SlideShare une entreprise Scribd logo
Formulario A ➟ Integrales 277
Alfaomega
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
➠ 
Formulario A: Integrales
En este formulario: 
∈
a b p q C
, , , , son constantes reales, N
∈
m n
, son enteros positivos y =
u u x
( ) y
=
v v x
( ) son funciones que dependen x.
Fórmulas básicas
1.
∫ =
dx C
0
2.
∫ = +
k dx kx C
3. a u b v dx a udx b vdx C
∫ ∫
∫
( )
⋅ ± ⋅ = ± +
4. ∫ =
+
+ ∀ ≠ −
+
u du
u
n
C n
1
; 1
n
n 1
regla de la potencia
5. ∫ ∫
= −
u dv uv vdu integración por partes
6. ∫ = +
a du
a
a
C
ln( )
n
n
7. ∫ = +
du
u
u C
ln | |
8. ∫ = +
e dx e C
u u
Fórmulas trigonométricas
9. ∫ = − +
u du u C
sen( ) cos( )
10. ∫ = +
u du u C
cos( ) sen( )
11. u du
u C
u C
tan( )
ln sen( )
ln cos( )
∫
[ ]
[ ]
=
+
− +





12. ∫ [ ]
= +
u du u C
cot( ) ln sen( )
13. ∫ π
[ ]
=
+ +
+











 +







u du
u u C
u
C
sec( )
ln sec( ) tan( )
ln tan
2 4
14. ∫
[ ]
=
− +











 +







u du
u u C
u
C
csc( )
ln csc( ) cot( )
ln tan
2
15. ∫ = +
u du u C
sec ( ) tan( )
2
16. ∫ = − +
u du u C
csc ( ) cot( )
2
17. ∫ = − +
u du u u C
tan ( ) tan( )
2
18. ∫ = − − +
u du u u C
cot ( ) cot( )
2
19. ∫
[ ]
=
− +
− +







u du
u u
C
u u u C
sen ( )
2
sen(2 )
4
1
2
sen( )cos( )
2
20. ∫
[ ]
=
+ +
+ +







u du
u u
C
u u u C
cos ( )
2
sen(2 )
4
1
2
sen( )cos( )
2
21. ∫ = +
u u du u C
sec( )tan( ) sec( )
22. ∫ = − +
u u du c C
csc( )cot( ) csc( )
Fórmulas trigonométricas hiperbólicas
23. ∫ = +
u du u C
senh( ) cosh( )
24. ∫ = +
u du u C
cosh( ) senh( )
25. ∫ [ ]
= +
u du u C
tanh( ) ln cosh( )
26. ∫ [ ]
= +
u du u C
coth( ) ln senh( )
27. ∫ ( )
[ ]
=
+
+





−
−
u du
u C
e C
sech( )
sen tanh( )
2tanh u
1
1
28. ∫
( )
=











 +
− +







−
u du
u
C
e C
csch( )
ln tanh
2
2coth u
1
29. ∫ = +
u du u C
sech ( ) tanh( )
2
30. ∫ = − +
u du u C
csch ( ) coth( )
2
31. ∫ = − +
u du u u C
tanh ( ) tanh( )
2
32. ∫ = − +
u du u u C
coth ( ) coth( )
2
33. ∫
[ ]
=
− +
− +







u du
u u
C
u u u C
senh ( )
senh(2 )
4 2
1
2
senh( )cosh( )
2
34. ∫
[ ]
=
+ +
+ +







u du
u u
C
u u u C
cosh ( )
senh(2 )
4 2
1
2
senh( )cosh( )
2
35. ∫ = − +
u u du u C
sech( )tanh( ) sech( )
36. ∫ = − +
u u du u C
csch( )coth( ) csch( )
Formulario A ➟ Integrales
Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
278
Fórmulas con
56. ∫ +
=
+
+
du
au b
au b
a
C
2
57. ∫ +
=
−
+ +
u
au b
du
au b
a
au b C
2( 2 )
3 2
58. ∫ +
=
− +
+ +
u
au b
du
a u abu b
a
au b C
2(3 4 8 )
15
2 2 2 2
3
59. ∫ +
=
+ −
+ +





 +
−
+
−
+







−
du
u au b
b
au b b
au b b
C
b
au b
b
C
1
ln
2
tan 1
60. ∫ ∫
+
= −
+
−
+
du
u au b
au b
bu
a
b
du
u au b
2
2
61. ∫ + =
+
+
au b du
au b
a
C
2 ( )
3
3
62. ∫ + =
−
+ +
u au b du
au b
a
au b C
2(3 2 )
15
( )
2
3
63. ∫ + =
− +
+ +
u au b du
a u abu b
a
au b C
2(15 12 8 )
105
( )
2
2 2 2
3
3
64. ∫ ∫
+
= + +
+
au b
u
du au b b
du
u au b
2
65. ∫ ∫
+
= −
+
+
+
au b
u
du
au b
u
a du
u au b
2
2
66. ∫ ∫
+
=
+
+
−
+ +
−
u
au b
du
u au b
m a
mb
m a
u
au b
du
2
(2 1)
2
(2 1)
m m m 1
67. ∫
∫ +
= −
+
−
−
−
− +
− −
du
u au b
au b
m bu
m a
m b
du
u au b
( 1)
(2 3)
(2 2)
m m m
1 1
68. ∫
∫ + =
+
+ −
+
+
−
u au b du
u
m a
au b
mb
m a
u au bdu
2
(2 3)
( )
2
(2 3)
m
m
m
3
2 1
69. ∫
∫
+
= −
+
−
+
− +
− −
au b
u
du
au b
m u
a
m
du
u au b
( 1) 2( 1)
m m m
1 1
70. ∫
∫
+
= −
+
−
−
−
−
+
− −
au b
u
du
au b
m bu
m a
m b
au b
u
du
( )
( 1)
(2 5)
(2 2)
m m m
3
2
1 1
71. ∫ + =
+
+
+
+
au b du
au b
a m
C
( )
2( )
( 2)
m
m
2
2
2
72. ∫ + =
+
+
−
+
+
+
+ +
u au b du
au b
a m
b au b
a m
C
( )
2( )
( 4)
2 ( )
( 2)
m
m m
2
4
2
2
2
2
2
73.	
∫ + =
+
+
−
+
+
+
+
+
+
+ + +
u au b du
au b
a m
b au b
a m
b au b
a m
C
( )
2( )
( 6)
4 ( )
( 4)
2 ( )
( 2)
m
m m m
2 2
6
2
3
4
2
3
2
2
2
3
∫ + =
+
+
−
+
+
+
+
+
+
+ + +
u au b du
au b
a m
b au b
a m
b au b
a m
C
( )
2( )
( 6)
4 ( )
( 4)
2 ( )
( 2)
m
m m m
2 2
6
2
3
4
2
3
2
2
2
3
Fórmulas con
37. ∫ ( )
+
= + +
du
au b a
au b C
1
ln
38. ∫ ( )
+
= − + +
u
au b
du
u
a
b
a
au b C
ln
2
39. ∫ ( )
+
=
+
−
+
+ + +
u
au b
du
au b
a
b au b
a
b
a
au b C
( )
2
2 ( )
ln
2 2
3 3
2
3
40.	
∫ +
=
+
−
+
+
+
− + +
u
au b
du
au b
a
b au b
a
b au b
a
b
a
au b C
( )
3
3 ( )
2
3 ( )
ln( )
3 3
4
2
4
2
4
3
4
−
+
+
+
− + +
b au b
a
b au b
a
b
a
au b C
3 ( )
2
3 ( )
ln( )
3 2
4
2
4
3
4
41. ∫ +
=
+





 +
du
u au b b
u
au b
C
( )
1
ln
42. ∫ +
= − +
+





 +
du
u au b bu
a
b
au b
u
C
( )
1
ln
2 2
43. ∫ +
= −
+
+
du
au b a au b
C
( )
1
( )
2
44. ∫ +
=
+
+ + +
u
au b
du
b
a au b a
au b C
( ) ( )
1
ln( )
2 2 2
45. ∫ +
=
+
−
+
− + +
u
au b
du
au b
a
b
a au b
b
a
au b C
( ) ( )
2
ln( )
2
2 3
2
3 3
46. ∫ +
=
+
+
+





 +
du
u au b b au b b
u
au b
C
( )
1
( )
1
ln
2 2
47. ∫ +
= −
+
− +
+





 +
du
u au b
a
b au b b u
a
b
au b
u
C
( ) ( )
1 2
ln
2 2 2 2 3
48. ∫ +
= −
+
+
du
au b au b
C
( )
1
2( )
3 2
49. ∫ +
= −
+
+
+
+
u
au b
du
a au b
b
a au b
C
( )
1
( ) 2 ( )
3 2 2 2
50. ∫ +
=
+
−
+
+ + +
u
au b
du
b
a au b
b
a au b a
au b C
( )
2
( ) 2 ( )
1
ln( )
2
3 3
2
3 2 3
51. ∫ + =
+
+
au b du
au b
a
C
( )
( )
2
2
52. ∫ + =
+
+
+ ∀ ≠ −
+
au b du
au b
n a
C n
( )
( )
( 1)
1
n
n 1
53. ∫ + =
+
+
−
+
+
∀ ≠ − −
+ +
u au b du
au b
n a
b au b
n a
n
( )
( )
( 2)
( )
( 1)
1, 2
n
n n
2
2
1
2
54.	
∫ + =
+
+
−
+
+
+
+
+
+ ∀ ≠ − − −
+ + +
u au b du
au b
n a
b au b
n a
b au b
n a
C n
( )
( )
( 3)
2 ( )
( 2)
( )
( 1)
1, 2, 3
n
n n n
2
3
3
2
3
2 1
3
=
+
+
−
+
+
+
+
+
+ ∀ ≠ − − −
+ + +
du
au b
n a
b au b
n a
b au b
n a
C n
( )
( 3)
2 ( )
( 2)
( )
( 1)
1, 2, 3
n n n
3
3
2
3
2 1
3
55. ∫
∫
∫
∫ + =
+
+ +
+
+ +
+
+
+ +
−
+ +
+
−
+
+
+
+ +
+
+











+
−
+
−
+ +
+
u au b du
u au b
m n
nb
m n
u au b du
u au b
m n a
mb
m n a
u au b du
u au b
n b
m n
n b
u au b du
( )
( )
1 1
( )
( )
( 1) ( 1)
( )
( )
( 1)
2
( 1)
( )
m n
m n
m n
m n
m n
m n
m n
1
1
1
1
1 1
1
Formulario A ➟ Integrales 279
Alfaomega
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
74. ∫ ∫
+
=
+
+
+
−
au b
u
du
au b
m
b
au b
u
du
( ) 2( ) ( )
m m m
2 2
2
2
75. ∫ ∫
+
= −
+
+
+
+
au b
u
du
au b
bu
am
b
au b
u
du
( ) ( )
2
( )
m m m
2
2
2
2 2
76. ∫
∫
+
=
− +
+
+
− −
du
u au b b m au b
b
du
u au b
( )
2
( 2)( )
1
( )
m m m
2
2
2
2
2
Fórmulas con
77. ∫ +
=





 +
−
du
u a a
u
a
C
1
tan
2 2
1
78. ∫ ( )
+
= + +
u
u a
du u a C
1
2
ln
2 2
2 2
79. ∫ +
= −





 +
−
u
u a
du u a
u
a
C
tan
2
2 2
1
80. ∫ ( )
+
= − + +
u
u a
du
u a
u a C
2 2
ln
3
2 2
2 2
2 2
81. ∫ +
=
+





 +
du
u u a a
u
u a
C
( )
1
2
ln
2 2 2
2
2 2
82. ∫ +
= − −





 +
−
du
u u a a u a
u
a
C
( )
1 1
tan
2 2 2 2 3
1
83. ∫ +
= − −
+





 +
du
u u a a u a
u
u a
C
( )
1
2
1
2
ln
3 2 2 2 2 4
2
2 2
84. ∫
( )
+
=
+
+





 +
−
du
u a
u
a u a a
u
a
C
2 ( )
1
2
tan
2 2 2 2 2 2 3
1
85. ∫
( )
+
= −
+
+
u
u a
du
u a
C
1
2( )
2 2 2 2 2
86. ∫
( )
+
= −
+
+





 +
−
u
u a
du
u
u a a
u
a
C
2( )
1
2
tan
2
2 2 2 2 2
1
87. ∫
( )
+
=
+
+ + +
u
u a
du
a
u a
u a C
2( )
1
2
ln( )
3
2 2 2
2
2 2
2 2
88. ∫
( )
+
=
+
+
+





 +
du
u u a a u a a
u
u a
C
1
2 ( )
1
2
2 2 2 2 2 2 4
2
2 2
89. ∫
( )
+
= − −
+
−





 +
−
du
u u a a u
u
a u a a
u
a
C
1
2 ( )
3
2
tan
2 2 2 2 4 4 2 2 5
1
90. ∫
( )
+
= − −
+
−
+





 +
du
u u a a u a u a a
u
u a
C
1
2
1
2 ( )
1
ln
3 2 2 2 4 2 4 2 2 6
2
2 2
91. ∫
∫
( ) ( )
+
= −
− +
+
−
− +
− −
du
u a
u
a n u a
n
n a
du
u a
2 ( 1)( )
2 3
(2 2)
n n n
2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
92. ∫
( )
+
= −
− +
+
−
u
u a
du
n u a
C
1
2( 1)( )
n n
2 2 2 2 1
93. ∫
∫
( )
+
=
− +
+
+
− −
du
u u a a n u a a
du
u u a
1
2 ( 1)( )
1
( )
n n n
2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
94. ∫
∫
∫
( ) ( )
+
=
+
−
+
−
−
−
u
u a
du
u
u a
du a
u
u a
du
( )
m
n
m
n
m
n
2 2
2
2 2 1
2
2
2 2
95. ∫
∫
∫
( ) ( ) ( )
+
=
+
−
+
− −
du
u u a a
du
u u a a
du
u u a
1 1
m n m n m n
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
Fórmulas con
96. ∫ −
=
−
+





 +
−





 +







−
du
u a
a
u a
u a
C
a
u
a
C
1
2
ln
1
coth
2 2
1
97. ∫ −
= − +
u
u a
du u a C
1
2
ln( )
2 2
2 2
98. ∫ −
= +
−
+





 +
u
u a
du u
a u a
u a
C
2
ln
2
2 2
99. ∫ −
= + − +
u
u a
du
u a
u a C
2 2
ln( )
3
2 2
2 2
2 2
100. ∫ −
=
−





 +
du
u u a a
u a
u
C
( )
1
2
ln
2 2 2
2 2
2
101. ∫ −
= +
−
+





 +
du
u u a a u a
u a
u a
C
( )
1 1
2
ln
2 2 2 2 3
102. ∫ −
= −
−





 +
du
u u a a u a
u
u a
C
( )
1
2
1
2
ln
3 2 2 2 2 4
2
2 2
103. ∫
( )
−
= −
−
−
−
+





 +
du
u a
u
a u a a
u a
u a
C
2 ( )
1
4
ln
2 2 2 2 2 2 3
104. ∫ −
= −
−
+
u
u a
du
u a
C
( )
1
2( )
2 2 2 2 2
105. ∫
( ) ( )
−
= −
−
+
−
+





 +
u
u a
du
u
u a a
u a
u a
C
2
1
4
ln
2
2 2 2 2 2
106. ∫
( ) ( )
( )
−
= −
−
+ − +
u
u a
du
a
u a
u a C
2
1
2
ln
3
2 2 2 2 2
2 2
107. ∫
( ) ( )
−
= −
−
+
−





 +
du
u u a a u a a
u
u a
C
1
2
1
2
ln
2 2 2 2 2 2 4
2
2 2
108. ∫
( ) ( )
−
= − −
−
−
−
+





 +
du
u u a a u
u
a u a a
u a
u a
C
1
2
3
4
ln
2 2 2 2 4 4 2 2 5
109. ∫
( ) ( )
−
= − −
−
+
−





 +
du
u u a a u a u a a
u
u a
C
1
2
1
2
1
ln
3 2 2 2 4 2 4 2 2 6
2
2 2
110. ∫ ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )
−
= −
− −
−
−
− −
− −
du
u a
u
a n u a
n
n a
du
u a
2 1
2 3
2 2
n n n
2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
Formulario A ➟ Integrales
Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
280
111. ∫
( ) ( )
( )
−
= −
− −
+
−
u
u a
du
n u a
C
1
2 1
n n
2 2 2 2 1
112. ∫
∫
( ) ( ) ( )
( )
−
= −
− −
−
−
− −
du
u u a a n u a a
du
u u a
1
2 1
1
n n n
2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
113. ∫
∫
∫
( ) ( ) ( )
−
=
−
+
−
−
−
−
u
u a
du
u
u a
du a
u
u a
du
m
n
m
n
m
n
2 2
2
2 2 1
2
2
2 2
114. ∫
∫
∫
( ) ( ) ( )
−
=
−
+
−
− −
du
u u a a
du
u u a a
du
u u a
1 1
m n m n m n
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
Fórmulas con
115. ∫ −
=
+
−





 +





 +







−
du
a u
a
a u
a u
C
a
u
a
C
1
2
ln
1
tanh
2 2
1
116. ∫ ( )
−
= − − +
u
a u
du a u C
1
2
ln
2 2
2 2
117. ∫ −
= − +
+
−





 +
u
a u
du u
a a u
a u
C
2
ln
2
2 2
118. ∫ ( )
−
= − − − +
u
a u
du
u a
a u C
2 2
ln
3
2 2
2 2
2 2
119. ∫ ( )
−
=
−





 +
du
u a u a
u
a u
C
1
2
ln
2 2 2
2
2 2
120. ∫ ( )
−
= +
+
−





 +
du
u a u a u a
a u
a u
C
1 1
2
ln
2 2 2 2 3
121. ∫ ( )
−
= − +
−





 +
du
u a u a u a
u
a u
C
1
2
1
2
ln
3 2 2 2 2 4
2
2 2
122. ∫
( ) ( )
−
=
−
+
+
−





 +
du
a u
u
a a u a
a u
a u
C
2
1
4
ln
2 2 2 2 2 2 3
123. ∫
( ) ( )
−
=
−
+
u
a u
du
a u
C
1
2
2 2 2 2 2
124. ∫
( ) ( )
−
=
−
−
+
−





 +
u
a u
du
u
a u a
a u
a u
C
2
1
4
ln
2
2 2 2 2 2
125. ∫
( ) ( )
( )
−
=
−
+ − +
u
a u
du
a
a u
a u C
2
1
2
ln
3
2 2 2
2
2 2
2 2
126. ∫
( ) ( )
−
=
−
+
−





 +
du
u a u a a u a
u
a u
C
1
2
1
2
ln
2 2 2 2 2 2 4
2
2 2
127. ∫
( ) ( )
−
= − +
−
+
+
−





 +
du
u a u a u
u
a a u a
a u
a u
C
1
2
3
4
ln
2 2 2 2 4 4 2 2 5
128. ∫
( ) ( )
−
= − +
−
+
−





 +
du
u a u a u a a u a
u
a u
C
1
2
1
2
1
ln
3 2 2 2 4 2 4 2 2 6
2
2 2
129. ∫
∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )
−
=
− −
+
−
− −
− −
du
a u
u
a n a u
n
n a
du
a u
2 1
2 3
2 2
n n n
2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
130. ∫
( ) ( )
( )
−
=
− −
+
−
u
a u
du
a n a u
C
1
2 1
n n
2 2 2 2 2 1
Fórmulas con
131. ∫ ( )
+ =
+
+ + + +
u a du
u u a a
u u a C
2 2
ln
2 2
2 2 2
2 2
132. ∫
( )
+ =
+
+
u u a du
u a
C
3
2 2
2 2
3
2
133.	∫ ( )
( )
+ =
+
−
+
− + + +
u u a du
u u a a u u a a
u u a C
4 8 8
ln
2 2 2
2 2
3
2 2 2 2 4
2 2
∫ ( )
( )
+ =
+
−
+
− + + +
u u a du
u u a a u u a a
u u a C
4 8 8
ln
2 2 2
2 2
3
2 2 2 2 4
2 2
134. ∫
( ) ( )
+ =
+
−
+
+
u u a du
u a a u a
C
5 3
3 2 2
2 2
5
2 2 2 2
3
2
135. ∫
( )
+
=
+ + +





 +







−
du
u a
u u a C
u
a
C
ln
senh
2 2
2 2
1
136. ∫ +
= + +
u
u a
du u a C
2 2
2 2
137. ∫ ( )
+
=
+
− + + +
u
u a
du
u u a a
u u a C
2 2
ln
2
2 2
2 2 2
2 2
138. ∫
( )
+
=
+
− + +
u
u a
du
u a
a u a C
3
3
2 2
2 2
3
2
2 2 2
139. ∫ +
= −
+ +





 +
du
u u a a
a u a
u
C
1
ln
2 2
2 2
140. ∫ +
= −
+
+
du
u u a
u a
a u
C
2 2 2
2 2
2
141. ∫ +
= −
+
+
+ +





 +
du
u u a
u a
a u a
a u a
u
C
2
1
2
ln
3 2 2
2 2
2 2 3
2 2
142. ∫
+
= + −
+ +





 +
u a
u
du u a a
a u a
u
C
ln
2 2
2 2
2 2
143. ∫ ( )
+
= −
+
+ + + +
u a
u
du
u a
u
u u a C
ln
2 2
2
2 2
2 2
Formulario A ➟ Integrales 281
Alfaomega
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
144. ∫
+
= −
+
−
+ +





 +
u a
u
du
u a
u a
a u a
u
C
2
1
2
ln
2 2
3
2 2
2
2 2
145. ∫
( )
+
=
+
+
du
u a
u
a u a
C
2 2
3
2
2 2 2
146. ∫
( )
+
= −
+
+
u
u a
du
u a
C
1
2 2
3
2
2 2
147. ∫ ( )
( )
+
= −
+
+ + + +
u
u a
du
u
u a
u u a C
ln
2
2 2
3
2
2 2
2 2
148. ∫
( )
+
= + +
+
+
u
u a
du u a
a
u a
C
3
2 2
3
2
2 2
2
2 2
149. ∫
( )
+
=
+
−
+ +





 +
du
u u a a u a a
a u a
u
C
1 1
ln
2 2
3
2
2 2 2 3
2 2
150. ∫
( )
+
= −
+
−
+
+
du
u u a
u a
a u
u
a u a
C
2 2 2
3
2
2 2
4 4 2 2
151.	∫
( )
+
= −
+
−
+
+
+ +





 +
du
u u a a u u a a u a a
a u a
u
C
1
2
3
2
3
2
ln
3 2 2
3
2
2 2 2 2 4 2 2 5
2 2
+
−
+
+
+ +





 +
u u a a u a a
a u a
u
C
1 3
2
3
2
ln
2 2 2 4 2 2 5
2 2
152.	∫ ( )
( )
( )
+ =
+
+
+
+ + + +
u a du
u u a a u u a
a u u a C
4
3
8
3
8
ln
2 2
3
2
2 2
3
2 2 2 2
4 2 2
( )
( )
+
+
+
+ + + +
u a a u u a
a u u a C
4
3
8
3
8
ln
2 2
3
2 2 2 2
4 2 2
153. ∫ ( )
( )
+ =
+
+
u u a du
u a
C
5
2 2
3
2
2 2
5
2
154.	∫ ( )
( )
( ) ( )
+ =
+
−
+
−
+
− + + +
u u a du
u u a a u u a a u u a a
u u a C
6 24 16 16
ln
2 2 2
3
2
2 2
5
2 2 2 2
3
2 4 2 2 6
2 2
( )
( )
−
+
−
+
− + + +
a u u a a u u a a
u u a C
24 16 16
ln
5
2 2 2 2
3
2 4 2 2 6
2 2
155. ∫
( ) ( )
+
=
+
+ + −
+ +





 +
u a
u
du
u a
a u a a
a u a
u
C
3
ln
2 2
3
2 2 2
3
2
2 2 2 3
2 2
156.	
∫ ( )
( ) ( )
+
= −
+
+
+
+ + + +
u a
u
du
u a
u
u u a
a u u a C
3
2
3
2
ln
2 2
3
2
2
2 2
3
2 2 2
2 2 2
( )
( )
−
+
+
+
+ + + +
u a
u
u u a
a u u a C
3
2
3
2
ln
2 2
3
2 2 2
2 2 2
157.	∫
( ) ( )
+
= −
+
+ + −
+ +





 +
u a
u
du
u a
u
u a a
a u a
u
C
2
3
2
3
2
ln
2 2
3
2
3
2 2
3
2
2
2 2
2 2
∫
( ) ( )
+
= −
+
+ + −
+ +





 +
u a
u
du
u a
u
u a a
a u a
u
C
2
3
2
3
2
ln
2 2
3
2
3
2 2
3
2
2
2 2
2 2
Fórmulas con
158. ∫ ( )
−
= + − +
du
u a
u u a C
ln
2 2
2 2
159. ∫ −
= − +
u
u a
du u a C
2 2
2 2
160. ∫ ( )
−
=
−
+ + − +
u
u a
du
u u a a
u u a C
2 2
ln
2
2 2
2 2 2
2 2
161. ∫
( )
−
=
−
+ − +
u
u a
du
u a
a u a C
3
3
2 2
2 2
3
2
2 2 2
162. ∫ −
=





 +
−
du
u u a a
u
a
C
1
sec
2 2
1
163. ∫ −
=
−
+
du
u u a
u a
a u
C
2 2 2
2 2
2
164. ∫ −
=
−
+





 +
−
du
u u a
u a
a u a
u
a
C
2
1
2
sec
3 2 2
2 2
2 2 3
1
165. ∫ ( )
− =
−
− + − +
u a du
u u a a
u u a C
2 2
ln
2 2
2 2 2
2 2
166. ∫
( )
− =
−
+
u u a du
u a
C
3
2 2
2 2
3
2
167.	∫ ( )
( )
− =
−
+
−
− + − +
u u a du
u u a a u u a a
u u a C
4 8 8
ln
2 2 2
2 2
3
2 2 2 2 4
2 2
∫ ( )
( )
− =
−
+
−
− + − +
u u a du
u u a a u u a a
u u a C
4 8 8
ln
2 2 2
2 2
3
2 2 2 2 4
2 2
168. ∫
( ) ( )
− =
−
+
−
+
u u a du
u a a u a
C
5 3
3 2 2
2 2
5
2 2 2
3
2
169. ∫
−
= − −





 +
−
u a
u
du u a a
u
a
C
sec
2 2
2 2 1
170. ∫ ( )
−
= −
−
+ + − +
u a
u
du
u a
u
u u a C
ln
2 2
2
2 2
2 2
171. ∫
−
= −
−
+





 +
−
u a
u
du
u a
u a
u
a
C
2
1
2
sec
2 2
3
2 2
2
1
172. ∫
( )
−
= −
−
+
du
u a
u
a u a
C
2 2
3
2
2 2 2
Formulario A ➟ Integrales
Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
282
173. ∫
( )
−
= −
−
+
u
u a
du
u a
C
1
2 2
3
2
2 2
174. ∫ ( )
( )
−
= −
−
+ + − +
u
u a
du
u
u a
u u a C
ln
2
2 2
3
2
2 2
2 2
175. ∫
( )
−
= − −
−
+
u
u a
du u a
a
u a
C
3
2 2
3
2
2 2
2
2 2
176. ∫
( )
−
= −
−
−





 +
−
du
u u a a u a a
u
a
C
1 1
sec
2 2
3
2
2 2 2 3
1
177. ∫
( )
−
= −
−
−
−
+
du
u u a
u a
a u
u
a u a
C
2 2 2
3
2
2 2
4 4 2 2
178. ∫
( )
−
=
−
−
−
−





 +
−
du
u u a a u u a a u a a
u
a
C
1
2
3
2
3
2
sec
3 2 2
3
2
2 2 2 2 4 2 2 5
1
179.	∫ ( )
( )
− = − −





 − − + − +
u a du u u a u a a u u a C
2
1
8
5
16
3
8
ln
2 2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
( )
= − −





 − − + − +
u u a u a a u u a C
2
1
8
5
16
3
8
ln
2 2 2 2 4 2 2
180. ∫ ( )
( )
− =
−
+
u u a du
u a
C
5
2 2
3
2
2 2
5
2
181.	∫ ( )
( )
( ) ( )
− =
−
+
−
−
−
+ + − +
u u a du
u u a a u u a a u u a a
u u a C
6 24 16 16
ln
2 2 2
3
2
2 2
5
2 2 2 2
3
2 4 2 2 6
2 2
( )
( )
+
−
−
−
+ + − +
a u u a a u u a a
u u a C
24 16 16
ln
5
2 2 2 2
3
2 4 2 2 6
2 2
182. ∫ ( )
( ) ( )
− =
−
+
−
+
u u a du
u a a u a
C
7 5
3 2 2
3
2
2 2
7
2 2 2 2
5
2
183. ∫
( ) ( )
−
=
−
− − +





 +
−
u a
u
du
u a
a u a a
u
a
C
3
sec
2 2
3
2 2 2
3
2
2 2 2 3 1
184.	∫ ( )
( ) ( )
−
= −
−
+
−
− + − +
u a
u
du
u a
u
u u a
a u u a C
3
2
3
2
ln
2 2
3
2
2
2 2
3
2 2 2
2 2 2
( )
( )
= −
−
+
−
− + − +
u a
u
u u a
a u u a C
3
2
3
2
ln
2 2
3
2 2 2
2 2 2
185. ∫
( ) ( )
−
= −
−
+
−
−





 +
−
u a
u
du
u a
u
u a
a
u
a
C
2
3
2
3
2
sec
2 2
3
2
3
2 2
3
2
2
2 2
1
Fórmulas con
186. ∫ −
=





 +
−
du
a u
u
a
C
sen
2 2
1
187. ∫ −
= − − +
u
a u
du a u C
2 2
2 2
188. ∫ −
= −
−
+





 +
−
u
a u
du
u a u a u
a
C
2 2
sen
2
2 2
2 2 2
1
189. ∫
( )
−
=
−
− − +
u
a u
du
a u
a a u C
3
3
2 2
2 2
3
2
2 2 2
190. ∫ −
= −
+ −





 +
du
u a u a
a a u
u
C
1
ln
2 2
2 2
191. ∫ −
= −
−
+
du
u a u
a u
a u
C
2 2 2
2 2
2
192. ∫ −
= −
−
−
+ −





 +
du
u a u
a u
a u a
a a u
u
C
2
1
2
ln
3 2 2
2 2
2 2 3
2 2
193. ∫ − =
−
+





 +
−
a u du
u a u a u
a
C
2 2
sen
2 2
2 2 2
1
194. ∫
( )
− = −
−
+
u a u du
a u
C
3
2 2
2 2
3
2
195. ∫
( )
− = −
−
+
−
+





 +
−
u a u du
u a u a u a u a u
a
C
4 8 8
sen
2 2 2
2 2
3
2 2 2 2 4
1
196. ∫
( ) ( )
− =
−
−
−
+
u a u du
a u a a u
C
5 3
3 2 2
2 2
5
2 2 2 2
3
2
197. ∫
−
= − −
+ −





 +
a u
u
du a u a
a a u
u
C
ln
2 2
2 2
2 2
198. ∫
−
= −
−
−





 +
−
a u
u
du
a u
u
u
a
C
sen
2 2
2
2 2
1
199. ∫
−
= −
−
+
+ −





 +
a u
u
du
a u
u a
a a u
u
C
2
1
2
ln
2 2
3
2 2
2
2 2
200. ∫
( )
−
=
−
+
du
a u
u
a a u
C
2 2
3
2
2 2 2
201. ∫
( )
−
=
−
+
u
a u
du
a u
C
1
2 2
3
2
2 2
202. ∫
( )
−
=
−
−





 +
−
u
a u
du
u
a u
u
a
C
sen
2
2 2
3
2
2 2
1
203. ∫
( )
−
= − +
−
+
u
a u
du a u
a
a u
C
3
2 2
3
2
2 2
2
2 2
204. ∫
( )
−
=
−
−
+ −





 +
du
u a u a a u a
a a u
u
C
1 1
ln
2 2
3
2
2 2 2 3
2 2
205. ∫
( )
−
= −
−
+
−
+
du
u a u
a u
a u
u
a a u
C
2 2 2
3
2
2 2
4 4 2 2
Formulario A ➟ Integrales 283
Alfaomega
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
206.	∫
( )
−
= −
−
+
−
−
+ −





 +
du
u a u a u a u a a u a
a a u
u
C
1
2
3
2
3
2
ln
3 2 2
3
2
2 2 2 2 4 2 2 5
2 2
−
+
−
−
+ −





 +
a u a u a a u a
a a u
u
C
1 3
2
3
2
ln
2 2 2 2 4 2 2 5
2 2
207. ∫( )
( )
− =
−
+
−
+





 +
a u du
u a u a u a u
a
u
a
C
4
3
8
3
8
sen
2 2
3
2
2 2
3
2 2 2 2
4
208. ∫ ( )
( )
− = −
−
+
u a u du
a u
C
5
2 2
3
2
2 2
5
2
209. ∫ ( )
( ) ( )
− = −
−
+
−
+
−
+





 +
−
u a u du
u a u a u a u a u a u a u
a
C
6 24 16 16
sen
2 2 2
3
2
2 2
5
2 2 2 2
3
2 4 2 2 6
1
( ) ( )
= −
−
+
−
+
−
+





 +
−
u a u a u a u a u a u a u
a
C
6 24 16 16
sen
2 2
5
2 2 2 2
3
2 4 2 2 6
1
210. ∫ ( )
( ) ( )
− =
−
−
−
+
u a u du
a u a a u
C
7 5
3 2 2
3
2
2 2
7
2 2 2 2
5
2
211. ∫
( ) ( )
−
=
−
+ − −
+ −





 +
a u
u
du
a u
a a u a
a a u
u
C
3
ln
2 2
3
2 2 2
3
2
2 2 2 3
2 2
( )
=
−
+ − −
+ −





 +
du
a u
a a u a
a a u
u
C
3
ln
3
2 2 2
3
2
2 2 2 3
2 2
212. ∫
( ) ( )
−
= −
−
−
−
+





 +
a u
u
du
a u
u
u a u
a
u
a
C
3
2
3
2
sen
2 2
3
2
2
2 2
3
2 2 2
2
213.	∫
( ) ( )
−
= −
−
−
−
+
+ −





 +
a u
u
du
a u
u
a u
a
a a u
u
C
2
3
2
3
2
ln
2 2
3
2
3
2 2
3
2
2
2 2 2 2
( )
= −
−
−
−
+
+ −





 +
du
a u
u
a u
a
a a u
u
C
2
3
2
3
2
ln
2 2
3
2
2
2 2 2 2
Fórmulas con
214. ∫ + +
=
−
+
−





 +
−
+ − −
+ + −





 +









−
du
au bu c
ac b
au b
ac b
C
b ac
au b b ac
au b b ac
C
2
4
tan
2
4
1
4
ln
2 4
2 4
2
2
1
2
2
2
2
215. ∫
∫ ( )
+ +
= + + −
+ +
u
au bu c
du
a
au bu c
b
a
du
au bu c
1
2
ln
2
2
2
2
216.	 ∫
∫ ( )
+ +
= − + + +
−
+ +
u
au bu c
du
u
a
b
a
au bu c
b ac
a
du
au bu c
2
ln
2
2
2
2 2
2
2
2 2
∫
( )
− + + +
−
+ +
b
a
au bu c
b ac
a
du
au bu c
2
ln
2
2
2
2
2
2 2
217. ∫
∫ ( )
+ +
=
+ +





 −
+ +
du
u au bu c c
u
au bu c
b
c
du
au bu c
1
2
ln
2
2
2
2 2
218.	∫ ∫
( )
+ +
=
+ +





 − +
−
+ +
du
u au bu c
b
c
au bu c
u cu
b ac
c
du
au bu c
2
ln
1 2
2
2 2 2
2
2
2
2 2
∫ ∫
( )
+ +
=
+ +





 − +
−
+ +
du
u au bu c
b
c
au bu c
u cu
b ac
c
du
au bu c
2
ln
1 2
2
2 2 2
2
2
2
2 2
219.	 ∫
∫
( ) ( )( )
+ +
=
+
− + +
+
− + +
du
au bu c
au b
ac b au bu c
a
ac b
du
au bu c
2
4
2
4
2 2 2 2 2 2
∫
∫
( ) ( )( )
+ +
=
+
− + +
+
− + +
du
au bu c
au b
ac b au bu c
a
ac b
du
au bu c
2
4
2
4
2 2 2 2 2 2
220.	 ∫
∫
( ) ( )( )
+ +
= −
+
− + +
−
− + +
u
au bu c
du
bu c
ac b au bu c
b
ac b
du
au bu c
2
4 4
2 2 2 2 2 2
∫
∫
( ) ( )( )
+ +
= −
+
− + +
−
− + +
u
au bu c
du
bu c
ac b au bu c
b
ac b
du
au bu c
2
4 4
2 2 2 2 2 2
221.

∫
∫
( )
( )
( )( )
+ +
=
− +
+ + +
+
− + +
u
au bu c
du
b ac u bc
a ac b au bu c
c
ac b
du
au bu c
2
4
2
4
2
2 2
2
2 2 2 2
∫
∫
( )
( )
( )( )
+ +
=
− +
+ + +
+
− + +
u
au bu c
du
b ac u bc
a ac b au bu c
c
ac b
du
au bu c
2
4
2
4
2
2 2
2
2 2 2 2
222.
 ∫
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
=
+ +
−
+ +
+
+ +
du
u au bu c c au bu c
b
c
du
au bu c c
du
u au bu c
1
2 2
1
2 2 2 2 2 2
∫
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
=
+ +
−
+ +
+
+ +
du
u au bu c c au bu c
b
c
du
au bu c c
du
u au bu c
1
2 2
1
2 2 2 2 2 2
223.  ∫
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
= −
+ +
−
+ +
−
+ +
du
u au bu c cu au bu c
a
c
du
au bu c
b
c
du
u au bu c
1 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2
∫
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
= −
+ +
−
+ +
−
+ +
du
u au bu c cu au bu c
a
c
du
au bu c
b
c
du
u au bu c
1 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2
224.  ∫
∫ ∫
( )
+ +
=
−
−
+ +
−
+ +
− − −
u
au bu c
du
u
a m
c
a
u
au bu c
du
b
a
u
au bu c
du
1
m m m m
2
1 2
2
1
2
∫
∫ ∫
( )
+ +
=
−
−
+ +
−
+ +
− − −
u
au bu c
du
u
a m
c
a
u
au bu c
du
b
a
u
au bu c
du
1
m m m m
2
1 2
2
1
2
225.	∫ ∫
∫
( ) ( ) ( )
( )
+ +
= −
−
−
+ +
−
+ +
− − −
du
u au bu c c n u
b
c
du
u au bu c
a
c
du
u au bu c
1
1
n n n n
2 1 1 2 2 2
∫ ∫
∫
( ) ( ) ( )
( )
+ +
= −
−
−
+ +
−
+ +
− − −
du
u au bu c c n u
b
c
du
u au bu c
a
c
du
u au bu c
1
1
n n n n
2 1 1 2 2 2
Fórmulas con
226. ∫
( )
+
=
+
− +





 +
−





 +
−
du
u a a
a u
u au a a
u a
a
C
1
6
ln
1
3
tan
2
3
3 3 2
2
2 2 2
1
227. ∫ ( )
+
=
− +
+





 +
−





 +
−
u
u a
du
a
u au a
u a a
u a
a
C
1
6
ln
1
3
tan
2
3
3 3
2 2
2
1
228. ∫ ( )
+
= + +
u
u a
du u a C
1
3
ln
2
3 3
3 3
Formulario A ➟ Integrales
Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
284
229. ∫ ( )
+
=
+





 +
du
u u a a
u
u a
C
1
3
ln
3 3 3
3
3 3
230. ∫ ( ) ( )
+
= − −
− +
+





 −
−





 +
−
du
u u a a u a
u au a
u a a
u a
a
C
1 1
6
ln
1
3
tan
2
3
2 3 3 3 4
2 2
2 4
1
( )
− +
+





 −
−





 +
−
a
u au a
u a a
u a
a
C
1
6
ln
1
3
tan
2
3
4
2 2
2 4
1
231.	∫
( ) ( )
( )
+
=
+
+
+
− +





 +
−





 +
−
du
u a
u
a u a a
u a
u au a a
u a
a
C
3
1
9
ln
2
3 3
tan
2
3
3 3 2 3 3 3 5
2
2 2 5
1
( )
+
− +





 +
−





 +
−
a
u a
u au a a
u a
a
C
1
9
ln
2
3 3
tan
2
3
5
2
2 2 5
1
232. ∫
( ) ( ) ( )
+
=
+
+
− +
+





 +
−





 +
−
u
u a
du
u
a u a a
u au a
u a a
u a
a
C
3
1
18
ln
1
3 3
tan
2
3
3 3 2
2
5 3 3 4
2 2
2 4
1
) ( )
+
+
− +
+





 +
−





 +
−
u
u a a
u au a
u a a
u a
a
C
1
18
ln
1
3 3
tan
2
3
2
3 3 4
2 2
2 4
1
233. ∫
( ) ( )
+
= −
+
+
u
u a
du
u a
C
1
3
2
3 3 2 3 3
234. ∫
( ) ( )
+
=
+
+
+





 +
du
u u a a u a a
u
u a
C
1
3
1
3
ln
3 3 2 3 3 3 6
3
3 3
235. ∫
∫
( ) ( )
+
= − −
+
−
+
du
u u a a u
u
a u a a
u
u a
du
1
3
4
3
2 3 3 2 6
2
6 3 3 6 3 3
236. ∫ ∫
+
=
−
−
+
− −
u
u a
du
u
m
a
u
u a
du
2
m m m
3 3
2
3
3
3 3
237. ∫
∫ ( ) ( )
( )
+
= −
−
−
+
− −
du
u u a a n u a
du
u u a
1
1
1
n n n
3 3 3 1 3 3 3 3
Fórmulas con
238.	∫ +
=
+ +
− +





 − −





 − +














+
− −
du
u a a
u au a
u au a a
u
a
u
a
C
1
4 2
ln
2
2
1
2 2
tan 1
2
tan 1
2
4 4 3
2 2
2 2 3
1 1
+ +
− +





 − −





 − +














+
− −
u au a
u au a a
u
a
u
a
C
n
2
2
1
2 2
tan 1
2
tan 1
2
2 2
2 2 3
1 1
239.	∫ +
=
− +
+ +





 − −





 − +














+
−
−
u
u a
du
a
u au a
u au a a
u
a
u
a
C
1
4 2
ln
2
2
1
2 2
tan 1
2
tan 1
2
2
4 4
2 2
2 2
1
1
− +
+ +





 − −





 − +














+
−
−
u au a
u au a a
u
a
u
a
C
ln
2
2
1
2 2
tan 1
2
tan 1
2
2 2
2 2
1
1
240.	∫ ( )
+
= − −
− +
+ +





 + −





 − +














+
− −
du
u u a a u a
u au a
u au a a
u
a
u
a
C
1 1
4 2
ln
2
2
1
2 2
tan 1
2
tan 1
2
2 4 4 4 5
2 2
2 2 5
1 1
− +
+ +





 + −





 − +














+
− −
u au a
u au a a
u
a
u
a
C
n
2
2
1
2 2
tan 1
2
tan 1
2
2 2
2 2 5
1 1
241. ∫ ( )
+
= + +
u
u a
du u a C
1
4
ln
3
4 4
4 4
242. ∫ ( )
+
=
+





 +
du
u u a a
u
u a
C
1
4
ln
4 4 2
4
4 4
243. ∫ +
=





 +
−
u
u a
du
a
u
a
C
1
2
tan
4 4 2
1
2
2
244. ∫ ( )
+
= − −





 +
−
du
u u a a u a
u
a
C
1
2
1
2
tan
3 4 4 4 2 6
1
2
2
245. ∫ −
=
−
+





 −





 +
−
du
u a a
u a
u a a
u
a
C
1
4
ln
1
2
tan
4 4 3 3
1
246. ∫ −
=
−
+





 +
u
u a
du
a
u a
u a
C
1
4
ln
4 4 2
2 2
2 2
247. ∫ −
=
−
+





 +





 +
−
u
u a
du
a
u a
u a a
u
a
C
1
4
ln
1
2
tan
2
4 4
1
248. ∫ ( )
−
= − +
u
u a
du u a C
1
4
ln
3
4 4
4 4
249. ∫ ( )
−
=
−





 +
du
u u a a
u a
u
C
1
4
ln
4 4 4
4 4
4
250. ∫ ( )
−
= +
−
+





 +





 +
−
du
u u a a u a
u a
u a a
u
a
C
1 1
4
ln
1
2
tan
2 4 4 4 5 5
1
251. ∫ ( )
−
= +
−
+





 +
du
u u a a u a
u a
u a
C
1
2
1
4
ln
3 4 4 4 2 6
2 2
2 2
Fórmulas con
252. ∫ ( )
( )
= − +
au du
au
a
C
sen
cos
253. ∫ ( )
( ) ( )
= − +
u au du
au
a
u au
a
C
sen
sen cos
2
254. ∫ ( ) ( ) ( )
= + −





 +
u au du
u
a
au
a
u
a
au C
sen
2
sen
2
cos
2
2 3
2
255. ∫ ( ) ( ) ( )
= −





 + −





 +
u au du
u
a a
au
u
a
u
a
au C
sen
3 6
sen
6
cos
3
2
2 4 3
3
256. ∫ ∫
( )
( )
( )
= − + −
u au du
u au
a
n
a
u au du
sen
cos
cos
n
n
n 1
257. ∫ ∫
( )
( )
( )
( )
( )
= − + −
−
−
−
u au du
u au
a
nu
a
au
n n
a
u au du
sen
cos
sen
1
sen
n
n n
n
1
2 2
2
∫ ∫
( )
( )
( )
( )
( )
= − + −
−
−
−
u au du
u au
a
nu
a
au
n n
a
u au du
sen
cos
sen
1
sen
n
n n
n
1
2 2
2
258. ∫ ( )
( )
= − +
au du
u au
a
C
sen
2
sen 2
4
2
Formulario A ➟ Integrales 285
Alfaomega
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
259. ∫ ( )
( ) ( )
= − + +
au du
au
a
au
a
C
sen
cos cos
3
3
3
260. ∫ ( )
( ) ( )
= − + +
au du
u au
a
au
a
C
sen
3
8
sen 2
4
sen 4
32
4
261. ∫ ( )
( ) ( )
= − − +
u au du
u u au
a
au
a
C
sen
4
sen 2
4
cos
8
2
2
2
262. ∫
( ) ( ) ( )
= −
⋅
+
⋅
−
au
u
du au
au au
sen
3 3! 5 5!
...
3 5
263. ∫ ∫
( ) ( ) ( )
= − +
au
u
du
au
u
a
au
u
du
sen sen cos
2
264.
∫
( )
( )
( ) ( )
=
− +











 +







du
au
a
au au C
a
au
C
sen
1
ln csc cot
1
ln tan
2
265. ∫
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
= + + + +
−
+
+










− +
u
au
du
a
au
au au B au
n
sen
1
18
7
1800
...
2 2 1
2 1 !
...
n
n
n
2
3 5 2 1 2 1
( )
( ) ( ) ( )
( )
= + + + +
−
+
+










− +
du
a
au
au au B au
n
1
18
7
1800
...
2 2 1
2 1 !
...
n
n
n
2
3 5 2 1 2 1
266. ∫ ( )
( )
= − +
du
au a
au C
sen
1
cot
2
267. ∫ ( )
( )
( )
= − +











 +
du
au
au
a au a
au
C
sen
cos
2 sen
1
2
ln tan
2
3 2
268. ∫
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
=
−
−
−
+
+
+ ≠
au bu du
a b u
a b
a b u
a b
C a b
sen sen
sen
2
sen
2
269. ∫
π
( )
−
= +





 +
du
au a
au
C
1 sen
1
tan
4 2
270. ∫
π π
( )
−
= +





 + +











 +
u
au
du
u
a
au
a
au
C
1 sen
tan
4 2
2
ln sen
4 2
2
271. ∫
π
( )
+
= − −





 +
du
au a
au
C
1 sen
1
tan
4 2
272. ∫
π π
( )
+
= − −





 + +











 +
u
au
du
u
a
au
a
au
C
1 sen
tan
4 2
2
ln sen
4 2
2
273. ∫
π π
( )
( )
−
= +





 + +





 +
du
au a
au
a
au
C
1 sen
1
2
tan
4 2
1
6
tan
4 2
2
3
274. ∫
π π
( )
( )
+
= − −





 − −





 +
du
au a
au
a
au
C
1 sen
1
2
tan
4 2
1
6
tan
4 2
2
3
Fórmulas con
275. ∫ ( )
( )
= +
au du
au
a
C
cos
sen
276. ∫ ( )
( ) ( )
= + +
u au du
au
a
u au
a
C
cos
cos sen
2
277. ∫ ( ) ( ) ( )
= + −





 +
u au du
u
a
au
u
a a
au C
cos
2
cos
2
sen
2
2
2
3
278. ∫ ( ) ( ) ( )
= −





 + −





 +
u au du
u
a a
au
u
a
u
a
au C
cos
3 6
cos
6
sen
3
2
2 4
3
3
279. ∫ ∫
( )
( )
( )
= − −
u au du
u au
a
n
a
u au du
cos
sen
sen
n
n
n 1
280.	∫ ∫
( )
( )
( )
( )
( )
= − + −
−
−
−
u au du
u au
a
nu
a
au
n n
a
u au du
cos
sen
cos
1
cos
n
n n
n
1
2 2
2
∫ ∫
( )
( )
( )
( )
( )
= − + −
−
−
−
u au du
u au
a
nu
a
au
n n
a
u au du
cos
sen
cos
1
cos
n
n n
n
1
2 2
2
281. ∫ ( )
( )
= + +
au du
u au
a
C
cos
2
sen 2
4
2
282. ∫ ( )
( ) ( )
= − +
au du
au
a
au
a
C
cos
sen sen
3
3
3
283. ∫ ( )
( ) ( )
= + + +
au du
u au
a
au
a
C
cos
3
8
sen 2
4
sen 4
32
4
284. ∫ ( )
( ) ( )
= + + +
u au du
u u au
a
au
a
C
cos
4
sen 2
4
cos 2
8
2
2
2
285. ∫
( )
( )
( ) ( ) ( )
= −
⋅
+
⋅
−
⋅
+
au
u
du u
au au au
cos
ln
2 2! 4 4! 6 6!
...
2 4 6
286. ∫
∫
( ) ( ) ( )
= − −
au
u
du
au
u
a
au
u
du
cos cos sen
2
287. ∫ π
( )
( ) ( )
=
+

 
 +
+











 +







du
au
a
au au C
a
au
C
cos
1
ln sec tan
1
ln tan
4 2
288.

∫ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= + + + +
+
+










+
u
au
du
a
au au au E au
n n
cos
1
2 8
5
144
...
2 2 2 !
...
n
n
2
2 4 6 2 2
∫ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= + + + +
+
+










+
u
au
du
a
au au au E au
n n
cos
1
2 8
5
144
...
2 2 2 !
...
n
n
2
2 4 6 2 2
289. ∫ ( )
( )
= +
du
au
au
a
C
cos
tan
2
290. ∫
π
( )
( )
( )
= + +











 +
du
au
au
a au a
au
C
cos
sen
2 cos
1
2
ln tan
4 2
3 2
Formulario A ➟ Integrales
Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
286
291. ∫
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
=
−
−
−
+
+
+ ≠
au bu du
a b u
a b
a b u
a b
C a b
cos cos
sen
2
sen
2
292. ∫ ( )
−
= −





 +
du
au a
au
C
1 cos
1
cot
2
293. ∫ ( )
−
= −





 +











 +
u
au
du
u
a
au
a
au
C
1 cos
cot
2
2
ln sen
2
2
294. ∫ ( )
+
=





 +
du
au a
au
C
1 cos
1
tan
2
295. ∫ ( )
+
=





 +











 +
u
au
du
u
a
au
a
au
C
1 cos
tan
2
2
ln cos
2
2
296. ∫( )
( )
−
= −





 −





 +
du
au a
au
a
au
C
1 cos
1
2
cot
2
1
6
cot
2
2
3
297. ∫( )
( )
+
=





 +





 +
du
au a
au
a
au
C
1 cos
1
2
tan
2
1
6
tan
2
2
3
Fórmulas con
298. ∫ ( ) ( )
( )
= +
au au du
au
a
C
sen cos
sen
2
2
299. ∫ ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
= −
−

 

−
−
+

 

+
+
pu qu du
p q u
p q
p q u
p q
C
sen cos
cos
2
cos
2
300. ∫ ( ) ( )
( )
( )
=
+
+
+
au au du
au
a n
C
sen cos
sen
1
n
n 1
301. ∫ ( ) ( )
( )
( )
= −
+
+
+
au au du
au
a n
C
cos sen
cos
1
n
n 1
302. ∫ ( ) ( )
( )
= − +
au au du
u au
a
C
sen cos
8
sen 4
32
2 2
303. ∫ ( ) ( )
( )
= 
 
 +
du
au au a
au C
sen cos
1
ln tan
304. ∫
π
( ) ( ) ( )
= +











 − +
du
au au a
au
a au
C
sen cos
1
ln tan
4 2
1
sen
2
305. ∫ ( ) ( ) ( )
=











 + +
du
au au a
au
a au
C
sen cos
1
ln tan
2
1
cos
2
306. ∫ ( ) ( )
( )
= − +
du
au au
au
a
C
sen cos
2cot 2
2 2
307. ∫
π
( )
( )
( )
= − + +











 +
au
au
du
au
a a
au
C
sen
cos
sen 1
ln tan
4 2
2
308. ∫
( )
( )
( )
= +











 +
au
au
du
au
a a
au
C
cos
sen
cos 1
ln tan
2
2
309. ∫
π
( ) ( )
±
= ±











 +
du
au au a
au
C
sen cos
1
2
ln tan
8 2
310. ∓
∫
( )
( ) ( )
( ) ( )
±
= ±

 
 +
au
au au
du
u
a
au au C
sen
sen cos 2
1
2
ln sen cos
311. ∫
( )
( ) ( )
( ) ( )
±
= ±

 
 ± +
au
au au
du
a
au au
u
C
cos
sen cos
1
2
ln sen cos
2
Fórmulas con
312. ∫ ( )
( )
( )
=
− 
 
 +

 
 +







au du
a
au C
a
au C
tan
1
ln cos
1
ln sec
313. ∫ ( )
( )
= − +
au du
au
a
u C
tan
tan
2
314. ∫ ( )
( )
( )
= + 
 
 +
au du
au
a a
au C
tan
tan
2
1
ln cos
3
2
315. ∫ ∫
( )
( )
( )
( )
=
−
−
−
−
au du
au
a n
au du
tan
tan
1
tan
n
n
n
1
2
316. ∫ ( ) ( )
( )
( )
=
+
+
+
au au du
au
a n
C
tan sec
tan
1
n
n
2
1
317. ∫
( )
( )
( )
= 
 
 +
au
au
du
a
au C
sec
tan
1
ln tan
2
318. ∫ ( )
( )
= 
 
 +
du
au a
au C
tan
1
ln sen
319. ∫ ( )
( )
( )
= + 
 
 − +
u au du
u au
a a
au
u
C
tan
tan 1
ln cos
2
2
2
2
Fórmulas con
320. ∫ ( ) ( )
= 
 
 +
au du
a
au C
cot
1
ln sen
321. ∫ ( )
( )
= − − +
au du
au
a
u C
cot
cot
2
322. ∫ ( )
( )
( )
= − − 
 
 +
au du
au
a a
au C
cot
cot
2
1
ln sen
3
2
323. ∫ ( ) ( )
( )
( )
= −
+
+
−
au au du
au
a n
C
cot csc
cot
1
n
n
2
1
324. ∫
( )
( )
( )
= − 
 
 +
au
au
du
a
au C
csc
cot
1
ln cot
2
Formulario A ➟ Integrales 287
Alfaomega
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
325. ∫ ( )
( )
= − 
 
 +
du
au a
au C
cot
1
ln cos
326. ∫ ( )
( )
( )
= − + 
 
 − +
u au du
u au
a a
au
u
C
cot
cot 1
ln sen
2
2
2
2
327. ∫
∫ ( )
( )
( )
( )
= −
−
−
−
−
au du
au
a n
au du
cot
cot
1
cot
n
n
n
1
2
Fórmulas con
328. ∫ π
( )
( ) ( )
=
+

 
 +
+











 +







au du
a
au au C
a
au
C
sec
1
ln sec tan
1
ln tan
4 2
329. ∫ ( )
( )
= +
au du
au
a
C
sec
tan
2
330. ∫ ( )
( ) ( )
( ) ( )
= + +

 
 +
au du
au au
a a
au au C
sec
sec tan
2
1
2
ln sec tan
3
331. ∫ ( ) ( )
( )
= +
au au du
au
an
C
sec tan
sec
n
n
332. ∫ ( )
( )
= +
du
au
au
a
C
sec
sen
333. ∫ ( ) ( ) ( )
= + 
 
 +
u au du
u
a
au
a
au C
sec tan
1
ln cos
2
2
334. ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
( )
=
−
+
−
−
−
−
au du
au au
a n
n
n
au du
sec
sec tan
1
2
1
sec
n
n
n
2
2
Fórmulas con
335. ∫ ( )
( ) ( )
=
−

 
 +











 +







au du
a
au au C
a
au
C
csc
1
ln csc cot
1
ln tan
2
336. ∫ ( )
( )
= − +
au du
au
a
C
csc
cot
2
337. ∫ ( )
( ) ( )
= − +











 +
au du
au au
a a
au
C
csc
csc cot
2
1
2
ln tan
2
3
338. ∫ ( ) ( )
( )
= − +
au au du
au
na
C
csc cot
csc
n
n
339. ∫ ( )
( )
= − +
du
au
au
a
C
csc
cos
340. ∫ ( )
( )
( )
= − + 
 
 +
u au du
u au
a a
au C
csc
cot 1
ln sen
2
2
341. ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
( )
= −
−
+
−
−
−
−
au du
au au
a n
n
n
au du
csc
csc cot
1
2
1
csc
n
n
n
2
2
Fórmulas con funciones trigonométricas
inversas
342. ∫





 =





 + − +
− −
u
a
du u
u
a
a u C
sen sen
1 1 2 2
343. ∫





 = −











 +
−
+
− −
u
u
a
du
u a u
a
u a u
C
sen
2 4
sen
4
1
2 2
1
2 2
344. ∫
( )





 =





 +
+ −
+
− −
u
u
a
du
u u
a
u a a u
C
sen
3
sen
2
9
2 1
3
1
2 2 2 2
345. ∫






= +






⋅ ⋅
+
⋅






⋅ ⋅ ⋅
+
⋅ ⋅






⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ ⋅⋅⋅
− u
a
u
du
u
a
u
a
u
a
u
a
sen
2 3 3
1 3
2 4 5 5
1 3 5
2 4 6 7 7
1
3 5 7
346. ∫






= −






−
+ −








+
− −
u
a
u
du
u
a
u a
a a u
u
C
sen sen
1
ln
1
2
1
2 2
347. ∫











 =











 − + −





 +
− − −
u
a
dx u
u
a
u a a
u
a
C
sen sen 2 2 sen
1
2
1
2
2 2 1
348. ∫





 =





 − − +
− −
u
a
du u
u
a
a u C
cos cos
1 1 2 2
349. ∫





 = −











 −
−
+
− −
u
u
a
du
u a u
a
u a u
C
cos
2 4
cos
4
1
2 2
1
2 2
350. ∫
( )
( )





 =





 −
− −
+
− −
u
u
a
du
u u
a
u a a u
C
cos
3
cos
2
9
2 1
3
1
2 2 2 2
351. ∫ ∫
π
( )






= −






− −
u
a
u
du u
u
a
u
du
cos
2
ln
sen
1 1
352. ∫






= −






+
+ −





 +
− −
u
a
u
du
u
a
u a
a a u
u
C
cos cos
1
ln
1
2
1
2 2
353. ∫











 =











 − − −





 +
− − −
u
a
du u
u
a
u a u
u
a
C
cos cos 2 2 cos
1
2
1
2
2 2 1
354. ∫ ( )





 =





 − + +
− −
u
a
du u
u
a
a
u a C
tan tan
2
ln
1 1 2 2
Formulario A ➟ Integrales
Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
288
355. ∫ ( )





 = +





 − +
− −
u
u
a
du u a
u
a
au
C
tan
1
2
tan
2
1 2 2 1
356. ∫ ( )





 =





 − + + +
− −
u
u
a
du
u u
a
au a
u a C
tan
3
tan
6 6
ln
2 1
3
1
2 3
2 2
357. ∫






= −






+






−






+ ⋅⋅⋅
− u
a
u
du
u
a
u
a
u
a
u
a
tan
3 5 7
1
3
2
5
2
7
2
358. ∫






= −





 −
+





 +
−
−
u
a
u
du
u
a
u
a a
u a
u
C
tan
tan
1
2
ln
1
2
1
2 2
2
359. ∫ ( )





 =





 + + +
− −
u
a
du u
u
a
a
u a C
cot cot
2
ln
1 1 2 2
360. ∫ ( )





 = +





 + +
− −
u
u
a
du u a
u
a
au
C
cot
1
2
cot
2
1 2 2 1
361. ∫ ( )





 =





 + − + +
− −
u
u
a
du
u u
a
au a
u a C
cot
3
cot
6 6
ln
2 1
3
1
2 3
2 2
362. ∫ ∫
π
( )






= −






− −
u
a
u
du u
u
a
u
du
cot
2
ln
tan
1 1
363. ∫






= −






+
+





 +
− −
u
a
u
du
u
a
u a
u a
u
C
cot cot
1
2
ln
1
2
1
2 2
2
364. ∫
∫





 =
+





 −
+ −
−
+
−
+
u
u
a
du
u
m
u
a m
u
a u
du
sen
1
sen
1
1
m
m m
1
1
1
1
2 2
365. ∫
∫





 =
+





 +
+ −
−
+
−
+
u
u
a
du
u
m
u
a m
u
a u
du
cos
1
cos
1
1
m
m m
1
1
1
1
2 2
366. ∫ ∫





 =
+





 −
+ +
−
+
−
+
u
u
a
du
u
m
u
a
a
m
u
u a
du
tan
1
tan
1
m
m m
1
1
1
1
2 2
367. ∫
∫





 =
+





 +
+ +
−
+
−
+
u
u
a
du
u
m
u
a
a
m
u
u a
du
cot
1
cot
1
m
m m
1
1
1
1
2 2
Fórmulas con
368. ∫ = +
e du
e
a
C
au
au
369. ∫ = −





 +
ue du
e
a
u
a
C
1
au
au
370. ∫ = − +





 +
u e du
e
a
u
u
a a
C
2 2
au
au
2 2
2
371.

∫
∫ ( ) ( )
=
−
− +
−
+ ⋅⋅⋅ +
−





 + ∀ =







−
− −
u e du
u e
a
n
a
u e du
e
a
u
nu
a
n n u
a
n
a
C n
1 1 !
n au
n au
n au
au
n
n n n
n
1
1 2
2

∫
∫ ( ) ( )
=
−
− +
−
+ ⋅⋅⋅ +
−





 + ∀ =







−
− −
u e du
u e
a
n
a
u e du
e
a
u
nu
a
n n u
a
n
a
C n
1 1 !
n au
n au
n au
au
n
n n n
n
1
1 2
2
372. ∫ ( )
( ) ( )
= +
⋅
+
⋅
+
⋅
+ ⋅⋅⋅
e
u
du u
au au au
ln
1 1! 2 2! 3 3!
au 2 3
373. ∫
∫ ( )
= −
−
+
−
− −
e
u
du
e
n u
a
n
e
u
du
1 1
au
n
au
n
au
n
1 1
374. ∫ ( )
+
= − + +
du
p pe
u
p ap
p qe C
1
ln
au
au
375. ∫
( ) ( )
( )
+
= +
+
− + +
du
p qe
u
p ap p qe ap
p qe C
1 1
ln
au au
au
2 2 2
376. ∫ +
=





 +
−
− −
+ −












+











−
−
du
pe qe
a pq
p
q
e C
a pq
e
q
p
e
q
p
C
1
tan
1
2
ln
au au
au
au
au
1
377. ∫ ( )
( ) ( )
=
−

 

−
+
e bu du
e a bu b bu
a b
C
sen
sen cos
au
au
2 2
378. ∫ ( )
( ) ( )
=
+

 

+
+
e bu du
e a bu b bu
a b
C
cos
cos sen
au
au
2 2
379. ∫ ∫
( )
( )
= −
e u du
e u
a a
e
u
du
ln
ln 1
au
au au
Fórmulas con
380. ∫ ( ) ( )
= − +
u du u u u C
ln ln
381. ∫ ( ) ( ) ( )

 
 = 
 
 − + +
u du u u u u u C
ln ln 2 ln 2
2 2
382. ∫ ∫
( ) ( ) ( )

 
 = 
 
 − 
 

−
u du u u n u du
ln ln ln
n n n 1
383. ∫ ( ) ( )
= −





 +
u u du
u
u C
ln
2
ln
1
2
2
384. ∫ ( ) ( )
=
+
−
+





 +
+
u u du
u
m
u
m
C
ln
1
ln
1
1
m
m 1
385. ∫
( )
( )
= +
u
u
du u C
ln 1
2
ln2
Formulario A ➟ Integrales 289
Alfaomega
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
386. ∫
( ) ( )
= − − +
u
u
du
u
u u
C
ln ln 1
2
387. ∫ ( ) ( ) ( )
= − + +
u du u u u u u C
ln ln 2 ln 2
2 2
388. ∫
( ) ( )
=
+
+
+
u
u
du
u
n
C
ln ln
1
n n 1
389. ∫ ( )
( )
( )
= +
du
u u
u C
ln
ln ln
390. ∫ ( ) ( )
+ = + − +





 +
−
u a du u u a u a
u
a
C
ln ln 2 2 tan
2 2 2 2 1
391. ∫ ( ) ( )
− = − − +
+
−





 +
u a du u u a u a
u a
u a
C
ln ln 2 ln
2 2 2 2
Fórmulas con
392. ∫ ( ) ( )
= +
au du
a
au C
senh
1
cosh
393. ∫ ( )
( ) ( )
= − +
u au du
u au
a
au
a
C
senh
cosh senh
2
394. ∫ ( ) ( ) ( )
= +





 − +
u au du
u
a a
au
u
a
au C
senh
2
cosh
2
senh
2
2
3 2
395. ∫
( ) ( ) ( )
= +
⋅
+
⋅
+ ⋅⋅⋅
au
u
du au
au au
senh
3 3! 5 5!
3 5
396. ∫ ∫
( ) ( )
( )
= − +
au
u
du
au
u
a au du
senh senh
cosh
2
397. ∫ ( )
=











 +
du
au a
au
C
senh
1
ln tanh
2
398. ∫ ( )
( ) ( )
= − +
au du
au au
a
u
C
senh
senh cosh
2 2
2
399. ∫ ( )
( ) ( )
= − − +
u au du
u au
a
au
a
u
C
senh
senh 2
4
cosh 2
8 4
2
2
2
400. ∫ ( )
( )
= − +
du
au
au
a
C
senh
coth
2
401. ∫ ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
=
+

 

+
−
−

 

−
+
pu qu du
p q u
p q
p q u
p q
C
senh senh
senh
2
senh
2
402. ∫ ∫
( )
( )
( )
= − −
u au du
u au
a
m
a
u au du
senh
cosh
cosh
m
m
m 1
403. ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
= −
−
−
−
au du
au au
an
n
n
au du
senh
senh cosh 1
senh
n
n
n
1
2
404. ∫
∫
( ) ( )
( )
( )
= −
−
+
−
− −
au
u
du
au
n u
a
n
au
u
du
senh senh
1 1
cosh
n n n
1 1
405. ∫
∫ ( )
( )
( ) ( ) ( )
= −
−
−
−
−
− −
du
au
au
a n au
n
n
du
au
senh
cosh
1 senh
2
1 senh
n n n
1 2
Fórmulas con
406. ∫ ( )
( )
= +
au du
au
a
C
cosh
senh
407. ∫ ( )
( ) ( )
= − +
u au du
u au
a
au
a
C
cosh
senh cosh
2
408. ∫ ( )
( )
( )
= − + +





 +
u au du
u au
a
u
a a
au C
cosh
2 cosh 2
senh
2
2
2
3
409. ∫
( )
( )
( ) ( ) ( )
= +
⋅
+
⋅
+
⋅
+ ⋅⋅⋅
au
u
du u
au au au
cosh
ln
2 2! 4 4! 6 6!
2 4 6
410. ∫
∫
( ) ( ) ( )
= − +
au
u
du
au
u
a
au
u
du
cosh cosh senh
2
411. ∫ ( )
( )
= +
−
du
au a
e C
cosh
2
tan au
1
412. ∫ ( )
( ) ( )
= + +
au du
u au au
a
C
cosh
2
senh cosh
2
2
413. ∫ ( )
( ) ( )
= + − +
u au du
u u au
a
au
a
C
cosh
4
senh 2
4
cosh 2
8
2
2
2
414. ∫ ( )
( )
= +
du
au
au
a
C
cosh
tanh
2
415. ∫ ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
=
−

 

−
+
+

 

+
+
pu qu du
p q u
p q
p q u
p q
C
cosh cosh
senh
2
senh
2
416. ∫ ∫
( )
( )
( )
= − −
u au du
u au
a
m
a
u au du
cosh
senh
senh
m
m
m 1
417. ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
= +
−
−
−
au du
au au
an
n
n
au du
cosh
cosh senh 1
cosh
n
n
n
1
2
418. ∫
∫
( ) ( )
( )
( )
= −
−
+
−
− −
au
u
du
au
n u
a
n
au
u
du
cosh cosh
1 1
senh
n n n
1 1
419. ∫
∫ ( )
( )
( ) ( ) ( )
=
−
+
−
−
− −
du
au
au
a n au
n
n
du
au
cosh
senh
1 cosh
2
1 cosh
n n n
1 2
Formulario B ➟ Derivadas 291
Alfaomega
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
➠ 
Formulario B: Derivadas
En este formulario: c es una constante real, f g
, y u son funciones derivables en x .
FÓRMULAS GENERALES
1. ( ) =
d
dx
c 0
2. ( ) ( )
=
d
dx
cf x c
d
dx
f x
( ) ( )
3. [ ]
± = ′ ± ′
d
dx
f x g x f x g x
( ) ( ) ( ) ( )
4. [ ]= ′ + ′
d
dx
f x g x f x g x g x f x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5.
[ ]





 =
′ − ′
d
dx
f x
g x
g x f x f x g x
g x
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
6. ( )

 
 = ′
d
dx
f u f u
du
dx
( )
7. ( )= −
d
dx
u nu
du
dx
n n 1
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
8.
( ) =
d
dx
x x
sen cos
9. ( ) = −
d
dx
x x
cos sen
10. ( ) =
d
dx
x x
tan sec2
11. ( ) = −
d
dx
x x
cot csc2
12. ( ) =
d
dx
x x x
sec sec tan
13. ( ) = −
d
dx
x x x
csc csc cot
14. ( ) =
d
dx
u u
du
dx
sen cos
15. ( ) = −
d
dx
u u
du
dx
cos sen
16. ( ) =
d
dx
u u
du
dx
tan sec2
17. ( ) = −
d
dx
u u
du
dx
cot csc2
18. ( ) =
d
dx
u u u
du
dx
sec sec tan
19. ( ) = −
d
dx
u u u
du
dx
csc csc cot
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
20. ( )=
d
dx
e
x
e
x
21. ( )=
d
dx
a
x
a
x
a
ln
22. ( ) =
d
dx
x
x
ln
1
23. ( ) =
d
dx
a x
x a
log
1
ln
24. ( )=
d
dx
e
x
e
x
25. ( )=
d
dx
a
x
a
x
a
ln
26. ( ) =
d
dx
x
x
ln
1
27. ( ) =
d
dx
a x
x a
log
1
ln
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
28. ( )
−
=
−
d
dx
x
x
sen
1 1
1
2
29. ( )
−
= −
−
d
dx
x
x
cos
1 1
1
2
30. ( )
−
=
+
d
dx
x
x
tan
1 1
1
2
31. ( )
−
= −
+
d
dx
x
x
cot
1 1
1
2
32. ( )
−
=
−
d
dx
x
x x
sec
1 1
2
1
Formulario B ➟ Derivadas
Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
292
33. ( )
−
= −
−
d
dx
x
x x
csc
1 1
2
1
34. ( )=
−
−
d
dx
u
u
du
dx
sen
1
1
1
2
35. ( )= −
−
−
d
dx
u
u
du
dx
cos
1
1
1
2
36. ( )=
+
−
d
dx
u
u
du
dx
tan
1
1
1
2
37. ( )= −
+
−
d
dx
u
u
du
dx
cot
1
1
1
2
38. ( )=
−
−
d
dx
u
u u
du
dx
sec
1
1
1
2
39. ( )= −
−
−
d
dx
u
u u
du
dx
csc
1
1
1
2
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
40. ( ) =
d
dx
x x
senh cosh
41. ( ) =
d
dx
x x
cosh senh
42. ( ) =
d
dx
x h x
tanh sec 2
43. ( ) = −
d
dx
x h x
coth csc 2
44. ( ) = −
d
dx
hx hx x
sec sec tanh
45. ( ) = −
d
dx
hx hx x
csc csc coth
46. ( ) =
d
dx
u u
du
dx
senh cosh
47. ( ) =
d
dx
u u
du
dx
cosh senh
48. ( ) =
d
dx
u h u
du
dx
tanh sec 2
49. ( ) = −
d
dx
u h u
du
dx
coth csc 2
50. ( ) = −
d
dx
hu hu u
du
dx
sec sec tanh
51. ( ) = −
d
dx
hu hu u
du
dx
csc csc coth
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
52. ( )
− =
+
d
dx
x
x
senh 1 1
1 2
53. ( )
− =
−
d
dx
x
x
cosh 1 1
2 1
54. ( )
− =
−
d
dx
x
x
tanh 1 1
1 2
55. ( )
− = −
−
d
dx
x
x
coth 1 1
1 2
56. ( )= −
−
−
d
dx
h x
x x
sec
1
1
1
2
57. ( )= −
+
−
d
dx
h x
x x
csc
1
1
1
2
58. ( )
− =
+
d
dx
u
u
du
dx
senh 1 1
1 2
59. ( )
− =
−
d
dx
u
u
du
dx
cosh 1 1
2 1
60. ( )
− =
−
d
dx
u
u
du
dx
tanh 1 1
1 2
61. ( )
− = −
−
d
dx
u
u
du
dx
coth 1 1
1 2
62. ( )
− = −
−
d
dx
h u
u u
du
dx
sec 1 1
1 2
63. ( )
− = −
+
d
dx
h u
u u
du
dx
csc 1 1
2 1
FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 293
Alfaomega
CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
Triángulo rectángulo
b a
h
= =
A ch ab
1
2
1
2 , = + +
P a b c , = +
c a b
2 2 2
Triángulo equilátero
b
a
a
=
h a
3
2
, =
A a
3
4
2
, =
P a
3
Cuadrado
a
a
=
A a2
, =
P a
4
Rectángulo
b
h
= + =
P b h A bh
2 2 ,
Romboide
b
h
=
A bh
Trapezoide
b
a
h
= +
A a b h
1
2
( )
Círculo
r
π
=
A r2
, π
=
P r
2
Corona circular
r
R
π ( )
= −
A R r
2 2
, =
P a
3
Sector circular
r
s
θ
θ
=
A r
1
2
2
, θ
=
s r
Esfera
r
π
=
V r
4
3
3
, π
=
S r
4 2
Cono circular recto
h
r
π
=
V r
1
3
3
, π
= +
S r r h
2 2
Cilindro circular recto
h
r
π
=
V r h
2
, π
=
S rh
2 lateral
π π
= +
S rh r
2 2 2
total
Figuras geométricas
➠ Formulario C: Álgebra, Geometría y Trigonometría
c
FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Alfaomega CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
294
Elipse
b
a
π
=
A ab
Elipsoide
b
a
c
π
=
A abc
4
3
Paralelepípedo rectangular
h
a
b
=
V abh, ( )
= + +
S ab ah bh
2
Pirámide
h
=
V abh
1
3
Cono truncado
h
r2
r1
π
= + +
V h r r r r
1
3
( 2 )
1
2
1 2 2
2
Pirámide Regular
a
h
H
h
H
=






V
aH
h
2
1
3
➠ Álgebra
Fórmula cuadrática
+ + =
=
− ± −
−
ax bx c
x
b b ac
a
b ac
0
4
2
Discriminante 4
2
1,2
2
2
Desarrollo de productos notables y factorización

∓
x y x xy y
x y x x y x y y
x y
n
x
n
x y
n
x y
n
n
x y
n
n
y n
n
k
n
k n k
x y x y x y
x y x y x xy y
2
3 3
0 1 2 1
Donde
!
! !
n n n n n
2 2 2
3 3 2 2 3
1 1 2 2 1 1 n
2 2
3 3 2 2
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
( )
± = ± +
± = ± + ±
+ =





 +





 +





 + ⋅⋅⋅ +
−





 +





 ∀ =





 =
−
− = + −
± = ± +
− − −
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría 295
Alfaomega
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Reglas de exponentes
y radicales
( )
( )
=
=
=
=





 =
=
+
⋅
−
−
x x x
x x
x
x
x
x
x
x
y
x
y
xy x y
1
m n m n
m n m n
m
n
m n
m
m
n n
n
n n n
   
( )
( )
=
=
=
=
=
=
x x
x x
x x
xy x y
x
y
x
y
x x
n n
n
m n
m
n
m m
n
n n n
n
n
n
n
m mn
1
Valores de exponenciales, propiedades de los logaritmos
( )
( )
( )
( )
=
=
→
→ ∞
=
=
=
=
( )
−
−∞
∞
e
e
e
e
e
e x
a x
x
x
a
x x
1
1
0
log
log
log
ln log
n
n
x
x
a
e
0
ln
log
10
10
a
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
+ =
− =






=
+ =
− =






=
x y xy
x y
x
y
n x x
x y xy
x y
x
y
b x x
ln ln ln
ln ln ln
ln ln
log log log
log log log
log log
n
a a a
a a a
a a
b
➠ Geometría analítica
Distancia entre dos puntos
( ) ( )
= − + −
d x x y y
2 1
2
2 1
2
(x1
, y1
)
P1
y
x
P2
(x2
, y2
)
Ecuación de la recta punto-pendiente
Pendiente de una recta
=
∆
∆
=
−
−
m
y
x
y y
x x
2 1
2 1
(x1
, y1
)
(x2
, y1
)
P1
y
x
P2
P3
∆y
∆x
(x2
, y2
)
Puntos de intersección de la recta
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
296
Ecuación de la recta punto-pendiente
( )
− = −
y y m x x
1 1
(x1
, y1
)
y
x
Puntos de intersección de la recta
+ = ∀ ≠ ≠
x
a
y
b
a b
1 0; 0
(0, b)
(a, 0)
y
x
Ecuación de la circunferencia con centro en
el origen
+ =
x y r
2 2 2
y
r
x
Ecuación de la circunferencia con centro
fuera del origen.
( ) ( )
− + − =
x h y k r
2 2 2
y
r
x
x
(h, k)
Parábola
=





 −












= = −
x py
p
p
p
p
p
p y
p
2 ; Foco F= 0,
2
; Extremos Izq ,
2
;Der ,
2
Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz
2
2
y
F
x
(-h, )
p
2
( p, )
p
2
(0, )
p
2
y = - p
2
Parábola
= − −





 − −





 −






= =
x py
p
p
p
p
p
p y
p
2 ; Foco F= 0,
2
; Extremos Izq ,
2
;Der ,
2
Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz
2
2
y
F
x
( p,- )
p
2
(-p, )
p
2
(0,- )
p
2
y =
p
2
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría 297
Alfaomega
Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
Parábola
=





 −












= = −
y px
p p
p
p
p
p x
p
2 ; Foco F=
2
,0 ; Extremos Inf
2
, ;Sup
2
,
Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz
2
2
F
( , p )
p
2
( ,- p )
p
2
( ,0 )
p
2
x = - p
2 x
y
Parábola
= − −





 − −





 −






= =
y px
p p
p
p
p
p x
p
2 ; Foco F=
2
,0 ; Extremos Inf
2
, ;Sup
2
,
Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz
2
2
( - ,- p )
p
2
(- , p)
p
2
( - ,0 )
p
2 x =
p
2
y
Elipse centro en el origen
( ) ( )
+ = −
−
x
a
y
b
a b
F dF F dF
1 dF=
,0 ; ,0
2
2
2
2
2 2
1 2
y
dF
(- dF, 0) (dF, 0)
x
a
b
F2
F1
Elipse centro en el origen
( ) ( )
+ = −
−
y
a
x
b
a b
F dF F dF
1 dF=
0, ; 0,
2
2
2
2
2 2
1 2
y
dF
( 0, dF )
( 0, -dF )
x
a
A
b
F2
F1
x
Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría
Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán
298
Hipérbola
( ) ( )
− = +
−
x
a
y
b
a b
F dF F dF
1 dF=
,0 ; ,0
2
2
2
2
2 2
1 2
y
dF
(- dF, 0) (dF, 0)
x
F2
F1
Hipérbola
( ) ( )
− = +
−
y
a
x
b
a b
F dF F dF
1 dF=
0, ; 0,
2
2
2
2
2 2
1 2
y
dF
( 0, dF )
( 0, -dF )
x
F2
F1
División de un segmento en una razón
=
−
−
=
−
−
r
x x
x x
r
y y
y y
r r
2 1
1
2 1
1
y
x
D
C
E
B
R
S
A
( x2
, y2
)
( x2
, yr
)
( x2
, y1
)
( xr
, y1
)
( x1
, y1
)
( xr
, yr
)
Distancia de un punto a una recta
Ax By C
P x y d
Ax Bx C
A B
Ecuación general de la recta 0
Entonces:
1, 1 Pr
1 2
2 2
( )
+ + =
=
+ +
+
y
x
dPr
P
Ax +By+C =0
( x1
, y1
)

Contenu connexe

Similaire à formulario de Calculo Diferencial e Integral

Projet Méthodes Numériques
Projet  Méthodes Numériques Projet  Méthodes Numériques
Projet Méthodes Numériques
Ramin Samadi
 
Formulaire math
Formulaire mathFormulaire math
Transp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfTransp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdf
AuRevoir4
 
Transp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfTransp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdf
AuRevoir4
 
Bac 2022 - Corrigé maths
Bac 2022 - Corrigé mathsBac 2022 - Corrigé maths
Bac 2022 - Corrigé maths
LETUDIANT1
 
05_Transp_5_NEWNEW.pdf
05_Transp_5_NEWNEW.pdf05_Transp_5_NEWNEW.pdf
05_Transp_5_NEWNEW.pdf
AuRevoir4
 
Analyse de structure i4
Analyse de structure i4Analyse de structure i4
Halba
HalbaHalba
Corrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptxCorrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptx
Midoxotk
 
Math school-books-5th-primary-2nd-term-khawagah-2019-1
Math school-books-5th-primary-2nd-term-khawagah-2019-1Math school-books-5th-primary-2nd-term-khawagah-2019-1
Math school-books-5th-primary-2nd-term-khawagah-2019-1
khawagah
 
202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes 2
202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes 2202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes 2
202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes 2Ettaoufik Elayedi
 
202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes
202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes
202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotesEttaoufik Elayedi
 
Annalyse de donnée sur l'astrophysique sur les galaxies
Annalyse de donnée sur l'astrophysique sur les galaxiesAnnalyse de donnée sur l'astrophysique sur les galaxies
Annalyse de donnée sur l'astrophysique sur les galaxies
fanantenanarajaonisa
 
経済数学II 「第12章 制約つき最適化」
経済数学II 「第12章 制約つき最適化」経済数学II 「第12章 制約つき最適化」
経済数学II 「第12章 制約つき最適化」
Wataru Shito
 

Similaire à formulario de Calculo Diferencial e Integral (16)

Projet Méthodes Numériques
Projet  Méthodes Numériques Projet  Méthodes Numériques
Projet Méthodes Numériques
 
Formulaire math
Formulaire mathFormulaire math
Formulaire math
 
Transp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfTransp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdf
 
Transp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfTransp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdf
 
Bac 2022 - Corrigé maths
Bac 2022 - Corrigé mathsBac 2022 - Corrigé maths
Bac 2022 - Corrigé maths
 
05_Transp_5_NEWNEW.pdf
05_Transp_5_NEWNEW.pdf05_Transp_5_NEWNEW.pdf
05_Transp_5_NEWNEW.pdf
 
Analyse de structure i4
Analyse de structure i4Analyse de structure i4
Analyse de structure i4
 
Halba
HalbaHalba
Halba
 
Tabela 1
Tabela 1Tabela 1
Tabela 1
 
Corrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptxCorrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptx
 
Math school-books-5th-primary-2nd-term-khawagah-2019-1
Math school-books-5th-primary-2nd-term-khawagah-2019-1Math school-books-5th-primary-2nd-term-khawagah-2019-1
Math school-books-5th-primary-2nd-term-khawagah-2019-1
 
202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes 2
202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes 2202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes 2
202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes 2
 
202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes
202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes
202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes
 
Annalyse de donnée sur l'astrophysique sur les galaxies
Annalyse de donnée sur l'astrophysique sur les galaxiesAnnalyse de donnée sur l'astrophysique sur les galaxies
Annalyse de donnée sur l'astrophysique sur les galaxies
 
RDM.pdf
RDM.pdfRDM.pdf
RDM.pdf
 
経済数学II 「第12章 制約つき最適化」
経済数学II 「第12章 制約つき最適化」経済数学II 「第12章 制約つき最適化」
経済数学II 「第12章 制約つき最適化」
 

Dernier

1er webinaire INOSYS Réseaux d’élevage Ovins Viande
1er webinaire INOSYS Réseaux d’élevage Ovins Viande1er webinaire INOSYS Réseaux d’élevage Ovins Viande
1er webinaire INOSYS Réseaux d’élevage Ovins Viande
Institut de l'Elevage - Idele
 
Reconquête de l’engraissement du chevreau à la ferme
Reconquête de l’engraissement du chevreau à la fermeReconquête de l’engraissement du chevreau à la ferme
Reconquête de l’engraissement du chevreau à la ferme
Institut de l'Elevage - Idele
 
Comment aborder le changement climatique dans son métier, volet adaptation
Comment aborder le changement climatique dans son métier, volet adaptationComment aborder le changement climatique dans son métier, volet adaptation
Comment aborder le changement climatique dans son métier, volet adaptation
Institut de l'Elevage - Idele
 
Presentation d'esquisse route juin 2023.pptx
Presentation d'esquisse route juin 2023.pptxPresentation d'esquisse route juin 2023.pptx
Presentation d'esquisse route juin 2023.pptx
imed53
 
COURS ANALYSE FINANCIERE-NOGLO Méthodes d’analyses financières.pdf
COURS ANALYSE FINANCIERE-NOGLO Méthodes d’analyses financières.pdfCOURS ANALYSE FINANCIERE-NOGLO Méthodes d’analyses financières.pdf
COURS ANALYSE FINANCIERE-NOGLO Méthodes d’analyses financières.pdf
sieousse95
 
Accompagner les éleveurs dans l'analyse de leurs coûts de production
Accompagner les éleveurs dans l'analyse de leurs coûts de productionAccompagner les éleveurs dans l'analyse de leurs coûts de production
Accompagner les éleveurs dans l'analyse de leurs coûts de production
Institut de l'Elevage - Idele
 
COUPROD Une méthode nationale commune à l’ensemble des filières herbivores
COUPROD Une méthode nationale commune à l’ensemble des filières herbivoresCOUPROD Une méthode nationale commune à l’ensemble des filières herbivores
COUPROD Une méthode nationale commune à l’ensemble des filières herbivores
Institut de l'Elevage - Idele
 
Leviers d’adaptation au changement climatique, qualité du lait et des produit...
Leviers d’adaptation au changement climatique, qualité du lait et des produit...Leviers d’adaptation au changement climatique, qualité du lait et des produit...
Leviers d’adaptation au changement climatique, qualité du lait et des produit...
Institut de l'Elevage - Idele
 
Accompagner les porteurs de projets en transformation fermière
Accompagner les porteurs de projets en transformation fermièreAccompagner les porteurs de projets en transformation fermière
Accompagner les porteurs de projets en transformation fermière
Institut de l'Elevage - Idele
 
Quelles rotations dans les systèmes caprins de Nouvelle-Aquitaine et Pays de ...
Quelles rotations dans les systèmes caprins de Nouvelle-Aquitaine et Pays de ...Quelles rotations dans les systèmes caprins de Nouvelle-Aquitaine et Pays de ...
Quelles rotations dans les systèmes caprins de Nouvelle-Aquitaine et Pays de ...
Institut de l'Elevage - Idele
 
Alternative au Tramway de la ville de Quebec Rev 1 sml.pdf
Alternative au Tramway de la ville de Quebec Rev 1 sml.pdfAlternative au Tramway de la ville de Quebec Rev 1 sml.pdf
Alternative au Tramway de la ville de Quebec Rev 1 sml.pdf
Daniel Bedard
 

Dernier (11)

1er webinaire INOSYS Réseaux d’élevage Ovins Viande
1er webinaire INOSYS Réseaux d’élevage Ovins Viande1er webinaire INOSYS Réseaux d’élevage Ovins Viande
1er webinaire INOSYS Réseaux d’élevage Ovins Viande
 
Reconquête de l’engraissement du chevreau à la ferme
Reconquête de l’engraissement du chevreau à la fermeReconquête de l’engraissement du chevreau à la ferme
Reconquête de l’engraissement du chevreau à la ferme
 
Comment aborder le changement climatique dans son métier, volet adaptation
Comment aborder le changement climatique dans son métier, volet adaptationComment aborder le changement climatique dans son métier, volet adaptation
Comment aborder le changement climatique dans son métier, volet adaptation
 
Presentation d'esquisse route juin 2023.pptx
Presentation d'esquisse route juin 2023.pptxPresentation d'esquisse route juin 2023.pptx
Presentation d'esquisse route juin 2023.pptx
 
COURS ANALYSE FINANCIERE-NOGLO Méthodes d’analyses financières.pdf
COURS ANALYSE FINANCIERE-NOGLO Méthodes d’analyses financières.pdfCOURS ANALYSE FINANCIERE-NOGLO Méthodes d’analyses financières.pdf
COURS ANALYSE FINANCIERE-NOGLO Méthodes d’analyses financières.pdf
 
Accompagner les éleveurs dans l'analyse de leurs coûts de production
Accompagner les éleveurs dans l'analyse de leurs coûts de productionAccompagner les éleveurs dans l'analyse de leurs coûts de production
Accompagner les éleveurs dans l'analyse de leurs coûts de production
 
COUPROD Une méthode nationale commune à l’ensemble des filières herbivores
COUPROD Une méthode nationale commune à l’ensemble des filières herbivoresCOUPROD Une méthode nationale commune à l’ensemble des filières herbivores
COUPROD Une méthode nationale commune à l’ensemble des filières herbivores
 
Leviers d’adaptation au changement climatique, qualité du lait et des produit...
Leviers d’adaptation au changement climatique, qualité du lait et des produit...Leviers d’adaptation au changement climatique, qualité du lait et des produit...
Leviers d’adaptation au changement climatique, qualité du lait et des produit...
 
Accompagner les porteurs de projets en transformation fermière
Accompagner les porteurs de projets en transformation fermièreAccompagner les porteurs de projets en transformation fermière
Accompagner les porteurs de projets en transformation fermière
 
Quelles rotations dans les systèmes caprins de Nouvelle-Aquitaine et Pays de ...
Quelles rotations dans les systèmes caprins de Nouvelle-Aquitaine et Pays de ...Quelles rotations dans les systèmes caprins de Nouvelle-Aquitaine et Pays de ...
Quelles rotations dans les systèmes caprins de Nouvelle-Aquitaine et Pays de ...
 
Alternative au Tramway de la ville de Quebec Rev 1 sml.pdf
Alternative au Tramway de la ville de Quebec Rev 1 sml.pdfAlternative au Tramway de la ville de Quebec Rev 1 sml.pdf
Alternative au Tramway de la ville de Quebec Rev 1 sml.pdf
 

formulario de Calculo Diferencial e Integral

  • 1. Formulario A ➟ Integrales 277 Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán ➠ Formulario A: Integrales En este formulario: ∈ a b p q C , , , , son constantes reales, N ∈ m n , son enteros positivos y = u u x ( ) y = v v x ( ) son funciones que dependen x. Fórmulas básicas 1. ∫ = dx C 0 2. ∫ = + k dx kx C 3. a u b v dx a udx b vdx C ∫ ∫ ∫ ( ) ⋅ ± ⋅ = ± + 4. ∫ = + + ∀ ≠ − + u du u n C n 1 ; 1 n n 1 regla de la potencia 5. ∫ ∫ = − u dv uv vdu integración por partes 6. ∫ = + a du a a C ln( ) n n 7. ∫ = + du u u C ln | | 8. ∫ = + e dx e C u u Fórmulas trigonométricas 9. ∫ = − + u du u C sen( ) cos( ) 10. ∫ = + u du u C cos( ) sen( ) 11. u du u C u C tan( ) ln sen( ) ln cos( ) ∫ [ ] [ ] = + − +      12. ∫ [ ] = + u du u C cot( ) ln sen( ) 13. ∫ π [ ] = + + +             +        u du u u C u C sec( ) ln sec( ) tan( ) ln tan 2 4 14. ∫ [ ] = − +             +        u du u u C u C csc( ) ln csc( ) cot( ) ln tan 2 15. ∫ = + u du u C sec ( ) tan( ) 2 16. ∫ = − + u du u C csc ( ) cot( ) 2 17. ∫ = − + u du u u C tan ( ) tan( ) 2 18. ∫ = − − + u du u u C cot ( ) cot( ) 2 19. ∫ [ ] = − + − +        u du u u C u u u C sen ( ) 2 sen(2 ) 4 1 2 sen( )cos( ) 2 20. ∫ [ ] = + + + +        u du u u C u u u C cos ( ) 2 sen(2 ) 4 1 2 sen( )cos( ) 2 21. ∫ = + u u du u C sec( )tan( ) sec( ) 22. ∫ = − + u u du c C csc( )cot( ) csc( ) Fórmulas trigonométricas hiperbólicas 23. ∫ = + u du u C senh( ) cosh( ) 24. ∫ = + u du u C cosh( ) senh( ) 25. ∫ [ ] = + u du u C tanh( ) ln cosh( ) 26. ∫ [ ] = + u du u C coth( ) ln senh( ) 27. ∫ ( ) [ ] = + +      − − u du u C e C sech( ) sen tanh( ) 2tanh u 1 1 28. ∫ ( ) =             + − +        − u du u C e C csch( ) ln tanh 2 2coth u 1 29. ∫ = + u du u C sech ( ) tanh( ) 2 30. ∫ = − + u du u C csch ( ) coth( ) 2 31. ∫ = − + u du u u C tanh ( ) tanh( ) 2 32. ∫ = − + u du u u C coth ( ) coth( ) 2 33. ∫ [ ] = − + − +        u du u u C u u u C senh ( ) senh(2 ) 4 2 1 2 senh( )cosh( ) 2 34. ∫ [ ] = + + + +        u du u u C u u u C cosh ( ) senh(2 ) 4 2 1 2 senh( )cosh( ) 2 35. ∫ = − + u u du u C sech( )tanh( ) sech( ) 36. ∫ = − + u u du u C csch( )coth( ) csch( )
  • 2. Formulario A ➟ Integrales Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 278 Fórmulas con 56. ∫ + = + + du au b au b a C 2 57. ∫ + = − + + u au b du au b a au b C 2( 2 ) 3 2 58. ∫ + = − + + + u au b du a u abu b a au b C 2(3 4 8 ) 15 2 2 2 2 3 59. ∫ + = + − + +       + − + − +        − du u au b b au b b au b b C b au b b C 1 ln 2 tan 1 60. ∫ ∫ + = − + − + du u au b au b bu a b du u au b 2 2 61. ∫ + = + + au b du au b a C 2 ( ) 3 3 62. ∫ + = − + + u au b du au b a au b C 2(3 2 ) 15 ( ) 2 3 63. ∫ + = − + + + u au b du a u abu b a au b C 2(15 12 8 ) 105 ( ) 2 2 2 2 3 3 64. ∫ ∫ + = + + + au b u du au b b du u au b 2 65. ∫ ∫ + = − + + + au b u du au b u a du u au b 2 2 66. ∫ ∫ + = + + − + + − u au b du u au b m a mb m a u au b du 2 (2 1) 2 (2 1) m m m 1 67. ∫ ∫ + = − + − − − − + − − du u au b au b m bu m a m b du u au b ( 1) (2 3) (2 2) m m m 1 1 68. ∫ ∫ + = + + − + + − u au b du u m a au b mb m a u au bdu 2 (2 3) ( ) 2 (2 3) m m m 3 2 1 69. ∫ ∫ + = − + − + − + − − au b u du au b m u a m du u au b ( 1) 2( 1) m m m 1 1 70. ∫ ∫ + = − + − − − − + − − au b u du au b m bu m a m b au b u du ( ) ( 1) (2 5) (2 2) m m m 3 2 1 1 71. ∫ + = + + + + au b du au b a m C ( ) 2( ) ( 2) m m 2 2 2 72. ∫ + = + + − + + + + + u au b du au b a m b au b a m C ( ) 2( ) ( 4) 2 ( ) ( 2) m m m 2 4 2 2 2 2 2 73. ∫ + = + + − + + + + + + + + + u au b du au b a m b au b a m b au b a m C ( ) 2( ) ( 6) 4 ( ) ( 4) 2 ( ) ( 2) m m m m 2 2 6 2 3 4 2 3 2 2 2 3 ∫ + = + + − + + + + + + + + + u au b du au b a m b au b a m b au b a m C ( ) 2( ) ( 6) 4 ( ) ( 4) 2 ( ) ( 2) m m m m 2 2 6 2 3 4 2 3 2 2 2 3 Fórmulas con 37. ∫ ( ) + = + + du au b a au b C 1 ln 38. ∫ ( ) + = − + + u au b du u a b a au b C ln 2 39. ∫ ( ) + = + − + + + + u au b du au b a b au b a b a au b C ( ) 2 2 ( ) ln 2 2 3 3 2 3 40. ∫ + = + − + + + − + + u au b du au b a b au b a b au b a b a au b C ( ) 3 3 ( ) 2 3 ( ) ln( ) 3 3 4 2 4 2 4 3 4 − + + + − + + b au b a b au b a b a au b C 3 ( ) 2 3 ( ) ln( ) 3 2 4 2 4 3 4 41. ∫ + = +       + du u au b b u au b C ( ) 1 ln 42. ∫ + = − + +       + du u au b bu a b au b u C ( ) 1 ln 2 2 43. ∫ + = − + + du au b a au b C ( ) 1 ( ) 2 44. ∫ + = + + + + u au b du b a au b a au b C ( ) ( ) 1 ln( ) 2 2 2 45. ∫ + = + − + − + + u au b du au b a b a au b b a au b C ( ) ( ) 2 ln( ) 2 2 3 2 3 3 46. ∫ + = + + +       + du u au b b au b b u au b C ( ) 1 ( ) 1 ln 2 2 47. ∫ + = − + − + +       + du u au b a b au b b u a b au b u C ( ) ( ) 1 2 ln 2 2 2 2 3 48. ∫ + = − + + du au b au b C ( ) 1 2( ) 3 2 49. ∫ + = − + + + + u au b du a au b b a au b C ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 2 2 2 50. ∫ + = + − + + + + u au b du b a au b b a au b a au b C ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ln( ) 2 3 3 2 3 2 3 51. ∫ + = + + au b du au b a C ( ) ( ) 2 2 52. ∫ + = + + + ∀ ≠ − + au b du au b n a C n ( ) ( ) ( 1) 1 n n 1 53. ∫ + = + + − + + ∀ ≠ − − + + u au b du au b n a b au b n a n ( ) ( ) ( 2) ( ) ( 1) 1, 2 n n n 2 2 1 2 54. ∫ + = + + − + + + + + + ∀ ≠ − − − + + + u au b du au b n a b au b n a b au b n a C n ( ) ( ) ( 3) 2 ( ) ( 2) ( ) ( 1) 1, 2, 3 n n n n 2 3 3 2 3 2 1 3 = + + − + + + + + + ∀ ≠ − − − + + + du au b n a b au b n a b au b n a C n ( ) ( 3) 2 ( ) ( 2) ( ) ( 1) 1, 2, 3 n n n 3 3 2 3 2 1 3 55. ∫ ∫ ∫ ∫ + = + + + + + + + + + + − + + + − + + + + + + +            + − + − + + + u au b du u au b m n nb m n u au b du u au b m n a mb m n a u au b du u au b n b m n n b u au b du ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) 2 ( 1) ( ) m n m n m n m n m n m n m n 1 1 1 1 1 1 1
  • 3. Formulario A ➟ Integrales 279 Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 74. ∫ ∫ + = + + + − au b u du au b m b au b u du ( ) 2( ) ( ) m m m 2 2 2 2 75. ∫ ∫ + = − + + + + au b u du au b bu am b au b u du ( ) ( ) 2 ( ) m m m 2 2 2 2 2 76. ∫ ∫ + = − + + + − − du u au b b m au b b du u au b ( ) 2 ( 2)( ) 1 ( ) m m m 2 2 2 2 2 Fórmulas con 77. ∫ + =       + − du u a a u a C 1 tan 2 2 1 78. ∫ ( ) + = + + u u a du u a C 1 2 ln 2 2 2 2 79. ∫ + = −       + − u u a du u a u a C tan 2 2 2 1 80. ∫ ( ) + = − + + u u a du u a u a C 2 2 ln 3 2 2 2 2 2 2 81. ∫ + = +       + du u u a a u u a C ( ) 1 2 ln 2 2 2 2 2 2 82. ∫ + = − −       + − du u u a a u a u a C ( ) 1 1 tan 2 2 2 2 3 1 83. ∫ + = − − +       + du u u a a u a u u a C ( ) 1 2 1 2 ln 3 2 2 2 2 4 2 2 2 84. ∫ ( ) + = + +       + − du u a u a u a a u a C 2 ( ) 1 2 tan 2 2 2 2 2 2 3 1 85. ∫ ( ) + = − + + u u a du u a C 1 2( ) 2 2 2 2 2 86. ∫ ( ) + = − + +       + − u u a du u u a a u a C 2( ) 1 2 tan 2 2 2 2 2 2 1 87. ∫ ( ) + = + + + + u u a du a u a u a C 2( ) 1 2 ln( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 88. ∫ ( ) + = + + +       + du u u a a u a a u u a C 1 2 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 89. ∫ ( ) + = − − + −       + − du u u a a u u a u a a u a C 1 2 ( ) 3 2 tan 2 2 2 2 4 4 2 2 5 1 90. ∫ ( ) + = − − + − +       + du u u a a u a u a a u u a C 1 2 1 2 ( ) 1 ln 3 2 2 2 4 2 4 2 2 6 2 2 2 91. ∫ ∫ ( ) ( ) + = − − + + − − + − − du u a u a n u a n n a du u a 2 ( 1)( ) 2 3 (2 2) n n n 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 92. ∫ ( ) + = − − + + − u u a du n u a C 1 2( 1)( ) n n 2 2 2 2 1 93. ∫ ∫ ( ) + = − + + + − − du u u a a n u a a du u u a 1 2 ( 1)( ) 1 ( ) n n n 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 94. ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) + = + − + − − − u u a du u u a du a u u a du ( ) m n m n m n 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 95. ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) + = + − + − − du u u a a du u u a a du u u a 1 1 m n m n m n 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 Fórmulas con 96. ∫ − = − +       + −       +        − du u a a u a u a C a u a C 1 2 ln 1 coth 2 2 1 97. ∫ − = − + u u a du u a C 1 2 ln( ) 2 2 2 2 98. ∫ − = + − +       + u u a du u a u a u a C 2 ln 2 2 2 99. ∫ − = + − + u u a du u a u a C 2 2 ln( ) 3 2 2 2 2 2 2 100. ∫ − = −       + du u u a a u a u C ( ) 1 2 ln 2 2 2 2 2 2 101. ∫ − = + − +       + du u u a a u a u a u a C ( ) 1 1 2 ln 2 2 2 2 3 102. ∫ − = − −       + du u u a a u a u u a C ( ) 1 2 1 2 ln 3 2 2 2 2 4 2 2 2 103. ∫ ( ) − = − − − − +       + du u a u a u a a u a u a C 2 ( ) 1 4 ln 2 2 2 2 2 2 3 104. ∫ − = − − + u u a du u a C ( ) 1 2( ) 2 2 2 2 2 105. ∫ ( ) ( ) − = − − + − +       + u u a du u u a a u a u a C 2 1 4 ln 2 2 2 2 2 2 106. ∫ ( ) ( ) ( ) − = − − + − + u u a du a u a u a C 2 1 2 ln 3 2 2 2 2 2 2 2 107. ∫ ( ) ( ) − = − − + −       + du u u a a u a a u u a C 1 2 1 2 ln 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 108. ∫ ( ) ( ) − = − − − − − +       + du u u a a u u a u a a u a u a C 1 2 3 4 ln 2 2 2 2 4 4 2 2 5 109. ∫ ( ) ( ) − = − − − + −       + du u u a a u a u a a u u a C 1 2 1 2 1 ln 3 2 2 2 4 2 4 2 2 6 2 2 2 110. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = − − − − − − − − − du u a u a n u a n n a du u a 2 1 2 3 2 2 n n n 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
  • 4. Formulario A ➟ Integrales Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 280 111. ∫ ( ) ( ) ( ) − = − − − + − u u a du n u a C 1 2 1 n n 2 2 2 2 1 112. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) − = − − − − − − − du u u a a n u a a du u u a 1 2 1 1 n n n 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 113. ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) − = − + − − − − u u a du u u a du a u u a du m n m n m n 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 114. ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) − = − + − − − du u u a a du u u a a du u u a 1 1 m n m n m n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Fórmulas con 115. ∫ − = + −       +       +        − du a u a a u a u C a u a C 1 2 ln 1 tanh 2 2 1 116. ∫ ( ) − = − − + u a u du a u C 1 2 ln 2 2 2 2 117. ∫ − = − + + −       + u a u du u a a u a u C 2 ln 2 2 2 118. ∫ ( ) − = − − − + u a u du u a a u C 2 2 ln 3 2 2 2 2 2 2 119. ∫ ( ) − = −       + du u a u a u a u C 1 2 ln 2 2 2 2 2 2 120. ∫ ( ) − = + + −       + du u a u a u a a u a u C 1 1 2 ln 2 2 2 2 3 121. ∫ ( ) − = − + −       + du u a u a u a u a u C 1 2 1 2 ln 3 2 2 2 2 4 2 2 2 122. ∫ ( ) ( ) − = − + + −       + du a u u a a u a a u a u C 2 1 4 ln 2 2 2 2 2 2 3 123. ∫ ( ) ( ) − = − + u a u du a u C 1 2 2 2 2 2 2 124. ∫ ( ) ( ) − = − − + −       + u a u du u a u a a u a u C 2 1 4 ln 2 2 2 2 2 2 125. ∫ ( ) ( ) ( ) − = − + − + u a u du a a u a u C 2 1 2 ln 3 2 2 2 2 2 2 2 2 126. ∫ ( ) ( ) − = − + −       + du u a u a a u a u a u C 1 2 1 2 ln 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 127. ∫ ( ) ( ) − = − + − + + −       + du u a u a u u a a u a a u a u C 1 2 3 4 ln 2 2 2 2 4 4 2 2 5 128. ∫ ( ) ( ) − = − + − + −       + du u a u a u a a u a u a u C 1 2 1 2 1 ln 3 2 2 2 4 2 4 2 2 6 2 2 2 129. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = − − + − − − − − du a u u a n a u n n a du a u 2 1 2 3 2 2 n n n 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 130. ∫ ( ) ( ) ( ) − = − − + − u a u du a n a u C 1 2 1 n n 2 2 2 2 2 1 Fórmulas con 131. ∫ ( ) + = + + + + + u a du u u a a u u a C 2 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 132. ∫ ( ) + = + + u u a du u a C 3 2 2 2 2 3 2 133. ∫ ( ) ( ) + = + − + − + + + u u a du u u a a u u a a u u a C 4 8 8 ln 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 ∫ ( ) ( ) + = + − + − + + + u u a du u u a a u u a a u u a C 4 8 8 ln 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 134. ∫ ( ) ( ) + = + − + + u u a du u a a u a C 5 3 3 2 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 135. ∫ ( ) + = + + +       +        − du u a u u a C u a C ln senh 2 2 2 2 1 136. ∫ + = + + u u a du u a C 2 2 2 2 137. ∫ ( ) + = + − + + + u u a du u u a a u u a C 2 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 2 138. ∫ ( ) + = + − + + u u a du u a a u a C 3 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 139. ∫ + = − + +       + du u u a a a u a u C 1 ln 2 2 2 2 140. ∫ + = − + + du u u a u a a u C 2 2 2 2 2 2 141. ∫ + = − + + + +       + du u u a u a a u a a u a u C 2 1 2 ln 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 142. ∫ + = + − + +       + u a u du u a a a u a u C ln 2 2 2 2 2 2 143. ∫ ( ) + = − + + + + + u a u du u a u u u a C ln 2 2 2 2 2 2 2
  • 5. Formulario A ➟ Integrales 281 Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 144. ∫ + = − + − + +       + u a u du u a u a a u a u C 2 1 2 ln 2 2 3 2 2 2 2 2 145. ∫ ( ) + = + + du u a u a u a C 2 2 3 2 2 2 2 146. ∫ ( ) + = − + + u u a du u a C 1 2 2 3 2 2 2 147. ∫ ( ) ( ) + = − + + + + + u u a du u u a u u a C ln 2 2 2 3 2 2 2 2 2 148. ∫ ( ) + = + + + + u u a du u a a u a C 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 149. ∫ ( ) + = + − + +       + du u u a a u a a a u a u C 1 1 ln 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 150. ∫ ( ) + = − + − + + du u u a u a a u u a u a C 2 2 2 3 2 2 2 4 4 2 2 151. ∫ ( ) + = − + − + + + +       + du u u a a u u a a u a a a u a u C 1 2 3 2 3 2 ln 3 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 5 2 2 + − + + + +       + u u a a u a a a u a u C 1 3 2 3 2 ln 2 2 2 4 2 2 5 2 2 152. ∫ ( ) ( ) ( ) + = + + + + + + + u a du u u a a u u a a u u a C 4 3 8 3 8 ln 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 ( ) ( ) + + + + + + + u a a u u a a u u a C 4 3 8 3 8 ln 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 153. ∫ ( ) ( ) + = + + u u a du u a C 5 2 2 3 2 2 2 5 2 154. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) + = + − + − + − + + + u u a du u u a a u u a a u u a a u u a C 6 24 16 16 ln 2 2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 4 2 2 6 2 2 ( ) ( ) − + − + − + + + a u u a a u u a a u u a C 24 16 16 ln 5 2 2 2 2 3 2 4 2 2 6 2 2 155. ∫ ( ) ( ) + = + + + − + +       + u a u du u a a u a a a u a u C 3 ln 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 156. ∫ ( ) ( ) ( ) + = − + + + + + + + u a u du u a u u u a a u u a C 3 2 3 2 ln 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) − + + + + + + + u a u u u a a u u a C 3 2 3 2 ln 2 2 3 2 2 2 2 2 2 157. ∫ ( ) ( ) + = − + + + − + +       + u a u du u a u u a a a u a u C 2 3 2 3 2 ln 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ∫ ( ) ( ) + = − + + + − + +       + u a u du u a u u a a a u a u C 2 3 2 3 2 ln 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 Fórmulas con 158. ∫ ( ) − = + − + du u a u u a C ln 2 2 2 2 159. ∫ − = − + u u a du u a C 2 2 2 2 160. ∫ ( ) − = − + + − + u u a du u u a a u u a C 2 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 2 161. ∫ ( ) − = − + − + u u a du u a a u a C 3 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 162. ∫ − =       + − du u u a a u a C 1 sec 2 2 1 163. ∫ − = − + du u u a u a a u C 2 2 2 2 2 2 164. ∫ − = − +       + − du u u a u a a u a u a C 2 1 2 sec 3 2 2 2 2 2 2 3 1 165. ∫ ( ) − = − − + − + u a du u u a a u u a C 2 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 166. ∫ ( ) − = − + u u a du u a C 3 2 2 2 2 3 2 167. ∫ ( ) ( ) − = − + − − + − + u u a du u u a a u u a a u u a C 4 8 8 ln 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 ∫ ( ) ( ) − = − + − − + − + u u a du u u a a u u a a u u a C 4 8 8 ln 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 168. ∫ ( ) ( ) − = − + − + u u a du u a a u a C 5 3 3 2 2 2 2 5 2 2 2 3 2 169. ∫ − = − −       + − u a u du u a a u a C sec 2 2 2 2 1 170. ∫ ( ) − = − − + + − + u a u du u a u u u a C ln 2 2 2 2 2 2 2 171. ∫ − = − − +       + − u a u du u a u a u a C 2 1 2 sec 2 2 3 2 2 2 1 172. ∫ ( ) − = − − + du u a u a u a C 2 2 3 2 2 2 2
  • 6. Formulario A ➟ Integrales Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 282 173. ∫ ( ) − = − − + u u a du u a C 1 2 2 3 2 2 2 174. ∫ ( ) ( ) − = − − + + − + u u a du u u a u u a C ln 2 2 2 3 2 2 2 2 2 175. ∫ ( ) − = − − − + u u a du u a a u a C 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 176. ∫ ( ) − = − − −       + − du u u a a u a a u a C 1 1 sec 2 2 3 2 2 2 2 3 1 177. ∫ ( ) − = − − − − + du u u a u a a u u a u a C 2 2 2 3 2 2 2 4 4 2 2 178. ∫ ( ) − = − − − −       + − du u u a a u u a a u a a u a C 1 2 3 2 3 2 sec 3 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 5 1 179. ∫ ( ) ( ) − = − −       − − + − + u a du u u a u a a u u a C 2 1 8 5 16 3 8 ln 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 ( ) = − −       − − + − + u u a u a a u u a C 2 1 8 5 16 3 8 ln 2 2 2 2 4 2 2 180. ∫ ( ) ( ) − = − + u u a du u a C 5 2 2 3 2 2 2 5 2 181. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) − = − + − − − + + − + u u a du u u a a u u a a u u a a u u a C 6 24 16 16 ln 2 2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 4 2 2 6 2 2 ( ) ( ) + − − − + + − + a u u a a u u a a u u a C 24 16 16 ln 5 2 2 2 2 3 2 4 2 2 6 2 2 182. ∫ ( ) ( ) ( ) − = − + − + u u a du u a a u a C 7 5 3 2 2 3 2 2 2 7 2 2 2 2 5 2 183. ∫ ( ) ( ) − = − − − +       + − u a u du u a a u a a u a C 3 sec 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 1 184. ∫ ( ) ( ) ( ) − = − − + − − + − + u a u du u a u u u a a u u a C 3 2 3 2 ln 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) = − − + − − + − + u a u u u a a u u a C 3 2 3 2 ln 2 2 3 2 2 2 2 2 2 185. ∫ ( ) ( ) − = − − + − −       + − u a u du u a u u a a u a C 2 3 2 3 2 sec 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 1 Fórmulas con 186. ∫ − =       + − du a u u a C sen 2 2 1 187. ∫ − = − − + u a u du a u C 2 2 2 2 188. ∫ − = − − +       + − u a u du u a u a u a C 2 2 sen 2 2 2 2 2 2 1 189. ∫ ( ) − = − − − + u a u du a u a a u C 3 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 190. ∫ − = − + −       + du u a u a a a u u C 1 ln 2 2 2 2 191. ∫ − = − − + du u a u a u a u C 2 2 2 2 2 2 192. ∫ − = − − − + −       + du u a u a u a u a a a u u C 2 1 2 ln 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 193. ∫ − = − +       + − a u du u a u a u a C 2 2 sen 2 2 2 2 2 1 194. ∫ ( ) − = − − + u a u du a u C 3 2 2 2 2 3 2 195. ∫ ( ) − = − − + − +       + − u a u du u a u a u a u a u a C 4 8 8 sen 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 1 196. ∫ ( ) ( ) − = − − − + u a u du a u a a u C 5 3 3 2 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 197. ∫ − = − − + −       + a u u du a u a a a u u C ln 2 2 2 2 2 2 198. ∫ − = − − −       + − a u u du a u u u a C sen 2 2 2 2 2 1 199. ∫ − = − − + + −       + a u u du a u u a a a u u C 2 1 2 ln 2 2 3 2 2 2 2 2 200. ∫ ( ) − = − + du a u u a a u C 2 2 3 2 2 2 2 201. ∫ ( ) − = − + u a u du a u C 1 2 2 3 2 2 2 202. ∫ ( ) − = − −       + − u a u du u a u u a C sen 2 2 2 3 2 2 2 1 203. ∫ ( ) − = − + − + u a u du a u a a u C 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 204. ∫ ( ) − = − − + −       + du u a u a a u a a a u u C 1 1 ln 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 205. ∫ ( ) − = − − + − + du u a u a u a u u a a u C 2 2 2 3 2 2 2 4 4 2 2
  • 7. Formulario A ➟ Integrales 283 Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 206. ∫ ( ) − = − − + − − + −       + du u a u a u a u a a u a a a u u C 1 2 3 2 3 2 ln 3 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 5 2 2 − + − − + −       + a u a u a a u a a a u u C 1 3 2 3 2 ln 2 2 2 2 4 2 2 5 2 2 207. ∫( ) ( ) − = − + − +       + a u du u a u a u a u a u a C 4 3 8 3 8 sen 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 4 208. ∫ ( ) ( ) − = − − + u a u du a u C 5 2 2 3 2 2 2 5 2 209. ∫ ( ) ( ) ( ) − = − − + − + − +       + − u a u du u a u a u a u a u a u a u a C 6 24 16 16 sen 2 2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 4 2 2 6 1 ( ) ( ) = − − + − + − +       + − u a u a u a u a u a u a u a C 6 24 16 16 sen 2 2 5 2 2 2 2 3 2 4 2 2 6 1 210. ∫ ( ) ( ) ( ) − = − − − + u a u du a u a a u C 7 5 3 2 2 3 2 2 2 7 2 2 2 2 5 2 211. ∫ ( ) ( ) − = − + − − + −       + a u u du a u a a u a a a u u C 3 ln 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 ( ) = − + − − + −       + du a u a a u a a a u u C 3 ln 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 212. ∫ ( ) ( ) − = − − − − +       + a u u du a u u u a u a u a C 3 2 3 2 sen 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 213. ∫ ( ) ( ) − = − − − − + + −       + a u u du a u u a u a a a u u C 2 3 2 3 2 ln 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ( ) = − − − − + + −       + du a u u a u a a a u u C 2 3 2 3 2 ln 2 2 3 2 2 2 2 2 2 Fórmulas con 214. ∫ + + = − + −       + − + − − + + −       +          − du au bu c ac b au b ac b C b ac au b b ac au b b ac C 2 4 tan 2 4 1 4 ln 2 4 2 4 2 2 1 2 2 2 2 215. ∫ ∫ ( ) + + = + + − + + u au bu c du a au bu c b a du au bu c 1 2 ln 2 2 2 2 216. ∫ ∫ ( ) + + = − + + + − + + u au bu c du u a b a au bu c b ac a du au bu c 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ( ) − + + + − + + b a au bu c b ac a du au bu c 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 217. ∫ ∫ ( ) + + = + +       − + + du u au bu c c u au bu c b c du au bu c 1 2 ln 2 2 2 2 2 218. ∫ ∫ ( ) + + = + +       − + − + + du u au bu c b c au bu c u cu b ac c du au bu c 2 ln 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ( ) + + = + +       − + − + + du u au bu c b c au bu c u cu b ac c du au bu c 2 ln 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 219. ∫ ∫ ( ) ( )( ) + + = + − + + + − + + du au bu c au b ac b au bu c a ac b du au bu c 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ( ) ( )( ) + + = + − + + + − + + du au bu c au b ac b au bu c a ac b du au bu c 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 220. ∫ ∫ ( ) ( )( ) + + = − + − + + − − + + u au bu c du bu c ac b au bu c b ac b du au bu c 2 4 4 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ( ) ( )( ) + + = − + − + + − − + + u au bu c du bu c ac b au bu c b ac b du au bu c 2 4 4 2 2 2 2 2 2 221. ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( ) + + = − + + + + + − + + u au bu c du b ac u bc a ac b au bu c c ac b du au bu c 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( ) + + = − + + + + + − + + u au bu c du b ac u bc a ac b au bu c c ac b du au bu c 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 222. ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) + + = + + − + + + + + du u au bu c c au bu c b c du au bu c c du u au bu c 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) + + = + + − + + + + + du u au bu c c au bu c b c du au bu c c du u au bu c 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 223. ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) + + = − + + − + + − + + du u au bu c cu au bu c a c du au bu c b c du u au bu c 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) + + = − + + − + + − + + du u au bu c cu au bu c a c du au bu c b c du u au bu c 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 224. ∫ ∫ ∫ ( ) + + = − − + + − + + − − − u au bu c du u a m c a u au bu c du b a u au bu c du 1 m m m m 2 1 2 2 1 2 ∫ ∫ ∫ ( ) + + = − − + + − + + − − − u au bu c du u a m c a u au bu c du b a u au bu c du 1 m m m m 2 1 2 2 1 2 225. ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) + + = − − − + + − + + − − − du u au bu c c n u b c du u au bu c a c du u au bu c 1 1 n n n n 2 1 1 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) + + = − − − + + − + + − − − du u au bu c c n u b c du u au bu c a c du u au bu c 1 1 n n n n 2 1 1 2 2 2 Fórmulas con 226. ∫ ( ) + = + − +       + −       + − du u a a a u u au a a u a a C 1 6 ln 1 3 tan 2 3 3 3 2 2 2 2 2 1 227. ∫ ( ) + = − + +       + −       + − u u a du a u au a u a a u a a C 1 6 ln 1 3 tan 2 3 3 3 2 2 2 1 228. ∫ ( ) + = + + u u a du u a C 1 3 ln 2 3 3 3 3
  • 8. Formulario A ➟ Integrales Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 284 229. ∫ ( ) + = +       + du u u a a u u a C 1 3 ln 3 3 3 3 3 3 230. ∫ ( ) ( ) + = − − − + +       − −       + − du u u a a u a u au a u a a u a a C 1 1 6 ln 1 3 tan 2 3 2 3 3 3 4 2 2 2 4 1 ( ) − + +       − −       + − a u au a u a a u a a C 1 6 ln 1 3 tan 2 3 4 2 2 2 4 1 231. ∫ ( ) ( ) ( ) + = + + + − +       + −       + − du u a u a u a a u a u au a a u a a C 3 1 9 ln 2 3 3 tan 2 3 3 3 2 3 3 3 5 2 2 2 5 1 ( ) + − +       + −       + − a u a u au a a u a a C 1 9 ln 2 3 3 tan 2 3 5 2 2 2 5 1 232. ∫ ( ) ( ) ( ) + = + + − + +       + −       + − u u a du u a u a a u au a u a a u a a C 3 1 18 ln 1 3 3 tan 2 3 3 3 2 2 5 3 3 4 2 2 2 4 1 ) ( ) + + − + +       + −       + − u u a a u au a u a a u a a C 1 18 ln 1 3 3 tan 2 3 2 3 3 4 2 2 2 4 1 233. ∫ ( ) ( ) + = − + + u u a du u a C 1 3 2 3 3 2 3 3 234. ∫ ( ) ( ) + = + + +       + du u u a a u a a u u a C 1 3 1 3 ln 3 3 2 3 3 3 6 3 3 3 235. ∫ ∫ ( ) ( ) + = − − + − + du u u a a u u a u a a u u a du 1 3 4 3 2 3 3 2 6 2 6 3 3 6 3 3 236. ∫ ∫ + = − − + − − u u a du u m a u u a du 2 m m m 3 3 2 3 3 3 3 237. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) + = − − − + − − du u u a a n u a du u u a 1 1 1 n n n 3 3 3 1 3 3 3 3 Fórmulas con 238. ∫ + = + + − +       − −       − +               + − − du u a a u au a u au a a u a u a C 1 4 2 ln 2 2 1 2 2 tan 1 2 tan 1 2 4 4 3 2 2 2 2 3 1 1 + + − +       − −       − +               + − − u au a u au a a u a u a C n 2 2 1 2 2 tan 1 2 tan 1 2 2 2 2 2 3 1 1 239. ∫ + = − + + +       − −       − +               + − − u u a du a u au a u au a a u a u a C 1 4 2 ln 2 2 1 2 2 tan 1 2 tan 1 2 2 4 4 2 2 2 2 1 1 − + + +       − −       − +               + − − u au a u au a a u a u a C ln 2 2 1 2 2 tan 1 2 tan 1 2 2 2 2 2 1 1 240. ∫ ( ) + = − − − + + +       + −       − +               + − − du u u a a u a u au a u au a a u a u a C 1 1 4 2 ln 2 2 1 2 2 tan 1 2 tan 1 2 2 4 4 4 5 2 2 2 2 5 1 1 − + + +       + −       − +               + − − u au a u au a a u a u a C n 2 2 1 2 2 tan 1 2 tan 1 2 2 2 2 2 5 1 1 241. ∫ ( ) + = + + u u a du u a C 1 4 ln 3 4 4 4 4 242. ∫ ( ) + = +       + du u u a a u u a C 1 4 ln 4 4 2 4 4 4 243. ∫ + =       + − u u a du a u a C 1 2 tan 4 4 2 1 2 2 244. ∫ ( ) + = − −       + − du u u a a u a u a C 1 2 1 2 tan 3 4 4 4 2 6 1 2 2 245. ∫ − = − +       −       + − du u a a u a u a a u a C 1 4 ln 1 2 tan 4 4 3 3 1 246. ∫ − = − +       + u u a du a u a u a C 1 4 ln 4 4 2 2 2 2 2 247. ∫ − = − +       +       + − u u a du a u a u a a u a C 1 4 ln 1 2 tan 2 4 4 1 248. ∫ ( ) − = − + u u a du u a C 1 4 ln 3 4 4 4 4 249. ∫ ( ) − = −       + du u u a a u a u C 1 4 ln 4 4 4 4 4 4 250. ∫ ( ) − = + − +       +       + − du u u a a u a u a u a a u a C 1 1 4 ln 1 2 tan 2 4 4 4 5 5 1 251. ∫ ( ) − = + − +       + du u u a a u a u a u a C 1 2 1 4 ln 3 4 4 4 2 6 2 2 2 2 Fórmulas con 252. ∫ ( ) ( ) = − + au du au a C sen cos 253. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + u au du au a u au a C sen sen cos 2 254. ∫ ( ) ( ) ( ) = + −       + u au du u a au a u a au C sen 2 sen 2 cos 2 2 3 2 255. ∫ ( ) ( ) ( ) = −       + −       + u au du u a a au u a u a au C sen 3 6 sen 6 cos 3 2 2 4 3 3 256. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) = − + − u au du u au a n a u au du sen cos cos n n n 1 257. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − − − − u au du u au a nu a au n n a u au du sen cos sen 1 sen n n n n 1 2 2 2 ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − − − − u au du u au a nu a au n n a u au du sen cos sen 1 sen n n n n 1 2 2 2 258. ∫ ( ) ( ) = − + au du u au a C sen 2 sen 2 4 2
  • 9. Formulario A ➟ Integrales 285 Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 259. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + + au du au a au a C sen cos cos 3 3 3 260. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + + au du u au a au a C sen 3 8 sen 2 4 sen 4 32 4 261. ∫ ( ) ( ) ( ) = − − + u au du u u au a au a C sen 4 sen 2 4 cos 8 2 2 2 262. ∫ ( ) ( ) ( ) = − ⋅ + ⋅ − au u du au au au sen 3 3! 5 5! ... 3 5 263. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) = − + au u du au u a au u du sen sen cos 2 264. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) = − +             +        du au a au au C a au C sen 1 ln csc cot 1 ln tan 2 265. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + − + +           − + u au du a au au au B au n sen 1 18 7 1800 ... 2 2 1 2 1 ! ... n n n 2 3 5 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + − + +           − + du a au au au B au n 1 18 7 1800 ... 2 2 1 2 1 ! ... n n n 2 3 5 2 1 2 1 266. ∫ ( ) ( ) = − + du au a au C sen 1 cot 2 267. ∫ ( ) ( ) ( ) = − +             + du au au a au a au C sen cos 2 sen 1 2 ln tan 2 3 2 268. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − + + + ≠ au bu du a b u a b a b u a b C a b sen sen sen 2 sen 2 269. ∫ π ( ) − = +       + du au a au C 1 sen 1 tan 4 2 270. ∫ π π ( ) − = +       + +             + u au du u a au a au C 1 sen tan 4 2 2 ln sen 4 2 2 271. ∫ π ( ) + = − −       + du au a au C 1 sen 1 tan 4 2 272. ∫ π π ( ) + = − −       + +             + u au du u a au a au C 1 sen tan 4 2 2 ln sen 4 2 2 273. ∫ π π ( ) ( ) − = +       + +       + du au a au a au C 1 sen 1 2 tan 4 2 1 6 tan 4 2 2 3 274. ∫ π π ( ) ( ) + = − −       − −       + du au a au a au C 1 sen 1 2 tan 4 2 1 6 tan 4 2 2 3 Fórmulas con 275. ∫ ( ) ( ) = + au du au a C cos sen 276. ∫ ( ) ( ) ( ) = + + u au du au a u au a C cos cos sen 2 277. ∫ ( ) ( ) ( ) = + −       + u au du u a au u a a au C cos 2 cos 2 sen 2 2 2 3 278. ∫ ( ) ( ) ( ) = −       + −       + u au du u a a au u a u a au C cos 3 6 cos 6 sen 3 2 2 4 3 3 279. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) = − − u au du u au a n a u au du cos sen sen n n n 1 280. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − − − − u au du u au a nu a au n n a u au du cos sen cos 1 cos n n n n 1 2 2 2 ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − − − − u au du u au a nu a au n n a u au du cos sen cos 1 cos n n n n 1 2 2 2 281. ∫ ( ) ( ) = + + au du u au a C cos 2 sen 2 4 2 282. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + au du au a au a C cos sen sen 3 3 3 283. ∫ ( ) ( ) ( ) = + + + au du u au a au a C cos 3 8 sen 2 4 sen 4 32 4 284. ∫ ( ) ( ) ( ) = + + + u au du u u au a au a C cos 4 sen 2 4 cos 2 8 2 2 2 285. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − ⋅ + ⋅ − ⋅ + au u du u au au au cos ln 2 2! 4 4! 6 6! ... 2 4 6 286. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) = − − au u du au u a au u du cos cos sen 2 287. ∫ π ( ) ( ) ( ) = +     + +             +        du au a au au C a au C cos 1 ln sec tan 1 ln tan 4 2 288. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = + + + + + +           + u au du a au au au E au n n cos 1 2 8 5 144 ... 2 2 2 ! ... n n 2 2 4 6 2 2 ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = + + + + + +           + u au du a au au au E au n n cos 1 2 8 5 144 ... 2 2 2 ! ... n n 2 2 4 6 2 2 289. ∫ ( ) ( ) = + du au au a C cos tan 2 290. ∫ π ( ) ( ) ( ) = + +             + du au au a au a au C cos sen 2 cos 1 2 ln tan 4 2 3 2
  • 10. Formulario A ➟ Integrales Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 286 291. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − + + + ≠ au bu du a b u a b a b u a b C a b cos cos sen 2 sen 2 292. ∫ ( ) − = −       + du au a au C 1 cos 1 cot 2 293. ∫ ( ) − = −       +             + u au du u a au a au C 1 cos cot 2 2 ln sen 2 2 294. ∫ ( ) + =       + du au a au C 1 cos 1 tan 2 295. ∫ ( ) + =       +             + u au du u a au a au C 1 cos tan 2 2 ln cos 2 2 296. ∫( ) ( ) − = −       −       + du au a au a au C 1 cos 1 2 cot 2 1 6 cot 2 2 3 297. ∫( ) ( ) + =       +       + du au a au a au C 1 cos 1 2 tan 2 1 6 tan 2 2 3 Fórmulas con 298. ∫ ( ) ( ) ( ) = + au au du au a C sen cos sen 2 2 299. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − −     − − +     + + pu qu du p q u p q p q u p q C sen cos cos 2 cos 2 300. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + au au du au a n C sen cos sen 1 n n 1 301. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) = − + + + au au du au a n C cos sen cos 1 n n 1 302. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + au au du u au a C sen cos 8 sen 4 32 2 2 303. ∫ ( ) ( ) ( ) =     + du au au a au C sen cos 1 ln tan 304. ∫ π ( ) ( ) ( ) = +             − + du au au a au a au C sen cos 1 ln tan 4 2 1 sen 2 305. ∫ ( ) ( ) ( ) =             + + du au au a au a au C sen cos 1 ln tan 2 1 cos 2 306. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + du au au au a C sen cos 2cot 2 2 2 307. ∫ π ( ) ( ) ( ) = − + +             + au au du au a a au C sen cos sen 1 ln tan 4 2 2 308. ∫ ( ) ( ) ( ) = +             + au au du au a a au C cos sen cos 1 ln tan 2 2 309. ∫ π ( ) ( ) ± = ±             + du au au a au C sen cos 1 2 ln tan 8 2 310. ∓ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± = ±     + au au au du u a au au C sen sen cos 2 1 2 ln sen cos 311. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± = ±     ± + au au au du a au au u C cos sen cos 1 2 ln sen cos 2 Fórmulas con 312. ∫ ( ) ( ) ( ) = −     +     +        au du a au C a au C tan 1 ln cos 1 ln sec 313. ∫ ( ) ( ) = − + au du au a u C tan tan 2 314. ∫ ( ) ( ) ( ) = +     + au du au a a au C tan tan 2 1 ln cos 3 2 315. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − − au du au a n au du tan tan 1 tan n n n 1 2 316. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + au au du au a n C tan sec tan 1 n n 2 1 317. ∫ ( ) ( ) ( ) =     + au au du a au C sec tan 1 ln tan 2 318. ∫ ( ) ( ) =     + du au a au C tan 1 ln sen 319. ∫ ( ) ( ) ( ) = +     − + u au du u au a a au u C tan tan 1 ln cos 2 2 2 2 Fórmulas con 320. ∫ ( ) ( ) =     + au du a au C cot 1 ln sen 321. ∫ ( ) ( ) = − − + au du au a u C cot cot 2 322. ∫ ( ) ( ) ( ) = − −     + au du au a a au C cot cot 2 1 ln sen 3 2 323. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) = − + + − au au du au a n C cot csc cot 1 n n 2 1 324. ∫ ( ) ( ) ( ) = −     + au au du a au C csc cot 1 ln cot 2
  • 11. Formulario A ➟ Integrales 287 Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 325. ∫ ( ) ( ) = −     + du au a au C cot 1 ln cos 326. ∫ ( ) ( ) ( ) = − +     − + u au du u au a a au u C cot cot 1 ln sen 2 2 2 2 327. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − − − au du au a n au du cot cot 1 cot n n n 1 2 Fórmulas con 328. ∫ π ( ) ( ) ( ) = +     + +             +        au du a au au C a au C sec 1 ln sec tan 1 ln tan 4 2 329. ∫ ( ) ( ) = + au du au a C sec tan 2 330. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + +     + au du au au a a au au C sec sec tan 2 1 2 ln sec tan 3 331. ∫ ( ) ( ) ( ) = + au au du au an C sec tan sec n n 332. ∫ ( ) ( ) = + du au au a C sec sen 333. ∫ ( ) ( ) ( ) = +     + u au du u a au a au C sec tan 1 ln cos 2 2 334. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − − − − au du au au a n n n au du sec sec tan 1 2 1 sec n n n 2 2 Fórmulas con 335. ∫ ( ) ( ) ( ) = −     +             +        au du a au au C a au C csc 1 ln csc cot 1 ln tan 2 336. ∫ ( ) ( ) = − + au du au a C csc cot 2 337. ∫ ( ) ( ) ( ) = − +             + au du au au a a au C csc csc cot 2 1 2 ln tan 2 3 338. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + au au du au na C csc cot csc n n 339. ∫ ( ) ( ) = − + du au au a C csc cos 340. ∫ ( ) ( ) ( ) = − +     + u au du u au a a au C csc cot 1 ln sen 2 2 341. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − + − − − − au du au au a n n n au du csc csc cot 1 2 1 csc n n n 2 2 Fórmulas con funciones trigonométricas inversas 342. ∫       =       + − + − − u a du u u a a u C sen sen 1 1 2 2 343. ∫       = −             + − + − − u u a du u a u a u a u C sen 2 4 sen 4 1 2 2 1 2 2 344. ∫ ( )       =       + + − + − − u u a du u u a u a a u C sen 3 sen 2 9 2 1 3 1 2 2 2 2 345. ∫       = +       ⋅ ⋅ + ⋅       ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⋅⋅ − u a u du u a u a u a u a sen 2 3 3 1 3 2 4 5 5 1 3 5 2 4 6 7 7 1 3 5 7 346. ∫       = −       − + −         + − − u a u du u a u a a a u u C sen sen 1 ln 1 2 1 2 2 347. ∫             =             − + −       + − − − u a dx u u a u a a u a C sen sen 2 2 sen 1 2 1 2 2 2 1 348. ∫       =       − − + − − u a du u u a a u C cos cos 1 1 2 2 349. ∫       = −             − − + − − u u a du u a u a u a u C cos 2 4 cos 4 1 2 2 1 2 2 350. ∫ ( ) ( )       =       − − − + − − u u a du u u a u a a u C cos 3 cos 2 9 2 1 3 1 2 2 2 2 351. ∫ ∫ π ( )       = −       − − u a u du u u a u du cos 2 ln sen 1 1 352. ∫       = −       + + −       + − − u a u du u a u a a a u u C cos cos 1 ln 1 2 1 2 2 353. ∫             =             − − −       + − − − u a du u u a u a u u a C cos cos 2 2 cos 1 2 1 2 2 2 1 354. ∫ ( )       =       − + + − − u a du u u a a u a C tan tan 2 ln 1 1 2 2
  • 12. Formulario A ➟ Integrales Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 288 355. ∫ ( )       = +       − + − − u u a du u a u a au C tan 1 2 tan 2 1 2 2 1 356. ∫ ( )       =       − + + + − − u u a du u u a au a u a C tan 3 tan 6 6 ln 2 1 3 1 2 3 2 2 357. ∫       = −       +       −       + ⋅⋅⋅ − u a u du u a u a u a u a tan 3 5 7 1 3 2 5 2 7 2 358. ∫       = −       − +       + − − u a u du u a u a a u a u C tan tan 1 2 ln 1 2 1 2 2 2 359. ∫ ( )       =       + + + − − u a du u u a a u a C cot cot 2 ln 1 1 2 2 360. ∫ ( )       = +       + + − − u u a du u a u a au C cot 1 2 cot 2 1 2 2 1 361. ∫ ( )       =       + − + + − − u u a du u u a au a u a C cot 3 cot 6 6 ln 2 1 3 1 2 3 2 2 362. ∫ ∫ π ( )       = −       − − u a u du u u a u du cot 2 ln tan 1 1 363. ∫       = −       + +       + − − u a u du u a u a u a u C cot cot 1 2 ln 1 2 1 2 2 2 364. ∫ ∫       = +       − + − − + − + u u a du u m u a m u a u du sen 1 sen 1 1 m m m 1 1 1 1 2 2 365. ∫ ∫       = +       + + − − + − + u u a du u m u a m u a u du cos 1 cos 1 1 m m m 1 1 1 1 2 2 366. ∫ ∫       = +       − + + − + − + u u a du u m u a a m u u a du tan 1 tan 1 m m m 1 1 1 1 2 2 367. ∫ ∫       = +       + + + − + − + u u a du u m u a a m u u a du cot 1 cot 1 m m m 1 1 1 1 2 2 Fórmulas con 368. ∫ = + e du e a C au au 369. ∫ = −       + ue du e a u a C 1 au au 370. ∫ = − +       + u e du e a u u a a C 2 2 au au 2 2 2 371. ∫ ∫ ( ) ( ) = − − + − + ⋅⋅⋅ + −       + ∀ =        − − − u e du u e a n a u e du e a u nu a n n u a n a C n 1 1 ! n au n au n au au n n n n n 1 1 2 2 ∫ ∫ ( ) ( ) = − − + − + ⋅⋅⋅ + −       + ∀ =        − − − u e du u e a n a u e du e a u nu a n n u a n a C n 1 1 ! n au n au n au au n n n n n 1 1 2 2 372. ∫ ( ) ( ) ( ) = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ e u du u au au au ln 1 1! 2 2! 3 3! au 2 3 373. ∫ ∫ ( ) = − − + − − − e u du e n u a n e u du 1 1 au n au n au n 1 1 374. ∫ ( ) + = − + + du p pe u p ap p qe C 1 ln au au 375. ∫ ( ) ( ) ( ) + = + + − + + du p qe u p ap p qe ap p qe C 1 1 ln au au au 2 2 2 376. ∫ + =       + − − − + −             +            − − du pe qe a pq p q e C a pq e q p e q p C 1 tan 1 2 ln au au au au au 1 377. ∫ ( ) ( ) ( ) = −     − + e bu du e a bu b bu a b C sen sen cos au au 2 2 378. ∫ ( ) ( ) ( ) = +     + + e bu du e a bu b bu a b C cos cos sen au au 2 2 379. ∫ ∫ ( ) ( ) = − e u du e u a a e u du ln ln 1 au au au Fórmulas con 380. ∫ ( ) ( ) = − + u du u u u C ln ln 381. ∫ ( ) ( ) ( )     =     − + + u du u u u u u C ln ln 2 ln 2 2 2 382. ∫ ∫ ( ) ( ) ( )     =     −     − u du u u n u du ln ln ln n n n 1 383. ∫ ( ) ( ) = −       + u u du u u C ln 2 ln 1 2 2 384. ∫ ( ) ( ) = + − +       + + u u du u m u m C ln 1 ln 1 1 m m 1 385. ∫ ( ) ( ) = + u u du u C ln 1 2 ln2
  • 13. Formulario A ➟ Integrales 289 Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 386. ∫ ( ) ( ) = − − + u u du u u u C ln ln 1 2 387. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + + u du u u u u u C ln ln 2 ln 2 2 2 388. ∫ ( ) ( ) = + + + u u du u n C ln ln 1 n n 1 389. ∫ ( ) ( ) ( ) = + du u u u C ln ln ln 390. ∫ ( ) ( ) + = + − +       + − u a du u u a u a u a C ln ln 2 2 tan 2 2 2 2 1 391. ∫ ( ) ( ) − = − − + + −       + u a du u u a u a u a u a C ln ln 2 ln 2 2 2 2 Fórmulas con 392. ∫ ( ) ( ) = + au du a au C senh 1 cosh 393. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + u au du u au a au a C senh cosh senh 2 394. ∫ ( ) ( ) ( ) = +       − + u au du u a a au u a au C senh 2 cosh 2 senh 2 2 3 2 395. ∫ ( ) ( ) ( ) = + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ au u du au au au senh 3 3! 5 5! 3 5 396. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) = − + au u du au u a au du senh senh cosh 2 397. ∫ ( ) =             + du au a au C senh 1 ln tanh 2 398. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + au du au au a u C senh senh cosh 2 2 2 399. ∫ ( ) ( ) ( ) = − − + u au du u au a au a u C senh senh 2 4 cosh 2 8 4 2 2 2 400. ∫ ( ) ( ) = − + du au au a C senh coth 2 401. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = +     + − −     − + pu qu du p q u p q p q u p q C senh senh senh 2 senh 2 402. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) = − − u au du u au a m a u au du senh cosh cosh m m m 1 403. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − − au du au au an n n au du senh senh cosh 1 senh n n n 1 2 404. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) = − − + − − − au u du au n u a n au u du senh senh 1 1 cosh n n n 1 1 405. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − − − − − du au au a n au n n du au senh cosh 1 senh 2 1 senh n n n 1 2 Fórmulas con 406. ∫ ( ) ( ) = + au du au a C cosh senh 407. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + u au du u au a au a C cosh senh cosh 2 408. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + +       + u au du u au a u a a au C cosh 2 cosh 2 senh 2 2 2 3 409. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ au u du u au au au cosh ln 2 2! 4 4! 6 6! 2 4 6 410. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) = − + au u du au u a au u du cosh cosh senh 2 411. ∫ ( ) ( ) = + − du au a e C cosh 2 tan au 1 412. ∫ ( ) ( ) ( ) = + + au du u au au a C cosh 2 senh cosh 2 2 413. ∫ ( ) ( ) ( ) = + − + u au du u u au a au a C cosh 4 senh 2 4 cosh 2 8 2 2 2 414. ∫ ( ) ( ) = + du au au a C cosh tanh 2 415. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = −     − + +     + + pu qu du p q u p q p q u p q C cosh cosh senh 2 senh 2 416. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) = − − u au du u au a m a u au du cosh senh senh m m m 1 417. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) = + − − − au du au au an n n au du cosh cosh senh 1 cosh n n n 1 2 418. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) = − − + − − − au u du au n u a n au u du cosh cosh 1 1 senh n n n 1 1 419. ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − − − − du au au a n au n n du au cosh senh 1 cosh 2 1 cosh n n n 1 2
  • 14.
  • 15. Formulario B ➟ Derivadas 291 Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán ➠ Formulario B: Derivadas En este formulario: c es una constante real, f g , y u son funciones derivables en x . FÓRMULAS GENERALES 1. ( ) = d dx c 0 2. ( ) ( ) = d dx cf x c d dx f x ( ) ( ) 3. [ ] ± = ′ ± ′ d dx f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) 4. [ ]= ′ + ′ d dx f x g x f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. [ ]       = ′ − ′ d dx f x g x g x f x f x g x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6. ( )     = ′ d dx f u f u du dx ( ) 7. ( )= − d dx u nu du dx n n 1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8. ( ) = d dx x x sen cos 9. ( ) = − d dx x x cos sen 10. ( ) = d dx x x tan sec2 11. ( ) = − d dx x x cot csc2 12. ( ) = d dx x x x sec sec tan 13. ( ) = − d dx x x x csc csc cot 14. ( ) = d dx u u du dx sen cos 15. ( ) = − d dx u u du dx cos sen 16. ( ) = d dx u u du dx tan sec2 17. ( ) = − d dx u u du dx cot csc2 18. ( ) = d dx u u u du dx sec sec tan 19. ( ) = − d dx u u u du dx csc csc cot FUNCIONES LOGARÍTMICAS 20. ( )= d dx e x e x 21. ( )= d dx a x a x a ln 22. ( ) = d dx x x ln 1 23. ( ) = d dx a x x a log 1 ln 24. ( )= d dx e x e x 25. ( )= d dx a x a x a ln 26. ( ) = d dx x x ln 1 27. ( ) = d dx a x x a log 1 ln FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 28. ( ) − = − d dx x x sen 1 1 1 2 29. ( ) − = − − d dx x x cos 1 1 1 2 30. ( ) − = + d dx x x tan 1 1 1 2 31. ( ) − = − + d dx x x cot 1 1 1 2 32. ( ) − = − d dx x x x sec 1 1 2 1
  • 16. Formulario B ➟ Derivadas Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 292 33. ( ) − = − − d dx x x x csc 1 1 2 1 34. ( )= − − d dx u u du dx sen 1 1 1 2 35. ( )= − − − d dx u u du dx cos 1 1 1 2 36. ( )= + − d dx u u du dx tan 1 1 1 2 37. ( )= − + − d dx u u du dx cot 1 1 1 2 38. ( )= − − d dx u u u du dx sec 1 1 1 2 39. ( )= − − − d dx u u u du dx csc 1 1 1 2 FUNCIONES HIPERBÓLICAS 40. ( ) = d dx x x senh cosh 41. ( ) = d dx x x cosh senh 42. ( ) = d dx x h x tanh sec 2 43. ( ) = − d dx x h x coth csc 2 44. ( ) = − d dx hx hx x sec sec tanh 45. ( ) = − d dx hx hx x csc csc coth 46. ( ) = d dx u u du dx senh cosh 47. ( ) = d dx u u du dx cosh senh 48. ( ) = d dx u h u du dx tanh sec 2 49. ( ) = − d dx u h u du dx coth csc 2 50. ( ) = − d dx hu hu u du dx sec sec tanh 51. ( ) = − d dx hu hu u du dx csc csc coth FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS 52. ( ) − = + d dx x x senh 1 1 1 2 53. ( ) − = − d dx x x cosh 1 1 2 1 54. ( ) − = − d dx x x tanh 1 1 1 2 55. ( ) − = − − d dx x x coth 1 1 1 2 56. ( )= − − − d dx h x x x sec 1 1 1 2 57. ( )= − + − d dx h x x x csc 1 1 1 2 58. ( ) − = + d dx u u du dx senh 1 1 1 2 59. ( ) − = − d dx u u du dx cosh 1 1 2 1 60. ( ) − = − d dx u u du dx tanh 1 1 1 2 61. ( ) − = − − d dx u u du dx coth 1 1 1 2 62. ( ) − = − − d dx h u u u du dx sec 1 1 1 2 63. ( ) − = − + d dx h u u u du dx csc 1 1 2 1
  • 17. FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 293 Alfaomega CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN Triángulo rectángulo b a h = = A ch ab 1 2 1 2 , = + + P a b c , = + c a b 2 2 2 Triángulo equilátero b a a = h a 3 2 , = A a 3 4 2 , = P a 3 Cuadrado a a = A a2 , = P a 4 Rectángulo b h = + = P b h A bh 2 2 , Romboide b h = A bh Trapezoide b a h = + A a b h 1 2 ( ) Círculo r π = A r2 , π = P r 2 Corona circular r R π ( ) = − A R r 2 2 , = P a 3 Sector circular r s θ θ = A r 1 2 2 , θ = s r Esfera r π = V r 4 3 3 , π = S r 4 2 Cono circular recto h r π = V r 1 3 3 , π = + S r r h 2 2 Cilindro circular recto h r π = V r h 2 , π = S rh 2 lateral π π = + S rh r 2 2 2 total Figuras geométricas ➠ Formulario C: Álgebra, Geometría y Trigonometría c
  • 18. FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Alfaomega CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN 294 Elipse b a π = A ab Elipsoide b a c π = A abc 4 3 Paralelepípedo rectangular h a b = V abh, ( ) = + + S ab ah bh 2 Pirámide h = V abh 1 3 Cono truncado h r2 r1 π = + + V h r r r r 1 3 ( 2 ) 1 2 1 2 2 2 Pirámide Regular a h H h H =       V aH h 2 1 3 ➠ Álgebra Fórmula cuadrática + + = = − ± − − ax bx c x b b ac a b ac 0 4 2 Discriminante 4 2 1,2 2 2 Desarrollo de productos notables y factorización ∓ x y x xy y x y x x y x y y x y n x n x y n x y n n x y n n y n n k n k n k x y x y x y x y x y x xy y 2 3 3 0 1 2 1 Donde ! ! ! n n n n n 2 2 2 3 3 2 2 3 1 1 2 2 1 1 n 2 2 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ± = ± + ± = ± + ± + =       +       +       + ⋅⋅⋅ + −       +       ∀ =       = − − = + − ± = ± + − − −
  • 19. Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría 295 Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán Reglas de exponentes y radicales ( ) ( ) = = = =       = = + ⋅ − − x x x x x x x x x x x y x y xy x y 1 m n m n m n m n m n m n m m n n n n n n     ( ) ( ) = = = = = = x x x x x x xy x y x y x y x x n n n m n m n m m n n n n n n n n m mn 1 Valores de exponenciales, propiedades de los logaritmos ( ) ( ) ( ) ( ) = = → → ∞ = = = = ( ) − −∞ ∞ e e e e e e x a x x x a x x 1 1 0 log log log ln log n n x x a e 0 ln log 10 10 a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = − =       = + = − =       = x y xy x y x y n x x x y xy x y x y b x x ln ln ln ln ln ln ln ln log log log log log log log log n a a a a a a a a b ➠ Geometría analítica Distancia entre dos puntos ( ) ( ) = − + − d x x y y 2 1 2 2 1 2 (x1 , y1 ) P1 y x P2 (x2 , y2 ) Ecuación de la recta punto-pendiente Pendiente de una recta = ∆ ∆ = − − m y x y y x x 2 1 2 1 (x1 , y1 ) (x2 , y1 ) P1 y x P2 P3 ∆y ∆x (x2 , y2 ) Puntos de intersección de la recta
  • 20. Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 296 Ecuación de la recta punto-pendiente ( ) − = − y y m x x 1 1 (x1 , y1 ) y x Puntos de intersección de la recta + = ∀ ≠ ≠ x a y b a b 1 0; 0 (0, b) (a, 0) y x Ecuación de la circunferencia con centro en el origen + = x y r 2 2 2 y r x Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen. ( ) ( ) − + − = x h y k r 2 2 2 y r x x (h, k) Parábola =       −             = = − x py p p p p p p y p 2 ; Foco F= 0, 2 ; Extremos Izq , 2 ;Der , 2 Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2 2 y F x (-h, ) p 2 ( p, ) p 2 (0, ) p 2 y = - p 2 Parábola = − −       − −       −       = = x py p p p p p p y p 2 ; Foco F= 0, 2 ; Extremos Izq , 2 ;Der , 2 Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2 2 y F x ( p,- ) p 2 (-p, ) p 2 (0,- ) p 2 y = p 2
  • 21. Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría 297 Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán Parábola =       −             = = − y px p p p p p p x p 2 ; Foco F= 2 ,0 ; Extremos Inf 2 , ;Sup 2 , Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2 2 F ( , p ) p 2 ( ,- p ) p 2 ( ,0 ) p 2 x = - p 2 x y Parábola = − −       − −       −       = = y px p p p p p p x p 2 ; Foco F= 2 ,0 ; Extremos Inf 2 , ;Sup 2 , Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2 2 ( - ,- p ) p 2 (- , p) p 2 ( - ,0 ) p 2 x = p 2 y Elipse centro en el origen ( ) ( ) + = − − x a y b a b F dF F dF 1 dF= ,0 ; ,0 2 2 2 2 2 2 1 2 y dF (- dF, 0) (dF, 0) x a b F2 F1 Elipse centro en el origen ( ) ( ) + = − − y a x b a b F dF F dF 1 dF= 0, ; 0, 2 2 2 2 2 2 1 2 y dF ( 0, dF ) ( 0, -dF ) x a A b F2 F1 x
  • 22. Formulario C ➟ Álgebra, Geometría y Trigonometría Alfaomega Cálculo integral • José Alfredo Ramos Beltrán 298 Hipérbola ( ) ( ) − = + − x a y b a b F dF F dF 1 dF= ,0 ; ,0 2 2 2 2 2 2 1 2 y dF (- dF, 0) (dF, 0) x F2 F1 Hipérbola ( ) ( ) − = + − y a x b a b F dF F dF 1 dF= 0, ; 0, 2 2 2 2 2 2 1 2 y dF ( 0, dF ) ( 0, -dF ) x F2 F1 División de un segmento en una razón = − − = − − r x x x x r y y y y r r 2 1 1 2 1 1 y x D C E B R S A ( x2 , y2 ) ( x2 , yr ) ( x2 , y1 ) ( xr , y1 ) ( x1 , y1 ) ( xr , yr ) Distancia de un punto a una recta Ax By C P x y d Ax Bx C A B Ecuación general de la recta 0 Entonces: 1, 1 Pr 1 2 2 2 ( ) + + = = + + + y x dPr P Ax +By+C =0 ( x1 , y1 )