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Vème Conférence Internationale en Recherche Opérationnelle
                           CIRO'10
                 Marrakech, 24­27 Mai 2010




Modélisation Stochastique de la demande 
pour les stocks de distribution par une loi 
       de probabilité Log­normale
                  Mohamed El Merouani
      Département de Statistique et Informatique
         Faculté Polydisciplinaire de Tétouan
             Université Abdelmalek Essaâdi
                     Tétouan-Maroc
Introduction:


● Modéliser la demande lors de la période de 
  livraison.
● On    considère  la  demande  des  stocks  de 
  distribution comme variable aléatoire qui suit une 
  loi de probabilité Log­normale 
● Tadikamalla  (1979);  Das  (1983);  Aggarwal 


  (1984); Al­Harkan & Hariga (2007).

                                                 2
Objectifs: 

● Optimiser (minimiser) le coût total de stockage.
● Déterminer     le  minimum  de  la  quantité 
  commandée et le point de commande.
● Déterminer le nombre moyen des ruptures.

● Déterminer  le  minimum  de  l'espérance  du  coût 


  total du stock de sécurité,
       On discute les deux cas:
        ✔   coût de rupture connu,
        ✔   coût de rupture proportionnel.
                                                 3
Modélisation Stochastique de la 
           demande:
●   Lois de probabilités: discrètes et continues.

    ●   Dans le cas discrèt,                   ●   Dans le cas
        on utilise la loi de                       continue, on utilise
        Poisson.                                   la loi normale.
                   ●   Loi de Poisson (Non), pourquoi?:

                        ●   Discrète.
                        ●   Sa variance=sa moyenne.
                                                                     4
Loi normale?

    ●   Loi normale, non, les raisons:



●   une loi normale a une probabilité non nulle de 
    prendre des valeurs négatives.
●   La  demande  d'un  produit  est  normale 
    lorsqu'elle porte sur un grand nombre d'unités.
●   Elle est symétrique par rapport à la moyenne.
Loi exponentielle?
    ●   Losque la symétrie n'est plus vérifiée, 
    ●    La loi exponentielle (négative).

●   De même, la loi exponentielle, non, parce que:
●   Elle est caractérisée par E=  
                                 
●   Loi  exponentielle  négative,  modélise  les 
                                   
    phénomènes de désintégration.
Loi Log­normale:

●   On  se  propose  de  modéliser  la  demande  X 
    pendant  le  délai  de  livraison  L  par  une  loi  de 
    probabilité Log­normale.

    ●               X ~ , 
        Notation:                     si sa fonction de densité 
        de probabilité est 


                 {
                                             2
                       1           1  Ln x −μ 
                            exp {−                } si x0
           f  x =  2π σx        2      σ
                                            2

                             0                si x≤0
Loi Log­normale:




●   La loi lognormale a la propriété d'être  asymétrique 
    et étalée vers la droite
 Schéma multiplicative:

●   La demande durant le délai de livraison L est 
    notée X et elle est supposée égale à :


                  X=D.L   

      où D est la demande globale ou totale
Schéma multiplicative:


●   Lorsque la demande D et le délai de livraison (ou 
    de  production)  L  sont  des  v.a.,  alors  la  demande 
    X,  les  dates  et  durées  de  rupture  de  stocks 
    éventuelles  et  les  coûts  de  détention  deviennent 
    eux­mêmes aléatoires.
Schéma multiplicative:

●   Si les lois suivies par D et L sont log­normales à 
    deux paramètres, alors la loi suivie par le produit 
    D.L=X est aussi log­normale dont les paramètres 
    sont exactement la somme des paramètres de D et 
    de L. Ceci est grâce à la propriété de la fonction 
    logarithme, Ln(D.L)=Ln(D)+Ln(L).
Espérance et variance de la 
                     demande:

●   La loi suivie par X et L se caractérise par les deux 
    paramètres:                            2
                                         σ
      ­L'espérance E  X =exp { μ          }
                                          2
      ­La variance                     σ2           2μσ
                                                           2
                       Var  X = e        −1 e
La méthode à point de commande:



●   Le point de commande Sc  est le niveau de stock 

    auquel on déclenche une commande ou auquel on 
    entame la production d’un nouveau lot.
La méthode à point de commande:

      ●   La fonction de répartition de la Log-normale étant:
                                                      2
                          1     x 1         Ln t− μ 
               F  x =
                        σ  2π
                               ∫0 t exp {− 2σ2 }dt
●    L’événement “une rupture de stock se produit” n’est
     rien d’autre que l’événement {X >SC}; en conséquence
     la probabilité de rupture s’écrit:
                                                           2
                                1       ∞ 1     Ln t− μ 
    P  X S C =1−F  S C =
                              σ  2π
                                     ∫S t exp {− 2σ2 }dt
                                       C
 Détermination de Sc lorsque le 
     coût de rupture Cr est connu:
●   Nr=nombre de ruptures dans la période de 
    réference (l'année, par exemple)
●
    Cr =Coût de ruptutre
    Cr =
●
    CS=Coût de détention
●
    Ct=Coût totale du stock de sécurité
                       Ct=CS+Cr
●
    L'objectif est min Espérance du coût total de
    stockage pendant le délai de livraison.

●   Notons E(Ct) l’espérance du coût total du stock 

    de sécurité

             E(Ct) =Cr E(Nr) + CS E(SS)
Nous  supposons  implicitement  que  la  quantité 
optimale de commande    a déjà été déterminée par 
                     
                     Q
les  techniques  déterministes  classiques  (Le  modèle 
de Wilson). 

le coût de rupture total est égal au produit Nr.Cr  où 

Nr  est  le  nombre  de  ruptures  dans  l’année;  on  a 

alors:
E D
         E  N r =       ×P  X S C 
                      Q


                                      {             }
                                                2
             E D 1     ∞ 1      Ln t−μ 
  E  N r =
                
               Q σ  2π
                        ∫S t exp − 2σ dt
                             C




                      ED
 En effet, le rapport          est le nombre moyen de 
                        Q
 commandes  et  par  conséquent  le  nombre  moyen 
 de possibilités de rupture de stock.
●   Lorsqu’on  cherche  à  évaluer  un  coût  de  rupture 
    moyen  (une  espérance),  il  faut  connaître  le 
    nombre  moyen  d’unités  non  livrées  et  appliquer 
    le coût unitaire de rupture à ce nombre (que nous 

    noterons E(Nn)). On a alors:
                            ∞
                E  N n =∫S  x−S  f  x  dx
                                     C
                            C

                         ∞  x−S C 
                                                        2
                 1                            Ln x− μ 
    E  N n =
               σ  2π
                      ∫SC      x
                                      exp {−
                                                 2σ 2
                                                          }dx
●   Un coût de rupture fixe est généralement associé 
    à des ventes différées et dans ce cas le stock de 
    sécurité s’écrit :
                         S S =S C −X
E D
Min E(Ct) =C r          P  X S C  C S  S C −E  X  
                   Q
ce qui conduit à résoudre l’équation :           ∂ E(Ct)=0
                                                ∂ SC
                       E D
                  −C r         f  S C C S =0
                         
                         Q
 où f est la fonction de densité de la loi log-normale.
●   Le point de commande dans ce cas est déterminé 
    “implicitement” par:                  
                                         Q CS
                            f  S C =
                                       E  D  Cr

       pour éviter l’obtention du point de commande 
     « implicitement » est de considérer la demande 
    suivant une loi de probabilité log­normale à trois 
     paramètres, avec SC comme le paramètre seuil.
Détermination Sc lorsque Cr 
            proportionnel: 

●   Cr fonction linéaire de du nombre d’unités dont 
    la demande n’a pu être satisfaite Nn.
●
  Distinguer deux cas:
●
  Ventes différées:
●
  Ventes perdues:
Ventes différées:
    Cr=coût de rupture unitaire 
                                    E D
    E(Ct) =C S  S C −E  X   C r  E  N n 
                                      Q

                                  E  D  ∞
       =C S  S C −E  X   C r
                                    Q   ∫S  x−S C  f  x  dx
                                              C




                                                         {                     }
                                                                           2
                           ED 1     ∞    x−SC             Ln x−μ 
                             σ  2π ∫S
=C S  S C −E  X   C r                            exp −           2
                                                                                   dx
                            Q         C       x                  2σ
●   Nn dépende de Sc
                      E D ∂
                                 [                          ]
                                      ∞
     ∂ E(Ct) =C S C r 
                        Q ∂ SC
                                     ∫  x−S  f  x  dx
                                      S
                                          C
                                                  C

    ∂ SC

                        E D
   ∂ E(Ct) =C S −C r           P  X S C 
                          
                          Q
 ∂ SC
                                       Q CS   ¿




         P  X S C  =1−F  S C  =
                                     E  D  Cr
ou F est la fonction de répartition de la log­normale 

(de X)
Ventes perdues:
       ●   Le stock de sécurité s’écrit, cette fois:
                              S
                  E  S S  =∫0  S C −x  f  x  dx
                                  C




                                                     {                   }
                                                                     2
                  1     S  SC− x   Ln x−μ 
     E  S S =        ∫0 x exp − 2σ2 dx
                             C



                σ  2π
       ●   Le coût total de stockage s’écrit alors:

              [                                              ]
                                  ∞
E(Ct) =C S S C −E  X ∫S  x−S C  f  x  dx
                                      C
                                               E  D  ∞
                                          C r
                                                 Q   ∫S  x−S C  f  x  dx
                                                         C
[      E  D
E(Ct)=C S [ S C −E  X  ]  C S C r 
                                      Q          ]    ∞
                                                     ∫  x−S  f  x  dx
                                                      SC          C



        ∂ E(Ct)=0
       ∂ SC

                                  CS                            
                                                              CSQ
       P  X S C =                             =

                       [                     ]        [C     QC r E  D  ]
                                    E  D                 S
                                                             
                           C S C r
                                     Q
Conclusion :
●   Cas numériques d’application, surtout dans le cas 
    d’un  très  grand  nombre  de  données,  que  ces 
    derniers soient réels ou générées par simulation. 
●   Inférence  statistique,  en  particulier  l’estimation 
    des paramètres de la loi log­normale pour prévoir 
    la demande futur, ainsi que les délai de livraison 
    dans les périodes à venir.
Conclusion:

●   Considérer  la  demande  suivant  une  loi  de  probabilité 
    log­normale  à  trois  paramètres,  avec  SC  comme  le 
    paramètre seuil.


●   Modéliser la demande par des processus stochastiques 
    au lieu de le faire par des simples lois de probabilités.
Réferences:
[1]  Aggarwal,  V. :  « Modelling  of  distributions  by  value 
  for multi­item inventory», IEEE Trans., 16, 90­98, 1984.

[2]  Aitchison,  J.  &  Brown,  J.  A.  C.:  «  The  Lognormal 
  Distribution  »,  Cambridge  University  Press,  London, 
  1957.

[3]  Al­Harkan,  I.  &  Hariga,  M.:  « A  Simulation 
  Optimization  Solution  to  the  Inventory  Continuous 
  Review  Problem  with  lot  size  dependent  Lead  Time  », 
  The  Arabian  Journal  for  Science  and  Engineering,  Vol. 
  32, N° 2B, 327­338, October 2007.
Références:
[4]  Crow,  E.  L.  &  Shimitzu,  K.:  « Lognormal 
  Distributions:  Theory  and  Applications  »,  Marcel 
  Dekker, Inc., New York, 1988.

[5] Cohen, A. C.: « Estimating parameters of logarithmic­
  normal  distributions  by  maximum  likelihood  »,  Journal 
  of  the  American  Statistical  Association,  46,  206­212, 
  1951.

[6] Das, C.: «Inventory control for Lognormal demand », 
  Computers & Operations Res., 10, 267­276, 1983.
Références:
[7]  Roger,  P. :  « Gestion  de  Production »,  Dalloz­Sirey, 
  1997.
[8]  Strijbosch,  L.  W.  G.  &  Moors,  J.  J.  A.  :  « Modified 
  normal  demand  distributions  in  (R,  S)­inventory  control», 
  European  Journal  of  Operational  Research,  172,  201­212, 
  2006.
[9]  Tadikamalla,  Pandu  R : « The  lognormal  approximation 
  to the lead time demand in inventory control », Omega, vol. 
  7, issue 6, pages 553­556, 1979.
[10]  Tadikamalla,  Pandu  R :  « A  comparison  of  several 
  approximations  to  the  lead  time  demand  distribution», 
  Omega, vol. 12, issue 6, pages 575­581, 1984.

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Mon intervention lors du Ciro10

  • 1. Vème Conférence Internationale en Recherche Opérationnelle CIRO'10 Marrakech, 24­27 Mai 2010 Modélisation Stochastique de la demande  pour les stocks de distribution par une loi  de probabilité Log­normale Mohamed El Merouani Département de Statistique et Informatique Faculté Polydisciplinaire de Tétouan Université Abdelmalek Essaâdi Tétouan-Maroc
  • 2. Introduction: ● Modéliser la demande lors de la période de  livraison. ● On  considère  la  demande  des  stocks  de  distribution comme variable aléatoire qui suit une  loi de probabilité Log­normale  ● Tadikamalla  (1979);  Das  (1983);  Aggarwal  (1984); Al­Harkan & Hariga (2007). 2
  • 3. Objectifs:  ● Optimiser (minimiser) le coût total de stockage. ● Déterminer  le  minimum  de  la  quantité  commandée et le point de commande. ● Déterminer le nombre moyen des ruptures. ● Déterminer  le  minimum  de  l'espérance  du  coût  total du stock de sécurité,  On discute les deux cas: ✔ coût de rupture connu, ✔ coût de rupture proportionnel. 3
  • 4. Modélisation Stochastique de la  demande: ● Lois de probabilités: discrètes et continues. ● Dans le cas discrèt, ● Dans le cas on utilise la loi de continue, on utilise Poisson. la loi normale. ● Loi de Poisson (Non), pourquoi?: ● Discrète. ● Sa variance=sa moyenne. 4
  • 5. Loi normale? ● Loi normale, non, les raisons: ● une loi normale a une probabilité non nulle de  prendre des valeurs négatives. ● La  demande  d'un  produit  est  normale  lorsqu'elle porte sur un grand nombre d'unités. ● Elle est symétrique par rapport à la moyenne.
  • 6. Loi exponentielle? ● Losque la symétrie n'est plus vérifiée,  ●  La loi exponentielle (négative). ● De même, la loi exponentielle, non, parce que: ● Elle est caractérisée par E=    ● Loi  exponentielle  négative,  modélise  les   phénomènes de désintégration.
  • 7. Loi Log­normale: ● On  se  propose  de  modéliser  la  demande  X  pendant  le  délai  de  livraison  L  par  une  loi  de  probabilité Log­normale. ● X ~ ,  Notation:                     si sa fonction de densité  de probabilité est  { 2 1 1  Ln x −μ  exp {− } si x0 f  x =  2π σx 2 σ 2 0 si x≤0
  • 8. Loi Log­normale: ● La loi lognormale a la propriété d'être  asymétrique  et étalée vers la droite
  • 9.  Schéma multiplicative: ● La demande durant le délai de livraison L est  notée X et elle est supposée égale à : X=D.L      où D est la demande globale ou totale
  • 10. Schéma multiplicative: ● Lorsque la demande D et le délai de livraison (ou  de  production)  L  sont  des  v.a.,  alors  la  demande  X,  les  dates  et  durées  de  rupture  de  stocks  éventuelles  et  les  coûts  de  détention  deviennent  eux­mêmes aléatoires.
  • 11. Schéma multiplicative: ● Si les lois suivies par D et L sont log­normales à  deux paramètres, alors la loi suivie par le produit  D.L=X est aussi log­normale dont les paramètres  sont exactement la somme des paramètres de D et  de L. Ceci est grâce à la propriété de la fonction  logarithme, Ln(D.L)=Ln(D)+Ln(L).
  • 12. Espérance et variance de la  demande: ● La loi suivie par X et L se caractérise par les deux  paramètres: 2 σ ­L'espérance E  X =exp { μ } 2 ­La variance σ2 2μσ 2 Var  X = e −1 e
  • 13. La méthode à point de commande: ● Le point de commande Sc  est le niveau de stock  auquel on déclenche une commande ou auquel on  entame la production d’un nouveau lot.
  • 14. La méthode à point de commande: ● La fonction de répartition de la Log-normale étant: 2 1 x 1  Ln t− μ  F  x = σ  2π ∫0 t exp {− 2σ2 }dt ● L’événement “une rupture de stock se produit” n’est rien d’autre que l’événement {X >SC}; en conséquence la probabilité de rupture s’écrit: 2 1 ∞ 1  Ln t− μ  P  X S C =1−F  S C = σ  2π ∫S t exp {− 2σ2 }dt C
  • 15.  Détermination de Sc lorsque le  coût de rupture Cr est connu: ● Nr=nombre de ruptures dans la période de  réference (l'année, par exemple) ● Cr =Coût de ruptutre Cr = ● CS=Coût de détention ● Ct=Coût totale du stock de sécurité Ct=CS+Cr
  • 16. L'objectif est min Espérance du coût total de stockage pendant le délai de livraison. ● Notons E(Ct) l’espérance du coût total du stock  de sécurité E(Ct) =Cr E(Nr) + CS E(SS)
  • 17. Nous  supposons  implicitement  que  la  quantité  optimale de commande    a déjà été déterminée par   Q les  techniques  déterministes  classiques  (Le  modèle  de Wilson).  le coût de rupture total est égal au produit Nr.Cr  où  Nr  est  le  nombre  de  ruptures  dans  l’année;  on  a  alors:
  • 18. E D E  N r = ×P  X S C  Q { } 2 E D 1 ∞ 1  Ln t−μ  E  N r =  Q σ  2π ∫S t exp − 2σ dt C ED  En effet, le rapport          est le nombre moyen de  Q commandes  et  par  conséquent  le  nombre  moyen  de possibilités de rupture de stock.
  • 19. Lorsqu’on  cherche  à  évaluer  un  coût  de  rupture  moyen  (une  espérance),  il  faut  connaître  le  nombre  moyen  d’unités  non  livrées  et  appliquer  le coût unitaire de rupture à ce nombre (que nous  noterons E(Nn)). On a alors: ∞ E  N n =∫S  x−S  f  x  dx C C ∞  x−S C  2 1  Ln x− μ  E  N n = σ  2π ∫SC x exp {− 2σ 2 }dx
  • 20. Un coût de rupture fixe est généralement associé  à des ventes différées et dans ce cas le stock de  sécurité s’écrit : S S =S C −X
  • 21. E D Min E(Ct) =C r P  X S C  C S  S C −E  X   Q ce qui conduit à résoudre l’équation : ∂ E(Ct)=0 ∂ SC E D −C r f  S C C S =0  Q où f est la fonction de densité de la loi log-normale.
  • 22. Le point de commande dans ce cas est déterminé  “implicitement” par:  Q CS f  S C = E  D  Cr pour éviter l’obtention du point de commande  « implicitement » est de considérer la demande  suivant une loi de probabilité log­normale à trois  paramètres, avec SC comme le paramètre seuil.
  • 23. Détermination Sc lorsque Cr  proportionnel:  ● Cr fonction linéaire de du nombre d’unités dont  la demande n’a pu être satisfaite Nn. ● Distinguer deux cas: ● Ventes différées: ● Ventes perdues:
  • 24. Ventes différées: Cr=coût de rupture unitaire  E D E(Ct) =C S  S C −E  X   C r  E  N n  Q E  D  ∞ =C S  S C −E  X   C r Q ∫S  x−S C  f  x  dx C { } 2 ED 1 ∞  x−SC   Ln x−μ   σ  2π ∫S =C S  S C −E  X   C r exp − 2 dx Q C x 2σ
  • 25. Nn dépende de Sc E D ∂ [ ] ∞ ∂ E(Ct) =C S C r  Q ∂ SC ∫  x−S  f  x  dx S C C ∂ SC E D ∂ E(Ct) =C S −C r P  X S C   Q ∂ SC Q CS ¿ P  X S C  =1−F  S C  = E  D  Cr ou F est la fonction de répartition de la log­normale  (de X)
  • 26. Ventes perdues: ● Le stock de sécurité s’écrit, cette fois: S E  S S  =∫0  S C −x  f  x  dx C { } 2 1 S  SC− x   Ln x−μ  E  S S = ∫0 x exp − 2σ2 dx C σ  2π ● Le coût total de stockage s’écrit alors: [ ] ∞ E(Ct) =C S S C −E  X ∫S  x−S C  f  x  dx C E  D  ∞ C r Q ∫S  x−S C  f  x  dx C
  • 27. [ E  D E(Ct)=C S [ S C −E  X  ]  C S C r  Q ] ∞ ∫  x−S  f  x  dx SC C ∂ E(Ct)=0 ∂ SC CS  CSQ P  X S C = = [ ] [C QC r E  D  ] E  D S  C S C r Q
  • 28. Conclusion : ● Cas numériques d’application, surtout dans le cas  d’un  très  grand  nombre  de  données,  que  ces  derniers soient réels ou générées par simulation.  ● Inférence  statistique,  en  particulier  l’estimation  des paramètres de la loi log­normale pour prévoir  la demande futur, ainsi que les délai de livraison  dans les périodes à venir.
  • 29. Conclusion: ● Considérer  la  demande  suivant  une  loi  de  probabilité  log­normale  à  trois  paramètres,  avec  SC  comme  le  paramètre seuil. ● Modéliser la demande par des processus stochastiques  au lieu de le faire par des simples lois de probabilités.
  • 30. Réferences: [1]  Aggarwal,  V. :  « Modelling  of  distributions  by  value  for multi­item inventory», IEEE Trans., 16, 90­98, 1984. [2]  Aitchison,  J.  &  Brown,  J.  A.  C.:  «  The  Lognormal  Distribution  »,  Cambridge  University  Press,  London,  1957. [3]  Al­Harkan,  I.  &  Hariga,  M.:  « A  Simulation  Optimization  Solution  to  the  Inventory  Continuous  Review  Problem  with  lot  size  dependent  Lead  Time  »,  The  Arabian  Journal  for  Science  and  Engineering,  Vol.  32, N° 2B, 327­338, October 2007.
  • 31. Références: [4]  Crow,  E.  L.  &  Shimitzu,  K.:  « Lognormal  Distributions:  Theory  and  Applications  »,  Marcel  Dekker, Inc., New York, 1988. [5] Cohen, A. C.: « Estimating parameters of logarithmic­ normal  distributions  by  maximum  likelihood  »,  Journal  of  the  American  Statistical  Association,  46,  206­212,  1951. [6] Das, C.: «Inventory control for Lognormal demand »,  Computers & Operations Res., 10, 267­276, 1983.
  • 32. Références: [7]  Roger,  P. :  « Gestion  de  Production »,  Dalloz­Sirey,  1997. [8]  Strijbosch,  L.  W.  G.  &  Moors,  J.  J.  A.  :  « Modified  normal  demand  distributions  in  (R,  S)­inventory  control»,  European  Journal  of  Operational  Research,  172,  201­212,  2006. [9]  Tadikamalla,  Pandu  R : « The  lognormal  approximation  to the lead time demand in inventory control », Omega, vol.  7, issue 6, pages 553­556, 1979. [10]  Tadikamalla,  Pandu  R :  « A  comparison  of  several  approximations  to  the  lead  time  demand  distribution»,  Omega, vol. 12, issue 6, pages 575­581, 1984.