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Module : Traitement Numérique du Signal &DSP
Pr. A. SAHEL
1
Chapitre : Les filtres numériques
MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL
Introduction
Les systèmes linéaires discrets invariants dans le temps (SLIT) constituent un domaine
très important du traitement numérique du signal, qui est celui des filtres numériques à
coefficients fixes.
Leur fonctionnement est régi par une équation de convolution.
L’analyse de leurs propriétés se fait à l’aide de la Transformée en Z, qui joue pour les
systèmes discrets le même rôle que la transformée de Laplace ou de Fourier pour les
systèmes continus
Systèmes numériques linéaires invariants dans le temps
Un système numérique est une fonction ou un algorithme prédéfini qui opère sur un
signal d’entrée numérique et qui produit un signal de sortie numérique.
Définition
)
(n
x )
(n
y
Système
Numérique
Un système numérique reçoit en entrée une séquence de nombres {x(0), x(1), x(2), …},
notée plus simplement x(n), et produit en sortie une séquence de nombres y(n) obtenue
à partir de l’entrée après application d’un algorithme
MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL
2
Systèmes numériques linéaires invariants dans le temps
   
n
x
n
y =
   
,...
0
,
0
,
0
,
0
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0

=
n
x
   
,...
0
,
0
,
0
,
0
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
0
,
0
... 
=
n
y
Système identité:
Entrée :
Sortie :
Décalage arrière d’un pas :
   
1
−
= n
x
n
y
Entrée :
Sortie :
   
,...
0
,
0
,
0
,
0
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0

=
n
x
   
,...
0
,
0
,
0
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
,
0
0
,
0
... 
=
n
y
Entrée :
Sortie :
Décalage Avance d’un pas :
   
1
+
= n
x
n
y
   
,...
0
,
0
,
0
,
0
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0

=
n
x
   
...
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
,
0
... 
=
n
y
Max :
Entrée :
Sortie :
       
 
1 1
y n max x n , x n ,x n
= − +
   
,...
0
,
0
,
0
,
0
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0

=
n
x
   
...
0
,
0
,
0
,
5
,
5
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
... 
=
n
y
Accumulateur :
   


−
=
n
k
x
n
y
Entrée :
Sortie :
   
,...
0
,
0
,
0
,
0
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0

=
n
x
   
,...
15
,
15
,
15
,
15
,
15
,
10
,
6
,
3
,
1
,
0
,
0
,
0
... 
=
n
y
Différence :
     
1
−
−
= n
x
n
x
n
y
   
,...
0
,
0
,
0
,
0
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0

=
n
x
   
,...
0
,
0
,
5
,
1
,
1
,
1
,
1
,
0
,
0
,
0
... −
= 
n
y
Entrée :
Sortie :
Exemple de systèmes numériques
MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL
3
Systèmes numériques linéaires invariants dans le temps
Moyenneur glissant
Un moyenneur glissant d’ordre 5 est défini par l’équation:
           
( )
2
1
1
2
5
1
+
+
+
+
+
−
+
−
= n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
y
On peut aussi calculer la moyenne glissante sur les 5 points les plus récents:
           
( )
4
3
2
1
5
1
−
+
−
+
−
+
−
+
= n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
y
Exemple de systèmes numériques
MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL
4
Propriétés d’un système numérique
Système statique :
Système dont la sortie y[n] ne dépend que du signal d’entrée à l’instant n. (sans mémoire) :
Système dynamique :
C’est un système tenant compte de ce que s’est passé ou se passera. (avec mémoire) :
Système linéaire :
C’est un Système satisfaisant au prince de superposition :
Système invariant dans le temps :
C’est un système pour lequel un décalage temporel sur le signal d’entrée conduit à un décalage
du signal de sortie de la même valeur.
Système causal :
Si la séquence de sortie ne dépend que des valeurs actuelles ou passées de la séquence d’entrée.
Système stable :
Un système numérique est stable si, lorsqu’on lui présente une entrée finie, il produit une sortie finie
     
2
y n a.x n n.x n
= +
       
( )
1
1 +
+
+
−
= n
x
n
x
n
x
a
n
y
     
 
 
   
 
   
1 2
1 2
1 2
y n T a.x n b.x n
a.T x n b.T x n
a.y n b.y n
= +
= +
= +
 
   
 
   
si
alors
T x n y n
T x n d y n d
=
+ = +
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5
Réponse impulsionnelle d’un système numérique
( )
x n ( )
y n
Système
Numérique
h(n)
k k
y( n ) h( n ) x( n ) x( k ) h(n k ) h( k ) x(n k )
=  =  − =  −
 

+
=
−

=
0
)
(
)
(
)
(
k
k
n
x
k
h
n
y
Du fait de la causalité h(n)=0 pour n<0 :
La condition nécessaire et suffisante de stabilité du SLIT : 


n
n
h )
(
Equation aux différence d’un système numérique
Un système numérique linéaire et invariant dans le temps peut être décrit par une
équation aux différences finies, linéaires et à coefficients constants, de la forme :
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
2
(
)
1
(
)
( 1
0
2
1 M
n
x
b
n
x
b
n
x
b
N
n
y
a
n
y
a
n
y
a
n
y M
N −
+




+
−
+
=
−
+





+
−
+
−
+
la valeur de la sortie y(n) à l’instant courant est une combinaison linéaire des N sorties
précédentes, de l’entrée courante, et des M entrées précédentes.
Systèmes numériques linéaires invariants dans le temps
)
(
)
(
)
(
0
1
j
n
x
b
i
n
y
a
n
y
M
j
j
N
i
i −
=
−
+ 
 =
=
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6
Classification des systèmes numériques
Systèmes récursifs : )
(
)
(
)
(
0
1
j
n
x
b
i
n
y
a
n
y
M
j
j
N
i
i −
=
−
+ 
 =
=
Systèmes non récursifs : )
(
)
(
0
i
n
x
b
n
y
M
j
i −
= 
=
Ordre d’un système
Systèmes numériques linéaires invariants dans le temps
L’ordre d’un SLIT numérique est donné par le degré de la récursivité de l’équation aux
différences finies associée : N.
De la même façon qu’une équation intégro-différentielle entre l’entrée et la sortie
analogiques d’un système à temps continu définit un filtre analogique, une équation aux
différences finies définit un filtre numérique qui est un système numérique linéaire et
invariant dans le temps.
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7
Structure ou graphe de fluence d’un Système numérique
l’équation de récurrence associée à un filtre numérique est traduite sous la forme d’une
structure (ou graphe de fluence) faisant apparaître les éléments de base suivants :
▪ L’additionneur : ou
▪ Le multiplieur qui multiplie un signal
par un scalaire a (amplification par
un coefficient a),
ou
▪ L’élément « délai » ou cellule à retard
(retardant d’une période
d’échantillonnage) : Z-1 ou Te
Soit un SLIT représenté par l’équation de récurrence :
1
−
+
= n
n
n ay
x
y
Exemple
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8
Transformée de z (TZ)
La TZ est la généralisation de la TFTD :
soit un signal discret x(n). Sa TZ est définie par :
où z est une variable complexe définie partout où cette série converge.
2
( ) ( ) e
j fnT
e
n
X f x nT e 
−

= 

( ) ( ) n
n
X z x n z−

= 

En effet, comme cette transformation est une série infinie, elle n’existera que pour les
valeurs de z pour lesquelles cette série converge.
Définition :
La transformée en Z peut s’obtenir à partir de la transformée de Laplace en effectuant le
raisonnement suivant :
Soit Fe(p) la transformée de Laplace du signal échantillonné fe(t)
de période d’échantillonnage Te :
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
(
)
(
)
(
)
( e
e
e
e
k
e
e kT
t
kT
f
T
t
T
f
t
f
nT
t
t
f
t
f −
+






+
−
+
=
−

=  



  e
e
e
e kpT
k
k
kpT
k
pT
pT
k
e e
f
e
f
e
f
e
f
f
f
TL
p
F −
−
−
−

=
+






+
+
+
=
= 2
2
1
0
)
(
e
pT
e
La transformée de Laplace d’un signal échantillonné s’exprime comme une somme de
termes en .
Pour exprimer la transformée en Z, On effectuera simplement le changement de variable
où p est la variable de Laplace, cette variable étant en général considérée comme
complexe ( ).
2
p j f
 
= +
e
pT
e
z =
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9
Transformée de z (TZ)
  n
n n
n
Tz x( n ) Z( x ) x z X( z )
+
−
=−
= =  =

La transformée en Z du signal, discret x(n) est
L'ensemble des valeurs de la variable complexe z pour lesquelles la série converge est
appelée Région De Convergence : n
n
RDC z / x( n ) z
+
−
=−
 
=    + 
 
 

2
2 e e e
pT T j fT
p j f z e e e
 
 
= +  = = 
Si la région de convergence de la TL se limite à une bande 1    2 alors :
   
   
z
e
R
p
z
e
R
p
e
e
T
T

=
⎯→
⎯


=
⎯→
⎯

2
1
2
2
1
1




z est une variable complexe et la fonction X(z) possède un RDC qui en
général est un anneau centré sur l’origine, de rayons R1 et R2:
X(z) est défini pour R1<z< R2 avec
1 1
1 2
n n
n n
R lim x( n ) et R lim x( n )
−
→+ →+
= = −
▪ x(n)=0 pour n<n0 système causal  R2= +,
RDC = région extérieure au cercle de rayon R1
▪ x(n)=0 pour n>n0 système anti-causal  R1 = 0,
RDC = disque de rayon R2.
2
e
T
e
z e
arg( z ) fT


 =
 
=

 
z
1
R
0
( )
z
H
10
MST
ISERT
-
TNS
&
DSP
-
prof.
A.
SAHEL
Transformée de z (TZ)
Exemple 1 : TZ{u(n)}
 
1
1
0 0
1
1
N
N
n n
N N
n n
z
U( z ) Tz u( n ) z lim z lim
z
−
+ −
− −
−
→+ →+
= =
−
= = = =
−
 
La limite est finie si
1
1
1
1 1 1
1
z z U( z ) pour z
z
−
−
    = 
−
0
si 0
0 ( ) ( ) = convergente pour
0 sinon
n
n n
n
a n z
soit a , x n X z a z , z a
z a
+
−
=
 
 =  = 

−


0
0 si 0
0 ( ) ( ) = convergente pour
0
n n
n
n
n z
soit b , y n Y z b z , z b
b si n z b
+
−
=


 =  − = 

−  −


Exemple 2 :
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11
Transformée de z (TZ)
Propriétés de la TZ
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12
Transformée de z (TZ)
Exemples
( )
0 0
0
1
( ) ( ) ( ) = ( )
2
jn jn
x n cos n U n e e U n
 
 −
=  + 
0 0
1
0
1 1 1 2
0
1 ( )z
1 1 1
( ) 1
2 1 1 1 2 ( )z
jn jn
cos
X z avec z
e z e z cos z
 


−
−
− − − −
−
 
= + = 
 
− − − +
 
Calculer la transformée en z des fonctions discrètes suivantes. Vérifier que les
théorèmes de la valeur initiale et finale s'appliquent : ( ) 0 8 ( ) ( ) 0 8 ( )
n n
x n , u n et y n n , u n
= =
( )
2
0 8
0 8
( ) ( )
0 8 0 8
z
d
z , z
z ,
X z ; Y z z
z , dz z ,
 
 
−
 
= = − =
− −
( )
2
0 8
(0) 1 (0) 0
0 8 0 8
z z
z , z
X lim ; Y lim
z , z ,
→ →
= = = =
− −
( ) ( )
( )
2
1 0 8 1
( ) 0 ( ) 0
0 8 0 8
z z
z z , z z
X lim ; Y lim
z , z ,
→ →
− −
 = =  = =
− −
0
( ) ( ) ( )
x n cos n U n

= 
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13
Transformée de z (TZ)
Quelques TZ
MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL
14
Transmittance en z d’un SLIT
Diagramme des pôles et des zéros
Les SLIT décrits par une équation aux différences finies ont une transformée en Z
rationnelle, un rapport de deux polynômes en z-1.
0 0 0 0
N M N M
Tz i j
i j i j
i j i j
a y( n i ) b x( n j ) a z Y( z ) b z X( z )
− −
= = = =
− = − ⎯⎯
→ =
   
Un SLIT est caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(n) ou par la transformée en Z de h(n),
H(z)= TZh(n) encore appelée transmittance en z ou fonction de transfert du système.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0 1 1
0 0
1 1
0
( )
( )
M
l
M M
l
l l
M N M N M N
l l l
N N N
k
k k
k k
k
k
b z
z z z z
Y z b b
N z
H z z z K z
X z a D z a z p z p
a z
−
− − −
= = =
−
= =
=

− −
= = = = = 
− −

  
 

H(z) possède M zéros (zi) et N pôles (pi). Si N>M, elle possède (M-N) pôles en 0, sinon
(N-M) zéros en 0. La position des pôles, des zéros et K fournissent une description complète
de H(z) ( h(n) et H(f)) donc du comportement du système. H(z) peut donc être représentée
sous la forme d’un cercle modélisant la position des pôles et des zéros dans le plan complexe.
Exemple :
Un zéro en 2/3 et deux pôles p1= -0.5 et p2= 1
3 2
( )
( 1)( 0 5)
z
H z
z z ,
−
=
− +
MST
ISERT
-
TNS
&
DSP
-
prof.
A.
SAHEL
15
Remarques
▪ Dans la plupart des SLIT, les ai et le bi sont réels, les pôles et les zéros sont soient réels
soient des paires de complexes conjuguées.
▪ Un SLIT est stable si : ( )
n
h n  

puisque , il suffit donc pour z=1 (cercle unité) fasse partie de la RDC
( ) ( ) n
n
H z h n z
+
−
=−
= 

▪ Un SLIT est causal et stable si tous les pôles sont à l’intérieur du cercle unité (|pi|<1). Le
domaine de convergence ne peut contenir de pôles puisque la TZ ne converge pas aux
pôles. S’il est anti-causal, il sera stable si les pôles sont à l’extérieur du cercle unité.
▪ A un pôle pi simple ou multiple va correspondre une réponse impulsionnelle qui
converge si |pi|<1. Elle divergera dans le cas contraire, soit si |pi|>1 .
▪ Sachant qu'à chaque pôle complexe est associé un pôle conjugué cela donnera une
réponse impulsionnelle h(n) oscillante(cosinus ou sinus) amortie si |pi=1,2|< 1 ou
divergente si |pi=1,2|> 1.
▪ Dans un système à phase minimale, tous les zéros sont à l’intérieur du cercle unité
(|zi|<1, i).
Transmittance en z d’un SLIT
Diagramme des pôles et des zéros
MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL
16
Remarques
Réponse d’un SLIT
Selon la position de ses pôles
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17
Transformée en z inverse
La transformée en z possède une transformée inverse. Soit Γ un contour fermé contenant
tous les points singuliers, ou pôles, de X(Z) ainsi que l’origine ; on peut écrire :
L’évaluation de l’intégrale dans le plan complexe se fait à l’aide du théorème des résidus, qui
établit que l’intégrale le long d’un contour est donné par la somme des résidus de la fonction
à intégrer, soit ici X(z) zn−1, dans le contour Γ. Le résidu rq à un pôle d’ordre q en z = a est
donné par :
Pour un pôle simple (q = 1) en z = a, l’expression du résidu r1 se réduit à :
1
i
1
p poles de z ( )
( ) Re ( )
i
n
n
z p
X z
x n s z X z
−
−
=
 
=  

1
1
( ) ( )
2
n
x n X z z dz
j

−

= 
1
1
1
1
lim ( ) ( )
( 1)!
q
n q
q q
z a
d
r X z z z a
q dz
−
−
−
→
 
= −
 
−
1
1 lim ( ) ( )
n
z a
r X z z z a
−
→
 
= −
 
Transformée en z inverse
MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL
18
Filtres Numériques
Définition
Un filtre numérique est un système à temps discret dont la période d’échantillonnage est Te .
Il est linéaire invariant par translation de kTe. k.
Il existe trois grandes familles de filtres qui sont :
Les Filtres à Réponses impulsionnelles finies : Filtres RIF
La sortie dépend uniquement de l’entrée.
Les Filtres à Réponses impulsionnelles infinies : Filtres RII
La sortie dépend du signal d’entrée et du signal de sortie.
Les Filtres à Traitement du signal
Ils sont utilisés pour d’autres types de filtrage.
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19
Filtres Numériques
.
▪ Lorsqu'un zéro est placé sur un point donné du plan en z, la réponse fréquentielle sera
nulle au point considéré. Un pôle quant à lui produira un pic au point correspondant.
Plus les pôles ou les zéros sont proches du cercle unité, plus ils influencent la réponse
en fréquence.
▪ un zéro ou un pôle à l’origine n’influent pas sur le module de la réponse fréquentielle.
▪ un zéro sur le cercle unité introduit une annulation du module pour la fréquence
correspondant
▪ Un zéro au voisinage du cercle unité introduit une atténuation dans le module de la
réponse en fréquence. Atténuation d’autant plus importante que le zéro est proche du
cercle unité.
▪ Un pôle sur le cercle unité introduit une résonance infinie dans le module de la réponse
en fréquence pour la fréquence correspondante.
Influence des pôles et des zéros sur la réponse fréquentielle
( )
2 1
2
e
j fT
e
z
z e ;
arg z fT


 =

= 
=


Un filtre numérique est caractérisé :
-- par sa réponse impulsionnelle , Te,
-- par sa transformée en z : à la suite , on peut associer de façon unique
qui converge dans une couronne du plan z ;
-- par sa réponse fréquentielle, C’est la transformée en z sur le cercle unité :
 
n
h
 
n
h
( )  
   −
=
=
n
n
n
n z
h
h
Tz
z
H
( )  
2 n e
j f T
n n
n
H z h e TFd h

−
 =  =

MST
ISERT
-
TNS
&
DSP
-
prof.
A.
SAHEL
20
Réponse Fréquentielle des Filtres Numériques
Selon la position de ses pôles
Le cercle complet correspond à une
fréquence d'échantillonnage Fe.
Des pôles proches du cercle unité sont
à l'origine de larges pics tandis que des
zéros proches ou sur le cercle unité
produisent des minima.
2
2
2 1
( )
0 371 0 36
z z
H z
z , z ,
− +
=
−  +
 Zéros double en z=-1,
 pôles p12= ±0,6ej72°
Un zéro double en z = 1 ⇒ |H(f)| = 0 pour f = 0
Des pôles proches du cercle unité ⇒ maxima.
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21
Structure d’un filtre numérique
Filtre à Réponse Impulsionnelle Fnie (RIF)

ou
( )
n
n
n
k
k
M
k
k
n
k
M
k
k
n
k
n
x
h
y
h
a
x
h
x
a
y

=
=

=

= 

−
=
−
−
=
− ;
1
0
1
0
On dit que le filtre a pour longueur M  (M coefficients). Dont la Tz s’écrit :
( ) ( ) ( )
z
X
z
H
z
Y 
= ( ) ( )
( ) 
−
=
−

=
=
1
0
M
n
n
n z
h
z
X
z
Y
z
H
MST
ISERT
-
TNS
&
DSP
-
prof.
A.
SAHEL
22
Structure d’un filtre numérique
Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)

ou
l
n
N
l
l
M
k
k
n
k
n y
b
x
a
y −
−
=
−
=
− 
+

= 

1
1
1
0
Dont la Tz s’écrit :
( ) ( ) ( )


−
=
−
−
=
−


+


=
1
1
1
0
N
l
k
l
M
k
k
k z
Y
z
b
z
X
z
a
z
Y ( )
( )
( )
1
0
1
1
1
M
k
k
k
N
l
l
l
a z
Y z
H z
X z
b z
−
−
=
−
−
=

= =
− 


0
a
n
x
1
−
z
1
−
n
x
1
a
2
a
2
−
n
x
1
−
z
1
−
n
y
1
b
2
b
2
−
n
y
1
−
z
1
−
z
n
y
n
x
1
−
z
0
a
1
−
z
1
−
z
1
−
z
1
a
2
a
3
a
1
+
M
a
n
y
1
−
z
1
0 =
b
1
−
z
1
−
z
1
−
z
1
b
2
b
3
b
1
+
N
b
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23
Détermination des coefficients d’un filtre numérique
Le calcul des coefficients se fait par plusieurs méthodes :
- conservation de la réponse impulsionnelle,
- conservation de la réponse fréquentielle ;
- définition d’un gabarit et utilisation de la CAO.
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24
Synthèse par Conservation de la réponse impulsionnelle :Filtre RIF
On part d’une impulsion continue h(t) , imposée ou connue, par exemple d’un filtre
analogique. Il suffit de numériser h(t) pour obtenir les hn, Ш
)
(t
h n
h
Si le nombre des échantillons est très élevé on utilise une fenêtre temporelle comme par
exemple la fenêtre rectangulaire.
1 0 1
0
N
n N
w
ailleurs
   −

= 

Ou par exemple de façon moins
brutale par une fenêtre de Hamming.
On obtient alors : n n N ,M
h h idéal w
= 
Nous pouvons imposer une réponse impulsionnelle réelle symétrique ou antisymétrique.
( ) 0,56 0,44cos 2
N
e
t
w t
NT

 
= +  
 
0 1 2 3 4 n
 
n
h Axe de symétrie
N impair
0 1 2 3 4 5 n
 
n
h Axe de symétrie
N pair
( ) 2 2 1
0 1 1
e e
jfT j( N ) fT
N
n
H f h h e h e
symétrie des h
 
− − −
−
= +  ++ 
 
0 1
1 2
1
2 2
N
N
N N
h h
h h
h h
−
−
−
=
=
 
=
( ) 










 −
−


= 
−
=
−
−
e
N
n
n
T
N
jf
T
N
n
f
h
e
f
H e
2
1
2
cos
2
1
2
0
)
1
(


( ) ( )
( )
f
R
e
f
H f
j

= − 
( ) ( ) f
T
N
f
f e ⊥

−
= 1


Détermination des coefficients d’un filtre numérique
MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL
25
Synthèse par Conservation de la réponse impulsionnelle :Filtre RII
Comme son nom l’indique, il s’agit d’échantillonner la réponse impulsionnelle dont la
transformée de Laplace est :
( )
t
ha
( )
p
Ha
- Décomposition en éléments simples de
- Mettre sous la forme suivante :
- Déduction de la réponse impulsionnelle analogique :
- Echantillonnage de :
- Calcul de la transformée en z du filtre numérique :
( )
p
Ha
( )
p
Ha ( ) 
= −
=
N
j j
j
a
p
p
a
p
H
1
( ) ( )
t
u
e
a
t
h
t
p
N
j
j
a
j


= 
=1

=


=
N
j
n
nT
p
j
n u
e
a
h e
j
1
( )
t
ha
( ) n
n
N
j
nT
p
i
n
n
n z
e
a
z
h
z
H e
j −

= =
−

=










=

=  
 0 1
0
( ) 
=
−

−
=
N
j
T
p
j
z
e
a
z
H e
j
1
1
1
 Pôles et coefficients sont connus
Détermination des coefficients d’un filtre numérique
MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL
26
C’est la méthode dite aussi synthèse par invariance impulsionnelle
Détermination des coefficients d’un filtre numérique
Définition d’un gabarit et utilisation de la CAO
Bande passante
2
1 f
f

+
1
1

+
1
2

0
Bande atténuée
Bande de transition
ondulations
e
F
f
D’une façon générale, le filtre est multi-bande (passe-bande ;coupe bande)
- On cherche la courbe qui passe au mieux à l’intérieur du gabarit.
Il y a de nombreuses méthode pour y parvenir :
- méthode des moindres carrés
- algorithme de REMEZ
- etc…
MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 27
Méthode de synthèse de filtres RII qui peut se résumer par les trois points suivants
1. Définir un gabarit de filtre analogique
2. Approcher ce gabarit par la fonction de transfert d’un filtre de type donné
(Butterworth, Tchebychev, . . . )
3. Transformer la fonction de transfert analogique en fonction de transfert numérique
Conservation de la réponse fréquentielle
On part d’une réponse fréquentielle où les fréquences analogiques .
( )
a
a f
H  

 ,
0
a
f
Auquel on fait correspondre, le domaine numérique à l’aide de la transformation :






2
,
0 e
F
( )
π
πfT
tg
f e
a =
On est alors en mesure de reproduire n’importe quel filtre analogique en utilisant la
transformation la plus classique, Transformation bilinéaire :
1
1
1
2
1
a
z
p
z
−
−
−
= 
+
2
a a a
p j f
 
= + Si on pose on a :
0
a
 = 2 e
j fT
z e 
=
Détermination des coefficients d’un filtre numérique
MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 28
Principales méthodes d’élaboration des filtres numériques
Méthode d’équivalence de la dérivation
Cette méthode consiste à poser, du point du vue opérateur, que la dérivation analogique
est équivalente à la dérivation numérique :
( )
e
n
n
a
T
x
x
t
x
dt
d 1
−
−
⎯→

où xa(t) est un signal analogique et xn un signal numérique.
- L’équation aux différences pour la dérivation numérique est donnée par :
e
n
n
n
T
x
x
y 1
−
−
=
- La fonction de transfert de la dérivation est donc :
( )
e
T
z
z
H
1
1 −
−
=
- Dans le domaine analogique l’opérateur est représenté par la variable p de Laplace.
D’où le pont cherché :
e
T
z
p
1
1 −
−
=
MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 29
On utilise la transformation d’Euler (Approximation d’une dérivée continue en discret)
Principales méthodes d’élaboration des filtres numériques
Méthode d’équivalence de l’intégration
On applique le même principe que la méthode précédente :
On pose l’équation aux différences équivalente à l’opération intégration dans le
domaine analogique :
( ) ( )  
2
1
1
e
n
n
n
n
a
a
T
x
x
y
y
du
u
x
t
y 
+
+
=
⎯→


= −
−

Où l’intégration numérique est basée sur la règle des trapèzes. Dans le cas analogique,
l’intégration correspond à l’opérateur 1/p . L’application cherchée est donc donnée par :
1
1
1
1
2
1
−
−
−
+

=
z
z
T
p
e
1
1
1
1
2
−
−
+
−

=
z
z
T
p
e
C’est la transformée bilinéaire, car elle est linéaire pour p et pour z.
Tout se passe comme si :
a

d

: pulsation analogique
: pulsation numérique
ou bien







=
2
2 e
d
e
a
T
tg
T


MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 30
On utilise la transformation Bilinéaire (Approximation d’une primitive continue en
discret)

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Les Filtres Numeriques

  • 1. Module : Traitement Numérique du Signal &DSP Pr. A. SAHEL 1 Chapitre : Les filtres numériques MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL
  • 2. Introduction Les systèmes linéaires discrets invariants dans le temps (SLIT) constituent un domaine très important du traitement numérique du signal, qui est celui des filtres numériques à coefficients fixes. Leur fonctionnement est régi par une équation de convolution. L’analyse de leurs propriétés se fait à l’aide de la Transformée en Z, qui joue pour les systèmes discrets le même rôle que la transformée de Laplace ou de Fourier pour les systèmes continus Systèmes numériques linéaires invariants dans le temps Un système numérique est une fonction ou un algorithme prédéfini qui opère sur un signal d’entrée numérique et qui produit un signal de sortie numérique. Définition ) (n x ) (n y Système Numérique Un système numérique reçoit en entrée une séquence de nombres {x(0), x(1), x(2), …}, notée plus simplement x(n), et produit en sortie une séquence de nombres y(n) obtenue à partir de l’entrée après application d’un algorithme MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 2
  • 3. Systèmes numériques linéaires invariants dans le temps     n x n y =     ,... 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0  = n x     ,... 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 0 , 0 ...  = n y Système identité: Entrée : Sortie : Décalage arrière d’un pas :     1 − = n x n y Entrée : Sortie :     ,... 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0  = n x     ,... 0 , 0 , 0 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 0 0 , 0 ...  = n y Entrée : Sortie : Décalage Avance d’un pas :     1 + = n x n y     ,... 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0  = n x     ... 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 0 ...  = n y Max : Entrée : Sortie :           1 1 y n max x n , x n ,x n = − +     ,... 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0  = n x     ... 0 , 0 , 0 , 5 , 5 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ...  = n y Accumulateur :       − = n k x n y Entrée : Sortie :     ,... 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0  = n x     ,... 15 , 15 , 15 , 15 , 15 , 10 , 6 , 3 , 1 , 0 , 0 , 0 ...  = n y Différence :       1 − − = n x n x n y     ,... 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0  = n x     ,... 0 , 0 , 5 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ... − =  n y Entrée : Sortie : Exemple de systèmes numériques MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 3
  • 4. Systèmes numériques linéaires invariants dans le temps Moyenneur glissant Un moyenneur glissant d’ordre 5 est défini par l’équation:             ( ) 2 1 1 2 5 1 + + + + + − + − = n x n x n x n x n x n y On peut aussi calculer la moyenne glissante sur les 5 points les plus récents:             ( ) 4 3 2 1 5 1 − + − + − + − + = n x n x n x n x n x n y Exemple de systèmes numériques MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 4
  • 5. Propriétés d’un système numérique Système statique : Système dont la sortie y[n] ne dépend que du signal d’entrée à l’instant n. (sans mémoire) : Système dynamique : C’est un système tenant compte de ce que s’est passé ou se passera. (avec mémoire) : Système linéaire : C’est un Système satisfaisant au prince de superposition : Système invariant dans le temps : C’est un système pour lequel un décalage temporel sur le signal d’entrée conduit à un décalage du signal de sortie de la même valeur. Système causal : Si la séquence de sortie ne dépend que des valeurs actuelles ou passées de la séquence d’entrée. Système stable : Un système numérique est stable si, lorsqu’on lui présente une entrée finie, il produit une sortie finie       2 y n a.x n n.x n = +         ( ) 1 1 + + + − = n x n x n x a n y                     1 2 1 2 1 2 y n T a.x n b.x n a.T x n b.T x n a.y n b.y n = + = + = +             si alors T x n y n T x n d y n d = + = + MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 5
  • 6. Réponse impulsionnelle d’un système numérique ( ) x n ( ) y n Système Numérique h(n) k k y( n ) h( n ) x( n ) x( k ) h(n k ) h( k ) x(n k ) =  =  − =  −    + = −  = 0 ) ( ) ( ) ( k k n x k h n y Du fait de la causalité h(n)=0 pour n<0 : La condition nécessaire et suffisante de stabilité du SLIT :    n n h ) ( Equation aux différence d’un système numérique Un système numérique linéaire et invariant dans le temps peut être décrit par une équation aux différences finies, linéaires et à coefficients constants, de la forme : ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( 1 0 2 1 M n x b n x b n x b N n y a n y a n y a n y M N − +     + − + = − +      + − + − + la valeur de la sortie y(n) à l’instant courant est une combinaison linéaire des N sorties précédentes, de l’entrée courante, et des M entrées précédentes. Systèmes numériques linéaires invariants dans le temps ) ( ) ( ) ( 0 1 j n x b i n y a n y M j j N i i − = − +   = = MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 6
  • 7. Classification des systèmes numériques Systèmes récursifs : ) ( ) ( ) ( 0 1 j n x b i n y a n y M j j N i i − = − +   = = Systèmes non récursifs : ) ( ) ( 0 i n x b n y M j i − =  = Ordre d’un système Systèmes numériques linéaires invariants dans le temps L’ordre d’un SLIT numérique est donné par le degré de la récursivité de l’équation aux différences finies associée : N. De la même façon qu’une équation intégro-différentielle entre l’entrée et la sortie analogiques d’un système à temps continu définit un filtre analogique, une équation aux différences finies définit un filtre numérique qui est un système numérique linéaire et invariant dans le temps. MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 7
  • 8. Structure ou graphe de fluence d’un Système numérique l’équation de récurrence associée à un filtre numérique est traduite sous la forme d’une structure (ou graphe de fluence) faisant apparaître les éléments de base suivants : ▪ L’additionneur : ou ▪ Le multiplieur qui multiplie un signal par un scalaire a (amplification par un coefficient a), ou ▪ L’élément « délai » ou cellule à retard (retardant d’une période d’échantillonnage) : Z-1 ou Te Soit un SLIT représenté par l’équation de récurrence : 1 − + = n n n ay x y Exemple MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 8
  • 9. Transformée de z (TZ) La TZ est la généralisation de la TFTD : soit un signal discret x(n). Sa TZ est définie par : où z est une variable complexe définie partout où cette série converge. 2 ( ) ( ) e j fnT e n X f x nT e  −  =   ( ) ( ) n n X z x n z−  =   En effet, comme cette transformation est une série infinie, elle n’existera que pour les valeurs de z pour lesquelles cette série converge. Définition : La transformée en Z peut s’obtenir à partir de la transformée de Laplace en effectuant le raisonnement suivant : Soit Fe(p) la transformée de Laplace du signal échantillonné fe(t) de période d’échantillonnage Te : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( e e e e k e e kT t kT f T t T f t f nT t t f t f − +       + − + = −  =        e e e e kpT k k kpT k pT pT k e e f e f e f e f f f TL p F − − − −  = +       + + + = = 2 2 1 0 ) ( e pT e La transformée de Laplace d’un signal échantillonné s’exprime comme une somme de termes en . Pour exprimer la transformée en Z, On effectuera simplement le changement de variable où p est la variable de Laplace, cette variable étant en général considérée comme complexe ( ). 2 p j f   = + e pT e z = MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 9
  • 10. Transformée de z (TZ)   n n n n Tz x( n ) Z( x ) x z X( z ) + − =− = =  =  La transformée en Z du signal, discret x(n) est L'ensemble des valeurs de la variable complexe z pour lesquelles la série converge est appelée Région De Convergence : n n RDC z / x( n ) z + − =−   =    +       2 2 e e e pT T j fT p j f z e e e     = +  = =  Si la région de convergence de la TL se limite à une bande 1    2 alors :         z e R p z e R p e e T T  = ⎯→ ⎯   = ⎯→ ⎯  2 1 2 2 1 1     z est une variable complexe et la fonction X(z) possède un RDC qui en général est un anneau centré sur l’origine, de rayons R1 et R2: X(z) est défini pour R1<z< R2 avec 1 1 1 2 n n n n R lim x( n ) et R lim x( n ) − →+ →+ = = − ▪ x(n)=0 pour n<n0 système causal  R2= +, RDC = région extérieure au cercle de rayon R1 ▪ x(n)=0 pour n>n0 système anti-causal  R1 = 0, RDC = disque de rayon R2. 2 e T e z e arg( z ) fT    =   =    z 1 R 0 ( ) z H 10 MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL
  • 11. Transformée de z (TZ) Exemple 1 : TZ{u(n)}   1 1 0 0 1 1 N N n n N N n n z U( z ) Tz u( n ) z lim z lim z − + − − − − →+ →+ = = − = = = = −   La limite est finie si 1 1 1 1 1 1 1 z z U( z ) pour z z − −     =  − 0 si 0 0 ( ) ( ) = convergente pour 0 sinon n n n n a n z soit a , x n X z a z , z a z a + − =    =  =   −   0 0 si 0 0 ( ) ( ) = convergente pour 0 n n n n n z soit b , y n Y z b z , z b b si n z b + − =    =  − =   −  −   Exemple 2 : MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 11
  • 12. Transformée de z (TZ) Propriétés de la TZ MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 12
  • 13. Transformée de z (TZ) Exemples ( ) 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) = ( ) 2 jn jn x n cos n U n e e U n    − =  +  0 0 1 0 1 1 1 2 0 1 ( )z 1 1 1 ( ) 1 2 1 1 1 2 ( )z jn jn cos X z avec z e z e z cos z     − − − − − − −   = + =    − − − +   Calculer la transformée en z des fonctions discrètes suivantes. Vérifier que les théorèmes de la valeur initiale et finale s'appliquent : ( ) 0 8 ( ) ( ) 0 8 ( ) n n x n , u n et y n n , u n = = ( ) 2 0 8 0 8 ( ) ( ) 0 8 0 8 z d z , z z , X z ; Y z z z , dz z ,     −   = = − = − − ( ) 2 0 8 (0) 1 (0) 0 0 8 0 8 z z z , z X lim ; Y lim z , z , → → = = = = − − ( ) ( ) ( ) 2 1 0 8 1 ( ) 0 ( ) 0 0 8 0 8 z z z z , z z X lim ; Y lim z , z , → → − −  = =  = = − − 0 ( ) ( ) ( ) x n cos n U n  =  MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 13
  • 14. Transformée de z (TZ) Quelques TZ MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 14
  • 15. Transmittance en z d’un SLIT Diagramme des pôles et des zéros Les SLIT décrits par une équation aux différences finies ont une transformée en Z rationnelle, un rapport de deux polynômes en z-1. 0 0 0 0 N M N M Tz i j i j i j i j i j a y( n i ) b x( n j ) a z Y( z ) b z X( z ) − − = = = = − = − ⎯⎯ → =     Un SLIT est caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(n) ou par la transformée en Z de h(n), H(z)= TZh(n) encore appelée transmittance en z ou fonction de transfert du système. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 ( ) ( ) M l M M l l l M N M N M N l l l N N N k k k k k k k b z z z z z Y z b b N z H z z z K z X z a D z a z p z p a z − − − − = = = − = = =  − − = = = = =  − −        H(z) possède M zéros (zi) et N pôles (pi). Si N>M, elle possède (M-N) pôles en 0, sinon (N-M) zéros en 0. La position des pôles, des zéros et K fournissent une description complète de H(z) ( h(n) et H(f)) donc du comportement du système. H(z) peut donc être représentée sous la forme d’un cercle modélisant la position des pôles et des zéros dans le plan complexe. Exemple : Un zéro en 2/3 et deux pôles p1= -0.5 et p2= 1 3 2 ( ) ( 1)( 0 5) z H z z z , − = − + MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 15
  • 16. Remarques ▪ Dans la plupart des SLIT, les ai et le bi sont réels, les pôles et les zéros sont soient réels soient des paires de complexes conjuguées. ▪ Un SLIT est stable si : ( ) n h n    puisque , il suffit donc pour z=1 (cercle unité) fasse partie de la RDC ( ) ( ) n n H z h n z + − =− =   ▪ Un SLIT est causal et stable si tous les pôles sont à l’intérieur du cercle unité (|pi|<1). Le domaine de convergence ne peut contenir de pôles puisque la TZ ne converge pas aux pôles. S’il est anti-causal, il sera stable si les pôles sont à l’extérieur du cercle unité. ▪ A un pôle pi simple ou multiple va correspondre une réponse impulsionnelle qui converge si |pi|<1. Elle divergera dans le cas contraire, soit si |pi|>1 . ▪ Sachant qu'à chaque pôle complexe est associé un pôle conjugué cela donnera une réponse impulsionnelle h(n) oscillante(cosinus ou sinus) amortie si |pi=1,2|< 1 ou divergente si |pi=1,2|> 1. ▪ Dans un système à phase minimale, tous les zéros sont à l’intérieur du cercle unité (|zi|<1, i). Transmittance en z d’un SLIT Diagramme des pôles et des zéros MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 16
  • 17. Remarques Réponse d’un SLIT Selon la position de ses pôles MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 17
  • 18. Transformée en z inverse La transformée en z possède une transformée inverse. Soit Γ un contour fermé contenant tous les points singuliers, ou pôles, de X(Z) ainsi que l’origine ; on peut écrire : L’évaluation de l’intégrale dans le plan complexe se fait à l’aide du théorème des résidus, qui établit que l’intégrale le long d’un contour est donné par la somme des résidus de la fonction à intégrer, soit ici X(z) zn−1, dans le contour Γ. Le résidu rq à un pôle d’ordre q en z = a est donné par : Pour un pôle simple (q = 1) en z = a, l’expression du résidu r1 se réduit à : 1 i 1 p poles de z ( ) ( ) Re ( ) i n n z p X z x n s z X z − − =   =    1 1 ( ) ( ) 2 n x n X z z dz j  −  =  1 1 1 1 lim ( ) ( ) ( 1)! q n q q q z a d r X z z z a q dz − − − →   = −   − 1 1 lim ( ) ( ) n z a r X z z z a − →   = −   Transformée en z inverse MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 18
  • 19. Filtres Numériques Définition Un filtre numérique est un système à temps discret dont la période d’échantillonnage est Te . Il est linéaire invariant par translation de kTe. k. Il existe trois grandes familles de filtres qui sont : Les Filtres à Réponses impulsionnelles finies : Filtres RIF La sortie dépend uniquement de l’entrée. Les Filtres à Réponses impulsionnelles infinies : Filtres RII La sortie dépend du signal d’entrée et du signal de sortie. Les Filtres à Traitement du signal Ils sont utilisés pour d’autres types de filtrage. MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 19
  • 20. Filtres Numériques . ▪ Lorsqu'un zéro est placé sur un point donné du plan en z, la réponse fréquentielle sera nulle au point considéré. Un pôle quant à lui produira un pic au point correspondant. Plus les pôles ou les zéros sont proches du cercle unité, plus ils influencent la réponse en fréquence. ▪ un zéro ou un pôle à l’origine n’influent pas sur le module de la réponse fréquentielle. ▪ un zéro sur le cercle unité introduit une annulation du module pour la fréquence correspondant ▪ Un zéro au voisinage du cercle unité introduit une atténuation dans le module de la réponse en fréquence. Atténuation d’autant plus importante que le zéro est proche du cercle unité. ▪ Un pôle sur le cercle unité introduit une résonance infinie dans le module de la réponse en fréquence pour la fréquence correspondante. Influence des pôles et des zéros sur la réponse fréquentielle ( ) 2 1 2 e j fT e z z e ; arg z fT    =  =  =   Un filtre numérique est caractérisé : -- par sa réponse impulsionnelle , Te, -- par sa transformée en z : à la suite , on peut associer de façon unique qui converge dans une couronne du plan z ; -- par sa réponse fréquentielle, C’est la transformée en z sur le cercle unité :   n h   n h ( )      − = = n n n n z h h Tz z H ( )   2 n e j f T n n n H z h e TFd h  −  =  =  MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 20
  • 21. Réponse Fréquentielle des Filtres Numériques Selon la position de ses pôles Le cercle complet correspond à une fréquence d'échantillonnage Fe. Des pôles proches du cercle unité sont à l'origine de larges pics tandis que des zéros proches ou sur le cercle unité produisent des minima. 2 2 2 1 ( ) 0 371 0 36 z z H z z , z , − + = −  +  Zéros double en z=-1,  pôles p12= ±0,6ej72° Un zéro double en z = 1 ⇒ |H(f)| = 0 pour f = 0 Des pôles proches du cercle unité ⇒ maxima. MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 21
  • 22. Structure d’un filtre numérique Filtre à Réponse Impulsionnelle Fnie (RIF)  ou ( ) n n n k k M k k n k M k k n k n x h y h a x h x a y  = =  =  =   − = − − = − ; 1 0 1 0 On dit que le filtre a pour longueur M  (M coefficients). Dont la Tz s’écrit : ( ) ( ) ( ) z X z H z Y  = ( ) ( ) ( )  − = −  = = 1 0 M n n n z h z X z Y z H MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 22
  • 23. Structure d’un filtre numérique Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)  ou l n N l l M k k n k n y b x a y − − = − = −  +  =   1 1 1 0 Dont la Tz s’écrit : ( ) ( ) ( )   − = − − = −   +   = 1 1 1 0 N l k l M k k k z Y z b z X z a z Y ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 M k k k N l l l a z Y z H z X z b z − − = − − =  = = −    0 a n x 1 − z 1 − n x 1 a 2 a 2 − n x 1 − z 1 − n y 1 b 2 b 2 − n y 1 − z 1 − z n y n x 1 − z 0 a 1 − z 1 − z 1 − z 1 a 2 a 3 a 1 + M a n y 1 − z 1 0 = b 1 − z 1 − z 1 − z 1 b 2 b 3 b 1 + N b MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 23
  • 24. Détermination des coefficients d’un filtre numérique Le calcul des coefficients se fait par plusieurs méthodes : - conservation de la réponse impulsionnelle, - conservation de la réponse fréquentielle ; - définition d’un gabarit et utilisation de la CAO. MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 24
  • 25. Synthèse par Conservation de la réponse impulsionnelle :Filtre RIF On part d’une impulsion continue h(t) , imposée ou connue, par exemple d’un filtre analogique. Il suffit de numériser h(t) pour obtenir les hn, Ш ) (t h n h Si le nombre des échantillons est très élevé on utilise une fenêtre temporelle comme par exemple la fenêtre rectangulaire. 1 0 1 0 N n N w ailleurs    −  =   Ou par exemple de façon moins brutale par une fenêtre de Hamming. On obtient alors : n n N ,M h h idéal w =  Nous pouvons imposer une réponse impulsionnelle réelle symétrique ou antisymétrique. ( ) 0,56 0,44cos 2 N e t w t NT    = +     0 1 2 3 4 n   n h Axe de symétrie N impair 0 1 2 3 4 5 n   n h Axe de symétrie N pair ( ) 2 2 1 0 1 1 e e jfT j( N ) fT N n H f h h e h e symétrie des h   − − − − = +  ++    0 1 1 2 1 2 2 N N N N h h h h h h − − − = =   = ( )             − −   =  − = − − e N n n T N jf T N n f h e f H e 2 1 2 cos 2 1 2 0 ) 1 (   ( ) ( ) ( ) f R e f H f j  = −  ( ) ( ) f T N f f e ⊥  − = 1   Détermination des coefficients d’un filtre numérique MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 25
  • 26. Synthèse par Conservation de la réponse impulsionnelle :Filtre RII Comme son nom l’indique, il s’agit d’échantillonner la réponse impulsionnelle dont la transformée de Laplace est : ( ) t ha ( ) p Ha - Décomposition en éléments simples de - Mettre sous la forme suivante : - Déduction de la réponse impulsionnelle analogique : - Echantillonnage de : - Calcul de la transformée en z du filtre numérique : ( ) p Ha ( ) p Ha ( )  = − = N j j j a p p a p H 1 ( ) ( ) t u e a t h t p N j j a j   =  =1  =   = N j n nT p j n u e a h e j 1 ( ) t ha ( ) n n N j nT p i n n n z e a z h z H e j −  = = −  =           =  =    0 1 0 ( )  = −  − = N j T p j z e a z H e j 1 1 1  Pôles et coefficients sont connus Détermination des coefficients d’un filtre numérique MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 26 C’est la méthode dite aussi synthèse par invariance impulsionnelle
  • 27. Détermination des coefficients d’un filtre numérique Définition d’un gabarit et utilisation de la CAO Bande passante 2 1 f f  + 1 1  + 1 2  0 Bande atténuée Bande de transition ondulations e F f D’une façon générale, le filtre est multi-bande (passe-bande ;coupe bande) - On cherche la courbe qui passe au mieux à l’intérieur du gabarit. Il y a de nombreuses méthode pour y parvenir : - méthode des moindres carrés - algorithme de REMEZ - etc… MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 27 Méthode de synthèse de filtres RII qui peut se résumer par les trois points suivants 1. Définir un gabarit de filtre analogique 2. Approcher ce gabarit par la fonction de transfert d’un filtre de type donné (Butterworth, Tchebychev, . . . ) 3. Transformer la fonction de transfert analogique en fonction de transfert numérique
  • 28. Conservation de la réponse fréquentielle On part d’une réponse fréquentielle où les fréquences analogiques . ( ) a a f H     , 0 a f Auquel on fait correspondre, le domaine numérique à l’aide de la transformation :       2 , 0 e F ( ) π πfT tg f e a = On est alors en mesure de reproduire n’importe quel filtre analogique en utilisant la transformation la plus classique, Transformation bilinéaire : 1 1 1 2 1 a z p z − − − =  + 2 a a a p j f   = + Si on pose on a : 0 a  = 2 e j fT z e  = Détermination des coefficients d’un filtre numérique MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 28
  • 29. Principales méthodes d’élaboration des filtres numériques Méthode d’équivalence de la dérivation Cette méthode consiste à poser, du point du vue opérateur, que la dérivation analogique est équivalente à la dérivation numérique : ( ) e n n a T x x t x dt d 1 − − ⎯→  où xa(t) est un signal analogique et xn un signal numérique. - L’équation aux différences pour la dérivation numérique est donnée par : e n n n T x x y 1 − − = - La fonction de transfert de la dérivation est donc : ( ) e T z z H 1 1 − − = - Dans le domaine analogique l’opérateur est représenté par la variable p de Laplace. D’où le pont cherché : e T z p 1 1 − − = MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 29 On utilise la transformation d’Euler (Approximation d’une dérivée continue en discret)
  • 30. Principales méthodes d’élaboration des filtres numériques Méthode d’équivalence de l’intégration On applique le même principe que la méthode précédente : On pose l’équation aux différences équivalente à l’opération intégration dans le domaine analogique : ( ) ( )   2 1 1 e n n n n a a T x x y y du u x t y  + + = ⎯→   = − −  Où l’intégration numérique est basée sur la règle des trapèzes. Dans le cas analogique, l’intégration correspond à l’opérateur 1/p . L’application cherchée est donc donnée par : 1 1 1 1 2 1 − − − +  = z z T p e 1 1 1 1 2 − − + −  = z z T p e C’est la transformée bilinéaire, car elle est linéaire pour p et pour z. Tout se passe comme si : a  d  : pulsation analogique : pulsation numérique ou bien        = 2 2 e d e a T tg T   MST ISERT - TNS & DSP - prof. A. SAHEL 30 On utilise la transformation Bilinéaire (Approximation d’une primitive continue en discret)