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Formulaire de Mathématiques
q
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1. Généralités
1.1 Constantes............................................................................................ 2
1.2 Aires remarquables .............................................................................. 3
1.3 Volumes remarquables......................................................................... 4
2. Algèbre
2.1 Identités remarquables.......................................................................... 5
2.2 Sommes usuelles.................................................................................. 5
2.3 Binôme de Newton et Triangle de Pascal ............................................. 6
2.4 Trigonométrie circulaire....................................................................... 7
2.5 Trigonométrie hyperbolique................................................................. 7
2.6 Équations de degré 2............................................................................ 8
2.7 Équations de degré 3............................................................................ 8
2.8 Linéarisation ........................................................................................ 9
3. Calcul différentiel et intégral
3.1 Dérivées............................................................................................. 10
3.2 Développements en série de Taylor.................................................... 10
3.3 Primitives........................................................................................... 11
3.4 Équations différentielles..................................................................... 12
4. Transformation de Laplace.......................................................................... 13
5. Systèmes de coordonnées et opérateurs différentiels
5.1 Coordonnées polaires......................................................................... 14
5.2 Coordonnées cylindriques .................................................................. 15
5.3 Coordonnées sphériques..................................................................... 16
2
1. Généralités
1.1 Constantes mathématiques et physico-chimiques
!
! = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ...
e
e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995
95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 ...
Nombre d’Or
! = 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576
28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 ...
Constante d’Euler
! = 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992
35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495 ...
Vitesse de la lumière dans le vide c 299792458 m.s–1 (valeur exacte)
Constante de la Gravitation Universelle G 6,67259.10–11 m3.kg–1.s–2
Constante de Planck h 6,6260755.10–34 J.s
Constante de Planck réduite ! 1,05457266.10–34 J.s
Charge élémentaire e 1,60217733.10–19 C
Masse de l’électron au repos me 9,1093897.10–31 kg
Masse du proton au repos mp 1,6726231.10–27 kg
Masse du neutron au repos mn 1,6749286.10–27 kg
Masse du muon au repos mµ 1,8835327.10–28 kg
Unité de masse atomique mu 1,6605402.10–27 kg
Nombre d’Avogadro N 6,0221367.1023
Constante de Boltzmann kB 1,380658.10–23 J.K–1
Perméabilité magnétique du vide µ0 1,25663706143592.10–6 N.A–2
Permittivité du vide !0 8,854187817.10–12 F.m–1
Constante de Stefan-Boltzmann ! 5,67051.10–8 W.m–2.K–4
Constante de structure fine ! 0,00729735308
Constante de Rydberg R! 10973731,534 m–1
Rayon classique de l’électron re 2,81794092.10–15 m
Constante des gaz parfaits R 8,31451 J.mol–1.K–1
3
1.2 Aires remarquables
Carré
S = a
2
Triangle
S =
1
2
a ! h
Rectangle
S = a ! b
Losange
S =
1
2
d ! D
Parallélogramme
S = a ! h
Trapèze
S =
b + B
2
! h
Polygone régulier à n côtés
périmètre : p = 2n ! a ! tan
"
n
#
$
%
&
'
(
S = p!
a
2
Disque
S = ! " r
2
Ellipse
S = ! " a " b
Sphère
S = 4! " R
2
Zone sphérique
S = 2! " R " h
Cône
S = ! " R " a
Tore
S = 4!2
" R " r
Cylindre
S = 2! " R " h
4
1.3 Volumes remarquables
Cube : V = a
3 Parallélépipède : V = B ! H Prisme droit : V = B ! H Prisme oblique : V = B ! H
Rhomboèdre
V = B ! H
Prisme tronqué
V = B !
H + H'+ H"
3
Tas de sable
V =
H
6
l 2a + a'( ) + l' a + 2a'( )[ ]
Tore
V = 2!2
" r
2
" R
Sphère
V =
4
3
! " R
3
Segment sphérique
V =
1
6
! " H
3
+
b + B
2
" H
Anneau sphérique
V =
1
6
! " c
2
" H
Secteur sphérique
V =
2
3
! " R
2
" H
Cylindre circulaire
V = ! " R
2
" H
Cylindre oblique
V = B ! H
Cylindre tronqué
V = ! " R
2
"
H + H'
2
Pyramide
V =
1
3
B ! H
Cône circulaire
V =
1
3
! " R
2
" H
Cône oblique
V =
1
3
B ! H
Cône tronqué
V = ! "
H
3
R
2
+ r
2
+ R.r( )
Pyramide tronquée
V =
H
3
B + b + Bb( )
Tonneau : V = ! " l "
D
3
+
d
6
#
$
%
&
'
(
2
5
2. Algèbre
2.1. Identités remarquables
x
2
! y
2
x ! y( ) x + y( )
x
3
! y
3 x ! y( ) x
2
+ xy + y
2
( )
x
4
! y
4 x ! y( ) x
3
+ x
2
y + xy
2
+ y
3
( )
x
n
! y
n x ! y( ) x
n !1
+ x
n !2
y + ... + x.y
n! 2
+ y
n !1
( )
x
2
! y
2
x ! y( ) x + y( )
x
4
! y
4 x + y( ) x
3
! x
2
y + x.y
2
! y
3
( )
x
n
! y
n x + y( ) x
n–1
– x
n –2
y + ... + xy
n– 2
– y
n–1
( ) pour tout n pair
x
2
+ y
2
x + iy( ) x ! iy( )
x
3
+ y
3 x + y( ) x
2
– xy + y
2
( )
x
n
+ y
n x + y( ) x
n–1
– x
n –2
y + ... – xy
n –2
+ y
n–1
( ) pour tout n impair
2.2. Sommes usuelles
1+ 2 + 3 + ... + n
n(n + 1)
2
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + n
2 n(n + 1)(2n + 1)
6
1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + n
3 n
2
(n + 1)
2
2
1
4
+ 2
4
+ 3
4
+ ...+ n
4 n(n + 1)(2n + 1)(3n
2
+ 3n ! 1)
30
1+ 3 + 5+ ... + (2n !1) n
2
2 + 4 + 6 + ...+ (2n) n(n + 1)
1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ ... + (2n !1)
2 n(2n ! 1)(2n + 1)
3
2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ ...+ (2n)
2 2n(n + 1)(2n + 1)
3
1
3
+ 3
3
+ 5
3
+ ... + (2n !1)
3
n
2
(2n
2
! 1)
2
3
+ 4
3
+ 6
3
+ ...+ (2n)
3
2n
2
(n + 1)
2
1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ n(n ! 1)
n(n ! 1)(n + 1)
3
1.2.3 + 2.3.4 + ...+ n(n !1)(n ! 2)
n(n ! 2)(n ! 1)(n + 1)
4
6
2.3. Binôme de Newton et triangle de Pascal
(x + y)
n
= x
n
+ Cn
1
x
n !1
y + Cn
2
x
n! 2
y
2
+ ...+ Cn
n !2
x
2
y
n !2
+ Cn
n !1
x.y
n !1
+ y
n
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1
Par exemple (à l’aide des lignes en gras dans le triangle de Pascal) :
(x + y)
5
= x
5
+ 5x
4
y + 10x
3
y
2
+ 10x
2
y
3
+ 5xy
4
+ y
5
(x ! y)
8
= x
8
! 8x
7
y + 28x
6
y
2
! 56x
5
y
3
+ 70x
4
y
4
! 56x
3
y
5
+ 28x
2
y
6
! 8xy
7
+ y
8
7
2.4. Trigonométrie circulaire
Formule de Moivre Formules d’Euler
cos x + isin x( )n cos x =
e
ix
+ e
!ix
2
= cosnx + isin nx sin x =
e
ix
! e
!ix
2i
x = !a
!
2
" a
!
2
+ a ! " a ! + a
cos x = cosa sina !sina ! cosa ! cosa
sin x = !sina cosa cosa sina !sina
tan x = ! tana cotana !cotana ! tana tana
cos(a + b) = cos a cosb ! sinasinb cosa cos b =
1
2
cos a + b( )+ cos a ! b( )( ) cos p + cos q = 2cos
p + q
2
.cos
p ! q
2
sin(a + b) = sina cos b + cos asinb sina sinb =
1
2
cos a ! b( )! cos a + b( )( ) cos p ! cos q = !2sin
p + q
2
.sin
p ! q
2
cos(a ! b) = cos a cos b + sina sinb cosa sinb =
1
2
sin a + b( ) ! sin a ! b( )( ) sin p + sinq = 2sin
p + q
2
.cos
p ! q
2
sin(a ! b) = sina cosb ! cos asinb sina cos b =
1
2
sin a + b( ) + sin a ! b( )( ) sin p ! sinq = 2cos
p + q
2
.sin
p ! q
2
tan(a + b) =
tan a + tanb
1! tana tan b
tan(a ! b) =
tan a ! tanb
1 + tana tan b
tan2a =
2 tana
1 ! tan
2
a
tan3a =
3tan a ! tan
3
a
1! 3tan
2
a
cos2a = cos
2
a ! sin
2
a
= 2cos
2
a ! 1 = 1! 2sin
2
a
cos3a = 4 cos
3
a ! 3cos a cos
2
a =
1 + cos 2a
2
cos
3
a =
3cos a + cos 3a
4
sin2a = 2sin a cosa sin3a = 3sin a ! 4sin
3
a sin
2
a =
1 ! cos 2a
2
sin
3
a =
3sina ! sin3a
4
2.5. Trigonométrie hyperbolique
chx =
ex
+ e!x
2
Argchx = ln x + x2
!1"
#
$
% ea
+ eb
= 2.e(a+b)/ 2
.ch
a ! b
2
shx =
ex
! e!x
2
Argshx = ln x + x2
+ 1!
"
#
$ ea
! eb
= 2.e(a+b)/ 2
.sh
a ! b
2
thx =
shx
chx
=
e
2x
!1
e
2x
+ 1
Argthx =
1
2
ln
1 + x
1 ! x
e
a
! e
b
e
a
+ e
b = th
a ! b
2
a
–a
!/2 – a!/2 + a
! – a
! + a
!
0
1
1cos
sin tan
cotan
!
!
!
!
8
2.6. Équations algébriques de degré 2
Résolution de
ax
2
+ bx + c = 0
• discriminant : ! = b
2
" 4ac
•
si ! > 0 : x1 =
"b " !
2a
et x2 =
"b + !
2a
si ! = 0 : x1 = x2 =
"b
2a
si ! < 0 : x1 =
"b " i "!
2a
et x2 =
"b + i "!
2a
#
$
%
%
%
&
%
%
%
Factorisation
ax
2
+ bx + c = a(x ! x1)(x ! x 2) et
x1 + x2 = !
b
a
x1x2 =
c
a
"
#
$$
%
$
$
Réciproque si
x + y = S
x.y = P
!
"
#
alors x et y sont solutions de l' équation : x
2
$ S.x + P = 0
2.7. Équations algébriques de degré 3
1 Réduction de
x
3
+ ax
2
+ bx + c
on pose
x = y !
a
3
p =
b
3
!
a
2
9
q =
a3
27
!
ab
6
+
c
2
"
#
$
$
$
%
$
$
$
et l’expression prend la forme y
3
+ 3py + 2q
2 Résolution de
y
3
+ 3py + 2q = 0
• discriminant : R = p
3
+ q
2
• si R = 0 : y1 = y2 =
!q
p
et y3 =
2q
p
• si R > 0 :
y1 = u + v
y2 = j.u + j
2
v
y3 = j
2
u + j.v
!
"
#
$
#
avec
u = !q + R3
v = !q ! R3
"
#
$
%$
(formules de Cardan)
(on a posé : j = e
2i! /3
et j
2
= j = e
4i! /3
)
• si R < 0 :
y1 = !2 !p.cos
"
3
y2 = 2 !p.cos
" ! #
3
y3 = 2 !p.cos
" + #
3
$
%
&
&&
'
&
&
&
avec cos! =
q
"p3
9
2.8. Linéarisation des premiers polynômes trigonométriques
cos
2
x
1
2
1 + cos 2x( ) sin
2
x
1
2
1 ! cos 2x( )
cos
3
x
1
3
3cos x + cos 3x( ) sin
3
x
1
4
3sin x ! sin3x( )
cos
4
x
1
8
3+ 4 cos 2x + cos 4x( ) sin
4
x
1
8
3! 4 cos 2x + cos4 x( )
cos
5
x
1
16
10 cos x + 5cos 3x + cos 5x( ) sin
5
x
1
16
10sin x ! 5sin3x + sin5x( )
cos
6
x
1
32
10 + 15cos 2x + 6 cos4 x + cos 6x( ) sin
6
x
1
32
10 ! 15cos 2x + 6cos 4x ! cos 6x( )
cos x sin x
1
2
sin2x cos
2
x sin
2
x
1
8
1! cos 4x( )
cos
3
x sin
3
x
1
32
3sin2x ! sin6x( ) cos
4
x sin
4
x
1
128
3 ! 4 cos 4 x + cos8x( )
cos
2
x sin x
1
4
sin x + sin 3x( ) cos x sin
2
x
1
4
cos x ! cos 3x( )
cos
3
x sin x
1
8
2sin2x + sin4 x( ) cos x sin
3
x
1
8
2sin2x ! sin4x( )
cos
4
x sin x
1
16
2sin x + 3sin 3x + sin5x( ) cos x sin
4
x
1
16
2 cos x ! 3cos 3x + cos 5x( )
cos
5
x sin x
1
32
5sin2x + 4sin4 x + sin6x( ) cos x sin
5
x
1
32
5sin2x ! 4 sin4x + sin6x( )
cos
3
x sin
2
x
1
16
2 cos x ! cos 3x ! cos 5x( ) cos
2
x sin
3
x
1
16
2sin x + sin 3x ! sin5x( )
cos
4
x sin
2
x
1
32
2 + cos 2x ! 2cos 4x ! cos 6x( ) cos
2
x sin
4
x
1
32
2 ! cos 2x ! 2 cos4 x + cos 6x( )
10
3. Calcul différentiel et intégral
3.1. Dérivées
f f ' f f '
u!
(! constante) !.u'.u
! "1
sinu u'.cos u
! = "1 :
1
u
!u'
u
2 cosu !u'.sin u
! =
1
2
: u
u'
2 u
tanu u'.1 + tan
2
u( ) =
u'
cos
2
u
lnu
u'
u
Arcsinu
u'
1! u2
e
u
u'.e
u
Arccos u
!u'
1! u2
a
u
(a > 0) u'.a
u
.lna Arctan u
u'
1+ u
2
shu u'.chu Argshu
u'
u2
+ 1
chu u'.shu Argchu
u'
u2
!1
u + v + w u'+ v' +w' u.v.w u '.v.w + u.v'.w + u.v.w'
u
v
u'.v ! u.v'
v
2 u
v u'
u
v + v'.ln u
!
"
#
$
%
&u
v
3.2. Développements en série de Taylor
e
x
= 1 +
x
1!
+
x
2
2!
+
x
3
3!
+ ...+ x
n
!(x)
1
1! x
= 1+ x + x
2
+ x
3
+ ...+ x
n
"(x)
chx = 1 +
x
2
2!
+
x
4
4!
+ ...+ x
n
!(x)
1
1+ x
= 1 ! x + x
2
! x
3
+ ...+ x
n
"(x)
shx = x +
x
3
3!
+
x
5
5!
+ ...+ x
n
! (x) 1+ x = 1+
x
2
!
1
4 " 2!
x2
+
1" 3
8 " 3!
x3
!
1" 3" 5
16 " 4!
x4
+ ...+ xn
#(x)
cos x = 1 !
x
2
2!
+
x
4
4!
! ...+ x
n
"(x) (1+ x)
!
= 1 + !x +
! (! " 1)
2!
x
2
+
!(! " 1)(! " 2)
3!
x
3
+ ...+ x
n
# (x)
sin x = x !
x
3
3!
+
x
5
5!
! ...+ x
n
"(x) tan x = x +
x
3
3
+
2x
5
15
+
17x
7
315
+
62x
9
2835
+ x
10
!(x)
ln(1+ x) = x !
x
2
2
+
x
3
3
! ...+ x
n
" (x) Arctan x = x !
x
3
3
+
x
5
5
!
x
7
7
+ ...+ x
n
" (x)
11
3.3. Primitives
f
f! f
f!
x
!
(! " #1)
x! +1
! + 1
+ C lnx x lnx ! x + C
1
x
lnx + C
1
x lnx
ln ln x( ) + C
e
x
e
x
+ C a
x
( a> 0)
1
lna
a
x
+ C
e
ax
cosbx e
ax a cosbx + bsinbx
a
2
+ b
2 + C e
ax
sinbx e
ax !bcos bx + asinbx
a
2
+ b
2 + C
1
x2
+ h
ln x + x2
+ h + C
1
a2
! x2 Arc sin
x
a
+ C
1
x2
+ a2
Arg sh
x
a
+ C
ou bien
1
a2
! x2
– Arc cos
x
a
+ C
1
x2
! a2
Arg ch
x
a
+ C
1
x
2
+ a
2
1
a
Arc tan
x
a
+ C
1
x
2
! a
2
1
2a
ln
x ! a
x + a
+ C
sin x ! cos x + C shx chx + C
cos x sin x + C chx shx + C
tan x ! ln cos x + C thx ln chx + C
cotanx ln sin x + C coth x ln shx + C
sin
2
x
1
2
x ! sinx cos x( ) + C sh
2
x
1
2
sh x ch x ! x( ) + C
cos
2
x
1
2
x + sin x cos x( ) + C ch
2
x
1
2
sh x ch x + x( ) + C
tan
2
x tan x ! x + C th
2
x x ! thx + C
1
sin x
ln tan
x
2
+ C 1
sh x
ln th
x
2
+ C
1
cos x
ln tan
x
2
+
!
4
"
#$
%
&' + C 1
ch x
2Arctan e
x
( )+ C
1
sin
2
x
! cotanx + C
1
sh
2
x
thx + C
1
cos
2
x
tan x + C
1
ch
2
x
! coth x + C
12
3.4. Équations différentielles
1 linéaire, 1er ordre,
sans second membre
y'(x) + a(x)y(x) = 0 y(x) = K.e
!A(x)
, où A est une primitive de a
2 linéaire, 1er ordre,
avec second membre
y'(x) + a(x)y(x) = g(x) y(x) = K(x).e
! A(x)
où
A est une primitive de a
K est une primitive de g(x).e
A(x)
"
#
$
3 linéaire, 2nd ordre,
coefficients constants,
sans second membre
ay"(x) + by'(x) + cy(x) = 0
y(x) = A.!1(x) + B.!2 (x) où :
! = b
2
" 4ac , r1 et r2 sont les racines du trinôme ar
2
+ br + c , et
si ! > 0 : r1 et r2 sont réelles, "1 (x) = e
r1x
,"2 (x) = e
r2x
si ! = 0 : r1 = r2 , "1 (x) = e
r1x
,"2 (x) = xe
r1x
si ! < 0 : r1 = # +i$, r2 =# - i$, "1(x) = cos $x.e
# .x
,"2(x) = sin $x.e
#.x
%
&
'
''
(
'
'
'
4 linéaire, 2nd ordre,
coefficients constants,
avec second membre
ay"(x) + by'(x) + cy(x) = g(x)
y(x) = A(x).!1 (x) + B(x).!2(x) où
!1 et !2 sont obtenues comme en 3
W (x) = !1(x)!'2 (x) " !'1 (x)!2(x) # 0 (Wronskien de !1 et !2)
A est une primitive de
"g(x)!2 (x)
W (x)
B est une primitive de
g(x)!1(x)
W(x)
$
%
&
&
&
&
'
&
&
&
&
5 type Bernoulli y'(x) + a(x)y(x) = g(x)y
m
(x)
y(x) = z(x)1/(1!m)
, où z est solution de l'éq. diff. de type 2 :
1
1! m
z'(x) + a(x)z(x) = g(x)
6 type Ricatti y'(x) = a(x) + b(x)y (x) + c(x)y
2
(x)
y(x) = y1 (x) +
1
z(x)
, où
y1 est une solution particulière de l' éq. diff. initiale
z est une solution quelconque de l'éq. diff. :
z' (x) + b(x) + 2y1(x)c(x)[ ].z(x) = !c(x)
"
#
$
$$
%
$
$
$
7 type Euler-Cauchy ax
2
y"(x) + bxy' (x) + cy(x) = 0
Poser x = e
t
, l’éq. diff. devient du type 3 pour la variable t :
a
d
2
y
dt
2 + (b ! 1)
dy
dt
+ cy = 0
13
4. Transformation de Laplace
f(t) F(s) f(t) F(s)
!0
0
1
1 !a
a
1
e!as
Y (t)
0
1
1
s
Y (t ! a) ! Y (t ! b)
a b
1
1
s
e!as
! e!bs
( )
t.Y (t)
1
s2
t2
.Y (t)
2
s3
tn
.Y (t)
n!
sn+1
e!at
.Y (t)
1
s + a
t.Y (t)
!
2s s
t t.Y (t)
3 !
4s2
s
1
t
Y (t) !
s
1
t t
Y (t) !2 "s
cos!t.Y (t)
s
s2
+ ! 2
sin!t.Y (t)
!
s2
+ ! 2
ch!t.Y (t)
s
s2
!" 2
sh!t.Y (t)
!
s2
"! 2
e!at
cos"t.Y (t)
s + a
(s + a)2
+ ! 2
e!at
sin"t.Y (t)
!
(s + a)2
+ ! 2
t.cos!t.Y (t) s2
!" 2
s2
+ " 2
( )2
t.sin!t.Y (t)
2s!
s2
+ ! 2
( )2
t.ch!t.Y (t) s2
+ ! 2
s2
"! 2
( )2
t.sh!t.Y (t)
2s!
s2
"! 2
( )2
sin!t + !t.cos!t
2!
Y (t) s2
s2
+ ! 2
( )2
sin!t "!t.cos!t
2!
Y (t)
1
s2
+ ! 2
( )2
f (t ! ") e!s"
F(s) e
!at
f (t) F(s + a)
f (at) 1
a
F
s
a
!
"
#
$
%
& f (u)du
0
t
!
primitive de f
qui s' annule en 0
!
"
#
$
%
&
F(s)
s
f '(t) s.F(s) ! f (0) f" (t) s2
.F(s) ! s.f (0) ! f ' (0)
!f
!t
(x,t) s.F(x,s) ! f (x,0) !
2
f
!t
2 (x,t) s2
.F(x,s) ! s.f (x,0) !
"f
"t
(0)
!f
!x
(x,t)
!F
!x
(x,s) !
2
f
!x
2 (x,t)
!2
F
!x2
(x,s)
motif fonction périodique fonction alternée
T T 2T ... T
2T
F0 (s) F0 (s)
1! e!sT
F0 (s)
1+ e!sT
14
5. Systèmes de coordonnées
&
Opérateurs différentiels
f représente une fonction scalaire et F une fonction vectorielle, c’est-à-dire :
f (x, y) !R
!
F(x, y) = Fx (x, y).
!
ux + Fy (x, y).
!
uy
"
#
$
ou bien
f (x, y, z) !R
!
F(x, y, z) = Fx (x, y, z).
!
ux + Fy (x, y, z).
!
uy + Fz (x, y, z).
!
uz
"
#
$
5.1. Coordonnées polaires
M
!
r
O x
y
M
O
u
ux
y
r!
u
u
fig 1
fig 2
définition (fig 1) changement de base (fig 2) fonction vectorielle
x = r. cos!
y = r.sin!
"
#
$
%$
avec r ≥ 0 et θ ∈ [0;2π[
!
ux = cos! .
!
ur " sin! .
!
u!
!
uy = sin!.
!
ur + cos!.
!
u!
#
$
%
&%
Fx = cos! .Fr " sin! .F!
Fy = sin!.Fr + cos!.F!
#
$
%
&%
dérivées
premières
!f
!x
= cos".
!f
!r
#
1
r
sin".
!f
!"
!f
!y
= sin" .
!f
!r
+
1
r
cos".
!f
!"
$
%
&
&
'
&
&
dx.dy = r.dr.d!
grad(f ) =
!f
!r
.
!
ur +
1
r
!f
!"
.
!
u"
div(
!
F ) =
1
r
!
!r
r.Fr( )+
1
r
!F"
!"
!f = 1
r
!
!r
r
!f
!r
"
#
$
%
&
' +
1
r
2
!
2
f
!( 2
15
5.2. Coordonnées cylindriques
H
M
H
x
y
z
r
!
M u
uu
u
x y
z
!
fig 3
fig 4
O
uz
u
r
définition (fig 3) changement de base (fig 4) fonction vectorielle
x = r. cos!
y = r.sin!
z = z
"
#
$
$
%
$
$
avec r ≥ 0 et θ ∈ [0;2π[
!
ux = cos! .
!
ur " sin! .
!
u!
!
uy = sin!.
!
ur + cos!.
!
u!
!
uz =
!
uz
#
$
%
%
&
%
%
Fx = cos! .Fr " sin! .F!
Fy = sin!.Fr + cos!.F!
Fz = Fz
#
$
%
%
&
%
%
dérivées premières
!f
!x
= cos"
!f
!r
#
1
r
sin"
!f
!"
!f
!y
= sin"
!f
!r
+
1
r
cos"
!f
!"
!f
!z
=
!f
!z
$
%
&
&
&
&
'
&
&
&
&
dx.dy.dz = r.dr.d!.dz
grad(f ) =
!f
!r
.
!
ur +
1
r
!f
!"
.
!
u" +
!f
!z
!
uz
div(
!
F ) =
1
r
!
!r
r.Fr( )+
1
r
!F"
!"
+
!Fz
!z
rot(
!
F) = 1
r
!Fz
!
"
!F#
!z
$
%
&
'
(
).
!
ur +
!Fr
!z
"
!Fz
!r
$
%
&
'
(
).
!
u# +
1
r
F# +
!F#
!r
"
1
r
!Fr
!#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/.
!
uz
!f = 1
r
!
!r
r
!f
!r
"
#
$
%
&
' +
1
r
2
!
2
f
!( 2 +
!
2
f
!z
2
16
5.3. Coordonnées sphériques
M
H
x
y
z
r
!
"
M
u
u
u
u
u
u
x
y
z
r
!
"fig 5
fig 6
O
définition (fig 5) changement de base (fig 6) fonction vectorielle
x = rsin! cos"
y = rsin! sin"
z = r cos!
#
$
%
%
&
%
%
avec r ≥ 0,
θ ∈ [0;2π[
et ϕ ∈ [0;π]
!
ux = cos! sin".
!
ur + cos! cos".
!
u" # sin!.
!
u!
!
uy = sin! sin".
!
ur + sin! cos".
!
u" + cos! .
!
u!
!
uz = cos".
!
ur # sin".
!
u"
$
%
&
&
'
&
&
Fx = cos! sin".Fr + cos! cos".F" # sin!.F!
Fy = sin! sin".Fr + sin! cos".F" + cos!.F!
Fz = cos".Fr # sin".F"
$
%
&
&
'
&
&
dérivées
premières
!f
!x
= cos" sin#
!f
!r
+
1
r
cos" cos#
!f
!#
$
1
rsin#
sin"
!f
!"
!f
!y
= sin" sin#
!f
!r
+
1
r
sin" cos#
!f
!#
+
1
r sin#
cos"
!f
!"
!f
!z
= cos#
!f
!r
$
1
r
sin#
!f
!#
%
&
'
'
'
'
(
'
'
'
'
dx.dy.dz = r
2
sin!.dr.d".d!
grad(f ) =
!f
!r
.
!
ur +
1
r
!f
!"
.
!
u" +
1
r sin"
!f
!#
!
u#
div(
!
F) = 1
r
!
!r
r.Fr( )+
1
r
!F"
!"
+
1
rsin"
!F#
!#
rot(
!
F) = 1
r tan!
F" +
1
r
#F"
#!
$
1
sin!
#F!
#"
%
&
'
(
)
*
+
,
-
-
.
/
0
0
.
!
ur +
$1
r
F" +
1
r sin!
#Fr
#"
$
#F"
#r
%
&
'
(
)
*
+
,
-
-
.
/
0
0
.
!
u! +
1
r
F! +
#F!
#r
$
1
r
#Fr
#!
%
&
'
(
)
*
+
,
-
-
.
/
0
0
.
!
u"
!f = 1
r
2
!
!r
r
2 !f
!r
"
#
$
%
&
' +
1
r
2
sin
2
(
!
!(
sin
2
(
!f
!(
"
#
$
%
&
' +
1
r
2
sin
2
(
!
2
f
!) 2

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  • 1. Formulaire de Mathématiques q Page 1. Généralités 1.1 Constantes............................................................................................ 2 1.2 Aires remarquables .............................................................................. 3 1.3 Volumes remarquables......................................................................... 4 2. Algèbre 2.1 Identités remarquables.......................................................................... 5 2.2 Sommes usuelles.................................................................................. 5 2.3 Binôme de Newton et Triangle de Pascal ............................................. 6 2.4 Trigonométrie circulaire....................................................................... 7 2.5 Trigonométrie hyperbolique................................................................. 7 2.6 Équations de degré 2............................................................................ 8 2.7 Équations de degré 3............................................................................ 8 2.8 Linéarisation ........................................................................................ 9 3. Calcul différentiel et intégral 3.1 Dérivées............................................................................................. 10 3.2 Développements en série de Taylor.................................................... 10 3.3 Primitives........................................................................................... 11 3.4 Équations différentielles..................................................................... 12 4. Transformation de Laplace.......................................................................... 13 5. Systèmes de coordonnées et opérateurs différentiels 5.1 Coordonnées polaires......................................................................... 14 5.2 Coordonnées cylindriques .................................................................. 15 5.3 Coordonnées sphériques..................................................................... 16
  • 2. 2 1. Généralités 1.1 Constantes mathématiques et physico-chimiques ! ! = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ... e e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 ... Nombre d’Or ! = 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 ... Constante d’Euler ! = 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495 ... Vitesse de la lumière dans le vide c 299792458 m.s–1 (valeur exacte) Constante de la Gravitation Universelle G 6,67259.10–11 m3.kg–1.s–2 Constante de Planck h 6,6260755.10–34 J.s Constante de Planck réduite ! 1,05457266.10–34 J.s Charge élémentaire e 1,60217733.10–19 C Masse de l’électron au repos me 9,1093897.10–31 kg Masse du proton au repos mp 1,6726231.10–27 kg Masse du neutron au repos mn 1,6749286.10–27 kg Masse du muon au repos mµ 1,8835327.10–28 kg Unité de masse atomique mu 1,6605402.10–27 kg Nombre d’Avogadro N 6,0221367.1023 Constante de Boltzmann kB 1,380658.10–23 J.K–1 Perméabilité magnétique du vide µ0 1,25663706143592.10–6 N.A–2 Permittivité du vide !0 8,854187817.10–12 F.m–1 Constante de Stefan-Boltzmann ! 5,67051.10–8 W.m–2.K–4 Constante de structure fine ! 0,00729735308 Constante de Rydberg R! 10973731,534 m–1 Rayon classique de l’électron re 2,81794092.10–15 m Constante des gaz parfaits R 8,31451 J.mol–1.K–1
  • 3. 3 1.2 Aires remarquables Carré S = a 2 Triangle S = 1 2 a ! h Rectangle S = a ! b Losange S = 1 2 d ! D Parallélogramme S = a ! h Trapèze S = b + B 2 ! h Polygone régulier à n côtés périmètre : p = 2n ! a ! tan " n # $ % & ' ( S = p! a 2 Disque S = ! " r 2 Ellipse S = ! " a " b Sphère S = 4! " R 2 Zone sphérique S = 2! " R " h Cône S = ! " R " a Tore S = 4!2 " R " r Cylindre S = 2! " R " h
  • 4. 4 1.3 Volumes remarquables Cube : V = a 3 Parallélépipède : V = B ! H Prisme droit : V = B ! H Prisme oblique : V = B ! H Rhomboèdre V = B ! H Prisme tronqué V = B ! H + H'+ H" 3 Tas de sable V = H 6 l 2a + a'( ) + l' a + 2a'( )[ ] Tore V = 2!2 " r 2 " R Sphère V = 4 3 ! " R 3 Segment sphérique V = 1 6 ! " H 3 + b + B 2 " H Anneau sphérique V = 1 6 ! " c 2 " H Secteur sphérique V = 2 3 ! " R 2 " H Cylindre circulaire V = ! " R 2 " H Cylindre oblique V = B ! H Cylindre tronqué V = ! " R 2 " H + H' 2 Pyramide V = 1 3 B ! H Cône circulaire V = 1 3 ! " R 2 " H Cône oblique V = 1 3 B ! H Cône tronqué V = ! " H 3 R 2 + r 2 + R.r( ) Pyramide tronquée V = H 3 B + b + Bb( ) Tonneau : V = ! " l " D 3 + d 6 # $ % & ' ( 2
  • 5. 5 2. Algèbre 2.1. Identités remarquables x 2 ! y 2 x ! y( ) x + y( ) x 3 ! y 3 x ! y( ) x 2 + xy + y 2 ( ) x 4 ! y 4 x ! y( ) x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 ( ) x n ! y n x ! y( ) x n !1 + x n !2 y + ... + x.y n! 2 + y n !1 ( ) x 2 ! y 2 x ! y( ) x + y( ) x 4 ! y 4 x + y( ) x 3 ! x 2 y + x.y 2 ! y 3 ( ) x n ! y n x + y( ) x n–1 – x n –2 y + ... + xy n– 2 – y n–1 ( ) pour tout n pair x 2 + y 2 x + iy( ) x ! iy( ) x 3 + y 3 x + y( ) x 2 – xy + y 2 ( ) x n + y n x + y( ) x n–1 – x n –2 y + ... – xy n –2 + y n–1 ( ) pour tout n impair 2.2. Sommes usuelles 1+ 2 + 3 + ... + n n(n + 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 n 2 (n + 1) 2 2 1 4 + 2 4 + 3 4 + ...+ n 4 n(n + 1)(2n + 1)(3n 2 + 3n ! 1) 30 1+ 3 + 5+ ... + (2n !1) n 2 2 + 4 + 6 + ...+ (2n) n(n + 1) 1 2 + 3 2 + 5 2 + ... + (2n !1) 2 n(2n ! 1)(2n + 1) 3 2 2 + 4 2 + 6 2 + ...+ (2n) 2 2n(n + 1)(2n + 1) 3 1 3 + 3 3 + 5 3 + ... + (2n !1) 3 n 2 (2n 2 ! 1) 2 3 + 4 3 + 6 3 + ...+ (2n) 3 2n 2 (n + 1) 2 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ n(n ! 1) n(n ! 1)(n + 1) 3 1.2.3 + 2.3.4 + ...+ n(n !1)(n ! 2) n(n ! 2)(n ! 1)(n + 1) 4
  • 6. 6 2.3. Binôme de Newton et triangle de Pascal (x + y) n = x n + Cn 1 x n !1 y + Cn 2 x n! 2 y 2 + ...+ Cn n !2 x 2 y n !2 + Cn n !1 x.y n !1 + y n 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1 Par exemple (à l’aide des lignes en gras dans le triangle de Pascal) : (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5 (x ! y) 8 = x 8 ! 8x 7 y + 28x 6 y 2 ! 56x 5 y 3 + 70x 4 y 4 ! 56x 3 y 5 + 28x 2 y 6 ! 8xy 7 + y 8
  • 7. 7 2.4. Trigonométrie circulaire Formule de Moivre Formules d’Euler cos x + isin x( )n cos x = e ix + e !ix 2 = cosnx + isin nx sin x = e ix ! e !ix 2i x = !a ! 2 " a ! 2 + a ! " a ! + a cos x = cosa sina !sina ! cosa ! cosa sin x = !sina cosa cosa sina !sina tan x = ! tana cotana !cotana ! tana tana cos(a + b) = cos a cosb ! sinasinb cosa cos b = 1 2 cos a + b( )+ cos a ! b( )( ) cos p + cos q = 2cos p + q 2 .cos p ! q 2 sin(a + b) = sina cos b + cos asinb sina sinb = 1 2 cos a ! b( )! cos a + b( )( ) cos p ! cos q = !2sin p + q 2 .sin p ! q 2 cos(a ! b) = cos a cos b + sina sinb cosa sinb = 1 2 sin a + b( ) ! sin a ! b( )( ) sin p + sinq = 2sin p + q 2 .cos p ! q 2 sin(a ! b) = sina cosb ! cos asinb sina cos b = 1 2 sin a + b( ) + sin a ! b( )( ) sin p ! sinq = 2cos p + q 2 .sin p ! q 2 tan(a + b) = tan a + tanb 1! tana tan b tan(a ! b) = tan a ! tanb 1 + tana tan b tan2a = 2 tana 1 ! tan 2 a tan3a = 3tan a ! tan 3 a 1! 3tan 2 a cos2a = cos 2 a ! sin 2 a = 2cos 2 a ! 1 = 1! 2sin 2 a cos3a = 4 cos 3 a ! 3cos a cos 2 a = 1 + cos 2a 2 cos 3 a = 3cos a + cos 3a 4 sin2a = 2sin a cosa sin3a = 3sin a ! 4sin 3 a sin 2 a = 1 ! cos 2a 2 sin 3 a = 3sina ! sin3a 4 2.5. Trigonométrie hyperbolique chx = ex + e!x 2 Argchx = ln x + x2 !1" # $ % ea + eb = 2.e(a+b)/ 2 .ch a ! b 2 shx = ex ! e!x 2 Argshx = ln x + x2 + 1! " # $ ea ! eb = 2.e(a+b)/ 2 .sh a ! b 2 thx = shx chx = e 2x !1 e 2x + 1 Argthx = 1 2 ln 1 + x 1 ! x e a ! e b e a + e b = th a ! b 2 a –a !/2 – a!/2 + a ! – a ! + a ! 0 1 1cos sin tan cotan ! ! ! !
  • 8. 8 2.6. Équations algébriques de degré 2 Résolution de ax 2 + bx + c = 0 • discriminant : ! = b 2 " 4ac • si ! > 0 : x1 = "b " ! 2a et x2 = "b + ! 2a si ! = 0 : x1 = x2 = "b 2a si ! < 0 : x1 = "b " i "! 2a et x2 = "b + i "! 2a # $ % % % & % % % Factorisation ax 2 + bx + c = a(x ! x1)(x ! x 2) et x1 + x2 = ! b a x1x2 = c a " # $$ % $ $ Réciproque si x + y = S x.y = P ! " # alors x et y sont solutions de l' équation : x 2 $ S.x + P = 0 2.7. Équations algébriques de degré 3 1 Réduction de x 3 + ax 2 + bx + c on pose x = y ! a 3 p = b 3 ! a 2 9 q = a3 27 ! ab 6 + c 2 " # $ $ $ % $ $ $ et l’expression prend la forme y 3 + 3py + 2q 2 Résolution de y 3 + 3py + 2q = 0 • discriminant : R = p 3 + q 2 • si R = 0 : y1 = y2 = !q p et y3 = 2q p • si R > 0 : y1 = u + v y2 = j.u + j 2 v y3 = j 2 u + j.v ! " # $ # avec u = !q + R3 v = !q ! R3 " # $ %$ (formules de Cardan) (on a posé : j = e 2i! /3 et j 2 = j = e 4i! /3 ) • si R < 0 : y1 = !2 !p.cos " 3 y2 = 2 !p.cos " ! # 3 y3 = 2 !p.cos " + # 3 $ % & && ' & & & avec cos! = q "p3
  • 9. 9 2.8. Linéarisation des premiers polynômes trigonométriques cos 2 x 1 2 1 + cos 2x( ) sin 2 x 1 2 1 ! cos 2x( ) cos 3 x 1 3 3cos x + cos 3x( ) sin 3 x 1 4 3sin x ! sin3x( ) cos 4 x 1 8 3+ 4 cos 2x + cos 4x( ) sin 4 x 1 8 3! 4 cos 2x + cos4 x( ) cos 5 x 1 16 10 cos x + 5cos 3x + cos 5x( ) sin 5 x 1 16 10sin x ! 5sin3x + sin5x( ) cos 6 x 1 32 10 + 15cos 2x + 6 cos4 x + cos 6x( ) sin 6 x 1 32 10 ! 15cos 2x + 6cos 4x ! cos 6x( ) cos x sin x 1 2 sin2x cos 2 x sin 2 x 1 8 1! cos 4x( ) cos 3 x sin 3 x 1 32 3sin2x ! sin6x( ) cos 4 x sin 4 x 1 128 3 ! 4 cos 4 x + cos8x( ) cos 2 x sin x 1 4 sin x + sin 3x( ) cos x sin 2 x 1 4 cos x ! cos 3x( ) cos 3 x sin x 1 8 2sin2x + sin4 x( ) cos x sin 3 x 1 8 2sin2x ! sin4x( ) cos 4 x sin x 1 16 2sin x + 3sin 3x + sin5x( ) cos x sin 4 x 1 16 2 cos x ! 3cos 3x + cos 5x( ) cos 5 x sin x 1 32 5sin2x + 4sin4 x + sin6x( ) cos x sin 5 x 1 32 5sin2x ! 4 sin4x + sin6x( ) cos 3 x sin 2 x 1 16 2 cos x ! cos 3x ! cos 5x( ) cos 2 x sin 3 x 1 16 2sin x + sin 3x ! sin5x( ) cos 4 x sin 2 x 1 32 2 + cos 2x ! 2cos 4x ! cos 6x( ) cos 2 x sin 4 x 1 32 2 ! cos 2x ! 2 cos4 x + cos 6x( )
  • 10. 10 3. Calcul différentiel et intégral 3.1. Dérivées f f ' f f ' u! (! constante) !.u'.u ! "1 sinu u'.cos u ! = "1 : 1 u !u' u 2 cosu !u'.sin u ! = 1 2 : u u' 2 u tanu u'.1 + tan 2 u( ) = u' cos 2 u lnu u' u Arcsinu u' 1! u2 e u u'.e u Arccos u !u' 1! u2 a u (a > 0) u'.a u .lna Arctan u u' 1+ u 2 shu u'.chu Argshu u' u2 + 1 chu u'.shu Argchu u' u2 !1 u + v + w u'+ v' +w' u.v.w u '.v.w + u.v'.w + u.v.w' u v u'.v ! u.v' v 2 u v u' u v + v'.ln u ! " # $ % &u v 3.2. Développements en série de Taylor e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + ...+ x n !(x) 1 1! x = 1+ x + x 2 + x 3 + ...+ x n "(x) chx = 1 + x 2 2! + x 4 4! + ...+ x n !(x) 1 1+ x = 1 ! x + x 2 ! x 3 + ...+ x n "(x) shx = x + x 3 3! + x 5 5! + ...+ x n ! (x) 1+ x = 1+ x 2 ! 1 4 " 2! x2 + 1" 3 8 " 3! x3 ! 1" 3" 5 16 " 4! x4 + ...+ xn #(x) cos x = 1 ! x 2 2! + x 4 4! ! ...+ x n "(x) (1+ x) ! = 1 + !x + ! (! " 1) 2! x 2 + !(! " 1)(! " 2) 3! x 3 + ...+ x n # (x) sin x = x ! x 3 3! + x 5 5! ! ...+ x n "(x) tan x = x + x 3 3 + 2x 5 15 + 17x 7 315 + 62x 9 2835 + x 10 !(x) ln(1+ x) = x ! x 2 2 + x 3 3 ! ...+ x n " (x) Arctan x = x ! x 3 3 + x 5 5 ! x 7 7 + ...+ x n " (x)
  • 11. 11 3.3. Primitives f f! f f! x ! (! " #1) x! +1 ! + 1 + C lnx x lnx ! x + C 1 x lnx + C 1 x lnx ln ln x( ) + C e x e x + C a x ( a> 0) 1 lna a x + C e ax cosbx e ax a cosbx + bsinbx a 2 + b 2 + C e ax sinbx e ax !bcos bx + asinbx a 2 + b 2 + C 1 x2 + h ln x + x2 + h + C 1 a2 ! x2 Arc sin x a + C 1 x2 + a2 Arg sh x a + C ou bien 1 a2 ! x2 – Arc cos x a + C 1 x2 ! a2 Arg ch x a + C 1 x 2 + a 2 1 a Arc tan x a + C 1 x 2 ! a 2 1 2a ln x ! a x + a + C sin x ! cos x + C shx chx + C cos x sin x + C chx shx + C tan x ! ln cos x + C thx ln chx + C cotanx ln sin x + C coth x ln shx + C sin 2 x 1 2 x ! sinx cos x( ) + C sh 2 x 1 2 sh x ch x ! x( ) + C cos 2 x 1 2 x + sin x cos x( ) + C ch 2 x 1 2 sh x ch x + x( ) + C tan 2 x tan x ! x + C th 2 x x ! thx + C 1 sin x ln tan x 2 + C 1 sh x ln th x 2 + C 1 cos x ln tan x 2 + ! 4 " #$ % &' + C 1 ch x 2Arctan e x ( )+ C 1 sin 2 x ! cotanx + C 1 sh 2 x thx + C 1 cos 2 x tan x + C 1 ch 2 x ! coth x + C
  • 12. 12 3.4. Équations différentielles 1 linéaire, 1er ordre, sans second membre y'(x) + a(x)y(x) = 0 y(x) = K.e !A(x) , où A est une primitive de a 2 linéaire, 1er ordre, avec second membre y'(x) + a(x)y(x) = g(x) y(x) = K(x).e ! A(x) où A est une primitive de a K est une primitive de g(x).e A(x) " # $ 3 linéaire, 2nd ordre, coefficients constants, sans second membre ay"(x) + by'(x) + cy(x) = 0 y(x) = A.!1(x) + B.!2 (x) où : ! = b 2 " 4ac , r1 et r2 sont les racines du trinôme ar 2 + br + c , et si ! > 0 : r1 et r2 sont réelles, "1 (x) = e r1x ,"2 (x) = e r2x si ! = 0 : r1 = r2 , "1 (x) = e r1x ,"2 (x) = xe r1x si ! < 0 : r1 = # +i$, r2 =# - i$, "1(x) = cos $x.e # .x ,"2(x) = sin $x.e #.x % & ' '' ( ' ' ' 4 linéaire, 2nd ordre, coefficients constants, avec second membre ay"(x) + by'(x) + cy(x) = g(x) y(x) = A(x).!1 (x) + B(x).!2(x) où !1 et !2 sont obtenues comme en 3 W (x) = !1(x)!'2 (x) " !'1 (x)!2(x) # 0 (Wronskien de !1 et !2) A est une primitive de "g(x)!2 (x) W (x) B est une primitive de g(x)!1(x) W(x) $ % & & & & ' & & & & 5 type Bernoulli y'(x) + a(x)y(x) = g(x)y m (x) y(x) = z(x)1/(1!m) , où z est solution de l'éq. diff. de type 2 : 1 1! m z'(x) + a(x)z(x) = g(x) 6 type Ricatti y'(x) = a(x) + b(x)y (x) + c(x)y 2 (x) y(x) = y1 (x) + 1 z(x) , où y1 est une solution particulière de l' éq. diff. initiale z est une solution quelconque de l'éq. diff. : z' (x) + b(x) + 2y1(x)c(x)[ ].z(x) = !c(x) " # $ $$ % $ $ $ 7 type Euler-Cauchy ax 2 y"(x) + bxy' (x) + cy(x) = 0 Poser x = e t , l’éq. diff. devient du type 3 pour la variable t : a d 2 y dt 2 + (b ! 1) dy dt + cy = 0
  • 13. 13 4. Transformation de Laplace f(t) F(s) f(t) F(s) !0 0 1 1 !a a 1 e!as Y (t) 0 1 1 s Y (t ! a) ! Y (t ! b) a b 1 1 s e!as ! e!bs ( ) t.Y (t) 1 s2 t2 .Y (t) 2 s3 tn .Y (t) n! sn+1 e!at .Y (t) 1 s + a t.Y (t) ! 2s s t t.Y (t) 3 ! 4s2 s 1 t Y (t) ! s 1 t t Y (t) !2 "s cos!t.Y (t) s s2 + ! 2 sin!t.Y (t) ! s2 + ! 2 ch!t.Y (t) s s2 !" 2 sh!t.Y (t) ! s2 "! 2 e!at cos"t.Y (t) s + a (s + a)2 + ! 2 e!at sin"t.Y (t) ! (s + a)2 + ! 2 t.cos!t.Y (t) s2 !" 2 s2 + " 2 ( )2 t.sin!t.Y (t) 2s! s2 + ! 2 ( )2 t.ch!t.Y (t) s2 + ! 2 s2 "! 2 ( )2 t.sh!t.Y (t) 2s! s2 "! 2 ( )2 sin!t + !t.cos!t 2! Y (t) s2 s2 + ! 2 ( )2 sin!t "!t.cos!t 2! Y (t) 1 s2 + ! 2 ( )2 f (t ! ") e!s" F(s) e !at f (t) F(s + a) f (at) 1 a F s a ! " # $ % & f (u)du 0 t ! primitive de f qui s' annule en 0 ! " # $ % & F(s) s f '(t) s.F(s) ! f (0) f" (t) s2 .F(s) ! s.f (0) ! f ' (0) !f !t (x,t) s.F(x,s) ! f (x,0) ! 2 f !t 2 (x,t) s2 .F(x,s) ! s.f (x,0) ! "f "t (0) !f !x (x,t) !F !x (x,s) ! 2 f !x 2 (x,t) !2 F !x2 (x,s) motif fonction périodique fonction alternée T T 2T ... T 2T F0 (s) F0 (s) 1! e!sT F0 (s) 1+ e!sT
  • 14. 14 5. Systèmes de coordonnées & Opérateurs différentiels f représente une fonction scalaire et F une fonction vectorielle, c’est-à-dire : f (x, y) !R ! F(x, y) = Fx (x, y). ! ux + Fy (x, y). ! uy " # $ ou bien f (x, y, z) !R ! F(x, y, z) = Fx (x, y, z). ! ux + Fy (x, y, z). ! uy + Fz (x, y, z). ! uz " # $ 5.1. Coordonnées polaires M ! r O x y M O u ux y r! u u fig 1 fig 2 définition (fig 1) changement de base (fig 2) fonction vectorielle x = r. cos! y = r.sin! " # $ %$ avec r ≥ 0 et θ ∈ [0;2π[ ! ux = cos! . ! ur " sin! . ! u! ! uy = sin!. ! ur + cos!. ! u! # $ % &% Fx = cos! .Fr " sin! .F! Fy = sin!.Fr + cos!.F! # $ % &% dérivées premières !f !x = cos". !f !r # 1 r sin". !f !" !f !y = sin" . !f !r + 1 r cos". !f !" $ % & & ' & & dx.dy = r.dr.d! grad(f ) = !f !r . ! ur + 1 r !f !" . ! u" div( ! F ) = 1 r ! !r r.Fr( )+ 1 r !F" !" !f = 1 r ! !r r !f !r " # $ % & ' + 1 r 2 ! 2 f !( 2
  • 15. 15 5.2. Coordonnées cylindriques H M H x y z r ! M u uu u x y z ! fig 3 fig 4 O uz u r définition (fig 3) changement de base (fig 4) fonction vectorielle x = r. cos! y = r.sin! z = z " # $ $ % $ $ avec r ≥ 0 et θ ∈ [0;2π[ ! ux = cos! . ! ur " sin! . ! u! ! uy = sin!. ! ur + cos!. ! u! ! uz = ! uz # $ % % & % % Fx = cos! .Fr " sin! .F! Fy = sin!.Fr + cos!.F! Fz = Fz # $ % % & % % dérivées premières !f !x = cos" !f !r # 1 r sin" !f !" !f !y = sin" !f !r + 1 r cos" !f !" !f !z = !f !z $ % & & & & ' & & & & dx.dy.dz = r.dr.d!.dz grad(f ) = !f !r . ! ur + 1 r !f !" . ! u" + !f !z ! uz div( ! F ) = 1 r ! !r r.Fr( )+ 1 r !F" !" + !Fz !z rot( ! F) = 1 r !Fz ! " !F# !z $ % & ' ( ). ! ur + !Fr !z " !Fz !r $ % & ' ( ). ! u# + 1 r F# + !F# !r " 1 r !Fr !# $ % & ' ( ) * + , - . /. ! uz !f = 1 r ! !r r !f !r " # $ % & ' + 1 r 2 ! 2 f !( 2 + ! 2 f !z 2
  • 16. 16 5.3. Coordonnées sphériques M H x y z r ! " M u u u u u u x y z r ! "fig 5 fig 6 O définition (fig 5) changement de base (fig 6) fonction vectorielle x = rsin! cos" y = rsin! sin" z = r cos! # $ % % & % % avec r ≥ 0, θ ∈ [0;2π[ et ϕ ∈ [0;π] ! ux = cos! sin". ! ur + cos! cos". ! u" # sin!. ! u! ! uy = sin! sin". ! ur + sin! cos". ! u" + cos! . ! u! ! uz = cos". ! ur # sin". ! u" $ % & & ' & & Fx = cos! sin".Fr + cos! cos".F" # sin!.F! Fy = sin! sin".Fr + sin! cos".F" + cos!.F! Fz = cos".Fr # sin".F" $ % & & ' & & dérivées premières !f !x = cos" sin# !f !r + 1 r cos" cos# !f !# $ 1 rsin# sin" !f !" !f !y = sin" sin# !f !r + 1 r sin" cos# !f !# + 1 r sin# cos" !f !" !f !z = cos# !f !r $ 1 r sin# !f !# % & ' ' ' ' ( ' ' ' ' dx.dy.dz = r 2 sin!.dr.d".d! grad(f ) = !f !r . ! ur + 1 r !f !" . ! u" + 1 r sin" !f !# ! u# div( ! F) = 1 r ! !r r.Fr( )+ 1 r !F" !" + 1 rsin" !F# !# rot( ! F) = 1 r tan! F" + 1 r #F" #! $ 1 sin! #F! #" % & ' ( ) * + , - - . / 0 0 . ! ur + $1 r F" + 1 r sin! #Fr #" $ #F" #r % & ' ( ) * + , - - . / 0 0 . ! u! + 1 r F! + #F! #r $ 1 r #Fr #! % & ' ( ) * + , - - . / 0 0 . ! u" !f = 1 r 2 ! !r r 2 !f !r " # $ % & ' + 1 r 2 sin 2 ( ! !( sin 2 ( !f !( " # $ % & ' + 1 r 2 sin 2 ( ! 2 f !) 2