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Variables Aléatoires continues V.A.C
Conditionnelle et Indépendance
Lois usuelles continues
Probabilités pour ingénieurs
Chapitre 3 :Vecteurs aléatoires continus
I. MEDARHRI
ENSMR, École Nationale Supérieure des Mines de Rabat
2019-2020.
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
Variables Aléatoires continues V.A.C
Conditionnelle et Indépendance
Lois usuelles continues
Plan
1 Variables Aléatoires continues V.A.C
Définitions et Exemples
Fonction de répartition et de densité
Exemples
Paramètres de V.A.C
2 Conditionnelle et Indépendance
Quelques propriétés
3 Lois usuelles continues
Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
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Variables Aléatoires continues V.A.C
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Lois usuelles continues
Définitions et Exemples
Fonction de répartition et de densité
Exemples
Paramètres de V.A.C
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Conditionnelle et Indépendance
Lois usuelles continues
Définitions et Exemples
Fonction de répartition et de densité
Exemples
Paramètres de V.A.C
objectifs
On se place ici dans le cas continu, c’est-à-dire dans le cas où
les valeurs possibles d’une variable aléatoire ne constituent
plus un ensemble fini ou infini dénombrable, mais des parties
Rn.
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Définitions et Exemples
Fonction de répartition et de densité
Exemples
Paramètres de V.A.C
objectifs
On se place ici dans le cas continu, c’est-à-dire dans le cas où
les valeurs possibles d’une variable aléatoire ne constituent
plus un ensemble fini ou infini dénombrable, mais des parties
Rn.
Cette considération nécessite une nouvelle façon de :
Décrire la loi de probabilité d’une variable aléatoire,
Calculer fonction de répartition.
Redéfinir les notions d’espérance et de variance.
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objectifs
On se place ici dans le cas continu, c’est-à-dire dans le cas où
les valeurs possibles d’une variable aléatoire ne constituent
plus un ensemble fini ou infini dénombrable, mais des parties
Rn.
Cette considération nécessite une nouvelle façon de :
Décrire la loi de probabilité d’une variable aléatoire,
Calculer fonction de répartition.
Redéfinir les notions d’espérance et de variance.
On s’intéresse ensuite à quelques lois de probabilités
classiques, qu’il est indispensable de connaı̂tre tant leur
utilisation est fréquente, notamment dans les modèles
statistiques.
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Définitions et Exemples
Fonction de répartition et de densité
Exemples
Paramètres de V.A.C
Expérience aléatoire
Variable aléatoire
(X)
Valeurs x que
peut prendre
X
Mesurer Les étudiants du
T.C de l’ENSMR
le poids d’un étudiant
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Lois usuelles continues
Définitions et Exemples
Fonction de répartition et de densité
Exemples
Paramètres de V.A.C
Expérience aléatoire
Variable aléatoire
(X)
Valeurs x que
peut prendre
X
Mesurer Les étudiants du
T.C de l’ENSMR
le poids d’un étudiant [40,120]
Envoi d’une fléchette sur
une cible Diam 30 cm
Position de fléchette
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Définitions et Exemples
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Exemples
Paramètres de V.A.C
Expérience aléatoire
Variable aléatoire
(X)
Valeurs x que
peut prendre
X
Mesurer Les étudiants du
T.C de l’ENSMR
le poids d’un étudiant [40,120]
Envoi d’une fléchette sur
une cible Diam 30 cm
Position de fléchette [0,15]
Passage des véhicules à une
borne de péage
Temps de passage
des véhicules à une
borne de péage
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Expérience aléatoire
Variable aléatoire
(X)
Valeurs x que
peut prendre
X
Mesurer Les étudiants du
T.C de l’ENSMR
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Envoi d’une fléchette sur
une cible Diam 30 cm
Position de fléchette [0,15]
Passage des véhicules à une
borne de péage
Temps de passage
des véhicules à une
borne de péage
R+
N
Contrôle des ampoules
d’une entreprise
durée de vie d’une
ampoule en jr
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Expérience aléatoire
Variable aléatoire
(X)
Valeurs x que
peut prendre
X
Mesurer Les étudiants du
T.C de l’ENSMR
le poids d’un étudiant [40,120]
Envoi d’une fléchette sur
une cible Diam 30 cm
Position de fléchette [0,15]
Passage des véhicules à une
borne de péage
Temps de passage
des véhicules à une
borne de péage
R+
N
Contrôle des ampoules
d’une entreprise
durée de vie d’une
ampoule en jr
[0, +∞[
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Fonction de répartition et de densité
Exemples
Paramètres de V.A.C
Définition des vecteurs aléatoires continues
Definition
Un vecteur aléatoire continue X à valeurs dans Rn est formé de n
variables aléatoires réelles, qui sont les composantes de X:
X = (X1, ..., Xn).
Sa loi est caractérisé par la fonction de répartition
multidimensionnelle F : Rn− > [0, 1] définie par:
F(x1, x2, ..., xn) = P

X ∈
n
Y
i=1
] − ∞, xi ]

.
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Définition des vecteurs aléatoires continues
Definition
On dit que X admet la fonction de densité f si la fonction est
positive sur Rn, intégrable et vérifie :
Z
Rn
f (x)dx =
Z +∞
−∞
· · ·
Z +∞
−∞
f (x1, · · · , xn)dx1, · · · dxn = 1
et si
P(X1 6 x1, · · · , Xn 6 xn) =
Z x1
−∞
· · ·
Z xn
−∞
f (y1, · · · , yn)dy1, · · · , dyn.
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Définition des vecteurs aléatoires continues
Definition
On dit que X admet la fonction de densité f si la fonction est
positive sur Rn, intégrable et vérifie :
Z
Rn
f (x)dx =
Z +∞
−∞
· · ·
Z +∞
−∞
f (x1, · · · , xn)dx1, · · · dxn = 1
et si
P(X1 6 x1, · · · , Xn 6 xn) =
Z x1
−∞
· · ·
Z xn
−∞
f (y1, · · · , yn)dy1, · · · , dyn.
Dans le cas où n=1; on définit une vecteur aléatoire de dimension
1, une variable aléatoire continue (vac)
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Fonction de répartition et de densité
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Définition de variable aléatoire continue
Definition
Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes
les valeurs dans un intervalle donné (borné ou non borné). En
règle générale, toutes les variables qui résultent d’une mesure sont
de type continu.
Notation: v.a.c
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Définition de variable aléatoire continue
Definition
Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes
les valeurs dans un intervalle donné (borné ou non borné). En
règle générale, toutes les variables qui résultent d’une mesure sont
de type continu.
Notation: v.a.c
exemple
I v.a X correspondant à longueur d’un train,
I v.a X correspondant au temps d’attente à une caisse
I v.a X représentant le pourcentage d’un projet réalisé après 6
mois.
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REMARQUE
La description d’une loi continue diffère de celles des lois
discrètes puisque pour une variable aléatoire continue X, la
probabilité que X prenne une valeur bien précise x est nulle,
P[X =x]=0.
Il y a en effet une infinité de valeurs dans R ou dans un
intervalle, et au regard de toutes ces valeurs précises, le poids
de la valeur particulière est tellement insignifiant qu’il en est
nul !
Ex : si X =taille d’un individu, alors P(X = 1, 8245756) = 0
Il n’est ainsi pas possible de définir la loi de X par la donnée
des probabilités des événements élémentaires.
Par contre, il est possible de déduire les probabilités que X
prenne ses valeurs dans une partie de R à partir de la fonction
de répartition.
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Fonction de répartition
Dans le cas d’une variable aléatoire continue, la loi de
probabilité associe une probabilité à chaque ensemble de valeurs
définies dans un intervalle donné. En effet, pour une variable
aléatoire continue, la probabilité associée à l’évènement {X = a}
est nulle, car il est impossible d’observer exactement cette valeur.
Definition
Soit X variable aléatoire définie par: X : S → R, on appelle
fonction de répartition de X la fonction définie sur R par
F(x) = P(X ≤ x) = P(X ∈] − ∞; x])
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Fonction densité de probabilité
Definition
Dans le cas où F est dérivable, la fonction f dérivée de F est
appelée densité de probabilité de X et pour tout x de R,
F0(x) = f (x).
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Fonction densité de probabilité
Definition
Dans le cas où F est dérivable, la fonction f dérivée de F est
appelée densité de probabilité de X et pour tout x de R,
F0(x) = f (x).
Proposition 1:
I La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X
de densité de probabilité f est :
FX (x) = P(X ≤ x) =
Z x
−∞
f (t)dt
I Si f est la densité de probabilité d’une variable aléatoire X
continue, alors :
R +∞
−∞ f (x)dx = 1
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Propriété 2:
La fonction de répartition F d’une variable aléatoire continue X a
les propriétés suivantes:
I F est une fonction croissante, définie et continue sur R.
I Pour tout x ∈ R, 0 ≤ F(x) ≤ 1
I limx→−∞ F(x) = 0 et limx→+∞ F(x) = 1
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Propriété 2:
La fonction de répartition F d’une variable aléatoire continue X a
les propriétés suivantes:
I F est une fonction croissante, définie et continue sur R.
I Pour tout x ∈ R, 0 ≤ F(x) ≤ 1
I limx→−∞ F(x) = 0 et limx→+∞ F(x) = 1
Propriété 1:
La définition nous permet d’écrire:
I P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = F(b) − F(a)
I P(X  b) = P(X ≤ b) = 1 − F(b)
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Origine de ces points de vue : histogramme des fréquences d’une
série regroupée par classe dont l’amplitude des classes devient
”petites”..
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exemple
L’erreur commise lors de la mesure du diamètre d’une pièce
produite en série est approximé par une v.a (en mm) dont la
fonction de densité est :
f (x) =

c(1 − x2), si −1  x  1;
0, sinon.
Déterminer la fonction de répartition de la v.a continue X.
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exemple
La durée de fonctionnement (en heures) d’un ordinateurs avant la
première panne est une variable aléatoire X admettant pour densité
de probabilité la fonction
f (x) =

λe− x
100 , si x ≥ 0;
0, sinon.
Quelle est la probabilité que cette durée de fonctionnement soit
comprise entre 50h et 150h ? Inférieure à 100h ?
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Fonction de répartition et de densité
Exemples
Paramètres de V.A.C
On introduit ces notions qui sont analogues à celles vues dans le
chapitre précédent à propos des variables aléatoires discrètes. Cela
revient à remplacer les sommes (finies ou de séries) par des
intégrales.
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Definition
Si X est une variable aléatoire absolument continue de densité
f, on appelle Espérance de X, le réel E(X), défini par :
E(X) =
Z ∞
−∞
xf (x)dx
Si cette intégrale est convergente.
exemple
Calculer L’espérance Mathématique de la durée de fonctionnement
(en heures) d’un ordinateur.
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Theorem
Si X est une variable aléatoire continue de densité de probabilité
f et g : R → R continue par morceaux alors la variable aléatoire
g(X) admet une espérance si et seulement si l’intégrale
R +∞
−∞ g(x)f (x)dx converge. Alors on a
E[g(X)] =
Z ∞
−∞
g(x)f (x)dx
exemple
Calculer La variance de la durée de fonctionnement (en heures)
d’un ordinateurs.
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Definition
Si X est une variable aléatoire continue de densité de probabilité
f : R → R continue. On appelle variance de X le réel, noté V (X),
qui, s’il existe, est défini par la relation
V (X) =
Z ∞
−∞
[x − E(X)]2
f (x)dx
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Definition
Si X est une variable aléatoire continue de densité de probabilité
f : R → R continue. On appelle variance de X le réel, noté V (X),
qui, s’il existe, est défini par la relation
V (X) =
Z ∞
−∞
[x − E(X)]2
f (x)dx
On appelle écart-type de X le réel, noté σ(X), défini par la
relation
σ(X) =
p
V (X)
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exemple 1
Soit X la variable aléatoire continue à valeurs dans l’intervalle
[0; 1], muni de la fonction densité f définie par : f (x) = 3x2.
1 Déterminer P(X = 0.5),
2 Calculer P(X ≤ 0.5),
3 En déduire P(X  0.5),
4 Calculer P(0.3  X ≤ 0.5),
5 Calculer P(0.2≤X0.5)(0.3 ≤ X  0.9),
6 Calculer l’espérance et la variance de X.
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exemple 2
Une machine à sous choisit un nombre, noté V , entre 0 et 1. On
suppose que V est une v.a. continue admettant pour densité :
f (x) =
1
2
√
x
1]0,1](x)
Vous payer un Dirham pour jouer. Si le nombre sorti est supérieur
à 1/3, vous recevez 2 Dirham, sinon vous perdez votre mise.
1 Quelle est la probabilité de gagner?
2 Quel est votre gain moyen? calculer La dispersion σ(X)?
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Exemples
Paramètres de V.A.C
Definition
Si X et Y sont dans L2, la variable (X − E(X)(Y − E(Y )
integrable. On appelle covariance de X et Y l’espérance de cette
variable aléatoire, et on note cov(X, Y ) :
cov(X, Y ) = E((X − E(X)(Y − E(Y )).
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Definition
Si X et Y sont dans L2, la variable (X − E(X)(Y − E(Y )
integrable. On appelle covariance de X et Y l’espérance de cette
variable aléatoire, et on note cov(X, Y ) :
cov(X, Y ) = E((X − E(X)(Y − E(Y )).
Le coefficient de corrélation des variables aléatoires X et Y est le
nombre:
ρ(X, Y ) =
cov(X, Y )
p
Var(X)Var(Y )
.
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Exemples
Paramètres de V.A.C
Proposition
Soient X1, ..., Xn des variables aléatoires de carré intégrable, alors il
en est de même de la somme, et :
Var(X1 +....+Xn) = Var(X1)+...+Var(Xn)+2
X
16ij6n
cov(Xi , Xj )
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Paramètres de V.A.C
Proposition
Soient X1, ..., Xn des variables aléatoires de carré intégrable, alors il
en est de même de la somme, et :
Var(X1 +....+Xn) = Var(X1)+...+Var(Xn)+2
X
16ij6n
cov(Xi , Xj )
Si les variables aléatoires X1, ..., Xn sont indépendantes alors :
Var(X1 + .... + Xn) = Var(X1) + ... + Var(Xn)
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Quelques propriétés
Conditionnelle et Indépendance
Definition
Dans le cas où [X, Y ] est un vecteur continue de fonction de
densité conjointe f (x, y),
Si x est une valeur telle que fX (x)  0, on définit la fonction
de densité conditionnelle:
fY |X=x (y) =
f (x, y)
fX (x)
, y ∈ RY
Si y est une valeur telle que fY (y)  0, on définit
fX|Y =y (x) =
f (x, y)
fY (y)
, x ∈ RX
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Quelques propriétés
Conditionnelle et Indépendance
Definition
Dans le cas où [X, Y ] est un vecteur continue de fonction de
densité conjointe f (x, y),
Si x est une valeur telle que fX (x)  0, on définit la fonction
de densité conditionnelle:
fY |X=x (y) =
f (x, y)
fX (x)
, y ∈ RY
Si y est une valeur telle que fY (y)  0, on définit
fX|Y =y (x) =
f (x, y)
fY (y)
, x ∈ RX
L’espérance conditionnelle de X sous condition de Y = y est:
E[X|Y = y] =
Z
R
xfX|Y =y (x)
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Quelques propriétés
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Definition
Deux v.a continues [X, Y ] de sa fonction de densité conjointe
f (x, y) sont dites indépendantes ssi
f (x, y) = fX (x) × fY (y), pour (presque)tout x,et y
Notons Lorsque deux variables sont indépendantes, on peut
reconstituer leur distribution conjointe à partir des
marginales des v.a. de X et Y en faisant le produit.
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Lois usuelles continues
Quelques propriétés
Quelques propriétés
Proposition (Inégalité de Markov):
Soit p  1 et variable aléatoire X ∈ Lp, alors pour tout a
strictement positive
P[|X| ≥ a] ≤
E[|X|p].
ap
Proposition (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev):
Soit X une variable aléatoire réelle de variance finie, alors pour tout
a strictement positive
P[|X − E[X]| ≥ a] ≤
1
a2
V [X].
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Lois usuelles continues
Quelques propriétés
Quelques propriétés
L’inégalité de Bienaymé-Chebyshev est très utile dans la pratique.
Elle permet de mesurer la probabilité des grands écarts entre X et
sa moyenne.
Proposition (Inégalité de Jensen):
Soit X une variable aléatoire réelle intégrable, et f une fonction
mesurable telle que f (X) soit intégrable. Supposons de plus que f
soit une fonction convexe. Alors:
E(f (X))  f (E(X))
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Quelques propriétés
Lois de probabilité continues usuelles
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Loi uniforme
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Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Loi uniforme
Loi exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale.
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
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Contexte
Dans une ville, un voyageur sait que sur une ligne
d’autobus donnée, il passe un autobus toutes les
heures. Ce voyageur ignore les horaires et arrive à
un arrêt de cette ligne. Combien de temps va t-il
attendre à cet arrêt l’arrivée de l’autobus ?
Notons X la variable aléatoire représentant le
temps d’attente ainsi défini.
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Loi Normale
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Contexte
Le temps d’attente est un nombre appartenant à l’intervalle
[0; 1] (en heure) et que l’on ne peut évidemment pas prévoir
exactement. On peut seulement déterminer les probabilités
d’événements tels que ”on attendra plus de 5 minutes” ou
d’autres événements de ce type .
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Contexte
Le temps d’attente est un nombre appartenant à l’intervalle
[0; 1] (en heure) et que l’on ne peut évidemment pas prévoir
exactement. On peut seulement déterminer les probabilités
d’événements tels que ”on attendra plus de 5 minutes” ou
d’autres événements de ce type .
Un événement est ici un intervalle contenu dans [0; 1]. La
probabilité d’un intervalle J contenu dans [0; 1] est
proportionnelle à la longueur de l’intervalle J.
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Variables Aléatoires continues V.A.C
Conditionnelle et Indépendance
Lois usuelles continues
Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Contexte
Le temps d’attente est un nombre appartenant à l’intervalle
[0; 1] (en heure) et que l’on ne peut évidemment pas prévoir
exactement. On peut seulement déterminer les probabilités
d’événements tels que ”on attendra plus de 5 minutes” ou
d’autres événements de ce type .
Un événement est ici un intervalle contenu dans [0; 1]. La
probabilité d’un intervalle J contenu dans [0; 1] est
proportionnelle à la longueur de l’intervalle J.
Le modèle le mieux approprié pour décrire ce phénomène
s’avère être celui de la loi uniforme.
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Variables Aléatoires continues V.A.C
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Lois usuelles continues
Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Contexte
Le temps d’attente est un nombre appartenant à l’intervalle
[0; 1] (en heure) et que l’on ne peut évidemment pas prévoir
exactement. On peut seulement déterminer les probabilités
d’événements tels que ”on attendra plus de 5 minutes” ou
d’autres événements de ce type .
Un événement est ici un intervalle contenu dans [0; 1]. La
probabilité d’un intervalle J contenu dans [0; 1] est
proportionnelle à la longueur de l’intervalle J.
Le modèle le mieux approprié pour décrire ce phénomène
s’avère être celui de la loi uniforme.
On dit que X suit une loi uniforme sur [a ; b] si la
probabilité d’un intervalle J contenu dans [a ; b] est
proportionnelle à la longueur de l’intervalle J.
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Lois déduites de la loi normale
Notation: U([a, b]) pour −∞  a  b  +∞
Ensemble des valeurs: E = [a, b]
Fonction de densité: fX (x) = 1
b−a 1[a,b](x)
Fonction de répartition:
FX (x) =



0, si x  a;
x−a
b−a , si a ≤ x ≤ b;
1, si x  b.
Espérance et variance:
E(X) =?, V (X) =?, σ(X) =?.
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Loi Exponentielle
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Lois déduites de la loi normale
Propriété 1:
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle
[a; b]. Alors, pour tout intervalle [c; d] contenu dans [a; b] , on a :
P(c ≤ X ≤ d) =
d − c
b − a
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Lois déduites de la loi normale
Notation: U([a, b]) pour −∞  a  b  +∞
Ensemble des valeurs: E = [a, b]
Fonction de densité: fX (x) = 1
b−a 1[a,b](x)
Fonction de répartition:
FX (x) =



0, si x  a;
x−a
b−a , si a ≤ x ≤ b;
1, si x  b.
Espérance et variance:
E(X) = b+a
2 , V (X) = (b−a)2
12 , σ(X) = (b−a)
2
√
3
.
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exemple
Supposons que la concentration d’un certain polluant est distribuée
uniformément sur l’intervalle 6 à 22 ppm. Si la concentration
excède 16 ppm, on considère le polluant comme toxique.
I Quelle est la probabilité de déclarer le polluant comme
toxique?
I Calculer l’espérance et variance de X?
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exemple
Un gyrophare G envoie un flash lumineux dans une direction
aléatoire uniforme d’angle θ.
I Cherchons la distribution de l’abscisse X du point d’impact du
rayon lumineux sur un écran plan infini situé à distance 1 de G
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
La loi exponentielle est utile pour décrire la durée de réalisation
d’une tâche ou pour modéliser des temps d’attente.
Par exemples:
la prochaine panne d’un appareil
la distance entre les défauts majeurs d’une autoroute,
la prochaine désintégration dans un réacteur nucléaire.
dans les files d’attente, la distribution exponentielle est
souvent utilisée pour le temps de service
Liée à la loi de Poisson qui fournit une bonne description du
nombre d’occurrences par intervalle Loi exponentielle fournit une
bonne description de la longueur de l’intervalle entre les
occurrences
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
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Lois déduites de la loi normale
Notation: ξ(λ) pour λ  0
Ensemble des valeurs: E = R+
Fonction de densité: fX (x) = λe−λx 1R+ (x)
Fonction de répartition:
FX (x) =

0, si x ≤ 0;
1 − e−λx , si x ≥ 0
Espérance et variance: E(X) =?, V (X) =?, σ(X) =?.
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Loi uniforme
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Densité de probabilité
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Fonction de répartition
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Notation: ξ(λ) pour λ  0
Ensemble des valeurs: E = R+
Fonction de densité: fX (x) = λe−λx 1R+ (x)
Fonction de répartition:
FX (x) =

0, si x ≤ 0;
1 − e−λx , si x ≥ 0
Espérance et variance: E(X) = 1
λ , V (X) = 1
λ2 , σ(X) = 1
λ.
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
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Lois déduites de la loi normale
exemple
Le temps d’attente exprimé en minutes au guichet d’une banque
est une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle de
paramètre λ. On sait que la probabilité qu’un client attende moins
de 8 minutes est égale à 0,7.
I Quelle est la valeur de paramètre λ?
I Calculer la probabilité qu’un client attende entre 15 et 20
minutes ?
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
exemple
La durée de fonctionnement d’un transistor suit une loi
exponentielle de paramètre λ et est en moyenne de 8 ans.
Un tel transistor, utilisé à une fin particulière, fonctionne déjà
depuis 2 ans.
I Quelle est la probabilité que la durée de vie de ce transistor
dépasse 5 ans sachant qu’il fonctionne déjà depuis 2 ans ?
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Absence de mémoire
Theorem
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de
paramètre λ (X ∼ ξ(λ), alors pour tous s, t  0
P(X  s + t|X  t) = P(X  s)
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Absence de mémoire
Theorem
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de
paramètre λ (X ∼ ξ(λ), alors pour tous s, t  0
P(X  s + t|X  t) = P(X  s)
Explication
Si on considère que X est la durée de vie ou de fonctionnement
d’un objet, on dit que X suit une loi de durée de vie sans
vieillissement (ou est sans vieillissement) lorsque la probabilité que
l’objet fonctionne encore s années de plus sachant qu’il a déjà
fonctionné pendant t années, pX≥t(X ≥ s + t), est la même pour
tout t ≥ 0 C’est aussi la même probabilité p(X ≥ s) qu’il
fonctionne s années après sa mise en service.
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Domaine d’utilisation:
La loi gaussienne est la loi la plus utilisée en théorie des probabilités
et en statistique. Cela est dû au caractéristiques suivantes:
1. Elle permet des développements mathématiques efficaces.
2. Toute l’information est donnée directement par les paramètres
µ et σ, qui caractérisent respectivement la valeur moyenne et
la dispersion autour de cette valeur moyenne.
3. C’est la loi qu’on obtient naturellement en additionnant un
grand nombre de v. a. indépendantes.
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Lois déduites de la loi normale
Domaine d’utilisation:
4. La plupart des lois de probabilité intervenant dans les tests
statistiques comme la loi χ2 et la loi de student se déduisent
de la loi gaussienne par des transformations simples.
χ2
=
n
X
i=1
X2
i avec Xi ∼ N(0, 1) et sont indépendantes
5. Elle présente un grand nombre de phénomènes aléatoires
comme les erreurs liées aux mesures, la fluctuation des prix, la
distribution des tailles de personnes choisies au hasard dans
une population donnée, les variations de la longueur des pièces
fabriquées en série, etc...
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Loi normale
Definition
On dit qu’une variable aléatoire continue X suit une loi normale de
paramètres µ et σ2 si sa fonction de densité est :
fX (x) =
1
σ
√
2π
e
−
1
2

x − µ
σ
2
pour tout x
On dénote ceci X ∼ N(µ, σ2).
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Proprétés de la loi normale
limn→±∞ fX (x) = 0.
fX (µ + x) = fX (µ − x)
(Symétrie par rapport à x = µ).
P(X  µ − x) = P(X  µ + x).
FX (µ − x) = 1 − FX (µ + x).
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Lois déduites de la loi normale
Allure de la densité en fonction deµ et σ
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Loi normale centrée réduite
Lorsque µ = 0 et σ2 = 1, la loi normale N(0, 1) est appelée
centrée réduite et on la dénote par Z.
Definition
La loi normale centrée réduite est la loi continue, d’une v.a. Z à
valeurs dans Z(S) = R tout entier, définie à partir de la densité :
fZ (z) =
1
√
2π
e
−
1
2
z2
pour tout z ∈ R
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Loi normale centrée réduite
La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
est
Φ(z) =
1
√
2 π
Z z
−∞
e−1
2
t2
dt
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Loi normale centrée réduite
La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
est
Φ(z) =
1
√
2 π
Z z
−∞
e−1
2
t2
dt
Puisque cette intégrale est difficile à évaluer, on a recours à
une table de loi normale pour calculer Φ(z).
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Loi normale centrée réduite
La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
est
Φ(z) =
1
√
2 π
Z z
−∞
e−1
2
t2
dt
Puisque cette intégrale est difficile à évaluer, on a recours à
une table de loi normale pour calculer Φ(z).
Si X ∼ N(µ, σ2) alors
Z =
X − µ
σ
∼ N(0, 1)
On peut donc ramener toute loi normale à une loi centrée
réduite.
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Lois déduites de la loi normale
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
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Lois déduites de la loi normale
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Table de la loi normale centrée réduite
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Table de la loi normale centrée réduite
Par exemple : P(X ≤ 0.64) = 0.7389
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Lois déduites de la loi normale
Concentration autour de la moyenne
Dans [µ − σ; µ + σ] de longueur 2σ et centré autour de la moyenne,
Il y a 68% des individus, lorsque qu’une v.a. suit une loi N(µ; σ) :
P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0.68
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Lois déduites de la loi normale
Concentration autour de la moyenne
Dans [µ − σ; µ + σ] de longueur 2σ et centré autour de la moyenne,
Il y a 68% des individus, lorsque qu’une v.a. suit une loi N(µ; σ) :
P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0.68
On établit aussi que 95% d’un échantillon représentatif d’une loi
normale N(µ, σ) est approximativement situé entre µ − 2σ et
µ + 2σ. On a
P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = 0.9544
Plus exactement,
P(µ − 1.96σ ≤ X ≤ µ + 1.96σ) = 0.95
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Concentration autour de la moyenne
Dans [µ − σ; µ + σ] de longueur 2σ et centré autour de la moyenne,
Il y a 68% des individus, lorsque qu’une v.a. suit une loi N(µ; σ) :
P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0.68
On établit aussi que 95% d’un échantillon représentatif d’une loi
normale N(µ, σ) est approximativement situé entre µ − 2σ et
µ + 2σ. On a
P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = 0.9544
Plus exactement,
P(µ − 1.96σ ≤ X ≤ µ + 1.96σ) = 0.95
et on a mème 99.7% des individus entre µ − 3σ et µ + 3σ :
P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) = 0.997
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Lois déduites de la loi normale
Concentration autour de la moyenne
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Lois usuelles continues
Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Concentration autour de la moyenne
Autrement dit, lorsqu’on a une variable aléatoire qui suit une loi
normale N(µ, σ), on est ”pratiquement sûr” que la valeur se
situera entre µ − 3σ et µ + 3σ.
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
exemple
Soit Z et X deux variables aléatoires tel que Z ∼ N(0, 1) et
X ∼ N(1, 4), Calculer
1 P(Z ≤ 1.46);
2 P(Z ≤ −1);
3 P(Z ≥ −1);
4 P(−1 ≤ X ≤ 1).
5 Si P(Z ≤ b) = 0.8708, déterminer b.
6 Si P(Z ≤ b) = 0.2877, déterminer b.
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Table de la loi normale centrée réduite
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Loi uniforme
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Loi Normale
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Loi du Khi-deux
Definition
Soient X1, X2, ...., Xn des v.a. indépendantes de même loi N(0, 1).
Posons:
Z =
X
i=1...n
X2
i
Par définition la v.a suit une loi du khi-deux à n degré(s) de liberté
(d.d.l.). On la note χ2(n).
Z  0, cette loi n’est pas donc symétrique,
Z admet une densité,
E(Z) = n et Var(Z) = 2n
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Loi uniforme
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Allure de la densité d’un χ2
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Table de la loi Khi-deux
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Table de la loi Khi-deux
Exemple 1: Y ∼ χ2(15). On calcule P(8.55 ≤ Y ≤ 25.00)=?
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Table de la loi Khi-Deux
Exemple 1: Y ∼ χ2(15). On calcule P(8.55 ≤ Y ≤ 25.00)=0.85.
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Table de la loi Khi-Deux
Exemple 1: Y ∼ χ2(15). On calcule P(8.55 ≤ Y ≤ 25.00)=0.85.
Exemple 2: Y ∼ χ2(10). On calcule b tq: P(Y ≤ b)=0.1.
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Table de la loi Khi-Deux
Exemple 2: Y ∼ χ2(10). Donc: b=4.87.
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Loi de Student
Definition
Soient X ∼ N(0, 1) et Y ∼ χ2(n). Posons T = X
√
Y /n
.
Alors T suit une loi de Student à n degré de liberté et on la note
ι(n) ou Student(k).
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
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Allure de la densité de Student
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
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Lois déduites de la loi normale
Table de la loi Student
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Lois usuelles continues
Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Table de la loi Student
Exemple 1: Y ∼ ι(9). On calcule P(1.10 ≤ Y ≤ 3.25)=??
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Table de la loi Student
Exemple 1 Y ∼ ι(9). On calcule P(1.10 ≤ Y ≤ 3.25)= 0.145.
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Table de la loi Student
Exemple 1 Y ∼ ι(9). On calcule P(1.10 ≤ Y ≤ 3.25)= 0.145.
Exemple 2: Y ∼ ι(7). On calcule b tq: P(Y ≥ b)= 0.2.
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Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Table de la loi Student
Exemple 2: Y ∼ ι(7). Donc: b=0.896.
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Variables Aléatoires continues V.A.C
Conditionnelle et Indépendance
Lois usuelles continues
Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Loi de Fisher-Snedecor
Definition
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes telles que
X ∼ χ2(n) et Y ∼ χ2(m).
Alors, on dit que la variable
Z =
X
n
Y
m
suit une loi de Fisher − Snedecor(n, m). On la note F(n, m).
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Conditionnelle et Indépendance
Lois usuelles continues
Loi uniforme
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Allure de la densité de Fisher
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Conditionnelle et Indépendance
Lois usuelles continues
Loi uniforme
Loi Exponentielle
Loi Normale
Lois déduites de la loi normale
Ces trois dernières lois seront utiles dans la théorie des tests.
L’expression explicite des densités de ces lois n’est pas à connaı̂tre
(sauf pour la loi normale). Des tables statistiques et des logiciels
permettent de les manipuler.
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Vecteurs aléatoires continues

  • 1. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Probabilités pour ingénieurs Chapitre 3 :Vecteurs aléatoires continus I. MEDARHRI ENSMR, École Nationale Supérieure des Mines de Rabat 2019-2020. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 2. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Plan 1 Variables Aléatoires continues V.A.C Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C 2 Conditionnelle et Indépendance Quelques propriétés 3 Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 3. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Variables Aléatoires continues V.A.C I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 4. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C objectifs On se place ici dans le cas continu, c’est-à-dire dans le cas où les valeurs possibles d’une variable aléatoire ne constituent plus un ensemble fini ou infini dénombrable, mais des parties Rn. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 5. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C objectifs On se place ici dans le cas continu, c’est-à-dire dans le cas où les valeurs possibles d’une variable aléatoire ne constituent plus un ensemble fini ou infini dénombrable, mais des parties Rn. Cette considération nécessite une nouvelle façon de : Décrire la loi de probabilité d’une variable aléatoire, Calculer fonction de répartition. Redéfinir les notions d’espérance et de variance. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 6. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C objectifs On se place ici dans le cas continu, c’est-à-dire dans le cas où les valeurs possibles d’une variable aléatoire ne constituent plus un ensemble fini ou infini dénombrable, mais des parties Rn. Cette considération nécessite une nouvelle façon de : Décrire la loi de probabilité d’une variable aléatoire, Calculer fonction de répartition. Redéfinir les notions d’espérance et de variance. On s’intéresse ensuite à quelques lois de probabilités classiques, qu’il est indispensable de connaı̂tre tant leur utilisation est fréquente, notamment dans les modèles statistiques. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 7. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Expérience aléatoire Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre X Mesurer Les étudiants du T.C de l’ENSMR le poids d’un étudiant I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 8. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Expérience aléatoire Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre X Mesurer Les étudiants du T.C de l’ENSMR le poids d’un étudiant [40,120] Envoi d’une fléchette sur une cible Diam 30 cm Position de fléchette I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 9. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Expérience aléatoire Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre X Mesurer Les étudiants du T.C de l’ENSMR le poids d’un étudiant [40,120] Envoi d’une fléchette sur une cible Diam 30 cm Position de fléchette [0,15] Passage des véhicules à une borne de péage Temps de passage des véhicules à une borne de péage I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 10. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Expérience aléatoire Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre X Mesurer Les étudiants du T.C de l’ENSMR le poids d’un étudiant [40,120] Envoi d’une fléchette sur une cible Diam 30 cm Position de fléchette [0,15] Passage des véhicules à une borne de péage Temps de passage des véhicules à une borne de péage R+ N Contrôle des ampoules d’une entreprise durée de vie d’une ampoule en jr I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 11. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Expérience aléatoire Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre X Mesurer Les étudiants du T.C de l’ENSMR le poids d’un étudiant [40,120] Envoi d’une fléchette sur une cible Diam 30 cm Position de fléchette [0,15] Passage des véhicules à une borne de péage Temps de passage des véhicules à une borne de péage R+ N Contrôle des ampoules d’une entreprise durée de vie d’une ampoule en jr [0, +∞[ I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 12. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Définition des vecteurs aléatoires continues Definition Un vecteur aléatoire continue X à valeurs dans Rn est formé de n variables aléatoires réelles, qui sont les composantes de X: X = (X1, ..., Xn). Sa loi est caractérisé par la fonction de répartition multidimensionnelle F : Rn− > [0, 1] définie par: F(x1, x2, ..., xn) = P X ∈ n Y i=1 ] − ∞, xi ] . I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 13. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Définition des vecteurs aléatoires continues Definition On dit que X admet la fonction de densité f si la fonction est positive sur Rn, intégrable et vérifie : Z Rn f (x)dx = Z +∞ −∞ · · · Z +∞ −∞ f (x1, · · · , xn)dx1, · · · dxn = 1 et si P(X1 6 x1, · · · , Xn 6 xn) = Z x1 −∞ · · · Z xn −∞ f (y1, · · · , yn)dy1, · · · , dyn. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 14. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Définition des vecteurs aléatoires continues Definition On dit que X admet la fonction de densité f si la fonction est positive sur Rn, intégrable et vérifie : Z Rn f (x)dx = Z +∞ −∞ · · · Z +∞ −∞ f (x1, · · · , xn)dx1, · · · dxn = 1 et si P(X1 6 x1, · · · , Xn 6 xn) = Z x1 −∞ · · · Z xn −∞ f (y1, · · · , yn)dy1, · · · , dyn. Dans le cas où n=1; on définit une vecteur aléatoire de dimension 1, une variable aléatoire continue (vac) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 15. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Définition de variable aléatoire continue Definition Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné (borné ou non borné). En règle générale, toutes les variables qui résultent d’une mesure sont de type continu. Notation: v.a.c I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 16. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Définition de variable aléatoire continue Definition Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné (borné ou non borné). En règle générale, toutes les variables qui résultent d’une mesure sont de type continu. Notation: v.a.c exemple I v.a X correspondant à longueur d’un train, I v.a X correspondant au temps d’attente à une caisse I v.a X représentant le pourcentage d’un projet réalisé après 6 mois. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 17. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C REMARQUE La description d’une loi continue diffère de celles des lois discrètes puisque pour une variable aléatoire continue X, la probabilité que X prenne une valeur bien précise x est nulle, P[X =x]=0. Il y a en effet une infinité de valeurs dans R ou dans un intervalle, et au regard de toutes ces valeurs précises, le poids de la valeur particulière est tellement insignifiant qu’il en est nul ! Ex : si X =taille d’un individu, alors P(X = 1, 8245756) = 0 Il n’est ainsi pas possible de définir la loi de X par la donnée des probabilités des événements élémentaires. Par contre, il est possible de déduire les probabilités que X prenne ses valeurs dans une partie de R à partir de la fonction de répartition. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 18. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Fonction de répartition Dans le cas d’une variable aléatoire continue, la loi de probabilité associe une probabilité à chaque ensemble de valeurs définies dans un intervalle donné. En effet, pour une variable aléatoire continue, la probabilité associée à l’évènement {X = a} est nulle, car il est impossible d’observer exactement cette valeur. Definition Soit X variable aléatoire définie par: X : S → R, on appelle fonction de répartition de X la fonction définie sur R par F(x) = P(X ≤ x) = P(X ∈] − ∞; x]) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 19. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Fonction densité de probabilité Definition Dans le cas où F est dérivable, la fonction f dérivée de F est appelée densité de probabilité de X et pour tout x de R, F0(x) = f (x). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 20. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Fonction densité de probabilité Definition Dans le cas où F est dérivable, la fonction f dérivée de F est appelée densité de probabilité de X et pour tout x de R, F0(x) = f (x). Proposition 1: I La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X de densité de probabilité f est : FX (x) = P(X ≤ x) = Z x −∞ f (t)dt I Si f est la densité de probabilité d’une variable aléatoire X continue, alors : R +∞ −∞ f (x)dx = 1 I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 21. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Propriété 2: La fonction de répartition F d’une variable aléatoire continue X a les propriétés suivantes: I F est une fonction croissante, définie et continue sur R. I Pour tout x ∈ R, 0 ≤ F(x) ≤ 1 I limx→−∞ F(x) = 0 et limx→+∞ F(x) = 1 I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 22. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Propriété 2: La fonction de répartition F d’une variable aléatoire continue X a les propriétés suivantes: I F est une fonction croissante, définie et continue sur R. I Pour tout x ∈ R, 0 ≤ F(x) ≤ 1 I limx→−∞ F(x) = 0 et limx→+∞ F(x) = 1 Propriété 1: La définition nous permet d’écrire: I P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = F(b) − F(a) I P(X b) = P(X ≤ b) = 1 − F(b) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 23. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 24. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Origine de ces points de vue : histogramme des fréquences d’une série regroupée par classe dont l’amplitude des classes devient ”petites”.. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 25. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C exemple L’erreur commise lors de la mesure du diamètre d’une pièce produite en série est approximé par une v.a (en mm) dont la fonction de densité est : f (x) = c(1 − x2), si −1 x 1; 0, sinon. Déterminer la fonction de répartition de la v.a continue X. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 26. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C exemple La durée de fonctionnement (en heures) d’un ordinateurs avant la première panne est une variable aléatoire X admettant pour densité de probabilité la fonction f (x) = λe− x 100 , si x ≥ 0; 0, sinon. Quelle est la probabilité que cette durée de fonctionnement soit comprise entre 50h et 150h ? Inférieure à 100h ? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 27. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C On introduit ces notions qui sont analogues à celles vues dans le chapitre précédent à propos des variables aléatoires discrètes. Cela revient à remplacer les sommes (finies ou de séries) par des intégrales. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 28. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Definition Si X est une variable aléatoire absolument continue de densité f, on appelle Espérance de X, le réel E(X), défini par : E(X) = Z ∞ −∞ xf (x)dx Si cette intégrale est convergente. exemple Calculer L’espérance Mathématique de la durée de fonctionnement (en heures) d’un ordinateur. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 29. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Theorem Si X est une variable aléatoire continue de densité de probabilité f et g : R → R continue par morceaux alors la variable aléatoire g(X) admet une espérance si et seulement si l’intégrale R +∞ −∞ g(x)f (x)dx converge. Alors on a E[g(X)] = Z ∞ −∞ g(x)f (x)dx exemple Calculer La variance de la durée de fonctionnement (en heures) d’un ordinateurs. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 30. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Definition Si X est une variable aléatoire continue de densité de probabilité f : R → R continue. On appelle variance de X le réel, noté V (X), qui, s’il existe, est défini par la relation V (X) = Z ∞ −∞ [x − E(X)]2 f (x)dx I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 31. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Definition Si X est une variable aléatoire continue de densité de probabilité f : R → R continue. On appelle variance de X le réel, noté V (X), qui, s’il existe, est défini par la relation V (X) = Z ∞ −∞ [x − E(X)]2 f (x)dx On appelle écart-type de X le réel, noté σ(X), défini par la relation σ(X) = p V (X) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 32. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C exemple 1 Soit X la variable aléatoire continue à valeurs dans l’intervalle [0; 1], muni de la fonction densité f définie par : f (x) = 3x2. 1 Déterminer P(X = 0.5), 2 Calculer P(X ≤ 0.5), 3 En déduire P(X 0.5), 4 Calculer P(0.3 X ≤ 0.5), 5 Calculer P(0.2≤X0.5)(0.3 ≤ X 0.9), 6 Calculer l’espérance et la variance de X. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 33. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C exemple 2 Une machine à sous choisit un nombre, noté V , entre 0 et 1. On suppose que V est une v.a. continue admettant pour densité : f (x) = 1 2 √ x 1]0,1](x) Vous payer un Dirham pour jouer. Si le nombre sorti est supérieur à 1/3, vous recevez 2 Dirham, sinon vous perdez votre mise. 1 Quelle est la probabilité de gagner? 2 Quel est votre gain moyen? calculer La dispersion σ(X)? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 34. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Definition Si X et Y sont dans L2, la variable (X − E(X)(Y − E(Y ) integrable. On appelle covariance de X et Y l’espérance de cette variable aléatoire, et on note cov(X, Y ) : cov(X, Y ) = E((X − E(X)(Y − E(Y )). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 35. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Definition Si X et Y sont dans L2, la variable (X − E(X)(Y − E(Y ) integrable. On appelle covariance de X et Y l’espérance de cette variable aléatoire, et on note cov(X, Y ) : cov(X, Y ) = E((X − E(X)(Y − E(Y )). Le coefficient de corrélation des variables aléatoires X et Y est le nombre: ρ(X, Y ) = cov(X, Y ) p Var(X)Var(Y ) . I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 36. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Proposition Soient X1, ..., Xn des variables aléatoires de carré intégrable, alors il en est de même de la somme, et : Var(X1 +....+Xn) = Var(X1)+...+Var(Xn)+2 X 16ij6n cov(Xi , Xj ) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 37. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Définitions et Exemples Fonction de répartition et de densité Exemples Paramètres de V.A.C Proposition Soient X1, ..., Xn des variables aléatoires de carré intégrable, alors il en est de même de la somme, et : Var(X1 +....+Xn) = Var(X1)+...+Var(Xn)+2 X 16ij6n cov(Xi , Xj ) Si les variables aléatoires X1, ..., Xn sont indépendantes alors : Var(X1 + .... + Xn) = Var(X1) + ... + Var(Xn) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 38. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Quelques propriétés Conditionnelle et Indépendance Definition Dans le cas où [X, Y ] est un vecteur continue de fonction de densité conjointe f (x, y), Si x est une valeur telle que fX (x) 0, on définit la fonction de densité conditionnelle: fY |X=x (y) = f (x, y) fX (x) , y ∈ RY Si y est une valeur telle que fY (y) 0, on définit fX|Y =y (x) = f (x, y) fY (y) , x ∈ RX I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 39. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Quelques propriétés Conditionnelle et Indépendance Definition Dans le cas où [X, Y ] est un vecteur continue de fonction de densité conjointe f (x, y), Si x est une valeur telle que fX (x) 0, on définit la fonction de densité conditionnelle: fY |X=x (y) = f (x, y) fX (x) , y ∈ RY Si y est une valeur telle que fY (y) 0, on définit fX|Y =y (x) = f (x, y) fY (y) , x ∈ RX L’espérance conditionnelle de X sous condition de Y = y est: E[X|Y = y] = Z R xfX|Y =y (x) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 40. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Quelques propriétés Conditionnelle et Indépendance Definition Deux v.a continues [X, Y ] de sa fonction de densité conjointe f (x, y) sont dites indépendantes ssi f (x, y) = fX (x) × fY (y), pour (presque)tout x,et y Notons Lorsque deux variables sont indépendantes, on peut reconstituer leur distribution conjointe à partir des marginales des v.a. de X et Y en faisant le produit. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 41. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Quelques propriétés Quelques propriétés Proposition (Inégalité de Markov): Soit p 1 et variable aléatoire X ∈ Lp, alors pour tout a strictement positive P[|X| ≥ a] ≤ E[|X|p]. ap Proposition (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev): Soit X une variable aléatoire réelle de variance finie, alors pour tout a strictement positive P[|X − E[X]| ≥ a] ≤ 1 a2 V [X]. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 42. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Quelques propriétés Quelques propriétés L’inégalité de Bienaymé-Chebyshev est très utile dans la pratique. Elle permet de mesurer la probabilité des grands écarts entre X et sa moyenne. Proposition (Inégalité de Jensen): Soit X une variable aléatoire réelle intégrable, et f une fonction mesurable telle que f (X) soit intégrable. Supposons de plus que f soit une fonction convexe. Alors: E(f (X)) f (E(X)) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 43. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Quelques propriétés Lois de probabilité continues usuelles I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 44. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Loi uniforme Loi exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 45. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Contexte Dans une ville, un voyageur sait que sur une ligne d’autobus donnée, il passe un autobus toutes les heures. Ce voyageur ignore les horaires et arrive à un arrêt de cette ligne. Combien de temps va t-il attendre à cet arrêt l’arrivée de l’autobus ? Notons X la variable aléatoire représentant le temps d’attente ainsi défini. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 46. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Contexte Le temps d’attente est un nombre appartenant à l’intervalle [0; 1] (en heure) et que l’on ne peut évidemment pas prévoir exactement. On peut seulement déterminer les probabilités d’événements tels que ”on attendra plus de 5 minutes” ou d’autres événements de ce type . I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 47. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Contexte Le temps d’attente est un nombre appartenant à l’intervalle [0; 1] (en heure) et que l’on ne peut évidemment pas prévoir exactement. On peut seulement déterminer les probabilités d’événements tels que ”on attendra plus de 5 minutes” ou d’autres événements de ce type . Un événement est ici un intervalle contenu dans [0; 1]. La probabilité d’un intervalle J contenu dans [0; 1] est proportionnelle à la longueur de l’intervalle J. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 48. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Contexte Le temps d’attente est un nombre appartenant à l’intervalle [0; 1] (en heure) et que l’on ne peut évidemment pas prévoir exactement. On peut seulement déterminer les probabilités d’événements tels que ”on attendra plus de 5 minutes” ou d’autres événements de ce type . Un événement est ici un intervalle contenu dans [0; 1]. La probabilité d’un intervalle J contenu dans [0; 1] est proportionnelle à la longueur de l’intervalle J. Le modèle le mieux approprié pour décrire ce phénomène s’avère être celui de la loi uniforme. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 49. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Contexte Le temps d’attente est un nombre appartenant à l’intervalle [0; 1] (en heure) et que l’on ne peut évidemment pas prévoir exactement. On peut seulement déterminer les probabilités d’événements tels que ”on attendra plus de 5 minutes” ou d’autres événements de ce type . Un événement est ici un intervalle contenu dans [0; 1]. La probabilité d’un intervalle J contenu dans [0; 1] est proportionnelle à la longueur de l’intervalle J. Le modèle le mieux approprié pour décrire ce phénomène s’avère être celui de la loi uniforme. On dit que X suit une loi uniforme sur [a ; b] si la probabilité d’un intervalle J contenu dans [a ; b] est proportionnelle à la longueur de l’intervalle J. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 50. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Notation: U([a, b]) pour −∞ a b +∞ Ensemble des valeurs: E = [a, b] Fonction de densité: fX (x) = 1 b−a 1[a,b](x) Fonction de répartition: FX (x) =    0, si x a; x−a b−a , si a ≤ x ≤ b; 1, si x b. Espérance et variance: E(X) =?, V (X) =?, σ(X) =?. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 51. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 52. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Propriété 1: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [a; b]. Alors, pour tout intervalle [c; d] contenu dans [a; b] , on a : P(c ≤ X ≤ d) = d − c b − a I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 53. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Notation: U([a, b]) pour −∞ a b +∞ Ensemble des valeurs: E = [a, b] Fonction de densité: fX (x) = 1 b−a 1[a,b](x) Fonction de répartition: FX (x) =    0, si x a; x−a b−a , si a ≤ x ≤ b; 1, si x b. Espérance et variance: E(X) = b+a 2 , V (X) = (b−a)2 12 , σ(X) = (b−a) 2 √ 3 . I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 54. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale exemple Supposons que la concentration d’un certain polluant est distribuée uniformément sur l’intervalle 6 à 22 ppm. Si la concentration excède 16 ppm, on considère le polluant comme toxique. I Quelle est la probabilité de déclarer le polluant comme toxique? I Calculer l’espérance et variance de X? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 55. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale exemple Un gyrophare G envoie un flash lumineux dans une direction aléatoire uniforme d’angle θ. I Cherchons la distribution de l’abscisse X du point d’impact du rayon lumineux sur un écran plan infini situé à distance 1 de G I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 56. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale La loi exponentielle est utile pour décrire la durée de réalisation d’une tâche ou pour modéliser des temps d’attente. Par exemples: la prochaine panne d’un appareil la distance entre les défauts majeurs d’une autoroute, la prochaine désintégration dans un réacteur nucléaire. dans les files d’attente, la distribution exponentielle est souvent utilisée pour le temps de service Liée à la loi de Poisson qui fournit une bonne description du nombre d’occurrences par intervalle Loi exponentielle fournit une bonne description de la longueur de l’intervalle entre les occurrences I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 57. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Notation: ξ(λ) pour λ 0 Ensemble des valeurs: E = R+ Fonction de densité: fX (x) = λe−λx 1R+ (x) Fonction de répartition: FX (x) = 0, si x ≤ 0; 1 − e−λx , si x ≥ 0 Espérance et variance: E(X) =?, V (X) =?, σ(X) =?. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 58. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Densité de probabilité I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 59. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Fonction de répartition I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 60. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Notation: ξ(λ) pour λ 0 Ensemble des valeurs: E = R+ Fonction de densité: fX (x) = λe−λx 1R+ (x) Fonction de répartition: FX (x) = 0, si x ≤ 0; 1 − e−λx , si x ≥ 0 Espérance et variance: E(X) = 1 λ , V (X) = 1 λ2 , σ(X) = 1 λ. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 61. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale exemple Le temps d’attente exprimé en minutes au guichet d’une banque est une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle de paramètre λ. On sait que la probabilité qu’un client attende moins de 8 minutes est égale à 0,7. I Quelle est la valeur de paramètre λ? I Calculer la probabilité qu’un client attende entre 15 et 20 minutes ? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 62. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale exemple La durée de fonctionnement d’un transistor suit une loi exponentielle de paramètre λ et est en moyenne de 8 ans. Un tel transistor, utilisé à une fin particulière, fonctionne déjà depuis 2 ans. I Quelle est la probabilité que la durée de vie de ce transistor dépasse 5 ans sachant qu’il fonctionne déjà depuis 2 ans ? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 63. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Absence de mémoire Theorem Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (X ∼ ξ(λ), alors pour tous s, t 0 P(X s + t|X t) = P(X s) I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 64. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Absence de mémoire Theorem Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (X ∼ ξ(λ), alors pour tous s, t 0 P(X s + t|X t) = P(X s) Explication Si on considère que X est la durée de vie ou de fonctionnement d’un objet, on dit que X suit une loi de durée de vie sans vieillissement (ou est sans vieillissement) lorsque la probabilité que l’objet fonctionne encore s années de plus sachant qu’il a déjà fonctionné pendant t années, pX≥t(X ≥ s + t), est la même pour tout t ≥ 0 C’est aussi la même probabilité p(X ≥ s) qu’il fonctionne s années après sa mise en service. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 65. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Domaine d’utilisation: La loi gaussienne est la loi la plus utilisée en théorie des probabilités et en statistique. Cela est dû au caractéristiques suivantes: 1. Elle permet des développements mathématiques efficaces. 2. Toute l’information est donnée directement par les paramètres µ et σ, qui caractérisent respectivement la valeur moyenne et la dispersion autour de cette valeur moyenne. 3. C’est la loi qu’on obtient naturellement en additionnant un grand nombre de v. a. indépendantes. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 66. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Domaine d’utilisation: 4. La plupart des lois de probabilité intervenant dans les tests statistiques comme la loi χ2 et la loi de student se déduisent de la loi gaussienne par des transformations simples. χ2 = n X i=1 X2 i avec Xi ∼ N(0, 1) et sont indépendantes 5. Elle présente un grand nombre de phénomènes aléatoires comme les erreurs liées aux mesures, la fluctuation des prix, la distribution des tailles de personnes choisies au hasard dans une population donnée, les variations de la longueur des pièces fabriquées en série, etc... I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 67. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Loi normale Definition On dit qu’une variable aléatoire continue X suit une loi normale de paramètres µ et σ2 si sa fonction de densité est : fX (x) = 1 σ √ 2π e − 1 2 x − µ σ 2 pour tout x On dénote ceci X ∼ N(µ, σ2). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 68. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Proprétés de la loi normale limn→±∞ fX (x) = 0. fX (µ + x) = fX (µ − x) (Symétrie par rapport à x = µ). P(X µ − x) = P(X µ + x). FX (µ − x) = 1 − FX (µ + x). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 69. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Allure de la densité en fonction deµ et σ I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 70. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Loi normale centrée réduite Lorsque µ = 0 et σ2 = 1, la loi normale N(0, 1) est appelée centrée réduite et on la dénote par Z. Definition La loi normale centrée réduite est la loi continue, d’une v.a. Z à valeurs dans Z(S) = R tout entier, définie à partir de la densité : fZ (z) = 1 √ 2π e − 1 2 z2 pour tout z ∈ R I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 71. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Loi normale centrée réduite La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est Φ(z) = 1 √ 2 π Z z −∞ e−1 2 t2 dt I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 72. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Loi normale centrée réduite La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est Φ(z) = 1 √ 2 π Z z −∞ e−1 2 t2 dt Puisque cette intégrale est difficile à évaluer, on a recours à une table de loi normale pour calculer Φ(z). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 73. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Loi normale centrée réduite La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est Φ(z) = 1 √ 2 π Z z −∞ e−1 2 t2 dt Puisque cette intégrale est difficile à évaluer, on a recours à une table de loi normale pour calculer Φ(z). Si X ∼ N(µ, σ2) alors Z = X − µ σ ∼ N(0, 1) On peut donc ramener toute loi normale à une loi centrée réduite. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 74. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 75. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 76. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Table de la loi normale centrée réduite I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 77. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Table de la loi normale centrée réduite Par exemple : P(X ≤ 0.64) = 0.7389 I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 78. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Concentration autour de la moyenne Dans [µ − σ; µ + σ] de longueur 2σ et centré autour de la moyenne, Il y a 68% des individus, lorsque qu’une v.a. suit une loi N(µ; σ) : P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0.68 I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 79. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Concentration autour de la moyenne Dans [µ − σ; µ + σ] de longueur 2σ et centré autour de la moyenne, Il y a 68% des individus, lorsque qu’une v.a. suit une loi N(µ; σ) : P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0.68 On établit aussi que 95% d’un échantillon représentatif d’une loi normale N(µ, σ) est approximativement situé entre µ − 2σ et µ + 2σ. On a P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = 0.9544 Plus exactement, P(µ − 1.96σ ≤ X ≤ µ + 1.96σ) = 0.95 I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 80. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Concentration autour de la moyenne Dans [µ − σ; µ + σ] de longueur 2σ et centré autour de la moyenne, Il y a 68% des individus, lorsque qu’une v.a. suit une loi N(µ; σ) : P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0.68 On établit aussi que 95% d’un échantillon représentatif d’une loi normale N(µ, σ) est approximativement situé entre µ − 2σ et µ + 2σ. On a P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = 0.9544 Plus exactement, P(µ − 1.96σ ≤ X ≤ µ + 1.96σ) = 0.95 et on a mème 99.7% des individus entre µ − 3σ et µ + 3σ : P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) = 0.997 I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 81. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Concentration autour de la moyenne I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 82. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Concentration autour de la moyenne Autrement dit, lorsqu’on a une variable aléatoire qui suit une loi normale N(µ, σ), on est ”pratiquement sûr” que la valeur se situera entre µ − 3σ et µ + 3σ. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 83. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale exemple Soit Z et X deux variables aléatoires tel que Z ∼ N(0, 1) et X ∼ N(1, 4), Calculer 1 P(Z ≤ 1.46); 2 P(Z ≤ −1); 3 P(Z ≥ −1); 4 P(−1 ≤ X ≤ 1). 5 Si P(Z ≤ b) = 0.8708, déterminer b. 6 Si P(Z ≤ b) = 0.2877, déterminer b. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 84. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Table de la loi normale centrée réduite I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 85. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Loi du Khi-deux Definition Soient X1, X2, ...., Xn des v.a. indépendantes de même loi N(0, 1). Posons: Z = X i=1...n X2 i Par définition la v.a suit une loi du khi-deux à n degré(s) de liberté (d.d.l.). On la note χ2(n). Z 0, cette loi n’est pas donc symétrique, Z admet une densité, E(Z) = n et Var(Z) = 2n I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 86. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Allure de la densité d’un χ2 I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 87. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Table de la loi Khi-deux I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 88. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Table de la loi Khi-deux Exemple 1: Y ∼ χ2(15). On calcule P(8.55 ≤ Y ≤ 25.00)=? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 89. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Table de la loi Khi-Deux Exemple 1: Y ∼ χ2(15). On calcule P(8.55 ≤ Y ≤ 25.00)=0.85. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 90. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Table de la loi Khi-Deux Exemple 1: Y ∼ χ2(15). On calcule P(8.55 ≤ Y ≤ 25.00)=0.85. Exemple 2: Y ∼ χ2(10). On calcule b tq: P(Y ≤ b)=0.1. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 91. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Table de la loi Khi-Deux Exemple 2: Y ∼ χ2(10). Donc: b=4.87. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 92. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Loi de Student Definition Soient X ∼ N(0, 1) et Y ∼ χ2(n). Posons T = X √ Y /n . Alors T suit une loi de Student à n degré de liberté et on la note ι(n) ou Student(k). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 93. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Allure de la densité de Student I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 94. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Table de la loi Student I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 95. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Table de la loi Student Exemple 1: Y ∼ ι(9). On calcule P(1.10 ≤ Y ≤ 3.25)=?? I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 96. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Table de la loi Student Exemple 1 Y ∼ ι(9). On calcule P(1.10 ≤ Y ≤ 3.25)= 0.145. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 97. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Table de la loi Student Exemple 1 Y ∼ ι(9). On calcule P(1.10 ≤ Y ≤ 3.25)= 0.145. Exemple 2: Y ∼ ι(7). On calcule b tq: P(Y ≥ b)= 0.2. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 98. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Table de la loi Student Exemple 2: Y ∼ ι(7). Donc: b=0.896. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 99. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Loi de Fisher-Snedecor Definition Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes telles que X ∼ χ2(n) et Y ∼ χ2(m). Alors, on dit que la variable Z = X n Y m suit une loi de Fisher − Snedecor(n, m). On la note F(n, m). I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 100. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Allure de la densité de Fisher I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR
  • 101. Variables Aléatoires continues V.A.C Conditionnelle et Indépendance Lois usuelles continues Loi uniforme Loi Exponentielle Loi Normale Lois déduites de la loi normale Ces trois dernières lois seront utiles dans la théorie des tests. L’expression explicite des densités de ces lois n’est pas à connaı̂tre (sauf pour la loi normale). Des tables statistiques et des logiciels permettent de les manipuler. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR