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TRANSFERTS THERMIQUES
INSTITUT PRÉPARATOIRE AUX ÉTUDES D’INGÉNIEUR DE SFAX
MP2 – A.U : 2020/2021
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
I. LES MODES DE TRANSFERTS THERMIQUES
Source chaude Source
froide
T1 T2
T1 > T2
conduction thermique
Barre métallique
convection thermique rayonnement thermique
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.1. Introduction
À l’échelle microscopique, la conduction thermique s’effectue de proche en proche entre des particules
voisines (molécules, atomes, ions, …).
La conduction thermique est le mode de transfert thermique provoqué par une différence de
température entre deux régions d’un même milieu ou entre deux milieux en contact sans déplacement
global des particules de la matière.
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.1. Introduction
La conduction thermique est le mode de transfert thermique qui peut avoir lieu dans les solides
opaques. Dans les fluides (gaz ou liquides), la conduction thermique s’effectue souvent en présence de
la convection et du rayonnement.
Au fur et à mesure que la température augmente dans une région d’un milieu, l’agitation thermique
des particules de cette région augmente. Ces particules cèdent une partie de leurs énergies cinétiques
aux particules voisines par interactions électromagnétiques, assurant ainsi une uniformisation de la
température.
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.2. Densité de flux thermique – Loi de Fourier (1822)
II.2.1. Densité de flux thermique
Le transfert thermique par conduction est assuré par un flux d’énergie à
l’intérieur de la matière. Il est caractérisé par un champ vectoriel défini en
tout point et à chaque instant t par un vecteur 𝐽th appelé densité de flux
thermique.
M
n
th
J
2
d S
L’énergie thermique traversant une surface élémentaire d2S entre les instants
t et t + dt est :
 
3 2
th
Q J .n d S dt
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.2. Densité de flux thermique – Loi de Fourier (1822)
II.2.1. Densité de flux thermique
Le flux thermique qui traverse une surface S est défini par l’énergie
thermique qui traverse cette surface S par unité de temps :
M
n
th
J
2
d S
Dans le système international : Q s’exprime en J, f s’exprime en W et Jth
s’exprime en Wm-2 .
f  
2
th
S
J .n d S
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.2. Densité de flux thermique – Loi de Fourier (1822)
Le vecteur densité de flux thermique 𝐽th est lié au gradient du champ de température
T(M, t) dans le matériau par la loi de Fourier :
l est une grandeur positive appelée conductivité thermique du matériau. Elle
s’exprime en W.m-1.K-1 dans le système international.
 
 l
th
J .grad T M,t
II.2.2. Loi de Fourier
Le signe (-) traduit le fait que le transfert thermique s’effectue dans le sens des
températures décroissantes.
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.2. Densité de flux thermique – Loi de Fourier (1822)
Dans une tige cylindrique à parois adiabatiques, le transfert thermique s’effectue suivant la
direction de l’axe (ox) de la tige (problème unidirectionnel).
II.2.2. Loi de Fourier
T2
T1 > T2
tige métallique à parois adiabatiques
Flux thermique
L
S
x
T1
La densité de flux thermique s’écrit ainsi :
 

 l

th x
T M,t
J u
x
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.2. Densité de flux thermique – Loi de Fourier (1822)
La loi de Fourier est une loi phénoménologique qui n’a pas de fondements théoriques qui
explique des phénomènes thermiques observés.
II.2.3. Limites de validité de la Loi de Fourier
Cependant, cette loi n’est plus valide dans les cas suivants :
- Fort gradient de température
- Variation temporelle de la température très rapide
- milieu anisotrope ( l dépend de la direction de l’espace )
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.2. Densité de flux thermique – Loi de Fourier (1822)
II.2.4. Ordre de grandeur de la conductivité thermique
La conductivité thermique dépend de la nature du matériau et varie en fonction de la température.
Les métaux sont de bons conducteurs thermiques :
- Cuivre : lCu = 390 W.m-1.K-1
- Aluminium : lAl = 238 W.m-1.K-1
- Fer : lFe = 80 W.m-1.K-1
Les corps poreux sont des isolants thermiques :
- bois : lBois ≈ 0,15 W.m-1.K-1
- Liège : lLiège ≈ 0,03 W.m-1.K-1
Divers :
- brique : lBrique = 0,84 W.m-1.K-1
- Marbre : lMarbre ≈ 2,5 W.m-1.K-1
Les fluides sont généralement de mauvais
conducteurs thermiques :
- eau : leau = 0,6 W.m-1.K-1
- air : lair ≈ 0,025 W.m-1.K-1
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.3. Équation de la conduction thermique
II.3.1. Cas d’un problème unidirectionnel
T1 T2
T1 > T2
Barre métallique à parois adiabatiques
L
S
x
0 x x+dx
 
th
J x,t  

th
J x dx,t
Par application du premier principe de la thermodynamique sur un élément de volume dt située
entre les sections d’abscisses x et x+dx :
   
 
 


       


th
2 2
th th th
J x,t
d U J .d dt J x,t S J x dx,t S dt Sdx.dt
x
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.3. Équation de la conduction thermique
II.3.1. Cas d’un problème unidirectionnel
 
 l   t  l t
 
2 2
2 2
T T
C.dm.dT Sdxdt C. d .dT d dt
x x
   
 
 


       


th
2 2
th th th
J x,t
d U J .d dt J x,t S J x dx,t S dt Sdx.dt
x
 l  
  
   
2 2
2 2
T T T
a
t C x x
On note par C la capacité calorifique massique et  la masse volumique de la tige.
 

 
 l
 

2
th
d U C.dm.dT
T
j
x
avec
l


a
C
: appelée diffusivité thermique
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.3. Équation de la conduction thermique
Bilan thermique pour un élément quelconque de volume t du matériau :
II.3.2. Cas d’un problème tridimensionnel n S
t
  
2
th
S
dU J .d S dt
 l
th
J grad T
avec
t
  t

3
th
dU divJ d
Par application du théorème de Green, on obtient
 l
    
 
T
T a T
t .C
 
t t
  t  l t
 
3 3
dU .C.dT.d div gradT d dt
donc  t
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.3. Équation de la conduction thermique
Bilan thermique pour un élément quelconque de volume t du matériau :
II.3.4. Conduction thermique en présence d’une source
t
   t
 
2 3
th
S
dU J .d S dt Pd dt
 l
      
   l
T P a
T a T P
t .C .C
 
t t t
  t  l t  t
  
3 3 3
.C.dT.d div gradT d dt Pd dt  t
Un milieu matériel de conductivité thermique l, de masse volumique , de capacité
thermique massique C et caractérisé par une puissance volumique interne P
.
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.4. Conduction thermique en régime permanent
II.4.1. Cas d’un problème unidirectionnel
  
2
2
d T
T 0
dx
T1 T2
T1 > T2
parois adiabatiques
L
S
x
0
En régime permanent, la température ne dépend que
de la variable spatiale x.

 

T
0
t
L’équation de la conduction thermique en absence de source interne s’écrit alors :
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.4. Conduction thermique en régime permanent
II.4.1. Cas d’un problème unidirectionnel
  
2
2
d T
T 0
dx
or
 
 
 





1
2
T 0 T
T L T
 
   
T x x


  

 
 

1 2
1
T T
L
T
 

   
1 2
1
T T
T x x T
L
La densité de flux thermique dans le cylindre est :
  
 l  l 1 2
th x x
dT x T T
J u u
dx L
T1 T2
T1 > T2
parois adiabatiques
L
S
x
0
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.4. Conduction thermique en régime permanent
II.4.1. Cas d’un problème unidirectionnel
Le flux thermique qui traverse une section du cylindre est :
 
l
f   

2
th 1 2
S
S
J d S T T
L


f l
1 2
T T L
S
T1 T2
T1 > T2
parois adiabatiques
L
S
x
0
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.4. Conduction thermique en régime permanent
II.4.2. Cas d’une couche cylindrique
L’équation de la conduction s’écrit en régime permanent:
 
  
 
 
1 d dT
T r 0
r dr dr
   
   
T r ln r
En négligeant les effets de bords, la température dans la couche
cylindrique ne dépend que de la seule variable d’espace r en régime
permanent.
z
R1
R2
T2
T1
h
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.4. Conduction thermique en régime permanent
II.4.2. Cas d’une couche cylindrique


  
 

 

 
 

1 2
2 1
1 2 2 1
2 1
T T
lnR lnR
T lnR T lnR
lnR lnR
avec
 
 
 





1 1
2 2
T R T
T R T
   
  
T r ln r
 
 

   
 
 
1 2
1
2 1
1
T T r
T r ln T
R R
ln
R
z
R1
R2
T2
T1
h
   
 
  
 
1 2 1 2 2 1
2 1 2 1
T T T lnR T lnR
T r ln r
lnR lnR lnR lnR
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.4. Conduction thermique en régime permanent
II.4.2. Cas d’une couche cylindrique
z
R1
R2
T2
T1
h
La densité de flux thermique dans le cylindre est :
 
  
 l  l  l

1 2
th r r
2 1
dT r T T 1
J gradT r u u
dr lnR lnR r
Le flux thermique qui traverse le cylindre est :
 
l
f   


2
th 1 2
S
2 1
2 h
J d S T T
lnR lnR
 

f l
1 2 2 1
T T lnR lnR
2 h
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.4. Conduction thermique en régime permanent
II.4.3. Cas d’une couche sphérique
R1
R2
T1
T2
En régime permanent, La température dans la couche sphérique ne
dépend que de la seule variable d’espace r.
L’équation de la conduction s’écrit en régime permanent:
 
  
 
 
2
2
1 d dT
T r 0
r dr dr
 

  
T r
r
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.4. Conduction thermique en régime permanent
II.4.3. Cas d’une couche sphérique
R1
R2
T1
T2
 

 
T r
r
 
 
 



 

  
 

1 2 1 2
2 1
1 2
1 2
2 1
R R T T
R R
T T
T R
R R
avec
 
 
 





1 1
2 2
T R T
T R T
 
 
  
   
 
  
1 2 1 2
1
2 1 1
R R T T 1 1
T r T
R R r R
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.4. Conduction thermique en régime permanent
II.4.3. Cas d’une couche sphérique
R1
R2
T1
T2
La densité de flux thermique est donnée par :
 
   

 l  l  l

1 2 1 2
th r r
2
2 1
dT r R R T T 1
J gradT r u u
dr R R r
Le flux thermique qui traverse la sphère est :
 
l
f   


2 1 2
th 1 2
S
2 1
4 R R
J d S T T
R R
 
 
f l
1 2 2 1
1 2
T T R R
4 R R
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.4. Conduction thermique en régime permanent
II.4.3. Cas d’une couche sphérique
R1
R2
T1
T2
Dans le cas d’une couche sphérique de faible épaisseur e:
 
2 1 1
e R R R
Ona :
 
  
f l l  l
1 2 2 1
2
1 2 1
T T R R e e
4 R R 4 R S
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.5. Résistance thermique
II.5.1. Définition
Dans les trois cas de figure étudié précédemment en régime permanent (tige de section
constante à parois adiabatiques, couche cylindrique et couche sphérique), le flux thermique
est proportionnel à la différence de température.
La constante Rth est une grandeur physique qui caractérise l’opposition à un flux
thermique entre deux sources de chaleur entre lesquelles s’effectue un transfert
thermique.


f
1 2
th
T T
R
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.5. Résistance thermique
II.5.1. Définition
* Tige à parois adiabatiques : 
l
th
L
R
S
* Couche cylindrique :
 

  
 
l l  
2 1
th
1 2 1 2
R R 1 1 1
R
4 R R 4 R R
* Couche cylindrique :
 

   
l l  
2 1 2
th
1
lnR lnR R
1
R ln
2 h 2 h R
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.5. Résistance thermique
II.5.2. Analogie électrique
Conduction électrique Transfert Thermique
 l
th
j gradT
* Loi de Fourier :
 
j gradV
* Loi d’Ohm locale :
  
U V RI
* Loi d’Ohm :   f
th
T R
*
V
* Différence de potentiel : T
* Différence de température :
* Intensité du courant électrique: I * Flux thermique : f
* Résistance électrique : R * Résistance thermique : Rth


L
R
S
* Problème unidirectionnel : * Problème unidirectionnel : 
l
th
L
R
S
 : conductivité électrique l : conductivité thermique
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.5. Résistance thermique
II.5.3. Résistance thermique d’un mur composite
a – association en série
Soit un mur plan d’épaisseur e, constitué de n couches de matériaux différents en série. Les
dimensions de la surface du mur sont supposées très grandes devant son épaisseur.

 
 
f     
  
0 1 0 n
1 2 n 1 n
1 2 n 1 2 n
th th th th th th
T T T T
T T T T
R R R R R R
Dans le mur, il n’y a ni de perte ni de production d’énergie.
Le flux thermique est alors :
e1 e2 e3 en
T0 T1 T2 T3 Tn
Tn-1
1
th
R 2
th
R 3
th
R
n
th
R

 f  0 n
eq
th
T T
R 
 
n
eq k
th th
k 1
R R
avec
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.5. Résistance thermique
II.5.3. Résistance thermique d’un mur composite
b – association en parallèle
Soit un mur plan d’épaisseur e, constitué de n couches de matériaux différents en parallèle.
  
f  f  f   f    
0 1 0 1 0 1
1 2 n 1 2 n
th th th
T T T T T T
R R R
Le flux thermique traversant le mur est égal à la somme des flux
traversants les différentes couches.
T0 T1
1
th
R
2
th
R
3
th
R
n
th
R
 
  
 f      
 
 
0 1
0 1
1 2 n eq
th th th th
T T
1 1 1
T T
R R R R

 
n
eq k
k 1
th th
1 1
R R
avec
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.5. Résistance thermique
II.5.3. Résistance thermique d’un mur composite
c – application
Soit un mur plan en brique et plâtre avec une porte simple et une fenêtre à double vitrage.
Le mur, la porte et la fenêtre sont en parallèle
  
  lame d'air
eq brique platre porte vitres
th th th th th th
1 1 1 1
R R R R R R
T0
brique
th
R platre
th
R
porte
th
R
lame d'air
th
R
vitres
th
R
T0
T1
TRANSFERTS THERMIQUES
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II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.6. Conduction thermique en régime sinusoïdal forcé – Onde thermique
On considère le sol comme un milieu semi infini de conductivité thermique l, de
masse volumique  et de capacité calorifique massique C.
On suppose que la température varie sinusoïdalement au niveau de la surface
du sol :
 
    
0 0
T(z 0,t) T cos t
z=0
z
sol
On cherche à étudier le champ de température dans le sol T(z,t) :
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.6. Conduction thermique en régime sinusoïdal forcé – Onde thermique
L’équation de la conduction thermique dans le sol s’écrit :
soit  
    
0
(z 0,t) cos t
   
  

 
2
2
z,t z,t
a
t z
L’équation aux dérivées partielles vérifiée par  est :
Diffusivité thermique du sol
 
 
 
 
  
 
2
2
T z,t T z,t
a T z,t a
t z
l


a
C
On pose    
   0
z,t T z,t T
TRANSFERTS THERMIQUES
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II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.6. Conduction thermique en régime sinusoïdal forcé – Onde thermique
On cherche une solution complexe de  en régime sinusoïdal forcé de la forme :
La solution de cette équation est de la forme :
   
 
 
 
  
    
 
2 2
i t i t
2 2
z,t z,t d f z
a i f z e a e z et t
t z dz
    
  i t
z,t f z e f(z) est à priori complexe
 
   
  
 
 
z z
1 i 1 i
f z Ae Be
 
       
 
  
 
    
   

 
 
2 2
2
2
d f z 1 i
i f z 1 i f z f z
dz a 2a
 

2a
;
TRANSFERTS THERMIQUES
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II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.6. Conduction thermique en régime sinusoïdal forcé – Onde thermique
D’où :  
   
  

 
 
  
 
 
z z
1 i 1 i
i t
z,t Ae Be e
 
   
   

   
 
   
 
   
z z
z z
i t i t
z,t Ae e Be e
La solution est divergente si A ≠ 0 (à rejeter)
Donc  
 
 
  

 

 
z
z i t
z,t Be e
D’autre part
 
     
i t i t
0
(z 0,t) e Be t   0
B
 
 
  

 

  
z
z i t
0
(z,t) e e
Alors
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.6. Conduction thermique en régime sinusoïdal forcé – Onde thermique

  
    
 

 
z
0
z
(z,t) e cos t
Ainsi

  
     
 

 
z
0 0
z
T(z,t) T e cos t
Les fluctuations de température sont atténuées au fur et à mesure que la profondeur du sol z
augmente.
 possède les dimensions d’une longueur qui caractérise la profondeur de pénétration des
fluctuations de la température.
La propagation des fluctuations dans le sol caractérise une onde thermique.
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION
II.6. Conduction thermique en régime sinusoïdal forcé – Onde thermique
Profondeur de pénétration thermique en fonction de la nature du sol
M. Benhammou, Revue des Énergies Renouvelables Vol.14 N°2 (2011) 219
– 228
TRANSFERTS THERMIQUES
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III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION
III.1. Définition
Contrairement au transfert thermique par conduction, la convection thermique est
dû à un déplacement appréciable des particules dans un fluide (molécules, atomes,
ions, …).
La convection thermique désigne le transfert d’énergie thermique au sein d’un
fluide (liquide ou gaz) en mouvement ou entre un fluide en mouvement et une
paroi solide.
TRANSFERTS THERMIQUES
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III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION
III.2. Convection naturelle (ou libre)
La convection naturelle (ou libre) est due à une différence de masse volumique
sous l’effet d’une différence de température.
Le fluide chaud le plus voisin de la source thermique diminue en densité et tend à
remonter en cédant la place à du liquide plus dense et plus froid.
TRANSFERTS THERMIQUES
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III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION
III.3. Convection forcée
La convection forcée est provoquée par une circulation artificielle (pompe, turbine) d'un fluide.
Le transfert est plus rapide que dans le cas de la convection naturelle.
Four à convection Ventilateur
TRANSFERTS THERMIQUES
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III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION
III.4. Loi de Newton
La densité de flux thermique entre la surface d’un solide à la température Ts et un fluide à la
température Tf est régie par la loi de Newton.
 
 
th s f
J h T T n
avec n est un vecteur unitaire normal à la surface solide orienté du solide vers le fluide
h est constante appelée coefficient de transfert thermique qui dépend de la nature du fluide. Il
s’exprime dans le système international en W.m-2.K-1.
TRANSFERTS THERMIQUES
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III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION
III.4. Loi Newton
Le coefficient de transfert thermique augmente considérablement lorsqu’on passe du régime naturel au
régime forcé.
Convection naturelle Convection forcée
gaz 2 – 20 25 – 300
liquide 50 – 1000 100 – 40000
Coefficient de transfert thermique en W.m-2.K-1
• Air : ≈ 5 W.m-2.K-1 en convection naturelle à 300 K
• Eau : ≈ 1000 W.m-2.K-1 en convection naturelle à 300 K
TRANSFERTS THERMIQUES
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III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION
III.4. Résistance thermique
Le flux thermique par convection entre la surface d’un solide et un fluide est :
La résistance thermique par convection est :
 
f   

2
th s f
S
J d S hS T T
 

 
f
s f
th
T T 1
R
hS
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III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION
III.5. Application : double vitrage
Les deux vitres et la lame d’air sont en série
Entre les deux vitres, on néglige la convection de
l’air
Le système est équivalent à 5 dipôles
thermiques en série.
Résistance thermique équivalente :
    
l l l
eq a
v1 v2
th
1 v1 a v2 2
e
e e
1 1
R
h S S S S h S
h1
h2
la
lv2
lv1
ev2
ea
ev1
S
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.1. Généralités
L’agitation thermique des constituants de la matière est à l’origine de ce rayonnement d’où
l’appellation de rayonnement thermique.
Contrairement aux autres modes de transfert, le rayonnement thermique ne nécessite
aucun support matériel.
Le grand four solaire
d’Odeillo – CNRS France
Thermographie d’un chien
Tout corps porté à une température T émet de l’énergie sous forme de rayonnement
électromagnétique qui se propage dans le vide à la célérité de la lumière.
Les échanges d’énergie entre la matière et le rayonnement se font par quantum
d’énergie appelé Photon.
TRANSFERTS THERMIQUES
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.2. Grandeurs énergétiques
Dans le domaine visible, le flux lumineux est souvent exprimé en lumen (lm), 1W = 683 lm
Le flux énergétique est la puissance émise par une source dans tout l'espace ou elle peut
rayonner.
IV.2.1. Flux énergétique
Il s’exprime dans le système international en W.
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.2. Grandeurs énergétiques
IV.2.2. Intensité
Soit une surface élémentaire d2S dont la normale fait un angle  avec la
direction de l’axe Ox. x
u
n
Ox

2
d
2
d S

on appelle intensité énergétique d’un corps émetteur dans la direction
Ox, le flux rayonné par unité d'angle solide dans cette direction. Elle
s'exprime en Watt par stéradian.

f
 
  

2
1
2
d
I W.sr
d
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.2. Grandeurs énergétiques
IV.2.3. Émittance
Considérons une surface élémentaire d2S émettant un flux élémentaire d2f.
On appelle émittance le flux émis par unité de surface. Elle est égale au rapport du flux
élémentaire d2f par la surface élémentaire d2S. Elle s'exprime en Watt par mètre carré.

f
 
  
2
2
2
d
M W.m
d S
TRANSFERTS THERMIQUES
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.2. Grandeurs énergétiques
IV.2.4. Luminance
Considérons une surface élémentaire d2S émettant un flux élémentaire d4f dans l’angle
solide élémentaire d2.
On appelle luminance le flux émis par unité d’angle solide et par unité de surface
perpendiculaire à une direction bien définie (Ox).
x
u
n
Ox

2
d
2
d S

2
n
d S
Le flux d4f émis dans la direction Ox semble provenir d’une surface élémentaire d2Sn
perpendiculaire à l’axe Ox (d2Sn est la projection de d2S sur un plan perpendiculaire à
(Ox)).
 
f f
 
   
  
4 4
2 1
2 2 2 2
n
d d
L W.m sr
d S d d S.cos .d
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.2. Grandeurs énergétiques
IV.2.5. Loi de Lambert
Les sources dont la luminance est indépendante de la direction obéissent à
la loi de Lambert.
Or la luminance est définie par :
f f
    
 
4 4
2
2 2 2
d d
L L.cos .d
d S.cos .d d S
f
    

2
2
2 espace
d
M L.cos .d
d S


    
 
2
2
0 0
M L cos .sin .d .d
Pour une source obéissant à la loi de Lambert L est constante.
  
M L
x
u
n
Ox

2
d
2
d S

d
2
n
d S
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.2. Grandeurs énergétiques
IV.2.6. Grandeurs énergétiques relatives à un récepteur
Le bilan d’énergie pour un corps récepteur peut être écrit sous la forme suivante :
A + R + D + T =
1
• A : pouvoir d’absorption
• R : pouvoir de réflexion
• D : pouvoir de diffusion
• T : pouvoir de transmission
TRANSFERTS THERMIQUES
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.3. Les corps noirs
IV.3.1. Définition
On appelle corps noir tout corps capable d’absorber intégralement tout rayonnement
incident quelque soit sa longueur d’onde.
Pour une température donnée, un corps qui émet par rayonnement thermique le maximum
d’énergie est un corps noir.
Pour un corps noir, le coefficient d’absorption est égale à 1 quelque soit la longueur d’onde
(A(l) = 1; R (l) = D (l) = T (l) = 0).
TRANSFERTS THERMIQUES
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.3. Les corps noirs
IV.3.2. Réalisation d’un corps noir
On considère une cavité dont la paroi intérieure est caractérisée par un
pouvoir d’absorption « A » proche de l’unité quelque soit la longueur
d’onde de la radiation incidente.
Le rayonnement incident pénètre à l’intérieur de la cavité à travers un
orifice de faibles dimensions.
La parois intérieure de la cavité est recouverte d'une épaisse couche
de noir de fumée ou de noir de platine hautement absorbant.
Cavité absorbante – corps noir
TRANSFERTS THERMIQUES
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.3. Les corps noirs
IV.3.2. Réalisation d’un corps noir
Après plusieurs réflexions absorptions, le rayon incident est totalement
absorbé par la cavité
Le rayonnement incident pénètre à l’intérieur de la cavité à travers un
orifice de faibles dimensions.
Cavité absorbante – corps noir
TRANSFERTS THERMIQUES
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.4. Rayonnement d’un corps noir
IV.4.1. Loi de Planck (1900)
La loi de Planck définit l’émittance spectrale du rayonnement thermique d’un corps noir à
l’équilibre thermique en fonction de sa température.
 
 
 


3
h
2
kT
dM 2 h
M
d c
e 1
L’émittance spectrale est définie comme étant le flux émis par unité de surface et par unité
spectrale (fréquence, longueur d’onde, …)
TRANSFERTS THERMIQUES
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.4. Rayonnement d’un corps noir
IV.4.1. Loi de Planck (1900)
on peut aussi exprimer l’émittance spectrale en fonction de la longueur d’onde:
 l l 

  l  
l
d
M d M d M M
d
l
l

 
l

2
hc
5
kT
2 hc 1
M
e 1
donc
l
l
 
 
 l
 

l

3
h c
2 2
kT
c
2 h c
M
c
e 1
TRANSFERTS THERMIQUES
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.4. Rayonnement d’un corps noir
IV.4.1. Loi de Planck (1900)
0
2E+13
4E+13
6E+13
8E+13
1E+14
1.2E+14
1.4E+14
1.6E+14
0 0.5 1 1.5 2
6500 K
6000 K
5000 K
4000 K
Ml
l (mm)
Émittance du corps noir
TRANSFERTS THERMIQUES
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.4. Rayonnement d’un corps noir
IV.4.2. Loi de Wien
La loi de Wien décrit la relation liant la longueur d'onde λm, correspondant au pic d'émission
lumineuse du corps noir, et la température absolue T.
l
l
 

 
l
  m
dM
0
d
l
l
 
 
 
 l  
 
 
 
 
 
l  
 
  m
hc
5 kT
d
e 1 0
d
l l
 
 l   l 
 
 
 
m m
hc hc
kT kT
4 3
m m
hc
5 e 1 e 0
kT
TRANSFERTS THERMIQUES
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.4. Rayonnement d’un corps noir
IV.4.2. Loi de Wien
l  
  
 
l
 
m
hc
kT
m
hc
e 5 5
kT
l l
 
 l   l 
 
 
 
m m
hc hc
kT kT
4 3
m m
hc
5 e 1 e 0
kT
La résolution de cette équation donne u = 4,96
posons 
lm
hc
u
kT
 
 
u
e 5 u 5
alors
soit l 
m
hc
T
ku
D’où : l 
m
hc
T
4,9651k  l  m
mT 2898 m.K
TRANSFERTS THERMIQUES
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.4. Rayonnement d’un corps noir
IV.4.2. Loi de Wien
* En supposant que le soleil se comporte comme un corps noir dont la surface est à la
température Ts = 5800 K, la longueur d’onde lm qui correspond à un maximum d’émission :
* Pour un corps noir à la température Tc = 300 K.
domaine visible
l   m
m
S
2898
0,5 m
T
domaine infrarouge
l   m
m
c
2898
9,66 m
T
TRANSFERTS THERMIQUES
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IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.4. Rayonnement d’un corps noir
IV.4.3. Loi de Stefan
L’émittance d’un corps noir peut être calculée par intégration de l’émittance spectrale.
 
 
 
   

 
3
h
2
0 0
kT
2 h
M M d d
c
e 1
Posons

      
h kT kT
u u d du
kT h h
 
 
 
 
 
 
 
 
4 3 4 4 3
2 u 2 3 u
0 0
2 h kT u 2 k T u
M du du
c h e 1 c h e 1
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.4. Rayonnement d’un corps noir
IV.4.3. Loi de Stefan
 



3 4
u
0
u
du
e 1 15
Or


5 4
4
2 3
2 k
M T
15c h

    
5 4
4
2 3
2 k
M T ;
15c h
  
  8 2 4
5,6710 W.m K
L’émittance d’un corps noir est proportionnelle à la puissance quatrième de sa température.
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.4. Rayonnement d’un corps noir
IV.4.4. Application : flux solaire reçu par unité de surface de la terre
Le flux total émis par le soleil est : f    
4 2
S S S S S
M S T .4 R
Le flux solaire reçu par la terre est égal au flux rayonné par le
soleil dans un angle solide  sous lequel on voit la surface de la
terre (surface du disque terrestre) à partir du soleil.


 
2
T
2
T S
R
D
MS, TS, SS et RS représentent respectivement l’émittance, la
température, la surface et le rayon du soleil.
DT-S est la distance terre soleil

Soleil
Terre
DS-T
TRANSFERTS THERMIQUES
Ali BEN MOUSSA
IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT
IV.4. Rayonnement d’un corps noir
IV.4.4. Application : flux solaire reçu par unité de surface de la terre
Le flux solaire reçu par la terre est égal à la fraction /4 du flux solaire
total.

 



f  f     
 
2 2
2
2 4 4
T S
T
S T S S S S
2 2
T S T S
R R
R
4 R T T
4 4 D D
Le flux solaire reçu par unité de surface de la terre perpendiculaire à
direction du soleil.


f
f   

2
4
S T S
max S
2 2
T T S
R
T
R D
 

  
S S T S
R 696 700 km ; T 5 800 km ; D 149 637 000 km  f 
max 1 390 W

Soleil
Terre
DS-T

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Transferts Thermiques

  • 1. TRANSFERTS THERMIQUES INSTITUT PRÉPARATOIRE AUX ÉTUDES D’INGÉNIEUR DE SFAX MP2 – A.U : 2020/2021
  • 2. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA I. LES MODES DE TRANSFERTS THERMIQUES Source chaude Source froide T1 T2 T1 > T2 conduction thermique Barre métallique convection thermique rayonnement thermique
  • 3. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.1. Introduction À l’échelle microscopique, la conduction thermique s’effectue de proche en proche entre des particules voisines (molécules, atomes, ions, …). La conduction thermique est le mode de transfert thermique provoqué par une différence de température entre deux régions d’un même milieu ou entre deux milieux en contact sans déplacement global des particules de la matière.
  • 4. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.1. Introduction La conduction thermique est le mode de transfert thermique qui peut avoir lieu dans les solides opaques. Dans les fluides (gaz ou liquides), la conduction thermique s’effectue souvent en présence de la convection et du rayonnement. Au fur et à mesure que la température augmente dans une région d’un milieu, l’agitation thermique des particules de cette région augmente. Ces particules cèdent une partie de leurs énergies cinétiques aux particules voisines par interactions électromagnétiques, assurant ainsi une uniformisation de la température.
  • 5. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.2. Densité de flux thermique – Loi de Fourier (1822) II.2.1. Densité de flux thermique Le transfert thermique par conduction est assuré par un flux d’énergie à l’intérieur de la matière. Il est caractérisé par un champ vectoriel défini en tout point et à chaque instant t par un vecteur 𝐽th appelé densité de flux thermique. M n th J 2 d S L’énergie thermique traversant une surface élémentaire d2S entre les instants t et t + dt est :   3 2 th Q J .n d S dt
  • 6. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.2. Densité de flux thermique – Loi de Fourier (1822) II.2.1. Densité de flux thermique Le flux thermique qui traverse une surface S est défini par l’énergie thermique qui traverse cette surface S par unité de temps : M n th J 2 d S Dans le système international : Q s’exprime en J, f s’exprime en W et Jth s’exprime en Wm-2 . f   2 th S J .n d S
  • 7. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.2. Densité de flux thermique – Loi de Fourier (1822) Le vecteur densité de flux thermique 𝐽th est lié au gradient du champ de température T(M, t) dans le matériau par la loi de Fourier : l est une grandeur positive appelée conductivité thermique du matériau. Elle s’exprime en W.m-1.K-1 dans le système international.    l th J .grad T M,t II.2.2. Loi de Fourier Le signe (-) traduit le fait que le transfert thermique s’effectue dans le sens des températures décroissantes.
  • 8. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.2. Densité de flux thermique – Loi de Fourier (1822) Dans une tige cylindrique à parois adiabatiques, le transfert thermique s’effectue suivant la direction de l’axe (ox) de la tige (problème unidirectionnel). II.2.2. Loi de Fourier T2 T1 > T2 tige métallique à parois adiabatiques Flux thermique L S x T1 La densité de flux thermique s’écrit ainsi :     l  th x T M,t J u x
  • 9. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.2. Densité de flux thermique – Loi de Fourier (1822) La loi de Fourier est une loi phénoménologique qui n’a pas de fondements théoriques qui explique des phénomènes thermiques observés. II.2.3. Limites de validité de la Loi de Fourier Cependant, cette loi n’est plus valide dans les cas suivants : - Fort gradient de température - Variation temporelle de la température très rapide - milieu anisotrope ( l dépend de la direction de l’espace )
  • 10. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.2. Densité de flux thermique – Loi de Fourier (1822) II.2.4. Ordre de grandeur de la conductivité thermique La conductivité thermique dépend de la nature du matériau et varie en fonction de la température. Les métaux sont de bons conducteurs thermiques : - Cuivre : lCu = 390 W.m-1.K-1 - Aluminium : lAl = 238 W.m-1.K-1 - Fer : lFe = 80 W.m-1.K-1 Les corps poreux sont des isolants thermiques : - bois : lBois ≈ 0,15 W.m-1.K-1 - Liège : lLiège ≈ 0,03 W.m-1.K-1 Divers : - brique : lBrique = 0,84 W.m-1.K-1 - Marbre : lMarbre ≈ 2,5 W.m-1.K-1 Les fluides sont généralement de mauvais conducteurs thermiques : - eau : leau = 0,6 W.m-1.K-1 - air : lair ≈ 0,025 W.m-1.K-1
  • 11. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.3. Équation de la conduction thermique II.3.1. Cas d’un problème unidirectionnel T1 T2 T1 > T2 Barre métallique à parois adiabatiques L S x 0 x x+dx   th J x,t    th J x dx,t Par application du premier principe de la thermodynamique sur un élément de volume dt située entre les sections d’abscisses x et x+dx :                     th 2 2 th th th J x,t d U J .d dt J x,t S J x dx,t S dt Sdx.dt x
  • 12. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.3. Équation de la conduction thermique II.3.1. Cas d’un problème unidirectionnel    l   t  l t   2 2 2 2 T T C.dm.dT Sdxdt C. d .dT d dt x x                     th 2 2 th th th J x,t d U J .d dt J x,t S J x dx,t S dt Sdx.dt x  l          2 2 2 2 T T T a t C x x On note par C la capacité calorifique massique et  la masse volumique de la tige.       l    2 th d U C.dm.dT T j x avec l   a C : appelée diffusivité thermique
  • 13. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.3. Équation de la conduction thermique Bilan thermique pour un élément quelconque de volume t du matériau : II.3.2. Cas d’un problème tridimensionnel n S t    2 th S dU J .d S dt  l th J grad T avec t   t  3 th dU divJ d Par application du théorème de Green, on obtient  l        T T a T t .C   t t   t  l t   3 3 dU .C.dT.d div gradT d dt donc  t
  • 14. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.3. Équation de la conduction thermique Bilan thermique pour un élément quelconque de volume t du matériau : II.3.4. Conduction thermique en présence d’une source t    t   2 3 th S dU J .d S dt Pd dt  l           l T P a T a T P t .C .C   t t t   t  l t  t    3 3 3 .C.dT.d div gradT d dt Pd dt  t Un milieu matériel de conductivité thermique l, de masse volumique , de capacité thermique massique C et caractérisé par une puissance volumique interne P .
  • 15. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.4. Conduction thermique en régime permanent II.4.1. Cas d’un problème unidirectionnel    2 2 d T T 0 dx T1 T2 T1 > T2 parois adiabatiques L S x 0 En régime permanent, la température ne dépend que de la variable spatiale x.     T 0 t L’équation de la conduction thermique en absence de source interne s’écrit alors :
  • 16. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.4. Conduction thermique en régime permanent II.4.1. Cas d’un problème unidirectionnel    2 2 d T T 0 dx or            1 2 T 0 T T L T       T x x            1 2 1 T T L T        1 2 1 T T T x x T L La densité de flux thermique dans le cylindre est :     l  l 1 2 th x x dT x T T J u u dx L T1 T2 T1 > T2 parois adiabatiques L S x 0
  • 17. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.4. Conduction thermique en régime permanent II.4.1. Cas d’un problème unidirectionnel Le flux thermique qui traverse une section du cylindre est :   l f     2 th 1 2 S S J d S T T L   f l 1 2 T T L S T1 T2 T1 > T2 parois adiabatiques L S x 0
  • 18. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.4. Conduction thermique en régime permanent II.4.2. Cas d’une couche cylindrique L’équation de la conduction s’écrit en régime permanent:          1 d dT T r 0 r dr dr         T r ln r En négligeant les effets de bords, la température dans la couche cylindrique ne dépend que de la seule variable d’espace r en régime permanent. z R1 R2 T2 T1 h
  • 19. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.4. Conduction thermique en régime permanent II.4.2. Cas d’une couche cylindrique                 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 T T lnR lnR T lnR T lnR lnR lnR avec            1 1 2 2 T R T T R T        T r ln r              1 2 1 2 1 1 T T r T r ln T R R ln R z R1 R2 T2 T1 h            1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 T T T lnR T lnR T r ln r lnR lnR lnR lnR
  • 20. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.4. Conduction thermique en régime permanent II.4.2. Cas d’une couche cylindrique z R1 R2 T2 T1 h La densité de flux thermique dans le cylindre est :       l  l  l  1 2 th r r 2 1 dT r T T 1 J gradT r u u dr lnR lnR r Le flux thermique qui traverse le cylindre est :   l f      2 th 1 2 S 2 1 2 h J d S T T lnR lnR    f l 1 2 2 1 T T lnR lnR 2 h
  • 21. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.4. Conduction thermique en régime permanent II.4.3. Cas d’une couche sphérique R1 R2 T1 T2 En régime permanent, La température dans la couche sphérique ne dépend que de la seule variable d’espace r. L’équation de la conduction s’écrit en régime permanent:          2 2 1 d dT T r 0 r dr dr       T r r
  • 22. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.4. Conduction thermique en régime permanent II.4.3. Cas d’une couche sphérique R1 R2 T1 T2      T r r                   1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 R R T T R R T T T R R R avec            1 1 2 2 T R T T R T                 1 2 1 2 1 2 1 1 R R T T 1 1 T r T R R r R
  • 23. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.4. Conduction thermique en régime permanent II.4.3. Cas d’une couche sphérique R1 R2 T1 T2 La densité de flux thermique est donnée par :         l  l  l  1 2 1 2 th r r 2 2 1 dT r R R T T 1 J gradT r u u dr R R r Le flux thermique qui traverse la sphère est :   l f      2 1 2 th 1 2 S 2 1 4 R R J d S T T R R     f l 1 2 2 1 1 2 T T R R 4 R R
  • 24. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.4. Conduction thermique en régime permanent II.4.3. Cas d’une couche sphérique R1 R2 T1 T2 Dans le cas d’une couche sphérique de faible épaisseur e:   2 1 1 e R R R Ona :      f l l  l 1 2 2 1 2 1 2 1 T T R R e e 4 R R 4 R S
  • 25. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.5. Résistance thermique II.5.1. Définition Dans les trois cas de figure étudié précédemment en régime permanent (tige de section constante à parois adiabatiques, couche cylindrique et couche sphérique), le flux thermique est proportionnel à la différence de température. La constante Rth est une grandeur physique qui caractérise l’opposition à un flux thermique entre deux sources de chaleur entre lesquelles s’effectue un transfert thermique.   f 1 2 th T T R
  • 26. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.5. Résistance thermique II.5.1. Définition * Tige à parois adiabatiques :  l th L R S * Couche cylindrique :         l l   2 1 th 1 2 1 2 R R 1 1 1 R 4 R R 4 R R * Couche cylindrique :        l l   2 1 2 th 1 lnR lnR R 1 R ln 2 h 2 h R
  • 27. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.5. Résistance thermique II.5.2. Analogie électrique Conduction électrique Transfert Thermique  l th j gradT * Loi de Fourier :   j gradV * Loi d’Ohm locale :    U V RI * Loi d’Ohm :   f th T R * V * Différence de potentiel : T * Différence de température : * Intensité du courant électrique: I * Flux thermique : f * Résistance électrique : R * Résistance thermique : Rth   L R S * Problème unidirectionnel : * Problème unidirectionnel :  l th L R S  : conductivité électrique l : conductivité thermique
  • 28. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.5. Résistance thermique II.5.3. Résistance thermique d’un mur composite a – association en série Soit un mur plan d’épaisseur e, constitué de n couches de matériaux différents en série. Les dimensions de la surface du mur sont supposées très grandes devant son épaisseur.      f         0 1 0 n 1 2 n 1 n 1 2 n 1 2 n th th th th th th T T T T T T T T R R R R R R Dans le mur, il n’y a ni de perte ni de production d’énergie. Le flux thermique est alors : e1 e2 e3 en T0 T1 T2 T3 Tn Tn-1 1 th R 2 th R 3 th R n th R   f  0 n eq th T T R    n eq k th th k 1 R R avec
  • 29. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.5. Résistance thermique II.5.3. Résistance thermique d’un mur composite b – association en parallèle Soit un mur plan d’épaisseur e, constitué de n couches de matériaux différents en parallèle.    f  f  f   f     0 1 0 1 0 1 1 2 n 1 2 n th th th T T T T T T R R R Le flux thermique traversant le mur est égal à la somme des flux traversants les différentes couches. T0 T1 1 th R 2 th R 3 th R n th R       f           0 1 0 1 1 2 n eq th th th th T T 1 1 1 T T R R R R    n eq k k 1 th th 1 1 R R avec
  • 30. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.5. Résistance thermique II.5.3. Résistance thermique d’un mur composite c – application Soit un mur plan en brique et plâtre avec une porte simple et une fenêtre à double vitrage. Le mur, la porte et la fenêtre sont en parallèle      lame d'air eq brique platre porte vitres th th th th th th 1 1 1 1 R R R R R R T0 brique th R platre th R porte th R lame d'air th R vitres th R T0 T1
  • 31. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.6. Conduction thermique en régime sinusoïdal forcé – Onde thermique On considère le sol comme un milieu semi infini de conductivité thermique l, de masse volumique  et de capacité calorifique massique C. On suppose que la température varie sinusoïdalement au niveau de la surface du sol :        0 0 T(z 0,t) T cos t z=0 z sol On cherche à étudier le champ de température dans le sol T(z,t) :
  • 32. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.6. Conduction thermique en régime sinusoïdal forcé – Onde thermique L’équation de la conduction thermique dans le sol s’écrit : soit        0 (z 0,t) cos t           2 2 z,t z,t a t z L’équation aux dérivées partielles vérifiée par  est : Diffusivité thermique du sol              2 2 T z,t T z,t a T z,t a t z l   a C On pose        0 z,t T z,t T
  • 33. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.6. Conduction thermique en régime sinusoïdal forcé – Onde thermique On cherche une solution complexe de  en régime sinusoïdal forcé de la forme : La solution de cette équation est de la forme :                     2 2 i t i t 2 2 z,t z,t d f z a i f z e a e z et t t z dz        i t z,t f z e f(z) est à priori complexe              z z 1 i 1 i f z Ae Be                                2 2 2 2 d f z 1 i i f z 1 i f z f z dz a 2a    2a ;
  • 34. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.6. Conduction thermique en régime sinusoïdal forcé – Onde thermique D’où :                      z z 1 i 1 i i t z,t Ae Be e                            z z z z i t i t z,t Ae e Be e La solution est divergente si A ≠ 0 (à rejeter) Donc                z z i t z,t Be e D’autre part         i t i t 0 (z 0,t) e Be t   0 B               z z i t 0 (z,t) e e Alors
  • 35. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.6. Conduction thermique en régime sinusoïdal forcé – Onde thermique               z 0 z (z,t) e cos t Ainsi                z 0 0 z T(z,t) T e cos t Les fluctuations de température sont atténuées au fur et à mesure que la profondeur du sol z augmente.  possède les dimensions d’une longueur qui caractérise la profondeur de pénétration des fluctuations de la température. La propagation des fluctuations dans le sol caractérise une onde thermique.
  • 36. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA II. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONDUCTION II.6. Conduction thermique en régime sinusoïdal forcé – Onde thermique Profondeur de pénétration thermique en fonction de la nature du sol M. Benhammou, Revue des Énergies Renouvelables Vol.14 N°2 (2011) 219 – 228
  • 37. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION III.1. Définition Contrairement au transfert thermique par conduction, la convection thermique est dû à un déplacement appréciable des particules dans un fluide (molécules, atomes, ions, …). La convection thermique désigne le transfert d’énergie thermique au sein d’un fluide (liquide ou gaz) en mouvement ou entre un fluide en mouvement et une paroi solide.
  • 38. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION III.2. Convection naturelle (ou libre) La convection naturelle (ou libre) est due à une différence de masse volumique sous l’effet d’une différence de température. Le fluide chaud le plus voisin de la source thermique diminue en densité et tend à remonter en cédant la place à du liquide plus dense et plus froid.
  • 39. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION III.3. Convection forcée La convection forcée est provoquée par une circulation artificielle (pompe, turbine) d'un fluide. Le transfert est plus rapide que dans le cas de la convection naturelle. Four à convection Ventilateur
  • 40. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION III.4. Loi de Newton La densité de flux thermique entre la surface d’un solide à la température Ts et un fluide à la température Tf est régie par la loi de Newton.     th s f J h T T n avec n est un vecteur unitaire normal à la surface solide orienté du solide vers le fluide h est constante appelée coefficient de transfert thermique qui dépend de la nature du fluide. Il s’exprime dans le système international en W.m-2.K-1.
  • 41. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION III.4. Loi Newton Le coefficient de transfert thermique augmente considérablement lorsqu’on passe du régime naturel au régime forcé. Convection naturelle Convection forcée gaz 2 – 20 25 – 300 liquide 50 – 1000 100 – 40000 Coefficient de transfert thermique en W.m-2.K-1 • Air : ≈ 5 W.m-2.K-1 en convection naturelle à 300 K • Eau : ≈ 1000 W.m-2.K-1 en convection naturelle à 300 K
  • 42. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION III.4. Résistance thermique Le flux thermique par convection entre la surface d’un solide et un fluide est : La résistance thermique par convection est :   f     2 th s f S J d S hS T T      f s f th T T 1 R hS
  • 43. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA III. TRANSFERT THERMIQUE PAR CONVECTION III.5. Application : double vitrage Les deux vitres et la lame d’air sont en série Entre les deux vitres, on néglige la convection de l’air Le système est équivalent à 5 dipôles thermiques en série. Résistance thermique équivalente :      l l l eq a v1 v2 th 1 v1 a v2 2 e e e 1 1 R h S S S S h S h1 h2 la lv2 lv1 ev2 ea ev1 S
  • 44. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.1. Généralités L’agitation thermique des constituants de la matière est à l’origine de ce rayonnement d’où l’appellation de rayonnement thermique. Contrairement aux autres modes de transfert, le rayonnement thermique ne nécessite aucun support matériel. Le grand four solaire d’Odeillo – CNRS France Thermographie d’un chien Tout corps porté à une température T émet de l’énergie sous forme de rayonnement électromagnétique qui se propage dans le vide à la célérité de la lumière. Les échanges d’énergie entre la matière et le rayonnement se font par quantum d’énergie appelé Photon.
  • 45. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.2. Grandeurs énergétiques Dans le domaine visible, le flux lumineux est souvent exprimé en lumen (lm), 1W = 683 lm Le flux énergétique est la puissance émise par une source dans tout l'espace ou elle peut rayonner. IV.2.1. Flux énergétique Il s’exprime dans le système international en W.
  • 46. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.2. Grandeurs énergétiques IV.2.2. Intensité Soit une surface élémentaire d2S dont la normale fait un angle  avec la direction de l’axe Ox. x u n Ox  2 d 2 d S  on appelle intensité énergétique d’un corps émetteur dans la direction Ox, le flux rayonné par unité d'angle solide dans cette direction. Elle s'exprime en Watt par stéradian.  f       2 1 2 d I W.sr d
  • 47. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.2. Grandeurs énergétiques IV.2.3. Émittance Considérons une surface élémentaire d2S émettant un flux élémentaire d2f. On appelle émittance le flux émis par unité de surface. Elle est égale au rapport du flux élémentaire d2f par la surface élémentaire d2S. Elle s'exprime en Watt par mètre carré.  f      2 2 2 d M W.m d S
  • 48. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.2. Grandeurs énergétiques IV.2.4. Luminance Considérons une surface élémentaire d2S émettant un flux élémentaire d4f dans l’angle solide élémentaire d2. On appelle luminance le flux émis par unité d’angle solide et par unité de surface perpendiculaire à une direction bien définie (Ox). x u n Ox  2 d 2 d S  2 n d S Le flux d4f émis dans la direction Ox semble provenir d’une surface élémentaire d2Sn perpendiculaire à l’axe Ox (d2Sn est la projection de d2S sur un plan perpendiculaire à (Ox)).   f f          4 4 2 1 2 2 2 2 n d d L W.m sr d S d d S.cos .d
  • 49. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.2. Grandeurs énergétiques IV.2.5. Loi de Lambert Les sources dont la luminance est indépendante de la direction obéissent à la loi de Lambert. Or la luminance est définie par : f f        4 4 2 2 2 2 d d L L.cos .d d S.cos .d d S f       2 2 2 espace d M L.cos .d d S          2 2 0 0 M L cos .sin .d .d Pour une source obéissant à la loi de Lambert L est constante.    M L x u n Ox  2 d 2 d S  d 2 n d S
  • 50. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.2. Grandeurs énergétiques IV.2.6. Grandeurs énergétiques relatives à un récepteur Le bilan d’énergie pour un corps récepteur peut être écrit sous la forme suivante : A + R + D + T = 1 • A : pouvoir d’absorption • R : pouvoir de réflexion • D : pouvoir de diffusion • T : pouvoir de transmission
  • 51. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.3. Les corps noirs IV.3.1. Définition On appelle corps noir tout corps capable d’absorber intégralement tout rayonnement incident quelque soit sa longueur d’onde. Pour une température donnée, un corps qui émet par rayonnement thermique le maximum d’énergie est un corps noir. Pour un corps noir, le coefficient d’absorption est égale à 1 quelque soit la longueur d’onde (A(l) = 1; R (l) = D (l) = T (l) = 0).
  • 52. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.3. Les corps noirs IV.3.2. Réalisation d’un corps noir On considère une cavité dont la paroi intérieure est caractérisée par un pouvoir d’absorption « A » proche de l’unité quelque soit la longueur d’onde de la radiation incidente. Le rayonnement incident pénètre à l’intérieur de la cavité à travers un orifice de faibles dimensions. La parois intérieure de la cavité est recouverte d'une épaisse couche de noir de fumée ou de noir de platine hautement absorbant. Cavité absorbante – corps noir
  • 53. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.3. Les corps noirs IV.3.2. Réalisation d’un corps noir Après plusieurs réflexions absorptions, le rayon incident est totalement absorbé par la cavité Le rayonnement incident pénètre à l’intérieur de la cavité à travers un orifice de faibles dimensions. Cavité absorbante – corps noir
  • 54. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.4. Rayonnement d’un corps noir IV.4.1. Loi de Planck (1900) La loi de Planck définit l’émittance spectrale du rayonnement thermique d’un corps noir à l’équilibre thermique en fonction de sa température.         3 h 2 kT dM 2 h M d c e 1 L’émittance spectrale est définie comme étant le flux émis par unité de surface et par unité spectrale (fréquence, longueur d’onde, …)
  • 55. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.4. Rayonnement d’un corps noir IV.4.1. Loi de Planck (1900) on peut aussi exprimer l’émittance spectrale en fonction de la longueur d’onde:  l l     l   l d M d M d M M d l l    l  2 hc 5 kT 2 hc 1 M e 1 donc l l      l    l  3 h c 2 2 kT c 2 h c M c e 1
  • 56. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.4. Rayonnement d’un corps noir IV.4.1. Loi de Planck (1900) 0 2E+13 4E+13 6E+13 8E+13 1E+14 1.2E+14 1.4E+14 1.6E+14 0 0.5 1 1.5 2 6500 K 6000 K 5000 K 4000 K Ml l (mm) Émittance du corps noir
  • 57. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.4. Rayonnement d’un corps noir IV.4.2. Loi de Wien La loi de Wien décrit la relation liant la longueur d'onde λm, correspondant au pic d'émission lumineuse du corps noir, et la température absolue T. l l      l   m dM 0 d l l        l             l       m hc 5 kT d e 1 0 d l l    l   l        m m hc hc kT kT 4 3 m m hc 5 e 1 e 0 kT
  • 58. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.4. Rayonnement d’un corps noir IV.4.2. Loi de Wien l        l   m hc kT m hc e 5 5 kT l l    l   l        m m hc hc kT kT 4 3 m m hc 5 e 1 e 0 kT La résolution de cette équation donne u = 4,96 posons  lm hc u kT     u e 5 u 5 alors soit l  m hc T ku D’où : l  m hc T 4,9651k  l  m mT 2898 m.K
  • 59. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.4. Rayonnement d’un corps noir IV.4.2. Loi de Wien * En supposant que le soleil se comporte comme un corps noir dont la surface est à la température Ts = 5800 K, la longueur d’onde lm qui correspond à un maximum d’émission : * Pour un corps noir à la température Tc = 300 K. domaine visible l   m m S 2898 0,5 m T domaine infrarouge l   m m c 2898 9,66 m T
  • 60. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.4. Rayonnement d’un corps noir IV.4.3. Loi de Stefan L’émittance d’un corps noir peut être calculée par intégration de l’émittance spectrale.              3 h 2 0 0 kT 2 h M M d d c e 1 Posons         h kT kT u u d du kT h h                 4 3 4 4 3 2 u 2 3 u 0 0 2 h kT u 2 k T u M du du c h e 1 c h e 1
  • 61. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.4. Rayonnement d’un corps noir IV.4.3. Loi de Stefan      3 4 u 0 u du e 1 15 Or   5 4 4 2 3 2 k M T 15c h       5 4 4 2 3 2 k M T ; 15c h      8 2 4 5,6710 W.m K L’émittance d’un corps noir est proportionnelle à la puissance quatrième de sa température.
  • 62. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.4. Rayonnement d’un corps noir IV.4.4. Application : flux solaire reçu par unité de surface de la terre Le flux total émis par le soleil est : f     4 2 S S S S S M S T .4 R Le flux solaire reçu par la terre est égal au flux rayonné par le soleil dans un angle solide  sous lequel on voit la surface de la terre (surface du disque terrestre) à partir du soleil.     2 T 2 T S R D MS, TS, SS et RS représentent respectivement l’émittance, la température, la surface et le rayon du soleil. DT-S est la distance terre soleil  Soleil Terre DS-T
  • 63. TRANSFERTS THERMIQUES Ali BEN MOUSSA IV. TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT IV.4. Rayonnement d’un corps noir IV.4.4. Application : flux solaire reçu par unité de surface de la terre Le flux solaire reçu par la terre est égal à la fraction /4 du flux solaire total.       f  f        2 2 2 2 4 4 T S T S T S S S S 2 2 T S T S R R R 4 R T T 4 4 D D Le flux solaire reçu par unité de surface de la terre perpendiculaire à direction du soleil.   f f     2 4 S T S max S 2 2 T T S R T R D       S S T S R 696 700 km ; T 5 800 km ; D 149 637 000 km  f  max 1 390 W  Soleil Terre DS-T