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La méthode des moments
généralisée (GMM)
Higher Institute of Mangement of Tunis
2nd year Master of Research in Modeling 2016 -2017
Presented by : Ben Brahem Oussama
Ferchichi Hamza
Plan
◦ Introduction
◦ La méthode des moments
◦ De la méthode des moments au GMM
◦ La généralisation
◦ L’implementation
◦ Extensions de GMM
◦ Construire la matrice de l’instrument
◦ Les tests de diagnostique
Introduction
le GMM est une méthode d’estimation, généralement
appliqué pour les modèles semi-paramétrique quand la
méthode de maximum de vraisemblance n’est plus
applicable.
GMM a été développée par Hansen en 1982 comme
généralisation de méthode des moments ce dernier a
gagné le prix de Nobel en économie en 2013 .
La méthode des moments
L’idée de base est d’estimer une espérance mathématique par une
moyenne empirique, une variance par une variance empirique, etc...
θ = E(X), alors l’estimateur de θ par la méthode des moments (EMM) est
Limites:
◦ La méthode des moments ne permet pas d’atteindre la borne de
cramer-rao
◦ Si l’échantillon est petit la loi des grandes nombre ne s’applique pas ce
qui implique, la moment théorique ne s’approche pas de celle
empirique
De la méthode des moments
au GMM
• La méthode des moments généralisés implique plusieurs généralisations
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• moments conditionnels peuvent être utilisés ainsi que les
inconditionnels.
• Moments peuvent dépendre de paramètres inconnus
• Il peut y avoir plus de conditions de moment que les paramètres
La généralisation
L’idée de base est de choisir le paramètre estimé a fin de satisfaire la
relation théorique.
La relation théorique est remplacé par la moyenne de l’echantillon
(empirique):
En plus on minimise le norme de cette expression toute en respectant θ
La minimisation de θ conduit a l’estimation de θ0
Sous les conditions appropriées cet estimateur est consistent ,
asymptotiquement normale, de plus le bon choix de la matrice de poids
rend notre estimateur asymptotiquement efficient
Les propriétés de GMM:
◦ Consistance:
◦ Le fait d’avoir un nombre suffisent des observations l’estimateur
converge vers ca vraie valeur .
La généralisation
◦ La normalité asymptotique:
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matrices auxiliaires:
On obtient l’expression suivante:
◦ Efficience
◦ la matrice W doit être semi-définie positive. En fait une telle matrice produira un estimateur
GMM cohérent et asymptotiquement normal .
La généralisation
Implémentation
L’implementation ce fait en 2 étapes:
◦ Toute matrice symétrique définie positive est utilisé pour déterminer le 1er estimateur
consistent comme la matrice d’identité:
◦ En utilisant ces paramètres pour construire la matrice de ceci on procédé au
problème de minimisation, ce processus est répété jusqu’à l’atteinte de convergence
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Extensions de GMM
Arellano et Bond affirment que l'estimateur Anderson-Hsiao, malgré sa
cohérence ne prend pas en compte les conditions d'orthogonalité
potentiels.
Un aspect clé de la stratégie AB, est l’hypothèse que les instruments
nécessaires sont «internes»: qui est, sur la base de valeurs retardées de
la variable instrumentée.
Les estimateurs permettent l'inclusion d'instruments externes.
Considérons les équations
Extensions de GMM
où Xit comprend des régresseurs strictement exogènes,
Wit sont régresseurs prédéterminés (ce qui peut inclure des retards de y)
et régresseurs endogènes, qui peuvent tous être corrélés avec ui , c’est
l’effet individuel inobservé.
Ainsi la Première différenciation les supprime de l'équation ui et sa
polarisation variable omise associée ,
Extensions de GMM
L’approche AB est un estimateur destiné au situation suivante:
◦ T petit et N grand
◦ Relation linéaire
◦ Les variables dynamique ,dépendent de leur réalisation passée
◦ L’effet individuel fixe implique l’heterogenité inobservé
Construire la matrice de
l'instrument
Dans l'approche Anderson-Hsiao,en applicant le double moindre carré
Le niveau deux fois décalé apparaît dans la matrice de l'instrument
La premiére ligne correspond a t=2,la premiére observation disparait en
applicant la transformation
Si on inclut le troisiéme retard yt-3 comme deuxiéme instrument dans
Anderon-Hsiao on perd une autre Observation par panel:
Construire la matrice de
l'instrument
:
de sorte que la première observation disponible pour la régression est
datée que t = 4
Construire la matrice de
l'instrument
Pour éviter cette perte de degrés de liberté, Holtz-Eakin et al. Ont construit un
ensemble d'instruments à partir du second décalage de y, un instrument
relatif à chaque période de temps:
L'inclusion de zéros à la place des valeurs manquantes empêche la perte de
degrés de liberté supplémentaires,
Construire la matrice de
l'instrument
• les observations du t = 2 peuvent être inclut dans la régression
Bien que l'inclusion de zéros n’est plus arbitraire, les colonnes de
l'instrument résultant Une matrice orthogonale aux erreurs
transformées.
ou se réfère aux erreurs transformées.
Construire la matrice de
l'instrument
Compte tenu de cette solution pour le compromis entre la durée du
décalage et la longeur de l'échantillon, nous pouvons maintenant adopter
la suggestion de Holtz-Eakin et al. et comprennent tous les décalages
disponibles des variables non transformées, comme des instruments
En utilisant tous les instruments disponibles donne lieu à cette matrice
d'instrument
des conditions d'orthogonalité supplémentaires deviennent disponibles,
de plus la prise en compte de ces conditions d’orthogonalité rend
l’estimateur AB plus efficace
une faiblesse potentielle dans l'estimateur Arellano-Bond était
révélé dans le travail plus tard par Arellano et Bover (1995) et Blundell et
Bond (1998).
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  • 1. La méthode des moments généralisée (GMM) Higher Institute of Mangement of Tunis 2nd year Master of Research in Modeling 2016 -2017 Presented by : Ben Brahem Oussama Ferchichi Hamza
  • 2. Plan ◦ Introduction ◦ La méthode des moments ◦ De la méthode des moments au GMM ◦ La généralisation ◦ L’implementation ◦ Extensions de GMM ◦ Construire la matrice de l’instrument ◦ Les tests de diagnostique
  • 3. Introduction le GMM est une méthode d’estimation, généralement appliqué pour les modèles semi-paramétrique quand la méthode de maximum de vraisemblance n’est plus applicable. GMM a été développée par Hansen en 1982 comme généralisation de méthode des moments ce dernier a gagné le prix de Nobel en économie en 2013 .
  • 4. La méthode des moments L’idée de base est d’estimer une espérance mathématique par une moyenne empirique, une variance par une variance empirique, etc... θ = E(X), alors l’estimateur de θ par la méthode des moments (EMM) est Limites: ◦ La méthode des moments ne permet pas d’atteindre la borne de cramer-rao ◦ Si l’échantillon est petit la loi des grandes nombre ne s’applique pas ce qui implique, la moment théorique ne s’approche pas de celle empirique
  • 5. De la méthode des moments au GMM • La méthode des moments généralisés implique plusieurs généralisations telles que: • moments conditionnels peuvent être utilisés ainsi que les inconditionnels. • Moments peuvent dépendre de paramètres inconnus • Il peut y avoir plus de conditions de moment que les paramètres
  • 6. La généralisation L’idée de base est de choisir le paramètre estimé a fin de satisfaire la relation théorique. La relation théorique est remplacé par la moyenne de l’echantillon (empirique): En plus on minimise le norme de cette expression toute en respectant θ La minimisation de θ conduit a l’estimation de θ0
  • 7. Sous les conditions appropriées cet estimateur est consistent , asymptotiquement normale, de plus le bon choix de la matrice de poids rend notre estimateur asymptotiquement efficient Les propriétés de GMM: ◦ Consistance: ◦ Le fait d’avoir un nombre suffisent des observations l’estimateur converge vers ca vraie valeur . La généralisation
  • 8. ◦ La normalité asymptotique: ◦ Elle permet de construire des bandes de confiance pour l’estimateur,toute en définissant 2 matrices auxiliaires: On obtient l’expression suivante: ◦ Efficience ◦ la matrice W doit être semi-définie positive. En fait une telle matrice produira un estimateur GMM cohérent et asymptotiquement normal . La généralisation
  • 9. Implémentation L’implementation ce fait en 2 étapes: ◦ Toute matrice symétrique définie positive est utilisé pour déterminer le 1er estimateur consistent comme la matrice d’identité: ◦ En utilisant ces paramètres pour construire la matrice de ceci on procédé au problème de minimisation, ce processus est répété jusqu’à l’atteinte de convergence                  1..00 ..... ..... 0..10 0..01 TW
  • 10. Extensions de GMM Arellano et Bond affirment que l'estimateur Anderson-Hsiao, malgré sa cohérence ne prend pas en compte les conditions d'orthogonalité potentiels. Un aspect clé de la stratégie AB, est l’hypothèse que les instruments nécessaires sont «internes»: qui est, sur la base de valeurs retardées de la variable instrumentée. Les estimateurs permettent l'inclusion d'instruments externes. Considérons les équations
  • 11. Extensions de GMM où Xit comprend des régresseurs strictement exogènes, Wit sont régresseurs prédéterminés (ce qui peut inclure des retards de y) et régresseurs endogènes, qui peuvent tous être corrélés avec ui , c’est l’effet individuel inobservé. Ainsi la Première différenciation les supprime de l'équation ui et sa polarisation variable omise associée ,
  • 12. Extensions de GMM L’approche AB est un estimateur destiné au situation suivante: ◦ T petit et N grand ◦ Relation linéaire ◦ Les variables dynamique ,dépendent de leur réalisation passée ◦ L’effet individuel fixe implique l’heterogenité inobservé
  • 13. Construire la matrice de l'instrument Dans l'approche Anderson-Hsiao,en applicant le double moindre carré Le niveau deux fois décalé apparaît dans la matrice de l'instrument La premiére ligne correspond a t=2,la premiére observation disparait en applicant la transformation Si on inclut le troisiéme retard yt-3 comme deuxiéme instrument dans Anderon-Hsiao on perd une autre Observation par panel:
  • 14. Construire la matrice de l'instrument : de sorte que la première observation disponible pour la régression est datée que t = 4
  • 15. Construire la matrice de l'instrument Pour éviter cette perte de degrés de liberté, Holtz-Eakin et al. Ont construit un ensemble d'instruments à partir du second décalage de y, un instrument relatif à chaque période de temps: L'inclusion de zéros à la place des valeurs manquantes empêche la perte de degrés de liberté supplémentaires,
  • 16. Construire la matrice de l'instrument • les observations du t = 2 peuvent être inclut dans la régression Bien que l'inclusion de zéros n’est plus arbitraire, les colonnes de l'instrument résultant Une matrice orthogonale aux erreurs transformées. ou se réfère aux erreurs transformées.
  • 17. Construire la matrice de l'instrument Compte tenu de cette solution pour le compromis entre la durée du décalage et la longeur de l'échantillon, nous pouvons maintenant adopter la suggestion de Holtz-Eakin et al. et comprennent tous les décalages disponibles des variables non transformées, comme des instruments En utilisant tous les instruments disponibles donne lieu à cette matrice d'instrument
  • 18. des conditions d'orthogonalité supplémentaires deviennent disponibles, de plus la prise en compte de ces conditions d’orthogonalité rend l’estimateur AB plus efficace une faiblesse potentielle dans l'estimateur Arellano-Bond était révélé dans le travail plus tard par Arellano et Bover (1995) et Blundell et Bond (1998). Les niveaux décalés sont souvent des instruments pauvres pour la première variable différenciée Construire la matrice de l'instrument
  • 19. Les tests de diagnostique Pour la méthode des variables instrumentales il est important a procédé le test de Sargan-hansen pour évaluer les résultats Le test AR permet de tester l’autocorrelation des résidus

Notes de l'éditeur

  1. Le reste pour hamza