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Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux
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Institut français
des sciences et technologies
des transports, de l’aménagement
et des réseaux
Optimisation et
planification optimale multi-objectifs
Olivier Orfila
Directeur-adjoint LIVIC
Chercheur sénior
Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux
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Plan du cours
Partie 1
• Les planifications
• Planification faisable
• Planification optimale
• Planification discrète
• Planification continue
• Discussions
• Les échelles de la planification
• Planification de route
• Planification de trajectoires (voies, stationnement)
• Planification de commandes
• Introduction à l’optimisation mono-objectif
• Principes (minimisation, maximisation)
• Méthodes analytiques
• Optimisation linéaire
• Optimisation non linéaire
• Programmation dynamique
• Optimisation combinatoire
• Heuristiques et méta heuristiques
• Problèmes classiques
Partie 2
• Optimisation multi-objectifs
• Introduction
• Espace de décision
• Espace objectifs
• Concept de dominance
• Front de Pareto
• Problèmes convexes et non
convexes
• Construction de front de Pareto
• Par scalairisation (cas mono-
objectif)
• Méthodes idéales
• Planification multi-objectifs
• Application automobile
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COURTE INTRODUCTION
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La Planification
• Planifier consiste à organiser
son comportement dans le
temps et dans l’espace dans
des situations où un but doit
être atteint. (Owen, 1997)
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La planification pour le véhicule
autonome
• Pour aller d’un point A à un point B
:
• Déterminer les routes à prendre ?
• Choisir quelle vitesse pratiquer,
quelle accélération, quelle voie ?
• Déterminer comment atteindre cette
vitesse, cette accélération, cette
voie
• Cette planification est réalisée de
manière itérative et en
permanence par les humains, avec
différents empans temporels selon
le type de planification
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LES PLANIFICATIONS
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Planification faisable
• Planifier une solution
faisable mais pas
nécessairement optimale
• La solution permet
d’atteindre le but de la
planification en un temps fini
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Planification optimale
• La planification faisable recherche
n’importe quelle solution réalisable alors
que la planification optimale recherche la
meilleure (ou les) solution.
• Meilleure solution : celle qui minimise une
fonction de coût dépendante de l’objectif à
réaliser
Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux
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Planification discrête
• Toutes les situations du
problèmes sont distinctes (états,
x)
• L’ensemble des états possibles :
X
• Un état x peut être modifié par
une action, u pour devenir un
nouvel état x’ :
• x’=f(x,u)
• Chaque état x possède un
ensemble d’actions U(x)
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Planification continue
• Planifier les variations d’état d’un corps
régies par des équations analytiques et/ou
différentielles. L’état du corps est continu.
• Se ramener au cas discret par
décomposition de l’espace (polyèdres
(Voronoi, Sukharev,…), algébriques
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LES ECHELLES DE LA
PLANIFICATION
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Les échelles de la planification :
éléments de langage
• Niveau stratégique :
• navigation, choix de route. Fréquence spatiale de
l’action requise entre 200 et 1000 m
• Niveau tactique :
• guidage, planification de trajectoire. Fréquence
spatiale de l’action requise entre 20 et 100 m
• Niveau opérationnel :
• Stabilisation, planification de commande.
Fréquence spatiale de l’action requise entre 1 et
10 m
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Planification de route
• Planifier sa route
d’une origine à une
destination (choisir
les manœuvres à
chaque intersection)
• Planification discrète
• Largement exploré
lors des précédents
cours
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Planification de trajectoire
• Sur la route planifiée, prévoir les vitesses
à pratiquer, l’accélération, le choix de voie
de circulation, le rapport de boîte.
• Problème continu ou discret
Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux
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Planification de commandes
• Planifier les commandes à appliquer pour
atteindre la trajectoire choisie.
• Proche du contrôle. Assure la stabilité du
système.
• Problème continu
Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux
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Discussions
• Planification hybride ?
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OPTIMISATION MONO-
OBJECTIF
Planification optimale
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Définition du problème
d’optimisation
• Problème d'optimisation
— Sachant f:AR
• Trouver un élément xopt
de A tel que f(xopt) ≤ f(x)
pout tout x appartenant à
A
• x est soumis a un
ensemble de contraintes
• f est communément
appelée function de coût
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Optimisation linéaire
• Minimiser ou
maximiser une
fonction linéaire sur
un polyèdre convexe
défini par des
contraintes linéaires
• Une solution existe si
les contraintes ne sont
pas incompatibles et
si le problème est
borné.
Contraintes
Fonction de coût
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Optimisation linéaire : simplexe
• Proposée en 1947 par
Dantzig
• Choix d’un sommet de
départ
• Déplacement vers un
sommet adjacent dont
le coût est supérieur
(cas de la
maximisation)
• S’arrêter quand aucun
sommet adjacent n’a de
coût supérieur
Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux
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Optimisation non linéaire
• Extension de l’optimisation linéaire où au
moins une des équations de contrainte ou la
fonction de coût est non-linéaire
• Conditions d’optimalité :
• La tangente, cône tangent : minimum local dans
le cas général, minimum global si f est convexe.
• Condition de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)
• Les méthodes de résolution :
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Résolution analytiques
• Descente de
gradient
• Newton (f de classe
C2)
• Problème : la
convergence vers
un minimum global
n’est garantie que
dans certaines
conditions (f
convexe,
Lipschitz, Wolfe
condition.
Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux
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Programmation (« planification »
dynamique
• Principe : découper un problème en sous-
problèmes et résoudre chaque sous-
problème de manière indépendante avec
réutilisation des solutions en cas de sous-
problèmes identiques.
• Nécessité d’avoir une structure de sous-
problèmes optimale
Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux
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Recherche opérationnelle
• Recherche du plus
court chemin dans un
graphe (discrétisation
d’un problème continu
ou problème discret)
• Type A*, Dijkstra et
bien d’autres
• Largement étudié lors
des précédents cours
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Méta-heuristiques
• Heuristique (du grec Heurisko, trouver) : qui
aide à la recherche, à la découverte
• Méthode heuristique : méthode qui procède
par approches successives :
• en éliminant progressivement les alternatives
• en ne conservant qu'une gamme restreinte de
solutions tendant vers celle qui est optimale
• Algorithme méta-heuristique : méthode
heuristique générique pouvant résoudre un
ensemble de problèmes différents
• En utilisant des optimisations stochastiques
(solutions générées aléatoirement)
• Types d’algorithmes :
• Biologiques : évolutionnistes, algorithmes
génétiques
• Ethologiques : colonies de fourmis, essaims
particulaires
• Technologiques : recuit simulé
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Algorithmes évolutionnistes :
principe
• Imiter l’évolution des espèces telle que
décrite par Darwin
• En y ajoutant la génétique pour expliquer
l’évolution au travers des croisements et
mutations
• Chaque solution possible est considéré
comme un individu d’une génération
• La solution est codée dans les gènes de
l’individu
« Comme il naît beaucoup plus d'individus de chaque espèce qu'il n'en peut survivre, et que,
par conséquent, il se produit souvent une lutte pour la vie, il s'ensuit que tout être, s'il varie,
même légèrement, d'une manière qui lui est profitable, dans les conditions complexes et
quelquefois variables de la vie, aura une meilleure chance pour survivre et ainsi se retrouvera
choisi d'une façon naturelle. En raison du principe dominant de l'hérédité, toute variété ainsi
choisie aura tendance à se multiplier sous sa forme nouvelle et modifiée » C. Darwin, On the
origin of species. 1859
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Algorithme évolutionniste
standard
• Tir aléatoire de n individus
• Création de l’archive (contenant les
meilleurs individus au fil des
générations)
• Sur N générations :
• Evaluation des individus par la
fonction de coût (calcul de
l’adaptation)
• Mise à jour de l’archive
• Sélection des individus (création de la
réserve d’accouplement) puis
sélection des parents (par paires ou
plus)
• Nouvelle génération
• Croisement
• Mutation
• Insertion
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Codage de l’information
• Codage binaire :
• La solution est codée sur une chaîne
binaire
• Avantage : grande quantité de
croisements possibles, la chaîne
binaire étant la plus longue possible
• Inconvénient : codage parfois peu
naturel
• Codage d’ordre supérieur :
• La solution est codée à l’aide de 3 ou
plus caractères.
• Avantage : plus naturel à coder
• Inconvénients : plus l’ordre de codage
est grand, plus les possibilités de
croisement sont faibles
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Sélection des individus
• Par rang :
• les meilleurs sont sélectionnés pour
faire partie de la réserve
d’accouplement
• Probabilité de sélection
proportionnelle à l'adaptation :
• à chaque individu est associé un
poids proportionnel à son
adaptation. Un tir aléatoire permet
de sélectionner, en fonction des
poids.
• Par tournoi :
• on créé des paires d’individus
(plusieurs méthodes). On
sélectionne le meilleur de la paire
• Sélection uniforme :
• sélection aléatoire uniforme
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Les croisements
• En 1 point :
• Chaque chromosome est
coupé en un point et
l’enfant reprend chaque
partie des parents. Le
point de pivot est choisi
au hasard
• En deux (ou plus) points
• L’enfant est généré à
partir de plusieurs parties
des codes génétiques
des parents
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La mutation
• Chaque gène possède
une probabilité de muter,
càd, d’être régénéré
aléatoirement
• Taux de mutation
généralement faible, de
l’ordre de 0,05 à 0,1
• Participe à l’évolution de
la population (évitement
minimum local)
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Problèmes d’optimisation : sac à
dos
• Maximiser la valeur chargée
dans le sac à dos
• Respecter le poids
maximum
• Utilisé pour le chargement
des avions
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Problème du voyageur de
commerce
• Etant donné une liste de
villes
• Déterminer le chemin le
plus court qui:
• Visite chaque ville une
seule fois
• Revient à son point de
départ
• Pour 71 villes ?
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Les 7 ponts de Koenigsberg
• Comment passer sur
les 7 ponts une seule
fois
• Extension du voyageur
de commerce
• Problème résolu par
Euler
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Problème n°1
• Sachant
• En utilisant la condition
d’optimalité de KKT, trouver x
qui minimise f.
• Pour cela, poser le problème
sous la forme Au=b avec :
• Puis résoudre le problème
numérique sous Matlab
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OPTIMISATION MULTI-
OBJECTIFS
POMO : Problèmes d’Optimisation Multi Objectifs (MOOP)
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Introduction
• Comment trouver une solution optimale
quand plusieurs objectifs s’opposent ?
• Temps de parcours-sécurité
• Economie d’énergie- temps de parcours
• …
• A la recherche du compromis
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Optimisation multi-objectifs
• Minimiser ou maximiser f(x)
• F (x)=(F1(x), F2(x),…,Fm(x))T, m=1,2,…,M
• Sous les contraintes suivantes :
• Gj(x)>=0, j=1,2,…,J (XL
i< Xi < XU
i, i=1,2,…,n)
• Hk(x)=0, k=1,2,…,K
• M est le nombre d’objectifs, n le nombre de
variables, J+K le nombre de contraintes
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Espace de décision, espace
objectifs
• L’espace de décision est l’espace contenant
les solutions dans ses dimensions physiques
(variables)
• L’espace des objectifs est l’espace contenant
les valeurs des objectifs pour chaque
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Dominance de Pareto
• Une solution x1 domine une solution
x2 si :
• La solution x1 est au moins égale à
x2 selon tous les objectifs
• Fi(x1)≤ Fi(x2) pour tout i
• La solution x1 est strictement
meilleure que x2 sur, au moins, un
objectif
• Il existe j tel que Fj(x1)≤ Fj(x2)
• Les solutions dominantes se
décomposent en :
• Solutions dominantes fortes : une
solution x1 domine fortement x2 si x1
est strictement meilleure que x2
selon tous les objectifs
• Solutions dominantes faibles :
L’ensemble des solutions non
fortement dominées
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Front de Pareto
• On définit
l’ensemble des
solutions Pareto
optimales comme la
frontière de l’espace
des objectifs sur
laquelle se trouve
l’ensemble des
solutions non-
dominées
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Objectifs de l’optimisation multi-
objectifs
• Trouver les
solutions les plus
proches du front de
Pareto
• Trouver les
solutions les plus
variées possibles
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Solutions particulières : vecteur
idéal
• Le vecteur idéal z
(défini dans l’espace
objectifs) est celui
dont chaque
composante (zi) est
la valeur minimale de
l’objectif
correspondant (fi(x)) z1
z2
f1
f2
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Solutions particulières : vecteur
utopique
• Le vecteur utopique
possède des
composantes
légèrement inférieure
à celles du vecteur
idéal
• Zutopique
i=Zideal
i-εi
z1
z2
f1
f2
ε1
ε2
Point utopique
Point idéal
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Solutions particulières : vecteur
nadir
• Le vecteur nadir z
(défini dans l’espace
objectifs) est celui dont
chaque composante
(zi) est la valeur
maximale de l’objectif
correspondant (fi(x))
pour x appartenant à
l’ensemble des
solutions Pareto-
optimales z1
z2
f1
f2
Point utopique
Point idéal
Point nadir
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MOOP convexes et non
convexes
• Fonction convexe :
• MOOP convexe : MOOP dont toutes les
fonctions objectifs sont convexes
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Méthodes de résolution
• Par scalairisation ou par préférence :
• Une seule fonction objectif composite est
générée à partir des différentes fonction
objectifs
• F(x)=g(f1(x),…,fm(x))
• Méthode idéale
• Trouver l’ensemble des solutions optimales
• Choisir une solution à l’aide d’information haut
niveau.
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Méthodes de résolution :
scalairisation
• Linéaire :
• Somme de poids
• F(x)=∑wi.fm(x)
• Problème : ne peut pas trouver l’ensemble du
front de Pareto dans des problèmes non
convexes
• ε-contraint :
• Fixer tous les objectifs sauf un qui varie.
• Linéaire avec métrique :
• Utiliser le vecteur idéal pour « attirer » les
solutions
• Utiliser un vecteur quelconque (Benson)
• Non linéaire :
• La fonction de coût globale est une fonction des
fonctions de coûts de chaque objectif
• Problème : nécessite une forte connaissance des
objectifs
• Méthode interactive :
• Les solutions sont présentées à un opérateur qui
dirige la direction de la recherche de solution
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Méthode idéale : Strength Pareto
Evolutionnary Algorithm : SPEA 2
• Algorithme évolutionniste
qui vise à maximiser la
densité des solutions.
• Diffère d’un AG
uniquement sur
l’adaptation
• L’adaptation des solutions
dépend uniquement de
leurs caractères de
dominance et de leur
densité
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SPEA2 : Détermination de
l’adaptation
• Evaluation totale :
• brute + densité
• Evaluation brute
• Densité
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Méthode idéale : Non-dominated
Sorting Genetic Algorithm,
NSGA2
• Adaptation des solutions :
• en fonction de leur front d’appartenance
• en fonction de la distance entre les solutions
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PLANIFICATION MULTI-
OBJECTIFS
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Objectifs
• La planification multi-objectifs
vise à utiliser l’optimisation
multi-objectifs dans le but de
planifier un trajet, des
manœuvres ou des
commandes en tenant
compte de plusieurs
objectifs.
• Des informations de haut
niveau sont nécessaires :
issues du style du
conducteur ou d’une gestion
supervisée
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Quels objectifs ?
• La sécurité
• Le bruit
• Le trafic
• La consommation d’énergie
• Les émissions de GES
• La pollution
• Le confort
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Pression sociale
• Baisse continue du
nombre de décès
sur les routes
européennes
• Mais objectifs
contraignants
Identifying the causes of road crashes in Europe, Pete Thomas, Andrew Morris, Rachel Talbot, Helen Fagerlind, Annals of Advances in Automotive Medicine
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Pressions de la régulation
• Normes
d’émissions :
• Contraintes de plus
en plus fortes
• COP21 :
• Limiter le
réchauffement
climatique à 2°C en
visant 1,5°C
Historical fleet CO2 emissions performance and current or proposed
passenger vehicle standards (ICCT, International Council on Clean
Transportation):
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Effet des congestions
• Retards : pèse sur l’économie
• Stress : les usagers de la route perdent le
contrôle (risques d’accident)
• Pollution, consommation :
• Consommation de carburant US (IEA)
• En France, 55% des émissions de GES
sont dues aux véhicules légers (source :
MEDDE)
• Gêne aux services d’urgence
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Une vulgarisation de
l’écoconduite
Peu d’énergie atteint la
roue et les conducteurs
la gaspille !
L’écoconduite =
cuisine des restes
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Définition de l’écoconduite :
proposition
• L’écoconduite est, à chaque instant, une optimisation multicritère
(consommation d’énergie, confort, temps de parcours,…) des
différentes tâches de conduite (navigation, guidage, stabilisation)
sous contraintes de sécurité.
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Application du problème de
planification multi-objectifs
• Poser le problème de planification revient
à :
• définir le but à atteindre
• définir les variables à planifier
• définir les objectifs (évaluation, adaptation)
• définir les fonctions de coût de chaque
objectif
• définir les contraintes
• réduire l’espace de décision
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APPLICATION :
PLANIFICATION DE
TRAJECTOIRE
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But à atteindre
• Planifier les positions, vitesses et accélérations
longitudinales et latérales en fonction du temps
ou de l’abscisse curviligne, d’un véhicule d’un
point A à un point B sur sa voie de circulation
sans véhicule à l’avant.
V
dA B
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Positionnement du problème
• Application à la
planification de la vitesse
en fonction de l’abscisse
curviligne, d’un véhicule
thermique, d’un point A à
un point B sur sa voie de
circulation sans véhicule à
l’avant.
• Deux positionnement du
problème possibles :
• Continu
• Discret
V
dA B
V
dA B
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Les variables à optimiser
• Cas discret (après discrétisation de l’espace)
:
• l’ensemble des vitesses V(t)
• l’ensemble des vitesses V(d)
• l’ensemble des distances d(t)
• Cas continu : dépendant des fonctions
choisies maisau minimum :
• accélération à l’origine
• vitesse de croisière
• décélération tolérée
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Discrétisation de l’espace de
décision
V
dA B
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Définition des objectifs
(exemples)
• Avoir des objectifs contradictoires
• Minimiser le temps de parcours
• Maximiser la vitesse moyenne
• Minimiser la consommation de carburant
• Telle que définie à partir d’un modèle de
consommation de carburant dépendant de la
vitesse
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Définition des contraintes
• V(d)≥0
• A ≤ d ≤ B
• Vitesse initiale : V(A)=0
• Vitesse finale : V(B)=0
• Vitesse limite : [V(A),V(A+dd),V(C)]=V1
• Vitesse limite : [V(C),V(C+dd),V(B)]=V2
• Accélération maximale (phases d’accélération et de freinage) :
• limité par le jerk maximal
• limite la variation de vitesse
• Accélération latérale maximale
• déduite du rayon de courbure et du dévers
• limite la vitesse
• Présence d’éléments de l’infrastructure
• Intersections (stop, cédez-le-passage, rond-point, feu tricolore, dos
d’âne, passage piéton)
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Réduction de l’espace de
décision
V
dA B
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Problème 2 : planification de
vitesse
• En utilisant la méthode de l’ε contraint, tracer le front de
Pareto (Temps, Consommation) pour un véhicule parcourant
une distance D de 4 km à vitesse constante V.
• Définir les objectifs et leurs unités.
• Définir la ou les variables.
• Définir le positionnement du problème. Donner les avantages et
inconvénients des problèmes discrets et continus.
• Définir les fonctions de coût.
• Définir les contraintes sur les variables.
• A l’aide de la fonction de coût fournie, résoudre le problème sous
Matlab.
• Choisir l’objectif à contraindre
• Faire varier cet objectif pas à pas puis en déduire la valeur optimale de
la vitesse
• Tracer les couples Temps, Consommation obtenus
• Décrire sur le graphique le front de Pareto, les solutions dominantes et
dominées
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Pour aller plus loin
• Adrian M. Owen, Cognitive planning in humans: Neuropsychological,
neuroanatomical and neuropharmacological perspectives, Progress in
Neurobiology, Volume 53, Issue 4, November 1997, Pages 431-450, ISSN
0301-0082
• Nonlinear Multiobjective optimization, Kaisa Miettinen, Springer Science +
Business Media, LLC, ISBN 978-1-4613-7544-9, 1999
• Multi-objective optimization using evolutionnary algorithms, Kalyanmoy Deb,
Wiley, ISBN 0-471-87339-X, 2002
• Planning algorithms, Steven M. LaValle, University of Illinois,
http://gamma.cs.unc.edu/courses/planning-f07/PAPERS/Lavalle-Planning.pdf
• Identifying the causes of road crashes in Europe, Pete Thomas, Andrew Morris,
Rachel Talbot, Helen Fagerlind, Annals of Advances in Automotive Medicine
• Road users and accident causation. Part 1: Overview and general statistics,
Deliverable 1.1, Project No. FP6-2004-IST-4 027763
• Méthodes de l’AG, Vincent Magnin, http://magnin.plil.net/spip.php?article45
• http://quicklatex.com/
• SPEA2: Improving the Strength Pareto Evolutionary Algorithm, Eckart Zitzler, Marco
Laumanns, and Lothar Thiele, TIK-Report 103, 2001, http://e-
collection.library.ethz.ch/eserv/eth:24689/eth-24689-01.pdf
• A Fast and Elitist Multiobjective Genetic Algorithm: NSGA-II, Kalyanmoy Deb, Associate
Member, IEEE, Amrit Pratap, Sameer Agarwal, and T. Meyarivan, IEEE transactions on
evolutionary computation, vol. 6, no. 2, april 2002

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Optimisation et planification optimale multi-objectifs

  • 1. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux Optimisation et planification optimale multi-objectifs Olivier Orfila Directeur-adjoint LIVIC Chercheur sénior
  • 2. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Plan du cours Partie 1 • Les planifications • Planification faisable • Planification optimale • Planification discrète • Planification continue • Discussions • Les échelles de la planification • Planification de route • Planification de trajectoires (voies, stationnement) • Planification de commandes • Introduction à l’optimisation mono-objectif • Principes (minimisation, maximisation) • Méthodes analytiques • Optimisation linéaire • Optimisation non linéaire • Programmation dynamique • Optimisation combinatoire • Heuristiques et méta heuristiques • Problèmes classiques Partie 2 • Optimisation multi-objectifs • Introduction • Espace de décision • Espace objectifs • Concept de dominance • Front de Pareto • Problèmes convexes et non convexes • Construction de front de Pareto • Par scalairisation (cas mono- objectif) • Méthodes idéales • Planification multi-objectifs • Application automobile
  • 3. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr COURTE INTRODUCTION
  • 4. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr La Planification • Planifier consiste à organiser son comportement dans le temps et dans l’espace dans des situations où un but doit être atteint. (Owen, 1997)
  • 5. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr La planification pour le véhicule autonome • Pour aller d’un point A à un point B : • Déterminer les routes à prendre ? • Choisir quelle vitesse pratiquer, quelle accélération, quelle voie ? • Déterminer comment atteindre cette vitesse, cette accélération, cette voie • Cette planification est réalisée de manière itérative et en permanence par les humains, avec différents empans temporels selon le type de planification
  • 6. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr LES PLANIFICATIONS
  • 7. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Planification faisable • Planifier une solution faisable mais pas nécessairement optimale • La solution permet d’atteindre le but de la planification en un temps fini
  • 8. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Planification optimale • La planification faisable recherche n’importe quelle solution réalisable alors que la planification optimale recherche la meilleure (ou les) solution. • Meilleure solution : celle qui minimise une fonction de coût dépendante de l’objectif à réaliser
  • 9. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Planification discrête • Toutes les situations du problèmes sont distinctes (états, x) • L’ensemble des états possibles : X • Un état x peut être modifié par une action, u pour devenir un nouvel état x’ : • x’=f(x,u) • Chaque état x possède un ensemble d’actions U(x)
  • 10. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Planification continue • Planifier les variations d’état d’un corps régies par des équations analytiques et/ou différentielles. L’état du corps est continu. • Se ramener au cas discret par décomposition de l’espace (polyèdres (Voronoi, Sukharev,…), algébriques
  • 11. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr LES ECHELLES DE LA PLANIFICATION
  • 12. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Les échelles de la planification : éléments de langage • Niveau stratégique : • navigation, choix de route. Fréquence spatiale de l’action requise entre 200 et 1000 m • Niveau tactique : • guidage, planification de trajectoire. Fréquence spatiale de l’action requise entre 20 et 100 m • Niveau opérationnel : • Stabilisation, planification de commande. Fréquence spatiale de l’action requise entre 1 et 10 m
  • 13. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Planification de route • Planifier sa route d’une origine à une destination (choisir les manœuvres à chaque intersection) • Planification discrète • Largement exploré lors des précédents cours
  • 14. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Planification de trajectoire • Sur la route planifiée, prévoir les vitesses à pratiquer, l’accélération, le choix de voie de circulation, le rapport de boîte. • Problème continu ou discret
  • 15. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Planification de commandes • Planifier les commandes à appliquer pour atteindre la trajectoire choisie. • Proche du contrôle. Assure la stabilité du système. • Problème continu
  • 16. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Discussions • Planification hybride ?
  • 17. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr OPTIMISATION MONO- OBJECTIF Planification optimale
  • 18. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Définition du problème d’optimisation • Problème d'optimisation — Sachant f:AR • Trouver un élément xopt de A tel que f(xopt) ≤ f(x) pout tout x appartenant à A • x est soumis a un ensemble de contraintes • f est communément appelée function de coût
  • 19. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Optimisation linéaire • Minimiser ou maximiser une fonction linéaire sur un polyèdre convexe défini par des contraintes linéaires • Une solution existe si les contraintes ne sont pas incompatibles et si le problème est borné. Contraintes Fonction de coût
  • 20. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Optimisation linéaire : simplexe • Proposée en 1947 par Dantzig • Choix d’un sommet de départ • Déplacement vers un sommet adjacent dont le coût est supérieur (cas de la maximisation) • S’arrêter quand aucun sommet adjacent n’a de coût supérieur
  • 21. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Optimisation non linéaire • Extension de l’optimisation linéaire où au moins une des équations de contrainte ou la fonction de coût est non-linéaire • Conditions d’optimalité : • La tangente, cône tangent : minimum local dans le cas général, minimum global si f est convexe. • Condition de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) • Les méthodes de résolution :
  • 22. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Résolution analytiques • Descente de gradient • Newton (f de classe C2) • Problème : la convergence vers un minimum global n’est garantie que dans certaines conditions (f convexe, Lipschitz, Wolfe condition.
  • 23. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Programmation (« planification » dynamique • Principe : découper un problème en sous- problèmes et résoudre chaque sous- problème de manière indépendante avec réutilisation des solutions en cas de sous- problèmes identiques. • Nécessité d’avoir une structure de sous- problèmes optimale
  • 24. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Recherche opérationnelle • Recherche du plus court chemin dans un graphe (discrétisation d’un problème continu ou problème discret) • Type A*, Dijkstra et bien d’autres • Largement étudié lors des précédents cours
  • 25. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Méta-heuristiques • Heuristique (du grec Heurisko, trouver) : qui aide à la recherche, à la découverte • Méthode heuristique : méthode qui procède par approches successives : • en éliminant progressivement les alternatives • en ne conservant qu'une gamme restreinte de solutions tendant vers celle qui est optimale • Algorithme méta-heuristique : méthode heuristique générique pouvant résoudre un ensemble de problèmes différents • En utilisant des optimisations stochastiques (solutions générées aléatoirement) • Types d’algorithmes : • Biologiques : évolutionnistes, algorithmes génétiques • Ethologiques : colonies de fourmis, essaims particulaires • Technologiques : recuit simulé
  • 26. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Algorithmes évolutionnistes : principe • Imiter l’évolution des espèces telle que décrite par Darwin • En y ajoutant la génétique pour expliquer l’évolution au travers des croisements et mutations • Chaque solution possible est considéré comme un individu d’une génération • La solution est codée dans les gènes de l’individu « Comme il naît beaucoup plus d'individus de chaque espèce qu'il n'en peut survivre, et que, par conséquent, il se produit souvent une lutte pour la vie, il s'ensuit que tout être, s'il varie, même légèrement, d'une manière qui lui est profitable, dans les conditions complexes et quelquefois variables de la vie, aura une meilleure chance pour survivre et ainsi se retrouvera choisi d'une façon naturelle. En raison du principe dominant de l'hérédité, toute variété ainsi choisie aura tendance à se multiplier sous sa forme nouvelle et modifiée » C. Darwin, On the origin of species. 1859
  • 27. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Algorithme évolutionniste standard • Tir aléatoire de n individus • Création de l’archive (contenant les meilleurs individus au fil des générations) • Sur N générations : • Evaluation des individus par la fonction de coût (calcul de l’adaptation) • Mise à jour de l’archive • Sélection des individus (création de la réserve d’accouplement) puis sélection des parents (par paires ou plus) • Nouvelle génération • Croisement • Mutation • Insertion
  • 28. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Codage de l’information • Codage binaire : • La solution est codée sur une chaîne binaire • Avantage : grande quantité de croisements possibles, la chaîne binaire étant la plus longue possible • Inconvénient : codage parfois peu naturel • Codage d’ordre supérieur : • La solution est codée à l’aide de 3 ou plus caractères. • Avantage : plus naturel à coder • Inconvénients : plus l’ordre de codage est grand, plus les possibilités de croisement sont faibles
  • 29. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Sélection des individus • Par rang : • les meilleurs sont sélectionnés pour faire partie de la réserve d’accouplement • Probabilité de sélection proportionnelle à l'adaptation : • à chaque individu est associé un poids proportionnel à son adaptation. Un tir aléatoire permet de sélectionner, en fonction des poids. • Par tournoi : • on créé des paires d’individus (plusieurs méthodes). On sélectionne le meilleur de la paire • Sélection uniforme : • sélection aléatoire uniforme
  • 30. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Les croisements • En 1 point : • Chaque chromosome est coupé en un point et l’enfant reprend chaque partie des parents. Le point de pivot est choisi au hasard • En deux (ou plus) points • L’enfant est généré à partir de plusieurs parties des codes génétiques des parents
  • 31. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr La mutation • Chaque gène possède une probabilité de muter, càd, d’être régénéré aléatoirement • Taux de mutation généralement faible, de l’ordre de 0,05 à 0,1 • Participe à l’évolution de la population (évitement minimum local)
  • 32. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Problèmes d’optimisation : sac à dos • Maximiser la valeur chargée dans le sac à dos • Respecter le poids maximum • Utilisé pour le chargement des avions
  • 33. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Problème du voyageur de commerce • Etant donné une liste de villes • Déterminer le chemin le plus court qui: • Visite chaque ville une seule fois • Revient à son point de départ • Pour 71 villes ?
  • 34. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Les 7 ponts de Koenigsberg • Comment passer sur les 7 ponts une seule fois • Extension du voyageur de commerce • Problème résolu par Euler
  • 35. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Problème n°1 • Sachant • En utilisant la condition d’optimalité de KKT, trouver x qui minimise f. • Pour cela, poser le problème sous la forme Au=b avec : • Puis résoudre le problème numérique sous Matlab
  • 36. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr OPTIMISATION MULTI- OBJECTIFS POMO : Problèmes d’Optimisation Multi Objectifs (MOOP)
  • 37. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Introduction • Comment trouver une solution optimale quand plusieurs objectifs s’opposent ? • Temps de parcours-sécurité • Economie d’énergie- temps de parcours • … • A la recherche du compromis
  • 38. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Optimisation multi-objectifs • Minimiser ou maximiser f(x) • F (x)=(F1(x), F2(x),…,Fm(x))T, m=1,2,…,M • Sous les contraintes suivantes : • Gj(x)>=0, j=1,2,…,J (XL i< Xi < XU i, i=1,2,…,n) • Hk(x)=0, k=1,2,…,K • M est le nombre d’objectifs, n le nombre de variables, J+K le nombre de contraintes
  • 39. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Espace de décision, espace objectifs • L’espace de décision est l’espace contenant les solutions dans ses dimensions physiques (variables) • L’espace des objectifs est l’espace contenant les valeurs des objectifs pour chaque
  • 40. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Dominance de Pareto • Une solution x1 domine une solution x2 si : • La solution x1 est au moins égale à x2 selon tous les objectifs • Fi(x1)≤ Fi(x2) pour tout i • La solution x1 est strictement meilleure que x2 sur, au moins, un objectif • Il existe j tel que Fj(x1)≤ Fj(x2) • Les solutions dominantes se décomposent en : • Solutions dominantes fortes : une solution x1 domine fortement x2 si x1 est strictement meilleure que x2 selon tous les objectifs • Solutions dominantes faibles : L’ensemble des solutions non fortement dominées
  • 41. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Front de Pareto • On définit l’ensemble des solutions Pareto optimales comme la frontière de l’espace des objectifs sur laquelle se trouve l’ensemble des solutions non- dominées
  • 42. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Objectifs de l’optimisation multi- objectifs • Trouver les solutions les plus proches du front de Pareto • Trouver les solutions les plus variées possibles
  • 43. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Solutions particulières : vecteur idéal • Le vecteur idéal z (défini dans l’espace objectifs) est celui dont chaque composante (zi) est la valeur minimale de l’objectif correspondant (fi(x)) z1 z2 f1 f2
  • 44. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Solutions particulières : vecteur utopique • Le vecteur utopique possède des composantes légèrement inférieure à celles du vecteur idéal • Zutopique i=Zideal i-εi z1 z2 f1 f2 ε1 ε2 Point utopique Point idéal
  • 45. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Solutions particulières : vecteur nadir • Le vecteur nadir z (défini dans l’espace objectifs) est celui dont chaque composante (zi) est la valeur maximale de l’objectif correspondant (fi(x)) pour x appartenant à l’ensemble des solutions Pareto- optimales z1 z2 f1 f2 Point utopique Point idéal Point nadir
  • 46. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr MOOP convexes et non convexes • Fonction convexe : • MOOP convexe : MOOP dont toutes les fonctions objectifs sont convexes
  • 47. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Méthodes de résolution • Par scalairisation ou par préférence : • Une seule fonction objectif composite est générée à partir des différentes fonction objectifs • F(x)=g(f1(x),…,fm(x)) • Méthode idéale • Trouver l’ensemble des solutions optimales • Choisir une solution à l’aide d’information haut niveau.
  • 48. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Méthodes de résolution : scalairisation • Linéaire : • Somme de poids • F(x)=∑wi.fm(x) • Problème : ne peut pas trouver l’ensemble du front de Pareto dans des problèmes non convexes • ε-contraint : • Fixer tous les objectifs sauf un qui varie. • Linéaire avec métrique : • Utiliser le vecteur idéal pour « attirer » les solutions • Utiliser un vecteur quelconque (Benson) • Non linéaire : • La fonction de coût globale est une fonction des fonctions de coûts de chaque objectif • Problème : nécessite une forte connaissance des objectifs • Méthode interactive : • Les solutions sont présentées à un opérateur qui dirige la direction de la recherche de solution
  • 49. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Méthode idéale : Strength Pareto Evolutionnary Algorithm : SPEA 2 • Algorithme évolutionniste qui vise à maximiser la densité des solutions. • Diffère d’un AG uniquement sur l’adaptation • L’adaptation des solutions dépend uniquement de leurs caractères de dominance et de leur densité
  • 50. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr SPEA2 : Détermination de l’adaptation • Evaluation totale : • brute + densité • Evaluation brute • Densité
  • 51. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Méthode idéale : Non-dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA2 • Adaptation des solutions : • en fonction de leur front d’appartenance • en fonction de la distance entre les solutions
  • 52. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr PLANIFICATION MULTI- OBJECTIFS
  • 53. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Objectifs • La planification multi-objectifs vise à utiliser l’optimisation multi-objectifs dans le but de planifier un trajet, des manœuvres ou des commandes en tenant compte de plusieurs objectifs. • Des informations de haut niveau sont nécessaires : issues du style du conducteur ou d’une gestion supervisée
  • 54. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Quels objectifs ? • La sécurité • Le bruit • Le trafic • La consommation d’énergie • Les émissions de GES • La pollution • Le confort
  • 55. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Pression sociale • Baisse continue du nombre de décès sur les routes européennes • Mais objectifs contraignants Identifying the causes of road crashes in Europe, Pete Thomas, Andrew Morris, Rachel Talbot, Helen Fagerlind, Annals of Advances in Automotive Medicine
  • 56. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Pressions de la régulation • Normes d’émissions : • Contraintes de plus en plus fortes • COP21 : • Limiter le réchauffement climatique à 2°C en visant 1,5°C Historical fleet CO2 emissions performance and current or proposed passenger vehicle standards (ICCT, International Council on Clean Transportation):
  • 57. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Effet des congestions • Retards : pèse sur l’économie • Stress : les usagers de la route perdent le contrôle (risques d’accident) • Pollution, consommation : • Consommation de carburant US (IEA) • En France, 55% des émissions de GES sont dues aux véhicules légers (source : MEDDE) • Gêne aux services d’urgence
  • 58. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Une vulgarisation de l’écoconduite Peu d’énergie atteint la roue et les conducteurs la gaspille ! L’écoconduite = cuisine des restes
  • 59. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Définition de l’écoconduite : proposition • L’écoconduite est, à chaque instant, une optimisation multicritère (consommation d’énergie, confort, temps de parcours,…) des différentes tâches de conduite (navigation, guidage, stabilisation) sous contraintes de sécurité.
  • 60. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Application du problème de planification multi-objectifs • Poser le problème de planification revient à : • définir le but à atteindre • définir les variables à planifier • définir les objectifs (évaluation, adaptation) • définir les fonctions de coût de chaque objectif • définir les contraintes • réduire l’espace de décision
  • 61. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr APPLICATION : PLANIFICATION DE TRAJECTOIRE
  • 62. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr But à atteindre • Planifier les positions, vitesses et accélérations longitudinales et latérales en fonction du temps ou de l’abscisse curviligne, d’un véhicule d’un point A à un point B sur sa voie de circulation sans véhicule à l’avant. V dA B
  • 63. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Positionnement du problème • Application à la planification de la vitesse en fonction de l’abscisse curviligne, d’un véhicule thermique, d’un point A à un point B sur sa voie de circulation sans véhicule à l’avant. • Deux positionnement du problème possibles : • Continu • Discret V dA B V dA B
  • 64. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Les variables à optimiser • Cas discret (après discrétisation de l’espace) : • l’ensemble des vitesses V(t) • l’ensemble des vitesses V(d) • l’ensemble des distances d(t) • Cas continu : dépendant des fonctions choisies maisau minimum : • accélération à l’origine • vitesse de croisière • décélération tolérée
  • 65. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Discrétisation de l’espace de décision V dA B
  • 66. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Définition des objectifs (exemples) • Avoir des objectifs contradictoires • Minimiser le temps de parcours • Maximiser la vitesse moyenne • Minimiser la consommation de carburant • Telle que définie à partir d’un modèle de consommation de carburant dépendant de la vitesse
  • 67. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Définition des contraintes • V(d)≥0 • A ≤ d ≤ B • Vitesse initiale : V(A)=0 • Vitesse finale : V(B)=0 • Vitesse limite : [V(A),V(A+dd),V(C)]=V1 • Vitesse limite : [V(C),V(C+dd),V(B)]=V2 • Accélération maximale (phases d’accélération et de freinage) : • limité par le jerk maximal • limite la variation de vitesse • Accélération latérale maximale • déduite du rayon de courbure et du dévers • limite la vitesse • Présence d’éléments de l’infrastructure • Intersections (stop, cédez-le-passage, rond-point, feu tricolore, dos d’âne, passage piéton)
  • 68. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Réduction de l’espace de décision V dA B
  • 69. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Problème 2 : planification de vitesse • En utilisant la méthode de l’ε contraint, tracer le front de Pareto (Temps, Consommation) pour un véhicule parcourant une distance D de 4 km à vitesse constante V. • Définir les objectifs et leurs unités. • Définir la ou les variables. • Définir le positionnement du problème. Donner les avantages et inconvénients des problèmes discrets et continus. • Définir les fonctions de coût. • Définir les contraintes sur les variables. • A l’aide de la fonction de coût fournie, résoudre le problème sous Matlab. • Choisir l’objectif à contraindre • Faire varier cet objectif pas à pas puis en déduire la valeur optimale de la vitesse • Tracer les couples Temps, Consommation obtenus • Décrire sur le graphique le front de Pareto, les solutions dominantes et dominées
  • 70. Institut français des sciences et technologies des transports, de l’aménagement et des réseaux www.ifsttar.fr Pour aller plus loin • Adrian M. Owen, Cognitive planning in humans: Neuropsychological, neuroanatomical and neuropharmacological perspectives, Progress in Neurobiology, Volume 53, Issue 4, November 1997, Pages 431-450, ISSN 0301-0082 • Nonlinear Multiobjective optimization, Kaisa Miettinen, Springer Science + Business Media, LLC, ISBN 978-1-4613-7544-9, 1999 • Multi-objective optimization using evolutionnary algorithms, Kalyanmoy Deb, Wiley, ISBN 0-471-87339-X, 2002 • Planning algorithms, Steven M. LaValle, University of Illinois, http://gamma.cs.unc.edu/courses/planning-f07/PAPERS/Lavalle-Planning.pdf • Identifying the causes of road crashes in Europe, Pete Thomas, Andrew Morris, Rachel Talbot, Helen Fagerlind, Annals of Advances in Automotive Medicine • Road users and accident causation. Part 1: Overview and general statistics, Deliverable 1.1, Project No. FP6-2004-IST-4 027763 • Méthodes de l’AG, Vincent Magnin, http://magnin.plil.net/spip.php?article45 • http://quicklatex.com/ • SPEA2: Improving the Strength Pareto Evolutionary Algorithm, Eckart Zitzler, Marco Laumanns, and Lothar Thiele, TIK-Report 103, 2001, http://e- collection.library.ethz.ch/eserv/eth:24689/eth-24689-01.pdf • A Fast and Elitist Multiobjective Genetic Algorithm: NSGA-II, Kalyanmoy Deb, Associate Member, IEEE, Amrit Pratap, Sameer Agarwal, and T. Meyarivan, IEEE transactions on evolutionary computation, vol. 6, no. 2, april 2002