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Fili`ere d’´etudes : Informatique, Module Sciences naturelles et Technologie 2, Cours BZG2252.1
Auteurs : Roland Bruggmann, roland.bruggmann@students.bfh.ch
Marcus Fischer, marcus.fischer@students.bfh.ch
Rosalie Gerber, rosalie.gerber@students.bfh.ch
Conseiller : Christian Thiess, christian.thiess@bfh.ch
Date : Juin 12, 2015
Berner Fachhochschule | Haute ´ecole sp´ecialis´ee bernoise | Bern University of Applied Sciences
Ondes stationnaires
Bases physiques de la transmission des signaux par voie ondulaire
Cahier de laboratoire
Table des mati`eres
Table des figures 1
Liste des tableaux 1
1. Introduction 2
2. M´ethodes 3
2.1. Ondes progressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Conception exp´erimentale 5
3.1. Suppositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2. Donn´ees brutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. R´esultats 7
Bibliographie 9
Cr´edit iconographique 9
A. Organisation du travail 10
A.1. Instructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.2. Calendrier de r´ealisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
B. Reportage illustr´e 11
B.1. Dispositif exp´erimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
B.2. Instruments de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
B.3. Mesurages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
C. Dictionnaire 16
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 i
Table des figures
2.1. Fr´equences fn et longueurs d’onde λn pour ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1. Esquisse du dispositif exp´erimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.1. Diagramme fr´equence-longueur montrant les courbes caract´eristiques et les fr´equences m´esur´ees . . 7
4.2. Diagramme fr´equence-longueur montrant la relation entre longueur et fr´equence . . . . . . . . . . . 8
4.3. Diagramme fr´equence-longueur montrant la relation entre tension et fr´equence . . . . . . . . . . . 8
B.1. Vue d’ensemble du dispositif exp´erimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
B.2. Frette mobile pour varier le longueur de la corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
B.3. Poids en laiton pour varier la tension de la corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
B.4. Pied `a coulisse pour mesurer le diam`etre de la corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
B.5. R`egle de mesure pour mesurer le longueur de la corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
B.6. Microphone ´el´ectromagn´etique pour transformer l’onde en signal ´el´ectrique . . . . . . . . . . . . . 12
B.7. Oscilloscope pour mesurer la fr´equence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
B.8. Thermom`etre pour mesurer la temp´erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
B.9. Affichage pour mesurage No 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B.10.Affichage pour mesurage No 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B.11.Affichage pour mesurage No 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B.12.Affichage pour mesurage No 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B.13.Affichage pour mesurage No 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B.14.Affichage pour mesurage No 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Liste des tableaux
4.1. R´esultats des mesurages et valeurs calcul´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 1
1. Introduction
Nombreux solutions techniques r´ealisent la transmission des signaux par voie ondulaire – par ´exemple les connexions
par fibres optiques et la radiot´el´ephonie mobile. Pour acqu´erir les bases physiques n´ecessaires pour comprendre les
processus ´el´ementaires, nous allons exp´erimenter avec les notions fondamentales des ondes stationnaires par un
laboratoire de physique.
En tirant ou frappant une corde, on excite des ondes stationnaires transversales. Leur fr´equence est mesur´ee par
microphone et oscilloscope. Avec la densit´e du mat´eriau, la section et la force de tension de la corde on peut
calculer la vitesse de propagation. On pourra donc calculer les valeurs de fr´equence `a partir des longueurs d’onde
mesur´ees et de la vitesse de propagation calcul´ee. Finalement, il faut comparer les fr´equences calcul´ees et mesur´ees
`a l’aide d’un tableau.
Ce cahier de laboratoire contient quatre chapitres : Cette introduction est suivit par une description des m´ethodes
utilis´ees (chapitre 2) et par la conception exp´erimentale (chapitre 3). Ensuite, les r´esultats seraient pr´esent´es
(chapitre 4).
Dans annexe A, on trouve les documents pour organiser les travaux : Les instructions re¸cues (organisation,
qualification, instructions de labo) et un calendrier de r´ealisation. Annexe B sers avec un reportage illustr´e contenant
des photos du dispositif exp´erimental, des instruments de mesure et des mesurages. Annexe C contient un dictionnaire
th´ematique fran¸cais-allemand.
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 2
2. M´ethodes
Les relations physiques des ondes progressives et stationnaires sont d´ecriv´ees par des formules utilis´ees pour
l’´evaluation et par des commentaires courts en utilisant la litt´erature recommand´ee dans la description du module 1
:
— Christian Thiess : Fondamentaux du transport des signaux par ondes.
Semestre de printemps 2015 ([Thi15]).
— Hering Ekbert, Martin Rolf, Stohrer Martin : Physik f¨ur Ingenieure.
Springer 2012 ([HMS12]).
2.1. Ondes progressives
La vitesse de propagation c d’une onde progressive est donn´ee par l’endroit x et par le temps t comme c = x
t .
Avec x = λ (longueur d’onde) et t = T (p´eriode), la vitesse est formul´ee par (d’apr`es [HMS12, p. 466]) :
c =
λ
T
(2.1)
L’´elongation y d’une onde progressive est donn´ee par l’oscillation harmonique `a l’endroit x et au temps t (sans
delai de la phase zero φ0), d’apr`es [HMS12, p. 468]) comme :
y(x, t) = A · sin (ω · t − ω · x
c )
Apr`es la transformation alg`ebrique ω· x
c = ω
c ·x et avec le nombre d’onde k = ω
c , l’´equation d’onde s’´ecrit comme :
y(x, t) = A · sin (ω · t − k · x) (2.2)
La direction de propagation d’une onde progressive est indiqu´ee par le signe de l’endroit x :
— onde qui propage en direction des x positifs : y(x, t) = A · sin (ω · t − k · x)
— onde qui propage en direction des x n´egatifs : y(x, t) = A · sin (ω · t + k · x)
Avec ∆x = λ (longueur d’onde), ∆t = T (la p´eriode) et ∆φ = 2π, les relations suivantes sont ´etablis :
— `a l’endroit : k = ∆angle
∆endroit = ∆φ
∆x = 2π
λ (λ : p´eriode spaciale, longueur d’onde)
— au temps : ω = ∆angle
∆temps = ∆φ
∆t = 2π
T (T : p´eriode temporelle)
2.2. Ondes stationnaires
Dans un point de fixation, une onde progressive y1 est r´efl´echit – une deuxi`eme onde progressive y2 de mˆeme
amplitude et fr´equence est emit´ee (cf. [HMS12, p. 479 sq.]). Elle propage en direction contraire (−x) avec un saut
de phase (+π) :
y1(x, t) = A · sin (ω · t − k · x)
y2(x, t) = A · sin (ω · t + k · x + π)
1. Description du module : Sciences naturelles et Technologie 2. En ligne : http://www.ti.bfh.ch/fileadmin/modules/
BZG2252-fr.xml. Acc`es : Avril 22, 2015.
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 3
Les deux ondes de mˆeme fr´equence se superposent (interf´erence), on peut faire une addition – la somme des deux
fonctions d’onde y1 et y2 est donn´ee par yRes . Avec une transformation alg´ebrique de la fonction d’onde yRes , la
fonction d’onde 2.3 soit ´etablis :
yRes (x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)
= A · sin (ω · t − k · x) + A · sin (ω · t + k · x + π)
= A · [sin (ω · t − k · x) + sin (ω · t + k · x + π)]
= A · [sin (ω · t − k · x) − sin (ω · t + k · x)]
. . .
= −2A · cos (ω · t) · sin (k · x)
yRes (x, t) = −2A · sin (k · x) · cos (ω · t) (2.3)
L’´equation 2.3 a une componente temporelle reelle et une componente de l’endroit (cf. [Thi15, p. 13]) – elle
peut-ˆetre lit comme oscillation harmonique avec amplitude −2A · sin (k · x) et oscillation cos (ω · t). Cette onde
peut-ˆetre une onde stationnaire :
A(0) = 0 ⇒ A(0) = −2A · sin (k · 0) = 0
A(L) = 0 ⇒ A(L) = −2A · sin (k · L) = 0 si k · L = n · π
⇒ k = n · π
L
Ils existent seulement des k ou des fr´equences f discr`etes pour qui des ondes stationnaires sont possibles. Avec la
vitesse de propagation c et le longueur de la corde L, on peut calculer la fr´equence fn et le longueur d’onde λn
(voir ´equations 2.4 et 2.5).
fn = n/2 ·
c
L
(2.4)
λn = 2/n · L (2.5)
Thiess [Thi15, p. 13] donne une esquisse montrant les fr´equences et les longueurs d’onde pour ondes stationnaires
avec n = [1, 4] ; n ∈ N (voir figure 2.1).
Département MNG
Sciences naturelles et techniques 2
Fondamentaux du transport des signaux par ondes page 13
Quelle signifient ces expressions mathématiques? Considérons d'abord l'onde progressive:
vitesse de propagation: fλ
T
λ
noscillatiounepourmistemps
vibrationunependantparcouruchemin
c ⋅===
k
ω
π2
ω
λfλc =
⋅
⋅=⋅=
Avec cela, l'argument de l'exponentiel peut
s'écrire, pour l'onde progressive: 





−⋅=⋅⋅
c
x
tωzk−tω
Où x/c est le décalage temporel avec lequel l'excitation arrive au point z. Si l'oscillation se fait
avec une phase donné à l'endroit x=0, elle se fait avec une phase décalée par le temps de
propagation, x/c, à l'endroit x .
Notez que le signe global de l'argument ne joue aucun rôle. Certains auteurs préfèrent écrire
( )tωxk ⋅−⋅ au lieu de ( )xk-tω ⋅⋅ . Puisqu’il faudra prendre la partie réelle de l'exponentiel (le
cosinus), et que le signe du cosinus ne dépend pas du signe de l'argument, cette différence n'a
aucune importance.
Notez que le signe relative entre la partie temporelle tω ⋅ et la partie spatiale xk ⋅ indique si
l’onde se déplace dans la direction x positive ou négative.
Dans certaines applications on sépare la partie temporelle et
considère l’expression en parenthèse comme « fonction amplitude
complexe » A(x) dépendant de x :
( ) [ ] tωixki
eeAtx,y ⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅=
Dans le cas où l’onde subit aussi des absorptions (voir
détails plus bas), l’amplitude décroît exponentiellement
et la fonction d’amplitude devient:
( ) ( ) xkiα
0
xk-ixα
0 eAeeAxA ⋅⋅+-⋅⋅⋅-
⋅=⋅⋅=
Onde stationnaire:
Il existe une solution particulière de l'équation d'onde, correspondant à une séparation des
fonctions réelles du temps et de l'espace. Dans ce cas, à un endroit z donné, il y a toujours la
même oscillation [décrite par ( )1tωsin ϕ+⋅ ] avec une amplitude dépendant de la position,
( )2xkcosA ϕ+⋅⋅ .
De telles ondes "stationnaires" se forment, pour certaines longueurs d'onde particulières, sur des
cordes tendues (violon, guitare etc.) des colonnes d'air dans des tuyaux (instruments à vent), mais
aussi avec des ondes électromagnétiques entre deux réflecteurs. Les conditions exactes pour la
formation d'ondes stationnaires seront discutées plus bas dans le contexte des réflexions sur les
interfaces. Les propriétés de réflexion déterminent les conditions aux limites suivantes:
points de fixation: nœuds de l'onde stationnaire
extrémités libres: ventres de l'onde stationnaire
Damit die Wellenfunktion diese
Randbedingungen erfüllt, sind nur
ganz bestimmte Frequenzen erlaubt,
wobei die entsprechende Wellenlänge
zur vorgegebenen Geometrie "passt".
Mathématiquement parlé, les ondes
stationnaires sont les vibrations
normales du système de propagation.
Fig. 2.1. – Fr´equences fn et longueurs d’onde λn pour ondes stationnaires
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 4
3. Conception exp´erimentale
L’exp´erience avec une monochorde soit la base pour ´elaborer les notions fondamentales des ondes stationnaires. La
conception exp´erimentale est donn´ee par une corde en acier de longueur et tension variable (voir figure 3.1) :
Une corde en acier est fix´ee par un chevalet (voir figure B.1). Avec une frette mobile, on peut varier le longueur
L de la corde (voir figure B.2). Avec les poids en laiton (masse m), on peut varier la tension de la corde (voir
figure B.3). En tirant ou frappant la corde, on excite des ondes stationnaires transversales (n = 1). Leurs fr´equences
soient mesur´ees par voie acoustique : le microphone ´el´ectromagn´etique transforme l’onde en signal ´el´ectrique (voir
figure B.6). Le signal ´el´ectronique est visualis´e par oscilloscope – l’affichage `a cristaux liquides montre la fr´equence
mesur´ee (voir figure B.7).
Masse m
Longueur L
de la corde
Poids en laiton
Frette mobile
Corde en acier
Rouleau
Microphone
Oscilloscope
Règle de mesure
Éclisse pour frette
Chevalet
Fig. 3.1. – Esquisse du dispositif exp´erimental
3.1. Suppositions
On va mesurer des fr´equences pour trois longueurs de corde. La manipulation sera r´ep´et´ee en utilisant deux poids
diff´erents (voir instructions A.1). Les longueurs L de la corde soient choisit par les crit`eres suivants :
1. Les fr´equences soient perceptible `a l’oreille – d’apr`es [HMS12, p. 631], les fr´equences doivent ˆetre entre
16 Hz et 20 kHz.
2. Pour les deux tensions de la corde, nous voulons mesurer des fr´equences octav´ees. D’apr`es [HMS12, p. 623],
il faut partager les fr´equences en deux : `a cause de f ∼ L−1
(voir ´equation 2.4) on va doubler les longueurs
de la corde.
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 5
3.2. Donn´ees brutes
Recueil de formules
Les donn´ees suivantes sont aquis´ees par un recueil de formules :
— L’acceleration terrestrale g ; unit´e : [m/s2].
— La densit´e ρ du mat´eriau (acier) ; unit´e : [kg/m3].
Mesurages
Les donn´ees suivantes sont aquis´ees par mesurage :
— Le diam`etre d de la corde ; unit´e : [m] (nombre des mesurages : 1, voir figure B.4).
— La masse m des poids en laiton ; unit´e : [kg] (nombre des mesurages : 2, voir figure B.3).
— Le longueur L de la corde ; unit´e : [m] (nombre des mesurages : 2 · 3 = 6, voir figure B.2 und B.5).
— La fr´equence fmes ; unit´e : [Hz] (nombre des mesurages : 2 · 3 = 6, voir figure B.7).
Calculations
Les donn´ees suivantes sont aquis´ees par calculation :
— La force de tension de la corde F = m · g ; unit´e : [kg · m/s2] = [kg·m
s2 ] = [N].
— La section de la corde A = r2
· π = (d
2 )2
· π = d2·π
4 = d2
· π
4 ; unit´e : [m2
].
— Avec la tension F, la densit´e ρ et la section A on peut calculer la vitesse de propagation (voir instructions A.1) :
Vitesse de propagation c = F
ρ·A ; unit´e : [
kg·m
s2 / kg
m3 ·m2] = [ kg·m
s2 · m
kg ] = [ m2
s2 ] = [m/s].
— Le longueur d’onde λ = 2 · L (voir equation 2.5) ; unit´e : [m].
— Avec la vitesse de propagation c et le longueur d’onde λ on peut calculer la fr´equence (voir equation 2.4).
Fr´equence calcul´ee fcalc = 1/2 · c
L = c
2·L = c
λ ; unit´e : [
m/s
m ] = [s−1
] = [Hz].
— ´Erreur e =
√
(fcalc −fmes )2
fmes
· 100 ; unit´e : [%].
Finalement, en utilisant l’´equation 2.4, la fr´equence f peut-ˆetre formul´ee comme fonction f (L) :
f (L) = 1/2 ·
c
L
= 1
2 · c · L−1
= 1
2 · F
ρ·A · L−1
= 1
2 · m·g
ρ·A · L−1
f (L) = g
4·ρ·A ·
√
m · L−1
(3.1)
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 6
4. R´esultats
Les r´esultats des mesurages sont pr´esent´es au tableau 4.1, contenant les valeurs donn´ees par recueil de formules,
les valeurs mesur´ees (voir aussi figures B.9 `a B.14) et les valeurs calcul´ees. Il est suivit par un diagramme
fr´equence-longueur montrant les courbes caract´eristiques donn´ees par la fonction 3.1 et les fr´equences m´esur´ees
(voir figure 4.1).
Tableau 4.1. – R´esultats des mesurages et valeurs calcul´ees
1 2 3 4 5 6 Source des données
7900 7900 7900 7900 7900 7900 recueil de formules
[m] 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 valeur mesurée
1.2566E-07 1.2566E-07 1.2566E-07 1.2566E-07 1.2566E-07 1.2566E-07 valeur calculée
9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 recueil de formules
[kg] 2.52 2.52 2.52 5.04 5.04 5.04 écriture
[N] 24.7212 24.7212 24.7212 49.4424 49.4424 49.4424 valeur calculée
[m/s] 157.80 157.80 157.80 223.17 223.17 223.17 valeur calculée
[m] 0.200 0.400 0.800 0.200 0.400 0.800 valeur mesurée
[m] 0.400 0.800 1.600 0.400 0.800 1.600 valeur calculée
[Hz] 394.5 197.3 98.6 558.0 279.0 139.5 valeur calculée
[Hz] 400.0 198.4 99.5 566.9 282.8 141.5 valeur mesurée
[%] 1.4 0.6 0.9 1.6 1.3 1.4 valeur calculée
Mesurage No
Densité ρ (acier) [kg/m3
]
Diamètre d
Section A [m2
]
Accélération de gravité g [m/s2
]
Masse m
Force de tension F
Vitesse de propagation c
Longueur L de la corde
Longueur d'onde λ
Fréquence calculé fcalc
Fréquence mesuré fmes
Érreur e
f1(L) = g
4·ρ·A ·
√
m · L−1
f2(L) = g
4·ρ·A ·
√
2 · m · L−1
Seuil auditif (16 Hz)
Mesurages N◦
1 – 3
Mesurages N◦
4 – 6
0
100
200
300
400
500
600
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmes1
fmes2
fmes3
fmes4
fmes5
fmes6
L [m]
f [Hz]
500
600
f [Hz]
Fig. 4.1. – Diagramme fr´equence-longueur montrant les courbes caract´eristiques et les fr´equences m´esur´ees
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 7
Figure 4.2 montre la relation entre le longueur de la corde et la fr´equence mesur´ee par les resultats des mesurages
No deux et trois (fmes2 et fmes3 ), figure 4.3 montre la relation entre la force de tension de la corde et la fr´equence
mesur´ee par les resultats des mesurages No deux et cinq (fmes2 et fmes5 ).
Mesurages N◦
4 – 6
0
100
200
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmes2
fmes3
fmes6
L [m]
f1(L) = g
4·ρ·A ·
√
m · L−1
0
100
200
300
400
500
600
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmes2
fmes3
fmes3 = 1
2 · fmes2
L [m]
f [Hz]
f1(L) = g
4·ρ·A ·
√
m · L−1
f2(L) = g
4·ρ·A ·
√
2 · m · L−1
0
100
200
300
400
500
600
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmes2
fmes5
fmes5 =
√
2 · fmes2
L [m]
f [Hz]
Fig. 4.2. – Diagramme fr´equence-longueur montrant la relation entre longueur et fr´equence
Mesurages N◦
4 – 6
0
100
200
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmes2
fmes3
fmes6
L [m]
f1(L) = g
4·ρ·A ·
√
m · L−1
0
100
200
300
400
500
600
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmes2
fmes3
fmes3 = 1
2 · fmes2
L [m]
f [Hz]
f1(L) = g
4·ρ·A ·
√
m · L−1
f2(L) = g
4·ρ·A ·
√
2 · m · L−1
0
100
200
300
400
500
600
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
fmes2
fmes5
fmes5 =
√
2 · fmes2
L [m]
f [Hz]
Fig. 4.3. – Diagramme fr´equence-longueur montrant la relation entre tension et fr´equence
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 8
Bibliographie
[HMS12] Ekbert Hering, Rolf Martin et Martin Stohrer. Physik f¨ur Ingenieure. 11e
´ed. Heidelberg : Springer,
2012. isbn : 978-3-642-22568-0.
[Thi15] Christian Thiess. Fondamentaux du transport des signaux par ondes. Semestre de printemps 2015.
Biel/Bienne : Haute ´ecole sp´ecialis´ee bernoise H´ESB, Technique et informatique, 2015.
Cr´edit iconographique
Image de titre : Marcus Fischer : Dispositif exp´erimental. Photo, avril 28, 2015.
Figure 2.1 : Sans l´egende. Dans : [Thi15, p. 13].
Figure 3.1 : Rosalie Gerber : Dispositif exp´erimental. Esquisse `a la main, avril 28, 2015.
Figures 4.1 – 4.3 : Roland Bruggmann : Les r´esultats des mesurages. Diagrammes, avril 28, 2015.
Figures B.1 – B.14 : Marcus Fischer : Reportage illustr´e. Photos, avril 28, 2015.
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 9
A. Organisation du travail
A.1. Instructions
Laboratoire de physique
Ondes stationnaires
But: Expérimenter avec les notions fondamentales des ondes stationnaires.
Procédé: En tirant ou frappant une corde, on excite des ondes stationnaires (transversales).
Leur fréquence est mesurée par voie acoustique (microphone et oscilloscope).
La vitesse de propagation d'une onde sur une corde se calcule selon la formule suivante:
(p = densité du matériau: voir tabelle (acier I fer), A = section de la corde: mesurer le
diamètre, F = force de tension, déterminée par les poids suspendus).
L'onde stationnaire (fondamentale) doit avoir des nœuds aux extrémités de la corde, donc :
longueur d'onde = 2 x longueur de la corde.
On pourra donc calculer les valeurs de fréquence ä partir des longueurs d'onde mesurées et
de la valeur de c calculée.
Exécution:
1. Déterminer les fréquences de vibrations de la corde pour 3 longueurs vibrantes. Cette
manipulation sera répétée en utilisant 2 différents poids accroches (appendre les poids
séparément ou ensemble), ce sont 6 mesures au total.
2. Calculer la vitesse de propagation ä partir de la tension de la corde et de sa section
(prendre la densité des tables pour l’acier ou le fer) et donner les valeurs théoriques des
fréquences correspondant aux différentes longueurs vibrantes.
3. Comparer les fréquences calculées et mesurées a l’aide d'une table.
A.2. Calendrier de r´ealisation
Date Sommets Cahier de labo
Lu 20.04.15
Ma 21.04.15 Cours salle 603 Version 0.1, Disposition
Me 22.04.15
Version 0.2, Brouillon
Je 23.04.15 Rencontre
Ve 24.04.15
Version 0.3, Brouillon
Sa 25.04.15
Di 26.04.15
Lu 27.04.15
Ma 28.04.15 Labo salle 607
Version 0.4, Brouillon
Me 29.04.15
Je 30.04.15 Rencontre Version 1.0, Définitif
Ve 01.05.15
Sa 02.05.15
Di 03.05.15
Lu 04.05.15
Ma 05.05.15 Career Day Version 1.2 Compléments
Me 06.05.15
Je 07.05.15
Ve 08.05.15
Sa 09.05.15
Di 10.05.15
Lu 11.05.15
Ma 12.05.15 Cours salle 603 Date de remise
Me 13.05.15
Je 14.05.15
Ve 15.05.15
Sa 16.05.15
Di 17.05.15
Version 1.1
Compléments
Version 1.3
Compléments
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 10
B. Reportage illustr´e
B.1. Dispositif exp´erimental
Fig. B.1. – Vue d’ensemble du dispositif exp´erimental
Fig. B.2. – Frette mobile pour varier le longueur de la corde
Fig. B.3. – Poids en laiton pour varier la tension de la corde
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 11
B.2. Instruments de mesure
Fig. B.4. – Pied `a coulisse pour mesurer le diam`etre de la corde
Fig. B.5. – R`egle de mesure pour mesurer le longueur de la corde
Fig. B.6. – Microphone ´el´ectromagn´etique pour transformer l’onde en signal ´el´ectrique
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 12
Fig. B.7. – Oscilloscope pour mesurer la fr´equence
Fig. B.8. – Thermom`etre pour mesurer la temp´erature
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 13
B.3. Mesurages
Fig. B.9. – Affichage pour mesurage No 1
Fig. B.10. – Affichage pour mesurage No 2
Fig. B.11. – Affichage pour mesurage No 3
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 14
Fig. B.12. – Affichage pour mesurage No 4
Fig. B.13. – Affichage pour mesurage No 5
Fig. B.14. – Affichage pour mesurage No 6
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 15
C. Dictionnaire
Rapport
le rapport der Bericht
la page de titre die Titelseite
la fili`ere d’´etudes der Studiengang
l’auteur m. der Autor
le chapeau der Vorspann
la version die Version
la date das Datum
l’´etat m. der Status
la remarque die Bemerkung
la disposition die Disposition
le titre der Titel
la litt´erature die Literatur
la table des mati`eres die Inhaltsverzeichnis
la page die Seite
le calendrier de r´ealisation der Zeitplan
la date de remise das Abgabedatum
le brouillon der Entwurf
l’introduction f. die Einf¨uhrung
la m´ethode die Methode
le r´esultat das Ergebnis
la discussion die Diskussion
la conclusion die Schlussfolgerung
la bibliographie das Litreraturverzeichnis
le cr´edit iconographique der Bildnachweis
la table des figures das Abbildungsverzeichnis
la liste des tableaux das Tabellenverzeichnis
l’abr´eivation f. die Abk¨urzung
le glossaire das Glossar
l’index m. der Index
l’annexe f. der Anhang
l’organisation du travail f. die Arbeitsorganisation
la qualification die Bewertung
le reportage illustr´e die Bilddokumentation
la d´eclaration die Selbst¨andigkeits-
d’autonomie erkl¨arung
la signature die Unterschrift
le chapitre das Kapitel
le paragraphe der Abschnitt
la figure die Abbildung
le diagramme das Diagramm
l’esquisse `a la main f. die Handskizze
la capture d’´ecran das Bildschirmfoto
le tableau die Tabelle
la citation das Zitat
la source die Quelle
voir figure siehe Abbildung
cf. (confer) vgl. (vergleiche)
`a l’aide de mit Hilfe von
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la provenence die Herkunft
en ligne online
l’acc`es m. der Zugriff
Laboratoire
les sciences naturelles die Naturwissenschaften
le laboratoire das Labor
le labo fam. das Labor
le cahier de laboratoire das Laborheft
l’exp´erience f. das Experiment
exp´erimenter experimentieren
exp´erimental experimentell
la vue d’ensemble die Gesamtansicht
le dispositif exp´erimental die Versuchsanordnung
la conception exp´erimentale das Versuchskonzept
pr´eparer vorbereiten
la pr´eparation die Vorbereitung
les donn´ees brutes die Rohdaten
la formule die Formel
le recueil de formules die Formeltabelle
la mesure das Mass
l’unit´e de mesure f. die Masseinheit
mesurer messen
le mesurage die Messung
l’incertitude de mesure f. die Messunsicherheit
la valeur der Wert
l’´equation f. die Gleichung
la fonction die Funktion
la courbe caract´eristique die Kennlinie
calculer berechnen
la calculation die Berechnung
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 16
comparer vergleichen
la comparaison der Vergleich
la valeur mesur´ee der gemessene Wert
la valeur calcul´ee der berechnete Wert
la valeur th´eorique der theoretische Wert
l’´erreur m. der Fehler
la statistique die Statistik
Physique
la base physique die physikalische Grundlage
la relation der physikalische
physique Zusammenhang
la solution technique die technische Anwendung
la connexion par die Glasfaser-
fibres optiques leitung
la radiot´el´ephonie mobile der Mobilfunk
la transmission des signaux die Signal¨ubertragung
par voie ondulaire mit Wellen
l’onde progressive f. die laufende Welle
l’onde stationnaire f. die stehende Welle
le lieu der Ort
le longueur die L¨ange
la distance der Weg
le temps die Zeit
la vitesse die Geschwindigkeit
la vitesse de die Ausbreitungs-
propagation geschwindigkeit
l’acc´el´eration f. die Beschleunigung
l’acc´el´eration de la pesanteur f. die Erdbeschleunigung
l’attraction terrestre f. die Erdanziehung
la zone de gravit´e die Gravitationszone
la masse die Masse
la densit´e du mat´eriau die Materialdichte
le diam`etre der Durchmesser
la section der Querschnitt
la force de tension die Zugkraft
le longueur d’onde die Wellenl¨ange
la fr´equence die Frequenz
le seuil auditif die H¨orschwelle
la temp´erature die Temperatur
la corde en acier die Stahlsaite
le point de fixation der Einspannpunkt
le chevalet der Steg
la frette der Saitenbund
l’´eclisse pour frette f. die Bundschiene
le rouleau die Rolle
le laiton das Messing
le poids en laiton der Gewichtstein
tirer zupfen
frapper anschlagen
l’instrument de mesure m. das Messinstrument
le thermom`etre das Thermometer
le r`egle de mesure die Messleiste
le pied `a coulisse die Schieblehre
le microphone der elektromagnetische
´el´ectromagn´etique Tonabnehmer
le signal ´el´ectronique das elektrische Signal
pour transformer l’onde um die Welle in ein elektrisches
en signal ´el´ectrique Signal umzuwandeln
l’oscilloscope f. das Oszilloskop
l’afficheur `a die Fl¨ussigkristall-
cristaux liquides m. Anzeige
l’´ecran ACL m. der LCD-Bildschirm
la transformation alg`ebrique die algebraische Umformung
partager en deux halbieren
doubler verdoppeln
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 17
D´eclaration d’autonomie
Nous attestons avoir r´edig´e le pr´esent travail de mani`ere autonome et sans recourir `a d’autres sources et supports
que ceux mentionn´es dans la bibliographie. Tous les passages, dont nous ne sommes pas les auteurs sont r´epertori´es
comme citations et leur provenance est pr´ecis´ee.
Lieu, date : Biel/Bienne, Juin 12, 2015
Pr´enom, nom : Roland Bruggmann
Signature : ......................................
Pr´enom, nom : Marcus Fischer
Signature : ......................................
Pr´enom, nom : Rosalie Gerber
Signature : ......................................
Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 18

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Ondes stationnaires

  • 1. Fili`ere d’´etudes : Informatique, Module Sciences naturelles et Technologie 2, Cours BZG2252.1 Auteurs : Roland Bruggmann, roland.bruggmann@students.bfh.ch Marcus Fischer, marcus.fischer@students.bfh.ch Rosalie Gerber, rosalie.gerber@students.bfh.ch Conseiller : Christian Thiess, christian.thiess@bfh.ch Date : Juin 12, 2015 Berner Fachhochschule | Haute ´ecole sp´ecialis´ee bernoise | Bern University of Applied Sciences Ondes stationnaires Bases physiques de la transmission des signaux par voie ondulaire Cahier de laboratoire
  • 2. Table des mati`eres Table des figures 1 Liste des tableaux 1 1. Introduction 2 2. M´ethodes 3 2.1. Ondes progressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2. Ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Conception exp´erimentale 5 3.1. Suppositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2. Donn´ees brutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4. R´esultats 7 Bibliographie 9 Cr´edit iconographique 9 A. Organisation du travail 10 A.1. Instructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 A.2. Calendrier de r´ealisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 B. Reportage illustr´e 11 B.1. Dispositif exp´erimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 B.2. Instruments de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 B.3. Mesurages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 C. Dictionnaire 16 Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 i
  • 3. Table des figures 2.1. Fr´equences fn et longueurs d’onde λn pour ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.1. Esquisse du dispositif exp´erimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.1. Diagramme fr´equence-longueur montrant les courbes caract´eristiques et les fr´equences m´esur´ees . . 7 4.2. Diagramme fr´equence-longueur montrant la relation entre longueur et fr´equence . . . . . . . . . . . 8 4.3. Diagramme fr´equence-longueur montrant la relation entre tension et fr´equence . . . . . . . . . . . 8 B.1. Vue d’ensemble du dispositif exp´erimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 B.2. Frette mobile pour varier le longueur de la corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 B.3. Poids en laiton pour varier la tension de la corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 B.4. Pied `a coulisse pour mesurer le diam`etre de la corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 B.5. R`egle de mesure pour mesurer le longueur de la corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 B.6. Microphone ´el´ectromagn´etique pour transformer l’onde en signal ´el´ectrique . . . . . . . . . . . . . 12 B.7. Oscilloscope pour mesurer la fr´equence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 B.8. Thermom`etre pour mesurer la temp´erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 B.9. Affichage pour mesurage No 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 B.10.Affichage pour mesurage No 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 B.11.Affichage pour mesurage No 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 B.12.Affichage pour mesurage No 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 B.13.Affichage pour mesurage No 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 B.14.Affichage pour mesurage No 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Liste des tableaux 4.1. R´esultats des mesurages et valeurs calcul´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 1
  • 4. 1. Introduction Nombreux solutions techniques r´ealisent la transmission des signaux par voie ondulaire – par ´exemple les connexions par fibres optiques et la radiot´el´ephonie mobile. Pour acqu´erir les bases physiques n´ecessaires pour comprendre les processus ´el´ementaires, nous allons exp´erimenter avec les notions fondamentales des ondes stationnaires par un laboratoire de physique. En tirant ou frappant une corde, on excite des ondes stationnaires transversales. Leur fr´equence est mesur´ee par microphone et oscilloscope. Avec la densit´e du mat´eriau, la section et la force de tension de la corde on peut calculer la vitesse de propagation. On pourra donc calculer les valeurs de fr´equence `a partir des longueurs d’onde mesur´ees et de la vitesse de propagation calcul´ee. Finalement, il faut comparer les fr´equences calcul´ees et mesur´ees `a l’aide d’un tableau. Ce cahier de laboratoire contient quatre chapitres : Cette introduction est suivit par une description des m´ethodes utilis´ees (chapitre 2) et par la conception exp´erimentale (chapitre 3). Ensuite, les r´esultats seraient pr´esent´es (chapitre 4). Dans annexe A, on trouve les documents pour organiser les travaux : Les instructions re¸cues (organisation, qualification, instructions de labo) et un calendrier de r´ealisation. Annexe B sers avec un reportage illustr´e contenant des photos du dispositif exp´erimental, des instruments de mesure et des mesurages. Annexe C contient un dictionnaire th´ematique fran¸cais-allemand. Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 2
  • 5. 2. M´ethodes Les relations physiques des ondes progressives et stationnaires sont d´ecriv´ees par des formules utilis´ees pour l’´evaluation et par des commentaires courts en utilisant la litt´erature recommand´ee dans la description du module 1 : — Christian Thiess : Fondamentaux du transport des signaux par ondes. Semestre de printemps 2015 ([Thi15]). — Hering Ekbert, Martin Rolf, Stohrer Martin : Physik f¨ur Ingenieure. Springer 2012 ([HMS12]). 2.1. Ondes progressives La vitesse de propagation c d’une onde progressive est donn´ee par l’endroit x et par le temps t comme c = x t . Avec x = λ (longueur d’onde) et t = T (p´eriode), la vitesse est formul´ee par (d’apr`es [HMS12, p. 466]) : c = λ T (2.1) L’´elongation y d’une onde progressive est donn´ee par l’oscillation harmonique `a l’endroit x et au temps t (sans delai de la phase zero φ0), d’apr`es [HMS12, p. 468]) comme : y(x, t) = A · sin (ω · t − ω · x c ) Apr`es la transformation alg`ebrique ω· x c = ω c ·x et avec le nombre d’onde k = ω c , l’´equation d’onde s’´ecrit comme : y(x, t) = A · sin (ω · t − k · x) (2.2) La direction de propagation d’une onde progressive est indiqu´ee par le signe de l’endroit x : — onde qui propage en direction des x positifs : y(x, t) = A · sin (ω · t − k · x) — onde qui propage en direction des x n´egatifs : y(x, t) = A · sin (ω · t + k · x) Avec ∆x = λ (longueur d’onde), ∆t = T (la p´eriode) et ∆φ = 2π, les relations suivantes sont ´etablis : — `a l’endroit : k = ∆angle ∆endroit = ∆φ ∆x = 2π λ (λ : p´eriode spaciale, longueur d’onde) — au temps : ω = ∆angle ∆temps = ∆φ ∆t = 2π T (T : p´eriode temporelle) 2.2. Ondes stationnaires Dans un point de fixation, une onde progressive y1 est r´efl´echit – une deuxi`eme onde progressive y2 de mˆeme amplitude et fr´equence est emit´ee (cf. [HMS12, p. 479 sq.]). Elle propage en direction contraire (−x) avec un saut de phase (+π) : y1(x, t) = A · sin (ω · t − k · x) y2(x, t) = A · sin (ω · t + k · x + π) 1. Description du module : Sciences naturelles et Technologie 2. En ligne : http://www.ti.bfh.ch/fileadmin/modules/ BZG2252-fr.xml. Acc`es : Avril 22, 2015. Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 3
  • 6. Les deux ondes de mˆeme fr´equence se superposent (interf´erence), on peut faire une addition – la somme des deux fonctions d’onde y1 et y2 est donn´ee par yRes . Avec une transformation alg´ebrique de la fonction d’onde yRes , la fonction d’onde 2.3 soit ´etablis : yRes (x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A · sin (ω · t − k · x) + A · sin (ω · t + k · x + π) = A · [sin (ω · t − k · x) + sin (ω · t + k · x + π)] = A · [sin (ω · t − k · x) − sin (ω · t + k · x)] . . . = −2A · cos (ω · t) · sin (k · x) yRes (x, t) = −2A · sin (k · x) · cos (ω · t) (2.3) L’´equation 2.3 a une componente temporelle reelle et une componente de l’endroit (cf. [Thi15, p. 13]) – elle peut-ˆetre lit comme oscillation harmonique avec amplitude −2A · sin (k · x) et oscillation cos (ω · t). Cette onde peut-ˆetre une onde stationnaire : A(0) = 0 ⇒ A(0) = −2A · sin (k · 0) = 0 A(L) = 0 ⇒ A(L) = −2A · sin (k · L) = 0 si k · L = n · π ⇒ k = n · π L Ils existent seulement des k ou des fr´equences f discr`etes pour qui des ondes stationnaires sont possibles. Avec la vitesse de propagation c et le longueur de la corde L, on peut calculer la fr´equence fn et le longueur d’onde λn (voir ´equations 2.4 et 2.5). fn = n/2 · c L (2.4) λn = 2/n · L (2.5) Thiess [Thi15, p. 13] donne une esquisse montrant les fr´equences et les longueurs d’onde pour ondes stationnaires avec n = [1, 4] ; n ∈ N (voir figure 2.1). Département MNG Sciences naturelles et techniques 2 Fondamentaux du transport des signaux par ondes page 13 Quelle signifient ces expressions mathématiques? Considérons d'abord l'onde progressive: vitesse de propagation: fλ T λ noscillatiounepourmistemps vibrationunependantparcouruchemin c ⋅=== k ω π2 ω λfλc = ⋅ ⋅=⋅= Avec cela, l'argument de l'exponentiel peut s'écrire, pour l'onde progressive:       −⋅=⋅⋅ c x tωzk−tω Où x/c est le décalage temporel avec lequel l'excitation arrive au point z. Si l'oscillation se fait avec une phase donné à l'endroit x=0, elle se fait avec une phase décalée par le temps de propagation, x/c, à l'endroit x . Notez que le signe global de l'argument ne joue aucun rôle. Certains auteurs préfèrent écrire ( )tωxk ⋅−⋅ au lieu de ( )xk-tω ⋅⋅ . Puisqu’il faudra prendre la partie réelle de l'exponentiel (le cosinus), et que le signe du cosinus ne dépend pas du signe de l'argument, cette différence n'a aucune importance. Notez que le signe relative entre la partie temporelle tω ⋅ et la partie spatiale xk ⋅ indique si l’onde se déplace dans la direction x positive ou négative. Dans certaines applications on sépare la partie temporelle et considère l’expression en parenthèse comme « fonction amplitude complexe » A(x) dépendant de x : ( ) [ ] tωixki eeAtx,y ⋅⋅⋅⋅− ⋅⋅= Dans le cas où l’onde subit aussi des absorptions (voir détails plus bas), l’amplitude décroît exponentiellement et la fonction d’amplitude devient: ( ) ( ) xkiα 0 xk-ixα 0 eAeeAxA ⋅⋅+-⋅⋅⋅- ⋅=⋅⋅= Onde stationnaire: Il existe une solution particulière de l'équation d'onde, correspondant à une séparation des fonctions réelles du temps et de l'espace. Dans ce cas, à un endroit z donné, il y a toujours la même oscillation [décrite par ( )1tωsin ϕ+⋅ ] avec une amplitude dépendant de la position, ( )2xkcosA ϕ+⋅⋅ . De telles ondes "stationnaires" se forment, pour certaines longueurs d'onde particulières, sur des cordes tendues (violon, guitare etc.) des colonnes d'air dans des tuyaux (instruments à vent), mais aussi avec des ondes électromagnétiques entre deux réflecteurs. Les conditions exactes pour la formation d'ondes stationnaires seront discutées plus bas dans le contexte des réflexions sur les interfaces. Les propriétés de réflexion déterminent les conditions aux limites suivantes: points de fixation: nœuds de l'onde stationnaire extrémités libres: ventres de l'onde stationnaire Damit die Wellenfunktion diese Randbedingungen erfüllt, sind nur ganz bestimmte Frequenzen erlaubt, wobei die entsprechende Wellenlänge zur vorgegebenen Geometrie "passt". Mathématiquement parlé, les ondes stationnaires sont les vibrations normales du système de propagation. Fig. 2.1. – Fr´equences fn et longueurs d’onde λn pour ondes stationnaires Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 4
  • 7. 3. Conception exp´erimentale L’exp´erience avec une monochorde soit la base pour ´elaborer les notions fondamentales des ondes stationnaires. La conception exp´erimentale est donn´ee par une corde en acier de longueur et tension variable (voir figure 3.1) : Une corde en acier est fix´ee par un chevalet (voir figure B.1). Avec une frette mobile, on peut varier le longueur L de la corde (voir figure B.2). Avec les poids en laiton (masse m), on peut varier la tension de la corde (voir figure B.3). En tirant ou frappant la corde, on excite des ondes stationnaires transversales (n = 1). Leurs fr´equences soient mesur´ees par voie acoustique : le microphone ´el´ectromagn´etique transforme l’onde en signal ´el´ectrique (voir figure B.6). Le signal ´el´ectronique est visualis´e par oscilloscope – l’affichage `a cristaux liquides montre la fr´equence mesur´ee (voir figure B.7). Masse m Longueur L de la corde Poids en laiton Frette mobile Corde en acier Rouleau Microphone Oscilloscope Règle de mesure Éclisse pour frette Chevalet Fig. 3.1. – Esquisse du dispositif exp´erimental 3.1. Suppositions On va mesurer des fr´equences pour trois longueurs de corde. La manipulation sera r´ep´et´ee en utilisant deux poids diff´erents (voir instructions A.1). Les longueurs L de la corde soient choisit par les crit`eres suivants : 1. Les fr´equences soient perceptible `a l’oreille – d’apr`es [HMS12, p. 631], les fr´equences doivent ˆetre entre 16 Hz et 20 kHz. 2. Pour les deux tensions de la corde, nous voulons mesurer des fr´equences octav´ees. D’apr`es [HMS12, p. 623], il faut partager les fr´equences en deux : `a cause de f ∼ L−1 (voir ´equation 2.4) on va doubler les longueurs de la corde. Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 5
  • 8. 3.2. Donn´ees brutes Recueil de formules Les donn´ees suivantes sont aquis´ees par un recueil de formules : — L’acceleration terrestrale g ; unit´e : [m/s2]. — La densit´e ρ du mat´eriau (acier) ; unit´e : [kg/m3]. Mesurages Les donn´ees suivantes sont aquis´ees par mesurage : — Le diam`etre d de la corde ; unit´e : [m] (nombre des mesurages : 1, voir figure B.4). — La masse m des poids en laiton ; unit´e : [kg] (nombre des mesurages : 2, voir figure B.3). — Le longueur L de la corde ; unit´e : [m] (nombre des mesurages : 2 · 3 = 6, voir figure B.2 und B.5). — La fr´equence fmes ; unit´e : [Hz] (nombre des mesurages : 2 · 3 = 6, voir figure B.7). Calculations Les donn´ees suivantes sont aquis´ees par calculation : — La force de tension de la corde F = m · g ; unit´e : [kg · m/s2] = [kg·m s2 ] = [N]. — La section de la corde A = r2 · π = (d 2 )2 · π = d2·π 4 = d2 · π 4 ; unit´e : [m2 ]. — Avec la tension F, la densit´e ρ et la section A on peut calculer la vitesse de propagation (voir instructions A.1) : Vitesse de propagation c = F ρ·A ; unit´e : [ kg·m s2 / kg m3 ·m2] = [ kg·m s2 · m kg ] = [ m2 s2 ] = [m/s]. — Le longueur d’onde λ = 2 · L (voir equation 2.5) ; unit´e : [m]. — Avec la vitesse de propagation c et le longueur d’onde λ on peut calculer la fr´equence (voir equation 2.4). Fr´equence calcul´ee fcalc = 1/2 · c L = c 2·L = c λ ; unit´e : [ m/s m ] = [s−1 ] = [Hz]. — ´Erreur e = √ (fcalc −fmes )2 fmes · 100 ; unit´e : [%]. Finalement, en utilisant l’´equation 2.4, la fr´equence f peut-ˆetre formul´ee comme fonction f (L) : f (L) = 1/2 · c L = 1 2 · c · L−1 = 1 2 · F ρ·A · L−1 = 1 2 · m·g ρ·A · L−1 f (L) = g 4·ρ·A · √ m · L−1 (3.1) Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 6
  • 9. 4. R´esultats Les r´esultats des mesurages sont pr´esent´es au tableau 4.1, contenant les valeurs donn´ees par recueil de formules, les valeurs mesur´ees (voir aussi figures B.9 `a B.14) et les valeurs calcul´ees. Il est suivit par un diagramme fr´equence-longueur montrant les courbes caract´eristiques donn´ees par la fonction 3.1 et les fr´equences m´esur´ees (voir figure 4.1). Tableau 4.1. – R´esultats des mesurages et valeurs calcul´ees 1 2 3 4 5 6 Source des données 7900 7900 7900 7900 7900 7900 recueil de formules [m] 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 valeur mesurée 1.2566E-07 1.2566E-07 1.2566E-07 1.2566E-07 1.2566E-07 1.2566E-07 valeur calculée 9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 recueil de formules [kg] 2.52 2.52 2.52 5.04 5.04 5.04 écriture [N] 24.7212 24.7212 24.7212 49.4424 49.4424 49.4424 valeur calculée [m/s] 157.80 157.80 157.80 223.17 223.17 223.17 valeur calculée [m] 0.200 0.400 0.800 0.200 0.400 0.800 valeur mesurée [m] 0.400 0.800 1.600 0.400 0.800 1.600 valeur calculée [Hz] 394.5 197.3 98.6 558.0 279.0 139.5 valeur calculée [Hz] 400.0 198.4 99.5 566.9 282.8 141.5 valeur mesurée [%] 1.4 0.6 0.9 1.6 1.3 1.4 valeur calculée Mesurage No Densité ρ (acier) [kg/m3 ] Diamètre d Section A [m2 ] Accélération de gravité g [m/s2 ] Masse m Force de tension F Vitesse de propagation c Longueur L de la corde Longueur d'onde λ Fréquence calculé fcalc Fréquence mesuré fmes Érreur e f1(L) = g 4·ρ·A · √ m · L−1 f2(L) = g 4·ρ·A · √ 2 · m · L−1 Seuil auditif (16 Hz) Mesurages N◦ 1 – 3 Mesurages N◦ 4 – 6 0 100 200 300 400 500 600 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 fmes1 fmes2 fmes3 fmes4 fmes5 fmes6 L [m] f [Hz] 500 600 f [Hz] Fig. 4.1. – Diagramme fr´equence-longueur montrant les courbes caract´eristiques et les fr´equences m´esur´ees Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 7
  • 10. Figure 4.2 montre la relation entre le longueur de la corde et la fr´equence mesur´ee par les resultats des mesurages No deux et trois (fmes2 et fmes3 ), figure 4.3 montre la relation entre la force de tension de la corde et la fr´equence mesur´ee par les resultats des mesurages No deux et cinq (fmes2 et fmes5 ). Mesurages N◦ 4 – 6 0 100 200 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 fmes2 fmes3 fmes6 L [m] f1(L) = g 4·ρ·A · √ m · L−1 0 100 200 300 400 500 600 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 fmes2 fmes3 fmes3 = 1 2 · fmes2 L [m] f [Hz] f1(L) = g 4·ρ·A · √ m · L−1 f2(L) = g 4·ρ·A · √ 2 · m · L−1 0 100 200 300 400 500 600 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 fmes2 fmes5 fmes5 = √ 2 · fmes2 L [m] f [Hz] Fig. 4.2. – Diagramme fr´equence-longueur montrant la relation entre longueur et fr´equence Mesurages N◦ 4 – 6 0 100 200 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 fmes2 fmes3 fmes6 L [m] f1(L) = g 4·ρ·A · √ m · L−1 0 100 200 300 400 500 600 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 fmes2 fmes3 fmes3 = 1 2 · fmes2 L [m] f [Hz] f1(L) = g 4·ρ·A · √ m · L−1 f2(L) = g 4·ρ·A · √ 2 · m · L−1 0 100 200 300 400 500 600 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 fmes2 fmes5 fmes5 = √ 2 · fmes2 L [m] f [Hz] Fig. 4.3. – Diagramme fr´equence-longueur montrant la relation entre tension et fr´equence Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 8
  • 11. Bibliographie [HMS12] Ekbert Hering, Rolf Martin et Martin Stohrer. Physik f¨ur Ingenieure. 11e ´ed. Heidelberg : Springer, 2012. isbn : 978-3-642-22568-0. [Thi15] Christian Thiess. Fondamentaux du transport des signaux par ondes. Semestre de printemps 2015. Biel/Bienne : Haute ´ecole sp´ecialis´ee bernoise H´ESB, Technique et informatique, 2015. Cr´edit iconographique Image de titre : Marcus Fischer : Dispositif exp´erimental. Photo, avril 28, 2015. Figure 2.1 : Sans l´egende. Dans : [Thi15, p. 13]. Figure 3.1 : Rosalie Gerber : Dispositif exp´erimental. Esquisse `a la main, avril 28, 2015. Figures 4.1 – 4.3 : Roland Bruggmann : Les r´esultats des mesurages. Diagrammes, avril 28, 2015. Figures B.1 – B.14 : Marcus Fischer : Reportage illustr´e. Photos, avril 28, 2015. Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 9
  • 12. A. Organisation du travail A.1. Instructions Laboratoire de physique Ondes stationnaires But: Expérimenter avec les notions fondamentales des ondes stationnaires. Procédé: En tirant ou frappant une corde, on excite des ondes stationnaires (transversales). Leur fréquence est mesurée par voie acoustique (microphone et oscilloscope). La vitesse de propagation d'une onde sur une corde se calcule selon la formule suivante: (p = densité du matériau: voir tabelle (acier I fer), A = section de la corde: mesurer le diamètre, F = force de tension, déterminée par les poids suspendus). L'onde stationnaire (fondamentale) doit avoir des nœuds aux extrémités de la corde, donc : longueur d'onde = 2 x longueur de la corde. On pourra donc calculer les valeurs de fréquence ä partir des longueurs d'onde mesurées et de la valeur de c calculée. Exécution: 1. Déterminer les fréquences de vibrations de la corde pour 3 longueurs vibrantes. Cette manipulation sera répétée en utilisant 2 différents poids accroches (appendre les poids séparément ou ensemble), ce sont 6 mesures au total. 2. Calculer la vitesse de propagation ä partir de la tension de la corde et de sa section (prendre la densité des tables pour l’acier ou le fer) et donner les valeurs théoriques des fréquences correspondant aux différentes longueurs vibrantes. 3. Comparer les fréquences calculées et mesurées a l’aide d'une table. A.2. Calendrier de r´ealisation Date Sommets Cahier de labo Lu 20.04.15 Ma 21.04.15 Cours salle 603 Version 0.1, Disposition Me 22.04.15 Version 0.2, Brouillon Je 23.04.15 Rencontre Ve 24.04.15 Version 0.3, Brouillon Sa 25.04.15 Di 26.04.15 Lu 27.04.15 Ma 28.04.15 Labo salle 607 Version 0.4, Brouillon Me 29.04.15 Je 30.04.15 Rencontre Version 1.0, Définitif Ve 01.05.15 Sa 02.05.15 Di 03.05.15 Lu 04.05.15 Ma 05.05.15 Career Day Version 1.2 Compléments Me 06.05.15 Je 07.05.15 Ve 08.05.15 Sa 09.05.15 Di 10.05.15 Lu 11.05.15 Ma 12.05.15 Cours salle 603 Date de remise Me 13.05.15 Je 14.05.15 Ve 15.05.15 Sa 16.05.15 Di 17.05.15 Version 1.1 Compléments Version 1.3 Compléments Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 10
  • 13. B. Reportage illustr´e B.1. Dispositif exp´erimental Fig. B.1. – Vue d’ensemble du dispositif exp´erimental Fig. B.2. – Frette mobile pour varier le longueur de la corde Fig. B.3. – Poids en laiton pour varier la tension de la corde Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 11
  • 14. B.2. Instruments de mesure Fig. B.4. – Pied `a coulisse pour mesurer le diam`etre de la corde Fig. B.5. – R`egle de mesure pour mesurer le longueur de la corde Fig. B.6. – Microphone ´el´ectromagn´etique pour transformer l’onde en signal ´el´ectrique Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 12
  • 15. Fig. B.7. – Oscilloscope pour mesurer la fr´equence Fig. B.8. – Thermom`etre pour mesurer la temp´erature Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 13
  • 16. B.3. Mesurages Fig. B.9. – Affichage pour mesurage No 1 Fig. B.10. – Affichage pour mesurage No 2 Fig. B.11. – Affichage pour mesurage No 3 Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 14
  • 17. Fig. B.12. – Affichage pour mesurage No 4 Fig. B.13. – Affichage pour mesurage No 5 Fig. B.14. – Affichage pour mesurage No 6 Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 15
  • 18. C. Dictionnaire Rapport le rapport der Bericht la page de titre die Titelseite la fili`ere d’´etudes der Studiengang l’auteur m. der Autor le chapeau der Vorspann la version die Version la date das Datum l’´etat m. der Status la remarque die Bemerkung la disposition die Disposition le titre der Titel la litt´erature die Literatur la table des mati`eres die Inhaltsverzeichnis la page die Seite le calendrier de r´ealisation der Zeitplan la date de remise das Abgabedatum le brouillon der Entwurf l’introduction f. die Einf¨uhrung la m´ethode die Methode le r´esultat das Ergebnis la discussion die Diskussion la conclusion die Schlussfolgerung la bibliographie das Litreraturverzeichnis le cr´edit iconographique der Bildnachweis la table des figures das Abbildungsverzeichnis la liste des tableaux das Tabellenverzeichnis l’abr´eivation f. die Abk¨urzung le glossaire das Glossar l’index m. der Index l’annexe f. der Anhang l’organisation du travail f. die Arbeitsorganisation la qualification die Bewertung le reportage illustr´e die Bilddokumentation la d´eclaration die Selbst¨andigkeits- d’autonomie erkl¨arung la signature die Unterschrift le chapitre das Kapitel le paragraphe der Abschnitt la figure die Abbildung le diagramme das Diagramm l’esquisse `a la main f. die Handskizze la capture d’´ecran das Bildschirmfoto le tableau die Tabelle la citation das Zitat la source die Quelle voir figure siehe Abbildung cf. (confer) vgl. (vergleiche) `a l’aide de mit Hilfe von les donn´ees die Daten la base de donn´ees die Datenbank la supposition die Voraussetzung la plausibilit´e die Plausibilit¨at l’instruction f. die Anleitung la provenence die Herkunft en ligne online l’acc`es m. der Zugriff Laboratoire les sciences naturelles die Naturwissenschaften le laboratoire das Labor le labo fam. das Labor le cahier de laboratoire das Laborheft l’exp´erience f. das Experiment exp´erimenter experimentieren exp´erimental experimentell la vue d’ensemble die Gesamtansicht le dispositif exp´erimental die Versuchsanordnung la conception exp´erimentale das Versuchskonzept pr´eparer vorbereiten la pr´eparation die Vorbereitung les donn´ees brutes die Rohdaten la formule die Formel le recueil de formules die Formeltabelle la mesure das Mass l’unit´e de mesure f. die Masseinheit mesurer messen le mesurage die Messung l’incertitude de mesure f. die Messunsicherheit la valeur der Wert l’´equation f. die Gleichung la fonction die Funktion la courbe caract´eristique die Kennlinie calculer berechnen la calculation die Berechnung Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 16
  • 19. comparer vergleichen la comparaison der Vergleich la valeur mesur´ee der gemessene Wert la valeur calcul´ee der berechnete Wert la valeur th´eorique der theoretische Wert l’´erreur m. der Fehler la statistique die Statistik Physique la base physique die physikalische Grundlage la relation der physikalische physique Zusammenhang la solution technique die technische Anwendung la connexion par die Glasfaser- fibres optiques leitung la radiot´el´ephonie mobile der Mobilfunk la transmission des signaux die Signal¨ubertragung par voie ondulaire mit Wellen l’onde progressive f. die laufende Welle l’onde stationnaire f. die stehende Welle le lieu der Ort le longueur die L¨ange la distance der Weg le temps die Zeit la vitesse die Geschwindigkeit la vitesse de die Ausbreitungs- propagation geschwindigkeit l’acc´el´eration f. die Beschleunigung l’acc´el´eration de la pesanteur f. die Erdbeschleunigung l’attraction terrestre f. die Erdanziehung la zone de gravit´e die Gravitationszone la masse die Masse la densit´e du mat´eriau die Materialdichte le diam`etre der Durchmesser la section der Querschnitt la force de tension die Zugkraft le longueur d’onde die Wellenl¨ange la fr´equence die Frequenz le seuil auditif die H¨orschwelle la temp´erature die Temperatur la corde en acier die Stahlsaite le point de fixation der Einspannpunkt le chevalet der Steg la frette der Saitenbund l’´eclisse pour frette f. die Bundschiene le rouleau die Rolle le laiton das Messing le poids en laiton der Gewichtstein tirer zupfen frapper anschlagen l’instrument de mesure m. das Messinstrument le thermom`etre das Thermometer le r`egle de mesure die Messleiste le pied `a coulisse die Schieblehre le microphone der elektromagnetische ´el´ectromagn´etique Tonabnehmer le signal ´el´ectronique das elektrische Signal pour transformer l’onde um die Welle in ein elektrisches en signal ´el´ectrique Signal umzuwandeln l’oscilloscope f. das Oszilloskop l’afficheur `a die Fl¨ussigkristall- cristaux liquides m. Anzeige l’´ecran ACL m. der LCD-Bildschirm la transformation alg`ebrique die algebraische Umformung partager en deux halbieren doubler verdoppeln Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 17
  • 20. D´eclaration d’autonomie Nous attestons avoir r´edig´e le pr´esent travail de mani`ere autonome et sans recourir `a d’autres sources et supports que ceux mentionn´es dans la bibliographie. Tous les passages, dont nous ne sommes pas les auteurs sont r´epertori´es comme citations et leur provenance est pr´ecis´ee. Lieu, date : Biel/Bienne, Juin 12, 2015 Pr´enom, nom : Roland Bruggmann Signature : ...................................... Pr´enom, nom : Marcus Fischer Signature : ...................................... Pr´enom, nom : Rosalie Gerber Signature : ...................................... Ondes stationnaires, Version 1.5, Juin 12, 2015 18