p2u ≤ 3 ≤ 1p2u + . 3°) En déduire que si u est convergente, alors n n ulim +∞→ =3. 4°) Vérifier que : *Nn ∈∀ , nu 2≥ 5°) (a) Montrer que : 2n ≥∀ , 3un − ≤ 4 3 3u 1n −− (b) En déduire 2n ≥∀ , 3un − ≤ 3 1n 4 3 −       (a) Montrer que u est convergente et précisera sa limite. EXERCICE N°7 On considère les suites u et v définies sur N par : 0vu 00 == et pour tout n de N : n1n v3u −=+ et n1n u3v +=+ . 1°)Montrer que pour tout n de N on a : 3u0 n ≤≤ et 3v0 n ≤≤ . 2°)Soient a et b deux suites définies sur N par : 1ua nn −= et 1vb nn −= . a)Montrer que pour tout n de N on a : n1n ba ≤+ et n1n a 2 1 b ≤+ . b)En déduire que pour tout n de N on a : n2n a 2 1 a ≤+ et n2n b 2 1 b ≤+ c)En utilisant les résultats de b/, montrer que pour tout n de n : p p2 2 1 a       ≤ et 1p p2 2 1 b −       ≤ . d)Étudier alors la convergence des suites ( )p2u et ( )p2v EXERCICE N°8 1°) Montrer que pour tout réel positif x on a : x – 6 x3 ≤ sinx ≤ x. 2°) Montrer que pour tout entier naturel n : 4 )²1n²(n k n 0k 3 + =∑= 3°)Soit x un réel positif fixé et ( )( )xun la suite définie sur N* par : ( ) ∑=       = n 1k n ²n kx sinxu . (a) Montrer que pour tout n de N* : n2 x)1n( + 4 3 n24 x)²1n( + − ≤ ( )xun ≤ n2 x)1n( + . (b) En déduire que ( )( )xun est convergente et calculer sa limite. 4°) Soit v la suite définie sur N* par : ∑=       = n 1k 3 n ²n k sinv (a) Montrer que pour tout réel x : sin3x = 4 3 sinx - 4 1 sin3x
  • 3. 3 (b) En déduire que : ( ) ( )3u 4 1 1u 4 3 v nnn −= (c) Calculer alors : n n vlim +∞→ EXERCICE N°8 1°)Etudier les variations de la fonction g définie par : 1x5x)x(g 3 −−= sur R. 2°)En déduire que l'équation 01x5x3 =−− possède trois racines a, b, c, avec a < b < c Donner des valeurs approchées de a, b, c à 10-1 près. (On trouve : −2,2 ; −0,3 ; 2,3.) 3°)On considère la suite u définie par son premier terme u0, et par la relation de récurrence : ∀n ∈ N un+1 = )1u( 5 1 3 n − . a) Montrer que la suite u est monotone. b) Si la suite u est convergente, quelles sont les valeurs possibles de sa limite ? c) Etudier la suite u dans les trois cas particuliers suivants :u0 = -3 ;u0 = 0; u0 = 3 . EXERCICE N°10 1°) Soit ( )nu la suite réelle définie sur N par 2 1 u0 = et pour tout n de N : 2 n n 1n u1 u2 u + =+ (a) Montrer que pour tout n de N on a : 0 < nu <1 (b) En déduire que ( )nu est convergente et calculer sa limite. 2°) Soit v la suite de terme général : n n n u1 u1 v + − = (a) Montrer que pour tout n de N on a : 2 n1n vv =+ (b) En déduire que pour tout n de N : n 2n 3 1 v = (c) Déduire n n vlim +∞→ et l’expression de nu . (d) On pose pour tout n de N : n10n v....v.vp = . Calculer np puis calculer         ++∞→ 1n n n v p lim 3°) Soit la suite s définie sur N* par ∑ − = = 1n 0k kn u n 1 s (a) Montrer que pour tout n * N∈ , on : ( )1n2 0 n u1 u1 1 u10 −− + <−< (b) En déduire que pour tout n de N , n n 5 4 u10       <−< (c) Montrer que pour tout n de N* ; 1s 4 5 1 n 5 1 n n ≤≤               −− . En déduire alors n n slim +∞→ EXERCICE N°11 Soit u la suite réelle définie sur N par :              += > + n n1n 0 u a u 2 1 u 0u avec a * R+∈ et n N∈ 1°)Pour quelle valeur de 0u la suite u est constante. 2°)Montrer que pour tout n de N : nu > 0 3°)On suppose dans la suite que : 0a²u0 ≠− (a) Montrer que pour tout n de N : nu ≠ a (b) Montrer que pour tout n de N : 1nu + a− = nu2 1 ( )² n au − (c) Montrer que pour tout n de N : 1nu + + a = nu2 1 ( )² n au + (d) Montrer que si u est convergente elle converge nécessairement vers a (e) Montrer que u est strictement décroissante et qu’elle converge et déterminer sa limite.
  • 4. 4 4°)Soit pour tout n de N : nv = au au n n + − . (a) Calculer 1nv + en fonction de nv . (b) En déduire nv en fonction de n et 0v . (c) Calculer alors : n x vlim +∞→ puis n x ulim +∞→ 5°)On suppose que : 0u = a 2 3 (a) Montrer que pour tout n de N : nu > a (b) Montrer que pour tout n de N : 1nu + a− < 2 1 ( )aun − (c) Montrer que pour tout n de N : nu a− < n 2 1       . a (d) En déduire n x ulim +∞→ EXERCICE N°12 1°) Soit la fonction f : x → f(x)= ²x1 x2 + (a) Etudier les variations de f . (b) Résoudre dans R : f(x) = x . (c) Montrer que si : 1 ≤ x ≤ 3 alors 1 ≤ f(x) ≤ 3 2°)Soit la suite réelle u définie par : 1u0 = et Nn ∈∀ , ( )n1n ufu =+ . (a) Montrer que Nn ∈∀ , 1 ≤ nu ≤ 3 . (b) Etudier la monotonie de u. (c) Montrer que u est convergente et calculer sa limite. 3°) Nn ∈∀ , on pose 2 n 2 n n u3 u v − = (a) Montrer que v est une suite géométrique. (b) En déduire l’expression de nu . (c) Retrouver n n ulim +∞→ 4°)On pose ∑ − = = 1n 0k 2 kn us , *Nn ∈∀ (a) Montrer que *Nn ∈∀ : n ≤ ns ≤ 3n (b) En déduire : n n slim +∞→ et ²n s lim n n +∞→ 5°)On pose : *Nn ∈∀ : n s r n n = (a) Montrer que *Nn ∈∀ : ( ) n 2 n1n1n snus1nns −=+− ++ (b) En déduire que ( )nr est suite croissante. (c) Montrer que ( )nr est une suite convergente et trouver sa limite ℓ . 6°)Soit n , p * N∈ tel que n > p. (a) Montrer que : ( ) 2 1nn 2 p nusupn −≤≤− (b) En déduire que : 2 1nn ur n pn −≤≤ − (c) Montrer que : *Np ∈∀ 3u2 p ≤≤ ℓ . En déduire la valeur de ℓ . EXERCICE N°13 On se donne deux réels a et b tels que 0 ≤ b ≤a. On définit les suites ( )nu et ( )nv par les relations : 0u =a , 0v =b , Nn ∈∀ : 2 vu u nn 1n + =+ et 2 vu v n1n 1n + = + + 1°)Etablir une relation entre 1n1n vu ++ − et nn vu − .
  • 5. 5 2°)En déduire l’expression de nn vu − en fonction de n , a et b . 3°)En déduire l’expression de 1nu + en fonction de nu , n , a et b. 4°)Montrer que les suites u et v convergent vers une limite commune que l’on déterminera. EXERCICE N°14 On définit des suites ( )nu et ( )nv par : 0v,u 00 > et pour tout n de N : 2 vu u nn 1n + =+ et         += + nn1n v 1 u 1 2 1 v 1 . 1°)Montrer que ( )nu et décroissante et ( )nv est croissante. 2°)Montrer que pour tout n de N : nn vu ≥ et ( )nn1n1n vu 2 1 vu −≤− ++ 3°)En déduire que ( )nu et ( )nv sont convergentes et ont même limite. EXERCICE N°15 Soit (a , b) ²R∈ tel que 0 < a < b. On définit les suites ( )nu et ( )nv sur N par : ( )      + = + = == ++ 2 vuv v, 2 vu u bv,au nnn 1n nn 1n 00 1°)Montrer que ( )nu et ( )nv convergent vers une même limite ℓ > 0. 2°)On suppose que a = b φcos ; 0 < φ < 2 π . Exprimer ℓ en fonction de b et φ EXERCICE N°16 Pour tout n de N* , on pose : nu = n n n2 4 C .n . 1°)Calculer 1u et n 1n u u + . 2°)Prouver par récurrence que * Nn ∈∀ : nu ≤ 1n2 n + . 3°)Montrer qu’il existe       ∈ 2 1 , 2 1 ℓ tel que : ℓ= +∞→ n n ulim . 4°)Montrer que 0x >∀ :       + 2 1 x8 1 ≤ ( )1xx 2 1 x +−      + ≤ ( )1xx.8 1 + 5°)En déduire que * Nk ∈∀ : −       + 2 1 k8 uk       + 2 3 k8 uk ≤ k1k uu −+ ≤ − k8 uk ( )1k8 uk + . 6°)En cadrer np uu − (pour p > n ), puis établir : * Nn ∈∀ :       + 2 1 n8 un ≤ nu−ℓ ≤ n8 ℓ 7°)En déduire la majoration suivante : * Nn ∈∀ : ²n16 u n8 1 1 n ℓ ℓ ≤      +− . 8°)Comment suffit-il de choisir n pour que nu n8 1 1       + soit une valeur approchée de ℓ à 10-5 prés ? EXERCICE N°17 Prouver que la suite de terme générale n n n 1 1u       += est croissante sur N*. EXERCICE N°18 On considère la suite de terme générale ( ) ∑= − − = n 1k 1k n k 1 u . 1°)Montrer que les suites ( ) 1nn2u ≥ et ( ) 0n1n2u ≥+ sont des suites adjacentes. 2°)Déduire que la suite ( ) 1nnu ≥ est convergente.
  • 6. 6 EXERCICE N°19 On considère la suite de terme générale ( ) ( )∑= − = n 0k k n !k2 1 u . 1°)Montrer que les suites ( ) 0nn2u ≥ et ( ) 0n1n2u ≥+ sont des suites adjacentes. 2°)Déduire que la suite ( ) 0nnu ≥ est convergente. EXERCICE N°20 Soient les deux réels a et b, tels que 0 < a < b, et les deux suites ( ) Nnnu ∈ et ( ) Nnnv ∈ définies par : ( )      + + = = + 2 n 2 n nnnn 1n 0 vu vuvu u au et     + = = + 2 vu v bv nn 1n 0 . 1°)Montrer que pour tout n de N, .uv nn > 2°)Montrer que les deux suites ( ) Nnnu ∈ et ( ) Nnnv ∈ sont convergentes. 3°)Déduire que les deux suites ( ) Nnnu ∈ et ( ) Nnnv ∈ sont adjacentes. 4°)Montrer que la suite ( ) Nnnw ∈ définie par son terme général nn n v 1 u 1 w += est constante. 5°)Déduire la valeur des limites des suites ( ) Nnnu ∈ et ( ) Nnnv ∈ en fonction de a et b . EXERCICE N°21 1°) Pour tout entier naturel n, on note 12F n 2 n += . Calculer F0, F1, F2, F3. 2°) Démontrer par récurrence que pour tout n > 1, on a : 2FF....FF 1nn10 −= + . 3°) Montrer que la suite ( )nF est croissante et non majorée. Quelle est sa limite ? EXERCICE N°22 Partie A : Soit ( )nx une suite numérique définie par : x :        += ∈∀ ∈ ++ n1n2n 10 x 3 1 x 3 1 x Nn Rx;x 1°)On pose ∑= =+++= n 0k kn10n xx...xxs Montrer que si ( )nx est convergente vers ℓ alors ( )nx converge vers 'ℓ qui l’on déterminera en fonction ℓ . 2°)On pose n1nn txxa += + . Déterminer les valeurs de t tel que ( )na soit une suite géométrique 3°)En déduire nx en fonction de n , 0x et 1x 4°)Calculer alors n n xlim +∞→ et n n slim +∞→ Partie B : Soient a et b sont deux réels supérieurs ou égaux à 1. On étudie la suite numérique ( )nu définie par : u :      += ∈∀ == ++ 1nn2n 10 uuu Nn bu;au 1°) Montrer que pour tout entier naturel n, nu est bien défini et vérifie nu ≥ 1. 2°) Montrer que la seule limite possible de la suite ( )nu est 4. 3°) On se propose d’établir la convergence de la suite ( )nu par l’étude d’une suite auxiliaire ( )nv définie, pour tout entier naturel n, par : nn u 2 1 v = − 1. (a) Montrer que si n n vlim +∞→ = 0, alors n n ulim +∞→ = 4. (b) Vérifier que, pour tout entier naturel n : )v2(2 vv v 2n n1n 2n + + + + + = . 4°) On note ( )nx la suite définie par : 00 vx = , 11 vx = et, pour tout entier naturel n, 2nx + = 3 1 nx + 3 1 1nx + . Montrer que pour tout entier naturel n, nn xv ≤ et conclure quant à la convergence de la suite ( )nu .
  • 7. 7 (c ) En déduire que : 2nv + ≤ ( )n1n vv 3 1 ++ EXERCICE N°23 Répondre par Vrai ou Faux en justifiant la réponse Soient ℓ , k et q des réels tel que 0 < k <1 et 0< x < 1. 1°)Si Nn ∈∀ : ℓ−+1nu ≤ k ℓ−nu alors u est convergente . 2°) Si Nn ∈∀ : ℓ−+1nu ≤ k ℓ−nu alors s est convergente tel que : * Nn ∈∀ : sn = ∑ − = 1n 0k ku n 1 3°) Si Nn ∈∀ : ℓ−+2nu ≤ k ℓ−nu alors u est convergente . 4°) Si Nn ∈∀ : 1n2n uu ++ − ≤ k n1n uu −+ alors ( ) 0uulim n1n n =−+ +∞→ 5°) Si Nn ∈∀ : ℓ−+1nu ≤ k n n xu +− ℓ alors u est convergente . 6°)Si ( ) Nnnu ∈ est croissante et ( ) Nnnv ∈ est décroissante alors ( )nvu − est décroissante . 7°)Soient u et v deux suites réelles tel que : Si : ( ) 0vvuulim 2 nnn 2 n n =+×+ +∞→ alors 0vlimulim n n n n == +∞→+∞→ 8°)Si ( ) ℓ=+++ +∞→ n10 n u...uulim alors 0ulim n n = +∞→