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CCS Mathématiques Oct 2015
EB9 Révision( EB8)
Nom :……………………………………
 Lieu géométriques d’un point variable M.
Points fixes Point variable M Lieu géométrique du M
A et B MA= MB Médiatrice du segment [AB]
E et F E , F et M sont alignés La droite (EF)
Point O OM= b (constant) Cercle de centre O et de rayon b
Droite (l) Distance de M à (l)= c
(constant)
(𝑙1) ou ( 𝑙2) ;
(𝑙1) et ( 𝑙2) sont parallèles à (l) et a
distance b de (l).
Angle x𝑂̂y M restant équidistant de [Ox)
et [Oy)
Bissectrice (extérieure ou intérieure)
de x𝑂̂y
( 𝑑1)// ( 𝑑2) M restant équidistant de( 𝑑1)
et ( 𝑑2)
M appartient à la droite (d) //
( 𝑑1)//( 𝑑2)
Et a même distance de ( 𝑑1)et ( 𝑑2)
 Equations
Si ( 𝑎𝑥 + 𝑏)( 𝑐𝑥 + 𝑑) = 0, alors 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑒𝑡𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
Si 𝑥² − 𝑘 = 0 , alors 𝑥 = √ 𝑘 ou 𝑥 = −√ 𝑘
 Inéquation
Si 𝑎𝑥 − 𝑏 > 0 𝑒𝑡𝑎 > 0, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠𝑥 >
𝑏
𝑎
Si 𝑎𝑥 − 𝑏 > 0 𝑒𝑡𝑎 < 0, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠𝑥 <
𝑏
𝑎
 Puissances ;facteurs premiers ; PGCD ; PPCM
𝑎 𝑛
× 𝑎 𝑚
= 𝑎 𝑛+𝑚
; 𝑎 𝑛
÷ 𝑎 𝑚
= 𝑎 𝑛−𝑚
; ( 𝑎 𝑛) 𝑚
= 𝑎 𝑛×𝑚
( 𝑎 × 𝑏) 𝑛
= 𝑎 𝑛
× 𝑏 𝑛
; (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
; 𝑎0
= 1 ( 𝑎 ≠ 0); 𝑎1
= 𝑎
900 = 2² × 3² × 5² ; 140 = 2² × 5 × 7 ; 1300 = 2² × 5² × 13
𝑃𝐺𝐶𝐷(900;140 ; 1300)= 2² × 5
𝑃𝑃𝐶𝑀(900;140;1300) = 2² × 3² × 5² × 7 × 13.
 Identités
( 𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²
( 𝑎 − 𝑏)2
= 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Page 2 de 5
( 𝑎 − 𝑏)( 𝑎 + 𝑏) = 𝑎² − 𝑏²
 Le théorème des milieux
 Dans un triangle, le segment joignant les milieux de
deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté
et égal à sa moitié.
𝑀𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢𝑑𝑒[ 𝐴𝐵]
𝑁𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢𝑑𝑒 [𝐴𝐶]
} MN =
𝐵𝐶
2
Et (MN) // (BC)
 Dans un trapèze, le segment joignant les
milieux des côtés non-parallèles est
parallèle aux deux bases et vaut la moitié de
la somme des longueurs de deux bases.
M et N sont les milieux respectifs de [AD]
et [BC].
- [MN] est la base moyenne de ABCD.
- (AB)// (MN)// (CD)
- MN =
𝐴𝐵+𝐶𝐷
2
 Milieu : A( a ; b) ; B( c ; d)
Si M milieu de [AB], alors 𝑥 𝑀 =
𝑎+𝑐
2
et 𝑦 𝑀 =
𝑏+𝑑
2
 Triangle rectangle
 Théorème de Pythagore dans un triangle
rectangle :
- Si B𝐴̂C= 90° alors : 𝐵𝐶² = 𝐴𝐵²+ 𝐴𝐶².
- Si 𝐵𝐶2
= 𝐴𝐵2
+ 𝐴𝐶², alors B𝐴̂C= 90°.
 Deux triangles rectangles sont égaux ; si les deux triangles ayant
l’hypoténuse égale et un côté de l’angle droit sont égaux.
 Un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est un
côté du triangle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est
son hypoténuse
Page 3 de 5
 Si dans un triangle, la longueur d’un côté vaut la
double de celle de la médiane relative à
l’hypoténuse, alors ce triangle est rectangle et ce
côté est son hypoténuse.
- M milieu de [BC]
- AM =
𝐵𝐶
2
Ou BC = 2AM Ou AM=CM = MB
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 Alors comment on peut démontrer qu’un triangle est rectangle ?
1- Un angle droit.
2- Théorème de Pythagore.
3- Théorème de milieux.
4- ABC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [BC].
 Translation
- Un translation conserve : l’alignement des points, les longueurs, ;a parallélisme, les
angles et les aires des surfaces.
- Le translaté d’une figure est une figure qui lui est égale ( une figure est son translaté
sont égaux)
- Si M est la translaté ( l’image) de N par une translation de vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , alors 𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .
- Deux vecteurs sont s’ils ont même direction , même sens, même module.
 Arcs et angles
On considère un cercle de centre O et de rayon R,
un angle A𝑶̂ 𝑩 qui intercepte l’arc 𝑨𝑩̂ .
 Par Convention : 𝑚𝑒𝑠 𝐴𝐵̂ = 𝐴𝑂̂ 𝐵
 L’aire du cercle est 𝜋𝑅².
 Le périmètre du cercle est 2𝜋𝑅.
 La longueur de l’arc 𝐴𝐵̂ =
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180°
 L’aire du secteur circulaire
𝐴𝑂𝐵̂=
𝜋𝑅²×𝑚𝑒𝑠 𝐴𝐵̂
360°
Page 4 de 5
 Angles et arcs
𝐵𝐶̂ 𝐴 =
𝑚𝑒𝑠𝐴𝐵̂
2
𝐷𝐴̂ 𝑢 =
𝑚𝑒𝑠 𝐴𝐷̂
2
𝐴𝐸̂ 𝐵 =
𝑚𝑒𝑠𝐴𝐵̂ + 𝑚𝑒𝑠𝐶𝐷̂
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𝐵𝐴̂ 𝐶 =
𝑚𝑒𝑠𝐵𝐶̂ − 𝑚𝑒𝑠𝐷𝐸̂
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 Aires et périmètres
 L’aire d’un carré= 𝐶² où c = côté.
Le périmètre d’un carré= 4C
 L’aire d’un rectangle = L× 𝑙 où l= largeur et L= longueur
Le périmètre d’un rectangle = 2(𝐿 + 𝑙)
 L’aire d’un trapèze =
(𝐵+𝑏)×ℎ
2
où b = petit base , B= grand base et h= hauteur.
 L’aire d’un losange
𝐷×𝑑
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où d et D sont les diagonales
 Trapèze
- Un trapèze est dit isocèle si les côtés non parallèles sont égaux
- Un trapèze est dit isocèle si les diagonales sont égales.
- L’aire du trapèze est égale à
ℎ×(𝑏+𝐵)
2
 Droites parallèles et angles
Si deux droites sont parallèles et coupées par un
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Rappel eb8

  • 1. Page 1 de 5 CCS Mathématiques Oct 2015 EB9 Révision( EB8) Nom :……………………………………  Lieu géométriques d’un point variable M. Points fixes Point variable M Lieu géométrique du M A et B MA= MB Médiatrice du segment [AB] E et F E , F et M sont alignés La droite (EF) Point O OM= b (constant) Cercle de centre O et de rayon b Droite (l) Distance de M à (l)= c (constant) (𝑙1) ou ( 𝑙2) ; (𝑙1) et ( 𝑙2) sont parallèles à (l) et a distance b de (l). Angle x𝑂̂y M restant équidistant de [Ox) et [Oy) Bissectrice (extérieure ou intérieure) de x𝑂̂y ( 𝑑1)// ( 𝑑2) M restant équidistant de( 𝑑1) et ( 𝑑2) M appartient à la droite (d) // ( 𝑑1)//( 𝑑2) Et a même distance de ( 𝑑1)et ( 𝑑2)  Equations Si ( 𝑎𝑥 + 𝑏)( 𝑐𝑥 + 𝑑) = 0, alors 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑒𝑡𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 Si 𝑥² − 𝑘 = 0 , alors 𝑥 = √ 𝑘 ou 𝑥 = −√ 𝑘  Inéquation Si 𝑎𝑥 − 𝑏 > 0 𝑒𝑡𝑎 > 0, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠𝑥 > 𝑏 𝑎 Si 𝑎𝑥 − 𝑏 > 0 𝑒𝑡𝑎 < 0, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠𝑥 < 𝑏 𝑎  Puissances ;facteurs premiers ; PGCD ; PPCM 𝑎 𝑛 × 𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛+𝑚 ; 𝑎 𝑛 ÷ 𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛−𝑚 ; ( 𝑎 𝑛) 𝑚 = 𝑎 𝑛×𝑚 ( 𝑎 × 𝑏) 𝑛 = 𝑎 𝑛 × 𝑏 𝑛 ; ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ; 𝑎0 = 1 ( 𝑎 ≠ 0); 𝑎1 = 𝑎 900 = 2² × 3² × 5² ; 140 = 2² × 5 × 7 ; 1300 = 2² × 5² × 13 𝑃𝐺𝐶𝐷(900;140 ; 1300)= 2² × 5 𝑃𝑃𝐶𝑀(900;140;1300) = 2² × 3² × 5² × 7 × 13.  Identités ( 𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² ( 𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
  • 2. Page 2 de 5 ( 𝑎 − 𝑏)( 𝑎 + 𝑏) = 𝑎² − 𝑏²  Le théorème des milieux  Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté et égal à sa moitié. 𝑀𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢𝑑𝑒[ 𝐴𝐵] 𝑁𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢𝑑𝑒 [𝐴𝐶] } MN = 𝐵𝐶 2 Et (MN) // (BC)  Dans un trapèze, le segment joignant les milieux des côtés non-parallèles est parallèle aux deux bases et vaut la moitié de la somme des longueurs de deux bases. M et N sont les milieux respectifs de [AD] et [BC]. - [MN] est la base moyenne de ABCD. - (AB)// (MN)// (CD) - MN = 𝐴𝐵+𝐶𝐷 2  Milieu : A( a ; b) ; B( c ; d) Si M milieu de [AB], alors 𝑥 𝑀 = 𝑎+𝑐 2 et 𝑦 𝑀 = 𝑏+𝑑 2  Triangle rectangle  Théorème de Pythagore dans un triangle rectangle : - Si B𝐴̂C= 90° alors : 𝐵𝐶² = 𝐴𝐵²+ 𝐴𝐶². - Si 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶², alors B𝐴̂C= 90°.  Deux triangles rectangles sont égaux ; si les deux triangles ayant l’hypoténuse égale et un côté de l’angle droit sont égaux.  Un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est un côté du triangle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse
  • 3. Page 3 de 5  Si dans un triangle, la longueur d’un côté vaut la double de celle de la médiane relative à l’hypoténuse, alors ce triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse. - M milieu de [BC] - AM = 𝐵𝐶 2 Ou BC = 2AM Ou AM=CM = MB - Alors ABC est un triangle rectangle en A.  Alors comment on peut démontrer qu’un triangle est rectangle ? 1- Un angle droit. 2- Théorème de Pythagore. 3- Théorème de milieux. 4- ABC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [BC].  Translation - Un translation conserve : l’alignement des points, les longueurs, ;a parallélisme, les angles et les aires des surfaces. - Le translaté d’une figure est une figure qui lui est égale ( une figure est son translaté sont égaux) - Si M est la translaté ( l’image) de N par une translation de vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , alors 𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . - Deux vecteurs sont s’ils ont même direction , même sens, même module.  Arcs et angles On considère un cercle de centre O et de rayon R, un angle A𝑶̂ 𝑩 qui intercepte l’arc 𝑨𝑩̂ .  Par Convention : 𝑚𝑒𝑠 𝐴𝐵̂ = 𝐴𝑂̂ 𝐵  L’aire du cercle est 𝜋𝑅².  Le périmètre du cercle est 2𝜋𝑅.  La longueur de l’arc 𝐴𝐵̂ = 𝜋𝑅 ×𝑚𝑒𝑠𝐴𝐵̂ 180°  L’aire du secteur circulaire 𝐴𝑂𝐵̂= 𝜋𝑅²×𝑚𝑒𝑠 𝐴𝐵̂ 360°
  • 4. Page 4 de 5  Angles et arcs 𝐵𝐶̂ 𝐴 = 𝑚𝑒𝑠𝐴𝐵̂ 2 𝐷𝐴̂ 𝑢 = 𝑚𝑒𝑠 𝐴𝐷̂ 2 𝐴𝐸̂ 𝐵 = 𝑚𝑒𝑠𝐴𝐵̂ + 𝑚𝑒𝑠𝐶𝐷̂ 2 𝐵𝐴̂ 𝐶 = 𝑚𝑒𝑠𝐵𝐶̂ − 𝑚𝑒𝑠𝐷𝐸̂ 2
  • 5. Page 5 de 5  Aires et périmètres  L’aire d’un carré= 𝐶² où c = côté. Le périmètre d’un carré= 4C  L’aire d’un rectangle = L× 𝑙 où l= largeur et L= longueur Le périmètre d’un rectangle = 2(𝐿 + 𝑙)  L’aire d’un trapèze = (𝐵+𝑏)×ℎ 2 où b = petit base , B= grand base et h= hauteur.  L’aire d’un losange 𝐷×𝑑 2 où d et D sont les diagonales  Trapèze - Un trapèze est dit isocèle si les côtés non parallèles sont égaux - Un trapèze est dit isocèle si les diagonales sont égales. - L’aire du trapèze est égale à ℎ×(𝑏+𝐵) 2  Droites parallèles et angles Si deux droites sont parallèles et coupées par un sécante alors : - Angles correspondants sont égaux. - Angles alternes sont égaux.