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Notions essentielles de
statistique
Livret 3/4
LA MÉTHODE STATISTIQUE
Tests relatifs aux variances
et aux moyennes
Youcef Elmeddah
Table des matières
AVERTISSEMENT ..................................................................................................... 1
PRÉREQUIS INDISPENSABLES À L'ÉTUDE DE CE LIVRET… ...............................................................1
COMMENT TRAITER UN EXERCICE DE STATISTIQUE ? ......................................................................1
CONSEILS GÉNÉRAUX DE TRAVAIL ...........................................................................................................2
Séquence de travail n° 1 3
COMPARAISON DE DEUX VARIANCES.................................................................. 3
I. POSITION DU PROBLÈME ET NOTATIONS ............................................................................................4
II. TEST DE COMPARAISON DE DEUX VARIANCES EXPÉRIMENTALES - TEST
D'HOMOGÉNÉITÉ.....................................................................................................................................5
III. APPLICATIONS............................................................................................................................................6
Séquence de travail n° 2 9
TESTS RELATIFS AUX MOYENNES........................................................................ 9
RAPPELS DE BASE ET NOTATIONS............................................................................................................10
I. COMPARAISON D'UNE MOYENNE OBSERVÉE X À UNE MOYENNE THÉORIQUE
(µO) : TEST DE CONFORMITÉ.............................................................................................................11
1. La variance de la population s2 est connue..................................................................11
2. La variance de la population s2 est inconnue...............................................................13
II. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES OBSERVÉES SUR DES ÉCHANTILLONS
INDÉPENDANTS.......................................................................................................................................15
1. Cas des populations de même variance : s12 = s22 ......................................................15
2. Cas des populations de variances inégales : s12 ≠ s22..................................................18
1 . Cas des grands échantillons : n1 ≥30 et n2 ≥ 30 .................................................... 18
2. Cas des petits échantillons : n1 < 30 et n2 < 30...................................................... 19
3. Résumé des comparaisons de deux moyennes observées sur des échantillons
indépendants......................................................................................................................20
III. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES OBSERVÉES SUR DES ÉCHANTILLONS
APPARIÉS..................................................................................................................................................21
1. Cas des grands échantillons..........................................................................................22
2. Cas des petits échantillons..........................................................................................22
Annexes et tables statistiques 25
ANNEXE I................................................................................................................. 26
RÈGLE DE DÉCISION DANS LE CAS DES TESTS UNILATÉRAUX ......................................................26
ANNEXE II................................................................................................................ 29
COMMENT RECHERCHER L'ÉVENTUELLE NORMALITÉ D'UNE DISTRIBUTION ?
L'ÉPREUVE DE NORMALITÉ...............................................................................................................29
II
ANNEXE III............................................................................................................... 32
MÉTHODE DE RÉSOLUTION D'UN TEST D'HYPOTHÈSES ..................................................................32
TABLE I.................................................................................................................... 33
TABLE DE LA DISTRIBUTION NORMALE RÉDUITE .............................................................................33
TABLE II................................................................................................................... 34
TABLE DE LA LOI NORMALE CENTRÉE, RÉDUITE N (0,1) OU TABLE DE L'ÉCART
RÉDUIT ......................................................................................................................................................34
TABLE III.................................................................................................................. 35
TABLE DE STUDENT.......................................................................................................................................35
TABLE IV ................................................................................................................. 36
TABLE DU C2 ..................................................................................................................................................36
TABLE V-A............................................................................................................... 37
TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST UNILATÉRAL (A = 0,05).................................................37
TABLE V-B .............................................................................................................. 38
TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST BILATÉRAL (A = 0,05)....................................................38
TABLE VI-A.............................................................................................................. 39
TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST UNILATÉRAL (A = 0,01)..................................................39
TABLE VI-B ............................................................................................................. 40
TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST BILATÉRAL (A = 0,01)....................................................40
BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................... 41
_______________________________________________________________________________
1 ______________________________________________________________________________
Avertissement
AVERTISSEMENT
Ce document se propose de vous fournir l'essentiel des connaissances qui vous permettront de
mieux comprendre les concepts et les outils de la statistique. C'est un ouvrage d'initiation dont
l'objectif principal est l'acquisition des techniques de base de la statistique ainsi que
l'interprétation des résultats qui en découlent. Pour cela, les fondements mathématiques des
théories exposées ne sont pas développés. Nous avons pensé que ce document est destiné
surtout à des utilisateurs de l'outil statistique et non à des théoriciens.
Afin de répondre aux difficultés que rencontrent les étudiants pour transposer les
connaissances théoriques à l'application pratique, le document réunit l'essentiel des
connaissances avec de nombreux exemples d'application illustrant les parties théoriques.
Les connaissances importantes, qu'il faut absolument garder à l'esprit, sont
signalées en grisé dans le texte.
Les connaissances s’enchaînent dans un ordre logique. Chaque nouvelle notion introduite
suppose que d’autres notions sont connues.
En commençant par découvrir ces nouvelles notions, notamment à l’aide des exemples
proposés, vous pouvez rencontrer des difficultés dues à une mauvaise assimilation de notions
précédentes.
Il faut donc systématiquement revenir en arrière et reprendre le cours mal assimilé. Ces allers
et retours dans le cours sont presque inévitables. Ne soyez donc pas découragés pour autant.
Vous verrez alors que, petit à petit, les nouvelles notions s’éclaircissent et se mémorisent de
mieux en mieux.
PRÉREQUIS INDISPENSABLES À L'ÉTUDE DE CE LIVRET…
Dans ce livret, on expose d'abord les problèmes relatifs à la comparaison de deux variances
puis ceux relatifs à la comparaison de deux moyennes en distinguant les différentes
éventualités possibles.
Pour une meilleure assimilation des connaissances exposées, l'étude de ce livret suppose une
bonne connaissance du principe des tests statistiques, de la formulation et la résolution des
problèmes de statistique.
Si vous avez des difficultés à remobiliser ces notions supposées acquises, reportez-vous au
livret 2/4 de la série, en particulier au chapitre 4 :
Interprétation statistique
COMMENT TRAITER UN EXERCICE DE STATISTIQUE ?
La rédaction d’un exercice d’un test d’évaluation, d’un devoir ou à une épreuve d'examen,
doit être réalisée avec le plus grand soin.
• Faites d’abord une première lecture rapide de l’énoncé de manière à situer le problème posé
en relation avec votre programme.
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2 ______________________________________________________________________________
Avertissement
- Quelles sont les données (nature de la variable, loi de probabilité, taille de
l’échantillon, paramètres donnés…) ?
- Que vous demande-t-on ?
- Les questions sont-elles liées ?
- Quelle table statistique utiliser ?
• Commencez alors par résoudre l’exercice sur du brouillon, question par question.
• A l'examen, on vous jugera à la démarche adoptée pour résoudre les exercices mais aussi à
la rédaction et à la présentation du travail fourni, que beaucoup d'étudiants négligent en se
contentant par exemple,
- d' « appliquer » des formules sans expliquer les conditions d'applications,
- d'aboutir par le calcul à des décisions « statistiques » mais sans une interprétation rigoureuse
de leurs conclusions.
Si certains exercices proposés précisent les conditions des données, il n'en est pas de
même pour d'autres. C'est donc à vous de le faire en tout début de la rédaction.
Si vous rédigez, c’est pour être lu. Soignez vos copies. N’imposez pas à votre correcteur de
vous « déchiffrer ». Il peut se lasser…
Vous risquez alors de perdre des points inutilement.
- Faites attention aux calculs numériques et aux unités. Les ordres de grandeurs doivent être
respectés.
- Chaque résultat final d’une question doit être souligné proprement et suivi d’une petite
conclusion.
CONSEILS GÉNÉRAUX DE TRAVAIL
Ce livret se présente sous forme de séquences de travail visant des objectifs pédagogiques
formulés dès le départ. Les évaluations qui vous sont proposées à la fin des séquences visent à
vérifier l'atteinte des objectifs visés par la séquence de travail proposée.
Pour cela, nous vous conseillons :
• de travailler aussi régulièrement que possible ;
• d'éloigner de votre vue tout ce qui peut vous distraire : magazines, journaux, radio, télé…
• d'avoir toujours sous la main une calculatrice, du brouillon, un crayon de papier et une
gomme ;
• de vérifier, chaque fois que vous avez un doute, les calculs développés ;
• de traiter la totalité des exercices d'application proposés avant de passer à la séquence
suivante ;
• d'établir une fiche de synthèse à la fin de chaque séquence de travail ; elle vous sera très utile
pour la séquence suivante ;
• si vous avez la chance d'avoir un micro et de maîtriser EXCEL, n'hésitez pas à rentrer les
données des exercices proposés et de faire exécuter les calculs par le logiciel ; cela vous
permettra de faire des simulations en changeant les données pour « voir ce qui se passe ».
Tous les enseignants et pédagogues connaissent très bien la difficulté de rédiger un cours
de statistique. Tous savent combien il est délicat de traiter un problème de statistique en
faisant l'impasse sur des concepts qui le sous-tendent. Ceux qui se référeront au présent
document voudront bien l'utiliser avec indulgence et en nous communiquant,
éventuellement, leurs remarques et suggestions. Nous les remercions par avance.
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7. Comparaison de deux variances
Séquence de travail n° 1
3 h
COMPARAISON DE DEUX VARIANCES
[ de population ]
TEST DE SNEDECOR
7
Objectifs pédagogiques :
A la fin de cette séquence, mais étape par étape, vous devriez être capable :
1. de situer le problème de la comparaison de deux variances ;
2. d'utiliser le test et les tables statistiques de Snedecor ;
3. d'effectuer les calculs nécessaires et prendre les décisions appropriées dans
différentes situations de tests d'hypothèses sur deux échantillons.
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7. Comparaison de deux variances
I. POSITION DU PROBLÈME ET NOTATIONS
En pratique, on ne connaît jamais ni la moyenne , ni la variance 2
d'une population dont
l'effectif est généralement infini ou très grand.
Une des grandes difficultés qu'éprouvent les étudiants dans les problèmes relatifs aux distributions
d'échantillonnage, aux comparaisons des variances ou des moyennes réside dans les notations. Aussi,
par souci de clarté, nous rappelons dans le tableau ci-dessous les notations fondamentales qu'il faut
toujours avoir à l'esprit.
Considérons la variable aléatoire X dans deux populations différentes P1 et P2 avec les
notations résumées dans le tableau ci-dessous :
Paramètres Population 1 Population 2
Effectif N1 ou ∞ N2 ou ∞
Moyenne µ1 µ2
Variance 1
2
2
2
Population Variance
estimée ^
1
2
=
SCE1
n1 -1 =
n1
n1-1 s1
2
^
2
2
=
SCE2
n2 -1 =
n2
n2-1 s2
2
Écart type
estimé ^
1 =
SCE1
n1 -1 =
n1
n1-1 .
s1
^
2 =
SCE2
n2 -1 =
n2
n2-1
.s2
Échantillon 1 Échantillon 2
Effectif n1 n2
Échantillon Moyenne x 1 x 2
Variance s1
2 =
SCE1
n1
s2
2 =
SCE2
n2
De P1 on extrait un échantillon E1, de taille n1, pour lequel on calcule la moyenne x 1 et ^
1
valeur estimée de 1.
De P2 on extrait un échantillon E2, de taille n2, pour lequel on calcule la moyenne x 2 et ^
2
valeur estimée de 2.
Les échantillons E1 et E2 sont supposés indépendants.
Le problème est de savoir s'il existe une différence significative entre 1
2 et 2
2 .
On teste donc : Ho : 1
2 = 2
2
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7. Comparaison de deux variances
Pourquoi ce test d'égalité des variances ? Nous verrons au chapitre suivant que la
condition d'égalité des variances est indispensable à la réalisation de certains tests.
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7. Comparaison de deux variances
II. TEST DE COMPARAISON DE DEUX VARIANCES
EXPÉRIMENTALES - TESTD'HOMOGÉNÉITÉ
L'hypothèse nulle consiste à considérer qu'il n' y a pas de différence significative entre les
deux variances : Ho : 1
2 = 2
2 ; cette hypothèse est opposée à H1 : 1
2 ≠ 2
2
Si Ho est vraie, ^
1
2 et ^
2
2 sont deux estimateurs de la même variance et le rapport
^
1
2
^
2
2 doit être très proche de 1. Au contraire si Ho est fausse, ce rapport prend des valeurs
très différentes de 1.
^
1
2 [ numérateur ] > ^
2
2 [ dénominateur ] par convention
Donc, si Ho est vraie,
Fo =
^
1
2
^
2
2
est une variable aléatoire de Fisher-Snedecor à 1 = n1 - 1 degrès de liberté et 2 = n2 - 1
degrès de liberté.
Le test de Snedecor ou test F, consiste alors à calculer le rapport :
Fobs =
^
1
2
^
2
2
et comparer la valeur de Fobs à la valeur de F des tables de Fisher (tables V et VI en fin du
livret) avec,
ddl 1=  = n1 - 1 (numérateur) ; ddl 2=  = n2 - 1 (dénominateur)
Pour un test bilatéral (H1 : 1
2 ≠ 2
2 ) la règle de décision est la suivante :
Si, Fobs < Ftable  On accepte Ho. Les variances peuvent être considérées comme
égales (homogènes). Risque  de deuxième espèce.
Si, Fobs ≥ Ftable  On rejette Ho. Les variances ne peuvent pas être considéreés
comme homogènes. Risque de première espèce.
• Ce test n'est valable que si les populations étudiées sont normales.
• En pratique, le test F, appliqué à la comparaison de deux moyennes
d'échantillons de faibles effectifs et destiné à vérifier l'égalité des variances, est
donc un test bilatéral. En revanche, dans l'analyse de variance, le test F est un test
unilatéral à droite (cf. chapitre "Analyse de variance").
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7. Comparaison de deux variances
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7. Comparaison de deux variances
III. APPLICATIONS
Exemple 1
Deux méthodes de dosage de l'azote ont été répétées, à partir d'un même échantillon, 25 fois
avec la méthode A et 30 fois avec la méthode B. Comparer la variabilité des 2 méthodes
sachant que les résultats obtenus ont conduit à une somme des carrés des écarts de 121,2 pour
la méthode A et 53,8 pour la méthode B.
********
Soient,
X1 la variable aléatoire : teneur en azote obtenue par la méthode A
X2 la variable aléatoire : teneur en azote obtenue par la méthode B
E( X1 ) = 1 V( X1) = 1
2 E( X2 ) = 2 V( X2 ) = 2
2
On supposera X1 et X2 normales
Comparer la variabilité des deux méthodes revient à tester Ho : 1
2 = 2
2
L'échantillon extrait de la population 1 a donné SCE = 121,2, donc :

^
1
2 =
121,2
25-1 et ^
2
2 =
58,3
30-1
Fobs = ^
1
2 / ^
2
2 = 2,51
Pour  = 25 - 1 et  = 30-1 ddl, la table V-B de Fisher donne :
• Pour  = 0,05, Ftable est compris entre 2,21 et 2,09
Fobs > Ftable
 on rejette donc Ho avec un risque de 5 %. Il y a une différence significative de variabilité
entre les deux méthodes de dosage comparées.
Il arrive que 1 ne soit pas une valeur affichée dans la table. Dans ce cas, il faut
prendre les deux valeurs qui encadrent et conclure.
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7. Comparaison de deux variances
Exemple 2
Soient deux populations normales dont on a extrait au hasard deux échantillons de tailles
respectives 13 et 25 et de variances respectives 24 et 32. Peut-on considérer les variances
comme homogènes ?
********
Ho : 1
2 = 2
2
• Estimation des variances inconnues des populations
^
1
2 =
n1
n1-1 s1
2 =
13
12 x 24 = 26,00 ^
2
2 =
n2
n2-1 s2
2 =
25
24 x 32 =
33,33
• Calcul de F : Fobs =
^
2
2
^
1
2 =
33,33
26,00 = 1,282
• Règle de décision
1 , ddl du numérateur = 25 - 1 = 24
2 , ddl du dénominateur = 13 - 1 = 12
La table V-B n'affiche pas 24 mais affiche les valeurs pour 1 = 20 (3,07) et 1 = 30 (2,96)
Pour la valeur intermédiaire, 24 est situé entre ces deux valeurs, c'est-à-dire :
3,07 > F24;12;0,05  3,02 > 2,96
L'interpolation se fait ainsi :
Ftable; 24; 12; 0,05 = 3,07 -
(3,07 - 2,96) (24 - 20)
30 - 20 = 3,02
Comme Fobs < Ftable  on accepte ; les deux variances peuvent être considérées comme
homogènes au risque de 5 %.
Attention !
Dans cet exemple , c'est la deuxième variance qui est la plus grande ; on a considéré le
rapport
Fobs =
^
2
2
^
1
2
Dans ces conditions la colonne à choisir était 1 = 24 et la ligne 2 = 12.
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7. Comparaison de deux variances
Cette confusion des variances est assez fréquente chez les candidats du BTSA.
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7. Tests relatifs aux moyennes
Séquence de travail n° 2
10 h
TESTS RELATIFS AUX MOYENNES
8
Objectifs pédagogiques :
A la fin de cette séquence, vous devriez être capable :
1. d'expliquer le but poursuivi dans un test d'hypothèses sur deux moyennes et
la démarche à suivre pour effectuer ces tests ;
2. de situer les problèmes relatifs à la comparaison de deux moyennes ;
3. de distinguer les tests relatifs aux grands échantillons des tests relatifs aux
petits échantillons ;
4. de citer les conditions d'application des différents tests relatifs aux
moyennes ;
5. de comparer une moyenne observée à une moyenne théorique en utilisant le
test approprié ;
6. de comparer deux moyennes observées sur deux échantillons indépendants
en utilisant le test approprié ;
7. de comparer deux moyennes observées sur deux échantillons appariés en
utilisant le test approprié.
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12 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
RAPPELS DE BASE ET NOTATIONS
La théorie de l'échantillonnage a pour objet l'étude des relations qui existent entre la
distribution d'un caractère dans une population-mère, et les distributions de ce caractère dans
les différents échantillons prélevés dans cette population.
Pour que ces relations soient valables, il faut que l'échantillon soit prélevé d'une manière
aléatoire, c'est-à-dire que tous les individus de la population aient la même chance d'être
prélevés.
Soit X, un caractère quantitatif étudié dans une population d'effectif N. La distribution de X
dans cette population sera notée (, ) où 
•  = E (X) = moyenne du caractère X
• V(X) = 2
•  =  (X) = l'écart type du caractère X
Le caractère quantitatif X est étudié sur un échantillon de taille n. Les valeurs obtenues ont
pour moyenne x et pour variance s2.
Dans ce chapitre nous étudierons successivement :
• La comparaison d'une moyenne observée à une moyenne théorique.
Les notations seront alors les suivantes :
Paramètres Population Échantillon
Valeurs réelles Valeurs estimées
(sur l'échantillon)
Variable X - x
Effectif N ou ∞ - n
Moyenne E (X) ^ = x estimation ponctuelle
x =
 nixi
n
Variance 2 = V(X) ^ 2 =
n
n-1 s2 =
SCE
n-1 s2 =
SCE
n
Écart type  = V(X)
^ =
n
n-1 s =
SCE
n-1
s =
SCE
n
• La comparaison de deux moyennes observées sur des échantillons indépendants ou
appariés.
Les notations seront celles présentées en début du chapitre 7.
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7. Tests relatifs aux moyennes
Dans tout ce qui suivra, nous utiliserons l'expression « grands échantillons » lorsque les
effectifs n1 et/ou n2 ont une taille supérieure ou égale à 30 et « petits échantillons »,
lorsque les effectifs n1 et/ou n2 ont une taille inférieure à 30.
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7. Tests relatifs aux moyennes
I. COMPARAISON D'UNE MOYENNE OBSERVÉE x À UNE
MOYENNE THÉORIQUE (µO) : TEST DE CONFORMITÉ
Soit X une v.a définie sur une population telle que :
E (X) = 
V(X) = 2
Le caractère quantitatif X est observé sur un échantillon de taille n. Il s'agit de savoir si cet
échantillon de moyenne x et d'écart type s est représentatif ou non de la population d'où il
est extrait et dont les paramètres sont  et .
En d'autres termes, la différence observée entre  et x peut-elle être attribuée au hasard
(fluctuations d'échantillonnage) ou non ?
Si cette différence observée est attribuée au hasard, cela veut dire que x peut être
représentative de . Danslecascontraire,onnepeutconsidérer x commereprésentativede.
D'une façon générale, étant donné un paramètre  inconnu d'une population, nous
voulons tester la conformité de ce paramètre à une valeur numérique 0 , qui est choisie
par l'expérimentateur en fonction de données antérieures, d'une théorie particulière… ;
autrement dit, nous voulons tester l'hypothèse nulle :
:  = 0
opposée à l'hypothèse alternative : H1 :  ≠ 0
Bien évidemment,  sera estimé à partir d'un échantillon de la population étudiée. Si la
valeur d est proche de 0 , on gardera Ho, sinon on la rejette. Cela revient donc à établir
une décision c'est-à-dire déterminer pour quelles valeurs de d on gardera H ; et comme
nous sommes dans le domaine de l'aléatoire, toute conclusion sera entachée d'un risque
d'erreur :
• risque de première espèce quand on rejette Ho ,
• risque de deuxième espèce quand on garde Ho.
Rappelons enfin (chapitre 4, § 5-2) que si la v.a X est normale ou si l'échantillon est de grande
taille, la v.a X obéit à une loi normale d'espérance et d'écart type / n .
1. La variance de la population 2 est connue
La variable aléatoire,
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15 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
U =
X - 

n
obéit à une loi normale N (0, 1).
Si Ho est vraie, alors 0 =  , et la v.a U devient Uo (ou obs) tel que :
Uo =
X -  

n
qui obéit à une loi normale N (0, 1).
Dans ce cas, pour tester :
Ho :  = 0
il faut calculer l'expression :

obs  =
X - 

n
X prendra la valeur x , calculée sur l'échantillon
• Siobs< table, on accepte Ho . Pas de différence significative entre la moyenne
 de la population et la valeur théorique o . Risque  de deuxième espèce.
• Siobs≥ table, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à
, lu dans la table de l'écart réduit fixe le degré de signification.

Exemple
Des sacs de concentré pour bétail sont donnés avec une étiquette portant la masse = 60 kg ;
l'écart type est de 2 kg. Un éleveur achète 16 sacs de ce concentré dont le poids moyen est de
x = 58,5 kg.
Peut-on admettre aux seuils de 0,95 et 0,99, que les données du fabriquant sont exactes ? On
admet que le poids des sacs suit une loi normale.
********
Nous sommes dans le cas d'un échantillon de petite taille extrait d'une population normale
dont la variance est connue. On peut donc appliquer le test de :
Ho :  = 
| obs | =
x -  

n
=
5 8 , 5 - 6 0
2 / 1 6
= 3
______________________________________________________________________________
16 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
Pour = 1,96 et pourtable = 2,58

| obs | >  table : On rejette Ho. Risque de première espèce.
La différence est significative dans les deux cas. Les données du fabriquant ne sont pas
conformes à l'étiquette.
2. La variance de la population 2 est inconnue 
Si le caractère étudié obéit à une loi normale et que  n'est pas connu, il sera estimé par :
^ = écart type estimé sur l'échantillon  ^ =
n
n-1 . s =
SCE
n-1
Dans ce cas, la variable aléatoire,
T =
X - 
^ / n
obéit à une loi de Student à n - 1 degrés de liberté.
Si Ho est vraie, alors 0 =  , et la v.a T devient To (ou tobs) tel que :
To =
X -  
^ / n
qui obéit à une loi de Student à n - 1 degrés de liberté.
Dans ce cas, pour tester :
Ho :  = 0
il faut calculer l'expression :

tobs  =
X -  
^ / n
X prendra la valeur x , calculée sur l'échantillon
• Sitobs< ttable, on accepte Ho . Pas de différence significative entre la moyenne
 de la population et la valeur théorique o . Risque  de deuxième espèce.
• Sitobs≥ ttable, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à t,
lu dans la table de Student fixe le degré de signification.
Exemple
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7. Tests relatifs aux moyennes
A la suite d'un traitement sur des rats d'une certaine espèce, on prélève un échantillon de 5 rats
et on les pèse. On obtient les poids suivants en g : 83 ; 81 ; 84 ; 80 ; 85.
A la même époque, un grand nombre de mesures a permis d'établir que les rats de cette espèce
non traités avaient un poids moyen de 87,6 g.
Y-a-t-il une différence significative entre les poids des rats traités et ceux des rats non traités ?
On supposera que la variable poids suit une loi normale.
********
Il s'agit de comparer, sur un petit échantillon de taille n = 5, une moyenne observée x = 82,6
g à une moyenne théorique  = 87,6 g.
On ne connaît pas . Il faut l'estimer par  ^ =
n
n-1 s . Pour cela il faut calculer s sur
l'échantillon.
On trouve ^ = 2,07.
Sous : Ho : 
| t o b s | =
x -  
^
n
= 5 , 3 9
d d l = 5 - 1 = 4  t t a b l e = 2,776
| t o b s | > t t a b l e , on rejette Ho. Cela veut dire que le traitement a eu une influence
significative sur le poids des rats. Risque de première espèce.
______________________________________________________________________________
18 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
II. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES OBSERVÉES SUR
DES ÉCHANTILLONS INDÉPENDANTS
TESTS D'HOMOGÉNÉITÉ DE DEUX POPULATIONS
Position du problème
On considère deux populations P1 et P2 où un caractère quantitatif X a pour moyennes
inconnues 1 et 2 respectivement dans P1 et P2.
Il s'agit de savoir s'il existe une différence significative entre ces deux moyennes inconnues à
partir de la comparaison de deux échantillons extraits des populations P1 et P2.
• 1 peut être considéré comme la réalisation d'une variable aléatoire X1 définie sur
l'ensemble des échantillons de taille n1 de la population P1 ;
• 2 peut être considéré comme la réalisation d'une variable aléatoire X2 définie sur
l'ensemble des échantillons de taille n2 de la population P2 .
L'emploi des méthodes ci-dessous est subordonné en général à deux conditions d'application
importantes : la normalité des populations et le caractère aléatoire et simple des
échantillons.
La première condition n'est cependant pas essentielle lorsque les échantillons ont des
effectifs suffisants pour assurer la normalité des distributions d'échantillonnage des
moyennes.
En plus de ces deux conditions, nous devrons supposer, dans certains tests de comparaison,
l'égalité des variances des populations considérées.
De ce fait, nous nous positionnerons dans le cas général où les variances des
populations 12 et 22 sont inconnues et nous distinguerons les cas suivants :
• cas où les variances des deux populations sont inconnues mais égales ;
• cas où les variances des deux populations sont inconnues et différentes.
1. Cas des populations de même variance : 12 = 22
Pour s'assurer de l'égalité des estimations des variances ^ 1
2 et ^ 2
2 , obtenues à partir des
échantillons, il faut faire le test d'égalité de deux variances (cf. chapitre 7).
On démontre alors que la meilleure estimation de la variance communeest :
^ 2 =
SCE1 + SCE2
n1 + n2 - 2
Si X1 et X2 sont normales, la variable aléatoire :
______________________________________________________________________________
19 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
T =
X1 - X2 - (1 - 2)
SCE1 + SCE2
n1 + n2 - 2 [
1
n1
+
1
n2
]
obéit à une loi de Student à n1 + n2 - 2 degrés de liberté
Pour tester l'hypothèse : Ho : 1 = 2
il faut calculer la valeur t de Student :
t obs =
x1 - x2
^2 [
1
n1
+
1
n2
]
=
x1 - x2
SCE1 + SCE2
n1 + n2 - 2 [
1
n1
+
1
n2
]
ou alors,
t obs =
x1 - x2
^ 1
n1
+
1
n2
• Sitobs< table, pour ddl = n1 + n2 - 2, on accepte Ho . Risque  de deuxième
espèce.
• Sitobs≥ ttable, on rejette Ho et le risque de première espèce, correspondant à
t, lu dans la table de Student, fixe le degré de signification.
Si n1 = n2 = n,
Dans ce cas, l'hypothèse d'égalité des variances n'est plus fondamentale
Nous avons :
SCE1
n1 (n1 - 1) +
SCE2
n2 ( n2 - 1) =
SCE1 + SCE2
n (n - 1)
et l'expression précédente devient :
tobs =
x1 - x2
SCE1 + SCE2
n (n - 1)
avec 2n - 2 degrés de liberté.
Rappelons que ce test suppose la normalité des deux populations.
Cependant, si les effectifs sont élevés (≥ 30), on peut remplacer dans les expressions
ci-dessus, la valeur du t de la table de Student, par la valeur correspondante de
______________________________________________________________________________
20 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
l'écart réduit, . Dans ce cas, l'hypothèse de normalité des populations devient
relativement secondaire.
Exemple
On voudrait comparer le poids moyen d'animaux âgés d'un an et qui ont reçu l'une ou l'autre
des deux rations A et B depuis leur naissance. L'observation a porté sur 24 animaux.
1. Comment faut-il répartir à la naissance les 24 animaux en deux groupes de 12 (A et B) afin
d'étudier l'influence des rations sur le poids des animaux ?
2. les résultats observés sont les suivants :
Poids des animaux en g Ration A Ration B
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
0
1
2
3
4
2
0
3
3
3
1
0
1
1
Effectif n1 = 12 n2 = 12
Calculer la moyenne et la variance du poids des animaux dans les deux groupes.
3. Quelles hypothèses faut-il formuler pour tester l'égalité des moyennes ?
Ces hypothèses étant réalisées, trouvez-vous une influence de la ration sur le poids des
animaux au seuil de 5 % ?
********
1. Il faut répartir les 24 animaux, au hasard, en deux groupes, de façon à obtenir des
échantillons indépendants.
2. Après calculs on trouve :
x 1 = 1 633,33 g
s1
2 = 13 888, 89
x 2 = 1 491,67 g
s2
2 = 34 097,22
3. On veut tester : Ho : 1 = 2
L'hypothèse que l'on doit faire est que le poids est distribué normalement dans les deux
populations.
^ 2 =
n [s1
2 + s2
2]
2n - 2 =
12 [13 888,89 + 34 097,22]
2. 12 - 2 = 26 174,24
et tobs =
x1 - x2
^2 [
1
n +
1
n ]
=
1 633,33 - 1 491,67
26 174,24 . [1/12 + 1/12]
= 2,14
______________________________________________________________________________
21 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
Pour ddl = 2n - 2 = 2.12 - 2 = 22, la table de Student donne au risque  = 5 % : ttable = 2,074
tobs > ttable  Différence significative entre les deux moyennes. Risque de première
espèce.
______________________________________________________________________________
22 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
2. Cas des populations de variances inégales : 12 ≠ 22
1 . Cas des grands échantillons : n1 ≥30 et n2 ≥ 30
La variable aléatoire ,
U=
X1 - X2 - (1 - 2 )
1
2
n1
+
2
2
n2
obéit à une loi normale N (0, 1).
Les variances 1
2 et 2
2 peuvent être remplacées par leurs estimations respectives ^ 1
2 et ^
2
2 avec :
^ 1
2 =
SCE1
n1 - 1 et ^ 2
2 =
SCE2
n2 - 1
Pour tester :
Ho :1 = 2
on calcule l'expression :
obs=
x1 - x2
^1
2
n1
+
^2
2
n2
qui peut s'écrire :
obs =
x1 - x2
SCE1
n1 (n1 - 1) +
SCE2
n2 ( n2 - 1)
• Siobs< table, on accepte Ho . Risque  de deuxième espèce.
• Siobs≥ table, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à
, lu dans la table de l'écart réduit, fixe le degré de signification.
Si n1 = n2 = n
l'expression précédente devient :
Erreur !)
On retrouve alors la formule précédente (§ 1. Cas des populations de même variance).
C'est d'ailleurs ce qui explique la non nécessité de l'hypothèse d'égalité des variances
lorsque les effectifs sont égaux.
______________________________________________________________________________
23 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
Exemple
Un dosage d'une même substance sur deux groupes d'individus provenant de 2 populations
différentes a donné les résultats suivants :
Groupe 1: n1 = 35 ; x1 = 0,95 et SCE1 = 0,06
Groupe 2 : n2 = 42 ; x2 = 0,60 et SCE2 = 0,02
Les deux populations sont-elles comparables statistiquement ?
********
Les échantillons extraits de chaque population sont indépendants, d'effectifs inégaux et de
grande taille
Ho : 1 = 2
s1
2 = 0,06/35  s2
2 = 0,02/42

obs =
x1 - x2
SCE1
n1(n1-1) +
SCE2
n2 (n2-2)
=
0,95 - 0,60
0,06
35.34 +
0,02
42.41
= 44,45

obs> 2, 58. On rejette Ho avec un risque de première espèce inférieur à 1 %. Les deux
populations diffèrent significativement.
2. Cas des petits échantillons : n1 < 30 et n2 < 30
Quand les effectifs des deux échantillons ne sont pas suffisamment élevés, pour tester
l'hypothèse d'égalité des moyennes, on peut utiliser d'une manière approchée la quantité
tobs =
x1 - x2
^1
2
n1
+
^2
2
n2
Il faut alors la comparer au t de la table de Student avec un ddl = k donné par la relation :
k =
[ SCE1
n1 (n1 - 1) +
SCE2
n2 (n2 - 1) ]
2
1
n1 - 1 [ SCE1
n1 (n1 - 1) ]
2
+
1
n2 - 1 [ SCE2
n2 (n2 - 1) ]
2
C'est le test de COCHRAN.
______________________________________________________________________________
24 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
______________________________________________________________________________
25 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
3. Résumé des comparaisons de deux moyennes
observées sur des échantillons indépendants
Tableau résumant les valeurs de obs ou tobs selon les différentes situations
possibles : cas où les variances des populations sont inconnues.


Cas où les
variances des
populations sont
inconnues mais
égales

 = 

q populations normales : n1 et/ou n2 < 30
Erreur !) 2 = Erreur !
tobs =
x1 - x2
^ 1
n1
+
1
n2
ddl = n1 + n2 - 2
∂
q si n1 = n2 = n
tobs =
x1 - x2
SCE1 + SCE2
n (n-1)
ddl = 2n - 2
∑
Cf. test relatif à la
comparaison de deux
variances
q grands échantillons
obs =
x1 - x2
^ 1
n1
+
1
n2
∏
l'hypothèse de normalité des populations n'étant plus nécessaire
______________________________________________________________________________
26 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes

Cas où les
variances des
populations sont
inconnues mais
différentes

 ≠ 

q grands échantillons
^ 1
2 =
SCE1
n1 - 1 ; ^ 2
2 =
SCE2
n2 - 1

obs=
x1 - x2
^1
2
n1
+
^2
2
n2
π
q si n1 = n2 = n
obs =
x1 - x2
SCE1 + SCE2
n (n-1)
∫
q petits échantillons
Test de COCHRAN ª
______________________________________________________________________________
27 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
III. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES OBSERVÉES
SUR DES ÉCHANTILLONS APPARIÉS
Dans ce cas on considère une population de couples.
Deux échantillons E1 et E2 sont dits appariés lorsque chaque valeur X1 de E1 est associée à
une valeur X2 de E2.
Cette situation se présente lorsque, par exemple, on voudrait tester un traitement particulier
sur des animaux. L'échantillon 1 sera le lot d'animaux avant traitement (moyenne du
caractère x 1) et l'échantillon 2 sera le même lot mais après traitement (moyenne du
caractère x 2).
Les échantillons ont donc forcément le même effectif.
Il s'agit alors de savoir s'il existe une différence significative ou pas entre les moyennes x 1 et
x 2.
La méthode des couples est difficile à mettre en œuvre car il n'est pas toujours facile de
constituer des échantillons appariés, mais elle présente deux avantages importants : le test est
plus puissant que dans le cas d'échantillons indépendants et on peut mettre en évidence
des différences plus faibles.
Soit X1, la v.a. correspondant à l'élément du couple soumis au traitement 1 et X2, la v.a.
correspondant à l'élément du couple soumis au traitement 2.
Considérons :
• la v.a. D = X1 - X2
• l'espérance mathématique E(D) = et V(D) = 2 qui ne sont pas connus.

L'hypothèse testée est :
 :  = 0
Il n' y a pas, en moyenne, de différence entre les deux traitements comparés.
Cette hypothèse est opposée à :
H1 :  ≠ 0
Il s'agit d'un test de conformité consistant à comparer la moyenne observée à une
moyenne théorique D nulle
L'expérimentation va donc porter sur n couples, pour lesquels la moyenne arithmétique de la
variable D est d et l'écart type s.
On a : d =
 di
n et ^ =
SCEd
n - 1 
d'où : SCEd =  di
2 -
( di )2
n
______________________________________________________________________________
28 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
1. Cas des grands échantillons
Pour tester l'hypothèse nulle :
D = 0 , « la moyenne des différences est nulle »
qui revient à tester : x1 = x2 [ ou  = 0 ]
on calcule d'abord l'écart réduit,  ,
obs =
d
^/ n
obs =
x 1 - x 2
SCEd
n (n - 1)
• Siobs< table, on accepte Ho . Risque  de deuxième espèce.
• Siobs≥ table, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à
, lu dans la table de l'écart réduit, fixe le degré de signification.
2. Cas des petits échantillons
Même démarche, même formule en remplaçant  par t de Student :
tobs =
x 1 - x 2
SCEd
n (n - 1)
avec ddl = n - 1
• Sitobs< ttable, pour ddl = n- 1, on accepte Ho . Risque  de première espèce.
• Sitobs≥ ttable, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à t,
lu dans la table de Student, fixe le degré de signification.
Exemple
______________________________________________________________________________
29 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
Pour étudier l'influence de la fumure phosphorique sur la productivité des prairies
temporaires, on a divisé 13 parcelles homogènes en deux ; une moitié a reçu 50 unités d'azote
à l'hectare et l'autre moitié 50 unités d'azote et 90 unités d'acide phosphorique à l'hectare.
Les rendements, en quantité de matière verte/ha sont les suivants :
N° parcelles Rendement " 50 N " Rendement " 50 N + 90 P2O5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
185
105
102
131
83
46
113
70
89
147
119
91
78
193
119
138
185
111
57
122
116
114
167
128
120
100
Comment interpréter ces résultats ?
********
Soit d la variable aléatoire, différence entre le rendement d'une parcelle 50N + 90 P2O5 et le
rendement de la parcelle homologue 50 N.
E(d) =  V(d) = 2
On teste Ho :  = 0. Il faut supposer que la variable aléatoire d est normale.
Les calculs se présentent ainsi :
Rendement
" 50 N "
Rendement
" 50 N + 90 P2O5 " di di2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
185
105
102
131
83
46
113
70
89
147
119
91
78
193
119
138
185
111
57
122
116
114
167
128
120
100
8
14
36
54
28
11
9
46
25
20
9
29
22
64
196
1296
2916
784
121
81
2116
625
400
81
841
484
 di = 311  di2 = 10005
On en tire :
d = 311/13 = 23,92 et SCE = 10005 - 3112/13 = 33344/13 = 2564,9
^ 2 = SCE/n - 1 = 2564/12 = 213,66  ^ = 213,66 = 14,61
______________________________________________________________________________
30 _____________________________________________________________________________
7. Tests relatifs aux moyennes
tobs =
d
^ / n
=
23,92
14,61/ 13
=
23,92
4,05 = 5,9
•  = 0,05, ddl = 12  t = 2,179
•  = 0,01, ddl = 12  t = 3,055
tobs > ttable  On rejette Ho. Il existe une influence hautement
significative de la fumure phosphorique sur le rendement.
______________________________________________________________________________
31 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
Annexes et tables statistiques
______________________________________________________________________________
32 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
ANNEXE I
RÈGLE DE DÉCISION DANS LE CAS DES TESTS UNILATÉRAUX
Tous les tests exposés précédemment sont des tests bilatéraux. L'hypothèse à tester était alors
Ho : 1 = 2 contre H1 : 1 ≠ 2
Dans le cas d'un test unilatéral (à droite ou à gauche), le raisonnement restera le même sauf
en ce qui concerne la zone de rejet.
Par exemple, pour la comparaison des moyennes de deux échantillons indépendants
l'hypothèse à tester restera Ho : 1 = 2 mais elle sera testée contre :
• H1 : 1 > 2
• ou H1 : 1 < 2
Étudions les deux cas…
• H1 : 1 > 2 Cette façon de procéder revient à écarter à priori l'éventualité 1 < 2 . La
valeur de obs est forcément positive c'est-à-dire obs > 0
Pour un risque  donné (5 % par exemple), la valeur de table correspond, non plus à ± 1,96,
mais à + 1,64 ( Cf. chapitre 4 sur le principe général des tests statistiques ).

Zone de rejet
de Ho
La règle de décision est alors la suivante :
- si obs < 1,64, on accepte Ho c'est-à-dire qu'on rejette H1
- si obs ≥ 1,64, on rejette Ho c'est-à-dire qu'on accepte H1 : 1 > 2
• H1 : 1 < 2
La valeur de obs est négative c'est-à-dire obs < 0
______________________________________________________________________________
33 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques

Zone de rejet
de Ho
Pour un risque  donné (5 % par exemple), la valeur de table correspond alors à - 1,64. La
règle de décision est alors la suivante :
• si obs < - 1,64, on rejette Ho c'est-à-dire qu'on accepte H1 : 1 < 2
• si obs ≥ - 1,64, on accepte Ho c'est-à-dire qu'on rejette H1
Le même type de raisonnement peut être fait avec le test de Student
Exemple. On a mesuré la taille des pères et celle de leurs fils. On a obtenu les résultats
suivants :
fils pères
n1 = 280
x 1 = 174,82
s1
2 = 75,58
n2 = 200
x 2 = 171,82
s2
2 = 74,61
La différence entre les moyennes de la taille des fils et la taille des pères indique-t-elle une
variation réelle (en plus ou en moins) en passant d'une génération à l'autre ?
********
Nous sommes dans un cas de comparaison de deux moyennes calculées sur deux échantillons
indépendants et de grande taille.
Les variances des populations, 1
2 et 2
2 ne sont pas connues mais peuvent être estimées

^
1
2 =
n1
n1 - 1 s1
2 ou
^
1
2
n1
=
s1
2
n1 - 1 = 75,58/279 = 0,271
^
2
2 =
n2
n2 - 1 s2
2 ou
^
2
2
n2
=
s2
2
n2 - 1 = 74,61/199 = 0,375
______________________________________________________________________________
34 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
Faisons un test bilatéral…
Ho : 1 = 2
obs=
x1 - x2
^
1
2
n1
+
^
2
2
n2
=
174,82 - 171,87
0,271 + 0,375
=
2,95
0,803 = 3,67
Pour  = 0,05, table = 1,96

obs > table la différence est donc significative. On rejette Ho.
Faisons à présent un test unilatéral…
Dans ce cas, on teste Ho : 1 = 2 contre H1 : 1 > 2
Nous sommes dans un cas ou obs sera forcément positif
Pour  = 0,05, table = + 1,64
Comme obs > table , on accepte H1 autrement dit la taille des fils peut être considérée
comme supérieure à celle des pères.
______________________________________________________________________________
35 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
ANNEXE II
COMMENT RECHERCHER
L'ÉVENTUELLE NORMALITÉ D'UNE
DISTRIBUTION ? L'ÉPREUVE DE
NORMALITÉ
Dans de nombreux tests présentés dans ce document, nous avons souvent supposé que la
variable étudiée suit une loi normale. Comment vérifier l'hypothèse de la normalité d'une
distribution ?
Il existe de nombreuses méthodes dont la plus rigoureuse est celle du 2 d'ajustement que
nous avons déjà étudiée.
Nous vous exposons à présent une autre méthode qui fait appel à des notions déjà traitées :
c'est la méthode de la droite de Henry.
Illustrons cette méthode par un exemple…
Considérons la série statistique suivante :
Variable Effectif
[5,25 ; 5,75]
[5,75 ; 6,25]
[6,25 ; 6,75]
[6,75 ; 7,25]
[7,25 ; 7,75]
[7,75 ; 8,25]
[8,25 ; 8,75]
[8,75 ; 9,25]
[9,25 ; 9,75]
1
6
6
9
15
17
10
8
3
n total = 75
La question est la suivante : peut-on, au vu de ces résultats considérer qu'il s'agit d'une
distribution normale ?
Pour répondre à cette question, il faut se souvenir que lors de l'étude de la loi normale N (m,
), nous avons procédé à un changement de variable en posant :
______________________________________________________________________________
36 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
u =
x - m

Dans ce cas, il existe une relation linéaire entre u et x puisque on peut écrire :
u =
1

x -
m

u = ax + b]
Vérifions graphiquement si on retrouve cette relation affine avec les effectifs du tableau.
Construisons pour cela un tableau dans lequel :
• la première ligne représente les valeurs supérieures de chaque intervalle de classes ci-dessus
• la deuxième ligne les fréquences cumulées croissantes (F.C.C) :
exemple : 0,013 = 1/75 ; 0,093 = (1+6)/75 etc.
• la troisième ligne représente les valeurs lues dans la table de la fonction de répartition de la
façon suivante :
Pour chaque valeur de F.C.C, on cherche la valeur de u correspondante dans la table I,
fonction de répartition, mais en lecture inverse.
Exemples
• Quand F.C.C < 0,5…
- Pour F.C.C = 0,013, u) = 1-0,013 = 0,987 et ui = - 2,23 (le signe moins correspondant
alors aux probabilités inférieures à 0,5)
- Pour F.C.C = 0,093, u) = 1-0,093 = 0,907 et ui = - 1,32
etc.
• Quand F.C.C > 0,5…
Dans ce cas la valeur ui est directement lue dans la table en fonction de la valeur de F.C.C
- Pour F.C.C = 0,72, u) = 0,7190 et ui = 0,58
- Pour F.C.C = 0,853, u) = 0,8531 et ui = 1,05
etc.
xi 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 8,25 8,75 9,25 9,75
F.C.C 0,013 0,093 0,173 0,293 0,493 0,72 0,853 0,96 1
ui -2,23 -1,32 -0,94 -0,54 -0,02 0,58 1,05 1,75 x
______________________________________________________________________________
37 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
Traçons à présent le graphe représentant ui en fonction de xi .
-3
-2
-1
0
1
2
6,25 6,75 7,75 8,25 8,75 9,25
m
On constate alors que les points sont pratiquement alignés sur une droite dite droite de
Henry.
Cet alignement est un indicateur de la normalité de la distribution statistique considérée.
On a,
u =
x-m

m correspond alors à l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses (dans notre
cas m = 7,75).
Par ailleurs, puisque u = 1/ x - m/1/ représente alors le coefficient directeur de la
droite.
Pour avoir ce coefficient directeur, il suffit de calculer la différence entre l'abscisse du
point d'ordonnée 1 de la droite et m (en pointillé sur le graphe ci-dessus).
Dans notre cas :   8,70 - 7,75  1
______________________________________________________________________________
38 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
ANNEXE III
MÉTHODE DE RÉSOLUTION D'UN TEST D'HYPOTHÈSES
Exemple
Les spécifications d'un certain aliment signalent que chaque unité doit contenir 2,5 g de sucre.
100 unités de cet aliment sont choisis au hasard dans la production puis analysés. Ils
contiennent en moyenne 2,6 g de sucre avec un écart type estimé égal à 0,4 g.
Estimez-vous ces spécifications correctes au seuil de 5 % ?
********
Il s'agit de comparer une moyenne théorique  = 2,5 g à une moyenne observée x = 2,6 g.
Nous sommes dans le cas d'un grand échantillon extrait d'une population dont la variance est
inconnue mais estimée sur l'échantillon.
1. Énoncer les hypothèses nulle et alternative Ho :  = 
:  ≠ 
2. Choisir le seuil de signification désiré  = 0,05
3. Déterminer la distribution appropriée
pour effectuer le test ( U (ou ) de l'écart
réduit, t de Student…)
Il s'agit d'un test de l'écart réduit U (ou ),
car n > 100
4. Définir les régions de rejet Pour  = 0,05 ; table = ± 1,96
Test bilatéral
5. Établir la règle de décision • Si obs ≥ table : Différence significative.
On rejette Ho. Risque de première espèce
• Si obs < table : On accepte Ho. Risque 
de deuxième espèce.
6. Exécuter les calculs nécessaires à partir
des données échantillonnales
Éventuellement :
• calcul de la moyenne ou des moyennes
• calcul de la variance estimée
etc.
7. Calculer le rapport critique:
t ; F ; 2 …
 obs =
x -  
^ / n
=
2 , 6 - 2 , 5
0 , 4 / 1 0 0
= 2 , 5
8. Comparer le rapport critique avec la
valeur donnée par la table correspondante
 obs > table
9. Tirer une conclusion statistique
concernant l'hypothèse nulle.
On rejette Ho. Il existe une différence
significative entre les spécifications
annoncées et la valeur réelle.
______________________________________________________________________________
39 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
TABLE I
TABLE DE LA DISTRIBUTION NORMALE RÉDUITE
FONCTION DE RÉPARTITION
 (u) =


-
u
1
2
e -1/2 u2
du
Exemple :  (0,52) = 0,6985 ;  (-1,93) = 1 -  (1,93) = 1 - 0,97320 = 0,02680
u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91308 0,91466 0,91621 0,91774
1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189
1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408
1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449
1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327
1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062
1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670
2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169
2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574
2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899
2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158
2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361
2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520
2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643
2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736
2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807
2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861
3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900
3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929
3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950
3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965
3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976
3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983
3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989
3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992
______________________________________________________________________________
40 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995
3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997
______________________________________________________________________________
41 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
TABLE II
TABLE DE LA LOI NORMALE CENTRÉE, RÉDUITE N (0,1) OU
TABLE DE L'ÉCART RÉDUIT
0 + - 
 / 2
+ •
 / 2
1 - 
N (0,1)
- •
La probabilité  s'obtient par addition des nombres inscrits en marge.
Exemple : Pour  = 1,96, la probabilité est  = 0,00 + 0,05 = 0,05
 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,00 ∞ 2,577 2,327 2,171 2,054 1,960 1,881 1,812 1,751 1,696
0,10 1,645 1,598 1,555 1,514 1,476 1,440 1,405 1,372 1,341 1,311
0,20 1,282 1,254 1,227 1,201 1,175 1,150 1,127 1,103 1,080 1,058
0,30 1,037 1,015 0,995 0,974 0,954 0,935 0,915 0,897 0,878 0,860
0,40 0,842 0,824 0,806 0,789 0,772 0,755 0,739 0,723 0,706 0,690
0,50 0,675 0,659 0,643 0,628 0,613 0,598 0,583 0,568 0,553 0,539
0,60 0,524 0,510 0,496 0,482 0,468 0,454 0,440 0,426 0,412 0,399
0,70 0,385 0,372 0,358 0,345 0,332 0,319 0,305 0,292 0,279 0,266
0,80 0,253 0,240 0,228 0,215 0,202 0,189 0,176 0,164 0,151 0,138
0,90 0,126 0,113 0,100 0,088 0,075 0,063 0,050 0,038 0,025 0,013
TABLES POUR LES PETITES VALEURS DE 
 0,001 0,000 1 0,000 01 0,000 001 0,000 000 1 0,000 000 01 0,000 000 001
 3, 290 53 3,890 59 4,417 17 4,891 64 5,326 72 5,730 73 6,109 41
______________________________________________________________________________
42 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
TABLE III
TABLE DE STUDENT
La table donne la probabilité  pour que t égale ou dépasse, en valeur absolue,
une valeur donnée, en fonction du nombre de degrés de liberté (ddl).
Exemple : avec ddl = 10, pour t = 2,228, la probabilité est  = 0,05
 0,90 0,50 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001
ddl
1 0,158 1,000 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 636,578
2 0,142 0,816 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,600
3 0,137 0,765 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924
4 0,134 0,741 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610
5 0,132 0,727 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869
6 0,131 0,718 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959
7 0,130 0,711 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408
8 0,130 0,706 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041
9 0,129 0,703 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781
10 0,129 0,700 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587
11 0,129 0,697 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437
12 0,128 0,695 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318
13 0,128 0,694 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221
14 0,128 0,692 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140
15 0,128 0,691 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073
16 0,128 0,690 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015
17 0,128 0,689 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965
18 0,127 0,688 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922
19 0,127 0,688 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883
20 0,127 0,687 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850
21 0,127 0,686 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819
22 0,127 0,686 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792
23 0,127 0,685 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768
24 0,127 0,685 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745
25 0,127 0,684 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725
26 0,127 0,684 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707
27 0,127 0,684 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689
28 0,127 0,683 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674
29 0,127 0,683 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,660
30 0,127 0,683 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646
40 0,126 0,681 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551
80 0,126 0,678 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,416
120 0,126 0,677 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373
∞ 0,126 0,675 1,037 1,282 1,645 1,960 2,327 2,577 3,293
______________________________________________________________________________
43 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
TABLE IV
TABLE DU 2
La table donne la probabilité  pour que 2 égale ou dépasse
une valeur donnée, en fonction du nombre de degrés de liberté .
Exemple : avec  = 3, pour 2 = 0,11 la probabilité  = 0,99.
 0,99 0,975 0,95 0,90 0,10 0,05 0,025 0,01 0,001

1 0,0002 0,001 0,004 0,016 2,71 3,84 5,02 6,63 10,83
2 0,02 0,05 0,10 0,21 4,61 5,99 7,38 9,21 13,82
3 0,11 0,22 0,35 0,58 6,25 7,81 9,35 11,34 16,27
4 0,30 0,48 0,71 1,06 7,78 9,49 11,14 13,28 18,47
5 0,55 0,83 1,15 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 20,51
6 0,87 1,24 1,64 2,20 10,64 12,59 14,45 16,81 22,46
7 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,07 16,01 18,48 24,32
8 1,65 2,18 2,73 3,49 13,36 15,51 17,53 20,09 26,12
9 2,09 2,70 3,33 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 27,88
10 2,56 3,25 3,94 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 29,59
11 3,05 3,82 4,57 5,58 17,28 19,68 21,92 24,73 31,26
12 3,57 4,40 5,23 6,30 18,55 21,03 23,34 26,22 32,91
13 4,11 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 34,53
14 4,66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 36,12
15 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 37,70
16 5,81 6,91 7,96 9,31 23,54 26,30 28,85 32,00 39,25
17 6,41 7,56 8,67 10,09 24,77 27,59 30,19 33,41 40,79
18 7,01 8,23 9,39 10,86 25,99 28,87 31,53 34,81 42,31
19 7,63 8,91 10,12 11,65 27,20 30,14 32,85 36,19 43,82
20 8,26 9,59 10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 45,31
21 8,90 10,28 11,59 13,24 29,62 32,67 35,48 38,93 46,80
22 9,54 10,98 12,34 14,04 30,81 33,92 36,78 40,29 48,27
23 10,20 11,69 13,09 14,85 32,01 35,17 38,08 41,64 49,73
24 10,86 12,40 13,85 15,66 33,20 36,42 39,36 42,98 51,18
25 11,52 13,12 14,61 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 52,62
26 12,20 13,84 15,38 17,29 35,56 38,89 41,92 45,64 54,05
27 12,88 14,57 16,15 18,11 36,74 40,11 43,19 46,96 55,48
28 13,56 15,31 16,93 18,94 37,92 41,34 44,46 48,28 56,89
29 14,26 16,05 17,71 19,77 39,09 42,56 45,72 49,59 58,30
30 14,95 16,79 18,49 20,60 40,26 43,77 46,98 50,89 59,70
______________________________________________________________________________
44 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
TABLE V-A
TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST UNILATÉRAL ( = 0,05)
Si F est une variable aléatoire qui suit la loi de Snedecor à :
• degrés de liberté, (ddl du numérateur) et
•  degrés de liberté, (ddl du dénominateur)
La table donne le nombre f tel que Prob (F ≥ f ) =  = 0,05
Exemple : F0,05 = 3,36 pour 1 = 4 et 2 = 11


1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 30 ∞
1 161 199 216 225 230 234 239 242 246 248 250 254
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,37 19,40 19,43 19,45 19,46 19,50
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,85 8,79 8,70 8,66 8,62 8,53
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,96 5,86 5,80 5,75 5,63
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,82 4,74 4,62 4,56 4,50 4,37
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,06 3,94 3,87 3,81 3,67
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,73 3,64 3,51 3,44 3,38 3,23
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,35 3,22 3,15 3,08 2,93
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,23 3,14 3,01 2,94 2,86 2,71
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,98 2,85 2,77 2,70 2,54
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 2,95 2,85 2,72 2,65 2,57 2,40
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,85 2,75 2,62 2,54 2,47 2,30
13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,77 2,67 2,53 2,46 2,38 2,21
14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,70 2,60 2,46 2,39 2,31 2,13
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,64 2,54 2,40 2,33 2,25 2,07
16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,59 2,49 2,35 2,28 2,19 2,01
17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,55 2,45 2,31 2,23 2,15 1,96
18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,51 2,41 2,27 2,19 2,11 1,92
19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,48 2,38 2,23 2,16 2,07 1,88
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,45 2,35 2,20 2,12 2,04 1,84
21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,42 2,32 2,18 2,10 2,01 1,81
22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,40 2,30 2,15 2,07 1,98 1,78
23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,37 2,27 2,13 2,05 1,96 1,76
24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,36 2,25 2,11 2,03 1,94 1,73
25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,34 2,24 2,09 2,01 1,92 1,71
26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,32 2,22 2,07 1,99 1,90 1,69
27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,31 2,20 2,06 1,97 1,88 1,67
28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,29 2,19 2,04 1,96 1,87 1,65
29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,28 2,18 2,03 1,94 1,85 1,64
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,27 2,16 2,01 1,93 1,84 1,62
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,18 2,08 1,92 1,84 1,74 1,51
50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,13 2,03 1,87 1,78 1,69 1,44
60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,10 1,99 1,84 1,75 1,65 1,39
______________________________________________________________________________
45 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
80 3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,06 1,95 1,79 1,70 1,60 1,32
100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,03 1,93 1,77 1,68 1,57 1,28
∞ 3,84 3,00 2,61 2,37 2,21 2,10 1,94 1,83 1,67 1,57 1,46 1,01
______________________________________________________________________________
46 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
TABLE V-B
TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST BILATÉRAL ( = 0,05)
Si F est une variable aléatoire qui suit la loi de Snedecor à :
• degrés de liberté, (ddl du numérateur) et
•  degrés de liberté, (ddl du dénominateur)
La table donne le nombre f tel que Prob (F ≥ f ) =  = 0,05
Exemple : F0,05 = 4,28 pour 1 = 4 et 2 = 11


1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 30 ∞
1 648 799 864 900 922 937 957 969 985 993 1001 1018
2 38,5 39,0 39,2 39,2 39,3 39,3 39,4 39,4 39,4 39,4 39,5 39,5
3 17,4 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,54 14,42 14,25 14,17 14,08 13,90
4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 8,98 8,84 8,66 8,56 8,46 8,26
5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,76 6,62 6,43 6,33 6,23 6,02
6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,60 5,46 5,27 5,17 5,07 4,85
7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,90 4,76 4,57 4,47 4,36 4,14
8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,43 4,30 4,10 4,00 3,89 3,67
9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,10 3,96 3,77 3,67 3,56 3,33
10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,85 3,72 3,52 3,42 3,31 3,08
11 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,66 3,53 3,33 3,23 3,12 2,88
12 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,51 3,37 3,18 3,07 2,96 2,73
13 6,41 4,97 4,35 4,00 3,77 3,60 3,39 3,25 3,05 2,95 2,84 2,60
14 6,30 4,86 4,24 3,89 3,66 3,50 3,29 3,15 2,95 2,84 2,73 2,49
15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,20 3,06 2,86 2,76 2,64 2,40
16 6,12 4,69 4,08 3,73 3,50 3,34 3,12 2,99 2,79 2,68 2,57 2,32
17 6,04 4,62 4,01 3,66 3,44 3,28 3,06 2,92 2,72 2,62 2,50 2,25
18 5,98 4,56 3,95 3,61 3,38 3,22 3,01 2,87 2,67 2,56 2,44 2,19
19 5,92 4,51 3,90 3,56 3,33 3,17 2,96 2,82 2,62 2,51 2,39 2,13
20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 2,91 2,77 2,57 2,46 2,35 2,09
21 5,83 4,42 3,82 3,48 3,25 3,09 2,87 2,73 2,53 2,42 2,31 2,04
22 5,79 4,38 3,78 3,44 3,22 3,05 2,84 2,70 2,50 2,39 2,27 2,00
23 5,75 4,35 3,75 3,41 3,18 3,02 2,81 2,67 2,47 2,36 2,24 1,97
24 5,72 4,32 3,72 3,38 3,15 2,99 2,78 2,64 2,44 2,33 2,21 1,94
25 5,69 4,29 3,69 3,35 3,13 2,97 2,75 2,61 2,41 2,30 2,18 1,91
26 5,66 4,27 3,67 3,33 3,10 2,94 2,73 2,59 2,39 2,28 2,16 1,88
27 5,63 4,24 3,65 3,31 3,08 2,92 2,71 2,57 2,36 2,25 2,13 1,85
28 5,61 4,22 3,63 3,29 3,06 2,90 2,69 2,55 2,34 2,23 2,11 1,83
29 5,59 4,20 3,61 3,27 3,04 2,88 2,67 2,53 2,32 2,21 2,09 1,81
30 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,65 2,51 2,31 2,20 2,07 1,79
40 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,53 2,39 2,18 2,07 1,94 1,64
50 5,34 3,97 3,39 3,05 2,83 2,67 2,46 2,32 2,11 1,99 1,87 1,55
60 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,41 2,27 2,06 1,94 1,82 1,48
______________________________________________________________________________
47 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
80 5,22 3,86 3,28 2,95 2,73 2,57 2,35 2,21 2,00 1,88 1,75 1,40
100 5,18 3,83 3,25 2,92 2,70 2,54 2,32 2,18 1,97 1,85 1,71 1,35
∞ 5,02 3,69 3,12 2,79 2,57 2,41 2,19 2,05 1,83 1,71 1,57 1,01
______________________________________________________________________________
48 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
TABLE VI-A
TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST UNILATÉRAL ( = 0,01)
Si F est une variable aléatoire qui suit la loi de Snedecor à :
• degrés de liberté, (ddl du numérateur) et
•  degrés de liberté, (ddl du dénominateur)
La table donne le nombre f tel que Prob (F ≥ f ) =  = 0,01
Exemple : F0,01 = 5,67 pour 1 = 4 et 2 = 11
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 200 500 ∞
1 4052 4999 5404 5624 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6157 6209 6260 6302 6334 6350 6360 6366
2 98,5 99,0 99,2 99,3 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5
3 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,7 27,5 27,3 27,2 26,9 26,7 26,5 26,4 26,2 26,2 26,1 26,1
4 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,5 14,2 14,0 13,8 13,7 13,6 13,5 13,5 13,5
5 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,5 10,3 10,2 10,1 9,7 9,6 9,4 9,2 9,1 9,1 9,0 9,0
6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,56 7,40 7,23 7,09 6,99 6,93 6,90 6,88
7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,31 6,16 5,99 5,86 5,75 5,70 5,67 5,65
8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,52 5,36 5,20 5,07 4,96 4,91 4,88 4,86
9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 4,96 4,81 4,65 4,52 4,41 4,36 4,33 4,31
10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,56 4,41 4,25 4,12 4,01 3,96 3,93 3,91
11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,25 4,10 3,94 3,81 3,71 3,66 3,62 3,60
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,01 3,86 3,70 3,57 3,47 3,41 3,38 3,36
13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 3,82 3,66 3,51 3,38 3,27 3,22 3,19 3,17
14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,66 3,51 3,35 3,22 3,11 3,06 3,03 3,00
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,52 3,37 3,21 3,08 2,98 2,92 2,89 2,87
16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,41 3,26 3,10 2,97 2,86 2,81 2,78 2,75
17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,31 3,16 3,00 2,87 2,76 2,71 2,68 2,65
18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,23 3,08 2,92 2,78 2,68 2,62 2,59 2,57
19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,15 3,00 2,84 2,71 2,60 2,55 2,51 2,49
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,09 2,94 2,78 2,64 2,54 2,48 2,44 2,42
22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 2,98 2,83 2,67 2,53 2,42 2,36 2,33 2,31
24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 2,89 2,74 2,58 2,44 2,33 2,27 2,24 2,21
26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 2,81 2,66 2,50 2,36 2,25 2,19 2,16 2,13
28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,75 2,60 2,44 2,30 2,19 2,13 2,09 2,06
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,70 2,55 2,39 2,25 2,13 2,07 2,03 2,01
40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,52 2,37 2,20 2,06 1,94 1,87 1,83 1,80
50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,42 2,27 2,10 1,95 1,82 1,76 1,71 1,68
60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,35 2,20 2,03 1,88 1,75 1,68 1,63 1,60
80 6,96 4,88 4,04 3,56 3,26 3,04 2,87 2,74 2,64 2,55 2,27 2,12 1,94 1,79 1,65 1,58 1,53 1,49
100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 2,22 2,07 1,89 1,74 1,60 1,52 1,47 1,43
200 6,76 4,71 3,88 3,41 3,11 2,89 2,73 2,60 2,50 2,41 2,13 1,97 1,79 1,63 1,48 1,39 1,33 1,28
500 6,69 4,65 3,82 3,36 3,05 2,84 2,68 2,55 2,44 2,36 2,07 1,92 1,74 1,57 1,41 1,31 1,23 1,17
______________________________________________________________________________
49 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
∞ 6,64 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 2,04 1,88 1,70 1,52 1,36 1,25 1,15 1,02
______________________________________________________________________________
50 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
TABLE VI-B
TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST BILATÉRAL ( = 0,01)
Si F est une variable aléatoire qui suit la loi de Snedecor à :
• degrés de liberté, (ddl du numérateur) et
•  degrés de liberté, (ddl du dénominateur)
La table donne le nombre f tel que Prob (F ≥ f ) =  = 0,01
Exemple : F0,01 = 6,88 pour 1 = 4 et 2 = 11
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 200 500 ∞
1 1621 2000 2161 2250 2306 2344 2372 2392 2409 2422 2463 2484 2504 2521 2534 2540 2544 2547
2 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 200 200
3 55,6 49,8 47,5 46,2 45,4 44,8 44,4 44,1 43,9 43,7 43,1 42,8 42,5 42,2 42,0 41,9 41,9 41,8
4 31,3 26,3 24,3 23,2 22,5 22,0 21,6 21,4 21,1 21,0 20,4 20,2 19,9 19,7 19,5 19,4 19,4 19,3
5 22,8 18,3 16,5 15,6 14,9 14,5 14,2 14,0 13,8 13,6 13,1 12,9 12,7 12,5 12,3 12,2 12,2 12,1
6 18,63 14,54 12,9 12,0 11,5 11,1 10,8 10,6 10,4 10,3 9,81 9,59 9,36 9,17 9,03 8,95 8,91 8,88
7 16,24 12,40 10,9 10,1 9,52 9,16 8,89 8,68 8,51 8,38 7,97 7,75 7,53 7,35 7,22 7,15 7,10 7,08
8 14,69 11,04 9,60 8,81 8,30 7,95 7,69 7,50 7,34 7,21 6,81 6,61 6,40 6,22 6,09 6,02 5,98 5,95
9 13,61 10,11 8,72 7,96 7,47 7,13 6,88 6,69 6,54 6,42 6,03 5,83 5,62 5,45 5,32 5,26 5,21 5,19
10 12,83 9,43 8,08 7,34 6,87 6,54 6,30 6,12 5,97 5,85 5,47 5,27 5,07 4,90 4,77 4,71 4,67 4,64
11 12,23 8,91 7,60 6,88 6,42 6,10 5,86 5,68 5,54 5,42 5,05 4,86 4,65 4,49 4,36 4,29 4,25 4,23
12 11,75 8,51 7,23 6,52 6,07 5,76 5,52 5,35 5,20 5,09 4,72 4,53 4,33 4,17 4,04 3,97 3,93 3,90
13 11,37 8,19 6,93 6,23 5,79 5,48 5,25 5,08 4,94 4,82 4,46 4,27 4,07 3,91 3,78 3,71 3,67 3,65
14 11,06 7,92 6,68 6,00 5,56 5,26 5,03 4,86 4,72 4,60 4,25 4,06 3,86 3,70 3,57 3,50 3,46 3,44
15 10,80 7,70 6,48 5,80 5,37 5,07 4,85 4,67 4,54 4,42 4,07 3,88 3,69 3,52 3,39 3,33 3,29 3,26
16 10,58 7,51 6,30 5,64 5,21 4,91 4,69 4,52 4,38 4,27 3,92 3,73 3,54 3,37 3,25 3,18 3,14 3,11
17 10,38 7,35 6,16 5,50 5,07 4,78 4,56 4,39 4,25 4,14 3,79 3,61 3,41 3,25 3,12 3,05 3,01 2,98
18 10,22 7,21 6,03 5,37 4,96 4,66 4,44 4,28 4,14 4,03 3,68 3,50 3,30 3,14 3,01 2,94 2,90 2,87
19 10,07 7,09 5,92 5,27 4,85 4,56 4,34 4,18 4,04 3,93 3,59 3,40 3,21 3,04 2,91 2,85 2,80 2,78
20 9,94 6,99 5,82 5,17 4,76 4,47 4,26 4,09 3,96 3,85 3,50 3,32 3,12 2,96 2,83 2,76 2,72 2,69
22 9,73 6,81 5,65 5,02 4,61 4,32 4,11 3,94 3,81 3,70 3,36 3,18 2,98 2,82 2,69 2,62 2,57 2,55
24 9,55 6,66 5,52 4,89 4,49 4,20 3,99 3,83 3,69 3,59 3,25 3,06 2,87 2,70 2,57 2,50 2,46 2,43
26 9,41 6,54 5,41 4,79 4,38 4,10 3,89 3,73 3,60 3,49 3,15 2,97 2,77 2,61 2,47 2,40 2,36 2,33
28 9,28 6,44 5,32 4,70 4,30 4,02 3,81 3,65 3,52 3,41 3,07 2,89 2,69 2,53 2,39 2,32 2,28 2,25
30 9,18 6,35 5,24 4,62 4,23 3,95 3,74 3,58 3,45 3,34 3,01 2,82 2,63 2,46 2,32 2,25 2,21 2,18
40 8,83 6,07 4,98 4,37 3,99 3,71 3,51 3,35 3,22 3,12 2,78 2,60 2,40 2,23 2,09 2,01 1,96 1,93
50 8,63 5,90 4,83 4,23 3,85 3,58 3,38 3,22 3,09 2,99 2,65 2,47 2,27 2,10 1,95 1,87 1,82 1,79
60 8,49 5,79 4,73 4,14 3,76 3,49 3,29 3,13 3,01 2,90 2,57 2,39 2,19 2,01 1,86 1,78 1,73 1,69
80 8,33 5,67 4,61 4,03 3,65 3,39 3,19 3,03 2,91 2,80 2,47 2,29 2,08 1,90 1,75 1,66 1,60 1,56
100 8,24 5,59 4,54 3,96 3,59 3,33 3,13 2,97 2,85 2,74 2,41 2,23 2,02 1,84 1,68 1,59 1,53 1,49
200 8,06 5,44 4,41 3,84 3,47 3,21 3,01 2,86 2,73 2,63 2,30 2,11 1,91 1,71 1,54 1,44 1,37 1,31
500 7,95 5,35 4,33 3,76 3,40 3,14 2,94 2,79 2,66 2,56 2,23 2,04 1,84 1,64 1,46 1,35 1,26 1,18
______________________________________________________________________________
51 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
∞ 7,88 5,30 4,28 3,72 3,35 3,09 2,90 2,74 2,62 2,52 2,19 2,00 1,79 1,59 1,40 1,28 1,17 1,02
______________________________________________________________________________
52 _____________________________________________________________________________
Annexes et tables statistiques
BIBLIOGRAPHIE
Les Statistiques : une approche nouvelle.
Donald H. Sanders ; A. Franklin Murph et Robert J. Eng. 2e édition.
McGraw-Hill, Editeurs.
Statistique et Probabilités.
M. Laviéville.
Dunod Université.
Probabilité et statistique pour biologistes.
F. Couty ; J. Debord et D. Fredon.
Flash U. Armand Colin.
Statistique : cours et exercices résolus .
E. Azoulay et D. Cohen.
Ediscience International.
Théorie et méthodes statistiques. (Volumes 1 et 2)
P. Dagnélie.
Les Presses Agronomiques de Gembloux.
Méthodes statistiques à l'usage des médecins et des biologistes.
D. SChwartz
Flammarion Medecine Sciences

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Tests relatifs aux variances et aux moyennes

  • 1. Notions essentielles de statistique Livret 3/4 LA MÉTHODE STATISTIQUE Tests relatifs aux variances et aux moyennes Youcef Elmeddah
  • 2. Table des matières AVERTISSEMENT ..................................................................................................... 1 PRÉREQUIS INDISPENSABLES À L'ÉTUDE DE CE LIVRET… ...............................................................1 COMMENT TRAITER UN EXERCICE DE STATISTIQUE ? ......................................................................1 CONSEILS GÉNÉRAUX DE TRAVAIL ...........................................................................................................2 Séquence de travail n° 1 3 COMPARAISON DE DEUX VARIANCES.................................................................. 3 I. POSITION DU PROBLÈME ET NOTATIONS ............................................................................................4 II. TEST DE COMPARAISON DE DEUX VARIANCES EXPÉRIMENTALES - TEST D'HOMOGÉNÉITÉ.....................................................................................................................................5 III. APPLICATIONS............................................................................................................................................6 Séquence de travail n° 2 9 TESTS RELATIFS AUX MOYENNES........................................................................ 9 RAPPELS DE BASE ET NOTATIONS............................................................................................................10 I. COMPARAISON D'UNE MOYENNE OBSERVÉE X À UNE MOYENNE THÉORIQUE (µO) : TEST DE CONFORMITÉ.............................................................................................................11 1. La variance de la population s2 est connue..................................................................11 2. La variance de la population s2 est inconnue...............................................................13 II. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES OBSERVÉES SUR DES ÉCHANTILLONS INDÉPENDANTS.......................................................................................................................................15 1. Cas des populations de même variance : s12 = s22 ......................................................15 2. Cas des populations de variances inégales : s12 ≠ s22..................................................18 1 . Cas des grands échantillons : n1 ≥30 et n2 ≥ 30 .................................................... 18 2. Cas des petits échantillons : n1 < 30 et n2 < 30...................................................... 19 3. Résumé des comparaisons de deux moyennes observées sur des échantillons indépendants......................................................................................................................20 III. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES OBSERVÉES SUR DES ÉCHANTILLONS APPARIÉS..................................................................................................................................................21 1. Cas des grands échantillons..........................................................................................22 2. Cas des petits échantillons..........................................................................................22 Annexes et tables statistiques 25 ANNEXE I................................................................................................................. 26 RÈGLE DE DÉCISION DANS LE CAS DES TESTS UNILATÉRAUX ......................................................26 ANNEXE II................................................................................................................ 29 COMMENT RECHERCHER L'ÉVENTUELLE NORMALITÉ D'UNE DISTRIBUTION ? L'ÉPREUVE DE NORMALITÉ...............................................................................................................29
  • 3. II ANNEXE III............................................................................................................... 32 MÉTHODE DE RÉSOLUTION D'UN TEST D'HYPOTHÈSES ..................................................................32 TABLE I.................................................................................................................... 33 TABLE DE LA DISTRIBUTION NORMALE RÉDUITE .............................................................................33 TABLE II................................................................................................................... 34 TABLE DE LA LOI NORMALE CENTRÉE, RÉDUITE N (0,1) OU TABLE DE L'ÉCART RÉDUIT ......................................................................................................................................................34 TABLE III.................................................................................................................. 35 TABLE DE STUDENT.......................................................................................................................................35 TABLE IV ................................................................................................................. 36 TABLE DU C2 ..................................................................................................................................................36 TABLE V-A............................................................................................................... 37 TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST UNILATÉRAL (A = 0,05).................................................37 TABLE V-B .............................................................................................................. 38 TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST BILATÉRAL (A = 0,05)....................................................38 TABLE VI-A.............................................................................................................. 39 TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST UNILATÉRAL (A = 0,01)..................................................39 TABLE VI-B ............................................................................................................. 40 TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST BILATÉRAL (A = 0,01)....................................................40 BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................... 41
  • 4. _______________________________________________________________________________ 1 ______________________________________________________________________________ Avertissement AVERTISSEMENT Ce document se propose de vous fournir l'essentiel des connaissances qui vous permettront de mieux comprendre les concepts et les outils de la statistique. C'est un ouvrage d'initiation dont l'objectif principal est l'acquisition des techniques de base de la statistique ainsi que l'interprétation des résultats qui en découlent. Pour cela, les fondements mathématiques des théories exposées ne sont pas développés. Nous avons pensé que ce document est destiné surtout à des utilisateurs de l'outil statistique et non à des théoriciens. Afin de répondre aux difficultés que rencontrent les étudiants pour transposer les connaissances théoriques à l'application pratique, le document réunit l'essentiel des connaissances avec de nombreux exemples d'application illustrant les parties théoriques. Les connaissances importantes, qu'il faut absolument garder à l'esprit, sont signalées en grisé dans le texte. Les connaissances s’enchaînent dans un ordre logique. Chaque nouvelle notion introduite suppose que d’autres notions sont connues. En commençant par découvrir ces nouvelles notions, notamment à l’aide des exemples proposés, vous pouvez rencontrer des difficultés dues à une mauvaise assimilation de notions précédentes. Il faut donc systématiquement revenir en arrière et reprendre le cours mal assimilé. Ces allers et retours dans le cours sont presque inévitables. Ne soyez donc pas découragés pour autant. Vous verrez alors que, petit à petit, les nouvelles notions s’éclaircissent et se mémorisent de mieux en mieux. PRÉREQUIS INDISPENSABLES À L'ÉTUDE DE CE LIVRET… Dans ce livret, on expose d'abord les problèmes relatifs à la comparaison de deux variances puis ceux relatifs à la comparaison de deux moyennes en distinguant les différentes éventualités possibles. Pour une meilleure assimilation des connaissances exposées, l'étude de ce livret suppose une bonne connaissance du principe des tests statistiques, de la formulation et la résolution des problèmes de statistique. Si vous avez des difficultés à remobiliser ces notions supposées acquises, reportez-vous au livret 2/4 de la série, en particulier au chapitre 4 : Interprétation statistique COMMENT TRAITER UN EXERCICE DE STATISTIQUE ? La rédaction d’un exercice d’un test d’évaluation, d’un devoir ou à une épreuve d'examen, doit être réalisée avec le plus grand soin. • Faites d’abord une première lecture rapide de l’énoncé de manière à situer le problème posé en relation avec votre programme.
  • 5. _______________________________________________________________________________ 2 ______________________________________________________________________________ Avertissement - Quelles sont les données (nature de la variable, loi de probabilité, taille de l’échantillon, paramètres donnés…) ? - Que vous demande-t-on ? - Les questions sont-elles liées ? - Quelle table statistique utiliser ? • Commencez alors par résoudre l’exercice sur du brouillon, question par question. • A l'examen, on vous jugera à la démarche adoptée pour résoudre les exercices mais aussi à la rédaction et à la présentation du travail fourni, que beaucoup d'étudiants négligent en se contentant par exemple, - d' « appliquer » des formules sans expliquer les conditions d'applications, - d'aboutir par le calcul à des décisions « statistiques » mais sans une interprétation rigoureuse de leurs conclusions. Si certains exercices proposés précisent les conditions des données, il n'en est pas de même pour d'autres. C'est donc à vous de le faire en tout début de la rédaction. Si vous rédigez, c’est pour être lu. Soignez vos copies. N’imposez pas à votre correcteur de vous « déchiffrer ». Il peut se lasser… Vous risquez alors de perdre des points inutilement. - Faites attention aux calculs numériques et aux unités. Les ordres de grandeurs doivent être respectés. - Chaque résultat final d’une question doit être souligné proprement et suivi d’une petite conclusion. CONSEILS GÉNÉRAUX DE TRAVAIL Ce livret se présente sous forme de séquences de travail visant des objectifs pédagogiques formulés dès le départ. Les évaluations qui vous sont proposées à la fin des séquences visent à vérifier l'atteinte des objectifs visés par la séquence de travail proposée. Pour cela, nous vous conseillons : • de travailler aussi régulièrement que possible ; • d'éloigner de votre vue tout ce qui peut vous distraire : magazines, journaux, radio, télé… • d'avoir toujours sous la main une calculatrice, du brouillon, un crayon de papier et une gomme ; • de vérifier, chaque fois que vous avez un doute, les calculs développés ; • de traiter la totalité des exercices d'application proposés avant de passer à la séquence suivante ; • d'établir une fiche de synthèse à la fin de chaque séquence de travail ; elle vous sera très utile pour la séquence suivante ; • si vous avez la chance d'avoir un micro et de maîtriser EXCEL, n'hésitez pas à rentrer les données des exercices proposés et de faire exécuter les calculs par le logiciel ; cela vous permettra de faire des simulations en changeant les données pour « voir ce qui se passe ». Tous les enseignants et pédagogues connaissent très bien la difficulté de rédiger un cours de statistique. Tous savent combien il est délicat de traiter un problème de statistique en faisant l'impasse sur des concepts qui le sous-tendent. Ceux qui se référeront au présent document voudront bien l'utiliser avec indulgence et en nous communiquant, éventuellement, leurs remarques et suggestions. Nous les remercions par avance.
  • 6. _______________________________________________________________________________ 3 ______________________________________________________________________________ 7. Comparaison de deux variances Séquence de travail n° 1 3 h COMPARAISON DE DEUX VARIANCES [ de population ] TEST DE SNEDECOR 7 Objectifs pédagogiques : A la fin de cette séquence, mais étape par étape, vous devriez être capable : 1. de situer le problème de la comparaison de deux variances ; 2. d'utiliser le test et les tables statistiques de Snedecor ; 3. d'effectuer les calculs nécessaires et prendre les décisions appropriées dans différentes situations de tests d'hypothèses sur deux échantillons.
  • 7. _______________________________________________________________________________ 4 ______________________________________________________________________________ 7. Comparaison de deux variances I. POSITION DU PROBLÈME ET NOTATIONS En pratique, on ne connaît jamais ni la moyenne , ni la variance 2 d'une population dont l'effectif est généralement infini ou très grand. Une des grandes difficultés qu'éprouvent les étudiants dans les problèmes relatifs aux distributions d'échantillonnage, aux comparaisons des variances ou des moyennes réside dans les notations. Aussi, par souci de clarté, nous rappelons dans le tableau ci-dessous les notations fondamentales qu'il faut toujours avoir à l'esprit. Considérons la variable aléatoire X dans deux populations différentes P1 et P2 avec les notations résumées dans le tableau ci-dessous : Paramètres Population 1 Population 2 Effectif N1 ou ∞ N2 ou ∞ Moyenne µ1 µ2 Variance 1 2 2 2 Population Variance estimée ^ 1 2 = SCE1 n1 -1 = n1 n1-1 s1 2 ^ 2 2 = SCE2 n2 -1 = n2 n2-1 s2 2 Écart type estimé ^ 1 = SCE1 n1 -1 = n1 n1-1 . s1 ^ 2 = SCE2 n2 -1 = n2 n2-1 .s2 Échantillon 1 Échantillon 2 Effectif n1 n2 Échantillon Moyenne x 1 x 2 Variance s1 2 = SCE1 n1 s2 2 = SCE2 n2 De P1 on extrait un échantillon E1, de taille n1, pour lequel on calcule la moyenne x 1 et ^ 1 valeur estimée de 1. De P2 on extrait un échantillon E2, de taille n2, pour lequel on calcule la moyenne x 2 et ^ 2 valeur estimée de 2. Les échantillons E1 et E2 sont supposés indépendants. Le problème est de savoir s'il existe une différence significative entre 1 2 et 2 2 . On teste donc : Ho : 1 2 = 2 2
  • 8. _______________________________________________________________________________ 5 ______________________________________________________________________________ 7. Comparaison de deux variances Pourquoi ce test d'égalité des variances ? Nous verrons au chapitre suivant que la condition d'égalité des variances est indispensable à la réalisation de certains tests.
  • 9. _______________________________________________________________________________ 6 ______________________________________________________________________________ 7. Comparaison de deux variances II. TEST DE COMPARAISON DE DEUX VARIANCES EXPÉRIMENTALES - TESTD'HOMOGÉNÉITÉ L'hypothèse nulle consiste à considérer qu'il n' y a pas de différence significative entre les deux variances : Ho : 1 2 = 2 2 ; cette hypothèse est opposée à H1 : 1 2 ≠ 2 2 Si Ho est vraie, ^ 1 2 et ^ 2 2 sont deux estimateurs de la même variance et le rapport ^ 1 2 ^ 2 2 doit être très proche de 1. Au contraire si Ho est fausse, ce rapport prend des valeurs très différentes de 1. ^ 1 2 [ numérateur ] > ^ 2 2 [ dénominateur ] par convention Donc, si Ho est vraie, Fo = ^ 1 2 ^ 2 2 est une variable aléatoire de Fisher-Snedecor à 1 = n1 - 1 degrès de liberté et 2 = n2 - 1 degrès de liberté. Le test de Snedecor ou test F, consiste alors à calculer le rapport : Fobs = ^ 1 2 ^ 2 2 et comparer la valeur de Fobs à la valeur de F des tables de Fisher (tables V et VI en fin du livret) avec, ddl 1=  = n1 - 1 (numérateur) ; ddl 2=  = n2 - 1 (dénominateur) Pour un test bilatéral (H1 : 1 2 ≠ 2 2 ) la règle de décision est la suivante : Si, Fobs < Ftable  On accepte Ho. Les variances peuvent être considérées comme égales (homogènes). Risque  de deuxième espèce. Si, Fobs ≥ Ftable  On rejette Ho. Les variances ne peuvent pas être considéreés comme homogènes. Risque de première espèce. • Ce test n'est valable que si les populations étudiées sont normales. • En pratique, le test F, appliqué à la comparaison de deux moyennes d'échantillons de faibles effectifs et destiné à vérifier l'égalité des variances, est donc un test bilatéral. En revanche, dans l'analyse de variance, le test F est un test unilatéral à droite (cf. chapitre "Analyse de variance").
  • 11. _______________________________________________________________________________ 8 ______________________________________________________________________________ 7. Comparaison de deux variances III. APPLICATIONS Exemple 1 Deux méthodes de dosage de l'azote ont été répétées, à partir d'un même échantillon, 25 fois avec la méthode A et 30 fois avec la méthode B. Comparer la variabilité des 2 méthodes sachant que les résultats obtenus ont conduit à une somme des carrés des écarts de 121,2 pour la méthode A et 53,8 pour la méthode B. ******** Soient, X1 la variable aléatoire : teneur en azote obtenue par la méthode A X2 la variable aléatoire : teneur en azote obtenue par la méthode B E( X1 ) = 1 V( X1) = 1 2 E( X2 ) = 2 V( X2 ) = 2 2 On supposera X1 et X2 normales Comparer la variabilité des deux méthodes revient à tester Ho : 1 2 = 2 2 L'échantillon extrait de la population 1 a donné SCE = 121,2, donc :  ^ 1 2 = 121,2 25-1 et ^ 2 2 = 58,3 30-1 Fobs = ^ 1 2 / ^ 2 2 = 2,51 Pour  = 25 - 1 et  = 30-1 ddl, la table V-B de Fisher donne : • Pour  = 0,05, Ftable est compris entre 2,21 et 2,09 Fobs > Ftable  on rejette donc Ho avec un risque de 5 %. Il y a une différence significative de variabilité entre les deux méthodes de dosage comparées. Il arrive que 1 ne soit pas une valeur affichée dans la table. Dans ce cas, il faut prendre les deux valeurs qui encadrent et conclure.
  • 12. _______________________________________________________________________________ 9 ______________________________________________________________________________ 7. Comparaison de deux variances Exemple 2 Soient deux populations normales dont on a extrait au hasard deux échantillons de tailles respectives 13 et 25 et de variances respectives 24 et 32. Peut-on considérer les variances comme homogènes ? ******** Ho : 1 2 = 2 2 • Estimation des variances inconnues des populations ^ 1 2 = n1 n1-1 s1 2 = 13 12 x 24 = 26,00 ^ 2 2 = n2 n2-1 s2 2 = 25 24 x 32 = 33,33 • Calcul de F : Fobs = ^ 2 2 ^ 1 2 = 33,33 26,00 = 1,282 • Règle de décision 1 , ddl du numérateur = 25 - 1 = 24 2 , ddl du dénominateur = 13 - 1 = 12 La table V-B n'affiche pas 24 mais affiche les valeurs pour 1 = 20 (3,07) et 1 = 30 (2,96) Pour la valeur intermédiaire, 24 est situé entre ces deux valeurs, c'est-à-dire : 3,07 > F24;12;0,05  3,02 > 2,96 L'interpolation se fait ainsi : Ftable; 24; 12; 0,05 = 3,07 - (3,07 - 2,96) (24 - 20) 30 - 20 = 3,02 Comme Fobs < Ftable  on accepte ; les deux variances peuvent être considérées comme homogènes au risque de 5 %. Attention ! Dans cet exemple , c'est la deuxième variance qui est la plus grande ; on a considéré le rapport Fobs = ^ 2 2 ^ 1 2 Dans ces conditions la colonne à choisir était 1 = 24 et la ligne 2 = 12.
  • 14. ______________________________________________________________________________ 11 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes Séquence de travail n° 2 10 h TESTS RELATIFS AUX MOYENNES 8 Objectifs pédagogiques : A la fin de cette séquence, vous devriez être capable : 1. d'expliquer le but poursuivi dans un test d'hypothèses sur deux moyennes et la démarche à suivre pour effectuer ces tests ; 2. de situer les problèmes relatifs à la comparaison de deux moyennes ; 3. de distinguer les tests relatifs aux grands échantillons des tests relatifs aux petits échantillons ; 4. de citer les conditions d'application des différents tests relatifs aux moyennes ; 5. de comparer une moyenne observée à une moyenne théorique en utilisant le test approprié ; 6. de comparer deux moyennes observées sur deux échantillons indépendants en utilisant le test approprié ; 7. de comparer deux moyennes observées sur deux échantillons appariés en utilisant le test approprié.
  • 15. ______________________________________________________________________________ 12 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes RAPPELS DE BASE ET NOTATIONS La théorie de l'échantillonnage a pour objet l'étude des relations qui existent entre la distribution d'un caractère dans une population-mère, et les distributions de ce caractère dans les différents échantillons prélevés dans cette population. Pour que ces relations soient valables, il faut que l'échantillon soit prélevé d'une manière aléatoire, c'est-à-dire que tous les individus de la population aient la même chance d'être prélevés. Soit X, un caractère quantitatif étudié dans une population d'effectif N. La distribution de X dans cette population sera notée (, ) où  •  = E (X) = moyenne du caractère X • V(X) = 2 •  =  (X) = l'écart type du caractère X Le caractère quantitatif X est étudié sur un échantillon de taille n. Les valeurs obtenues ont pour moyenne x et pour variance s2. Dans ce chapitre nous étudierons successivement : • La comparaison d'une moyenne observée à une moyenne théorique. Les notations seront alors les suivantes : Paramètres Population Échantillon Valeurs réelles Valeurs estimées (sur l'échantillon) Variable X - x Effectif N ou ∞ - n Moyenne E (X) ^ = x estimation ponctuelle x =  nixi n Variance 2 = V(X) ^ 2 = n n-1 s2 = SCE n-1 s2 = SCE n Écart type  = V(X) ^ = n n-1 s = SCE n-1 s = SCE n • La comparaison de deux moyennes observées sur des échantillons indépendants ou appariés. Les notations seront celles présentées en début du chapitre 7.
  • 16. ______________________________________________________________________________ 13 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes Dans tout ce qui suivra, nous utiliserons l'expression « grands échantillons » lorsque les effectifs n1 et/ou n2 ont une taille supérieure ou égale à 30 et « petits échantillons », lorsque les effectifs n1 et/ou n2 ont une taille inférieure à 30.
  • 17. ______________________________________________________________________________ 14 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes I. COMPARAISON D'UNE MOYENNE OBSERVÉE x À UNE MOYENNE THÉORIQUE (µO) : TEST DE CONFORMITÉ Soit X une v.a définie sur une population telle que : E (X) =  V(X) = 2 Le caractère quantitatif X est observé sur un échantillon de taille n. Il s'agit de savoir si cet échantillon de moyenne x et d'écart type s est représentatif ou non de la population d'où il est extrait et dont les paramètres sont  et . En d'autres termes, la différence observée entre  et x peut-elle être attribuée au hasard (fluctuations d'échantillonnage) ou non ? Si cette différence observée est attribuée au hasard, cela veut dire que x peut être représentative de . Danslecascontraire,onnepeutconsidérer x commereprésentativede. D'une façon générale, étant donné un paramètre  inconnu d'une population, nous voulons tester la conformité de ce paramètre à une valeur numérique 0 , qui est choisie par l'expérimentateur en fonction de données antérieures, d'une théorie particulière… ; autrement dit, nous voulons tester l'hypothèse nulle : :  = 0 opposée à l'hypothèse alternative : H1 :  ≠ 0 Bien évidemment,  sera estimé à partir d'un échantillon de la population étudiée. Si la valeur d est proche de 0 , on gardera Ho, sinon on la rejette. Cela revient donc à établir une décision c'est-à-dire déterminer pour quelles valeurs de d on gardera H ; et comme nous sommes dans le domaine de l'aléatoire, toute conclusion sera entachée d'un risque d'erreur : • risque de première espèce quand on rejette Ho , • risque de deuxième espèce quand on garde Ho. Rappelons enfin (chapitre 4, § 5-2) que si la v.a X est normale ou si l'échantillon est de grande taille, la v.a X obéit à une loi normale d'espérance et d'écart type / n . 1. La variance de la population 2 est connue La variable aléatoire,
  • 18. ______________________________________________________________________________ 15 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes U = X -   n obéit à une loi normale N (0, 1). Si Ho est vraie, alors 0 =  , et la v.a U devient Uo (ou obs) tel que : Uo = X -    n qui obéit à une loi normale N (0, 1). Dans ce cas, pour tester : Ho :  = 0 il faut calculer l'expression :  obs  = X -   n X prendra la valeur x , calculée sur l'échantillon • Siobs< table, on accepte Ho . Pas de différence significative entre la moyenne  de la population et la valeur théorique o . Risque  de deuxième espèce. • Siobs≥ table, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à , lu dans la table de l'écart réduit fixe le degré de signification.  Exemple Des sacs de concentré pour bétail sont donnés avec une étiquette portant la masse = 60 kg ; l'écart type est de 2 kg. Un éleveur achète 16 sacs de ce concentré dont le poids moyen est de x = 58,5 kg. Peut-on admettre aux seuils de 0,95 et 0,99, que les données du fabriquant sont exactes ? On admet que le poids des sacs suit une loi normale. ******** Nous sommes dans le cas d'un échantillon de petite taille extrait d'une population normale dont la variance est connue. On peut donc appliquer le test de : Ho :  =  | obs | = x -    n = 5 8 , 5 - 6 0 2 / 1 6 = 3
  • 19. ______________________________________________________________________________ 16 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes Pour = 1,96 et pourtable = 2,58  | obs | >  table : On rejette Ho. Risque de première espèce. La différence est significative dans les deux cas. Les données du fabriquant ne sont pas conformes à l'étiquette. 2. La variance de la population 2 est inconnue  Si le caractère étudié obéit à une loi normale et que  n'est pas connu, il sera estimé par : ^ = écart type estimé sur l'échantillon  ^ = n n-1 . s = SCE n-1 Dans ce cas, la variable aléatoire, T = X -  ^ / n obéit à une loi de Student à n - 1 degrés de liberté. Si Ho est vraie, alors 0 =  , et la v.a T devient To (ou tobs) tel que : To = X -   ^ / n qui obéit à une loi de Student à n - 1 degrés de liberté. Dans ce cas, pour tester : Ho :  = 0 il faut calculer l'expression :  tobs  = X -   ^ / n X prendra la valeur x , calculée sur l'échantillon • Sitobs< ttable, on accepte Ho . Pas de différence significative entre la moyenne  de la population et la valeur théorique o . Risque  de deuxième espèce. • Sitobs≥ ttable, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à t, lu dans la table de Student fixe le degré de signification. Exemple
  • 20. ______________________________________________________________________________ 17 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes A la suite d'un traitement sur des rats d'une certaine espèce, on prélève un échantillon de 5 rats et on les pèse. On obtient les poids suivants en g : 83 ; 81 ; 84 ; 80 ; 85. A la même époque, un grand nombre de mesures a permis d'établir que les rats de cette espèce non traités avaient un poids moyen de 87,6 g. Y-a-t-il une différence significative entre les poids des rats traités et ceux des rats non traités ? On supposera que la variable poids suit une loi normale. ******** Il s'agit de comparer, sur un petit échantillon de taille n = 5, une moyenne observée x = 82,6 g à une moyenne théorique  = 87,6 g. On ne connaît pas . Il faut l'estimer par  ^ = n n-1 s . Pour cela il faut calculer s sur l'échantillon. On trouve ^ = 2,07. Sous : Ho :  | t o b s | = x -   ^ n = 5 , 3 9 d d l = 5 - 1 = 4  t t a b l e = 2,776 | t o b s | > t t a b l e , on rejette Ho. Cela veut dire que le traitement a eu une influence significative sur le poids des rats. Risque de première espèce.
  • 21. ______________________________________________________________________________ 18 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes II. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES OBSERVÉES SUR DES ÉCHANTILLONS INDÉPENDANTS TESTS D'HOMOGÉNÉITÉ DE DEUX POPULATIONS Position du problème On considère deux populations P1 et P2 où un caractère quantitatif X a pour moyennes inconnues 1 et 2 respectivement dans P1 et P2. Il s'agit de savoir s'il existe une différence significative entre ces deux moyennes inconnues à partir de la comparaison de deux échantillons extraits des populations P1 et P2. • 1 peut être considéré comme la réalisation d'une variable aléatoire X1 définie sur l'ensemble des échantillons de taille n1 de la population P1 ; • 2 peut être considéré comme la réalisation d'une variable aléatoire X2 définie sur l'ensemble des échantillons de taille n2 de la population P2 . L'emploi des méthodes ci-dessous est subordonné en général à deux conditions d'application importantes : la normalité des populations et le caractère aléatoire et simple des échantillons. La première condition n'est cependant pas essentielle lorsque les échantillons ont des effectifs suffisants pour assurer la normalité des distributions d'échantillonnage des moyennes. En plus de ces deux conditions, nous devrons supposer, dans certains tests de comparaison, l'égalité des variances des populations considérées. De ce fait, nous nous positionnerons dans le cas général où les variances des populations 12 et 22 sont inconnues et nous distinguerons les cas suivants : • cas où les variances des deux populations sont inconnues mais égales ; • cas où les variances des deux populations sont inconnues et différentes. 1. Cas des populations de même variance : 12 = 22 Pour s'assurer de l'égalité des estimations des variances ^ 1 2 et ^ 2 2 , obtenues à partir des échantillons, il faut faire le test d'égalité de deux variances (cf. chapitre 7). On démontre alors que la meilleure estimation de la variance communeest : ^ 2 = SCE1 + SCE2 n1 + n2 - 2 Si X1 et X2 sont normales, la variable aléatoire :
  • 22. ______________________________________________________________________________ 19 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes T = X1 - X2 - (1 - 2) SCE1 + SCE2 n1 + n2 - 2 [ 1 n1 + 1 n2 ] obéit à une loi de Student à n1 + n2 - 2 degrés de liberté Pour tester l'hypothèse : Ho : 1 = 2 il faut calculer la valeur t de Student : t obs = x1 - x2 ^2 [ 1 n1 + 1 n2 ] = x1 - x2 SCE1 + SCE2 n1 + n2 - 2 [ 1 n1 + 1 n2 ] ou alors, t obs = x1 - x2 ^ 1 n1 + 1 n2 • Sitobs< table, pour ddl = n1 + n2 - 2, on accepte Ho . Risque  de deuxième espèce. • Sitobs≥ ttable, on rejette Ho et le risque de première espèce, correspondant à t, lu dans la table de Student, fixe le degré de signification. Si n1 = n2 = n, Dans ce cas, l'hypothèse d'égalité des variances n'est plus fondamentale Nous avons : SCE1 n1 (n1 - 1) + SCE2 n2 ( n2 - 1) = SCE1 + SCE2 n (n - 1) et l'expression précédente devient : tobs = x1 - x2 SCE1 + SCE2 n (n - 1) avec 2n - 2 degrés de liberté. Rappelons que ce test suppose la normalité des deux populations. Cependant, si les effectifs sont élevés (≥ 30), on peut remplacer dans les expressions ci-dessus, la valeur du t de la table de Student, par la valeur correspondante de
  • 23. ______________________________________________________________________________ 20 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes l'écart réduit, . Dans ce cas, l'hypothèse de normalité des populations devient relativement secondaire. Exemple On voudrait comparer le poids moyen d'animaux âgés d'un an et qui ont reçu l'une ou l'autre des deux rations A et B depuis leur naissance. L'observation a porté sur 24 animaux. 1. Comment faut-il répartir à la naissance les 24 animaux en deux groupes de 12 (A et B) afin d'étudier l'influence des rations sur le poids des animaux ? 2. les résultats observés sont les suivants : Poids des animaux en g Ration A Ration B 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 0 1 2 3 4 2 0 3 3 3 1 0 1 1 Effectif n1 = 12 n2 = 12 Calculer la moyenne et la variance du poids des animaux dans les deux groupes. 3. Quelles hypothèses faut-il formuler pour tester l'égalité des moyennes ? Ces hypothèses étant réalisées, trouvez-vous une influence de la ration sur le poids des animaux au seuil de 5 % ? ******** 1. Il faut répartir les 24 animaux, au hasard, en deux groupes, de façon à obtenir des échantillons indépendants. 2. Après calculs on trouve : x 1 = 1 633,33 g s1 2 = 13 888, 89 x 2 = 1 491,67 g s2 2 = 34 097,22 3. On veut tester : Ho : 1 = 2 L'hypothèse que l'on doit faire est que le poids est distribué normalement dans les deux populations. ^ 2 = n [s1 2 + s2 2] 2n - 2 = 12 [13 888,89 + 34 097,22] 2. 12 - 2 = 26 174,24 et tobs = x1 - x2 ^2 [ 1 n + 1 n ] = 1 633,33 - 1 491,67 26 174,24 . [1/12 + 1/12] = 2,14
  • 24. ______________________________________________________________________________ 21 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes Pour ddl = 2n - 2 = 2.12 - 2 = 22, la table de Student donne au risque  = 5 % : ttable = 2,074 tobs > ttable  Différence significative entre les deux moyennes. Risque de première espèce.
  • 25. ______________________________________________________________________________ 22 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes 2. Cas des populations de variances inégales : 12 ≠ 22 1 . Cas des grands échantillons : n1 ≥30 et n2 ≥ 30 La variable aléatoire , U= X1 - X2 - (1 - 2 ) 1 2 n1 + 2 2 n2 obéit à une loi normale N (0, 1). Les variances 1 2 et 2 2 peuvent être remplacées par leurs estimations respectives ^ 1 2 et ^ 2 2 avec : ^ 1 2 = SCE1 n1 - 1 et ^ 2 2 = SCE2 n2 - 1 Pour tester : Ho :1 = 2 on calcule l'expression : obs= x1 - x2 ^1 2 n1 + ^2 2 n2 qui peut s'écrire : obs = x1 - x2 SCE1 n1 (n1 - 1) + SCE2 n2 ( n2 - 1) • Siobs< table, on accepte Ho . Risque  de deuxième espèce. • Siobs≥ table, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à , lu dans la table de l'écart réduit, fixe le degré de signification. Si n1 = n2 = n l'expression précédente devient : Erreur !) On retrouve alors la formule précédente (§ 1. Cas des populations de même variance). C'est d'ailleurs ce qui explique la non nécessité de l'hypothèse d'égalité des variances lorsque les effectifs sont égaux.
  • 26. ______________________________________________________________________________ 23 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes Exemple Un dosage d'une même substance sur deux groupes d'individus provenant de 2 populations différentes a donné les résultats suivants : Groupe 1: n1 = 35 ; x1 = 0,95 et SCE1 = 0,06 Groupe 2 : n2 = 42 ; x2 = 0,60 et SCE2 = 0,02 Les deux populations sont-elles comparables statistiquement ? ******** Les échantillons extraits de chaque population sont indépendants, d'effectifs inégaux et de grande taille Ho : 1 = 2 s1 2 = 0,06/35  s2 2 = 0,02/42  obs = x1 - x2 SCE1 n1(n1-1) + SCE2 n2 (n2-2) = 0,95 - 0,60 0,06 35.34 + 0,02 42.41 = 44,45  obs> 2, 58. On rejette Ho avec un risque de première espèce inférieur à 1 %. Les deux populations diffèrent significativement. 2. Cas des petits échantillons : n1 < 30 et n2 < 30 Quand les effectifs des deux échantillons ne sont pas suffisamment élevés, pour tester l'hypothèse d'égalité des moyennes, on peut utiliser d'une manière approchée la quantité tobs = x1 - x2 ^1 2 n1 + ^2 2 n2 Il faut alors la comparer au t de la table de Student avec un ddl = k donné par la relation : k = [ SCE1 n1 (n1 - 1) + SCE2 n2 (n2 - 1) ] 2 1 n1 - 1 [ SCE1 n1 (n1 - 1) ] 2 + 1 n2 - 1 [ SCE2 n2 (n2 - 1) ] 2 C'est le test de COCHRAN.
  • 28. ______________________________________________________________________________ 25 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes 3. Résumé des comparaisons de deux moyennes observées sur des échantillons indépendants Tableau résumant les valeurs de obs ou tobs selon les différentes situations possibles : cas où les variances des populations sont inconnues.   Cas où les variances des populations sont inconnues mais égales   =   q populations normales : n1 et/ou n2 < 30 Erreur !) 2 = Erreur ! tobs = x1 - x2 ^ 1 n1 + 1 n2 ddl = n1 + n2 - 2 ∂ q si n1 = n2 = n tobs = x1 - x2 SCE1 + SCE2 n (n-1) ddl = 2n - 2 ∑ Cf. test relatif à la comparaison de deux variances q grands échantillons obs = x1 - x2 ^ 1 n1 + 1 n2 ∏ l'hypothèse de normalité des populations n'étant plus nécessaire
  • 29. ______________________________________________________________________________ 26 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes  Cas où les variances des populations sont inconnues mais différentes   ≠   q grands échantillons ^ 1 2 = SCE1 n1 - 1 ; ^ 2 2 = SCE2 n2 - 1  obs= x1 - x2 ^1 2 n1 + ^2 2 n2 π q si n1 = n2 = n obs = x1 - x2 SCE1 + SCE2 n (n-1) ∫ q petits échantillons Test de COCHRAN ª
  • 30. ______________________________________________________________________________ 27 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes III. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES OBSERVÉES SUR DES ÉCHANTILLONS APPARIÉS Dans ce cas on considère une population de couples. Deux échantillons E1 et E2 sont dits appariés lorsque chaque valeur X1 de E1 est associée à une valeur X2 de E2. Cette situation se présente lorsque, par exemple, on voudrait tester un traitement particulier sur des animaux. L'échantillon 1 sera le lot d'animaux avant traitement (moyenne du caractère x 1) et l'échantillon 2 sera le même lot mais après traitement (moyenne du caractère x 2). Les échantillons ont donc forcément le même effectif. Il s'agit alors de savoir s'il existe une différence significative ou pas entre les moyennes x 1 et x 2. La méthode des couples est difficile à mettre en œuvre car il n'est pas toujours facile de constituer des échantillons appariés, mais elle présente deux avantages importants : le test est plus puissant que dans le cas d'échantillons indépendants et on peut mettre en évidence des différences plus faibles. Soit X1, la v.a. correspondant à l'élément du couple soumis au traitement 1 et X2, la v.a. correspondant à l'élément du couple soumis au traitement 2. Considérons : • la v.a. D = X1 - X2 • l'espérance mathématique E(D) = et V(D) = 2 qui ne sont pas connus.  L'hypothèse testée est :  :  = 0 Il n' y a pas, en moyenne, de différence entre les deux traitements comparés. Cette hypothèse est opposée à : H1 :  ≠ 0 Il s'agit d'un test de conformité consistant à comparer la moyenne observée à une moyenne théorique D nulle L'expérimentation va donc porter sur n couples, pour lesquels la moyenne arithmétique de la variable D est d et l'écart type s. On a : d =  di n et ^ = SCEd n - 1  d'où : SCEd =  di 2 - ( di )2 n
  • 31. ______________________________________________________________________________ 28 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes 1. Cas des grands échantillons Pour tester l'hypothèse nulle : D = 0 , « la moyenne des différences est nulle » qui revient à tester : x1 = x2 [ ou  = 0 ] on calcule d'abord l'écart réduit,  , obs = d ^/ n obs = x 1 - x 2 SCEd n (n - 1) • Siobs< table, on accepte Ho . Risque  de deuxième espèce. • Siobs≥ table, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à , lu dans la table de l'écart réduit, fixe le degré de signification. 2. Cas des petits échantillons Même démarche, même formule en remplaçant  par t de Student : tobs = x 1 - x 2 SCEd n (n - 1) avec ddl = n - 1 • Sitobs< ttable, pour ddl = n- 1, on accepte Ho . Risque  de première espèce. • Sitobs≥ ttable, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à t, lu dans la table de Student, fixe le degré de signification. Exemple
  • 32. ______________________________________________________________________________ 29 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes Pour étudier l'influence de la fumure phosphorique sur la productivité des prairies temporaires, on a divisé 13 parcelles homogènes en deux ; une moitié a reçu 50 unités d'azote à l'hectare et l'autre moitié 50 unités d'azote et 90 unités d'acide phosphorique à l'hectare. Les rendements, en quantité de matière verte/ha sont les suivants : N° parcelles Rendement " 50 N " Rendement " 50 N + 90 P2O5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 185 105 102 131 83 46 113 70 89 147 119 91 78 193 119 138 185 111 57 122 116 114 167 128 120 100 Comment interpréter ces résultats ? ******** Soit d la variable aléatoire, différence entre le rendement d'une parcelle 50N + 90 P2O5 et le rendement de la parcelle homologue 50 N. E(d) =  V(d) = 2 On teste Ho :  = 0. Il faut supposer que la variable aléatoire d est normale. Les calculs se présentent ainsi : Rendement " 50 N " Rendement " 50 N + 90 P2O5 " di di2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 185 105 102 131 83 46 113 70 89 147 119 91 78 193 119 138 185 111 57 122 116 114 167 128 120 100 8 14 36 54 28 11 9 46 25 20 9 29 22 64 196 1296 2916 784 121 81 2116 625 400 81 841 484  di = 311  di2 = 10005 On en tire : d = 311/13 = 23,92 et SCE = 10005 - 3112/13 = 33344/13 = 2564,9 ^ 2 = SCE/n - 1 = 2564/12 = 213,66  ^ = 213,66 = 14,61
  • 33. ______________________________________________________________________________ 30 _____________________________________________________________________________ 7. Tests relatifs aux moyennes tobs = d ^ / n = 23,92 14,61/ 13 = 23,92 4,05 = 5,9 •  = 0,05, ddl = 12  t = 2,179 •  = 0,01, ddl = 12  t = 3,055 tobs > ttable  On rejette Ho. Il existe une influence hautement significative de la fumure phosphorique sur le rendement.
  • 35. ______________________________________________________________________________ 32 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques ANNEXE I RÈGLE DE DÉCISION DANS LE CAS DES TESTS UNILATÉRAUX Tous les tests exposés précédemment sont des tests bilatéraux. L'hypothèse à tester était alors Ho : 1 = 2 contre H1 : 1 ≠ 2 Dans le cas d'un test unilatéral (à droite ou à gauche), le raisonnement restera le même sauf en ce qui concerne la zone de rejet. Par exemple, pour la comparaison des moyennes de deux échantillons indépendants l'hypothèse à tester restera Ho : 1 = 2 mais elle sera testée contre : • H1 : 1 > 2 • ou H1 : 1 < 2 Étudions les deux cas… • H1 : 1 > 2 Cette façon de procéder revient à écarter à priori l'éventualité 1 < 2 . La valeur de obs est forcément positive c'est-à-dire obs > 0 Pour un risque  donné (5 % par exemple), la valeur de table correspond, non plus à ± 1,96, mais à + 1,64 ( Cf. chapitre 4 sur le principe général des tests statistiques ).  Zone de rejet de Ho La règle de décision est alors la suivante : - si obs < 1,64, on accepte Ho c'est-à-dire qu'on rejette H1 - si obs ≥ 1,64, on rejette Ho c'est-à-dire qu'on accepte H1 : 1 > 2 • H1 : 1 < 2 La valeur de obs est négative c'est-à-dire obs < 0
  • 36. ______________________________________________________________________________ 33 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques  Zone de rejet de Ho Pour un risque  donné (5 % par exemple), la valeur de table correspond alors à - 1,64. La règle de décision est alors la suivante : • si obs < - 1,64, on rejette Ho c'est-à-dire qu'on accepte H1 : 1 < 2 • si obs ≥ - 1,64, on accepte Ho c'est-à-dire qu'on rejette H1 Le même type de raisonnement peut être fait avec le test de Student Exemple. On a mesuré la taille des pères et celle de leurs fils. On a obtenu les résultats suivants : fils pères n1 = 280 x 1 = 174,82 s1 2 = 75,58 n2 = 200 x 2 = 171,82 s2 2 = 74,61 La différence entre les moyennes de la taille des fils et la taille des pères indique-t-elle une variation réelle (en plus ou en moins) en passant d'une génération à l'autre ? ******** Nous sommes dans un cas de comparaison de deux moyennes calculées sur deux échantillons indépendants et de grande taille. Les variances des populations, 1 2 et 2 2 ne sont pas connues mais peuvent être estimées  ^ 1 2 = n1 n1 - 1 s1 2 ou ^ 1 2 n1 = s1 2 n1 - 1 = 75,58/279 = 0,271 ^ 2 2 = n2 n2 - 1 s2 2 ou ^ 2 2 n2 = s2 2 n2 - 1 = 74,61/199 = 0,375
  • 37. ______________________________________________________________________________ 34 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques Faisons un test bilatéral… Ho : 1 = 2 obs= x1 - x2 ^ 1 2 n1 + ^ 2 2 n2 = 174,82 - 171,87 0,271 + 0,375 = 2,95 0,803 = 3,67 Pour  = 0,05, table = 1,96  obs > table la différence est donc significative. On rejette Ho. Faisons à présent un test unilatéral… Dans ce cas, on teste Ho : 1 = 2 contre H1 : 1 > 2 Nous sommes dans un cas ou obs sera forcément positif Pour  = 0,05, table = + 1,64 Comme obs > table , on accepte H1 autrement dit la taille des fils peut être considérée comme supérieure à celle des pères.
  • 38. ______________________________________________________________________________ 35 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques ANNEXE II COMMENT RECHERCHER L'ÉVENTUELLE NORMALITÉ D'UNE DISTRIBUTION ? L'ÉPREUVE DE NORMALITÉ Dans de nombreux tests présentés dans ce document, nous avons souvent supposé que la variable étudiée suit une loi normale. Comment vérifier l'hypothèse de la normalité d'une distribution ? Il existe de nombreuses méthodes dont la plus rigoureuse est celle du 2 d'ajustement que nous avons déjà étudiée. Nous vous exposons à présent une autre méthode qui fait appel à des notions déjà traitées : c'est la méthode de la droite de Henry. Illustrons cette méthode par un exemple… Considérons la série statistique suivante : Variable Effectif [5,25 ; 5,75] [5,75 ; 6,25] [6,25 ; 6,75] [6,75 ; 7,25] [7,25 ; 7,75] [7,75 ; 8,25] [8,25 ; 8,75] [8,75 ; 9,25] [9,25 ; 9,75] 1 6 6 9 15 17 10 8 3 n total = 75 La question est la suivante : peut-on, au vu de ces résultats considérer qu'il s'agit d'une distribution normale ? Pour répondre à cette question, il faut se souvenir que lors de l'étude de la loi normale N (m, ), nous avons procédé à un changement de variable en posant :
  • 39. ______________________________________________________________________________ 36 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques u = x - m  Dans ce cas, il existe une relation linéaire entre u et x puisque on peut écrire : u = 1  x - m  u = ax + b] Vérifions graphiquement si on retrouve cette relation affine avec les effectifs du tableau. Construisons pour cela un tableau dans lequel : • la première ligne représente les valeurs supérieures de chaque intervalle de classes ci-dessus • la deuxième ligne les fréquences cumulées croissantes (F.C.C) : exemple : 0,013 = 1/75 ; 0,093 = (1+6)/75 etc. • la troisième ligne représente les valeurs lues dans la table de la fonction de répartition de la façon suivante : Pour chaque valeur de F.C.C, on cherche la valeur de u correspondante dans la table I, fonction de répartition, mais en lecture inverse. Exemples • Quand F.C.C < 0,5… - Pour F.C.C = 0,013, u) = 1-0,013 = 0,987 et ui = - 2,23 (le signe moins correspondant alors aux probabilités inférieures à 0,5) - Pour F.C.C = 0,093, u) = 1-0,093 = 0,907 et ui = - 1,32 etc. • Quand F.C.C > 0,5… Dans ce cas la valeur ui est directement lue dans la table en fonction de la valeur de F.C.C - Pour F.C.C = 0,72, u) = 0,7190 et ui = 0,58 - Pour F.C.C = 0,853, u) = 0,8531 et ui = 1,05 etc. xi 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 8,25 8,75 9,25 9,75 F.C.C 0,013 0,093 0,173 0,293 0,493 0,72 0,853 0,96 1 ui -2,23 -1,32 -0,94 -0,54 -0,02 0,58 1,05 1,75 x
  • 40. ______________________________________________________________________________ 37 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques Traçons à présent le graphe représentant ui en fonction de xi . -3 -2 -1 0 1 2 6,25 6,75 7,75 8,25 8,75 9,25 m On constate alors que les points sont pratiquement alignés sur une droite dite droite de Henry. Cet alignement est un indicateur de la normalité de la distribution statistique considérée. On a, u = x-m  m correspond alors à l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses (dans notre cas m = 7,75). Par ailleurs, puisque u = 1/ x - m/1/ représente alors le coefficient directeur de la droite. Pour avoir ce coefficient directeur, il suffit de calculer la différence entre l'abscisse du point d'ordonnée 1 de la droite et m (en pointillé sur le graphe ci-dessus). Dans notre cas :   8,70 - 7,75  1
  • 41. ______________________________________________________________________________ 38 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques ANNEXE III MÉTHODE DE RÉSOLUTION D'UN TEST D'HYPOTHÈSES Exemple Les spécifications d'un certain aliment signalent que chaque unité doit contenir 2,5 g de sucre. 100 unités de cet aliment sont choisis au hasard dans la production puis analysés. Ils contiennent en moyenne 2,6 g de sucre avec un écart type estimé égal à 0,4 g. Estimez-vous ces spécifications correctes au seuil de 5 % ? ******** Il s'agit de comparer une moyenne théorique  = 2,5 g à une moyenne observée x = 2,6 g. Nous sommes dans le cas d'un grand échantillon extrait d'une population dont la variance est inconnue mais estimée sur l'échantillon. 1. Énoncer les hypothèses nulle et alternative Ho :  =  :  ≠  2. Choisir le seuil de signification désiré  = 0,05 3. Déterminer la distribution appropriée pour effectuer le test ( U (ou ) de l'écart réduit, t de Student…) Il s'agit d'un test de l'écart réduit U (ou ), car n > 100 4. Définir les régions de rejet Pour  = 0,05 ; table = ± 1,96 Test bilatéral 5. Établir la règle de décision • Si obs ≥ table : Différence significative. On rejette Ho. Risque de première espèce • Si obs < table : On accepte Ho. Risque  de deuxième espèce. 6. Exécuter les calculs nécessaires à partir des données échantillonnales Éventuellement : • calcul de la moyenne ou des moyennes • calcul de la variance estimée etc. 7. Calculer le rapport critique: t ; F ; 2 …  obs = x -   ^ / n = 2 , 6 - 2 , 5 0 , 4 / 1 0 0 = 2 , 5 8. Comparer le rapport critique avec la valeur donnée par la table correspondante  obs > table 9. Tirer une conclusion statistique concernant l'hypothèse nulle. On rejette Ho. Il existe une différence significative entre les spécifications annoncées et la valeur réelle.
  • 42. ______________________________________________________________________________ 39 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques TABLE I TABLE DE LA DISTRIBUTION NORMALE RÉDUITE FONCTION DE RÉPARTITION  (u) =   - u 1 2 e -1/2 u2 du Exemple :  (0,52) = 0,6985 ;  (-1,93) = 1 -  (1,93) = 1 - 0,97320 = 0,02680 u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91308 0,91466 0,91621 0,91774 1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189 1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408 1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449 1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327 1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062 1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670 2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169 2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574 2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899 2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158 2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361 2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520 2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643 2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736 2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807 2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992
  • 43. ______________________________________________________________________________ 40 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques 3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997
  • 44. ______________________________________________________________________________ 41 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques TABLE II TABLE DE LA LOI NORMALE CENTRÉE, RÉDUITE N (0,1) OU TABLE DE L'ÉCART RÉDUIT 0 + -   / 2 + •  / 2 1 -  N (0,1) - • La probabilité  s'obtient par addition des nombres inscrits en marge. Exemple : Pour  = 1,96, la probabilité est  = 0,00 + 0,05 = 0,05  0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 ∞ 2,577 2,327 2,171 2,054 1,960 1,881 1,812 1,751 1,696 0,10 1,645 1,598 1,555 1,514 1,476 1,440 1,405 1,372 1,341 1,311 0,20 1,282 1,254 1,227 1,201 1,175 1,150 1,127 1,103 1,080 1,058 0,30 1,037 1,015 0,995 0,974 0,954 0,935 0,915 0,897 0,878 0,860 0,40 0,842 0,824 0,806 0,789 0,772 0,755 0,739 0,723 0,706 0,690 0,50 0,675 0,659 0,643 0,628 0,613 0,598 0,583 0,568 0,553 0,539 0,60 0,524 0,510 0,496 0,482 0,468 0,454 0,440 0,426 0,412 0,399 0,70 0,385 0,372 0,358 0,345 0,332 0,319 0,305 0,292 0,279 0,266 0,80 0,253 0,240 0,228 0,215 0,202 0,189 0,176 0,164 0,151 0,138 0,90 0,126 0,113 0,100 0,088 0,075 0,063 0,050 0,038 0,025 0,013 TABLES POUR LES PETITES VALEURS DE   0,001 0,000 1 0,000 01 0,000 001 0,000 000 1 0,000 000 01 0,000 000 001  3, 290 53 3,890 59 4,417 17 4,891 64 5,326 72 5,730 73 6,109 41
  • 45. ______________________________________________________________________________ 42 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques TABLE III TABLE DE STUDENT La table donne la probabilité  pour que t égale ou dépasse, en valeur absolue, une valeur donnée, en fonction du nombre de degrés de liberté (ddl). Exemple : avec ddl = 10, pour t = 2,228, la probabilité est  = 0,05  0,90 0,50 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 ddl 1 0,158 1,000 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 636,578 2 0,142 0,816 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,600 3 0,137 0,765 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924 4 0,134 0,741 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 5 0,132 0,727 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 6 0,131 0,718 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 7 0,130 0,711 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 8 0,130 0,706 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 9 0,129 0,703 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 10 0,129 0,700 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 11 0,129 0,697 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 12 0,128 0,695 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 13 0,128 0,694 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 14 0,128 0,692 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 15 0,128 0,691 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 0,128 0,690 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 0,128 0,689 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 0,127 0,688 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922 19 0,127 0,688 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883 20 0,127 0,687 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850 21 0,127 0,686 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 22 0,127 0,686 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 23 0,127 0,685 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768 24 0,127 0,685 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745 25 0,127 0,684 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725 26 0,127 0,684 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 27 0,127 0,684 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689 28 0,127 0,683 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 29 0,127 0,683 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,660 30 0,127 0,683 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646 40 0,126 0,681 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551 80 0,126 0,678 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,416 120 0,126 0,677 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373 ∞ 0,126 0,675 1,037 1,282 1,645 1,960 2,327 2,577 3,293
  • 46. ______________________________________________________________________________ 43 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques TABLE IV TABLE DU 2 La table donne la probabilité  pour que 2 égale ou dépasse une valeur donnée, en fonction du nombre de degrés de liberté . Exemple : avec  = 3, pour 2 = 0,11 la probabilité  = 0,99.  0,99 0,975 0,95 0,90 0,10 0,05 0,025 0,01 0,001  1 0,0002 0,001 0,004 0,016 2,71 3,84 5,02 6,63 10,83 2 0,02 0,05 0,10 0,21 4,61 5,99 7,38 9,21 13,82 3 0,11 0,22 0,35 0,58 6,25 7,81 9,35 11,34 16,27 4 0,30 0,48 0,71 1,06 7,78 9,49 11,14 13,28 18,47 5 0,55 0,83 1,15 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 20,51 6 0,87 1,24 1,64 2,20 10,64 12,59 14,45 16,81 22,46 7 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,07 16,01 18,48 24,32 8 1,65 2,18 2,73 3,49 13,36 15,51 17,53 20,09 26,12 9 2,09 2,70 3,33 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 27,88 10 2,56 3,25 3,94 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 29,59 11 3,05 3,82 4,57 5,58 17,28 19,68 21,92 24,73 31,26 12 3,57 4,40 5,23 6,30 18,55 21,03 23,34 26,22 32,91 13 4,11 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 34,53 14 4,66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 36,12 15 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 37,70 16 5,81 6,91 7,96 9,31 23,54 26,30 28,85 32,00 39,25 17 6,41 7,56 8,67 10,09 24,77 27,59 30,19 33,41 40,79 18 7,01 8,23 9,39 10,86 25,99 28,87 31,53 34,81 42,31 19 7,63 8,91 10,12 11,65 27,20 30,14 32,85 36,19 43,82 20 8,26 9,59 10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 45,31 21 8,90 10,28 11,59 13,24 29,62 32,67 35,48 38,93 46,80 22 9,54 10,98 12,34 14,04 30,81 33,92 36,78 40,29 48,27 23 10,20 11,69 13,09 14,85 32,01 35,17 38,08 41,64 49,73 24 10,86 12,40 13,85 15,66 33,20 36,42 39,36 42,98 51,18 25 11,52 13,12 14,61 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 52,62 26 12,20 13,84 15,38 17,29 35,56 38,89 41,92 45,64 54,05 27 12,88 14,57 16,15 18,11 36,74 40,11 43,19 46,96 55,48 28 13,56 15,31 16,93 18,94 37,92 41,34 44,46 48,28 56,89 29 14,26 16,05 17,71 19,77 39,09 42,56 45,72 49,59 58,30 30 14,95 16,79 18,49 20,60 40,26 43,77 46,98 50,89 59,70
  • 47. ______________________________________________________________________________ 44 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques TABLE V-A TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST UNILATÉRAL ( = 0,05) Si F est une variable aléatoire qui suit la loi de Snedecor à : • degrés de liberté, (ddl du numérateur) et •  degrés de liberté, (ddl du dénominateur) La table donne le nombre f tel que Prob (F ≥ f ) =  = 0,05 Exemple : F0,05 = 3,36 pour 1 = 4 et 2 = 11   1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 30 ∞ 1 161 199 216 225 230 234 239 242 246 248 250 254 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,37 19,40 19,43 19,45 19,46 19,50 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,85 8,79 8,70 8,66 8,62 8,53 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,96 5,86 5,80 5,75 5,63 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,82 4,74 4,62 4,56 4,50 4,37 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,06 3,94 3,87 3,81 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,73 3,64 3,51 3,44 3,38 3,23 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,35 3,22 3,15 3,08 2,93 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,23 3,14 3,01 2,94 2,86 2,71 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,98 2,85 2,77 2,70 2,54 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 2,95 2,85 2,72 2,65 2,57 2,40 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,85 2,75 2,62 2,54 2,47 2,30 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,77 2,67 2,53 2,46 2,38 2,21 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,70 2,60 2,46 2,39 2,31 2,13 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,64 2,54 2,40 2,33 2,25 2,07 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,59 2,49 2,35 2,28 2,19 2,01 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,55 2,45 2,31 2,23 2,15 1,96 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,51 2,41 2,27 2,19 2,11 1,92 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,48 2,38 2,23 2,16 2,07 1,88 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,45 2,35 2,20 2,12 2,04 1,84 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,42 2,32 2,18 2,10 2,01 1,81 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,40 2,30 2,15 2,07 1,98 1,78 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,37 2,27 2,13 2,05 1,96 1,76 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,36 2,25 2,11 2,03 1,94 1,73 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,34 2,24 2,09 2,01 1,92 1,71 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,32 2,22 2,07 1,99 1,90 1,69 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,31 2,20 2,06 1,97 1,88 1,67 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,29 2,19 2,04 1,96 1,87 1,65 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,28 2,18 2,03 1,94 1,85 1,64 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,27 2,16 2,01 1,93 1,84 1,62 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,18 2,08 1,92 1,84 1,74 1,51 50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,13 2,03 1,87 1,78 1,69 1,44 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,10 1,99 1,84 1,75 1,65 1,39
  • 48. ______________________________________________________________________________ 45 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques 80 3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,06 1,95 1,79 1,70 1,60 1,32 100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,03 1,93 1,77 1,68 1,57 1,28 ∞ 3,84 3,00 2,61 2,37 2,21 2,10 1,94 1,83 1,67 1,57 1,46 1,01
  • 49. ______________________________________________________________________________ 46 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques TABLE V-B TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST BILATÉRAL ( = 0,05) Si F est une variable aléatoire qui suit la loi de Snedecor à : • degrés de liberté, (ddl du numérateur) et •  degrés de liberté, (ddl du dénominateur) La table donne le nombre f tel que Prob (F ≥ f ) =  = 0,05 Exemple : F0,05 = 4,28 pour 1 = 4 et 2 = 11   1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 30 ∞ 1 648 799 864 900 922 937 957 969 985 993 1001 1018 2 38,5 39,0 39,2 39,2 39,3 39,3 39,4 39,4 39,4 39,4 39,5 39,5 3 17,4 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,54 14,42 14,25 14,17 14,08 13,90 4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 8,98 8,84 8,66 8,56 8,46 8,26 5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,76 6,62 6,43 6,33 6,23 6,02 6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,60 5,46 5,27 5,17 5,07 4,85 7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,90 4,76 4,57 4,47 4,36 4,14 8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,43 4,30 4,10 4,00 3,89 3,67 9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,10 3,96 3,77 3,67 3,56 3,33 10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,85 3,72 3,52 3,42 3,31 3,08 11 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,66 3,53 3,33 3,23 3,12 2,88 12 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,51 3,37 3,18 3,07 2,96 2,73 13 6,41 4,97 4,35 4,00 3,77 3,60 3,39 3,25 3,05 2,95 2,84 2,60 14 6,30 4,86 4,24 3,89 3,66 3,50 3,29 3,15 2,95 2,84 2,73 2,49 15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,20 3,06 2,86 2,76 2,64 2,40 16 6,12 4,69 4,08 3,73 3,50 3,34 3,12 2,99 2,79 2,68 2,57 2,32 17 6,04 4,62 4,01 3,66 3,44 3,28 3,06 2,92 2,72 2,62 2,50 2,25 18 5,98 4,56 3,95 3,61 3,38 3,22 3,01 2,87 2,67 2,56 2,44 2,19 19 5,92 4,51 3,90 3,56 3,33 3,17 2,96 2,82 2,62 2,51 2,39 2,13 20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 2,91 2,77 2,57 2,46 2,35 2,09 21 5,83 4,42 3,82 3,48 3,25 3,09 2,87 2,73 2,53 2,42 2,31 2,04 22 5,79 4,38 3,78 3,44 3,22 3,05 2,84 2,70 2,50 2,39 2,27 2,00 23 5,75 4,35 3,75 3,41 3,18 3,02 2,81 2,67 2,47 2,36 2,24 1,97 24 5,72 4,32 3,72 3,38 3,15 2,99 2,78 2,64 2,44 2,33 2,21 1,94 25 5,69 4,29 3,69 3,35 3,13 2,97 2,75 2,61 2,41 2,30 2,18 1,91 26 5,66 4,27 3,67 3,33 3,10 2,94 2,73 2,59 2,39 2,28 2,16 1,88 27 5,63 4,24 3,65 3,31 3,08 2,92 2,71 2,57 2,36 2,25 2,13 1,85 28 5,61 4,22 3,63 3,29 3,06 2,90 2,69 2,55 2,34 2,23 2,11 1,83 29 5,59 4,20 3,61 3,27 3,04 2,88 2,67 2,53 2,32 2,21 2,09 1,81 30 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,65 2,51 2,31 2,20 2,07 1,79 40 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,53 2,39 2,18 2,07 1,94 1,64 50 5,34 3,97 3,39 3,05 2,83 2,67 2,46 2,32 2,11 1,99 1,87 1,55 60 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,41 2,27 2,06 1,94 1,82 1,48
  • 50. ______________________________________________________________________________ 47 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques 80 5,22 3,86 3,28 2,95 2,73 2,57 2,35 2,21 2,00 1,88 1,75 1,40 100 5,18 3,83 3,25 2,92 2,70 2,54 2,32 2,18 1,97 1,85 1,71 1,35 ∞ 5,02 3,69 3,12 2,79 2,57 2,41 2,19 2,05 1,83 1,71 1,57 1,01
  • 51. ______________________________________________________________________________ 48 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques TABLE VI-A TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST UNILATÉRAL ( = 0,01) Si F est une variable aléatoire qui suit la loi de Snedecor à : • degrés de liberté, (ddl du numérateur) et •  degrés de liberté, (ddl du dénominateur) La table donne le nombre f tel que Prob (F ≥ f ) =  = 0,01 Exemple : F0,01 = 5,67 pour 1 = 4 et 2 = 11 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 200 500 ∞ 1 4052 4999 5404 5624 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6157 6209 6260 6302 6334 6350 6360 6366 2 98,5 99,0 99,2 99,3 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 3 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,7 27,5 27,3 27,2 26,9 26,7 26,5 26,4 26,2 26,2 26,1 26,1 4 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,5 14,2 14,0 13,8 13,7 13,6 13,5 13,5 13,5 5 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,5 10,3 10,2 10,1 9,7 9,6 9,4 9,2 9,1 9,1 9,0 9,0 6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,56 7,40 7,23 7,09 6,99 6,93 6,90 6,88 7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,31 6,16 5,99 5,86 5,75 5,70 5,67 5,65 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,52 5,36 5,20 5,07 4,96 4,91 4,88 4,86 9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 4,96 4,81 4,65 4,52 4,41 4,36 4,33 4,31 10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,56 4,41 4,25 4,12 4,01 3,96 3,93 3,91 11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,25 4,10 3,94 3,81 3,71 3,66 3,62 3,60 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,01 3,86 3,70 3,57 3,47 3,41 3,38 3,36 13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 3,82 3,66 3,51 3,38 3,27 3,22 3,19 3,17 14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,66 3,51 3,35 3,22 3,11 3,06 3,03 3,00 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,52 3,37 3,21 3,08 2,98 2,92 2,89 2,87 16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,41 3,26 3,10 2,97 2,86 2,81 2,78 2,75 17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,31 3,16 3,00 2,87 2,76 2,71 2,68 2,65 18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,23 3,08 2,92 2,78 2,68 2,62 2,59 2,57 19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,15 3,00 2,84 2,71 2,60 2,55 2,51 2,49 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,09 2,94 2,78 2,64 2,54 2,48 2,44 2,42 22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 2,98 2,83 2,67 2,53 2,42 2,36 2,33 2,31 24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 2,89 2,74 2,58 2,44 2,33 2,27 2,24 2,21 26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 2,81 2,66 2,50 2,36 2,25 2,19 2,16 2,13 28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,75 2,60 2,44 2,30 2,19 2,13 2,09 2,06 30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,70 2,55 2,39 2,25 2,13 2,07 2,03 2,01 40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,52 2,37 2,20 2,06 1,94 1,87 1,83 1,80 50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,42 2,27 2,10 1,95 1,82 1,76 1,71 1,68 60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,35 2,20 2,03 1,88 1,75 1,68 1,63 1,60 80 6,96 4,88 4,04 3,56 3,26 3,04 2,87 2,74 2,64 2,55 2,27 2,12 1,94 1,79 1,65 1,58 1,53 1,49 100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 2,22 2,07 1,89 1,74 1,60 1,52 1,47 1,43 200 6,76 4,71 3,88 3,41 3,11 2,89 2,73 2,60 2,50 2,41 2,13 1,97 1,79 1,63 1,48 1,39 1,33 1,28 500 6,69 4,65 3,82 3,36 3,05 2,84 2,68 2,55 2,44 2,36 2,07 1,92 1,74 1,57 1,41 1,31 1,23 1,17
  • 52. ______________________________________________________________________________ 49 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques ∞ 6,64 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 2,04 1,88 1,70 1,52 1,36 1,25 1,15 1,02
  • 53. ______________________________________________________________________________ 50 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques TABLE VI-B TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST BILATÉRAL ( = 0,01) Si F est une variable aléatoire qui suit la loi de Snedecor à : • degrés de liberté, (ddl du numérateur) et •  degrés de liberté, (ddl du dénominateur) La table donne le nombre f tel que Prob (F ≥ f ) =  = 0,01 Exemple : F0,01 = 6,88 pour 1 = 4 et 2 = 11 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 200 500 ∞ 1 1621 2000 2161 2250 2306 2344 2372 2392 2409 2422 2463 2484 2504 2521 2534 2540 2544 2547 2 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 200 200 3 55,6 49,8 47,5 46,2 45,4 44,8 44,4 44,1 43,9 43,7 43,1 42,8 42,5 42,2 42,0 41,9 41,9 41,8 4 31,3 26,3 24,3 23,2 22,5 22,0 21,6 21,4 21,1 21,0 20,4 20,2 19,9 19,7 19,5 19,4 19,4 19,3 5 22,8 18,3 16,5 15,6 14,9 14,5 14,2 14,0 13,8 13,6 13,1 12,9 12,7 12,5 12,3 12,2 12,2 12,1 6 18,63 14,54 12,9 12,0 11,5 11,1 10,8 10,6 10,4 10,3 9,81 9,59 9,36 9,17 9,03 8,95 8,91 8,88 7 16,24 12,40 10,9 10,1 9,52 9,16 8,89 8,68 8,51 8,38 7,97 7,75 7,53 7,35 7,22 7,15 7,10 7,08 8 14,69 11,04 9,60 8,81 8,30 7,95 7,69 7,50 7,34 7,21 6,81 6,61 6,40 6,22 6,09 6,02 5,98 5,95 9 13,61 10,11 8,72 7,96 7,47 7,13 6,88 6,69 6,54 6,42 6,03 5,83 5,62 5,45 5,32 5,26 5,21 5,19 10 12,83 9,43 8,08 7,34 6,87 6,54 6,30 6,12 5,97 5,85 5,47 5,27 5,07 4,90 4,77 4,71 4,67 4,64 11 12,23 8,91 7,60 6,88 6,42 6,10 5,86 5,68 5,54 5,42 5,05 4,86 4,65 4,49 4,36 4,29 4,25 4,23 12 11,75 8,51 7,23 6,52 6,07 5,76 5,52 5,35 5,20 5,09 4,72 4,53 4,33 4,17 4,04 3,97 3,93 3,90 13 11,37 8,19 6,93 6,23 5,79 5,48 5,25 5,08 4,94 4,82 4,46 4,27 4,07 3,91 3,78 3,71 3,67 3,65 14 11,06 7,92 6,68 6,00 5,56 5,26 5,03 4,86 4,72 4,60 4,25 4,06 3,86 3,70 3,57 3,50 3,46 3,44 15 10,80 7,70 6,48 5,80 5,37 5,07 4,85 4,67 4,54 4,42 4,07 3,88 3,69 3,52 3,39 3,33 3,29 3,26 16 10,58 7,51 6,30 5,64 5,21 4,91 4,69 4,52 4,38 4,27 3,92 3,73 3,54 3,37 3,25 3,18 3,14 3,11 17 10,38 7,35 6,16 5,50 5,07 4,78 4,56 4,39 4,25 4,14 3,79 3,61 3,41 3,25 3,12 3,05 3,01 2,98 18 10,22 7,21 6,03 5,37 4,96 4,66 4,44 4,28 4,14 4,03 3,68 3,50 3,30 3,14 3,01 2,94 2,90 2,87 19 10,07 7,09 5,92 5,27 4,85 4,56 4,34 4,18 4,04 3,93 3,59 3,40 3,21 3,04 2,91 2,85 2,80 2,78 20 9,94 6,99 5,82 5,17 4,76 4,47 4,26 4,09 3,96 3,85 3,50 3,32 3,12 2,96 2,83 2,76 2,72 2,69 22 9,73 6,81 5,65 5,02 4,61 4,32 4,11 3,94 3,81 3,70 3,36 3,18 2,98 2,82 2,69 2,62 2,57 2,55 24 9,55 6,66 5,52 4,89 4,49 4,20 3,99 3,83 3,69 3,59 3,25 3,06 2,87 2,70 2,57 2,50 2,46 2,43 26 9,41 6,54 5,41 4,79 4,38 4,10 3,89 3,73 3,60 3,49 3,15 2,97 2,77 2,61 2,47 2,40 2,36 2,33 28 9,28 6,44 5,32 4,70 4,30 4,02 3,81 3,65 3,52 3,41 3,07 2,89 2,69 2,53 2,39 2,32 2,28 2,25 30 9,18 6,35 5,24 4,62 4,23 3,95 3,74 3,58 3,45 3,34 3,01 2,82 2,63 2,46 2,32 2,25 2,21 2,18 40 8,83 6,07 4,98 4,37 3,99 3,71 3,51 3,35 3,22 3,12 2,78 2,60 2,40 2,23 2,09 2,01 1,96 1,93 50 8,63 5,90 4,83 4,23 3,85 3,58 3,38 3,22 3,09 2,99 2,65 2,47 2,27 2,10 1,95 1,87 1,82 1,79 60 8,49 5,79 4,73 4,14 3,76 3,49 3,29 3,13 3,01 2,90 2,57 2,39 2,19 2,01 1,86 1,78 1,73 1,69 80 8,33 5,67 4,61 4,03 3,65 3,39 3,19 3,03 2,91 2,80 2,47 2,29 2,08 1,90 1,75 1,66 1,60 1,56 100 8,24 5,59 4,54 3,96 3,59 3,33 3,13 2,97 2,85 2,74 2,41 2,23 2,02 1,84 1,68 1,59 1,53 1,49 200 8,06 5,44 4,41 3,84 3,47 3,21 3,01 2,86 2,73 2,63 2,30 2,11 1,91 1,71 1,54 1,44 1,37 1,31 500 7,95 5,35 4,33 3,76 3,40 3,14 2,94 2,79 2,66 2,56 2,23 2,04 1,84 1,64 1,46 1,35 1,26 1,18
  • 54. ______________________________________________________________________________ 51 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques ∞ 7,88 5,30 4,28 3,72 3,35 3,09 2,90 2,74 2,62 2,52 2,19 2,00 1,79 1,59 1,40 1,28 1,17 1,02
  • 55. ______________________________________________________________________________ 52 _____________________________________________________________________________ Annexes et tables statistiques BIBLIOGRAPHIE Les Statistiques : une approche nouvelle. Donald H. Sanders ; A. Franklin Murph et Robert J. Eng. 2e édition. McGraw-Hill, Editeurs. Statistique et Probabilités. M. Laviéville. Dunod Université. Probabilité et statistique pour biologistes. F. Couty ; J. Debord et D. Fredon. Flash U. Armand Colin. Statistique : cours et exercices résolus . E. Azoulay et D. Cohen. Ediscience International. Théorie et méthodes statistiques. (Volumes 1 et 2) P. Dagnélie. Les Presses Agronomiques de Gembloux. Méthodes statistiques à l'usage des médecins et des biologistes. D. SChwartz Flammarion Medecine Sciences