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Université Hassan 1er ENCG-Settat
Recherche opérationnelle
2
Plan :
 Partie 1 : Programmation Linéaire
 Partie 2 : Techniques d’ordonnancement
Partie 1
Programmation Linéaire
4
1.Définition :
La programmation linéaire est un outil de la
Recherche Opérationnelle qui permet d'optimiser
un certain objectif, appelé aussi fonction
économique, qui est fonction linéaire d'un certain
nombre de variables de décision.
Ces variables de décision sont soumises à un
ensemble de contraintes exprimées sous forme
d’équations ou d’inéquations linéaires.
Dans la programmation Linéaire , il y a 2 phases :
 Phase 1 : est une phase de modélisation c’est-à-dire
la mise en équation du problème.
 Phase 2 : est une phase de résolution du modèle.
5
6
2. Étapes pour modéliser un Pb par la
Programmation Linéaire
 Définir les variables de décision
 ensemble des variables qui régissent la situation à
modéliser
 variables réelles positives, entières, binaires
 Formuler la fonction objectif
 fonction mathématique composée des variables de décision
 fonction linéaire
 Formuler les contraintes du problème
 équations ou inéquations linéaires composées des variables
de décision
7
3. Exemple simple
Il s’agit d’une entreprise de fabrication de châssis qui envisage la
production de deux nouveaux modèles au moyen des capacités
résiduelles de ses trois ateliers. Il s’agit respectivement d’un
châssis en aluminium et d’un châssis en bois. Le premier produit
nécessite le passage dans le premier atelier pour fabriquer le cadre
en aluminium et dans le troisième atelier où le verre est monté sur
le châssis. Tandis que le second produit nécessite le passage
dans le deuxième atelier pour fabriquer le cadre en bois et dans le
troisième atelier où le verre est monté sur le châssis. Les marges
unitaires, les temps de fabrication de chacun des produits dans
chacun des ateliers ainsi que les capacités hebdomadaires
résiduelles de ces ateliers sont donnes au tableau suivant :
8
La question qui se pose est la suivante :
“Combien faut-il produire de châssis de
chaque type par semaine pour maximiser la
Marge de cette entreprise ?”
9
Si on représente par x1 et x2 les quantités de chaque bien
à produire par semaine,
le problème se formule comme suit :
Cette formulation est appelée un programme linéaire (P.L)
10
4. Résolution d’un programme linéaire
4.1 Ensembles convexes et points extrêmes
a) Définition 1 : Un ensemble de points est un
ensemble convexe si, et seulement si, pour deux
points quelconques A et B de cet ensemble, le
segment de droite joignant ces deux points est
aussi dans l’ensemble.
11
Illustration graphique
( a ) ( b )
( c ) ( d )
( a ) et ( b ) sont des ensembles convexes,
( c ) et ( d ) sont des ensembles non convexes.
12
b) Définition 2 : Un point extrême d’un
ensemble convexe est défini comme un point qui
ne peut être jamais mis entre deux points par un
segment de droite de cet ensemble.
Illustration graphique
X1, X2, X3, X4 et X5 sont des points extrêmes (sommets),
X n’est pas un point extrême.
X3
X
X2 X4
X1 X5
13
14
4.2 Propriétés
a.Propriété 1 : L’ensemble des solutions réalisables ( qui vérifient le
système des contraintes ) d’un programme linéaire est un ensemble
convexe.
b. Propriété 2 : La solution optimale, si elle existe, d’un programme
linéaire est atteinte en (au moins) un point extrême de l’ensemble des
solutions réalisables de ce P.L .
c.Propriété 3 : Si un P.L admet deux points extrêmes adjacents
Comme solutions optimales, tous les points du segment de droite
joignant ces deux points sont aussi solutions optimales.
15
dans le cas de deux variables de décision, un
problème linéaire peut être résolu de manière
purement graphique en suivant le processus en
deux étapes suivantes :
5. Résolution graphique d’un P.L
(Cas de 2 variables)
16
 première étape :
 représenter graphiquement la région réalisable
(l’ensemble des valeurs de variables de décision qui
satisfont toutes les contraintes).
17
L’ensemble des solutions
réalisables. Ensemble Convexe.
18
 Deuxième étape : Recherche de la solution optimale
Point extrême Objectif
(0,0) 0
(0,6) 30
(2,6) 36
(4,3) 27
(4,0) 12
Max de
l’objectif
Solution
optimale
19
6.1 Forme canonique :
Si toutes les contraintes d'un PL sont sous la forme d'inéquations,
on dit qu'on a la forme canonique .
6. Algorithme du simplexe :
20
6.2 Forme standard :
Introduction des variables d’écarts ei pour avoir des
contraintes sous forme d'équations : c'est la forme
standard





















0
18
2
3
12
2
4
.
.
5
3
3
2
1
2
1
3
2
1
2
2
1
1
2
1
e
e
e
x
x
e
x
x
e
x
e
x
q
c
s
x
x
z
Max
21
Interprétation économique des variables d’écarts
– e1 : temps de l’atelier 1 qui n’est pas encore utilisé
– e2 : temps de l’atelier 2 qui n’est pas encore utilisé
– e3 : temps de l’atelier 3 qui n’est pas encore utilisé
22
6.3 Principe :
 Pour pouvoir à chaque fois résoudre le système des
contraintes sous sa forme standard, il faut annuler 2
variables.
 Les variables annulées seront appelées variables
hors base (H.B).
 Les autres seront appelées variables de base.
 La solution obtenue du système est un point
extrême.
23
Les variables de base
sont e1,e2 et e3
Les variables hors base
sont x1 et x2
Recherche de la base initiale
Matrice identité
Cette base est une base
initiale évidente
Ecrire le système des contraintes sous forme matricielle
24
T0 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coefs
e1 1 0 1 0 0 4
e2 0 2 0 1 0 12
e3 3 2 0 0 1 18
Z 3 5 0 0 0 0
e1 = 4, e2 = 12 et e3 = 18 Point extrême
X1=0 et x2=0
Z = 0
Tableau initial T0
25
T0 x1 x2 e1 e2 e3 R R/coef
e1 1 0 1 0 0 4
e2 0 2 0 1 0 12
e3 3 2 0 0 1 18
Z 3 5 0 0 0 0
 étape 1 : Sélection de la variable entrante dans la
base
Pour un problème de maximisation, on choisit la
variable hors base qui a la contribution marginale dans
l’objectif la plus élevé.
Pour un problème de minimisation, c’est le contraire.
Variable entrante est x2
1ière itération : passage de T0 à T1
26
 Étape 2 : Sélection de la variable sortante
de la base
La variable sortante sera celle qui aura le
plus petit rapport C/coefs positif
T0 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coefs
e1 1 0 1 0 0 4 ∞
e2 0 2 0 1 0 12 6
e3 3 2 0 0 1 18 9
Z 3 5 0 0 0 0
Variable sortante est e2
27
 Étape 3 : Détermination du pivot.
T0 x1 x2 e1 e2 e3 R R/coef
e1 1 0 1 0 0 4 ∞
e2 0 2 0 1 0 12 6
e3 3 2 0 0 1 18 9
Z 3 5 0 0 0 0
Le pivot = 2
L1(T0)
L2(T0)
L3(T0)
L4(T0)
28
 Étape 4 : Construction effective du tableau.
La construction du nouveau tableau se fait par
la méthode suivante :
Effectuer des opérations sur les lignes du
tableau T0 afin de transformer la colonne
associée à X2 : 0,2,2,5 du tableau T0 en une
colonne de la forme : 0,1,0,0 du tableau T1.
 L1(T1) = L1(T0)
 L2(T1) = L2(T0) / 2
 L3(T1) = L3(T0) – L2(T0)
 L4(T1) = L4(T0) – 5/2L2(T0)
29
T1 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coefs
e1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 1/2 0 6
e3 3 0 0 -1 1 6
Z 3 0 0 -5/2 0 -30
Point extrême :
x1 = 0 et x2 = 6
Z = 30
e1 = 4, e2 = 0 et e3 = 6
30
 Etape 5 :
Si on ne peut plus améliorer l’objectif
Alors, on a atteint la solution Optimale.
Si non, on revient à l’étape 1 et on recommence
T1 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coefs
e1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 1/2 0 6
e3 3 0 0 -1 1 6
Z 3 0 0 -5/2 0 -30
31
T1 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coefs
e1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 1/2 0 6
e3 3 0 0 -1 1 6
Z 3 0 0 -5/2 0 -30
Variable entrante est x1
2ième itération : passage de T1 à T2
32
T1 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coesf
e1 1 0 1 0 0 4 4
x2 0 1 0 1/2 0 6 ∞
e3 3 0 0 -1 1 6 2
Z 3 0 0 -5/2 0 -30
Variable sortante est e3
33
T1 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coesf
e1 1 0 1 0 0 4 4
x2 0 1 0 1/2 0 6 ∞
e3 3 0 0 -1 1 6 2
Z 3 0 0 -5/2 0 -30
Le pivot = 3
34
T2 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coefs
e1 0 0 1 0,33 -0,3 2
x2 0 1 0 0,5 0 6
x1 1 0 0 -0,3 0,33 2
Z 0 0 0 -1,5 -1 -36
On ne peut plus améliorer l’objectif,
donc la solution optimale est atteinte :
x1 = 2 et x2 = 6
Zopt = 36
e1 = 2, e2 = 0 et e3 = 0
35
Tableau Initial
Solution
optimale
?
Stop
Oui
Variable entrante
Variable sortante
Non
Pivotage
36
II. Techniques d’ordonnancement
Les techniques d'ordonnancement visent à planifier
un certain nombre de tâches d'une façon optimale en
respectant leurs contraintes :
 De production (mobilisation nécessaire des
ressources humaines et techniques).
 De temps (délais à respecter pour leur exécution).
 D'antériorité (ordre d'exécution à respecter).
37
Techniques d’ordonnancement
La méthode d’ordonnancement la plus utilisée est :
 La méthode PERT (Program of Evaluation and Review
Technic ).
Cette méthode est basée sur la théorie des graphes, c’est-à-
dire la représentation sommets et arcs orientés.
38
T++. T-
I
T++. T-
J
La méthode PERT
Une tâche est représentée par un arc.
L'arc qui représente la tâche A est encadré par les 2 sommets I et J.
Le sommet I est appelé le sommet commencement de A, c'est l'étape I.
Le sommet J est appelé le sommet aboutissement de A, c'est l'étape J.
• T+(I) : date au plus tôt du commencement de la tâche A, c’est à dire la
date du commencement de la tâche A.
• T-(I) : date au plus tard du commencement de la tâche A, c’est à dire la
date du commencement de la tâche A sans retarder le projet.
T-(I)≥ T+(I)
A[Durée(A)]
39
La méthode PERT
I J K
A B
Les tâches A et B sont deux tâches successives
40
La méthode PERT
I
J
K
A
B
Les tâches A et B sont deux tâches simultanées
41
La méthode PERT
K
I
J
A
B
Les tâches A et B sont deux tâches convergentes
 Date au plus tôt "étape J" = Date au plus tôt "étape I" + Durée
tâche (A)
42
I J
Lorsque plusieurs arcs arrivent à un même sommet (c'est à dire que plusieurs
tâches doivent être réalisées pour atteindre une étape donnée), il convient de
faire ce calcul pour toutes les tâches menant à l'étape en question et de retenir
comme "date au plus tôt" de l'étape le maximum des valeurs ainsi trouvée (en
effet, l'étape ne sera vraiment atteinte que lorsque toutes les tâches y menant
auront été accomplies).
La méthode PERT (Calcul des dates au plus tôt )
A[Durée(A)]
 Date au plus tard "étape I" = Date plus tard "étape J" - Durée
tâche (A)
43
i j
Lorsque plusieurs arcs partent d'un même sommet (c'est à dire que plusieurs
tâches commencent à partir d'une même étape), il convient de faire ce calcul
pour toutes les tâches succédant à l'étape en question et de retenir comme
"date au plus tard" de l'étape le minimum des valeurs ainsi trouvées.
La méthode PERT (Calcul des dates au plus tard)
A[Durée(A)]
Exemple de construction d'un réseau PERT
44
Tâche Durée Tâches
antérieures
A 2
B 4
C 4 A
D 5 A, B
E 6 C,D
Soit un projet formé par 5 tâches.
Question : Construire le réseau
PERT de ce projet.
La méthode la plus appropriée pour construire un réseau PERT
consiste à procéder par "niveau".
45
Exemple de construction d'un réseau PERT
Niveaux Tâches
0 A , B
1 C , D
2 E
Tableau des niveaux
Tâches Tâches successeurs
A C , D
B D
C E
D E
E
Tableau des successeurs
46
Exemple de construction d'un réseau PERT
Début
1
2
A(2)
B(4)
D(5)
C(4)
α(0)
3
E(6)
Fin
0
2
4
9 15 15
9
4
4
0
Réseau PERT
CALCUL DES DIFFÉRENTES MARGES D'UNE
TÂCHE DANS UN RÉSEAU PERT
Marge totale tâche (A) = Date au plus tard "étape J" - Date au plus tôt "étape I" - Durée tâche(A)
47
i j
A[Durée(A)]
Une tâche qui n'a pas de marge totale est appelée tâche critique.
Les taches critiques de l’exemple sont : B-D-E (Chemin critique).
Marge totale (A) =4-0-2 = 2 , marge totale (C) = 9-2-4 = 3.
La marge totale d'une tâche indique le retard maximal que l'on peut
admettre dans sa réalisation (sous réserve qu'elle ait commencé à sa date au
plus tôt) sans allonger la durée optimale du projet.
Marge libre tâche (A) = Date au plus tôt "étape J" - Date au plus tôt "étape I" - Durée tâche (A)
48
I J
CALCUL DES DIFFÉRENTES MARGES D'UNE
TÂCHE DANS UN RÉSEAU PERT
A[Durée(A)]
Marge libre (A) = 2-0-2 = 0
Marge libre (C) = 9-2-4 = 3
La marge libre d'une tâche indique le retard que l'on peut admettre dans
sa réalisation (sous réserve qu'elle ait commencé à sa date au plus tôt)
sans modifier les date au plus tôt des tâches suivantes et sans allonger la
durée optimale du projet

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  • 1. 1 Université Hassan 1er ENCG-Settat Recherche opérationnelle
  • 2. 2 Plan :  Partie 1 : Programmation Linéaire  Partie 2 : Techniques d’ordonnancement
  • 4. 4 1.Définition : La programmation linéaire est un outil de la Recherche Opérationnelle qui permet d'optimiser un certain objectif, appelé aussi fonction économique, qui est fonction linéaire d'un certain nombre de variables de décision. Ces variables de décision sont soumises à un ensemble de contraintes exprimées sous forme d’équations ou d’inéquations linéaires.
  • 5. Dans la programmation Linéaire , il y a 2 phases :  Phase 1 : est une phase de modélisation c’est-à-dire la mise en équation du problème.  Phase 2 : est une phase de résolution du modèle. 5
  • 6. 6 2. Étapes pour modéliser un Pb par la Programmation Linéaire  Définir les variables de décision  ensemble des variables qui régissent la situation à modéliser  variables réelles positives, entières, binaires  Formuler la fonction objectif  fonction mathématique composée des variables de décision  fonction linéaire  Formuler les contraintes du problème  équations ou inéquations linéaires composées des variables de décision
  • 7. 7 3. Exemple simple Il s’agit d’une entreprise de fabrication de châssis qui envisage la production de deux nouveaux modèles au moyen des capacités résiduelles de ses trois ateliers. Il s’agit respectivement d’un châssis en aluminium et d’un châssis en bois. Le premier produit nécessite le passage dans le premier atelier pour fabriquer le cadre en aluminium et dans le troisième atelier où le verre est monté sur le châssis. Tandis que le second produit nécessite le passage dans le deuxième atelier pour fabriquer le cadre en bois et dans le troisième atelier où le verre est monté sur le châssis. Les marges unitaires, les temps de fabrication de chacun des produits dans chacun des ateliers ainsi que les capacités hebdomadaires résiduelles de ces ateliers sont donnes au tableau suivant :
  • 8. 8 La question qui se pose est la suivante : “Combien faut-il produire de châssis de chaque type par semaine pour maximiser la Marge de cette entreprise ?”
  • 9. 9 Si on représente par x1 et x2 les quantités de chaque bien à produire par semaine, le problème se formule comme suit : Cette formulation est appelée un programme linéaire (P.L)
  • 10. 10 4. Résolution d’un programme linéaire 4.1 Ensembles convexes et points extrêmes a) Définition 1 : Un ensemble de points est un ensemble convexe si, et seulement si, pour deux points quelconques A et B de cet ensemble, le segment de droite joignant ces deux points est aussi dans l’ensemble.
  • 11. 11 Illustration graphique ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( a ) et ( b ) sont des ensembles convexes, ( c ) et ( d ) sont des ensembles non convexes.
  • 12. 12 b) Définition 2 : Un point extrême d’un ensemble convexe est défini comme un point qui ne peut être jamais mis entre deux points par un segment de droite de cet ensemble.
  • 13. Illustration graphique X1, X2, X3, X4 et X5 sont des points extrêmes (sommets), X n’est pas un point extrême. X3 X X2 X4 X1 X5 13
  • 14. 14 4.2 Propriétés a.Propriété 1 : L’ensemble des solutions réalisables ( qui vérifient le système des contraintes ) d’un programme linéaire est un ensemble convexe. b. Propriété 2 : La solution optimale, si elle existe, d’un programme linéaire est atteinte en (au moins) un point extrême de l’ensemble des solutions réalisables de ce P.L . c.Propriété 3 : Si un P.L admet deux points extrêmes adjacents Comme solutions optimales, tous les points du segment de droite joignant ces deux points sont aussi solutions optimales.
  • 15. 15 dans le cas de deux variables de décision, un problème linéaire peut être résolu de manière purement graphique en suivant le processus en deux étapes suivantes : 5. Résolution graphique d’un P.L (Cas de 2 variables)
  • 16. 16  première étape :  représenter graphiquement la région réalisable (l’ensemble des valeurs de variables de décision qui satisfont toutes les contraintes).
  • 18. 18  Deuxième étape : Recherche de la solution optimale Point extrême Objectif (0,0) 0 (0,6) 30 (2,6) 36 (4,3) 27 (4,0) 12 Max de l’objectif Solution optimale
  • 19. 19 6.1 Forme canonique : Si toutes les contraintes d'un PL sont sous la forme d'inéquations, on dit qu'on a la forme canonique . 6. Algorithme du simplexe :
  • 20. 20 6.2 Forme standard : Introduction des variables d’écarts ei pour avoir des contraintes sous forme d'équations : c'est la forme standard                      0 18 2 3 12 2 4 . . 5 3 3 2 1 2 1 3 2 1 2 2 1 1 2 1 e e e x x e x x e x e x q c s x x z Max
  • 21. 21 Interprétation économique des variables d’écarts – e1 : temps de l’atelier 1 qui n’est pas encore utilisé – e2 : temps de l’atelier 2 qui n’est pas encore utilisé – e3 : temps de l’atelier 3 qui n’est pas encore utilisé
  • 22. 22 6.3 Principe :  Pour pouvoir à chaque fois résoudre le système des contraintes sous sa forme standard, il faut annuler 2 variables.  Les variables annulées seront appelées variables hors base (H.B).  Les autres seront appelées variables de base.  La solution obtenue du système est un point extrême.
  • 23. 23 Les variables de base sont e1,e2 et e3 Les variables hors base sont x1 et x2 Recherche de la base initiale Matrice identité Cette base est une base initiale évidente Ecrire le système des contraintes sous forme matricielle
  • 24. 24 T0 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coefs e1 1 0 1 0 0 4 e2 0 2 0 1 0 12 e3 3 2 0 0 1 18 Z 3 5 0 0 0 0 e1 = 4, e2 = 12 et e3 = 18 Point extrême X1=0 et x2=0 Z = 0 Tableau initial T0
  • 25. 25 T0 x1 x2 e1 e2 e3 R R/coef e1 1 0 1 0 0 4 e2 0 2 0 1 0 12 e3 3 2 0 0 1 18 Z 3 5 0 0 0 0  étape 1 : Sélection de la variable entrante dans la base Pour un problème de maximisation, on choisit la variable hors base qui a la contribution marginale dans l’objectif la plus élevé. Pour un problème de minimisation, c’est le contraire. Variable entrante est x2 1ière itération : passage de T0 à T1
  • 26. 26  Étape 2 : Sélection de la variable sortante de la base La variable sortante sera celle qui aura le plus petit rapport C/coefs positif T0 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coefs e1 1 0 1 0 0 4 ∞ e2 0 2 0 1 0 12 6 e3 3 2 0 0 1 18 9 Z 3 5 0 0 0 0 Variable sortante est e2
  • 27. 27  Étape 3 : Détermination du pivot. T0 x1 x2 e1 e2 e3 R R/coef e1 1 0 1 0 0 4 ∞ e2 0 2 0 1 0 12 6 e3 3 2 0 0 1 18 9 Z 3 5 0 0 0 0 Le pivot = 2 L1(T0) L2(T0) L3(T0) L4(T0)
  • 28. 28  Étape 4 : Construction effective du tableau. La construction du nouveau tableau se fait par la méthode suivante : Effectuer des opérations sur les lignes du tableau T0 afin de transformer la colonne associée à X2 : 0,2,2,5 du tableau T0 en une colonne de la forme : 0,1,0,0 du tableau T1.  L1(T1) = L1(T0)  L2(T1) = L2(T0) / 2  L3(T1) = L3(T0) – L2(T0)  L4(T1) = L4(T0) – 5/2L2(T0)
  • 29. 29 T1 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coefs e1 1 0 1 0 0 4 x2 0 1 0 1/2 0 6 e3 3 0 0 -1 1 6 Z 3 0 0 -5/2 0 -30 Point extrême : x1 = 0 et x2 = 6 Z = 30 e1 = 4, e2 = 0 et e3 = 6
  • 30. 30  Etape 5 : Si on ne peut plus améliorer l’objectif Alors, on a atteint la solution Optimale. Si non, on revient à l’étape 1 et on recommence T1 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coefs e1 1 0 1 0 0 4 x2 0 1 0 1/2 0 6 e3 3 0 0 -1 1 6 Z 3 0 0 -5/2 0 -30
  • 31. 31 T1 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coefs e1 1 0 1 0 0 4 x2 0 1 0 1/2 0 6 e3 3 0 0 -1 1 6 Z 3 0 0 -5/2 0 -30 Variable entrante est x1 2ième itération : passage de T1 à T2
  • 32. 32 T1 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coesf e1 1 0 1 0 0 4 4 x2 0 1 0 1/2 0 6 ∞ e3 3 0 0 -1 1 6 2 Z 3 0 0 -5/2 0 -30 Variable sortante est e3
  • 33. 33 T1 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coesf e1 1 0 1 0 0 4 4 x2 0 1 0 1/2 0 6 ∞ e3 3 0 0 -1 1 6 2 Z 3 0 0 -5/2 0 -30 Le pivot = 3
  • 34. 34 T2 x1 x2 e1 e2 e3 C C/coefs e1 0 0 1 0,33 -0,3 2 x2 0 1 0 0,5 0 6 x1 1 0 0 -0,3 0,33 2 Z 0 0 0 -1,5 -1 -36 On ne peut plus améliorer l’objectif, donc la solution optimale est atteinte : x1 = 2 et x2 = 6 Zopt = 36 e1 = 2, e2 = 0 et e3 = 0
  • 36. 36 II. Techniques d’ordonnancement Les techniques d'ordonnancement visent à planifier un certain nombre de tâches d'une façon optimale en respectant leurs contraintes :  De production (mobilisation nécessaire des ressources humaines et techniques).  De temps (délais à respecter pour leur exécution).  D'antériorité (ordre d'exécution à respecter).
  • 37. 37 Techniques d’ordonnancement La méthode d’ordonnancement la plus utilisée est :  La méthode PERT (Program of Evaluation and Review Technic ). Cette méthode est basée sur la théorie des graphes, c’est-à- dire la représentation sommets et arcs orientés.
  • 38. 38 T++. T- I T++. T- J La méthode PERT Une tâche est représentée par un arc. L'arc qui représente la tâche A est encadré par les 2 sommets I et J. Le sommet I est appelé le sommet commencement de A, c'est l'étape I. Le sommet J est appelé le sommet aboutissement de A, c'est l'étape J. • T+(I) : date au plus tôt du commencement de la tâche A, c’est à dire la date du commencement de la tâche A. • T-(I) : date au plus tard du commencement de la tâche A, c’est à dire la date du commencement de la tâche A sans retarder le projet. T-(I)≥ T+(I) A[Durée(A)]
  • 39. 39 La méthode PERT I J K A B Les tâches A et B sont deux tâches successives
  • 40. 40 La méthode PERT I J K A B Les tâches A et B sont deux tâches simultanées
  • 41. 41 La méthode PERT K I J A B Les tâches A et B sont deux tâches convergentes
  • 42.  Date au plus tôt "étape J" = Date au plus tôt "étape I" + Durée tâche (A) 42 I J Lorsque plusieurs arcs arrivent à un même sommet (c'est à dire que plusieurs tâches doivent être réalisées pour atteindre une étape donnée), il convient de faire ce calcul pour toutes les tâches menant à l'étape en question et de retenir comme "date au plus tôt" de l'étape le maximum des valeurs ainsi trouvée (en effet, l'étape ne sera vraiment atteinte que lorsque toutes les tâches y menant auront été accomplies). La méthode PERT (Calcul des dates au plus tôt ) A[Durée(A)]
  • 43.  Date au plus tard "étape I" = Date plus tard "étape J" - Durée tâche (A) 43 i j Lorsque plusieurs arcs partent d'un même sommet (c'est à dire que plusieurs tâches commencent à partir d'une même étape), il convient de faire ce calcul pour toutes les tâches succédant à l'étape en question et de retenir comme "date au plus tard" de l'étape le minimum des valeurs ainsi trouvées. La méthode PERT (Calcul des dates au plus tard) A[Durée(A)]
  • 44. Exemple de construction d'un réseau PERT 44 Tâche Durée Tâches antérieures A 2 B 4 C 4 A D 5 A, B E 6 C,D Soit un projet formé par 5 tâches. Question : Construire le réseau PERT de ce projet. La méthode la plus appropriée pour construire un réseau PERT consiste à procéder par "niveau".
  • 45. 45 Exemple de construction d'un réseau PERT Niveaux Tâches 0 A , B 1 C , D 2 E Tableau des niveaux Tâches Tâches successeurs A C , D B D C E D E E Tableau des successeurs
  • 46. 46 Exemple de construction d'un réseau PERT Début 1 2 A(2) B(4) D(5) C(4) α(0) 3 E(6) Fin 0 2 4 9 15 15 9 4 4 0 Réseau PERT
  • 47. CALCUL DES DIFFÉRENTES MARGES D'UNE TÂCHE DANS UN RÉSEAU PERT Marge totale tâche (A) = Date au plus tard "étape J" - Date au plus tôt "étape I" - Durée tâche(A) 47 i j A[Durée(A)] Une tâche qui n'a pas de marge totale est appelée tâche critique. Les taches critiques de l’exemple sont : B-D-E (Chemin critique). Marge totale (A) =4-0-2 = 2 , marge totale (C) = 9-2-4 = 3. La marge totale d'une tâche indique le retard maximal que l'on peut admettre dans sa réalisation (sous réserve qu'elle ait commencé à sa date au plus tôt) sans allonger la durée optimale du projet.
  • 48. Marge libre tâche (A) = Date au plus tôt "étape J" - Date au plus tôt "étape I" - Durée tâche (A) 48 I J CALCUL DES DIFFÉRENTES MARGES D'UNE TÂCHE DANS UN RÉSEAU PERT A[Durée(A)] Marge libre (A) = 2-0-2 = 0 Marge libre (C) = 9-2-4 = 3 La marge libre d'une tâche indique le retard que l'on peut admettre dans sa réalisation (sous réserve qu'elle ait commencé à sa date au plus tôt) sans modifier les date au plus tôt des tâches suivantes et sans allonger la durée optimale du projet