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Journal des Sciences Pour l’Ingénieur N°
14 (2012) 1 - 7
www.jspi.sn
Résistance d’un poteau en béton présentant
un défaut de verticalité
D.Y.K. Toguyeni
Laboratoire de Physique et Chimie de l'Environnement (LPCE),
Université de Ouagadougou, Burkina-Faso
E-mail : togyen@univ-ouaga.bf /togyen@gmail.com /togyen@yahoo.fr
RÉSUMÉ L’étude concerne la résistance statique d’un poteau à section circulaire en béton présentant un défaut de verticalité. Ce
poteau est encastré à sa base et est soumis à son propre poids ainsi qu’à une charge verticale à son autre extrémité. Un modèle poutre,
transposition du poteau, est proposé et une solution analytique en est donnée, sur la base des hypothèses classiques de la résistance des
matériaux. Le modèle poteau est simulé grâce au logiciel RDM6. Les écarts quadratiques moyens des distributions des effets élastiques
(moment fléchissant, efforts normal et tranchant) issues, d’une part de la simulation numérique et d’autre part de la solution
analytique varient entre 10-6
et 10-4
. L’influence sur la résistance du poteau de paramètres comme son diamètre, de l’intensité de la
charge verticale appliquée, l’angle entre la verticale et la génératrice du poteau a été étudiée. Il a été mis en évidence la présence d’une
longueur du poteau avec des sections en partie tendues et en partie comprimées. Cette longueur de poteau qui prend naissance à la base
du poteau occupe une longueur d’autant plus grande que la charge verticale et l’angle d’inclinaison sont grands et que le diamètre du
poteau est petit. Ces résultats permettent, en tenant compte des défauts de verticalité tolérés et souvent rencontrés dans les porteurs
verticaux d’un bâtiment, de prévoir une zone où il y a risque de rupture du poteau et qui doit être ferraillée, avec le plus grand soin,
pour éviter sa ruine.
ABSTRACT: The study concerns the static strength of a column with circular section in concrete having a lack of verticality. This post is
embedded at its base and is subject to its own weight and a vertical load at its other end. A beam model , transposition of the column, is
proposed and an analytical solution is given by it, on the basis of traditional assumption of the resistance of materials. The column
model is simulated, using the software RDM6. The average squared deviations of distributions of elastic effects (bending moment,
normal work and sharp) from one hand the numerical simulation and also the analytical solution vary between 10-6 and 10-4. The
influence on the strength of the pole parameters such as diameter, the intensity of the vertical applied load, the angle between the
vertical pole and the generator has been studied. It has been revealed the presence of a long pole with sections partly stretched and
partly compressed. The length of the pole which arises on the base of the pole has a length much greater than the vertical load and the
angle of inclination is great and the diameter of the column is small. These results allow, by taking account of the defects of verticality
tolerated and often met in the vertical carriers of a building, to envisage a zone where there is risk of rupture of the column and which
must be reinforced, with the greatest care, to avoid its ruin.
MOTS-CLÉS : résistance d’un poteau béton, défaut de verticalité, hauteur de ferrage, moment fléchissant, efforts normal et tranchant
KEYWORDS: resistance of a concrete pole, lack of verticality, hooking up, bending moment, normal and cutting efforts.
1. Introduction
Bien que des règles de l’art, des normes soient établies
pour le bon dimensionnement des ouvrages, il est
nécessaire qu’elles deviennent effectivement
opérationnelles et que se mettent en place des
organismes de vérification (bureau de contrôle) à la fois
des notes de calcul et sur le chantier pour représenter le
maitre d’Ouvrage. L’étude d’accidents récents soulève
certes la question du mauvais respect des normes et aussi
des défauts d’exécution même pour des éléments de
structure simples, comme les poteaux soumis à des
charges verticales centrées.
C’est ainsi que le Burkina Faso (Ouagadougou) a été
récemment (18 juin 2006, 25 juillet 2009), [1], [2] le
théâtre d’écroulement de deux bâtiments en construction
avec des blessés et des morts. Les défauts de stabilité
d’un bâtiment et subséquemment sa ruine sont en général
imputables au mauvais dimensionnement des éléments
porteurs ou à un défaut dans leur exécution. Un défaut
d’exécution d’un élément peut être dû :
- à l’utilisation de matériaux inadaptés,
- à une mauvaise évaluation des charges,
Aucune expertise n’ayant rendu son verdict sur les
causes des sinistres intervenus à Ouagadougou, aussi
nous nous sommes intéressés à un défaut d’exécution
somme toute réaliste et fréquent. Nous présentons ici une
2
étude théorique et numérique de l’influence d’un défaut
de verticalité d’un poteau sur la distribution des
contraintes dans l’élément porteur. Ce travail doit
contribuer à forger notre jugement sur les conséquences
de la réduction jusqu'à la ruine des performances du
béton à cause du développement de contraintes de
traction. En effet, le béton étant plus résistant en
compression qu’en traction [3], [4] le défaut de
verticalité, en l’occurrence, introduit de la flexion et par
suite induit dans chaque section du poteau l’existence de
fibres comprimées et d’autres en traction. Plusieurs
approches ont été considérées, basées sur une étude
numérique avec le logiciel RDM 6 et une étude
analytique.
2. Description des modèles
2.1 Modèle du poteau incliné
Dans ce modèle, nous considérons le cas d’un poteau
en béton de section circulaire, de longueur L qui est
encastré à sa base et fait un angle α avec la verticale. Le
poids propre du poteau est modélisé par une densité
uniforme de charge de densité linéique µ. Une charge
concentrée verticale descendante est appliquée, de
manière centrée, à l’extrémité supérieure de l’élément.
Cette extrémité est supposée libre (solution analytique)
ou au contraire soumise à une liaison telle que
l’extrémité supérieure ait 4 degrés de liberté de la figure
1
Fig.1 : Poteau incliné pesant et encastré à sa base.
2.2 Modèle poutre et solution analytique
Le modèle poutre se veut une transposition du modèle
poteau qui est l’objet de notre étude. Une solution
analytique simple peut être établie. Elle est développée ci
après et comparée au modèle poutre numérique. Nous
considérons le cas d’une poutre en béton de section
circulaire, de longueur L qui est encastrée à son
extrémité gauche. Le poids propre du poteau est négligé
et une distribution uniforme de charge (de densité
linéique µ) faisant un angle α avec l’horizontale (axe des
y) est appliquée. De même une charge concentrée est
appliquée à l’extrémité droite de l’élément. L’extrémité
supérieure (modèle poteau) ou à droite (modèle poutre)
est supposée libre seulement pour la solution analytique.
En fait dans le cas d’un poteau d’un bâtiment il faudrait
plutôt considérer une liaison telle que l’extrémité non
encastrée ait quatre degrés de liberté. Si le « modèle
poutre » est la transposition fidèle du « modèle poteau »,
la solution analytique du modèle poutre doit permettre de
rendre compte de la distribution des contraintes normales
dans les différentes sections du poteau incliné.
Fig.2 : Poutre non pesante encastrée avec une charge
concentrée et une densité linéique uniforme de charge
En considérant les équations de la statique, la théorie
simplifiée des poutres [4] et en particulier le principe
d’équivalence de la résistance des matériaux qui permet
de définir le torseur des efforts intérieurs, il est aisé
d’établir les formules ci-dessous données.
• Moment A
M et réaction A
F d’encastrement
)
1
(
:
)
sin(
).
2
.
.
(
2
k
L
F
L
M A α
µ
+
=
)
2
(
:
)
.sin(
)
(
)
.cos(
)
( k
L
F
j
L
F
F A α
µ
α
µ +
+
+
=
• Distribution du moment de flexion y
M et de
l’effort intérieur y
R dans le poteau
3)
(
:
)
sin(
.
))
.
.(
)
.(
2
.
( 2
2
k
L
F
y
y
L
F
L
M y α
µ
µ
+
−
+
+
=
4)
(
:
)
sin(
)).
.(
(
)
cos(
)).
.(
(
k
y
L
F
j
y
L
F
k
T
j
N
R z
y
α
µ
α
µ
−
+
+
−
+
=
+
=
Où ( i , j , k ) est le trièdre direct associé aux axes de la
figure 2.
Les contraintes normales et tangentielles étant
proportionnelles respectivement, au moment fléchissant
et à l’effort tranchant, dans la perspective d’un
dimensionnement ou même d’une vérification de
résistance du poteau, il convient de déterminer les
extrémums du moment fléchissant.
D.Y.K. Toguyeni 3
• Extrémum du moment de flexion
En y = 0, A
y
y M
L
F
L
M
M =
+
=
= )
.
2
.
( 2
max
µ
En y = L, 0
min
=
= y
y M
M .
• Extrémum de l’effort tranchant k
Tz
En y= 0 )
sin(
).
.
(
)
( max α
µ L
F
Tz +
=
En y=L )
sin(
.
)
( max α
F
Tz =
• Distribution des contraintes engendrées dans
le poteau
R étant le rayon du poteau,
*Contrainte normale 5)
(
:
)
.
.(
)
( Ω
+
= z
C
B
A
y
N
σ ,
avec








+
−
+
+
−
=
−
+
=
=
)
2
.(
).
.
(
2
.
.
4
,
)
tan(
)
.(
,
.
)
sin(
2
2
2
L
F
L
y
L
F
y
R
C
y
L
F
B
R
A
µ
µ
µ
α
µ
π
α
*Contrainte de cisaillement
6)
(
:
)
))(
(
.(
.
.
3
)
sin(
4 2
2
4
Ω
−
−
+
= z
R
y
L
F
R
z µ
π
α
τ
2.3 Comparaison de la solution analytique et des
résultats de simulation des Modèles « poteau » et
« poutre »
Pour nos simulations numériques, la version 6.16 du
logiciel de calcul des structures RDM6, est utilisé [5]. Il
s’agit d’une série de logiciels applicatifs intégrés
destinés au calcul des structures. Il comporte ainsi quatre
modules : éléments finis, flexion, ossature et rosette. Ce
logiciel a été conçu par le professeur Yves DEBARD du
Département de Génie Mécanique et Productique (à
l’Institut Universitaire de Technologie du Mans,
France), écrit dans le langage de programmation Pascal
Objet et compilé sur Borland Delphi 7. L’intérêt de
l’utilisation de RDM6 tient au fait que les résultats sont
obtenus en quelques secondes, après quoi peut
commencer le post-traitement des résultats.
Dans le cadre de sa réalisation, la présente étude a requis
seulement l’usage du module « Ossature spatiale » qui
permet l’étude en 3 Dimensions du comportement
statique et dynamique des ossatures spatiales. Pour se
faire, ce module reprend les hypothèses soutenues en
RDM, et y ajoute les hypothèses qui sont :
∗ Le centre de gravité et le centre de cisaillement
des sections droites sont confondus
∗ Le cisaillement transverse peut être pris en
compte
En vue des comparaisons, nous avons retenu les données
du poteau d’un Rez-de-chaussée supportant des charges
équivalentes à celles apportées par un et deux étages :
- longueur m
L 5
,
2
= ,
- la densité linéaire de charge m
N /
1625
=
µ ,
- l’angle entre la verticale et la génératrice du
poteau °
= 76
,
2
α ,
- le rayon cm
R 20
= ,
- la charge verticale N
P 000
10
= .
Dans toutes nos simulations, le poteau est supposé
encastré à sa base et l’extrémité supérieure possède
quatre degrés de liberté au lieu de 6 (cas d’une extrémité
libre). L’application de la charge P n’est pas
excentrée.
Les champs de comparaisons sont les distributions, dans
le poteau, du moment fléchissant et des efforts normal et
tranchant. Nous avons utilisé une norme Ψ définie par
2
/
1
1
2
)
(
5
.
0
1
















+
−
=
Ψ ∑
=
=
M
j
j j
j
j
j
z
y
z
y
M
où ( ) M
j
j
y ,.......,
1
=
et ( ) M
j
j
z ,.......,
1
=
désignent deux
champs à comparer et M est le nombre de points de
discrétisation sur le poteau.
Les valeurs de la norme Ψ sont données dans le tableau
1 ci dessous :
Tableau 1: Comparaison des simulations et de la solution analytique
Effets élastiques Efforts normaux Efforts tranchants Moments fléchissants
Simulation poteau/Solution
analytique (poutre) 8,35E-07 5,48E-07 0,000134045
Simulation poteau /Simulation
poutre 6,15E-08 3,67E-08 8,97E-07
Norme Ψ
4
Toutes choses étant prises égales par ailleurs, si nous
prenons une autre valeur de l’intensité de la charge
verticale N
P 1000
= , les ordres de grandeur de Ψ sont
conservés. Nous constatons que, outre le fait que les
résultats de simulation du « Modèle poteau » et du
« Modèle poutre » sont très proches, la solution
analytique du « Modèle poutre » permet de calculer, avec
une précision excellente, les effets élastiques qui
prennent naissance dans le poteau pesant et incliné. Les
solutions analytiques étant accessibles, à notre
connaissance, pour des poutres et non et non pour des
poteaux, ces résultats sont la justification de la pertinence
de la transposition faite au paragraphe 2.2.
3. Résultats et analyse des simulations du modèle
poteau incliné
Nous avons vérifié par le calcul de la charge critique ( Fc
= π² E.IGz / (2L)² ) que le flambement eulérien, cause
possible d’une instabilité élastique des poteaux
comprimés est inexistant.
3.1 Influence du défaut de verticalité (α) et de
P sur NC
L .
Nous utilisons ici un repère local dont l’un des axes (X)
coïncide avec la fibre neutre du poteau et dont l’origine
est le centre d’inertie de la section encastrée. Nous
donnons ci après la distribution de la contrainte normale
pour le cas : m
L 5
,
2
= , m
N /
1625
=
µ , °
= 76
,
2
α ,
cm
40
=
Φ , N
P 000
10
=
Fig.3 : Distribution des contraintes normales dans le poteau.
L’une des deux conventions sur le signe des contraintes
ou efforts normaux stipule que la contrainte normale et
l’effort sont négatifs en cas de compression : c’est cette
convention que retient le logiciel RDM6 et que nous
adoptons.
La figure 3 donne l’intervalle dans lequel varient les
contraintes des fibres de chaque section. Pour la section
encastrée par exemple, les fibres extrêmes de la section
subissent les contraintes normales MPa
N 341
,
0
−
=
σ
et MPa
N 118
,
0
=
σ .
Fig.4 : Distribution des contraintes normales en quatre sections
Les abscisses de la figure 4 représentent la position des
fibres de la section, alors que les ordonnées représentent
les contraintes normales s’exerçant sur celles-ci.
Il apparaît que dans les sections X = 0 m et X = 1 m les
contraintes prennent des valeurs positives et négatives ;
cela signifie que certaines fibres sont en traction alors
que d’autres sont au contraire comprimées. En revanche,
dans les sections X = 1,5 m et X = 2 m, toutes les
contraintes étant négatives, les fibres sont comprimées
exclusivement. Cet exemple a mis en évidence la
présence d’une longueur NC
L du poteau (de la base
encastrée en montant) avec des sections en partie tendues
et en partie comprimées. Ce fait constitue, en soi, une
justification de l’étude paramétrique que nous avons
annoncée.
3.2 Etude paramétrique de l’influence de l’angleα , de
Φ et de P sur NC
L
Nous présentons ici une étude paramétrique, à l’aide de
la simulation du modèle poteau incliné pesant, en vue
d’apprécier l’influence sur les effets élastiques et les
contraintes normales:
- De l’angle α qui, rappelons- le, mesure le
défaut de verticalité du poteau ;
- De l’intensité de la charge verticale P ;
- Du diamètre Φ du poteau.
Zone comprimée et tendue – Zone comprimée
X= 0m X= 1 m …..
D.Y.K. Toguyeni 5
Le diamètre du poteau Φ est d’abord fixé à 40 cm et
l’on fait varier α et P , puis on fait cm
30
=
Φ . Les
résultats de simulations sont représentés par les figures 5
et 6. Le plus faible nombre de valeurs de P retenu pour
les simulations dans le cas cm
30
=
Φ tient au fait que les
courbes sont très proches les unes des autres (figure 6):
un grand nombre nuirait à la lisibilité
Fig.5 : Longueur NC
L pour différentes valeurs de P pour
cm
40
=
Φ .
Les résultats montrés dans les figures 3 et 4 mettent en
évidence la présence d’une longueur de poteau ( NC
L )
dans laquelle certaines fibres sont tendues alors que
d’autres sont comprimées (existence d’un noyau central)
[4]. Cette longueur de poteau prend naissance à la base
encastrée du poteau et s’étend sur une longueur plus ou
moins importante. La longueur de poteau NC
L est
d’autant plus grande que la charge verticale et l’angle
d’inclinaison sont grands et que le diamètre du poteau est
petit. On constate également qu’il existe un seuil pour
l’angle en dessous duquel toutes les sections du poteau
sont exclusivement comprimées. L’angle seuil est
d’autant plus grand que le diamètre est grand et que la
charge verticale appliquée est faible. Le tableau 2
indique que pour chaque section, les valeurs absolues des
bornes des intervalles auquel appartient la contrainte
normale sont d’autant plus petites que le diamètre du
poteau est grand. Etant donné que la solution analytique
donne avec une excellente précision les effets élastiques
dans le poteau incliné, nous y avons recours pour
interpréter les résultats de simulation.
Fig.6 : Longueur NC
L pour différentes valeurs de P pour
cm
30
=
Φ .
Tableau 2 : Intervalles d’évolution de la contrainte normale le long du poteau
X [ ] 30
;
MPa
en
)
(
,
)
( max
min cm
N
N =
Φ
σ
σ [ ] 40
;
MPa
en
)
(
,
)
( max
min cm
N
N =
Φ
σ
σ
0 [ ]
0,346
;
743
,
0
− [ ]
0,118
;
341
,
0
−
0,5 [ ]
0,233
;
608
,
0
− [ ]
0,072
;
283
,
0
−
1 [ ]
0,128
;
479
,
0
− [ ]
0,029
;
227
,
0
−
1,5 [ ]
0,031
;
359
,
0
− [ ]
0,010
-
;
175
,
0
−
2 [ ]
0,059
-
;
246
,
0
− [ ]
0,047
-
;
125
,
0
−
2,5 -0,141 -0.079
76
,
2
=
α et N
P 000
10
=
6
La théorie des poutres sujettes à une sollicitation
composée flexion-compression prévoit pour la contrainte
normale : )
7
(
:
.
.
Gz
f
N
I
M
Y
S
N
+
=
σ
avec
4
. 4
R
IGz
π
=
L’équation (Ω7) montre que :
a. Si R augmente, IGz croît et
Gz
f
I
M
Y.
décroît. Il
en résulte que la valeur absolue de la contrainte
normale aux fibres extrêmes est d’autant plus
faible que R est grand, comme le montre le
tableau 2.
b. La valeur maximale du moment fléchissant étant
atteinte en la section encastrée, c'est-à-dire pour
X = 0, les valeurs absolues des contraintes que
subissent les fibres extrêmes y sont maximales.
c. En la section supérieure du poteau, le moment
fléchissant y est nul, ce qui entraîne que cette
section sera toujours comprimée.
4. Conclusion
Pour étudier le défaut de verticalité d’un poteau, une
solution analytique a été développée pour juger de la
sensibilité de la charge et de l’inclinaison de la charge.
Cette solution simple a été confrontée à un modèle
poutre numérique identique et un modèle poteau incliné :
l’écart quadratique moyen varie entre 10-6
et 10-4
.
L’étude a mis en évidence la présence d’une longueur
NC
L du poteau avec des sections en partie tendues et en
partie comprimées et une autre partie avec des sections
exclusivement comprimées. Une étude paramétrique a
été menée à partir des simulations du modèle poteau
pour trouver l’influence sur la longueur NC
L du défaut de
verticalité, du diamètre du poteau et de la charge
verticale appliquée. Deux valeurs du diamètre ont été
considérées (30 cm et 40 cm), alors que l’angle α varie
de 0 à 5 degrés et l’intensité de la force verticale de 1000
N à 50 000 N. Nous avons constaté qu’en dessous d’une
valeur seuil de l’angle qui est entre 1° et 1,5°, toutes les
sections du poteau sont comprimées ; au dessus de cette
valeur le poteau présente depuis sa base encastrée et en
montant des sections en partie tendues et en partie
comprimées. Nos résultats sur la valeur seuil du défaut
de verticalité sont en accord avec les préconisations du
« Guide de mise en œuvre pour les éléments linéaires de
structure préfabriqués en béton » [6], [7] ou du
« DTU21 » [9] (annexe 1). Des auteurs [8] quant à eux
préconisent une tolérance de défaut de verticalité de 0,5 à
1% pour les éléments verticaux. Etant donné que le béton
a une faible résistance à la traction (un dixième de la
résistance en compression), la longueur NC
L est une
zone où il y a risque de rupture du poteau et doit être
ferraillée, avec le plus grand soin, pour éviter sa ruine.
Cette étude contribue à justifier les préconisations de
ferraillage nécessaires et faites en dimensionnement de
poteau soumis à des charges verticales. Un défaut de
verticalité supérieure à 1% induit rapidement le
développement d’une zone tendue dans le poteau,
pouvant être très préjudiciable.
Bibliographie
[1] Rabankhi Abou-Bâkr ZIDA. Effondrement
d’immeubles à Ouaga : des burkinabè à danger et à
malheur, Sidwaya, 28 juillet 2009
[2] http://www.bwint.org/default.asp?Index=2380&Language=fr
Effondrement de 2 immeubles en construction à
Ouagadougou : 3 morts et plusieurs blessés
[3] Jean-Marie HUSSON. Etude des structures en béton.
Editions CASTEILLA, 25 rue Monge, Paris. (2002)
[4] Jean-Claude DOUBRERE. Résistance des matériaux.
Cours et exercices corrigés. Dixième Editions
EYROLLES, Paris (2004).
[5] http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/rdm_version_6.html
[6] FIB- CERIB, DDE 09. Recommandations
professionnelles pour les assemblages entre éléments
d'ossature. Juin 2001.
[7] FIB- CERIB, DDE 33E. Guide de mise en œuvre
pour les éléments linéaires de structure préfabriqués en
béton. Juin 2005.
[8] Laboratoire Central des Ponts et Chaussées.
Recommandations pour l’inspection détaillée le suivi et
le diagnostique des ouvrage de soutènement des
ouvrages en parois composites, guide technique.
Décembre 2003
[9] DTU 21 (NF P18-201), Travaux de bâtiment -
Exécution des ouvrages en béton. Mars 2004.
D.Y.K. Toguyeni 7

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Résistance d’un poteau en béton présentant un défaut de verticalité

  • 1. Avai Avai Avai Available online at http ://services.inist.fr lable online at http ://services.inist.fr lable online at http ://services.inist.fr lable online at http ://services.inist.fr Journal des Sciences Pour l’Ingénieur N° 14 (2012) 1 - 7 www.jspi.sn Résistance d’un poteau en béton présentant un défaut de verticalité D.Y.K. Toguyeni Laboratoire de Physique et Chimie de l'Environnement (LPCE), Université de Ouagadougou, Burkina-Faso E-mail : togyen@univ-ouaga.bf /togyen@gmail.com /togyen@yahoo.fr RÉSUMÉ L’étude concerne la résistance statique d’un poteau à section circulaire en béton présentant un défaut de verticalité. Ce poteau est encastré à sa base et est soumis à son propre poids ainsi qu’à une charge verticale à son autre extrémité. Un modèle poutre, transposition du poteau, est proposé et une solution analytique en est donnée, sur la base des hypothèses classiques de la résistance des matériaux. Le modèle poteau est simulé grâce au logiciel RDM6. Les écarts quadratiques moyens des distributions des effets élastiques (moment fléchissant, efforts normal et tranchant) issues, d’une part de la simulation numérique et d’autre part de la solution analytique varient entre 10-6 et 10-4 . L’influence sur la résistance du poteau de paramètres comme son diamètre, de l’intensité de la charge verticale appliquée, l’angle entre la verticale et la génératrice du poteau a été étudiée. Il a été mis en évidence la présence d’une longueur du poteau avec des sections en partie tendues et en partie comprimées. Cette longueur de poteau qui prend naissance à la base du poteau occupe une longueur d’autant plus grande que la charge verticale et l’angle d’inclinaison sont grands et que le diamètre du poteau est petit. Ces résultats permettent, en tenant compte des défauts de verticalité tolérés et souvent rencontrés dans les porteurs verticaux d’un bâtiment, de prévoir une zone où il y a risque de rupture du poteau et qui doit être ferraillée, avec le plus grand soin, pour éviter sa ruine. ABSTRACT: The study concerns the static strength of a column with circular section in concrete having a lack of verticality. This post is embedded at its base and is subject to its own weight and a vertical load at its other end. A beam model , transposition of the column, is proposed and an analytical solution is given by it, on the basis of traditional assumption of the resistance of materials. The column model is simulated, using the software RDM6. The average squared deviations of distributions of elastic effects (bending moment, normal work and sharp) from one hand the numerical simulation and also the analytical solution vary between 10-6 and 10-4. The influence on the strength of the pole parameters such as diameter, the intensity of the vertical applied load, the angle between the vertical pole and the generator has been studied. It has been revealed the presence of a long pole with sections partly stretched and partly compressed. The length of the pole which arises on the base of the pole has a length much greater than the vertical load and the angle of inclination is great and the diameter of the column is small. These results allow, by taking account of the defects of verticality tolerated and often met in the vertical carriers of a building, to envisage a zone where there is risk of rupture of the column and which must be reinforced, with the greatest care, to avoid its ruin. MOTS-CLÉS : résistance d’un poteau béton, défaut de verticalité, hauteur de ferrage, moment fléchissant, efforts normal et tranchant KEYWORDS: resistance of a concrete pole, lack of verticality, hooking up, bending moment, normal and cutting efforts. 1. Introduction Bien que des règles de l’art, des normes soient établies pour le bon dimensionnement des ouvrages, il est nécessaire qu’elles deviennent effectivement opérationnelles et que se mettent en place des organismes de vérification (bureau de contrôle) à la fois des notes de calcul et sur le chantier pour représenter le maitre d’Ouvrage. L’étude d’accidents récents soulève certes la question du mauvais respect des normes et aussi des défauts d’exécution même pour des éléments de structure simples, comme les poteaux soumis à des charges verticales centrées. C’est ainsi que le Burkina Faso (Ouagadougou) a été récemment (18 juin 2006, 25 juillet 2009), [1], [2] le théâtre d’écroulement de deux bâtiments en construction avec des blessés et des morts. Les défauts de stabilité d’un bâtiment et subséquemment sa ruine sont en général imputables au mauvais dimensionnement des éléments porteurs ou à un défaut dans leur exécution. Un défaut d’exécution d’un élément peut être dû : - à l’utilisation de matériaux inadaptés, - à une mauvaise évaluation des charges, Aucune expertise n’ayant rendu son verdict sur les causes des sinistres intervenus à Ouagadougou, aussi nous nous sommes intéressés à un défaut d’exécution somme toute réaliste et fréquent. Nous présentons ici une
  • 2. 2 étude théorique et numérique de l’influence d’un défaut de verticalité d’un poteau sur la distribution des contraintes dans l’élément porteur. Ce travail doit contribuer à forger notre jugement sur les conséquences de la réduction jusqu'à la ruine des performances du béton à cause du développement de contraintes de traction. En effet, le béton étant plus résistant en compression qu’en traction [3], [4] le défaut de verticalité, en l’occurrence, introduit de la flexion et par suite induit dans chaque section du poteau l’existence de fibres comprimées et d’autres en traction. Plusieurs approches ont été considérées, basées sur une étude numérique avec le logiciel RDM 6 et une étude analytique. 2. Description des modèles 2.1 Modèle du poteau incliné Dans ce modèle, nous considérons le cas d’un poteau en béton de section circulaire, de longueur L qui est encastré à sa base et fait un angle α avec la verticale. Le poids propre du poteau est modélisé par une densité uniforme de charge de densité linéique µ. Une charge concentrée verticale descendante est appliquée, de manière centrée, à l’extrémité supérieure de l’élément. Cette extrémité est supposée libre (solution analytique) ou au contraire soumise à une liaison telle que l’extrémité supérieure ait 4 degrés de liberté de la figure 1 Fig.1 : Poteau incliné pesant et encastré à sa base. 2.2 Modèle poutre et solution analytique Le modèle poutre se veut une transposition du modèle poteau qui est l’objet de notre étude. Une solution analytique simple peut être établie. Elle est développée ci après et comparée au modèle poutre numérique. Nous considérons le cas d’une poutre en béton de section circulaire, de longueur L qui est encastrée à son extrémité gauche. Le poids propre du poteau est négligé et une distribution uniforme de charge (de densité linéique µ) faisant un angle α avec l’horizontale (axe des y) est appliquée. De même une charge concentrée est appliquée à l’extrémité droite de l’élément. L’extrémité supérieure (modèle poteau) ou à droite (modèle poutre) est supposée libre seulement pour la solution analytique. En fait dans le cas d’un poteau d’un bâtiment il faudrait plutôt considérer une liaison telle que l’extrémité non encastrée ait quatre degrés de liberté. Si le « modèle poutre » est la transposition fidèle du « modèle poteau », la solution analytique du modèle poutre doit permettre de rendre compte de la distribution des contraintes normales dans les différentes sections du poteau incliné. Fig.2 : Poutre non pesante encastrée avec une charge concentrée et une densité linéique uniforme de charge En considérant les équations de la statique, la théorie simplifiée des poutres [4] et en particulier le principe d’équivalence de la résistance des matériaux qui permet de définir le torseur des efforts intérieurs, il est aisé d’établir les formules ci-dessous données. • Moment A M et réaction A F d’encastrement ) 1 ( : ) sin( ). 2 . . ( 2 k L F L M A α µ + = ) 2 ( : ) .sin( ) ( ) .cos( ) ( k L F j L F F A α µ α µ + + + = • Distribution du moment de flexion y M et de l’effort intérieur y R dans le poteau 3) ( : ) sin( . )) . .( ) .( 2 . ( 2 2 k L F y y L F L M y α µ µ + − + + = 4) ( : ) sin( )). .( ( ) cos( )). .( ( k y L F j y L F k T j N R z y α µ α µ − + + − + = + = Où ( i , j , k ) est le trièdre direct associé aux axes de la figure 2. Les contraintes normales et tangentielles étant proportionnelles respectivement, au moment fléchissant et à l’effort tranchant, dans la perspective d’un dimensionnement ou même d’une vérification de résistance du poteau, il convient de déterminer les extrémums du moment fléchissant.
  • 3. D.Y.K. Toguyeni 3 • Extrémum du moment de flexion En y = 0, A y y M L F L M M = + = = ) . 2 . ( 2 max µ En y = L, 0 min = = y y M M . • Extrémum de l’effort tranchant k Tz En y= 0 ) sin( ). . ( ) ( max α µ L F Tz + = En y=L ) sin( . ) ( max α F Tz = • Distribution des contraintes engendrées dans le poteau R étant le rayon du poteau, *Contrainte normale 5) ( : ) . .( ) ( Ω + = z C B A y N σ , avec         + − + + − = − + = = ) 2 .( ). . ( 2 . . 4 , ) tan( ) .( , . ) sin( 2 2 2 L F L y L F y R C y L F B R A µ µ µ α µ π α *Contrainte de cisaillement 6) ( : ) ))( ( .( . . 3 ) sin( 4 2 2 4 Ω − − + = z R y L F R z µ π α τ 2.3 Comparaison de la solution analytique et des résultats de simulation des Modèles « poteau » et « poutre » Pour nos simulations numériques, la version 6.16 du logiciel de calcul des structures RDM6, est utilisé [5]. Il s’agit d’une série de logiciels applicatifs intégrés destinés au calcul des structures. Il comporte ainsi quatre modules : éléments finis, flexion, ossature et rosette. Ce logiciel a été conçu par le professeur Yves DEBARD du Département de Génie Mécanique et Productique (à l’Institut Universitaire de Technologie du Mans, France), écrit dans le langage de programmation Pascal Objet et compilé sur Borland Delphi 7. L’intérêt de l’utilisation de RDM6 tient au fait que les résultats sont obtenus en quelques secondes, après quoi peut commencer le post-traitement des résultats. Dans le cadre de sa réalisation, la présente étude a requis seulement l’usage du module « Ossature spatiale » qui permet l’étude en 3 Dimensions du comportement statique et dynamique des ossatures spatiales. Pour se faire, ce module reprend les hypothèses soutenues en RDM, et y ajoute les hypothèses qui sont : ∗ Le centre de gravité et le centre de cisaillement des sections droites sont confondus ∗ Le cisaillement transverse peut être pris en compte En vue des comparaisons, nous avons retenu les données du poteau d’un Rez-de-chaussée supportant des charges équivalentes à celles apportées par un et deux étages : - longueur m L 5 , 2 = , - la densité linéaire de charge m N / 1625 = µ , - l’angle entre la verticale et la génératrice du poteau ° = 76 , 2 α , - le rayon cm R 20 = , - la charge verticale N P 000 10 = . Dans toutes nos simulations, le poteau est supposé encastré à sa base et l’extrémité supérieure possède quatre degrés de liberté au lieu de 6 (cas d’une extrémité libre). L’application de la charge P n’est pas excentrée. Les champs de comparaisons sont les distributions, dans le poteau, du moment fléchissant et des efforts normal et tranchant. Nous avons utilisé une norme Ψ définie par 2 / 1 1 2 ) ( 5 . 0 1                 + − = Ψ ∑ = = M j j j j j j z y z y M où ( ) M j j y ,......., 1 = et ( ) M j j z ,......., 1 = désignent deux champs à comparer et M est le nombre de points de discrétisation sur le poteau. Les valeurs de la norme Ψ sont données dans le tableau 1 ci dessous : Tableau 1: Comparaison des simulations et de la solution analytique Effets élastiques Efforts normaux Efforts tranchants Moments fléchissants Simulation poteau/Solution analytique (poutre) 8,35E-07 5,48E-07 0,000134045 Simulation poteau /Simulation poutre 6,15E-08 3,67E-08 8,97E-07 Norme Ψ
  • 4. 4 Toutes choses étant prises égales par ailleurs, si nous prenons une autre valeur de l’intensité de la charge verticale N P 1000 = , les ordres de grandeur de Ψ sont conservés. Nous constatons que, outre le fait que les résultats de simulation du « Modèle poteau » et du « Modèle poutre » sont très proches, la solution analytique du « Modèle poutre » permet de calculer, avec une précision excellente, les effets élastiques qui prennent naissance dans le poteau pesant et incliné. Les solutions analytiques étant accessibles, à notre connaissance, pour des poutres et non et non pour des poteaux, ces résultats sont la justification de la pertinence de la transposition faite au paragraphe 2.2. 3. Résultats et analyse des simulations du modèle poteau incliné Nous avons vérifié par le calcul de la charge critique ( Fc = π² E.IGz / (2L)² ) que le flambement eulérien, cause possible d’une instabilité élastique des poteaux comprimés est inexistant. 3.1 Influence du défaut de verticalité (α) et de P sur NC L . Nous utilisons ici un repère local dont l’un des axes (X) coïncide avec la fibre neutre du poteau et dont l’origine est le centre d’inertie de la section encastrée. Nous donnons ci après la distribution de la contrainte normale pour le cas : m L 5 , 2 = , m N / 1625 = µ , ° = 76 , 2 α , cm 40 = Φ , N P 000 10 = Fig.3 : Distribution des contraintes normales dans le poteau. L’une des deux conventions sur le signe des contraintes ou efforts normaux stipule que la contrainte normale et l’effort sont négatifs en cas de compression : c’est cette convention que retient le logiciel RDM6 et que nous adoptons. La figure 3 donne l’intervalle dans lequel varient les contraintes des fibres de chaque section. Pour la section encastrée par exemple, les fibres extrêmes de la section subissent les contraintes normales MPa N 341 , 0 − = σ et MPa N 118 , 0 = σ . Fig.4 : Distribution des contraintes normales en quatre sections Les abscisses de la figure 4 représentent la position des fibres de la section, alors que les ordonnées représentent les contraintes normales s’exerçant sur celles-ci. Il apparaît que dans les sections X = 0 m et X = 1 m les contraintes prennent des valeurs positives et négatives ; cela signifie que certaines fibres sont en traction alors que d’autres sont au contraire comprimées. En revanche, dans les sections X = 1,5 m et X = 2 m, toutes les contraintes étant négatives, les fibres sont comprimées exclusivement. Cet exemple a mis en évidence la présence d’une longueur NC L du poteau (de la base encastrée en montant) avec des sections en partie tendues et en partie comprimées. Ce fait constitue, en soi, une justification de l’étude paramétrique que nous avons annoncée. 3.2 Etude paramétrique de l’influence de l’angleα , de Φ et de P sur NC L Nous présentons ici une étude paramétrique, à l’aide de la simulation du modèle poteau incliné pesant, en vue d’apprécier l’influence sur les effets élastiques et les contraintes normales: - De l’angle α qui, rappelons- le, mesure le défaut de verticalité du poteau ; - De l’intensité de la charge verticale P ; - Du diamètre Φ du poteau. Zone comprimée et tendue – Zone comprimée X= 0m X= 1 m …..
  • 5. D.Y.K. Toguyeni 5 Le diamètre du poteau Φ est d’abord fixé à 40 cm et l’on fait varier α et P , puis on fait cm 30 = Φ . Les résultats de simulations sont représentés par les figures 5 et 6. Le plus faible nombre de valeurs de P retenu pour les simulations dans le cas cm 30 = Φ tient au fait que les courbes sont très proches les unes des autres (figure 6): un grand nombre nuirait à la lisibilité Fig.5 : Longueur NC L pour différentes valeurs de P pour cm 40 = Φ . Les résultats montrés dans les figures 3 et 4 mettent en évidence la présence d’une longueur de poteau ( NC L ) dans laquelle certaines fibres sont tendues alors que d’autres sont comprimées (existence d’un noyau central) [4]. Cette longueur de poteau prend naissance à la base encastrée du poteau et s’étend sur une longueur plus ou moins importante. La longueur de poteau NC L est d’autant plus grande que la charge verticale et l’angle d’inclinaison sont grands et que le diamètre du poteau est petit. On constate également qu’il existe un seuil pour l’angle en dessous duquel toutes les sections du poteau sont exclusivement comprimées. L’angle seuil est d’autant plus grand que le diamètre est grand et que la charge verticale appliquée est faible. Le tableau 2 indique que pour chaque section, les valeurs absolues des bornes des intervalles auquel appartient la contrainte normale sont d’autant plus petites que le diamètre du poteau est grand. Etant donné que la solution analytique donne avec une excellente précision les effets élastiques dans le poteau incliné, nous y avons recours pour interpréter les résultats de simulation. Fig.6 : Longueur NC L pour différentes valeurs de P pour cm 30 = Φ . Tableau 2 : Intervalles d’évolution de la contrainte normale le long du poteau X [ ] 30 ; MPa en ) ( , ) ( max min cm N N = Φ σ σ [ ] 40 ; MPa en ) ( , ) ( max min cm N N = Φ σ σ 0 [ ] 0,346 ; 743 , 0 − [ ] 0,118 ; 341 , 0 − 0,5 [ ] 0,233 ; 608 , 0 − [ ] 0,072 ; 283 , 0 − 1 [ ] 0,128 ; 479 , 0 − [ ] 0,029 ; 227 , 0 − 1,5 [ ] 0,031 ; 359 , 0 − [ ] 0,010 - ; 175 , 0 − 2 [ ] 0,059 - ; 246 , 0 − [ ] 0,047 - ; 125 , 0 − 2,5 -0,141 -0.079 76 , 2 = α et N P 000 10 =
  • 6. 6 La théorie des poutres sujettes à une sollicitation composée flexion-compression prévoit pour la contrainte normale : ) 7 ( : . . Gz f N I M Y S N + = σ avec 4 . 4 R IGz π = L’équation (Ω7) montre que : a. Si R augmente, IGz croît et Gz f I M Y. décroît. Il en résulte que la valeur absolue de la contrainte normale aux fibres extrêmes est d’autant plus faible que R est grand, comme le montre le tableau 2. b. La valeur maximale du moment fléchissant étant atteinte en la section encastrée, c'est-à-dire pour X = 0, les valeurs absolues des contraintes que subissent les fibres extrêmes y sont maximales. c. En la section supérieure du poteau, le moment fléchissant y est nul, ce qui entraîne que cette section sera toujours comprimée. 4. Conclusion Pour étudier le défaut de verticalité d’un poteau, une solution analytique a été développée pour juger de la sensibilité de la charge et de l’inclinaison de la charge. Cette solution simple a été confrontée à un modèle poutre numérique identique et un modèle poteau incliné : l’écart quadratique moyen varie entre 10-6 et 10-4 . L’étude a mis en évidence la présence d’une longueur NC L du poteau avec des sections en partie tendues et en partie comprimées et une autre partie avec des sections exclusivement comprimées. Une étude paramétrique a été menée à partir des simulations du modèle poteau pour trouver l’influence sur la longueur NC L du défaut de verticalité, du diamètre du poteau et de la charge verticale appliquée. Deux valeurs du diamètre ont été considérées (30 cm et 40 cm), alors que l’angle α varie de 0 à 5 degrés et l’intensité de la force verticale de 1000 N à 50 000 N. Nous avons constaté qu’en dessous d’une valeur seuil de l’angle qui est entre 1° et 1,5°, toutes les sections du poteau sont comprimées ; au dessus de cette valeur le poteau présente depuis sa base encastrée et en montant des sections en partie tendues et en partie comprimées. Nos résultats sur la valeur seuil du défaut de verticalité sont en accord avec les préconisations du « Guide de mise en œuvre pour les éléments linéaires de structure préfabriqués en béton » [6], [7] ou du « DTU21 » [9] (annexe 1). Des auteurs [8] quant à eux préconisent une tolérance de défaut de verticalité de 0,5 à 1% pour les éléments verticaux. Etant donné que le béton a une faible résistance à la traction (un dixième de la résistance en compression), la longueur NC L est une zone où il y a risque de rupture du poteau et doit être ferraillée, avec le plus grand soin, pour éviter sa ruine. Cette étude contribue à justifier les préconisations de ferraillage nécessaires et faites en dimensionnement de poteau soumis à des charges verticales. Un défaut de verticalité supérieure à 1% induit rapidement le développement d’une zone tendue dans le poteau, pouvant être très préjudiciable. Bibliographie [1] Rabankhi Abou-Bâkr ZIDA. Effondrement d’immeubles à Ouaga : des burkinabè à danger et à malheur, Sidwaya, 28 juillet 2009 [2] http://www.bwint.org/default.asp?Index=2380&Language=fr Effondrement de 2 immeubles en construction à Ouagadougou : 3 morts et plusieurs blessés [3] Jean-Marie HUSSON. Etude des structures en béton. Editions CASTEILLA, 25 rue Monge, Paris. (2002) [4] Jean-Claude DOUBRERE. Résistance des matériaux. Cours et exercices corrigés. Dixième Editions EYROLLES, Paris (2004). [5] http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/rdm_version_6.html [6] FIB- CERIB, DDE 09. Recommandations professionnelles pour les assemblages entre éléments d'ossature. Juin 2001. [7] FIB- CERIB, DDE 33E. Guide de mise en œuvre pour les éléments linéaires de structure préfabriqués en béton. Juin 2005. [8] Laboratoire Central des Ponts et Chaussées. Recommandations pour l’inspection détaillée le suivi et le diagnostique des ouvrage de soutènement des ouvrages en parois composites, guide technique. Décembre 2003 [9] DTU 21 (NF P18-201), Travaux de bâtiment - Exécution des ouvrages en béton. Mars 2004.