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Préparation E3C 2021
Exercice 1 : Géométrie
Clément Boulonne (CBMaths)
9 mai 2021
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 1 / 31
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question 1
Question 2
Question 3
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 2 / 31
Énoncé
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 3 / 31
Énoncé
E3C2021 - Géométrie
Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place :
le point A sur le segment [IK] tel que
#»
IA =
1
3
#»
IK ;
le point B sur le segment [JK] tel que
# »
JB =
1
3
# »
JK.
Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [
AOB et l'aire du
triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé
(O;
#»
OI,
# »
OJ).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 31
Énoncé
E3C2021 - Géométrie
Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place :
le point A sur le segment [IK] tel que
#»
IA =
1
3
#»
IK ;
le point B sur le segment [JK] tel que
# »
JB =
1
3
# »
JK.
Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [
AOB et l'aire du
triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé
(O;
#»
OI,
# »
OJ).
1 Faire une gure de l'énoncé.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 31
Énoncé
E3C2021 - Géométrie
Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place :
le point A sur le segment [IK] tel que
#»
IA =
1
3
#»
IK ;
le point B sur le segment [JK] tel que
# »
JB =
1
3
# »
JK.
Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [
AOB et l'aire du
triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé
(O;
#»
OI,
# »
OJ).
1 Faire une gure de l'énoncé.
2 On souhaite calculer la mesure de l'angle [
OAB.
a Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.
b Calculer le produit scalaire
# »
OA ·
# »
OB.
c Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la
mesure en degrés de l'angle [
AOB (arrondir au degré près).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 31
Énoncé
E3C2021 - Géométrie
3 Dans cette question, on s'intéresse au calcul de l'aire du triangle OAB.
a Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB).
b On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH ; yH ) du point H.
c Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 31
Énoncé
E3C2021 - Géométrie
Vous pouvez travailler l'exercice puis continuer la lecture de cette
présentation pour dévoiler le corrigé.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 6 / 31
Solutions
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 7 / 31
Solutions Question 1
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question 1
Question 2
Question 3
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 8 / 31
Solutions Question 1
E3C2021 - Géométrie
Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place :
le point A sur le segment [IK] tel que
#»
IA =
1
3
#»
IK ;
le point B sur le segment [JK] tel que
# »
JB =
1
3
# »
JK.
Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [
AOB et l'aire du
triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé
(O;
#»
OI,
# »
OJ).
1 Faire une gure de l'énoncé.
2 On souhaite calculer la mesure de l'angle [
OAB.
a Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.
b Calculer le produit scalaire
# »
OA ·
# »
OB.
c Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la
mesure en degrés de l'angle [
AOB (arrondir au degré près).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 9 / 31
Solutions Question 1
E3C2021 - Géométrie
Faire une gure de l'énoncé.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 31
Solutions Question 1
E3C2021 - Géométrie
Faire une gure de l'énoncé.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 31
Solutions Question 2
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question 1
Question 2
Question 3
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 11 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place :
le point A sur le segment [IK] tel que
#»
IA =
1
3
#»
IK ;
le point B sur le segment [JK] tel que
# »
JB =
1
3
# »
JK.
Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [
AOB et l'aire du
triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé
(O;
#»
OI,
# »
OJ).
1 Faire une gure de l'énoncé.
2 On souhaite calculer la mesure de l'angle [
OAB.
a Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.
b Calculer le produit scalaire
# »
OA ·
# »
OB.
c Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la
mesure en degrés de l'angle [
AOB (arrondir au degré près).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 12 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.
On note A (xA ; yA) les coordonnées du point A. On sait que
#»
IA =
1
3
#»
IK. Le point I a pour coordonnées (1; 0) et K a pour
coordonnées (1; 1) car OIKJ est un carré (
# »
OK =
#»
OI +
# »
OJ).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.
On note A (xA ; yA) les coordonnées du point A. On sait que
#»
IA =
1
3
#»
IK. Le point I a pour coordonnées (1; 0) et K a pour
coordonnées (1; 1) car OIKJ est un carré (
# »
OK =
#»
OI +
# »
OJ).
Ainsi,
#»
IA =
1
3
#»
IK ⇔

xA − 1
yA − 0

=
1
3

0
1

⇔

xA − 1
yA − 0

=

0
1
3

Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.

xA − 1
yA − 0

=

0
1
3

.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 14 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.

xA − 1
yA − 0

=

0
1
3

.
On peut former le système d'équation suivant :
(
xA − 1 = 0
yA − 0 = 1
3
⇔
(
xA = 1
yA = 1
3
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 14 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.

xA − 1
yA − 0

=

0
1
3

.
On peut former le système d'équation suivant :
(
xA − 1 = 0
yA − 0 = 1
3
⇔
(
xA = 1
yA = 1
3
.
Conclusion : A a pour coordonnées

1;
1
3

et
# »
OA

1
1
3

.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 14 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 15 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.
On peut faire le même raisonnement pour trouver les coordonnées du
point B (xB ; yB).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 15 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.
On peut faire le même raisonnement pour trouver les coordonnées du
point B (xB ; yB).

xB − 0
yB − 1

=
1
3
0

⇔
(
xB = 1
3
yB − 1 = 0
⇔
(
xB = 1
3
yB = 1
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 15 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.
On peut faire le même raisonnement pour trouver les coordonnées du
point B (xB ; yB).

xB − 0
yB − 1

=
1
3
0

⇔
(
xB = 1
3
yB − 1 = 0
⇔
(
xB = 1
3
yB = 1
.
Conclusion : B a pour coordonnées

1
3
; 1

et
# »
OB
1
3
1

.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 15 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place :
le point A sur le segment [IK] tel que
#»
IA =
1
3
#»
IK ;
le point B sur le segment [JK] tel que
# »
JB =
1
3
# »
JK.
Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [
AOB et l'aire du
triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé
(O;
#»
OI,
# »
OJ).
1 Faire une gure de l'énoncé.
2 On souhaite calculer la mesure de l'angle [
OAB.
a Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.
b Calculer le produit scalaire
# »
OA ·
# »
OB.
c Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la
mesure en degrés de l'angle [
AOB (arrondir au degré près).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Calculer le produit scalaire
# »
OA ·
# »
OB.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Calculer le produit scalaire
# »
OA ·
# »
OB.
On a :
# »
OA

1
1
3

et
# »
OB
1
3
1

.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Calculer le produit scalaire
# »
OA ·
# »
OB.
On a :
# »
OA

1
1
3

et
# »
OB
1
3
1

.
On peut utiliser la formule des coordonnées pour calculer le produit
scalaire
# »
OA ·
# »
OB.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Calculer le produit scalaire
# »
OA ·
# »
OB.
On a :
# »
OA

1
1
3

et
# »
OB
1
3
1

.
On peut utiliser la formule des coordonnées pour calculer le produit
scalaire
# »
OA ·
# »
OB.
1 ×
1
3
+
1
3
× 1 =
1
3
+
1
3
=
2
3
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Calculer le produit scalaire
# »
OA ·
# »
OB.
On a :
# »
OA

1
1
3

et
# »
OB
1
3
1

.
On peut utiliser la formule des coordonnées pour calculer le produit
scalaire
# »
OA ·
# »
OB.
1 ×
1
3
+
1
3
× 1 =
1
3
+
1
3
=
2
3
.
Conclusion :
# »
OA ·
# »
OB =
2
3
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place :
le point A sur le segment [IK] tel que
#»
IA =
1
3
#»
IK ;
le point B sur le segment [JK] tel que
# »
JB =
1
3
# »
JK.
Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [
AOB et l'aire du
triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé
(O;
#»
OI,
# »
OJ).
1 Faire une gure de l'énoncé.
2 On souhaite calculer la mesure de l'angle [
OAB.
a Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) puis celles des vecteurs
# »
OA et
# »
OB.
b Calculer le produit scalaire
# »
OA ·
# »
OB.
c Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la
mesure en degrés de l'angle [
AOB (arrondir au degré près).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 18 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la
mesure en degrés de l'angle [
AOB (arrondir au degré près).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la
mesure en degrés de l'angle [
AOB (arrondir au degré près).
On rappelle la formule trigonométrique du produit scalaire
# »
OA ·
# »
OB :
# »
OA ·
# »
OB =



# »
OA



 ×



# »
OB



 × cos

(
# »
OA,
# »
OB).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la
mesure en degrés de l'angle [
AOB (arrondir au degré près).
On rappelle la formule trigonométrique du produit scalaire
# »
OA ·
# »
OB :
# »
OA ·
# »
OB =



# »
OA



 ×



# »
OB



 × cos

(
# »
OA,
# »
OB).
On a :
# »
OA

1
1
3

et
# »
OB
1
3
1

, on peut donc calculer la norme du
vecteur
# »
OA et
# »
OB.



# »
OA



 =
s
12 +

1
3
2
=
r
1 +
1
9
=
r
10
9
=
√
10
3



# »
OB



 =
s
1
3
2
+ 12 =
r
1
9
+ 1 =
r
10
9
=
√
10
3
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la
mesure en degrés de l'angle [
AOB (arrondir au degré près).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la
mesure en degrés de l'angle [
AOB (arrondir au degré près).
On peut donc calculer la mesure de l'angle 
(
# »
OA,
# »
OB).
cos

(
# »
OA,
# »
OB) =
# »
OA ·
# »
OB



# »
OA






# »
OB



=
2
3
√
10
3 ×
√
10
3
=
2
3
×
9
√
10 ×
√
10
=
2 × 9
3 × 10
=
18
30
=
3
5
.

(
# »
OA,
# »
OB) = arccos

3
5

≈ 53,13.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 31
Solutions Question 2
E3C2021 - Géométrie
Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la
mesure en degrés de l'angle [
AOB (arrondir au degré près).
On peut donc calculer la mesure de l'angle 
(
# »
OA,
# »
OB).
cos

(
# »
OA,
# »
OB) =
# »
OA ·
# »
OB



# »
OA






# »
OB



=
2
3
√
10
3 ×
√
10
3
=
2
3
×
9
√
10 ×
√
10
=
2 × 9
3 × 10
=
18
30
=
3
5
.

(
# »
OA,
# »
OB) = arccos

3
5

≈ 53,13.
Conclusion : 
(
# »
OA,
# »
OB) = 53.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 31
Solutions Question 3
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question 1
Question 2
Question 3
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 21 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
3 Dans cette question, on s'intéresse au calcul de l'aire du triangle OAB.
a Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB).
b On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH ; yH ) du point H.
c Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 22 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB).
Soit (AB) : y = ax + b l'équation cartésienne de la droite (AB).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB).
Soit (AB) : y = ax + b l'équation cartésienne de la droite (AB).
On connaît les coordonnées des points A

1;
1
3

et B

1
3
; 1

. On
peut donc calculer a le coecient directeur de la droite (AB).
a =
yB − yA
xB − xA
=
1 − 1
3
1
3 − 1
=
2
3
−2
3
= −1
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB).
Soit (AB) : y = ax + b l'équation cartésienne de la droite (AB).
On connaît les coordonnées des points A

1;
1
3

et B

1
3
; 1

. On
peut donc calculer a le coecient directeur de la droite (AB).
a =
yB − yA
xB − xA
=
1 − 1
3
1
3 − 1
=
2
3
−2
3
= −1
On a alors : (AB) = y = −x + b et A

1;
1
3

∈ (AB). On peut donc
calculer b l'ordonnée à l'origine de la droite (AB) :
1
3
= −1 + b ⇔ b =
1
3
+ 1 ⇔ b =
4
3
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB).
Soit (AB) : y = ax + b l'équation cartésienne de la droite (AB).
On connaît les coordonnées des points A

1;
1
3

et B

1
3
; 1

. On
peut donc calculer a le coecient directeur de la droite (AB).
a =
yB − yA
xB − xA
=
1 − 1
3
1
3 − 1
=
2
3
−2
3
= −1
On a alors : (AB) = y = −x + b et A

1;
1
3

∈ (AB). On peut donc
calculer b l'ordonnée à l'origine de la droite (AB) :
1
3
= −1 + b ⇔ b =
1
3
+ 1 ⇔ b =
4
3
.
Conclusion : (AB) : y = −x +
4
3
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
3 Dans cette question, on s'intéresse au calcul de l'aire du triangle OAB.
a Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB).
b On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH ; yH ) du point H.
c Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 24 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH; yH) du point H.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH; yH) du point H.
Par dénition du projeté orthogonal, on sait que :
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH; yH) du point H.
Par dénition du projeté orthogonal, on sait que :
H ∈ (AB) ;
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH; yH) du point H.
Par dénition du projeté orthogonal, on sait que :
H ∈ (AB) ;
# »
OH ·
# »
AB = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH; yH) du point H.
Par dénition du projeté orthogonal, on sait que :
H ∈ (AB) ;
# »
OH ·
# »
AB = 0.
H a pour coordonnées (xH ; yH) donc
# »
OH a pour coordonnées

xH
yH

.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH; yH) du point H.
Par dénition du projeté orthogonal, on sait que :
H ∈ (AB) ;
# »
OH ·
# »
AB = 0.
H a pour coordonnées (xH ; yH) donc
# »
OH a pour coordonnées

xH
yH

.
Les coordonnées du vecteur
# »
AB se calculent facilement :
# »
AB

xB − xA
yB − yA

;
# »
AB
1
3 − 1
1 − 1
3

;
# »
AB

−2
3
2
3

Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH; yH) du point H.
Par dénition du projeté orthogonal, on sait que :
H ∈ (AB) ;
# »
OH ·
# »
AB = 0.
H a pour coordonnées (xH ; yH) donc
# »
OH a pour coordonnées

xH
yH

.
Les coordonnées du vecteur
# »
AB se calculent facilement :
# »
AB

xB − xA
yB − yA

;
# »
AB
1
3 − 1
1 − 1
3

;
# »
AB

−2
3
2
3

On peut donc former l'équation suivante :
# »
OH ·
# »
AB = 0 ⇔ −
2
3
xH +
2
3
yH = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH; yH) du point H.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH; yH) du point H.
Pour déterminer les coordonnées du point H, on doit donc résoudre le
système d'équations suivant :
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH; yH) du point H.
Pour déterminer les coordonnées du point H, on doit donc résoudre le
système d'équations suivant :
(
yH = −xH + 4
3
−2
3xH + 2
3yH = 0
⇔
(
yH = −xH + 4
3
−2
3xH + 2
3 −xH + 4
3

= 0
⇔
(
yH = −xH + 4
3
−2
3xH − 2
3xH + 8
9 = 0
⇔
(
yH = −xH + 4
3
−4
3xH = −8
9
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH; yH) du point H.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH; yH) du point H.
(
yH = −xH + 4
3
−2
3xH + 2
3yH = 0
⇔
(
yH = −xH + 4
3
−4
3xH = −8
9
⇔
(
yH = −xH + 4
3
xH = 8
9 × 3
4
⇔
(
yH = −2
3 + 4
3
xH = 2
3
⇔
(
yH = 2
3
xH = 2
3
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH; yH) du point H.
(
yH = −xH + 4
3
−2
3xH + 2
3yH = 0
⇔
(
yH = −xH + 4
3
−4
3xH = −8
9
⇔
(
yH = −xH + 4
3
xH = 8
9 × 3
4
⇔
(
yH = −2
3 + 4
3
xH = 2
3
⇔
(
yH = 2
3
xH = 2
3
Conclusion : H a pour coordonnées

2
3
;
2
3

.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Conclusion : H a pour coordonnées

2
3
;
2
3

.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Conclusion : H a pour coordonnées

2
3
;
2
3

.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
3 Dans cette question, on s'intéresse au calcul de l'aire du triangle OAB.
a Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB).
b On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer
les coordonnées (xH ; yH ) du point H.
c Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 29 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 30 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB.
On calcule la norme des vecteurs
# »
OH et
# »
AB :
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 30 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB.
On calcule la norme des vecteurs
# »
OH et
# »
AB :
OH =



# »
OH



 =
s
2
3
2
+

2
3
2
=
r
2 ×
4
9
=
√
8
3
.
AB =



# »
AB



 =
s
−
2
3
2
+

2
3
2
=
r
2 ×
4
9
=
√
8
3
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 30 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB.
Or : le carré OIKJ a pour côté 6 cm donc une unité d'aire du repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) correspond à 6 × 6 cm2.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB.
Or : le carré OIKJ a pour côté 6 cm donc une unité d'aire du repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) correspond à 6 × 6 cm2.
Donc :
AOAB =
1
2
×
√
8
3
×
√
8
3
× 62
=
8 × 36
18
= 8 × 2 = 16 cm2
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 31
Solutions Question 3
E3C2021 - Géométrie
Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB.
Or : le carré OIKJ a pour côté 6 cm donc une unité d'aire du repère
(O;
#»
OI,
# »
OJ) correspond à 6 × 6 cm2.
Donc :
AOAB =
1
2
×
√
8
3
×
√
8
3
× 62
=
8 × 36
18
= 8 × 2 = 16 cm2
.
Conclusion : le triangle OAB a une aire de 16 cm2.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 31

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Préparation E3C 2021 - Exercice 1 : Géométrie

  • 1. Préparation E3C 2021 Exercice 1 : Géométrie Clément Boulonne (CBMaths) 9 mai 2021 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 1 / 31
  • 2. Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Question 1 Question 2 Question 3 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 2 / 31
  • 3. Énoncé Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 3 / 31
  • 4. Énoncé E3C2021 - Géométrie Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place : le point A sur le segment [IK] tel que #» IA = 1 3 #» IK ; le point B sur le segment [JK] tel que # » JB = 1 3 # » JK. Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [ AOB et l'aire du triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé (O; #» OI, # » OJ). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 31
  • 5. Énoncé E3C2021 - Géométrie Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place : le point A sur le segment [IK] tel que #» IA = 1 3 #» IK ; le point B sur le segment [JK] tel que # » JB = 1 3 # » JK. Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [ AOB et l'aire du triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé (O; #» OI, # » OJ). 1 Faire une gure de l'énoncé. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 31
  • 6. Énoncé E3C2021 - Géométrie Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place : le point A sur le segment [IK] tel que #» IA = 1 3 #» IK ; le point B sur le segment [JK] tel que # » JB = 1 3 # » JK. Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [ AOB et l'aire du triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé (O; #» OI, # » OJ). 1 Faire une gure de l'énoncé. 2 On souhaite calculer la mesure de l'angle [ OAB. a Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. b Calculer le produit scalaire # » OA · # » OB. c Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la mesure en degrés de l'angle [ AOB (arrondir au degré près). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 31
  • 7. Énoncé E3C2021 - Géométrie 3 Dans cette question, on s'intéresse au calcul de l'aire du triangle OAB. a Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB). b On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH ; yH ) du point H. c Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 31
  • 8. Énoncé E3C2021 - Géométrie Vous pouvez travailler l'exercice puis continuer la lecture de cette présentation pour dévoiler le corrigé. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 6 / 31
  • 9. Solutions Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 7 / 31
  • 10. Solutions Question 1 Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Question 1 Question 2 Question 3 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 8 / 31
  • 11. Solutions Question 1 E3C2021 - Géométrie Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place : le point A sur le segment [IK] tel que #» IA = 1 3 #» IK ; le point B sur le segment [JK] tel que # » JB = 1 3 # » JK. Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [ AOB et l'aire du triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé (O; #» OI, # » OJ). 1 Faire une gure de l'énoncé. 2 On souhaite calculer la mesure de l'angle [ OAB. a Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. b Calculer le produit scalaire # » OA · # » OB. c Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la mesure en degrés de l'angle [ AOB (arrondir au degré près). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 9 / 31
  • 12. Solutions Question 1 E3C2021 - Géométrie Faire une gure de l'énoncé. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 31
  • 13. Solutions Question 1 E3C2021 - Géométrie Faire une gure de l'énoncé. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 31
  • 14. Solutions Question 2 Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Question 1 Question 2 Question 3 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 11 / 31
  • 15. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place : le point A sur le segment [IK] tel que #» IA = 1 3 #» IK ; le point B sur le segment [JK] tel que # » JB = 1 3 # » JK. Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [ AOB et l'aire du triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé (O; #» OI, # » OJ). 1 Faire une gure de l'énoncé. 2 On souhaite calculer la mesure de l'angle [ OAB. a Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. b Calculer le produit scalaire # » OA · # » OB. c Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la mesure en degrés de l'angle [ AOB (arrondir au degré près). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 12 / 31
  • 16. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 31
  • 17. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. On note A (xA ; yA) les coordonnées du point A. On sait que #» IA = 1 3 #» IK. Le point I a pour coordonnées (1; 0) et K a pour coordonnées (1; 1) car OIKJ est un carré ( # » OK = #» OI + # » OJ). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 31
  • 18. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. On note A (xA ; yA) les coordonnées du point A. On sait que #» IA = 1 3 #» IK. Le point I a pour coordonnées (1; 0) et K a pour coordonnées (1; 1) car OIKJ est un carré ( # » OK = #» OI + # » OJ). Ainsi, #» IA = 1 3 #» IK ⇔ xA − 1 yA − 0 = 1 3 0 1 ⇔ xA − 1 yA − 0 = 0 1 3 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 31
  • 19. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. xA − 1 yA − 0 = 0 1 3 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 14 / 31
  • 20. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. xA − 1 yA − 0 = 0 1 3 . On peut former le système d'équation suivant : ( xA − 1 = 0 yA − 0 = 1 3 ⇔ ( xA = 1 yA = 1 3 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 14 / 31
  • 21. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. xA − 1 yA − 0 = 0 1 3 . On peut former le système d'équation suivant : ( xA − 1 = 0 yA − 0 = 1 3 ⇔ ( xA = 1 yA = 1 3 . Conclusion : A a pour coordonnées 1; 1 3 et # » OA 1 1 3 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 14 / 31
  • 22. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 15 / 31
  • 23. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. On peut faire le même raisonnement pour trouver les coordonnées du point B (xB ; yB). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 15 / 31
  • 24. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. On peut faire le même raisonnement pour trouver les coordonnées du point B (xB ; yB). xB − 0 yB − 1 = 1 3 0 ⇔ ( xB = 1 3 yB − 1 = 0 ⇔ ( xB = 1 3 yB = 1 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 15 / 31
  • 25. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. On peut faire le même raisonnement pour trouver les coordonnées du point B (xB ; yB). xB − 0 yB − 1 = 1 3 0 ⇔ ( xB = 1 3 yB − 1 = 0 ⇔ ( xB = 1 3 yB = 1 . Conclusion : B a pour coordonnées 1 3 ; 1 et # » OB 1 3 1 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 15 / 31
  • 26. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place : le point A sur le segment [IK] tel que #» IA = 1 3 #» IK ; le point B sur le segment [JK] tel que # » JB = 1 3 # » JK. Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [ AOB et l'aire du triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé (O; #» OI, # » OJ). 1 Faire une gure de l'énoncé. 2 On souhaite calculer la mesure de l'angle [ OAB. a Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. b Calculer le produit scalaire # » OA · # » OB. c Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la mesure en degrés de l'angle [ AOB (arrondir au degré près). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 31
  • 27. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Calculer le produit scalaire # » OA · # » OB. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 31
  • 28. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Calculer le produit scalaire # » OA · # » OB. On a : # » OA 1 1 3 et # » OB 1 3 1 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 31
  • 29. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Calculer le produit scalaire # » OA · # » OB. On a : # » OA 1 1 3 et # » OB 1 3 1 . On peut utiliser la formule des coordonnées pour calculer le produit scalaire # » OA · # » OB. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 31
  • 30. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Calculer le produit scalaire # » OA · # » OB. On a : # » OA 1 1 3 et # » OB 1 3 1 . On peut utiliser la formule des coordonnées pour calculer le produit scalaire # » OA · # » OB. 1 × 1 3 + 1 3 × 1 = 1 3 + 1 3 = 2 3 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 31
  • 31. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Calculer le produit scalaire # » OA · # » OB. On a : # » OA 1 1 3 et # » OB 1 3 1 . On peut utiliser la formule des coordonnées pour calculer le produit scalaire # » OA · # » OB. 1 × 1 3 + 1 3 × 1 = 1 3 + 1 3 = 2 3 . Conclusion : # » OA · # » OB = 2 3 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 31
  • 32. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Soit OIKJ un carré de 6 cm de côté. On place : le point A sur le segment [IK] tel que #» IA = 1 3 #» IK ; le point B sur le segment [JK] tel que # » JB = 1 3 # » JK. Le but de l'exercice est de calculer la mesure de l'angle [ AOB et l'aire du triangle OAB. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé (O; #» OI, # » OJ). 1 Faire une gure de l'énoncé. 2 On souhaite calculer la mesure de l'angle [ OAB. a Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère (O; #» OI, # » OJ) puis celles des vecteurs # » OA et # » OB. b Calculer le produit scalaire # » OA · # » OB. c Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la mesure en degrés de l'angle [ AOB (arrondir au degré près). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 18 / 31
  • 33. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la mesure en degrés de l'angle [ AOB (arrondir au degré près). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 31
  • 34. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la mesure en degrés de l'angle [ AOB (arrondir au degré près). On rappelle la formule trigonométrique du produit scalaire # » OA · # » OB : # » OA · # » OB = # » OA × # » OB × cos ( # » OA, # » OB). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 31
  • 35. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la mesure en degrés de l'angle [ AOB (arrondir au degré près). On rappelle la formule trigonométrique du produit scalaire # » OA · # » OB : # » OA · # » OB = # » OA × # » OB × cos ( # » OA, # » OB). On a : # » OA 1 1 3 et # » OB 1 3 1 , on peut donc calculer la norme du vecteur # » OA et # » OB. # » OA = s 12 + 1 3 2 = r 1 + 1 9 = r 10 9 = √ 10 3 # » OB = s 1 3 2 + 12 = r 1 9 + 1 = r 10 9 = √ 10 3 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 31
  • 36. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la mesure en degrés de l'angle [ AOB (arrondir au degré près). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 31
  • 37. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la mesure en degrés de l'angle [ AOB (arrondir au degré près). On peut donc calculer la mesure de l'angle ( # » OA, # » OB). cos ( # » OA, # » OB) = # » OA · # » OB # » OA # » OB = 2 3 √ 10 3 × √ 10 3 = 2 3 × 9 √ 10 × √ 10 = 2 × 9 3 × 10 = 18 30 = 3 5 . ( # » OA, # » OB) = arccos 3 5 ≈ 53,13. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 31
  • 38. Solutions Question 2 E3C2021 - Géométrie Rappeler la formule trigonométrique du produit scalaire et calculer la mesure en degrés de l'angle [ AOB (arrondir au degré près). On peut donc calculer la mesure de l'angle ( # » OA, # » OB). cos ( # » OA, # » OB) = # » OA · # » OB # » OA # » OB = 2 3 √ 10 3 × √ 10 3 = 2 3 × 9 √ 10 × √ 10 = 2 × 9 3 × 10 = 18 30 = 3 5 . ( # » OA, # » OB) = arccos 3 5 ≈ 53,13. Conclusion : ( # » OA, # » OB) = 53. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 31
  • 39. Solutions Question 3 Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Question 1 Question 2 Question 3 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 21 / 31
  • 40. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie 3 Dans cette question, on s'intéresse au calcul de l'aire du triangle OAB. a Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB). b On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH ; yH ) du point H. c Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 22 / 31
  • 41. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 31
  • 42. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB). Soit (AB) : y = ax + b l'équation cartésienne de la droite (AB). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 31
  • 43. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB). Soit (AB) : y = ax + b l'équation cartésienne de la droite (AB). On connaît les coordonnées des points A 1; 1 3 et B 1 3 ; 1 . On peut donc calculer a le coecient directeur de la droite (AB). a = yB − yA xB − xA = 1 − 1 3 1 3 − 1 = 2 3 −2 3 = −1 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 31
  • 44. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB). Soit (AB) : y = ax + b l'équation cartésienne de la droite (AB). On connaît les coordonnées des points A 1; 1 3 et B 1 3 ; 1 . On peut donc calculer a le coecient directeur de la droite (AB). a = yB − yA xB − xA = 1 − 1 3 1 3 − 1 = 2 3 −2 3 = −1 On a alors : (AB) = y = −x + b et A 1; 1 3 ∈ (AB). On peut donc calculer b l'ordonnée à l'origine de la droite (AB) : 1 3 = −1 + b ⇔ b = 1 3 + 1 ⇔ b = 4 3 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 31
  • 45. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB). Soit (AB) : y = ax + b l'équation cartésienne de la droite (AB). On connaît les coordonnées des points A 1; 1 3 et B 1 3 ; 1 . On peut donc calculer a le coecient directeur de la droite (AB). a = yB − yA xB − xA = 1 − 1 3 1 3 − 1 = 2 3 −2 3 = −1 On a alors : (AB) = y = −x + b et A 1; 1 3 ∈ (AB). On peut donc calculer b l'ordonnée à l'origine de la droite (AB) : 1 3 = −1 + b ⇔ b = 1 3 + 1 ⇔ b = 4 3 . Conclusion : (AB) : y = −x + 4 3 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 31
  • 46. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie 3 Dans cette question, on s'intéresse au calcul de l'aire du triangle OAB. a Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB). b On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH ; yH ) du point H. c Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 24 / 31
  • 47. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH; yH) du point H. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
  • 48. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH; yH) du point H. Par dénition du projeté orthogonal, on sait que : Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
  • 49. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH; yH) du point H. Par dénition du projeté orthogonal, on sait que : H ∈ (AB) ; Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
  • 50. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH; yH) du point H. Par dénition du projeté orthogonal, on sait que : H ∈ (AB) ; # » OH · # » AB = 0. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
  • 51. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH; yH) du point H. Par dénition du projeté orthogonal, on sait que : H ∈ (AB) ; # » OH · # » AB = 0. H a pour coordonnées (xH ; yH) donc # » OH a pour coordonnées xH yH . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
  • 52. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH; yH) du point H. Par dénition du projeté orthogonal, on sait que : H ∈ (AB) ; # » OH · # » AB = 0. H a pour coordonnées (xH ; yH) donc # » OH a pour coordonnées xH yH . Les coordonnées du vecteur # » AB se calculent facilement : # » AB xB − xA yB − yA ; # » AB 1 3 − 1 1 − 1 3 ; # » AB −2 3 2 3 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
  • 53. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH; yH) du point H. Par dénition du projeté orthogonal, on sait que : H ∈ (AB) ; # » OH · # » AB = 0. H a pour coordonnées (xH ; yH) donc # » OH a pour coordonnées xH yH . Les coordonnées du vecteur # » AB se calculent facilement : # » AB xB − xA yB − yA ; # » AB 1 3 − 1 1 − 1 3 ; # » AB −2 3 2 3 On peut donc former l'équation suivante : # » OH · # » AB = 0 ⇔ − 2 3 xH + 2 3 yH = 0. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 31
  • 54. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH; yH) du point H. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 31
  • 55. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH; yH) du point H. Pour déterminer les coordonnées du point H, on doit donc résoudre le système d'équations suivant : Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 31
  • 56. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH; yH) du point H. Pour déterminer les coordonnées du point H, on doit donc résoudre le système d'équations suivant : ( yH = −xH + 4 3 −2 3xH + 2 3yH = 0 ⇔ ( yH = −xH + 4 3 −2 3xH + 2 3 −xH + 4 3 = 0 ⇔ ( yH = −xH + 4 3 −2 3xH − 2 3xH + 8 9 = 0 ⇔ ( yH = −xH + 4 3 −4 3xH = −8 9 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 31
  • 57. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH; yH) du point H. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 31
  • 58. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH; yH) du point H. ( yH = −xH + 4 3 −2 3xH + 2 3yH = 0 ⇔ ( yH = −xH + 4 3 −4 3xH = −8 9 ⇔ ( yH = −xH + 4 3 xH = 8 9 × 3 4 ⇔ ( yH = −2 3 + 4 3 xH = 2 3 ⇔ ( yH = 2 3 xH = 2 3 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 31
  • 59. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH; yH) du point H. ( yH = −xH + 4 3 −2 3xH + 2 3yH = 0 ⇔ ( yH = −xH + 4 3 −4 3xH = −8 9 ⇔ ( yH = −xH + 4 3 xH = 8 9 × 3 4 ⇔ ( yH = −2 3 + 4 3 xH = 2 3 ⇔ ( yH = 2 3 xH = 2 3 Conclusion : H a pour coordonnées 2 3 ; 2 3 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 31
  • 60. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Conclusion : H a pour coordonnées 2 3 ; 2 3 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 31
  • 61. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Conclusion : H a pour coordonnées 2 3 ; 2 3 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 31
  • 62. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie 3 Dans cette question, on s'intéresse au calcul de l'aire du triangle OAB. a Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB). b On note H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Déterminer les coordonnées (xH ; yH ) du point H. c Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 29 / 31
  • 63. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 30 / 31
  • 64. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB. On calcule la norme des vecteurs # » OH et # » AB : Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 30 / 31
  • 65. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB. On calcule la norme des vecteurs # » OH et # » AB : OH = # » OH = s 2 3 2 + 2 3 2 = r 2 × 4 9 = √ 8 3 . AB = # » AB = s − 2 3 2 + 2 3 2 = r 2 × 4 9 = √ 8 3 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 30 / 31
  • 66. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 31
  • 67. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB. Or : le carré OIKJ a pour côté 6 cm donc une unité d'aire du repère (O; #» OI, # » OJ) correspond à 6 × 6 cm2. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 31
  • 68. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB. Or : le carré OIKJ a pour côté 6 cm donc une unité d'aire du repère (O; #» OI, # » OJ) correspond à 6 × 6 cm2. Donc : AOAB = 1 2 × √ 8 3 × √ 8 3 × 62 = 8 × 36 18 = 8 × 2 = 16 cm2 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 31
  • 69. Solutions Question 3 E3C2021 - Géométrie Calculer OH et AB puis en déduire l'aire du triangle OAB. Or : le carré OIKJ a pour côté 6 cm donc une unité d'aire du repère (O; #» OI, # » OJ) correspond à 6 × 6 cm2. Donc : AOAB = 1 2 × √ 8 3 × √ 8 3 × 62 = 8 × 36 18 = 8 × 2 = 16 cm2 . Conclusion : le triangle OAB a une aire de 16 cm2. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 31