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Fonction linéaire et fonction affine I – Exemple II – Définitions et notations III – Résoudre une équation linéaire IV – Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points
I - Exemple On compare les tarifs de forage d'un puits appliqué par deux entreprises :  1) Calculer pour chaque entreprise le montant facturé pour un puits de 5, 10 et 18 mètres. .......... .......... .......... Frais fixes Coût par mètre de forage Entreprise A Entreprise B 95 € 75 € 150 € 0 €
I - Exemple Frais fixes Coût par mètre de forage Entreprise A Entreprise B 95 € 75 € 150 € 0 € Profondeur du puits 5 m 10 m 18 m Tarif A Tarif B
I - Exemple 2) Soit  x   .  Donner l'expression qui donne  en fonction de  x  pour chacune des 2 entreprises la profondeur du puits ................................... le tarif  y   .............  Profondeur du puits 5 m 10 m 18 m Tarif A Tarif B Profondeur du puits x Tarif A Tarif B
I - Exemple On dit que : ,[object Object],[object Object],une fonction affine ; une fonction linéaire. ................................ ...............................
I - Exemple 3) Pour chacune des deux entreprises, représenter graphi-quement dans un repère orthonormé les points de coordonnées ( x  ;  y ) (Échelle : 1 cm = 2 mètres et 1 cm = 200 €) Profondeur 5 10 18 Tarif A 525 900 1500 Tarif B 475 950 1710 4) Constater que les points correspondant à un même tarif sont alignés et tracer les droites (A) et (B) cor-respondant à chaque tarif. Tous les points de la droite (A) ont des coordonnées ( x  ;  y ) telles que Cette égalité s'appelle  De même, l'équation de la droite (B) est l'équation de la droite. ................................... M M M M M M M
II – Définitions et notations Définitions et notations Application à l'exemple Fonction affine Soient  a  et  b  deux nombres réels quel-conques. On appelle  fonction affine  une fonction de la forme  f(x) = a x + b  ; Elle est représentée par une droite d'équation  y  =  a x  +  b  qui ne passe pas par l'origine. La fonction  f  qui associe le tarif A à la profondeur du puits est une fonction affine définie par  f(x)  =  75   x  + 150 Elle est représentée par la droite d'équation y  = 75  x  +150
II – Définitions et notations .......... .......... .......... Définitions et notations Application à l'exemple Fonction linéaire Soit  a  un nombre réel quelconque.  On appelle  fonction linéaire  une fonction de la forme  f(x) = a x  Elle est représentée par une droite d'équation  y  =  a x   qui  passe par  l'origine. ( y  est proportionnel à  x ) La fonction  f  qui associe le tarif B à la profondeur du puits est une fonction linéaire définie par  f(x)  =  95   x   Elle est représentée par la droite d'équation y  = 95  x
Résumé de la 1ère partie Profondeur 5 10 18 Tarif A 525 900 1500 Tarif B 475 950 1710 M M M M M M M Frais fixes Coût par mètre de forage Entreprise A Entreprise B 95 € 75 € 150 € 0 €
III – Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue .......... .......... .......... 1) Par lecture graphique : ,[object Object],… ............. … ............. »  16,5 m »  14,7 m
III – Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue Démarche Application à l'entreprise B Règles, notations, définitions Identifier l'inconnue Mettre le problème en équation Résoudre l'équation : règle 1 Conclure Soit  x  la profondeur maximum pour ne pas dépasser 1400 € On écrit une égalité correspondant aux données du problème On ne change pas une égalité en  ×  ou  ÷  les 2 membres par un même nombre On divise chaque membre par 95 280/19  est la solution de l'équation  Pour que le tarif de B soit de 1400 €, il faut creuser environ 14,7 m 2) Déterminer  par le calcul  la profondeur à creuser pour que le tarif soit de 1400  € :  Entreprise B En général, l'inconnue est notée  x
III – Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue Démarche Application à l'entreprise A Règles, notations, définitions Identifier l'inconnue Mettre le problème en équation Résoudre l'équation : règle 2 Conclure Soit  x  la profondeur maximum pour ne pas dépasser 1400 € On écrit une égalité correspondant aux données du problème On ne change pas une égalité en ajoutant ou soustrayant un même nombre aux deux membres d'une égalité On soustrait 150 à chaque membre 50/3  est la solution de l'équation  Pour que le tarif de A soit de 1400 €, il faut creuser environ 16,7 m 2) Déterminer  par le calcul  la profondeur à creuser pour que le tarif soit de 1400  € :  Entreprise A En général, l'inconnue est notée  x Appliquer à nouveau la règle 1 ou la règle 2 jusqu'à isoler  x On divise chaque membre par 75
.......... .......... .......... 3) Par lecture graphique : ,[object Object],… ............. »  7,5 m III – Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue
III – Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue Démarche Application à l'exemple Identifier l'inconnue Mettre le problème en équation On applique la règle 2 pour regrouper les  x  du même côté Conclure Soit  x  la profondeur à creuser pour que les deux tarifs soient identiques On soustrait 95  x  à chaque membre Pour que les deux tarifs soient identiques, il faut creuser un puits de 7,5 m 4) Déterminer  par le calcul  la profondeur pour laquelle les deux tarifs seront égaux On réduit On isole  x  en appliquant la règle 1 puis la règle 2
IV – Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points .......... .......... .......... Un article est vendu selon le principe des enchères dégressives. La droite ci-contre donne l'évolution de son prix au fil des heures.
.......... .......... .......... 1) Placer sur le graphique les points A et B tels que : ,[object Object]
le point B donne le prix au bout de 60 heures.  IV– Déterminer l'équation d'une droite passant par 2 points
.......... .......... .......... 2) Compléter le tableau ci-dessous : IV– Déterminer l'équation d'une droite passant par 2 points Point de la droite A B Heures écoulées ( x ) Prix de l'article ( y ) 20 60 300 180
.......... .......... .......... 3) Calculer : ,[object Object],[object Object],[object Object],IV– Déterminer l'équation d'une droite passant par 2 points Point de la droite A B Heures écoulées ( x ) Prix de l'article ( y ) 20 60 300 180 … ............................ … ............................ … ............................ -3 € / heure
.......... .......... .......... 4) Lire graphiquement le prix de l'article à l'heure 0, c'est à dire au début de la vente : IV– Déterminer l'équation d'une droite passant par 2 points … ............................ -3 € / heure ,[object Object]
.......... .......... .......... 5) A partir des deux résultats précédents, calculer le prix de l'article au bout de 15 heures : IV– Déterminer l'équation d'une droite passant par 2 points … ............................ -3 € / heure ,[object Object]
Le prix initial au début de la vente est de 360 €

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Fonction affine et linéaire

  • 1. Fonction linéaire et fonction affine I – Exemple II – Définitions et notations III – Résoudre une équation linéaire IV – Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points
  • 2. I - Exemple On compare les tarifs de forage d'un puits appliqué par deux entreprises : 1) Calculer pour chaque entreprise le montant facturé pour un puits de 5, 10 et 18 mètres. .......... .......... .......... Frais fixes Coût par mètre de forage Entreprise A Entreprise B 95 € 75 € 150 € 0 €
  • 3. I - Exemple Frais fixes Coût par mètre de forage Entreprise A Entreprise B 95 € 75 € 150 € 0 € Profondeur du puits 5 m 10 m 18 m Tarif A Tarif B
  • 4. I - Exemple 2) Soit x . Donner l'expression qui donne en fonction de x pour chacune des 2 entreprises la profondeur du puits ................................... le tarif y ............. Profondeur du puits 5 m 10 m 18 m Tarif A Tarif B Profondeur du puits x Tarif A Tarif B
  • 5.
  • 6. I - Exemple 3) Pour chacune des deux entreprises, représenter graphi-quement dans un repère orthonormé les points de coordonnées ( x ; y ) (Échelle : 1 cm = 2 mètres et 1 cm = 200 €) Profondeur 5 10 18 Tarif A 525 900 1500 Tarif B 475 950 1710 4) Constater que les points correspondant à un même tarif sont alignés et tracer les droites (A) et (B) cor-respondant à chaque tarif. Tous les points de la droite (A) ont des coordonnées ( x ; y ) telles que Cette égalité s'appelle De même, l'équation de la droite (B) est l'équation de la droite. ................................... M M M M M M M
  • 7. II – Définitions et notations Définitions et notations Application à l'exemple Fonction affine Soient a et b deux nombres réels quel-conques. On appelle fonction affine une fonction de la forme f(x) = a x + b ; Elle est représentée par une droite d'équation y = a x + b qui ne passe pas par l'origine. La fonction f qui associe le tarif A à la profondeur du puits est une fonction affine définie par f(x) = 75 x + 150 Elle est représentée par la droite d'équation y = 75 x +150
  • 8. II – Définitions et notations .......... .......... .......... Définitions et notations Application à l'exemple Fonction linéaire Soit a un nombre réel quelconque. On appelle fonction linéaire une fonction de la forme f(x) = a x Elle est représentée par une droite d'équation y = a x qui passe par l'origine. ( y est proportionnel à x ) La fonction f qui associe le tarif B à la profondeur du puits est une fonction linéaire définie par f(x) = 95 x Elle est représentée par la droite d'équation y = 95 x
  • 9. Résumé de la 1ère partie Profondeur 5 10 18 Tarif A 525 900 1500 Tarif B 475 950 1710 M M M M M M M Frais fixes Coût par mètre de forage Entreprise A Entreprise B 95 € 75 € 150 € 0 €
  • 10.
  • 11. III – Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue Démarche Application à l'entreprise B Règles, notations, définitions Identifier l'inconnue Mettre le problème en équation Résoudre l'équation : règle 1 Conclure Soit x la profondeur maximum pour ne pas dépasser 1400 € On écrit une égalité correspondant aux données du problème On ne change pas une égalité en × ou ÷ les 2 membres par un même nombre On divise chaque membre par 95 280/19 est la solution de l'équation Pour que le tarif de B soit de 1400 €, il faut creuser environ 14,7 m 2) Déterminer par le calcul la profondeur à creuser pour que le tarif soit de 1400 € : Entreprise B En général, l'inconnue est notée x
  • 12. III – Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue Démarche Application à l'entreprise A Règles, notations, définitions Identifier l'inconnue Mettre le problème en équation Résoudre l'équation : règle 2 Conclure Soit x la profondeur maximum pour ne pas dépasser 1400 € On écrit une égalité correspondant aux données du problème On ne change pas une égalité en ajoutant ou soustrayant un même nombre aux deux membres d'une égalité On soustrait 150 à chaque membre 50/3 est la solution de l'équation Pour que le tarif de A soit de 1400 €, il faut creuser environ 16,7 m 2) Déterminer par le calcul la profondeur à creuser pour que le tarif soit de 1400 € : Entreprise A En général, l'inconnue est notée x Appliquer à nouveau la règle 1 ou la règle 2 jusqu'à isoler x On divise chaque membre par 75
  • 13.
  • 14. III – Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue Démarche Application à l'exemple Identifier l'inconnue Mettre le problème en équation On applique la règle 2 pour regrouper les x du même côté Conclure Soit x la profondeur à creuser pour que les deux tarifs soient identiques On soustrait 95 x à chaque membre Pour que les deux tarifs soient identiques, il faut creuser un puits de 7,5 m 4) Déterminer par le calcul la profondeur pour laquelle les deux tarifs seront égaux On réduit On isole x en appliquant la règle 1 puis la règle 2
  • 15. IV – Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points .......... .......... .......... Un article est vendu selon le principe des enchères dégressives. La droite ci-contre donne l'évolution de son prix au fil des heures.
  • 16.
  • 17. le point B donne le prix au bout de 60 heures. IV– Déterminer l'équation d'une droite passant par 2 points
  • 18. .......... .......... .......... 2) Compléter le tableau ci-dessous : IV– Déterminer l'équation d'une droite passant par 2 points Point de la droite A B Heures écoulées ( x ) Prix de l'article ( y ) 20 60 300 180
  • 19.
  • 20.
  • 21.
  • 22. Le prix initial au début de la vente est de 360 €
  • 23.
  • 24. IV – Coefficient directeur et ordonnée à l'origine d'une droite .......... .......... .......... Définitions et formules Application à l'exemple Coefficient Directeu r S oit la droite (D) d'équa-tion y = a x + b S oit la droite (D) d'équa-tion y = – 3 x + 360 Le coefficient a est appelé coefficient directeur de la droite. Si on connait 2 points A( x A ; y A ) et .B( x B ; y B ), alors : Le coefficient directeur est – 3 Si on connait 2 points A(20 ; 300) et .B(60 ; 180), alors :