SlideShare une entreprise Scribd logo
Filtrage Analogique
Licence Electronique ELN3 TS
1
DSP board
I. Introduction
3
Filtrage analogique élimination d'une partie du spectre d'un signal
- Radiocommunication : sélection du canal
- élimination d'un bruit
- sélection de fréquence à la sortie d'un circuit
non linéaire ( mélangeur, oscillateur…)
- analyse spectrale
Filtrage numérique même application que le filtrage analogique
+ transformation de signaux
- apparition d'échos
- modification d'une voix
- ….
- ….
4
I. Introduction
les filtres actifs (à Amplificateurs Opérationnels)
- fréquences BF ( 0 à qq MHz )
car gain AOP…
les filtres passifs
- fréquences HF (qq 10 MHz  1GHz) ou µOnde (1GHz  100GHz)
car inductances…
les filtres à résonateurs
- à quartz ( piézo-électrique) ( 100MHz )
- cavité métallique ou diélectrique ( 1GHz  100GHz )
les filtres à ondes de surface
- qq 100 MHz
5
I. Introduction
les filtres passifs en µOnde
Optimisation de la puissance disponible composants non dispersifs : C, L,…
Technologie Lignes
Technologie hybride Technologie Intégrée (MMIC)
I. Introduction
6
1kHz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz 100MHz 1GHz 10GHz 100GHz
les filtres passifs à composants
les filtres actifs AOP
filtres à quartz
filtres à cavité
filtres passifs à lignes et
hybride
filtres à onde de
surface
MMIC
7
I. Introduction
II. Les systèmes linéaires
8
Signal : Toute grandeur physique
Température = fonction ( lieu)
Tension = fonction ( temps )
Signaux : continus (physique) ou discontinus (approximation de certains cas physiques)
transitoires commence à un instant (t=0)
se termine au bout d'un temps fini ou
périodiques
0
t 

9
II. Les systèmes linéaires
9
Exemples de signaux
Signal sinusoidal
Signaux transitoires ou impulsionnels
Portes
Impulsion triangulaire
Echelon de Heavyside
Impulsion exponentielle
Impulsion de Dirac
Signaux périodiques discontinus
peignes
créneau
T

T

/
( )
t T
e u t

( )
u t
( )
t

1/T
2/T
T
T
10
II. Les systèmes linéaires
10
Définition de l'Impulsion de Dirac : (t)
( ) 1
t dt





(t) : Impulsion de largeur nulle mais de surface unité :
/
0 0 0
( ) lim( ) lim( ) lim( ( ))
t T
T T
T T T
t e u t
 
  
    
/
( ) 1
t T
T T
dt dt e u t dt
  

  
    
  
On remarque que :

t
T

t
T

t
T

t
T

t
…
Exemple avec l’impulsion triangulaire
11
II. Les systèmes linéaires
11
Quelques propriétés de l'Impulsion de Dirac : (t)
( )
t

t
0
0
( )
t t
 
t
0 t0
0
( )
t t
 
t
0
e(t0) (t-t0)
x
t
0
e(t)
t
0
0 0 0
( ). ( ) ( ) ( )
e t t t e t t t
 
  
12
II. Les systèmes linéaires
12
e1(t) s1(t)
linéaires : a e1(t) + b e2(t) a s1(t) + b s2(t)
Invariant dans
le temps :
e (t-t) s (t-t)
(e retardé de t) (s retardé de t)
Système
Système Linéaire
Indépendant du temps
S.L.I
e2(t) s2 (t)
13
II. Les systèmes linéaires
13
signal e(t) et signal approché ~e(t) :
e(t)
t
~e(t)
( ) ( ) ( )
T
n
e t e t nT t nT T


   

donc
0
( ) lim ( ) ( )
T
T
n
e t e t nT t nT T



 
   
 
 

( ) ( ') ( ') ' ( ) ( )
e t e t t t dt e t t
 


   
 Produit de convolution
Impulsion carrée
amplitude 1/T
14
II. Les systèmes linéaires
T 0
0
( ) ( ) ( )
t e t e t
  
14
( ') ( ')
) '
( e t t t dt
e t 


 
 ( ) ( ') ( ') '
s t e t h t t dt


 

( ) ( ) ( )
s t e t h t
 
(t) h(t) réponse impulsionnelle
S.L.I
t
0
(t-t') h(t-t')
S.L.I
t
t'
0
e(t)
t
S.L.I
s(t)
0
S.L.I
t
0
15
II. Les systèmes linéaires
15
( ) ( ) ( )
s t e t h t
 
(t)
h(t) réponse impulsionnelle
e(t)
16
II. Les systèmes linéaires
16
III. Les systèmes linéaires Par
Transformée de Laplace et de Fourier
17
III.1 Les systèmes linéaires Par
Transformée de Laplace
18
18
Propriétés
Signal
temporel
Transformée de Laplace
( )
s t ( )
S p
Linéarité 1 2
( ) ( )
a s t bs t
 1 2
( ) ( )
a S p bS p

Dérivation
temporelle
'( ) ( )
s t s t
t



( ) ( 0 )
p S p s t 
 
Dérivation
( )
( ) ( )
n
n
n
s t s t
t



1 2 ( 2) ( 1)
( ) ( 0 ) '( 0 ) .... ( 0 ) ( 0 )
n n n n n
p S p p s t p s t p s t s t
       
        
Intégration
0
( ') '
t
s t dt

( )
S p
p
Convolution 1 2
( ) ( )
s t s t
 1 2
( ) ( )
S p S p
1 2
( ) ( )
s t s t 1 2
( ) ( )
S p S p

0
( ) ( ) pt
S p s t e dt



Transformée de Laplace unilatérale (signaux causaux)
1
( ) ( )
2
pt
s t S p e dp
j



  S(p)
T.L
T.L-1
s(t<0)= 0
s(t)
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
19
n° s(t) causaux ( s(t<0)=0 ) S(p)
1 Dirac (t) 1
3 Echelon de Heavyside u(t) 1/p
6 e-a t
1 / (p+a)
9 ( 1-e-a t
)
( )
a
p p a

11 at bt
e e
 

( )( )
b a
p a p b

 
17
1
1 ( )
at bt
be ae
b a
 
 
 ( )( )
ab
p p a p b
 
18
2
2
sin( 1 )
1
N t
N
N
e t
 

 




2
2
1
2 1
N N
p p

 
 
avec  <1
19
2
2
1
1 sin( 1 )
1
N t
N
e t
 
  


  

avec
2
1
( )
arctg





2
2
1
2 1
N N
p p
p 
 
 
 
 
 
avec 
<1
20
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
e(t) s(t)
Système
1 1
1 0 1 0
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
... ( ) ... ( )
n n m m
n n m m
n n m m
d s t d s t d e t d e t
b b b s t a a a e t
dt dt dt dt
 
 
 
      
Par Transformée de Laplace
2 2
2 1 0 2 1 0
( ) ( )
[...] ( 0 ) [...] ( 0 )
[...] '( 0 ) [...] '( 0 )
b p b p b S p a p a p a E p
s t e t
s t e t
 
 
   
   
   
    
   
2 2
2 1 0 2 1 0
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
d s t ds t d e t de t
b b b s t a a a e t
dt dt dt dt
    
Dans le cas d’un système du 2nd degré
21
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
2 2
2 1 0 2 1 0
( ) ( )
[...] ( 0 ) [...] ( 0 )
[...] '( 0 ) [...] '( 0 )
b p b p b S p a p a p a E p
s t e t
s t e t
 
 
   
   
   
    
   
Si système au repos avant la première exitation s(0+)=s(0-)= e(0+)=e(0-)
2 2
2 1 0 2 1 0
( ) ( )
b p b p b S p a p a p a E p
   
    
   
C'est-à-dire
2
2 1 0
2
2 1 0
( )
( )
a p a p a
S p
E p b p b p b
 
 
 

 
 
 
2
2 1 0
2
2 1 0
( )
a p a p a
H p
b p b p b
 
 
 

 
 
 
noté
Fonction de Transfert (opérationnelle) 22
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
plus généralement
Fonction de Transfert (opérationnelle)
1
1 0
1
1 0
...
( )
( )
( ) ...
m m
m m
n n
n n
a p a p a
S p
H p
E p b p b p b




  
 
  
Remarque : le dénominateur est l'équation caractéristique vue au chapitre II
e(t)
Système
( ) ( ) ( )
s t e t h t
 
T.L
( ) ( ). ( ( ))
S p E p TL h t

Donc ( ) ( ( ))
H p TL h t

la fonction de Transfert est la Transformée de Laplace
de la réponse impulsionnelle 23
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
Calculons la fonction de transfert de ce système
e(t) s(t)
T.L
-
e s R i
 ( ) - ( ) ( )
E p S p R I p

ds
i C
dt
 ( ) ( )
I p C p S p

d'où -
E S R C p S

c.a.d
1
1
S
H
E R C p
 

Domaine temporel Domaine de Laplace
1
( )
C
Z
Cp

24
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
Calculons la réponse impulsionnelle h(t) de ce système
e(t) s(t)
T.L-1
( ) 1
E p 
Domaine temporel Domaine de Laplace
c.a.d
1 1/
1 1/
RC
S
R C p p RC
 
 
1
1
S
E R C p


or
T.L
/
1 t RC
s e
RC


( ) (t)
e t 

25
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
III.2 Les systèmes linéaires Par
Transformée de Fourier
26
26
Transformée de Fourier
Etudions maintenant la réponse des systèmes à
un signal d'entrée périodique
27
Série de Fourier
signaux périodiques (T0 = 1/f0)
0
( ) j n t
n
n
s t c e 


  où 0 = 2  /T0
où
0
0
0
/ 2
/ 2
( )
T
j n t
n T
c s t e dt



 
par exemple : créneau de périodeT0
0 T0 2T0
t
0
0
0
0
0.5
2 / cos( )
2 / 3 cos(3 )
2 / 5 cos(5 )
2 / 7 cos(7 )
t
t
t
t
 
 
 
 
III.2 Transformée de Fourier
28
Série de Fourier d'un créneau de période T0
0 T0 2T0
t
t
29
III.2 Transformée de Fourier
Signaux non périodiques (période infinie)
signaux périodiques (période finie)
0
( ) j n t
n
n
s t c e 


 
0
0
0
/ 2
/ 2
( )
T
j n t
n T
c s t e dt



 
( ) ( ) j t
s t S f e df




( ) ( ) j t
S f s t e dt





Transformée de Fourier
Série de Fourier
30
III.2 Transformée de Fourier
T.F
par exemple : porte de largeur T
t
s(t)
f
0
|S(f)|=T sinc( f t)
0 T0 2T0
par exemple : créneau de périodeT0
t
s(t)
T.F
f
0 f0 3f0 5f0
|S(f)|
31
III.2 Transformée de Fourier
n° s(t) S(f)
Linéarité 1 2
( ) ( )
a s t b s t
 1 2
( ) ( )
a S f bS f

Dérivation
temporelle '( ) ( )
s t s t
t



( )
j S f

Convolution 1 2
( ) ( )
s t s t
 1 2
( ) ( )
S f S f
1 2
( ) ( )
s t s t 1 2
( ) ( )
S f S f

Dirac (t) 1
Peigne de Dirac ( ) ( )
e
T e
n
pgn t t nT



 

1 1
( )
n
e e
f n
T T





s(t-t0) 0
( )
j t
e S f


0
( )
S f f

0
( )
j t
e s t

32
III.2 Transformée de Fourier
e(t) s(t)
Système
1 1
1 0 1 0
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
... ( ) ... ( )
n n m m
n n m m
n n m m
d s t d s t d e t d e t
b b b s t a a a e t
dt dt dt dt
 
 
 
      
Réponse
fréquentielle
1
1 0
1
1 0
( ) ( ) ...
( )
( )
( ) ( ) ( ) ...
m m
m m
n n
n n
a j a j a
S f
H f
E f b j b j b
 
 




  
 
  
Par Transformée de Fourier :
1
1 0
1
1 0
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
n n
n n
m m
m m
b j S f b j S f b S f
a j m E f a j E f a E f
 
 




  
   
Obtenue en remplaçant p par j
dans la fct de transfert opérationnelle
33
III.2 Transformée de Fourier
Réponse fréquentielle
( ) ( ) ( )
s t e t h t
 
e(t)
Système
T.F
( ) ( ). ( ( ))
S f E f TF h t

Donc ( ) ( ( ))
H f TF h t

la réponse fréquentielle est la Transformée de Fourier
de la réponse impulsionnelle
1
1 0
1
1 0
( ) ( ) ...
( )
( )
( ) ( ) ( ) ...
m m
m m
n n
n n
a j a j a
S f
H f
E f b j b j b
 
 




  
 
  
34
III.2 Transformée de Fourier
Calculons la réponse fréquentielle de ce système
e(t) s(t)
T.F
-
e s R i
 ( ) - ( ) ( )
E f S f R I f

ds
i C
dt
 ( ) ( )
I f C j S f


d'où -
E S R C j S


c.a.d
1
1
S
H
E j RC
 

Domaine temporel Domaine de Fourier
1
( )
C
Z
jC

35
III.2 Transformée de Fourier
Prenons une entrée sinusoïdale :
or
0 0
( ) cos( )
e t e t


T.F
 
0
0 0
( ) ( ) ( )
2
e
E       
   
La réponse à cette entrée vaut :
 
0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
e
S E H H
         
    
 
0
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
e
S H H
        
    
0
( )
0 0
( ) | ( ) | j
H H e  
 

0 0
( ) ( )
0
0 0 0
( ) | ( ) | ( ) ( )
2
j j
e
S H e e
   
       

 
   
 
et 0
( )
0 0
( ) | ( ) | j
H H e  
  
 
donc
36
III.2 Transformée de Fourier
T.F-1
0 0 0 0
( ) ( )
0
0
( ) | ( ) |
2
j j t j j t
e
s t H e e e e
     
  
 
 
 
0 0
( ) ( )
0
0 0 0
( ) | ( ) | ( ) ( )
2
j j
e
S H e e
   
       

 
   
 
donc
 )
0 0 0 0
( ) | ( ) | cos ( )
s t e H t
   
 
•Le gain G(0) du système e0/s0 à 0 = | H(0) |
•Le déphasage (0) de s(t) par rapport à e(t) à 0= argument( H(0) )
Diagramme de Bode = représentation de | H(0) | et de (0)
37
III.2 Transformée de Fourier
III.3 Diagramme de Bode
38
III.3 Diagramme de Bode
Cad
 )
0 0 0 0
| ( ) | cos ( )
e H t
   

•Le gain
•Le déphasage de s(t) par rapport à e(t) = (0) =argument( H(0) )
Diagramme de Bode = représentation de log10| H() | et de ()
0 0
cos( )
e t

On a montré que :
Système
0 0
( ) ( )
G H
 

39
39
Exemple : soit un filtre du 1er ordre
1
( )
1
H
j

t


2
10 10 10 2
1
( ) 20log ( ) 10log ( ) 10log
1 ( )
dB
G H H
  
t
 
    

 
( ) ( )
1
arctg
t
   
et
10
( ) 20log ( )
dB
G H
 

 )
2
10
( ) 10log 1 ( )
dB
G  t
  
40
III.3 Diagramme de Bode
40
 )
 )
2
10 10
0
lim 10log 1 ( ) 10log (1) 0
dB
G dB

t

    
Comportement asymptotique
comportement du système à certaines fréquences caractéristiques
par ex qd 0 ou qd ∞
Droite horizontale 0 dB
Quand 0
41
III.3 Diagramme de Bode
41
Comportement asymptotique
 )
 )
2 2
10 10 10
lim 10log 1 ( ) 10log (( ) ) 20log ( )

t t t

   
 )
lim 20log( ) 20log( )
dB
G

 t

 
Droite de pente -20 dB/décade
d’ordonnée à l’origine 20log( )
t

quand  10  alors -20 log()  -20 log(10)=-20log()-20
Quand ∞
42
III.3 Diagramme de Bode
42
Comportement asymptotique
 )
lim dB
G

Droite horizontale 0dB
Droite de pente -20 dB/decade
d’ordonnée à l’origine 20log( )
t

 )
0
lim dB
G

1E4
1E3 1E5
-20
-15
-10
-5
-25
0
freq, Hz
dB(out)
43
III.3 Diagramme de Bode
43
Comportement asymptotique
Les asymptotes se croisent quand 2
10
10log (( ) ) 0
t
 
2
10
10log (( ) )
G t
 
0
G dB

cad quand =1/t
et G(=1/t )= -3dB
-3dB
1E4
1E3 1E5
-20
-15
-10
-5
-25
0
freq, Hz
dB(out)
44
III.3 Diagramme de Bode
44
-45° pour =1/t
( ) ( )
arctg
  t
 
1E4
1E3 1E5
-80
-60
-40
-20
-100
0
freq, Hz
phase(out),
deg
45
III.3 Diagramme de Bode
45
IV. Les systèmes du 1er et du 2nd ordre
Seuls les systèmes du 2eme ordres sont traités très rapidement dans cette présentation.
(Voir polycopié de cours)
46
=0.1
=0.3
=0. 707
=6
IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre
Gain en fonction de la fréquence normalisée pour plusieurs coefficients
d’amortissement 
47
=0.1
=0.3
=0. 707
=6
Phase en fonction de la fréquence normalisée pour plusieurs coefficients
d’amortissement 
48
IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre
=1
=0.707
=0. 1
=0.3
=3
Réponse indicielle pour plusieurs coefficients d’amortissement 
49
IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre
V. Gabarits – Normalisation –
Transposition
50
Filtre Passe Bas parfait … est il possible ?
V. Gabarits – normalisation - transposition
51
G
|H()|

p
51
52
0
1
fréquences
| H(f) |
0
Filtre Passe Bas parfait … est il possible ?
V. Gabarits – normalisation - transposition
52
53
| H(f) |
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Arg(H(f))
Filtre Passe Bas parfait … est il possible ?
TF-1
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
h(t)
temps
fréquences
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
V. Gabarits – normalisation - transposition
53
G
Gmax
Gmin
0
1 fa/fp=1/k
n

a
p
Passe Bas
54
V. Gabarits – normalisation - transposition
G
Gmax
Gmin
0
1
n

p
a
Passe Haut fa/fp=1/k
55
V. Gabarits – normalisation - transposition
G
Gmax
Gmin
0
1
n
0 1
/
  0 2
/
 
1
2
2
' 0
1
1




2
' 0
2
2





p ’
1 – 1
a ’
2 – 2
Passe Bande
2 0
/
  1 0
/
 
0
56
V. Gabarits – normalisation - transposition
G’
Gmax
Gmin
0
0

1
2
2
' 0
1
1




2
' 0
2
2




p
n
1
1 0
/
  0 2
/
 
2 0
/
  0 1
/
 
2
/
p a
 
Coupe Bande
57
V. Gabarits – normalisation - transposition
VI. Recherche de H(p) à partir de |H()|
58
58
VI.1 Stabilité des systèmes linéaires
59
59
e(t) s(t)
Système
1 1
1 0 1 0
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
... ( ) ... ( )
n n m m
n n m m
n n m m
d s t d s t d e t d e t
b b b s t a a a e t
dt dt dt dt
 
 
 
      
2
( ) ( )
( ) ( )
n
d s t ds t
LC RC s t e t
dt dt
  
Par exemple, dans le cas d’un circuit RLC série, on a un système du 2eme ordre
( ) ( )
di
e t Ri L s t
dt
  
( )
ds
i t C
dt

e(t)
i(t)
s(t)
R L
1
1 0
1
1 0
...
( )
( )
( ) ...
m m
m m
n n
n n
a p a p a
S p
H p
E p b p b p b




  
 
  
de fonction de Transfert :
60
VI.1 Stabilité des systèmes linéaires
60
solution générale : solution de l'équation sans second membre
cad ( e(t)=0 régime libre)
Solutions de l'équation différentielle :
+ solution particulière : solution de l'équation avec second membre
cad ( régime forcé = transitoire + régime permanent)
2
2
( ) ( )
( ) ( )
  
d s t ds t
LC RC s t e t
dt dt
61
Stabilité
étude du régime libre, cad étude de la réponse du système avec e(t)=0
un système est dit stable si quand e(t>0) = 0
lim ( ) 0
t
s t


61
1
1 0
1
( ) ( )
... ( ) 0
n n
n n
n n
d s t d s t
b b b s t
dt dt

 
   
les fonction de la forme s(t) = e p t sont solutions de cette équation différentielle
0 ,
pt
e p t
 
.......... ;
n pt
n pt
n
d e
p e
dt

pt
pt
de
pe
dt

et on a :
2
2
2
;
pt
pt
d e
p e
dt

d'où :
or :
1
1 0
... 0
n pt n pt pt
n n
b p e b p e b e


   
donc :
1
1 0
... 0
n n
n n
b p b p b


    appelée équation caractéristique
62
VI.1 Stabilité des systèmes linéaires
62
résoudre l'équation différentielle revient donc à trouver les solutions de
l'équation caractéristique :
1
1 0
... 0
n n
n n
b p b p b


   
Ces pôles sont notées : p1 , p2 , …, pn
sont soient simples réels ou complexes, ou bien doubles réels .
i i
p a
 i i i
p j
a 
  '
i i i
p p a
 
( ) i t
s t ea

( ) cos( ) sin( )
i i
t t
i i
s t ce t d e t
a a
 
 
( ) ( ) i t
s t ct d ea
 
C’est-à-dire les pôles de la fonction de transfert.
63
VI.1 Stabilité des systèmes linéaires
63
( ) i t
s t ea

( ) cos( ) sin( )
i i
t t
i i
s t ce t d e t
a a
 
 
( ) ( ) i t
s t ct d ea
 
dans tous les cas, réponse stable si : ai < 0
64
Les solutions possibles de l’équation différentielle sont donc :
où ai = Re( pôles de H(p) )
VI.1 Stabilité des systèmes linéaires
64
Conclusion
1 1
1 0 1 0
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
... ( ) ... ( )
n n m m
n n m m
n n m m
d s t d s t d e t d e t
b b b s t a a a e t
dt dt dt dt
 
 
 
      
s(t) stable si les pôles de la fonction de transfert sont à Re < 0
Dans le plan complexe
Systèmes instables
Re(pi)
Im(pi)
pi
p*
i
Systèmes stables
1
1 0
1
1 0
...
( )
( )
( ) ...
m m
m m
n n
n n
a p a p a
S p
H p
E p b p b p b




  
 
  
fonction de transfert
65
VI.1 Stabilité des systèmes linéaires
65
VI.2 Recherche de H(p) stable
66
66
67
On connait ou
on choisit
( )
H 
Pour déterminer
e(t) s(t)
K=1
R0 R0
q C0
m C0
On cherche
( )
H p
VI.2 Recherche de H(p) stable
67
e(t) s(t)
S.L.I
1 1
1 0 1 0
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
... ( ) ... ( )
n n m m
n n m m
n n m m
d s t d s t d e t d e t
b b b s t a a a e t
dt dt dt dt
 
 
 
      
où ai et bi sont réels positifs constants dans le temps
1
1 0
1
1 0
( ) ( ) ... ( )
( ) ( )
( ) ( ) ... ( )
m m
m m
n n
p j
n n
a j a j a N j
H H p
b j b j b D j

  

  





  
   
  
La réponse fréquentielle H(j) s'écrit :
68
VI.2 Recherche de H(p) stable
68
1
1 0
1
1 0
( ) ( ) ... ( )
( ) ( )
( ) ( ) ... ( )
m m
m m
n n
p j
n n
a j a j a N
H H p
b j b j b D

  

  





  
   
  
2 4 2 4
0 2 4 1 3 5
( ) ... ...
D b b b j b b b
     
 
       
 
2 3 4
0 1 2 3 4
( ) ( ) ( ) ( ) ....
D b b j b j b j b j
    
     
2 2
1 2
( ) ( ) ( )
D D j D
   
 
fct Réelle
paire en 
fct réelle
paire en 
impaire en 
propriété de |H()|
1°) propriété de |H(w)|
69
VI.2 Recherche de H(p) stable
69
2 2
1 2
( ) ( ) ( )
N N j N
   
 
fct Réelle
paire en 
fct réelle
paire en 
impaire en 
de même
2 2
1 2
2 2
1 2
( ) ( )
( )
( ) ( )
N j N
H
D j D
  

  



d'où
1°) propriété de |H(w)|
70
VI.2 Recherche de H(p) stable
70
2 2 2 2 2
2 1 2
2 2 2 2 2
1 2
( ) ( )
( )
( ) ( )
N N
H
D D
  

  



cad est une fonction de 2 uniquement
2
( )
H 
donc
1°) propriété de |H(w)|
71
VI.2 Recherche de H(p) stable
71
1 2
1 2
( )( )....( )
( )
( )( )....( )
m
n
p z p z p z
H p K
p p p p p p
  

  
où p1 , p2, …pn sont les pôles de H(p)
pôles et zéros de H(p) H(-p)
et z1 , z2, …zm sont les zéros de H(p)
On a vu que :
- les pôles et les zéros de H(p) sont soient réels soient complexes conjugués
- Re(pôles) et Re(zéros) sont négatives (pour stabilité et déphasage minimum)
d'où la répartition suivante :
Re
Im
pi
p*
i
zi
zi
*
2°) pôles et zéros de H(p)H(-p)
72
VI.2 Recherche de H(p) stable
72
1 2
1 2
( )( )....( )
( )
( )( )....( )
m
n
p z p z p z
H p K
p p p p p p
     
 
     
de plus
1 2
1 2
( )( )....( )
( ) ( 1)
( )( )....( )
n m m
n
p z p z p z
H p K
p p p p p p
   
  
  
cad
donc les pôles et les zéros de H(p) H(-p) sont répartis comme ci dessous
Im
Re
pi
p*
i
zi
zi
*
-pi
-p*
i
-zi
-zi
*
2°) pôles et zéros de H(p)H(-p)
73
VI.2 Recherche de H(p) stable
73
*
( ) ( ) p j
H H p 
 

de plus :
donc  
2 *
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p j
H H H H p H p

   
  
donc
2
/
( ) ( ) ( )
p j
H p H p H



 
 
 
|H()|2 est fct de 2 uniquement
3°) Calcul de H(p)
3°) Calcul de H(p)
donc
*
( ) ( ) p j
H H p 
 
 
( ) ( ) p j
H H p 
 

2 2
2
( )
p
H



 

 
On sait que :
74
VI.2 Recherche de H(p) stable
74
donc 2 2
2
( ) ( ) ( )
p
H p H p H



 
 
 
connu
inconnu
On cherche H(p) stable et à déphasage minimum
Re
Im
pi
p*
i
zi
zi
*
-pi
-p*
i
-zi
-zi
*
On ne garde que ces pôles et zéros
que l’on associe à H(p)
3°) Calcul de H(p)
75
On élimine ces pôles et zéros que
l’on associe à H(-p)
VI.2 Recherche de H(p) stable
75
par ex :
2
4
1
( )
1 2
H 



d'où
 )
2 2
2
2
2
1
( ) ( ) ( )
1 2



  
 
p
H p H p H
p
cad
4
1
( ) ( )
1 2
H p H p
p
 

recherche des pôles et des zéros :
- pas de zéro
- pôles : 4
1 2 0
p
 
4 2 (2 1)
0.5 0.5 0.5
j k j k
p e e
 

    
cad
(2 1)
4
0.84
j k
p e



cad
3°) Calcul de H(p)
76
VI.2 Recherche de H(p) stable
76
cad
4
0.84
j
e

3
4
0.84
j
e

5
4
0.84
j
e
 7
4
0.84
j
e

3 5
4 4
( )
( 0.84 )( 0.84 )
j j
K
H p
p e p e
 

 
3°) Calcul de H(p)
77
VI.2 Recherche de H(p) stable
77
cad
3 5
4 4
( )
( 0.84 )( 0.84 )
j j
K
H p
p e p e
 

 
2
( )
2 0.5
K
H p
p p

 
Et on peut choisir 0.5
K  Pour obtenir une fct normalisée
( gain max = 1)
3°) Calcul de H(p)
78
2
( )
2 0.5
K
H p
p p

 
2
4
1
( )
1 2
H 



donc
VI.2 Recherche de H(p) stable
78
VII. Prototypes de Filtres
79
VII.1 Temps de propagation de groupe -
retard de phase
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2cos cos
2 2
d d d d
e t t t
       
     
   
    
   
   
0
( ) 2 cos cos
e t t d t
 

( )
e t 0
cos( )
d t
 
  0
cos( )
d t
 
 
81
VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0
0 ( )
cos ( )  
   
 
 

 
d
d t
0
0 ( )
( ) 2 cos( ) cos ( )


  

 
  
 
 
d
s t t d t
d
 
0
0 ( )
( ) 2 cos( ) cos

   
  
s t t d t d
0
0 ( )
cos ( )  
   
 
 

 
d
d t
( )
s t
82
VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Retard de phase Temps de propagation de groupe
0
0
( ) 2 cos cos ( )
d
s t t d t
d
 
 
 
 
   
  
 
   
 
 
 
 
0
( ) 2 cos( ) cos
e t t d t
 

0


 d
d



83
VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 2 4 6 8 10 12 14
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
)
84
VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
Carré filtré avec déphasage linéaire en fct fréq
Carré initial
Carré initial
Carré filtré avec déphasage NON linéaire en fct fréq
Déformation
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 2 4 6 8 10 12 14
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
)
85
VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
86
phase = fonction linéaire de la fréquence
Pas de déformation des signaux dans la bande passante
VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
VII.2 Prototypes
87
87
2
2 2( 1) 2 2 2
1 1
1 1
( )
... 1 ( )
n n
n n
H
a a a A

   


 
   
1°) Filtres de Butterworth
1°) Filtres de
Butterworth
Réponse la plus plate possible
 )  )  )
2 2 2 1 2
2 2 2 2 1
0 0 0
0 ; 0 ; ..... ; 0
( ) ( ) ( )
n
n
A A A
  
  


  
  
  
  
1 2 1
0 ; 0 ; ..... ; 0
n
a a a 
  
calcul de H()
88
VII.2 Prototypes
88
2
2
1
( )
1
n
n
H
a




cad
La fréquence normalisée vaut : n = /p
2
2
2
1
( )
1
n
n
p
H 




d'où
2
2
1
( )
1




n n
n
H
1°) Filtres de
Butterworth
On désire normaliser à -3dB
Donc on veut ( ) 3
p
G dB
 
 
2
2
1 1
( )
1 2
p n
n p
H
a


 

2
1/ n
n p
a 

89
VII.2 Prototypes
89
2 2
2
1
( ) ( )
1 
 
 

n n
n n n
n p
H p H p
Calcul de la fonction de Transfert
2 2
2
2 2
1 1
( ) ( ) ( )
( ) 1 ( 1) 1



   
   
n n
n n n n n n
p
n n
H p H p H
p p
On cherche les pôles de H(pn) H(-pn)
2
( 1) 1 0
n n
n
p
  
1°) Filtres de
Butterworth
90
VII.2 Prototypes
90
2 4
1
( ) ( )
( 1) 1
n n
n
H p H p
p
 
 
Prenons par exemple une fonction d'ordre 2
4
1
n
p  
cad
4
1 0
n
p  
pôles
4 ( 2 ) (2 1)
  
 
 
j k j k
n
p e e
donc
(2 1) / 4
j k
n
p e 


donc
/ 4 3 / 4 5 / 4 7 / 4
; ; ;
j j j j
n
p e e e e
   

donc
1°) Filtres de
Butterworth
91
VII.2 Prototypes
91
qui se répartissent comme suit :
/ 4 3 / 4 * 5 / 4 * 7 / 4
1 1 1 1
; ; ;
j j j j
p e p e p e p e
   
     
Pour calculer H(p) on ne doit garder que
les pôles à partie réelle négative
Re
Im
p1
-p1
-p1
* p1
*
1°) Filtres de
Butterworth
92
VII.2 Prototypes
92
cad 3 / 4 * 5 / 4
1 1
;
j j
p e p e
 
   
Re
Im
-p1
-p1
*
et H(pn) vaut :
 ) )
3 /4 5 /4
( )
n j j
n n
K
H p
p e p e
 

 
2
1
( )
1 2
n
n n
H p
p p

 
cad
1°) Filtres de
Butterworth
93
VII.2 Prototypes
93
n 1/H(pn)
1 pn+1
2 pn²+1,414pn+1
3 (pn+1)(pn²+pn+1)
4 (pn²+0,7654pn+1)(pn²+1,8478pn+1)
5 (pn+1)(pn²+0,6180pn+1)(pn²+1,6180pn+1)
6 (pn²+0,5176pn+1)(pn²+1,414pn+1)(pn²+1,9318pn+1)
7 (pn+1)(pn²+0,4450pn+1)(pn²+1,247pn+1)(pn²+1,8022pn+1)
8 (pn²+0,3986pn+1)(pn²+1,111pn+1)(pn²+1,6630pn+1)(pn²+1,9622pn+1)
1°) Filtres de
Butterworth
94
VII.2 Prototypes
94
|H(n)| Filtres de Butterworth
- pas d'ondulation dans la bande
- pulsation de référence (n=1) =pulsation de coupure à -3dB
-3dB
1
0.1 10
n=1
n=2
n=3
n=4
asymptotes en
-20 n dB/decade
n
1°) Filtres de
Butterworth
95
VII.2 Prototypes
95
0°
- 360°
- 45°
-
- 90°
- 270°
-180°
1
0.1 10
n
n=1
n=2
n=3
n=4
- 135°
Phase de H(n) Filtres de Butterworth
1°) Filtres de
Butterworth
96
VII.2 Prototypes
96
2°) Filtres de
Chebychev
2°) Filtres de Chebychev
1 2
( ) 2 ( ) ( )
n n n
T x xT x T x
 
 
A) Polynomes de Chebychev
0 ( ) 1
T x  1( )
T x x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-5
0
5
10
15
20
25
T2
T3
T4
T5
T6
Tn(x)
97
VII.2 Prototypes
97
2 2 2
2
1
( ) 1 ( )
( )
n n n
n
A T
H
  

  
B) Filtres de Chebychev de type I
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n=2
n=4
n=3
|H(n)|2
n
=0.1
2°) Filtres de
Chebychev
98
VII.2 Prototypes
98
2 2 2
2
1
( ) 1 ( )
( )
n n n
n
A T
H
  

  
0.1 1 10
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0.1 1
-1
0
=0.5  1 dB d'ondulation
ordres 2 à 6
-2
2°) Filtres de
Chebychev
99
VII.2 Prototypes
99
2 2 2
2
1
( ) 1 ( )
( )
n n n
n
A T
H
  

  
C) Propriétés des Filtres de Chebychev
- n oscillations dans la bande passante
- "equal ripple"
- ondulation fonction de 
- ondulation 1  ondulation=3 dB
0.5  ondulation=1 dB
- |H(n=1)| = - ondulation  ≠ -3 dB en général
- asymptotes en -20n dB/decade
- Coupure + raide que Butterworth
- phase – linéaire que Butterworth
2°) Filtres de
Chebychev
100
VII.2 Prototypes
100
3°) Filtres de
Legendre
3°) Filtres de Legendre (Papoulis)
2 2 2
2
1
( ) 1 ( )
( )
n n n
n
A L
H
  

  
où Ln(x)
n Ln(x)
1 x
2 x2
3 3 x3
-3 x2
+ x
4 6 x4
– 8 x3
+ 3 x 2
5 20 x5
-40 x4
+ 28 x 3
-8 x2
+ x
6 50 x6
– 120 x 5
+ 105 x 4
– 40 x 3
+6 x 2
101
VII.2 Prototypes
101
10
-1
10
0
10
1
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
ordre 2 à 5
3°) Filtres de
Legendre
102
VII.2 Prototypes
102
0.1 1
-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
ordre 2 à 5
1  gain de -3 dB et donc une ondulation= 3 dB dans la bande passante
=0.5  gain de -1 dB et donc une ondulation= 1 dB dans la bande passante
3°) Filtres de
Legendre
103
VII.2 Prototypes
103
4°) Filtres de Cauer
4°) Filtres de Cauer
2
2
2
( )
( )
( )
n
n
n
N
H
D




1
nb extrema dans la bande
passante = ordre du filtre
nb zéro = Ent(ordre du filtre /2)
zéros
104
VII.2 Prototypes
104
C) Propriétés des Filtres de Cauer
- n oscillations dans la bande passante
- asymptotes ordres impairs :-20 dB/decade
ordres pairs : asymptote horizontale
- phase – linéaire que Chebychev
2°) Filtres de Cauer
2
2
2
( )
( )
( )
n
n
n
N
H
D




- |H(n=1)| = - ondulation  ≠ -3 dB en général
- Coupure + raide que Chebychev
105
VII.2 Prototypes
105
5°) Filtres de
Bessel
5°) Filtres de Bessel
Recherche de la phase la + linéaire possible
Distorsion du signal la + faible possible
106
VII.2 Prototypes
106
0.1 1 10
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Bessel ordre 2 à 6
ordre 2
temps de propagation de groupe t = -d/d) ( u.a)
pulsations normalisées (n)
ordre 3
ordre 4
ordre 5
ordre 6
5°) Filtres de
Bessel
107
VII.2 Prototypes
107
5°) Filtres de Bessel
0.1 1 10
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Bessel ordre 2 à 6
Gain des filtres de Bessel (dB)
pulsations normalisées (n)
ordre 2
3
4
5
6
5°) Filtres de
Bessel
108
VII.2 Prototypes
108
6°) Comparaison des prototypes
Comparaison des Gains des prototypes normalisés à – 3 dB
0.1 1 10
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Bessel
Butterworth
Chebychev
Cauer
Legendre
109
VII.2 Prototypes
109
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Tps
de
propagation
de
groupe
déphasage
(°)
0.1 1 10 100
Legendre
Butterworth
Bessel
Chebychev
-250
-200
-150
-100
-50
n
Legendre
Butterworth
Bessel
Chebychev
d
d


Phases comparées
et linéarité
6°) Comparaison des prototypes
110
VII.2 Prototypes
110
111
Synthèse de Filtres Analogiques à l’aide de Matlab
Les fonctions suivantes renvoient en sortie les pôles (p) , zéros (z)
et le gain (K) des filtres analogiques passe-bas normalisés ( wc =1)
)
)...(
)(
(
)
)...(
)(
(
)
(
2
1
2
1
n
m
z
p
p
p
p
p
z
p
z
p
z
p
K
p
H







Caractéristiques et type
du filtre normalisé
Fonction Matlab
[z , p, k]
112
% Filtre de Butterworth
[z,p,k]=buttap(n);
% Tchebyshev I: oscillations inférieures à Rp dB dans la bande
passante
[z,p,k]=cheby1ap(n,Rp);
% Tchebyshev II: oscillations en déça de Rs dB dans la bande
atténuée
[z,p,k]=cheby2ap(n,Rs);
%Elliptique (Cauer): Oscillations inférieures à Rp dB dans la bande
passante
et en déça de Rs dB dans la bande atténuée
[z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs);
113
n: ordre du filtre
Rp: atténuation maximale(en dB)
dans la bande passante
Rs: atténuation minimale(en dB)
dans la bande coupée
Pour obtenir une représentation de
ces filtres analogiques sous forme
d’un rapport de deux polynômes
pour leur fonction de transfert , on
utilise la transformation zp2tf de
matlab:
[b,a]=zp2tf(z,p,k);
Transformations de fréquences
Pour transformer un filtre passe-bas prototype en un autre filtre
on utilise les fonctions suivantes:
% passe-bas normalisé vers passe-bas particulier ( p p/Wo)
[bt,at] = lp2lp(b,a,Wo)
% passe-bas normalisé vers passe-haut particulier ( p Wo/p)
[bt,at] = lp2hp(b,a,Wo)
% passe-bas normalisé vers passe-bande particulier ( p
[bt,at]=lp2bp(b,a,Wo,Bw)
% passe-bas normalisé vers bande coupée particulier ( p
[bt,at]=lp2lp(b,a,Wo)
)
(
1
p
Wo
Wo
p
B

)
(
1
.
p
Wo
Wo
p
B

b
h
b
h w
w
Wo
et
w
w
B .



Exemple de Filtrage

Contenu connexe

Similaire à Transparents Filtrage Analogique.pptx

FiltrageNumérique.pptx
FiltrageNumérique.pptxFiltrageNumérique.pptx
FiltrageNumérique.pptx
AyoubELJAFRY1
 
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
sunprass
 
Cours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI
Cours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTICours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI
Cours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI
sarah Benmerzouk
 
CM3 - Transformée de Fourier
CM3 - Transformée de FourierCM3 - Transformée de Fourier
CM3 - Transformée de Fourier
Pierre Maréchal
 
Signaux et systèmes
Signaux et systèmesSignaux et systèmes
Signaux et systèmes
manahil2012
 
ADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdf
ADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdfADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdf
ADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdf
BrsioftBlogger
 
Réacteurs réels
Réacteurs réelsRéacteurs réels
Réacteurs réels
WassimKechid
 
Réacteurs réels
Réacteurs réelsRéacteurs réels
Réacteurs réels
WassimKechid
 
Traitement de signal rappel outilmathematiques
Traitement de signal rappel outilmathematiquesTraitement de signal rappel outilmathematiques
Traitement de signal rappel outilmathematiques
Djoudi KERFA
 
3_Transformée_de_Laplace.pdf
3_Transformée_de_Laplace.pdf3_Transformée_de_Laplace.pdf
3_Transformée_de_Laplace.pdf
zinaiabdel251179
 
traitement de signal cours
traitement de signal cours traitement de signal cours
traitement de signal cours
sarah Benmerzouk
 
CoursAutomatique_machi_d_ostade.pptx
CoursAutomatique_machi_d_ostade.pptxCoursAutomatique_machi_d_ostade.pptx
CoursAutomatique_machi_d_ostade.pptx
HassanMoufassih
 
Cours vibration 2016 prat
Cours vibration 2016 pratCours vibration 2016 prat
Cours vibration 2016 prat
OumaimaBenSaid
 
cours1-1 traitement du signal electronic.pdf
cours1-1 traitement du signal electronic.pdfcours1-1 traitement du signal electronic.pdf
cours1-1 traitement du signal electronic.pdf
OllSraphin
 
Cours_3_0910.pdf
Cours_3_0910.pdfCours_3_0910.pdf
Cours_3_0910.pdf
LAHCIENEELHOUCINE
 
Cours_3_0910_2.pdf
Cours_3_0910_2.pdfCours_3_0910_2.pdf
Cours_3_0910_2.pdf
SongSonfack
 
Gele2511 ch3
Gele2511 ch3Gele2511 ch3
Gele2511 ch3
Thimothée EBODE
 

Similaire à Transparents Filtrage Analogique.pptx (20)

CM4 - Transformée en z
CM4 - Transformée en zCM4 - Transformée en z
CM4 - Transformée en z
 
FiltrageNumérique.pptx
FiltrageNumérique.pptxFiltrageNumérique.pptx
FiltrageNumérique.pptx
 
Chap2 laplace
Chap2 laplaceChap2 laplace
Chap2 laplace
 
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
 
Cours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI
Cours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTICours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI
Cours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI
 
CM3 - Transformée de Fourier
CM3 - Transformée de FourierCM3 - Transformée de Fourier
CM3 - Transformée de Fourier
 
Signaux et systèmes
Signaux et systèmesSignaux et systèmes
Signaux et systèmes
 
ADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdf
ADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdfADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdf
ADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdf
 
Réacteurs réels
Réacteurs réelsRéacteurs réels
Réacteurs réels
 
Réacteurs réels
Réacteurs réelsRéacteurs réels
Réacteurs réels
 
Traitement de signal rappel outilmathematiques
Traitement de signal rappel outilmathematiquesTraitement de signal rappel outilmathematiques
Traitement de signal rappel outilmathematiques
 
3_Transformée_de_Laplace.pdf
3_Transformée_de_Laplace.pdf3_Transformée_de_Laplace.pdf
3_Transformée_de_Laplace.pdf
 
traitement de signal cours
traitement de signal cours traitement de signal cours
traitement de signal cours
 
Cours1
Cours1Cours1
Cours1
 
CoursAutomatique_machi_d_ostade.pptx
CoursAutomatique_machi_d_ostade.pptxCoursAutomatique_machi_d_ostade.pptx
CoursAutomatique_machi_d_ostade.pptx
 
Cours vibration 2016 prat
Cours vibration 2016 pratCours vibration 2016 prat
Cours vibration 2016 prat
 
cours1-1 traitement du signal electronic.pdf
cours1-1 traitement du signal electronic.pdfcours1-1 traitement du signal electronic.pdf
cours1-1 traitement du signal electronic.pdf
 
Cours_3_0910.pdf
Cours_3_0910.pdfCours_3_0910.pdf
Cours_3_0910.pdf
 
Cours_3_0910_2.pdf
Cours_3_0910_2.pdfCours_3_0910_2.pdf
Cours_3_0910_2.pdf
 
Gele2511 ch3
Gele2511 ch3Gele2511 ch3
Gele2511 ch3
 

Dernier

Auguste Herbin.pptx Peintre français
Auguste   Herbin.pptx Peintre   françaisAuguste   Herbin.pptx Peintre   français
Auguste Herbin.pptx Peintre français
Txaruka
 
MÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdf
MÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdfMÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdf
MÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdf
lebaobabbleu
 
La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...
La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...
La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...
Editions La Dondaine
 
A1- Compréhension orale - présentations.pdf
A1- Compréhension orale - présentations.pdfA1- Compréhension orale - présentations.pdf
A1- Compréhension orale - présentations.pdf
lebaobabbleu
 
1e geo metropolisation metropolisation x
1e geo metropolisation metropolisation x1e geo metropolisation metropolisation x
1e geo metropolisation metropolisation x
NadineHG
 
Compréhension orale La famille de Sophie (12).pdf
Compréhension orale  La famille de Sophie (12).pdfCompréhension orale  La famille de Sophie (12).pdf
Compréhension orale La famille de Sophie (12).pdf
lebaobabbleu
 
1e Espaces productifs 2024.Espaces productif
1e Espaces productifs 2024.Espaces productif1e Espaces productifs 2024.Espaces productif
1e Espaces productifs 2024.Espaces productif
NadineHG
 
Techno Revo et nations (1789-1848) ).pdf
Techno Revo et nations (1789-1848) ).pdfTechno Revo et nations (1789-1848) ).pdf
Techno Revo et nations (1789-1848) ).pdf
NadineHG
 
GUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGES
GUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGESGUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGES
GUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGES
DjibrilToure5
 

Dernier (9)

Auguste Herbin.pptx Peintre français
Auguste   Herbin.pptx Peintre   françaisAuguste   Herbin.pptx Peintre   français
Auguste Herbin.pptx Peintre français
 
MÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdf
MÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdfMÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdf
MÉDIATION ORALE - MON NOUVEL APPARTEMENT.pdf
 
La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...
La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...
La Révolution Bénédictine Casadéenne du Livradois-Forez: De Charlemagne à Fra...
 
A1- Compréhension orale - présentations.pdf
A1- Compréhension orale - présentations.pdfA1- Compréhension orale - présentations.pdf
A1- Compréhension orale - présentations.pdf
 
1e geo metropolisation metropolisation x
1e geo metropolisation metropolisation x1e geo metropolisation metropolisation x
1e geo metropolisation metropolisation x
 
Compréhension orale La famille de Sophie (12).pdf
Compréhension orale  La famille de Sophie (12).pdfCompréhension orale  La famille de Sophie (12).pdf
Compréhension orale La famille de Sophie (12).pdf
 
1e Espaces productifs 2024.Espaces productif
1e Espaces productifs 2024.Espaces productif1e Espaces productifs 2024.Espaces productif
1e Espaces productifs 2024.Espaces productif
 
Techno Revo et nations (1789-1848) ).pdf
Techno Revo et nations (1789-1848) ).pdfTechno Revo et nations (1789-1848) ).pdf
Techno Revo et nations (1789-1848) ).pdf
 
GUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGES
GUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGESGUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGES
GUIDE POUR L’EVRAS BALISES ET APPRENTISSAGES
 

Transparents Filtrage Analogique.pptx

  • 4. Filtrage analogique élimination d'une partie du spectre d'un signal - Radiocommunication : sélection du canal - élimination d'un bruit - sélection de fréquence à la sortie d'un circuit non linéaire ( mélangeur, oscillateur…) - analyse spectrale Filtrage numérique même application que le filtrage analogique + transformation de signaux - apparition d'échos - modification d'une voix - …. - …. 4 I. Introduction
  • 5. les filtres actifs (à Amplificateurs Opérationnels) - fréquences BF ( 0 à qq MHz ) car gain AOP… les filtres passifs - fréquences HF (qq 10 MHz  1GHz) ou µOnde (1GHz  100GHz) car inductances… les filtres à résonateurs - à quartz ( piézo-électrique) ( 100MHz ) - cavité métallique ou diélectrique ( 1GHz  100GHz ) les filtres à ondes de surface - qq 100 MHz 5 I. Introduction
  • 6. les filtres passifs en µOnde Optimisation de la puissance disponible composants non dispersifs : C, L,… Technologie Lignes Technologie hybride Technologie Intégrée (MMIC) I. Introduction 6
  • 7. 1kHz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz 100MHz 1GHz 10GHz 100GHz les filtres passifs à composants les filtres actifs AOP filtres à quartz filtres à cavité filtres passifs à lignes et hybride filtres à onde de surface MMIC 7 I. Introduction
  • 8. II. Les systèmes linéaires 8
  • 9. Signal : Toute grandeur physique Température = fonction ( lieu) Tension = fonction ( temps ) Signaux : continus (physique) ou discontinus (approximation de certains cas physiques) transitoires commence à un instant (t=0) se termine au bout d'un temps fini ou périodiques 0 t   9 II. Les systèmes linéaires 9
  • 10. Exemples de signaux Signal sinusoidal Signaux transitoires ou impulsionnels Portes Impulsion triangulaire Echelon de Heavyside Impulsion exponentielle Impulsion de Dirac Signaux périodiques discontinus peignes créneau T  T  / ( ) t T e u t  ( ) u t ( ) t  1/T 2/T T T 10 II. Les systèmes linéaires 10
  • 11. Définition de l'Impulsion de Dirac : (t) ( ) 1 t dt      (t) : Impulsion de largeur nulle mais de surface unité : / 0 0 0 ( ) lim( ) lim( ) lim( ( )) t T T T T T T t e u t           / ( ) 1 t T T T dt dt e u t dt                On remarque que :  t T  t T  t T  t T  t … Exemple avec l’impulsion triangulaire 11 II. Les systèmes linéaires 11
  • 12. Quelques propriétés de l'Impulsion de Dirac : (t) ( ) t  t 0 0 ( ) t t   t 0 t0 0 ( ) t t   t 0 e(t0) (t-t0) x t 0 e(t) t 0 0 0 0 ( ). ( ) ( ) ( ) e t t t e t t t      12 II. Les systèmes linéaires 12
  • 13. e1(t) s1(t) linéaires : a e1(t) + b e2(t) a s1(t) + b s2(t) Invariant dans le temps : e (t-t) s (t-t) (e retardé de t) (s retardé de t) Système Système Linéaire Indépendant du temps S.L.I e2(t) s2 (t) 13 II. Les systèmes linéaires 13
  • 14. signal e(t) et signal approché ~e(t) : e(t) t ~e(t) ( ) ( ) ( ) T n e t e t nT t nT T        donc 0 ( ) lim ( ) ( ) T T n e t e t nT t nT T               ( ) ( ') ( ') ' ( ) ( ) e t e t t t dt e t t          Produit de convolution Impulsion carrée amplitude 1/T 14 II. Les systèmes linéaires T 0 0 ( ) ( ) ( ) t e t e t    14
  • 15. ( ') ( ') ) ' ( e t t t dt e t       ( ) ( ') ( ') ' s t e t h t t dt      ( ) ( ) ( ) s t e t h t   (t) h(t) réponse impulsionnelle S.L.I t 0 (t-t') h(t-t') S.L.I t t' 0 e(t) t S.L.I s(t) 0 S.L.I t 0 15 II. Les systèmes linéaires 15
  • 16. ( ) ( ) ( ) s t e t h t   (t) h(t) réponse impulsionnelle e(t) 16 II. Les systèmes linéaires 16
  • 17. III. Les systèmes linéaires Par Transformée de Laplace et de Fourier 17
  • 18. III.1 Les systèmes linéaires Par Transformée de Laplace 18 18
  • 19. Propriétés Signal temporel Transformée de Laplace ( ) s t ( ) S p Linéarité 1 2 ( ) ( ) a s t bs t  1 2 ( ) ( ) a S p bS p  Dérivation temporelle '( ) ( ) s t s t t    ( ) ( 0 ) p S p s t    Dérivation ( ) ( ) ( ) n n n s t s t t    1 2 ( 2) ( 1) ( ) ( 0 ) '( 0 ) .... ( 0 ) ( 0 ) n n n n n p S p p s t p s t p s t s t                  Intégration 0 ( ') ' t s t dt  ( ) S p p Convolution 1 2 ( ) ( ) s t s t  1 2 ( ) ( ) S p S p 1 2 ( ) ( ) s t s t 1 2 ( ) ( ) S p S p  0 ( ) ( ) pt S p s t e dt    Transformée de Laplace unilatérale (signaux causaux) 1 ( ) ( ) 2 pt s t S p e dp j      S(p) T.L T.L-1 s(t<0)= 0 s(t) III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace 19
  • 20. n° s(t) causaux ( s(t<0)=0 ) S(p) 1 Dirac (t) 1 3 Echelon de Heavyside u(t) 1/p 6 e-a t 1 / (p+a) 9 ( 1-e-a t ) ( ) a p p a  11 at bt e e    ( )( ) b a p a p b    17 1 1 ( ) at bt be ae b a      ( )( ) ab p p a p b   18 2 2 sin( 1 ) 1 N t N N e t          2 2 1 2 1 N N p p      avec  <1 19 2 2 1 1 sin( 1 ) 1 N t N e t            avec 2 1 ( ) arctg      2 2 1 2 1 N N p p p            avec  <1 20 III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
  • 21. e(t) s(t) Système 1 1 1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) n n m m n n m m n n m m d s t d s t d e t d e t b b b s t a a a e t dt dt dt dt              Par Transformée de Laplace 2 2 2 1 0 2 1 0 ( ) ( ) [...] ( 0 ) [...] ( 0 ) [...] '( 0 ) [...] '( 0 ) b p b p b S p a p a p a E p s t e t s t e t                          2 2 2 1 0 2 1 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n d s t ds t d e t de t b b b s t a a a e t dt dt dt dt      Dans le cas d’un système du 2nd degré 21 III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
  • 22. 2 2 2 1 0 2 1 0 ( ) ( ) [...] ( 0 ) [...] ( 0 ) [...] '( 0 ) [...] '( 0 ) b p b p b S p a p a p a E p s t e t s t e t                          Si système au repos avant la première exitation s(0+)=s(0-)= e(0+)=e(0-) 2 2 2 1 0 2 1 0 ( ) ( ) b p b p b S p a p a p a E p              C'est-à-dire 2 2 1 0 2 2 1 0 ( ) ( ) a p a p a S p E p b p b p b              2 2 1 0 2 2 1 0 ( ) a p a p a H p b p b p b              noté Fonction de Transfert (opérationnelle) 22 III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
  • 23. plus généralement Fonction de Transfert (opérationnelle) 1 1 0 1 1 0 ... ( ) ( ) ( ) ... m m m m n n n n a p a p a S p H p E p b p b p b             Remarque : le dénominateur est l'équation caractéristique vue au chapitre II e(t) Système ( ) ( ) ( ) s t e t h t   T.L ( ) ( ). ( ( )) S p E p TL h t  Donc ( ) ( ( )) H p TL h t  la fonction de Transfert est la Transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle 23 III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
  • 24. Calculons la fonction de transfert de ce système e(t) s(t) T.L - e s R i  ( ) - ( ) ( ) E p S p R I p  ds i C dt  ( ) ( ) I p C p S p  d'où - E S R C p S  c.a.d 1 1 S H E R C p    Domaine temporel Domaine de Laplace 1 ( ) C Z Cp  24 III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
  • 25. Calculons la réponse impulsionnelle h(t) de ce système e(t) s(t) T.L-1 ( ) 1 E p  Domaine temporel Domaine de Laplace c.a.d 1 1/ 1 1/ RC S R C p p RC     1 1 S E R C p   or T.L / 1 t RC s e RC   ( ) (t) e t   25 III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
  • 26. III.2 Les systèmes linéaires Par Transformée de Fourier 26 26
  • 27. Transformée de Fourier Etudions maintenant la réponse des systèmes à un signal d'entrée périodique 27
  • 28. Série de Fourier signaux périodiques (T0 = 1/f0) 0 ( ) j n t n n s t c e      où 0 = 2  /T0 où 0 0 0 / 2 / 2 ( ) T j n t n T c s t e dt      par exemple : créneau de périodeT0 0 T0 2T0 t 0 0 0 0 0.5 2 / cos( ) 2 / 3 cos(3 ) 2 / 5 cos(5 ) 2 / 7 cos(7 ) t t t t         III.2 Transformée de Fourier 28
  • 29. Série de Fourier d'un créneau de période T0 0 T0 2T0 t t 29 III.2 Transformée de Fourier
  • 30. Signaux non périodiques (période infinie) signaux périodiques (période finie) 0 ( ) j n t n n s t c e      0 0 0 / 2 / 2 ( ) T j n t n T c s t e dt      ( ) ( ) j t s t S f e df     ( ) ( ) j t S f s t e dt      Transformée de Fourier Série de Fourier 30 III.2 Transformée de Fourier
  • 31. T.F par exemple : porte de largeur T t s(t) f 0 |S(f)|=T sinc( f t) 0 T0 2T0 par exemple : créneau de périodeT0 t s(t) T.F f 0 f0 3f0 5f0 |S(f)| 31 III.2 Transformée de Fourier
  • 32. n° s(t) S(f) Linéarité 1 2 ( ) ( ) a s t b s t  1 2 ( ) ( ) a S f bS f  Dérivation temporelle '( ) ( ) s t s t t    ( ) j S f  Convolution 1 2 ( ) ( ) s t s t  1 2 ( ) ( ) S f S f 1 2 ( ) ( ) s t s t 1 2 ( ) ( ) S f S f  Dirac (t) 1 Peigne de Dirac ( ) ( ) e T e n pgn t t nT       1 1 ( ) n e e f n T T      s(t-t0) 0 ( ) j t e S f   0 ( ) S f f  0 ( ) j t e s t  32 III.2 Transformée de Fourier
  • 33. e(t) s(t) Système 1 1 1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) n n m m n n m m n n m m d s t d s t d e t d e t b b b s t a a a e t dt dt dt dt              Réponse fréquentielle 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... m m m m n n n n a j a j a S f H f E f b j b j b                 Par Transformée de Fourier : 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) n n n n m m m m b j S f b j S f b S f a j m E f a j E f a E f                Obtenue en remplaçant p par j dans la fct de transfert opérationnelle 33 III.2 Transformée de Fourier
  • 34. Réponse fréquentielle ( ) ( ) ( ) s t e t h t   e(t) Système T.F ( ) ( ). ( ( )) S f E f TF h t  Donc ( ) ( ( )) H f TF h t  la réponse fréquentielle est la Transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... m m m m n n n n a j a j a S f H f E f b j b j b                 34 III.2 Transformée de Fourier
  • 35. Calculons la réponse fréquentielle de ce système e(t) s(t) T.F - e s R i  ( ) - ( ) ( ) E f S f R I f  ds i C dt  ( ) ( ) I f C j S f   d'où - E S R C j S   c.a.d 1 1 S H E j RC    Domaine temporel Domaine de Fourier 1 ( ) C Z jC  35 III.2 Transformée de Fourier
  • 36. Prenons une entrée sinusoïdale : or 0 0 ( ) cos( ) e t e t   T.F   0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 e E            La réponse à cette entrée vaut :   0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 e S E H H                  0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 e S H H               0 ( ) 0 0 ( ) | ( ) | j H H e      0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) | ( ) | ( ) ( ) 2 j j e S H e e                      et 0 ( ) 0 0 ( ) | ( ) | j H H e        donc 36 III.2 Transformée de Fourier
  • 37. T.F-1 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) | ( ) | 2 j j t j j t e s t H e e e e                0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) | ( ) | ( ) ( ) 2 j j e S H e e                      donc  ) 0 0 0 0 ( ) | ( ) | cos ( ) s t e H t       •Le gain G(0) du système e0/s0 à 0 = | H(0) | •Le déphasage (0) de s(t) par rapport à e(t) à 0= argument( H(0) ) Diagramme de Bode = représentation de | H(0) | et de (0) 37 III.2 Transformée de Fourier
  • 39. III.3 Diagramme de Bode Cad  ) 0 0 0 0 | ( ) | cos ( ) e H t      •Le gain •Le déphasage de s(t) par rapport à e(t) = (0) =argument( H(0) ) Diagramme de Bode = représentation de log10| H() | et de () 0 0 cos( ) e t  On a montré que : Système 0 0 ( ) ( ) G H    39 39
  • 40. Exemple : soit un filtre du 1er ordre 1 ( ) 1 H j  t   2 10 10 10 2 1 ( ) 20log ( ) 10log ( ) 10log 1 ( ) dB G H H    t           ( ) ( ) 1 arctg t     et 10 ( ) 20log ( ) dB G H     ) 2 10 ( ) 10log 1 ( ) dB G  t    40 III.3 Diagramme de Bode 40
  • 41.  )  ) 2 10 10 0 lim 10log 1 ( ) 10log (1) 0 dB G dB  t       Comportement asymptotique comportement du système à certaines fréquences caractéristiques par ex qd 0 ou qd ∞ Droite horizontale 0 dB Quand 0 41 III.3 Diagramme de Bode 41
  • 42. Comportement asymptotique  )  ) 2 2 10 10 10 lim 10log 1 ( ) 10log (( ) ) 20log ( )  t t t       ) lim 20log( ) 20log( ) dB G   t    Droite de pente -20 dB/décade d’ordonnée à l’origine 20log( ) t  quand  10  alors -20 log()  -20 log(10)=-20log()-20 Quand ∞ 42 III.3 Diagramme de Bode 42
  • 43. Comportement asymptotique  ) lim dB G  Droite horizontale 0dB Droite de pente -20 dB/decade d’ordonnée à l’origine 20log( ) t   ) 0 lim dB G  1E4 1E3 1E5 -20 -15 -10 -5 -25 0 freq, Hz dB(out) 43 III.3 Diagramme de Bode 43
  • 44. Comportement asymptotique Les asymptotes se croisent quand 2 10 10log (( ) ) 0 t   2 10 10log (( ) ) G t   0 G dB  cad quand =1/t et G(=1/t )= -3dB -3dB 1E4 1E3 1E5 -20 -15 -10 -5 -25 0 freq, Hz dB(out) 44 III.3 Diagramme de Bode 44
  • 45. -45° pour =1/t ( ) ( ) arctg   t   1E4 1E3 1E5 -80 -60 -40 -20 -100 0 freq, Hz phase(out), deg 45 III.3 Diagramme de Bode 45
  • 46. IV. Les systèmes du 1er et du 2nd ordre Seuls les systèmes du 2eme ordres sont traités très rapidement dans cette présentation. (Voir polycopié de cours) 46
  • 47. =0.1 =0.3 =0. 707 =6 IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre Gain en fonction de la fréquence normalisée pour plusieurs coefficients d’amortissement  47
  • 48. =0.1 =0.3 =0. 707 =6 Phase en fonction de la fréquence normalisée pour plusieurs coefficients d’amortissement  48 IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre
  • 49. =1 =0.707 =0. 1 =0.3 =3 Réponse indicielle pour plusieurs coefficients d’amortissement  49 IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre
  • 50. V. Gabarits – Normalisation – Transposition 50
  • 51. Filtre Passe Bas parfait … est il possible ? V. Gabarits – normalisation - transposition 51 G |H()|  p 51
  • 52. 52 0 1 fréquences | H(f) | 0 Filtre Passe Bas parfait … est il possible ? V. Gabarits – normalisation - transposition 52
  • 53. 53 | H(f) | -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 Arg(H(f)) Filtre Passe Bas parfait … est il possible ? TF-1 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 h(t) temps fréquences -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 V. Gabarits – normalisation - transposition 53
  • 54. G Gmax Gmin 0 1 fa/fp=1/k n  a p Passe Bas 54 V. Gabarits – normalisation - transposition
  • 55. G Gmax Gmin 0 1 n  p a Passe Haut fa/fp=1/k 55 V. Gabarits – normalisation - transposition
  • 56. G Gmax Gmin 0 1 n 0 1 /   0 2 /   1 2 2 ' 0 1 1     2 ' 0 2 2      p ’ 1 – 1 a ’ 2 – 2 Passe Bande 2 0 /   1 0 /   0 56 V. Gabarits – normalisation - transposition
  • 57. G’ Gmax Gmin 0 0  1 2 2 ' 0 1 1     2 ' 0 2 2     p n 1 1 0 /   0 2 /   2 0 /   0 1 /   2 / p a   Coupe Bande 57 V. Gabarits – normalisation - transposition
  • 58. VI. Recherche de H(p) à partir de |H()| 58 58
  • 59. VI.1 Stabilité des systèmes linéaires 59 59
  • 60. e(t) s(t) Système 1 1 1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) n n m m n n m m n n m m d s t d s t d e t d e t b b b s t a a a e t dt dt dt dt              2 ( ) ( ) ( ) ( ) n d s t ds t LC RC s t e t dt dt    Par exemple, dans le cas d’un circuit RLC série, on a un système du 2eme ordre ( ) ( ) di e t Ri L s t dt    ( ) ds i t C dt  e(t) i(t) s(t) R L 1 1 0 1 1 0 ... ( ) ( ) ( ) ... m m m m n n n n a p a p a S p H p E p b p b p b             de fonction de Transfert : 60 VI.1 Stabilité des systèmes linéaires 60
  • 61. solution générale : solution de l'équation sans second membre cad ( e(t)=0 régime libre) Solutions de l'équation différentielle : + solution particulière : solution de l'équation avec second membre cad ( régime forcé = transitoire + régime permanent) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )    d s t ds t LC RC s t e t dt dt 61 Stabilité étude du régime libre, cad étude de la réponse du système avec e(t)=0 un système est dit stable si quand e(t>0) = 0 lim ( ) 0 t s t   61
  • 62. 1 1 0 1 ( ) ( ) ... ( ) 0 n n n n n n d s t d s t b b b s t dt dt        les fonction de la forme s(t) = e p t sont solutions de cette équation différentielle 0 , pt e p t   .......... ; n pt n pt n d e p e dt  pt pt de pe dt  et on a : 2 2 2 ; pt pt d e p e dt  d'où : or : 1 1 0 ... 0 n pt n pt pt n n b p e b p e b e       donc : 1 1 0 ... 0 n n n n b p b p b       appelée équation caractéristique 62 VI.1 Stabilité des systèmes linéaires 62
  • 63. résoudre l'équation différentielle revient donc à trouver les solutions de l'équation caractéristique : 1 1 0 ... 0 n n n n b p b p b       Ces pôles sont notées : p1 , p2 , …, pn sont soient simples réels ou complexes, ou bien doubles réels . i i p a  i i i p j a    ' i i i p p a   ( ) i t s t ea  ( ) cos( ) sin( ) i i t t i i s t ce t d e t a a     ( ) ( ) i t s t ct d ea   C’est-à-dire les pôles de la fonction de transfert. 63 VI.1 Stabilité des systèmes linéaires 63
  • 64. ( ) i t s t ea  ( ) cos( ) sin( ) i i t t i i s t ce t d e t a a     ( ) ( ) i t s t ct d ea   dans tous les cas, réponse stable si : ai < 0 64 Les solutions possibles de l’équation différentielle sont donc : où ai = Re( pôles de H(p) ) VI.1 Stabilité des systèmes linéaires 64
  • 65. Conclusion 1 1 1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) n n m m n n m m n n m m d s t d s t d e t d e t b b b s t a a a e t dt dt dt dt              s(t) stable si les pôles de la fonction de transfert sont à Re < 0 Dans le plan complexe Systèmes instables Re(pi) Im(pi) pi p* i Systèmes stables 1 1 0 1 1 0 ... ( ) ( ) ( ) ... m m m m n n n n a p a p a S p H p E p b p b p b             fonction de transfert 65 VI.1 Stabilité des systèmes linéaires 65
  • 66. VI.2 Recherche de H(p) stable 66 66
  • 67. 67 On connait ou on choisit ( ) H  Pour déterminer e(t) s(t) K=1 R0 R0 q C0 m C0 On cherche ( ) H p VI.2 Recherche de H(p) stable 67
  • 68. e(t) s(t) S.L.I 1 1 1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) n n m m n n m m n n m m d s t d s t d e t d e t b b b s t a a a e t dt dt dt dt              où ai et bi sont réels positifs constants dans le temps 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) m m m m n n p j n n a j a j a N j H H p b j b j b D j                        La réponse fréquentielle H(j) s'écrit : 68 VI.2 Recherche de H(p) stable 68
  • 69. 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) m m m m n n p j n n a j a j a N H H p b j b j b D                        2 4 2 4 0 2 4 1 3 5 ( ) ... ... D b b b j b b b                   2 3 4 0 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) .... D b b j b j b j b j            2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) D D j D       fct Réelle paire en  fct réelle paire en  impaire en  propriété de |H()| 1°) propriété de |H(w)| 69 VI.2 Recherche de H(p) stable 69
  • 70. 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) N N j N       fct Réelle paire en  fct réelle paire en  impaire en  de même 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N j N H D j D           d'où 1°) propriété de |H(w)| 70 VI.2 Recherche de H(p) stable 70
  • 71. 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N H D D           cad est une fonction de 2 uniquement 2 ( ) H  donc 1°) propriété de |H(w)| 71 VI.2 Recherche de H(p) stable 71
  • 72. 1 2 1 2 ( )( )....( ) ( ) ( )( )....( ) m n p z p z p z H p K p p p p p p        où p1 , p2, …pn sont les pôles de H(p) pôles et zéros de H(p) H(-p) et z1 , z2, …zm sont les zéros de H(p) On a vu que : - les pôles et les zéros de H(p) sont soient réels soient complexes conjugués - Re(pôles) et Re(zéros) sont négatives (pour stabilité et déphasage minimum) d'où la répartition suivante : Re Im pi p* i zi zi * 2°) pôles et zéros de H(p)H(-p) 72 VI.2 Recherche de H(p) stable 72
  • 73. 1 2 1 2 ( )( )....( ) ( ) ( )( )....( ) m n p z p z p z H p K p p p p p p               de plus 1 2 1 2 ( )( )....( ) ( ) ( 1) ( )( )....( ) n m m n p z p z p z H p K p p p p p p           cad donc les pôles et les zéros de H(p) H(-p) sont répartis comme ci dessous Im Re pi p* i zi zi * -pi -p* i -zi -zi * 2°) pôles et zéros de H(p)H(-p) 73 VI.2 Recherche de H(p) stable 73
  • 74. * ( ) ( ) p j H H p     de plus : donc   2 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p j H H H H p H p         donc 2 / ( ) ( ) ( ) p j H p H p H          |H()|2 est fct de 2 uniquement 3°) Calcul de H(p) 3°) Calcul de H(p) donc * ( ) ( ) p j H H p      ( ) ( ) p j H H p     2 2 2 ( ) p H         On sait que : 74 VI.2 Recherche de H(p) stable 74
  • 75. donc 2 2 2 ( ) ( ) ( ) p H p H p H          connu inconnu On cherche H(p) stable et à déphasage minimum Re Im pi p* i zi zi * -pi -p* i -zi -zi * On ne garde que ces pôles et zéros que l’on associe à H(p) 3°) Calcul de H(p) 75 On élimine ces pôles et zéros que l’on associe à H(-p) VI.2 Recherche de H(p) stable 75
  • 76. par ex : 2 4 1 ( ) 1 2 H     d'où  ) 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 2         p H p H p H p cad 4 1 ( ) ( ) 1 2 H p H p p    recherche des pôles et des zéros : - pas de zéro - pôles : 4 1 2 0 p   4 2 (2 1) 0.5 0.5 0.5 j k j k p e e         cad (2 1) 4 0.84 j k p e    cad 3°) Calcul de H(p) 76 VI.2 Recherche de H(p) stable 76
  • 77. cad 4 0.84 j e  3 4 0.84 j e  5 4 0.84 j e  7 4 0.84 j e  3 5 4 4 ( ) ( 0.84 )( 0.84 ) j j K H p p e p e      3°) Calcul de H(p) 77 VI.2 Recherche de H(p) stable 77
  • 78. cad 3 5 4 4 ( ) ( 0.84 )( 0.84 ) j j K H p p e p e      2 ( ) 2 0.5 K H p p p    Et on peut choisir 0.5 K  Pour obtenir une fct normalisée ( gain max = 1) 3°) Calcul de H(p) 78 2 ( ) 2 0.5 K H p p p    2 4 1 ( ) 1 2 H     donc VI.2 Recherche de H(p) stable 78
  • 79. VII. Prototypes de Filtres 79
  • 80. VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase 80
  • 81. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2cos cos 2 2 d d d d e t t t                                0 ( ) 2 cos cos e t t d t    ( ) e t 0 cos( ) d t     0 cos( ) d t     81 VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
  • 82. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0 ( ) cos ( )              d d t 0 0 ( ) ( ) 2 cos( ) cos ( )                d s t t d t d   0 0 ( ) ( ) 2 cos( ) cos         s t t d t d 0 0 ( ) cos ( )              d d t ( ) s t 82 VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
  • 83. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Retard de phase Temps de propagation de groupe 0 0 ( ) 2 cos cos ( ) d s t t d t d                              0 ( ) 2 cos( ) cos e t t d t    0    d d    83 VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
  • 84. 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 2 4 6 8 10 12 14 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 ) 84 VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase Carré filtré avec déphasage linéaire en fct fréq Carré initial
  • 85. Carré initial Carré filtré avec déphasage NON linéaire en fct fréq Déformation 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 2 4 6 8 10 12 14 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 ) 85 VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
  • 86. 86 phase = fonction linéaire de la fréquence Pas de déformation des signaux dans la bande passante VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
  • 88. 2 2 2( 1) 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ... 1 ( ) n n n n H a a a A              1°) Filtres de Butterworth 1°) Filtres de Butterworth Réponse la plus plate possible  )  )  ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 ; 0 ; ..... ; 0 ( ) ( ) ( ) n n A A A                     1 2 1 0 ; 0 ; ..... ; 0 n a a a     calcul de H() 88 VII.2 Prototypes 88
  • 89. 2 2 1 ( ) 1 n n H a     cad La fréquence normalisée vaut : n = /p 2 2 2 1 ( ) 1 n n p H      d'où 2 2 1 ( ) 1     n n n H 1°) Filtres de Butterworth On désire normaliser à -3dB Donc on veut ( ) 3 p G dB     2 2 1 1 ( ) 1 2 p n n p H a      2 1/ n n p a   89 VII.2 Prototypes 89
  • 90. 2 2 2 1 ( ) ( ) 1       n n n n n n p H p H p Calcul de la fonction de Transfert 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1            n n n n n n n n p n n H p H p H p p On cherche les pôles de H(pn) H(-pn) 2 ( 1) 1 0 n n n p    1°) Filtres de Butterworth 90 VII.2 Prototypes 90
  • 91. 2 4 1 ( ) ( ) ( 1) 1 n n n H p H p p     Prenons par exemple une fonction d'ordre 2 4 1 n p   cad 4 1 0 n p   pôles 4 ( 2 ) (2 1)        j k j k n p e e donc (2 1) / 4 j k n p e    donc / 4 3 / 4 5 / 4 7 / 4 ; ; ; j j j j n p e e e e      donc 1°) Filtres de Butterworth 91 VII.2 Prototypes 91
  • 92. qui se répartissent comme suit : / 4 3 / 4 * 5 / 4 * 7 / 4 1 1 1 1 ; ; ; j j j j p e p e p e p e           Pour calculer H(p) on ne doit garder que les pôles à partie réelle négative Re Im p1 -p1 -p1 * p1 * 1°) Filtres de Butterworth 92 VII.2 Prototypes 92
  • 93. cad 3 / 4 * 5 / 4 1 1 ; j j p e p e       Re Im -p1 -p1 * et H(pn) vaut :  ) ) 3 /4 5 /4 ( ) n j j n n K H p p e p e      2 1 ( ) 1 2 n n n H p p p    cad 1°) Filtres de Butterworth 93 VII.2 Prototypes 93
  • 94. n 1/H(pn) 1 pn+1 2 pn²+1,414pn+1 3 (pn+1)(pn²+pn+1) 4 (pn²+0,7654pn+1)(pn²+1,8478pn+1) 5 (pn+1)(pn²+0,6180pn+1)(pn²+1,6180pn+1) 6 (pn²+0,5176pn+1)(pn²+1,414pn+1)(pn²+1,9318pn+1) 7 (pn+1)(pn²+0,4450pn+1)(pn²+1,247pn+1)(pn²+1,8022pn+1) 8 (pn²+0,3986pn+1)(pn²+1,111pn+1)(pn²+1,6630pn+1)(pn²+1,9622pn+1) 1°) Filtres de Butterworth 94 VII.2 Prototypes 94
  • 95. |H(n)| Filtres de Butterworth - pas d'ondulation dans la bande - pulsation de référence (n=1) =pulsation de coupure à -3dB -3dB 1 0.1 10 n=1 n=2 n=3 n=4 asymptotes en -20 n dB/decade n 1°) Filtres de Butterworth 95 VII.2 Prototypes 95
  • 96. 0° - 360° - 45° - - 90° - 270° -180° 1 0.1 10 n n=1 n=2 n=3 n=4 - 135° Phase de H(n) Filtres de Butterworth 1°) Filtres de Butterworth 96 VII.2 Prototypes 96
  • 97. 2°) Filtres de Chebychev 2°) Filtres de Chebychev 1 2 ( ) 2 ( ) ( ) n n n T x xT x T x     A) Polynomes de Chebychev 0 ( ) 1 T x  1( ) T x x  0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -5 0 5 10 15 20 25 T2 T3 T4 T5 T6 Tn(x) 97 VII.2 Prototypes 97
  • 98. 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) n n n n A T H        B) Filtres de Chebychev de type I 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 n=2 n=4 n=3 |H(n)|2 n =0.1 2°) Filtres de Chebychev 98 VII.2 Prototypes 98
  • 99. 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) n n n n A T H        0.1 1 10 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 0.1 1 -1 0 =0.5  1 dB d'ondulation ordres 2 à 6 -2 2°) Filtres de Chebychev 99 VII.2 Prototypes 99
  • 100. 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) n n n n A T H        C) Propriétés des Filtres de Chebychev - n oscillations dans la bande passante - "equal ripple" - ondulation fonction de  - ondulation 1  ondulation=3 dB 0.5  ondulation=1 dB - |H(n=1)| = - ondulation  ≠ -3 dB en général - asymptotes en -20n dB/decade - Coupure + raide que Butterworth - phase – linéaire que Butterworth 2°) Filtres de Chebychev 100 VII.2 Prototypes 100
  • 101. 3°) Filtres de Legendre 3°) Filtres de Legendre (Papoulis) 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) n n n n A L H        où Ln(x) n Ln(x) 1 x 2 x2 3 3 x3 -3 x2 + x 4 6 x4 – 8 x3 + 3 x 2 5 20 x5 -40 x4 + 28 x 3 -8 x2 + x 6 50 x6 – 120 x 5 + 105 x 4 – 40 x 3 +6 x 2 101 VII.2 Prototypes 101
  • 102. 10 -1 10 0 10 1 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 ordre 2 à 5 3°) Filtres de Legendre 102 VII.2 Prototypes 102
  • 103. 0.1 1 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 ordre 2 à 5 1  gain de -3 dB et donc une ondulation= 3 dB dans la bande passante =0.5  gain de -1 dB et donc une ondulation= 1 dB dans la bande passante 3°) Filtres de Legendre 103 VII.2 Prototypes 103
  • 104. 4°) Filtres de Cauer 4°) Filtres de Cauer 2 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n N H D     1 nb extrema dans la bande passante = ordre du filtre nb zéro = Ent(ordre du filtre /2) zéros 104 VII.2 Prototypes 104
  • 105. C) Propriétés des Filtres de Cauer - n oscillations dans la bande passante - asymptotes ordres impairs :-20 dB/decade ordres pairs : asymptote horizontale - phase – linéaire que Chebychev 2°) Filtres de Cauer 2 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n N H D     - |H(n=1)| = - ondulation  ≠ -3 dB en général - Coupure + raide que Chebychev 105 VII.2 Prototypes 105
  • 106. 5°) Filtres de Bessel 5°) Filtres de Bessel Recherche de la phase la + linéaire possible Distorsion du signal la + faible possible 106 VII.2 Prototypes 106
  • 107. 0.1 1 10 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 Bessel ordre 2 à 6 ordre 2 temps de propagation de groupe t = -d/d) ( u.a) pulsations normalisées (n) ordre 3 ordre 4 ordre 5 ordre 6 5°) Filtres de Bessel 107 VII.2 Prototypes 107
  • 108. 5°) Filtres de Bessel 0.1 1 10 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Bessel ordre 2 à 6 Gain des filtres de Bessel (dB) pulsations normalisées (n) ordre 2 3 4 5 6 5°) Filtres de Bessel 108 VII.2 Prototypes 108
  • 109. 6°) Comparaison des prototypes Comparaison des Gains des prototypes normalisés à – 3 dB 0.1 1 10 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Bessel Butterworth Chebychev Cauer Legendre 109 VII.2 Prototypes 109
  • 110. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Tps de propagation de groupe déphasage (°) 0.1 1 10 100 Legendre Butterworth Bessel Chebychev -250 -200 -150 -100 -50 n Legendre Butterworth Bessel Chebychev d d   Phases comparées et linéarité 6°) Comparaison des prototypes 110 VII.2 Prototypes 110
  • 111. 111 Synthèse de Filtres Analogiques à l’aide de Matlab Les fonctions suivantes renvoient en sortie les pôles (p) , zéros (z) et le gain (K) des filtres analogiques passe-bas normalisés ( wc =1) ) )...( )( ( ) )...( )( ( ) ( 2 1 2 1 n m z p p p p p z p z p z p K p H        Caractéristiques et type du filtre normalisé Fonction Matlab [z , p, k]
  • 112. 112 % Filtre de Butterworth [z,p,k]=buttap(n); % Tchebyshev I: oscillations inférieures à Rp dB dans la bande passante [z,p,k]=cheby1ap(n,Rp); % Tchebyshev II: oscillations en déça de Rs dB dans la bande atténuée [z,p,k]=cheby2ap(n,Rs); %Elliptique (Cauer): Oscillations inférieures à Rp dB dans la bande passante et en déça de Rs dB dans la bande atténuée [z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs);
  • 113. 113 n: ordre du filtre Rp: atténuation maximale(en dB) dans la bande passante Rs: atténuation minimale(en dB) dans la bande coupée Pour obtenir une représentation de ces filtres analogiques sous forme d’un rapport de deux polynômes pour leur fonction de transfert , on utilise la transformation zp2tf de matlab: [b,a]=zp2tf(z,p,k); Transformations de fréquences Pour transformer un filtre passe-bas prototype en un autre filtre on utilise les fonctions suivantes: % passe-bas normalisé vers passe-bas particulier ( p p/Wo) [bt,at] = lp2lp(b,a,Wo) % passe-bas normalisé vers passe-haut particulier ( p Wo/p) [bt,at] = lp2hp(b,a,Wo) % passe-bas normalisé vers passe-bande particulier ( p [bt,at]=lp2bp(b,a,Wo,Bw) % passe-bas normalisé vers bande coupée particulier ( p [bt,at]=lp2lp(b,a,Wo) ) ( 1 p Wo Wo p B  ) ( 1 . p Wo Wo p B  b h b h w w Wo et w w B .   