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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Probabilités pour l’ingénieur
Chapitre 2 : Vecteurs aléatoires sur un espace fini ou
dénombrable
I. MEDARHRI
ENSMR, École Nationale Supérieure des Mines de Rabat
2019-2020.
I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Exercice:
On considère un système constitué de trois composants (A, B, C).
Le système fonctionne s’il y a au moins un chemin entre les points
1 et 2, constitué de composants qui fonctionnent.
Calculer la fiabilité de ce système dans chacun des cas suivants:
Cas 1: Les trois composants opèrent indépendamment les uns des
autres et la fiabilité des composants : P(A) = 0.90; P(B) =
0.85; P(C) = 0.95.
Cas 2: Le composant A opère indépendamment de B et de C, mais B
et C ne sont pas indépendants. Les fiabilité des composants
sont identiques du cas 1, en plus P(B|C) = 0.70.
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Plan
1 Introduction
2 Variables aléatoires discrètes
Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
3 Lois usuelles discrètes
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
4 Couple de variables aléatoires, cas discret
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Introduction
Les variables aléatoires constituent un espace fondamental
d’éléments aléatoires, un tel élément étant défini par référence
à une expérience aléatoire.
Dans cette partie, nous allons développer une étude plus
systématique des variables aléatoires et de leur loi. La
nouveauté va être de comprendre que ce n’est pas la variable
aléatoire en tant que fonction précise de l’aléa qui nous
intéresse, mais sa loi, c’est-à-dire la description de son
”comportement probable”
I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Exemple introductif : Cas discret
Une personne s’intéresse à la somme des valeurs obtenues dans le
lancer simultané de deux dés équilibrés. On modélisera l’ensemble
des issues possibles de cette expérience aléatoire par :
Ω := {(i, j) ∈ N/1 6 i, j 6 6}.
Les événements peuvent être modélisés par des parties de Ω.
Par exemple tribu P(Ω) de toutes les parties de Ω.
Les dés étant équilibrés, on a pour tout (i, j) ∈ Ω,
P({(i, j)}) = 1
36
I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Exemple introductif : Cas discret
Une personne s’intéresse à la somme des valeurs obtenues dans le
lancer simultané de deux dés équilibrés. On modélisera l’ensemble
des issues possibles de cette expérience aléatoire par :
Ω := {(i, j) ∈ N/1 6 i, j 6 6}.
Les événements peuvent être modélisés par des parties de Ω.
Par exemple tribu P(Ω) de toutes les parties de Ω.
Les dés étant équilibrés, on a pour tout (i, j) ∈ Ω,
P({(i, j)}) = 1
36
Le triplet (Ω, P(Ω), P), représente le modèle mathématique
permettant de traiter la situation. Où, on s’intéresse à la
somme des valeurs obtenues, l’événement ”La somme des
valeurs obtenues appartient à A”, avec A est un borélien de R.
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Exemple introductif : Cas discret
Cet événement se modélise par la partie eA de Ω formée des
couples (i,j) tels que i + j ∈ A.
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Exemple introductif : Cas discret
Cet événement se modélise par la partie eA de Ω formée des
couples (i,j) tels que i + j ∈ A.
Langage des applications : notons X l’application de Ω dans
R. qui, à tout w = (i, j), associe X(w) = i + j. càd :
eA = {w ∈ Ω/X(Ω) ∈ A} = {X ∈ A}.
Autrement, eA est l’image réciproque de A par l’application X.
Ce qui est important pour notre étude c’est de connaı̂tre la valeur
de P(eA) = P(X ∈ A)
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Exemple introductif : Cas Continue
Envisageons maintenant le cas d’un ingénieur hydraulicien qui
s’intéresse aux risques d’inondation par un fleuve dans l’intention
de construire une digue protectrice. Pour cela il va considérer
l’évolution de la hauteur du niveau de l’eau sur l’année.
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Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Exemple introductif : Cas Continue
Envisageons maintenant le cas d’un ingénieur hydraulicien qui
s’intéresse aux risques d’inondation par un fleuve dans l’intention
de construire une digue protectrice. Pour cela il va considérer
l’évolution de la hauteur du niveau de l’eau sur l’année.
Revient à considérer la hauteur sur une année comme une
application continue de [0, 1] dansR+
L’ensemble des issues possibles de cette expérience aléatoire
peut être modélisé par Ω := C([0, 1] , R+).
Contrairement à l’exemple précédent, il n’est pas possible de
prendre P(Ω) comme tribu de Ω, mais on considère une tribu
F plus petite.
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Exemple introductif : Cas Continue
En fait l’ingénieur s’intéressera surtout aux événements de la
forme ”La hauteur maximale du niveau du fleuve sur une
année appartient à A” où A est un intervalle de R
Cet événement se modélise par la partie eA de Ω formée des
fonctions w ∈ C([0, 1] , R+) telles que sup06t61w(t) ∈ A.
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Exemple introductif : Cas Continue
En fait l’ingénieur s’intéressera surtout aux événements de la
forme ”La hauteur maximale du niveau du fleuve sur une
année appartient à A” où A est un intervalle de R
Cet événement se modélise par la partie eA de Ω formée des
fonctions w ∈ C([0, 1] , R+) telles que sup06t61w(t) ∈ A.
Langage des applications: notant X : Ω −→ R, qui à tout w
associe X(w) = sup06t61 w(t) et
eA = {w ∈ Ω/X(Ω) ∈ A} = {X ∈ A}.
Autrement, eA est l’image réciproque de A par l’application X.
Dans les deux exemples en s’intéresse à la valeur de P(X ∈ A)
c-à-d l’application P : A ∈ F −→ P(X ∈ A),
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Principe de modélisation
En conclusion de ces deux exemples on notera que modéliser
mathématiquement une expérience aléatoire revient à introduire:
un triplet (Ω, F, P), sans en préciser davantage les termes
comme un espace de probabilité abstrait.
une application X : Ω −→ Rd , telle que pour tout borélien A
de Rd , l’image réciproque de A par l’application X soit un
élément de F.
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Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Principe de modélisation
En conclusion de ces deux exemples on notera que modéliser
mathématiquement une expérience aléatoire revient à introduire:
un triplet (Ω, F, P), sans en préciser davantage les termes
comme un espace de probabilité abstrait.
une application X : Ω −→ Rd , telle que pour tout borélien A
de Rd , l’image réciproque de A par l’application X soit un
élément de F.
Alors l’application PX : A ∈ F −→ P(X ∈ A), qui sera l’objet
important du modèle, celui qui traduira mathématiquement le
problème qui intéresse l’ingénieur au sein de la situation aléatoire.
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Vecteur aléatoire
Definition
Si (E, A) := (Ω, F) et (F, B) = (Rd , B(Rd )), une application
(F, B(Rd ))-mesurable, c-à-d: pour tout B ∈ B, (X ∈ B) ∈ F,
s”appelle un vecteur aléatoire vectorielle, de dimension d.
Un vecteur aléatoire de dimension d = 1 s’appelle aussi une
variable aléatoire réelle. (v.a.r.)
Proposition
X = (X1, X2, ..., Xd ) un vecteur aléatoire de dimension k, si et
seulement si, pour tout i = 1, 2, ..., d; Xi est une variable aléatoire
réelle.
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Loi d’une variable aléatoire
Proposition
Soit X un vecteur aléatoire de dimension d. L’application :
PX : B ∈ B(Rd
) −→ PX (B) := P({X ∈ B}) ∈ [0, 1]
est une probabilité sur Rd
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Loi d’une variable aléatoire
Proposition
Soit X un vecteur aléatoire de dimension d. L’application :
PX : B ∈ B(Rd
) −→ PX (B) := P({X ∈ B}) ∈ [0, 1]
est une probabilité sur Rd
Definition
La probabilité PX est appelée la loi de probabilité relativement à P
du vecteur aléatoire X ou plus simplement la loi de X.
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Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Dans cette partie, on se limite au cas où d=1.
À partir d’une seule expérience aléatoire, on peut mesurer plusieurs
variables aléatoires. On distingue deux types de variables
aléatoires:
Variable aléatoire discrète;
Variable aléatoire continue.
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Variables Aléatoires Discrètes
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Variable aléatoire discrète (V.A.D.)
Lorsque l’ensemble des résultats est un ensemble fini ou infini
dénombrable.
La variable aléatoire discrète peut prendre soit un nombre fini
de valeurs, soit un nombre infini dénombrable de valeurs telles
0, 1, 2, 3...
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
V.A.D. : Exemples
Expérience aléatoire
Variable aléatoire
(X)
Valeurs x que peut
prendre la variable
aléatoire X
Contacter cinq clients
Nombre de clients
qui passent une
commande
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
V.A.D. : Exemples
Expérience aléatoire
Variable aléatoire
(X)
Valeurs x que peut
prendre la variable
aléatoire X
Contacter cinq clients
Nombre de clients
qui passent une
commande
0,1,2,3,4,5
Contrôler une
cargaison de 50
radios
Nombre de radios
défectueuses
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
V.A.D. : Exemples
Expérience aléatoire
Variable aléatoire
(X)
Valeurs x que peut
prendre la variable
aléatoire X
Contacter cinq clients
Nombre de clients
qui passent une
commande
0,1,2,3,4,5
Contrôler une
cargaison de 50
radios
Nombre de radios
défectueuses
0,1,2,...,49,50
Gérer un restaurant
pendant une journée
Nombre de clients
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Fonction masse et de répartition
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V.A.D. : Exemples
Expérience aléatoire
Variable aléatoire
(X)
Valeurs x que peut
prendre la variable
aléatoire X
Contacter cinq clients
Nombre de clients
qui passent une
commande
0,1,2,3,4,5
Contrôler une
cargaison de 50
radios
Nombre de radios
défectueuses
0,1,2,...,49,50
Gérer un restaurant
pendant une journée
Nombre de clients 0,1,2,3,...
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Fonction de masse
On a vu jusqu’à présent qu’à
partir d’une expérience aléatoire
on peut s’intéresser à une
variable aléatoire bien précise X
qui peut prendre les valeurs
suivantes {x1, x2, ..., xk, ....}. La
question qui se pose maintenant
est de savoir qu’elle est la
probabilité associée à chaque
valeur ?. C’est ce qu’on appelle
la loi ou la distribution d’une
variable aléatoire.
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Fonction de masse
Definition
Soit X une V.A.D. c.à.d. X : Ω −→ X(Ω) ⊂ R. Supposons que
X(Ω) = {x1, x2, ..., xk, ....}.
La fonction de masse de X est définie par la suite des probabilités
pk avec
pk = pX (xk) = P (X = xk) = P{s ∈ Ω : X(s) = xk}
La loi d’une V.A.D. peut être définie par le tableau suivant :
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Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Fonction de masse
Definition
Soit X une V.A.D. c.à.d. X : Ω −→ X(Ω) ⊂ R. Supposons que
X(Ω) = {x1, x2, ..., xk, ....}.
La fonction de masse de X est définie par la suite des probabilités
pk avec
pk = pX (xk) = P (X = xk) = P{s ∈ Ω : X(s) = xk}
La loi d’une V.A.D. peut être définie par le tableau suivant :
X(Ω) x1 x2 . xk
pk = P (X = xk) p1 p2 . pk
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Exemple 1
Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer une pièce de
monnaie parfaitement équilibrée, on considère la v.a. X = ”Le
nombre de pile”
X(Ω) =

1 si s = P
0 si s = F
La loi de la V.A.D. est définie par
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Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Exemple 1
Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer une pièce de
monnaie parfaitement équilibrée, on considère la v.a. X = ”Le
nombre de pile”
X(Ω) =

1 si s = P
0 si s = F
La loi de la V.A.D. est définie par
X(Ω) 1 0
P (X = xk) 1
2
1
2
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Exemple 2
On considère la constitution d’une fratrie de deux enfants.
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
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Fonction génératrice
Exemple 2
On considère la constitution d’une fratrie de deux enfants.
L’espace échantionnal est constitué des évènements élémentaires
suivant : Ω = {GG, GF, FG, FF}
Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire X, ”nombre de
filles dans la famille” sont :
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Exemple 2
On considère la constitution d’une fratrie de deux enfants.
L’espace échantionnal est constitué des évènements élémentaires
suivant : Ω = {GG, GF, FG, FF}
Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire X, ”nombre de
filles dans la famille” sont : X(Ω) = {0, 1, 2}
La loi de la V.A.D. est définie par
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Exemple 2
On considère la constitution d’une fratrie de deux enfants.
L’espace échantionnal est constitué des évènements élémentaires
suivant : Ω = {GG, GF, FG, FF}
Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire X, ”nombre de
filles dans la famille” sont : X(Ω) = {0, 1, 2}
La loi de la V.A.D. est définie par
X(Ω) 0 1 2
P (X = xk) 1
4
2
4
1
4
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Représentation graphique
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Propriétés d’une fonction de masse
Soit X une V.A.D. définie sur l’espace probabilisé (Ω, P) telle que:
X(Ω) = {x1, x2, ..., xk, ....} alors :
∀k p (xk) ≥ 0
P∞
k=1 p (xk) = 1
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Fonction de répartition
Definition
Soit X une variable aléatoire discrète. La fonction de répartition
FX de X est définie par
FX (x) = P(X ≤ x) pour tout x ∈ R
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Représentation graphique
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Propriétés de la fonction de répartition
La fonction F est croissante sur R.
∀x ∈ R, P(X  x) = 1 − F(x).
∀a, b ∈ R, a  b P(a  X ≤ b) = F(b) − F(a).
Si X(Ω) = {x1, x2, ..., xk} avec x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xk, on a :
∀x  x1 F(x) = 0 et ∀x  xk F(x) = 1
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Paramètres d’une V.A.D
Paramètre de tendance centrale
Espérance mathématique
Paramètres de dispersion
Variance
Écart type
Paramètre de forme
Coefficient d’asymétrie (SKWENESS)
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Répétons n fois une expérience aléatoire, et notons
x1, x2, ...., xn les valeurs successives prises par X.
Pour avoir une idée du comportement de la variable X, il est
naturel de considérer leur moyenne arithmétique
Mn = 1
n (x1 + x2 + .... + xn).
En regroupant suivant les différents résultats w de
l’expérience, nous obtenons :
Mn =
X
w∈Ω
fn({w})X(w),
où fn({w}) est la fréquence de la réalisation du {w} au cours
de n expériences.
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Intuitivement, quand n tend vers l’infini, fn({w}) −→ pw .
Donc la suite (Mn) tend vers Mn =
P
w∈Ω pw X(w),
L’espérance mathématique, ou moyenne, est la limite des
moyennes arithmétiques lorsque le nombre d’expériences tend vers
l’infini. Nous justifierons cette assertion plus loin, dans l’un des
théorèmes les plus importants de la théorie des probabilités, appelé
la loi des grands nombres.
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Fonction masse et de répartition
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Fonction génératrice
Espérance mathématique d’une V.A.D
Definition
L’Espérance mathématique E[X] d’une variable aléatoire X joue
le rôle dévolu à la moyenne en statistiques : elle correspond à la
valeur moyenne espérée par un observateur.
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Espérance mathématique d’une V.A.D
Definition
L’Espérance mathématique E[X] d’une variable aléatoire X joue
le rôle dévolu à la moyenne en statistiques : elle correspond à la
valeur moyenne espérée par un observateur. Soit X une variable
aléatoire réelle sur l’espace fini ou dénombrable (Ω).
E (X) =
X
w∈Ω
pw X(w),
pourvu que la somme
P
w∈Ω pw |X(w)| soit finie.
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Fonction masse et de répartition
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Fonction génératrice
Espérance mathématique d’une V.A.D
Definition
L’Espérance mathématique E[X] d’une variable aléatoire X joue
le rôle dévolu à la moyenne en statistiques : elle correspond à la
valeur moyenne espérée par un observateur. Soit X une variable
aléatoire réelle sur l’espace fini ou dénombrable (Ω).
E (X) =
X
w∈Ω
pw X(w),
pourvu que la somme
P
w∈Ω pw |X(w)| soit finie.
Remarque: L’espérance mathématique E(X) est un nombre réel
qui permet de caractériser la tendance centrale ou donner une
valeur moyenne résumant la variable aléatoire X. Si E(X) = 0 on
dit que la variable X est centrée.
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Espérance mathématique d’une V.A.D
Théorème
Considérons une variable aléatoire X satisfaisant
P
w∈Ω pw |X(w)| = E(|X|)  +∞. On a alors la formule
suivante :
E(X) =
X
w∈Ω
pw X(w) =
X
xi ∈F
xi P(X = xi )
La preuve de cette proposition consiste juste à observer que la
sommation par paquets est justifiée.
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Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Exemple
Une boı̂te contient 5 DVDs parmi lesquels 2 sont défectueux. Un
échantillon de 2 disques est prélevé (sans remise) de la boı̂te.
Soit X : ”le nombre de DVDs défectueux dans l’échantillon”.
Calculer l’espérance de la v.a. discrète X.
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Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Théorème de transfert
Theorem
La variable aléatoire Y = g(X) admet une espérance si et
seulement si la série de terme général g(xi ).P(X = xi ) est
absolument convergente; on a alors
E(Y ) =
X
g(xi ).P(X = xi )
En général, (Inégalité de Jensen) E(g(X)) 6= g(E(X))
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Propriétés de l’espérance mathématique
Definition
Nous appelons variable aléatoire intégrable une variable aléatoire X
qui admet une espérance. L’ensemble de toutes les variables
aléatoires intégrables est noté L1. cette ensemble dépend de Ω et
de P.
Les propriétés suivantes sont immédiates :
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Propriétés de l’espérance mathématique
Soient α et β deux constantes, et X, Y deux v.a. dans L1 alors on
a :
E(αX + β) = αE(X) + β.
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
|E(X)| 6 E(|X|).
L’espérance est positive : si X  0 alors E(X)  0.
si X 6 Y alors E(X) 6 E(Y ).
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Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Propriétés de l’espérance mathématique
Soient α et β deux constantes, et X, Y deux v.a. dans L1 alors on
a :
E(αX + β) = αE(X) + β.
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
|E(X)| 6 E(|X|).
L’espérance est positive : si X  0 alors E(X)  0.
si X 6 Y alors E(X) 6 E(Y ).
Remarque L’espérance E[X] n’est qu’un indicateur moyen et
ne peut caractériser la loi une variable aléatoire à lui tout
seul.
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Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Variance d’une V.A.D
Pour mesurer l’écart entre les valeurs observées de la v.a. X et
E(X) on introduit les paramètres suivants :
Definition
Soit X une V.A.D. définie sur (Ω, P) telle que
X(Ω) = {x1, x2, ..., xk}, on suppose que E(X) existe dans R. On
appelle variance de la variable aléatoire X le nombre réel, noté
var(X), défini par :
Var (X) = E

(X − E(X))2

=
X
(xi − E(X))2
.P(X = xi ).
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Variance d’une V.A.D
Pour mesurer l’écart entre les valeurs observées de la v.a. X et
E(X) on introduit les paramètres suivants :
Definition
Soit X une V.A.D. définie sur (Ω, P) telle que
X(Ω) = {x1, x2, ..., xk}, on suppose que E(X) existe dans R. On
appelle variance de la variable aléatoire X le nombre réel, noté
var(X), défini par :
Var (X) = E

(X − E(X))2

=
X
(xi − E(X))2
.P(X = xi ).
Si E(X) = 0 et var(X) = 1, on dit que la v.a. X est centrée
réduite.
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Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Écart type d’une V.A.D
L’écart type (déviation standard) de la variable aléatoire X, noté
σ(X) ou simplement σ, est définie par σ =
p
Var(X).
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Exemple
Montrer que dans l’exemple 1, σ2 = 0.25, et que dans l’exemple 3,
σ2 = 0.36.
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Propriétés de la variance
var(X) = E X2

− (E(X))2
var(X) ≥ 0.
var(αX + β) = α2var(X).
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Coefficient d’asymétrie (SKWENESS) :
moment d’ordre 3
Definition
Soit X une v.a et k un entier (k ≥ 0)
Le moment d’ordre k par rapport à la moyenne est défini par :
X
i
(xi − E(X))k
.P(X = xi )
Si la v.a X est centrée, alors on a
E(Xk
) =
X
i
xk
i .P(X = xi )
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Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Coefficient d’asymétrie (SKWENESS) :
moment d’ordre 3
Definition
Étant donnée une variable aléatoire réelle X d’espérance µ et
d’écart type σ, on définit son coefficient d’asymétrie comme le
moment d’ordre trois de la variable centrée réduite :
γ = E

X − µ
σ
3
#
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Interprétation du coefficient d’asymétrie
si γ = 0 , la distribution est
symétrique;
si γ  0, la distribution
présente une asymétrie à
gauche (distribution en
bleu);
si γ  0, la distribution
présente une asymétrie à
droite (distribution en
rouge).
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Fonction génératrice
Considérons une variable aléatoire X à valeurs dans N . Jusqu’à
présent, nous avons caractérisé la loi d’une telle variable par la
donnée de (n; pn), où n ∈ N et pn = P(X = n).
Definition
La fonction génératrice de X est la fonction définie pour s ∈ [0; 1]
par:
GX (s) = E(sX
) =
X
n∈N
pn.sn
,
où pn = P(X = n)
C’est la somme d’une série entière, dont le rayon de convergence
est au moins 1, car
P
n pn = 1
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Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Fonction génératrice
Proposition
1 GX continue sur [0, 1]. Elle caractérise la loi de X.
2 X ∈ L1 = GX dérivable (à gauche ) en s=1; et
E(X) = G
0
X (1)
3 X(X − 1) · · · (X − p) ∈ L1 = GX est p+1 fois dérivable en
1, et on a:
E(X(X − 1) · · · (X − p)) = G
(p+1)
X (1).
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Définition et exemples
Fonction masse et de répartition
Espérance des variables aléatoires discrètes
Fonction génératrice
Fonction génératrice
En particulier, X ∈ L2 si et seulement si GX est deux fois
dérivable en 1 et :
E(X(X − 1)) = G”
X (1).
Nous en déduisons que
Var(X) = G”
X (1) + G
0
X (1) − (G
0
X (1))2
Pour calculer les moments d’une variable aléatoire à valeurs
entières, il est souvent beaucoup plus rapide d’utiliser les dérivées
de la fonction génératrice plutôt qu’un calcul direct.
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Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Lois usuelles discrètes
Par définition, les variables aléatoires discrètes prennent des valeurs
entières discontinues sur un intervalle donné. Ce sont généralement
le résultat de dénombrement.
Loi uniforme;
Loi de Bernoulli;
Loi Binomiale.
Loi géométrique.
Loi de poisson.
Loi Hypergéométrique.
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Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi uniforme
Definition
Une distribution de probabilité suit une loi uniforme lorsque toutes
les valeurs prises par la variable aléatoire sont équiprobables. Si n
est le nombre de valeurs différentes prises par la variable aléatoire,
∀i P(X = xi ) =
1
n
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Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Exemple
La distribution des chiffres obtenus au lancer de dé (si ce dernier
est non pipé) suit une loi uniforme dont la loi de probabilité est la
suivante :
X 1 2 3 4 5 6
P(X = xi ) 1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
I Calculer l’espérence mathématique
I Calculer la variance
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Couple de variables aléatoires, cas discret
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Proprétés de la loi uniforme
E(X) =
n + 1
2
.
Var(X) =
n2 − 1
12
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Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Épreuve de Bernoulli
Definition
Une épreuve de Bernoulli est une
expérience aléatoire dont le résultat
peut être soit un succès, soit un échec,
mais pas les deux simultanément.
Exemple
On choisit au hasard une pièce produite
en série et on la teste pour détecter les
défectuosités. La pièce peut être
défectueuse (succès) ou conforme
(échec).
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Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi de Bernoulli
Contexte
Lors d’une épreuve de Bernoulli, soit p la probabilité d’un succès et
q = 1-p la probabilité d’un échec.
Soit v.a X le nombre de succès, alors X(Ω) = {0, 1}.
Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors on note X v
Bernoulli(p)
fonction de masse
La fonction de masse d’une variable X v Bernoulli(p) s’écrit :
pX (x) =

1 − p si x = 0
p si x = 1
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Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
exemple
On lance un dé équilibré à 6 faces :
I On gagne si on fait 1 ou 6;
I On perd sinon.
Soit X la variable aléatoire associée à cette expérience aléatoire.
La probabilité de faire un coup gagnant (succès) est : p= ?
La probabilité de faire un coup perdant (échec) est: 1-p = ?
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Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
exemple
On lance un dé équilibré à 6 faces :
I On gagne si on fait 1 ou 6;
I On perd sinon.
Soit X la variable aléatoire associée à cette expérience aléatoire.
La probabilité de faire un coup gagnant (succès) est : p= ?
La probabilité de faire un coup perdant (échec) est: 1-p = ?
On a défini une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre 1
3,
X ∼ Bernoulli(1
3).
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Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
exemple
On lance un dé équilibré à 6 faces :
I On gagne si on fait 1 ou 6;
I On perd sinon.
Soit X la variable aléatoire associée à cette expérience aléatoire.
La probabilité de faire un coup gagnant (succès) est : p= ?
La probabilité de faire un coup perdant (échec) est: 1-p = ?
On a défini une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre 1
3,
X ∼ Bernoulli(1
3).
La loi de Bernoulli ?
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Couple de variables aléatoires, cas discret
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
exemple
On lance un dé équilibré à 6 faces :
I On gagne si on fait 1 ou 6;
I On perd sinon.
Soit X la variable aléatoire associée à cette expérience aléatoire.
La probabilité de faire un coup gagnant (succès) est : p= ?
La probabilité de faire un coup perdant (échec) est: 1-p = ?
On a défini une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre 1
3,
X ∼ Bernoulli(1
3).
La loi de Bernoulli ?
X 0 1
P(X = xi ) 2
3
1
3
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Couple de variables aléatoires, cas discret
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi de Bernoulli
Théorème
La fonction de répartition d’une variable X ∼ Bernoulli(p) est
FX (x) =



0 si x  0
1 − p si 0 ≤ x  1
1 si x ≥ 1
Déterminer la fonction génératrice associée et déduire l”espérance
Mathématique et variance .
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Couple de variables aléatoires, cas discret
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Propriétés de la loi de bernoulli
GX (s) = (1 − p + sp)
E(X) = p
Var(X) = p(1 − p)
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Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi Binomiale
Contexte
On effectue n répétitions indépendantes d’une épreuve de Bernoulli
dont la probabilité de succés est p.
Soit X le nombre de succès parmi les n résultats.
Alors X(Ω) = {0, 1, 2, ...., n}.
Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p alors on note
X v B(n, p).
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Couple de variables aléatoires, cas discret
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi Binomiale
fonction de masse
La fonction de masse d’une variable X v B(n, p), s’écrit :
P(X = x) =

n
x

px
(1 − p)n−x
pour x ∈ {0, 1, 2, ...., n}.
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Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
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Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi Binomiale
Théorème
La fonction de répartition d’une variable X ∼ B(n,p) est
F(x) = P(X ≤ x) =











1 si x ≥ n
bxc
X
x=0

n
x

px
(1 − p)n−x
si 0 ≤ x  n
0 si x  0
où bxc représente la partie entière de x.
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Loi Binomiale
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Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
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Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Propriétés de la loi binomiale
Déterminer la fonction génératrice associée et déduire l’espérance
Mathématique et variance .
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Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Propriétés de la loi binomiale
Déterminer la fonction génératrice associée et déduire l’espérance
Mathématique et variance .
GX (s) = (1 − p + sp)n
E(X) = np
Var(X) = np(1 − p)
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Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
exemple
Un lot contient 20 articles parmi lesquels 4 sont défectueux. On
pige avec remise 7 articles du lot. Calculer
I La probabilité d’observer exactement un article défectueux;
I La probabilité d’observer au moins 4 articles défectueux;
I La moyenne et la variance du nombre d’articles défectueux.
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Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi Binomiale : Proportion de succès
Soit X ∼ B(n, p) et b
p = X
n la proportion de succès parmi les n
épreuves.
Alors b
p est une variable aléatoire et
1 E(p̂) = p
2 Var(p̂) = p(1−p)
n
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Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
exemple
Un procédé de fabrication produit 4% d’articles non conformes. Un
échantillon de 16 unités de cet article est prélevé.
Quelle est la probabilité d’y observer au plus 10% d’articles non
conformes dans l’échantillon ?
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Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi géométrique
Contexte
On répète continuellement et de façon indépendante une épreuve
de Bernoulli dont la probabilité de succès est p.
Soit X le nombre d’épreuves nécessaires pour obtenir un premier
succès.
Alors X suit une loi géométrique de paramètre p, dénoté
X ∼ Geom(p).
On a X(Ω) = {1, 2, ....}.
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Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi Géométrique
fonction de masse
La fonction de masse d’une variable aléatoire X v Geom(p), s’écrit
PX (k) = (1 − p)k−1
p
pour k = 1, 2, 3, .....
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Loi Hypergeométrique
Loi Géométrique
fonction de répartition
La fonction de répartition d’une variable X v Geom(p) est
FX (k) =
(
1 − (1 − p)k si k ∈ N∗
0 sinon
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Loi Hypergeométrique
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Loi Hypergeométrique
Propriétés de la loi géométrique
Si X v Geom(p) Déterminer la fonction génératrice et Espérance
Mathématique ainsi que la variance
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Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Propriétés de la loi géométrique
Si X v Geom(p) Déterminer la fonction génératrice et Espérance
Mathématique ainsi que la variance
1 GX (s) = ps
1−(1−p)s
2 E(X) =
1
p
.
3 Var(X) =
1 − p
p2
.
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Loi Géométrique
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Loi Hypergeométrique
exemple
On lance un dé continuellement jusqu’à l’obtention d’un 6. Soit X
le nombre de lancers nécessaires.
I Quelle est la probabilité d’obtenir un premier 6 au deuxième
lancer ?
I Quelle est la probabilité qu’il faille plus de 10 lancers pour
obtenir un 6 ?
I Si aucun 6 n’a été obtenu lors des 8 premiers lancers, quelle
est la probabilité que plus de deux autres lancers soient
nécessaires ?
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La loi Géométrique
Théorème
Propriété d’absence de mémoire : si X v Geom(p) alors pour tous
t, s  0
P(X  s + t|X  t) = P(X  s)
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Loi Hypergeométrique
Loi de Poisson
La loi de Poisson a été introduite en
1838 par Siméon Denis Poisson,
dans son ouvrage Recherches sur la
probabilité des jugements en matière
criminelle et en matière civile. Le
sujet principal de cet ouvrage
consiste en certaines variables
aléatoires N qui dénombrent, entre
autres choses, le nombre
d’occurrences (parfois appelées
”arrivées”) qui prennent place
pendant un laps de temps donné.
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Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi de poisson
Contexte La loi de Poisson intervient en général lorsqu’on
s’intéresse au nombre de fois X qu’un certain événement se réalise
dans le temps, dans l’espace, dans un volume, une distance etc. ou
tout autre unité de mesure.
Champs d’applications
La loi qu’on obtient en comptant des événements aléatoires
indépendants :
I Arrivée des particules sur un capteur,
I Nombre de clients entrant dans un magasin,
I comptage de voiture sur une route,
I Etude des files d’attente dans les réseaux de communication...
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi de poisson
Definition
Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre
λ  0, dénoté X ∼ Pois(λ). Si
p(x) = P(X = x) =
λx
x!
e−λ
pour x = 0, 1, 2, ....
Le paramètre λ correspond à la moyenne de la loi de Poisson.
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi de poisson
fonction de répartition
Si X ∼ Pois(λ) alors
F(x) = P(X ≤ x) =
x
X
k=0
p(k) =
x
X
k=0
λk
k!
e−λ
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Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi de poisson
Les valeurs de F(x) sont données dans la Table de poisson en
fonction de x, et λ.
Table de la loi de poisson
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Variables aléatoires discrètes
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Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
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Loi uniforme
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Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
exemple
Une machine utilisée dans une chaı̂ne de production tombe en
panne en moyenne 2 fois par mois.
Soit X le nombre de pannes par mois.
En supposant que X suit une loi de Poisson, quelle est la
probabilité que dans un mois donné la machine
I Ne tombe pas en panne ?
I Tombe en panne au moins deux fois ?.
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Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
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Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Propriétés de la loi de poisson
Si X v Pois(λ) Déterminer Gx (s), E(X), etVar(X).
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Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Propriétés de la loi de poisson
Si X v Pois(λ) Déterminer Gx (s), E(X), etVar(X).
1 GX (s) = eλ(s−1)
2 E(X) = λ.
3 Var(X) = λ.
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Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
exemple
Une boı̂te contient 8 composants parmi lesquels 2 sont défectueux.
Trois composants sont pris au hasard et sans remise de la boı̂te.
Soit X le nombre de composants défectueux dans l’échantillon.
I Calculer la probabilité de ne pas avoir un composant
défectueux
I Donner la fonction de masse de X, ainsi que E(X) et V(X).
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Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi Hypgéométrique
Contexte
On tire sans remise n objets d’un ensemble de N objets dont D
possèdent une caractéristique particulière (et les autres N − D ne
la possèdent pas).
Soit X le nombre d’objets de l’échantillon qui possèdent la
caractéristique..
Alors X suit une loi Hypergéométrique de paramètre n, N, D,
dénoté X ∼ H(N, D, n).
On a X(Ω) = {max(0, n − N + D), ..., min(n, D)}.
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Loi uniforme
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Loi Binomiale
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Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Loi Hypergéométrique
fonction de masse
La fonction de masse d’une variable aléatoire X v H(N, D, n),
s’écrit
PX (k) =
Ck
DCn−k
N−D
Cn
N
pour k ∈ X(Ω).
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Couple de variables aléatoires, cas discret
Loi uniforme
Loi de Bernoulli
Loi Binomiale
Loi Géométrique
Loi de Poisson
Loi Hypergeométrique
Propriétés de la loi Hypergéométrique
Si X v H(N, D, n) alors
1 E(X) = n
D
N
.
2 Var(X) = n
D
N
(1 −
D
N
)
N − n
N − 1
.
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Couple de variables aléatoires, cas discret
On veut décrire l’évolution aléatoire conjointe de deux variables
aléatoires X et Y.
exemple
Soit Z = (X, Y ) décrit le nombre d’années d’études et le nombre
de frères et soeurs de l’aı̂né d’une famille:
X(Ω) = F; Y (Ω) = G et Z(Ω) = FxG est dénombrable.
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Couple de variables aléatoires, cas discret
On veut décrire l’évolution aléatoire conjointe de deux variables
aléatoires X et Y.
exemple
Soit Z = (X, Y ) décrit le nombre d’années d’études et le nombre
de frères et soeurs de l’aı̂né d’une famille:
X(Ω) = F; Y (Ω) = G et Z(Ω) = FxG est dénombrable.
Loi joint du couple (X,Y): C’est une probabilité PX,Y sur FxG
caractérisée par la probabilité des singletons.
pour tout (x, y) ∈ FxG,
P(X,Y )({(X, Y )}) = P(X = x; Y = y)
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Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Lois marginales
Ce sont les lois respectivement PX et PY des coordonnées X et Y.
Remarquons que
{X = x} = ∪y∈G {X = x; Y = y},
et les ensembles {X = x; Y = y} sont disjoints. Nous en
déduisons que :
PX (x) = P(X = x) =
X
y∈G
P(X = x; Y = y) =
X
y∈G
P(X,Y )(x, y),
et de même
PY (y) = P(Y = y) =
X
x∈F
P(X,Y )(x, y),
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Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Lois conditionnelles
Definition
Soit xi fixé tel que : PX (xi )  0.
La Loi conditionnelle de Y sachant X = xi est la
probabilité sur G définie pour tout yj par :
PY |X=xi
(yj ) = P(Y = yj |X = xi ) =
P(X,Y )(xi , yj )
PX (xi )
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Lois conditionnelles
Definition
Soit xi fixé tel que : PX (xi )  0.
La Loi conditionnelle de Y sachant X = xi est la
probabilité sur G définie pour tout yj par :
PY |X=xi
(yj ) = P(Y = yj |X = xi ) =
P(X,Y )(xi , yj )
PX (xi )
L’espérance conditionnelle de Y sachant X = xi est
définie par: E(Y |X = xi ) =
P
yj
yj PY |X=xi
(yj )
Si E(|h(X, Y )|)  ∞, nous avons :
E(h(X, Y )) =
X
xi ,yj
h(xi , yj )PY |X=xi
(yj )PX (xi ).
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Exemple
A partir du nombre de voitures passant devant une station
d’essence en un jour. On souhaite modéliser le nombre de voitures
qui d’arrêtent à la station. On suppose que chaque voiture décide
de s’arrêter à la station avec probabilité p indépendamment des
autres. Cherchons l’espérance mathématique E
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Variables aléatoires indépendantes
Remarque
On a vu précédemment, qu’on peut calculer les lois marginales PX
et PY de X et Y à partir de la loi PZ de Z.
La connaissance des lois marginales ne suffit pas, en général, à
retrouver la loi de Z = (X, Y ).
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Variables aléatoires indépendantes
Remarque
On a vu précédemment, qu’on peut calculer les lois marginales PX
et PY de X et Y à partir de la loi PZ de Z.
La connaissance des lois marginales ne suffit pas, en général, à
retrouver la loi de Z = (X, Y ).
Exercice
Considérons une variable aléatoire Z qui vaut (1,1) et (-1,-1) avec
une probabilité de p
2 , et (1,-1) et (-1,1) avec probabilité 1−p
2 où
p 6= 1
2.
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Variables aléatoires indépendantes
Les variables X et Y prennent les valeurs 1 et -1 avec probabilité 1
2,
et leur loi ne dépend donc pas du paramètre p ∈ (0, 1) choisi.
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Variables aléatoires indépendantes
Les variables X et Y prennent les valeurs 1 et -1 avec probabilité 1
2,
et leur loi ne dépend donc pas du paramètre p ∈ (0, 1) choisi.
Il est très intéressant d’étudier le cas où l’information que l’on
possède sur X ne change rien à la loi de Y , généralisant ainsi la
notion d’indépendance introduite pour les événements aléatoires.
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Variables aléatoires indépendantes
Definition
Les variables aléatoires sont dites indépendantes si,
∀i, j, PY |X=xi
(yj ) = PY (yj )
∀i, j, P(X = xi , Y = yj ) = PX (xi )PY (yj )
∀A ⊂ F; ∀B ⊂ G, P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B)
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Variables aléatoires indépendantes
Definition
Les variables aléatoires sont dites indépendantes si,
∀i, j, PY |X=xi
(yj ) = PY (yj )
∀i, j, P(X = xi , Y = yj ) = PX (xi )PY (yj )
∀A ⊂ F; ∀B ⊂ G, P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B)
Proposition
Si X et Y sont indépendantes, et si E(|f (X)|)  ∞ et
E(|g(Y )|)  ∞, alors
E(f (X)g(Y )) = E(f (X))E(g(Y ))
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Variables aléatoires indépendantes
Exemple
On admet que le nombre de clients dans un bureau de poste
pendant une journée suit une variable aléatoire de Poisson de
paramètre λ  0. Soit p la probabilité qu’une personne entrant
dans le bureau de poste soit une femme.
Soient les variables aléatoires, X le nombre de femmes et Y celui
des hommes parmi les clients quotidiens
I Déterminer la loi de X et Y
I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Somme de variables aléatoires indépendantes
Proposition
Soient X et Y des v.a. à valeurs entières, et Z = X + Y. Alors
P(Z = i) =
X
j∈N
P((X, Y ) = (j, i − j)).
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Somme de variables aléatoires indépendantes
Proposition
Soient X et Y des v.a. à valeurs entières, et Z = X + Y. Alors
P(Z = i) =
X
j∈N
P((X, Y ) = (j, i − j)).
En particulier, si X et Y son indépendantes:
P(Z = i) =
X
j∈N
P(X = j)P(Y = i − j).
Proposition
Si X et Y sont indépendantes, alors GX+Y (s) = GX (s)GY (s)
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Stabilité par indépendance du couple
aléatoire
1 La somme de n variables aléatoires de Bernoulli de paramètre
p indépendantes suit la loi d’une variable aléatoire binomiale
B(n, p):
G(s) = (1 − p + sp)n
2 X et Y des variables aléatoires indépendantes de lois de
Poisson de paramètres : λ, µ.
GX+Y (s) = exp((λ + µ)(s − 1))
Donc : X + Y a une loi de Poisson de paramètre (λ + µ); car la
fonction génératrice caractérise la loi.
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Introduction
Variables aléatoires discrètes
Lois usuelles discrètes
Couple de variables aléatoires, cas discret
Somme de variables aléatoires indépendantes
Exercice
Soit Z le nombre d’enfants d’une famille ; X le nombre de filles et
Y le nombre de garçons.
Nous supposons que la probabilité qu’une famille ainsi choisie
possède k enfants dont n filles est donnée par :
pk,n = P(Z = k; X = n) =
e−22k(0.52)n(0.48)k−n
n!(k − n)!
1{0 6 n 6 k}
I Montrer que les v.a. Z et X ne sont pas indépendantes et que
Y et X le sont.
I Donner la loi conditionnelle de X sachant Z = k. En déduire
l’espérance conditionnelle de X sachant Z.
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Laffly regression multiple
 

Vecteurs aléatoires sur un espace fini ou dénombrable

  • 1. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Probabilités pour l’ingénieur Chapitre 2 : Vecteurs aléatoires sur un espace fini ou dénombrable I. MEDARHRI ENSMR, École Nationale Supérieure des Mines de Rabat 2019-2020. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 2. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Exercice: On considère un système constitué de trois composants (A, B, C). Le système fonctionne s’il y a au moins un chemin entre les points 1 et 2, constitué de composants qui fonctionnent. Calculer la fiabilité de ce système dans chacun des cas suivants: Cas 1: Les trois composants opèrent indépendamment les uns des autres et la fiabilité des composants : P(A) = 0.90; P(B) = 0.85; P(C) = 0.95. Cas 2: Le composant A opère indépendamment de B et de C, mais B et C ne sont pas indépendants. Les fiabilité des composants sont identiques du cas 1, en plus P(B|C) = 0.70. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 3. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Plan 1 Introduction 2 Variables aléatoires discrètes Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice 3 Lois usuelles discrètes Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique 4 Couple de variables aléatoires, cas discret I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 4. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Introduction Les variables aléatoires constituent un espace fondamental d’éléments aléatoires, un tel élément étant défini par référence à une expérience aléatoire. Dans cette partie, nous allons développer une étude plus systématique des variables aléatoires et de leur loi. La nouveauté va être de comprendre que ce n’est pas la variable aléatoire en tant que fonction précise de l’aléa qui nous intéresse, mais sa loi, c’est-à-dire la description de son ”comportement probable” I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 5. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Exemple introductif : Cas discret Une personne s’intéresse à la somme des valeurs obtenues dans le lancer simultané de deux dés équilibrés. On modélisera l’ensemble des issues possibles de cette expérience aléatoire par : Ω := {(i, j) ∈ N/1 6 i, j 6 6}. Les événements peuvent être modélisés par des parties de Ω. Par exemple tribu P(Ω) de toutes les parties de Ω. Les dés étant équilibrés, on a pour tout (i, j) ∈ Ω, P({(i, j)}) = 1 36 I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 6. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Exemple introductif : Cas discret Une personne s’intéresse à la somme des valeurs obtenues dans le lancer simultané de deux dés équilibrés. On modélisera l’ensemble des issues possibles de cette expérience aléatoire par : Ω := {(i, j) ∈ N/1 6 i, j 6 6}. Les événements peuvent être modélisés par des parties de Ω. Par exemple tribu P(Ω) de toutes les parties de Ω. Les dés étant équilibrés, on a pour tout (i, j) ∈ Ω, P({(i, j)}) = 1 36 Le triplet (Ω, P(Ω), P), représente le modèle mathématique permettant de traiter la situation. Où, on s’intéresse à la somme des valeurs obtenues, l’événement ”La somme des valeurs obtenues appartient à A”, avec A est un borélien de R. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 7. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Exemple introductif : Cas discret Cet événement se modélise par la partie eA de Ω formée des couples (i,j) tels que i + j ∈ A. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 8. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Exemple introductif : Cas discret Cet événement se modélise par la partie eA de Ω formée des couples (i,j) tels que i + j ∈ A. Langage des applications : notons X l’application de Ω dans R. qui, à tout w = (i, j), associe X(w) = i + j. càd : eA = {w ∈ Ω/X(Ω) ∈ A} = {X ∈ A}. Autrement, eA est l’image réciproque de A par l’application X. Ce qui est important pour notre étude c’est de connaı̂tre la valeur de P(eA) = P(X ∈ A) I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 9. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Exemple introductif : Cas Continue Envisageons maintenant le cas d’un ingénieur hydraulicien qui s’intéresse aux risques d’inondation par un fleuve dans l’intention de construire une digue protectrice. Pour cela il va considérer l’évolution de la hauteur du niveau de l’eau sur l’année. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 10. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Exemple introductif : Cas Continue Envisageons maintenant le cas d’un ingénieur hydraulicien qui s’intéresse aux risques d’inondation par un fleuve dans l’intention de construire une digue protectrice. Pour cela il va considérer l’évolution de la hauteur du niveau de l’eau sur l’année. Revient à considérer la hauteur sur une année comme une application continue de [0, 1] dansR+ L’ensemble des issues possibles de cette expérience aléatoire peut être modélisé par Ω := C([0, 1] , R+). Contrairement à l’exemple précédent, il n’est pas possible de prendre P(Ω) comme tribu de Ω, mais on considère une tribu F plus petite. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 11. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Exemple introductif : Cas Continue En fait l’ingénieur s’intéressera surtout aux événements de la forme ”La hauteur maximale du niveau du fleuve sur une année appartient à A” où A est un intervalle de R Cet événement se modélise par la partie eA de Ω formée des fonctions w ∈ C([0, 1] , R+) telles que sup06t61w(t) ∈ A. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 12. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Exemple introductif : Cas Continue En fait l’ingénieur s’intéressera surtout aux événements de la forme ”La hauteur maximale du niveau du fleuve sur une année appartient à A” où A est un intervalle de R Cet événement se modélise par la partie eA de Ω formée des fonctions w ∈ C([0, 1] , R+) telles que sup06t61w(t) ∈ A. Langage des applications: notant X : Ω −→ R, qui à tout w associe X(w) = sup06t61 w(t) et eA = {w ∈ Ω/X(Ω) ∈ A} = {X ∈ A}. Autrement, eA est l’image réciproque de A par l’application X. Dans les deux exemples en s’intéresse à la valeur de P(X ∈ A) c-à-d l’application P : A ∈ F −→ P(X ∈ A), I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 13. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Principe de modélisation En conclusion de ces deux exemples on notera que modéliser mathématiquement une expérience aléatoire revient à introduire: un triplet (Ω, F, P), sans en préciser davantage les termes comme un espace de probabilité abstrait. une application X : Ω −→ Rd , telle que pour tout borélien A de Rd , l’image réciproque de A par l’application X soit un élément de F. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 14. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Principe de modélisation En conclusion de ces deux exemples on notera que modéliser mathématiquement une expérience aléatoire revient à introduire: un triplet (Ω, F, P), sans en préciser davantage les termes comme un espace de probabilité abstrait. une application X : Ω −→ Rd , telle que pour tout borélien A de Rd , l’image réciproque de A par l’application X soit un élément de F. Alors l’application PX : A ∈ F −→ P(X ∈ A), qui sera l’objet important du modèle, celui qui traduira mathématiquement le problème qui intéresse l’ingénieur au sein de la situation aléatoire. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 15. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Vecteur aléatoire Definition Si (E, A) := (Ω, F) et (F, B) = (Rd , B(Rd )), une application (F, B(Rd ))-mesurable, c-à-d: pour tout B ∈ B, (X ∈ B) ∈ F, s”appelle un vecteur aléatoire vectorielle, de dimension d. Un vecteur aléatoire de dimension d = 1 s’appelle aussi une variable aléatoire réelle. (v.a.r.) Proposition X = (X1, X2, ..., Xd ) un vecteur aléatoire de dimension k, si et seulement si, pour tout i = 1, 2, ..., d; Xi est une variable aléatoire réelle. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 16. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi d’une variable aléatoire Proposition Soit X un vecteur aléatoire de dimension d. L’application : PX : B ∈ B(Rd ) −→ PX (B) := P({X ∈ B}) ∈ [0, 1] est une probabilité sur Rd I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 17. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi d’une variable aléatoire Proposition Soit X un vecteur aléatoire de dimension d. L’application : PX : B ∈ B(Rd ) −→ PX (B) := P({X ∈ B}) ∈ [0, 1] est une probabilité sur Rd Definition La probabilité PX est appelée la loi de probabilité relativement à P du vecteur aléatoire X ou plus simplement la loi de X. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 18. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Dans cette partie, on se limite au cas où d=1. À partir d’une seule expérience aléatoire, on peut mesurer plusieurs variables aléatoires. On distingue deux types de variables aléatoires: Variable aléatoire discrète; Variable aléatoire continue. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 19. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Variables Aléatoires Discrètes I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 20. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Variable aléatoire discrète (V.A.D.) Lorsque l’ensemble des résultats est un ensemble fini ou infini dénombrable. La variable aléatoire discrète peut prendre soit un nombre fini de valeurs, soit un nombre infini dénombrable de valeurs telles 0, 1, 2, 3... I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 21. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice V.A.D. : Exemples Expérience aléatoire Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre la variable aléatoire X Contacter cinq clients Nombre de clients qui passent une commande I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 22. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice V.A.D. : Exemples Expérience aléatoire Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre la variable aléatoire X Contacter cinq clients Nombre de clients qui passent une commande 0,1,2,3,4,5 Contrôler une cargaison de 50 radios Nombre de radios défectueuses I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 23. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice V.A.D. : Exemples Expérience aléatoire Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre la variable aléatoire X Contacter cinq clients Nombre de clients qui passent une commande 0,1,2,3,4,5 Contrôler une cargaison de 50 radios Nombre de radios défectueuses 0,1,2,...,49,50 Gérer un restaurant pendant une journée Nombre de clients I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 24. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice V.A.D. : Exemples Expérience aléatoire Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre la variable aléatoire X Contacter cinq clients Nombre de clients qui passent une commande 0,1,2,3,4,5 Contrôler une cargaison de 50 radios Nombre de radios défectueuses 0,1,2,...,49,50 Gérer un restaurant pendant une journée Nombre de clients 0,1,2,3,... I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 25. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Fonction de masse On a vu jusqu’à présent qu’à partir d’une expérience aléatoire on peut s’intéresser à une variable aléatoire bien précise X qui peut prendre les valeurs suivantes {x1, x2, ..., xk, ....}. La question qui se pose maintenant est de savoir qu’elle est la probabilité associée à chaque valeur ?. C’est ce qu’on appelle la loi ou la distribution d’une variable aléatoire. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 26. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Fonction de masse Definition Soit X une V.A.D. c.à.d. X : Ω −→ X(Ω) ⊂ R. Supposons que X(Ω) = {x1, x2, ..., xk, ....}. La fonction de masse de X est définie par la suite des probabilités pk avec pk = pX (xk) = P (X = xk) = P{s ∈ Ω : X(s) = xk} La loi d’une V.A.D. peut être définie par le tableau suivant : I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 27. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Fonction de masse Definition Soit X une V.A.D. c.à.d. X : Ω −→ X(Ω) ⊂ R. Supposons que X(Ω) = {x1, x2, ..., xk, ....}. La fonction de masse de X est définie par la suite des probabilités pk avec pk = pX (xk) = P (X = xk) = P{s ∈ Ω : X(s) = xk} La loi d’une V.A.D. peut être définie par le tableau suivant : X(Ω) x1 x2 . xk pk = P (X = xk) p1 p2 . pk I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 28. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Exemple 1 Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer une pièce de monnaie parfaitement équilibrée, on considère la v.a. X = ”Le nombre de pile” X(Ω) = 1 si s = P 0 si s = F La loi de la V.A.D. est définie par I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 29. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Exemple 1 Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer une pièce de monnaie parfaitement équilibrée, on considère la v.a. X = ”Le nombre de pile” X(Ω) = 1 si s = P 0 si s = F La loi de la V.A.D. est définie par X(Ω) 1 0 P (X = xk) 1 2 1 2 I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 30. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Exemple 2 On considère la constitution d’une fratrie de deux enfants. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 31. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Exemple 2 On considère la constitution d’une fratrie de deux enfants. L’espace échantionnal est constitué des évènements élémentaires suivant : Ω = {GG, GF, FG, FF} Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire X, ”nombre de filles dans la famille” sont : I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 32. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Exemple 2 On considère la constitution d’une fratrie de deux enfants. L’espace échantionnal est constitué des évènements élémentaires suivant : Ω = {GG, GF, FG, FF} Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire X, ”nombre de filles dans la famille” sont : X(Ω) = {0, 1, 2} La loi de la V.A.D. est définie par I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 33. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Exemple 2 On considère la constitution d’une fratrie de deux enfants. L’espace échantionnal est constitué des évènements élémentaires suivant : Ω = {GG, GF, FG, FF} Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire X, ”nombre de filles dans la famille” sont : X(Ω) = {0, 1, 2} La loi de la V.A.D. est définie par X(Ω) 0 1 2 P (X = xk) 1 4 2 4 1 4 I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 34. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Représentation graphique I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 35. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Propriétés d’une fonction de masse Soit X une V.A.D. définie sur l’espace probabilisé (Ω, P) telle que: X(Ω) = {x1, x2, ..., xk, ....} alors : ∀k p (xk) ≥ 0 P∞ k=1 p (xk) = 1 I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 36. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Fonction de répartition Definition Soit X une variable aléatoire discrète. La fonction de répartition FX de X est définie par FX (x) = P(X ≤ x) pour tout x ∈ R I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 37. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Représentation graphique I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 38. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Propriétés de la fonction de répartition La fonction F est croissante sur R. ∀x ∈ R, P(X x) = 1 − F(x). ∀a, b ∈ R, a b P(a X ≤ b) = F(b) − F(a). Si X(Ω) = {x1, x2, ..., xk} avec x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xk, on a : ∀x x1 F(x) = 0 et ∀x xk F(x) = 1 I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 39. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Paramètres d’une V.A.D Paramètre de tendance centrale Espérance mathématique Paramètres de dispersion Variance Écart type Paramètre de forme Coefficient d’asymétrie (SKWENESS) I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 40. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Répétons n fois une expérience aléatoire, et notons x1, x2, ...., xn les valeurs successives prises par X. Pour avoir une idée du comportement de la variable X, il est naturel de considérer leur moyenne arithmétique Mn = 1 n (x1 + x2 + .... + xn). En regroupant suivant les différents résultats w de l’expérience, nous obtenons : Mn = X w∈Ω fn({w})X(w), où fn({w}) est la fréquence de la réalisation du {w} au cours de n expériences. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 41. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Intuitivement, quand n tend vers l’infini, fn({w}) −→ pw . Donc la suite (Mn) tend vers Mn = P w∈Ω pw X(w), L’espérance mathématique, ou moyenne, est la limite des moyennes arithmétiques lorsque le nombre d’expériences tend vers l’infini. Nous justifierons cette assertion plus loin, dans l’un des théorèmes les plus importants de la théorie des probabilités, appelé la loi des grands nombres. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 42. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Espérance mathématique d’une V.A.D Definition L’Espérance mathématique E[X] d’une variable aléatoire X joue le rôle dévolu à la moyenne en statistiques : elle correspond à la valeur moyenne espérée par un observateur. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 43. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Espérance mathématique d’une V.A.D Definition L’Espérance mathématique E[X] d’une variable aléatoire X joue le rôle dévolu à la moyenne en statistiques : elle correspond à la valeur moyenne espérée par un observateur. Soit X une variable aléatoire réelle sur l’espace fini ou dénombrable (Ω). E (X) = X w∈Ω pw X(w), pourvu que la somme P w∈Ω pw |X(w)| soit finie. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 44. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Espérance mathématique d’une V.A.D Definition L’Espérance mathématique E[X] d’une variable aléatoire X joue le rôle dévolu à la moyenne en statistiques : elle correspond à la valeur moyenne espérée par un observateur. Soit X une variable aléatoire réelle sur l’espace fini ou dénombrable (Ω). E (X) = X w∈Ω pw X(w), pourvu que la somme P w∈Ω pw |X(w)| soit finie. Remarque: L’espérance mathématique E(X) est un nombre réel qui permet de caractériser la tendance centrale ou donner une valeur moyenne résumant la variable aléatoire X. Si E(X) = 0 on dit que la variable X est centrée. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 45. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Espérance mathématique d’une V.A.D Théorème Considérons une variable aléatoire X satisfaisant P w∈Ω pw |X(w)| = E(|X|) +∞. On a alors la formule suivante : E(X) = X w∈Ω pw X(w) = X xi ∈F xi P(X = xi ) La preuve de cette proposition consiste juste à observer que la sommation par paquets est justifiée. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 46. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Exemple Une boı̂te contient 5 DVDs parmi lesquels 2 sont défectueux. Un échantillon de 2 disques est prélevé (sans remise) de la boı̂te. Soit X : ”le nombre de DVDs défectueux dans l’échantillon”. Calculer l’espérance de la v.a. discrète X. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 47. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Théorème de transfert Theorem La variable aléatoire Y = g(X) admet une espérance si et seulement si la série de terme général g(xi ).P(X = xi ) est absolument convergente; on a alors E(Y ) = X g(xi ).P(X = xi ) En général, (Inégalité de Jensen) E(g(X)) 6= g(E(X)) I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 48. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Propriétés de l’espérance mathématique Definition Nous appelons variable aléatoire intégrable une variable aléatoire X qui admet une espérance. L’ensemble de toutes les variables aléatoires intégrables est noté L1. cette ensemble dépend de Ω et de P. Les propriétés suivantes sont immédiates : I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 49. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Propriétés de l’espérance mathématique Soient α et β deux constantes, et X, Y deux v.a. dans L1 alors on a : E(αX + β) = αE(X) + β. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). |E(X)| 6 E(|X|). L’espérance est positive : si X 0 alors E(X) 0. si X 6 Y alors E(X) 6 E(Y ). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 50. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Propriétés de l’espérance mathématique Soient α et β deux constantes, et X, Y deux v.a. dans L1 alors on a : E(αX + β) = αE(X) + β. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). |E(X)| 6 E(|X|). L’espérance est positive : si X 0 alors E(X) 0. si X 6 Y alors E(X) 6 E(Y ). Remarque L’espérance E[X] n’est qu’un indicateur moyen et ne peut caractériser la loi une variable aléatoire à lui tout seul. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 51. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Variance d’une V.A.D Pour mesurer l’écart entre les valeurs observées de la v.a. X et E(X) on introduit les paramètres suivants : Definition Soit X une V.A.D. définie sur (Ω, P) telle que X(Ω) = {x1, x2, ..., xk}, on suppose que E(X) existe dans R. On appelle variance de la variable aléatoire X le nombre réel, noté var(X), défini par : Var (X) = E (X − E(X))2 = X (xi − E(X))2 .P(X = xi ). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 52. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Variance d’une V.A.D Pour mesurer l’écart entre les valeurs observées de la v.a. X et E(X) on introduit les paramètres suivants : Definition Soit X une V.A.D. définie sur (Ω, P) telle que X(Ω) = {x1, x2, ..., xk}, on suppose que E(X) existe dans R. On appelle variance de la variable aléatoire X le nombre réel, noté var(X), défini par : Var (X) = E (X − E(X))2 = X (xi − E(X))2 .P(X = xi ). Si E(X) = 0 et var(X) = 1, on dit que la v.a. X est centrée réduite. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 53. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Écart type d’une V.A.D L’écart type (déviation standard) de la variable aléatoire X, noté σ(X) ou simplement σ, est définie par σ = p Var(X). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 54. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Exemple Montrer que dans l’exemple 1, σ2 = 0.25, et que dans l’exemple 3, σ2 = 0.36. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 55. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Propriétés de la variance var(X) = E X2 − (E(X))2 var(X) ≥ 0. var(αX + β) = α2var(X). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 56. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Coefficient d’asymétrie (SKWENESS) : moment d’ordre 3 Definition Soit X une v.a et k un entier (k ≥ 0) Le moment d’ordre k par rapport à la moyenne est défini par : X i (xi − E(X))k .P(X = xi ) Si la v.a X est centrée, alors on a E(Xk ) = X i xk i .P(X = xi ) I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 57. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Coefficient d’asymétrie (SKWENESS) : moment d’ordre 3 Definition Étant donnée une variable aléatoire réelle X d’espérance µ et d’écart type σ, on définit son coefficient d’asymétrie comme le moment d’ordre trois de la variable centrée réduite : γ = E X − µ σ 3 # I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 58. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Interprétation du coefficient d’asymétrie si γ = 0 , la distribution est symétrique; si γ 0, la distribution présente une asymétrie à gauche (distribution en bleu); si γ 0, la distribution présente une asymétrie à droite (distribution en rouge). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 59. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Fonction génératrice Considérons une variable aléatoire X à valeurs dans N . Jusqu’à présent, nous avons caractérisé la loi d’une telle variable par la donnée de (n; pn), où n ∈ N et pn = P(X = n). Definition La fonction génératrice de X est la fonction définie pour s ∈ [0; 1] par: GX (s) = E(sX ) = X n∈N pn.sn , où pn = P(X = n) C’est la somme d’une série entière, dont le rayon de convergence est au moins 1, car P n pn = 1 I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 60. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Fonction génératrice Proposition 1 GX continue sur [0, 1]. Elle caractérise la loi de X. 2 X ∈ L1 = GX dérivable (à gauche ) en s=1; et E(X) = G 0 X (1) 3 X(X − 1) · · · (X − p) ∈ L1 = GX est p+1 fois dérivable en 1, et on a: E(X(X − 1) · · · (X − p)) = G (p+1) X (1). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 61. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Définition et exemples Fonction masse et de répartition Espérance des variables aléatoires discrètes Fonction génératrice Fonction génératrice En particulier, X ∈ L2 si et seulement si GX est deux fois dérivable en 1 et : E(X(X − 1)) = G” X (1). Nous en déduisons que Var(X) = G” X (1) + G 0 X (1) − (G 0 X (1))2 Pour calculer les moments d’une variable aléatoire à valeurs entières, il est souvent beaucoup plus rapide d’utiliser les dérivées de la fonction génératrice plutôt qu’un calcul direct. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 62. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Lois usuelles discrètes Par définition, les variables aléatoires discrètes prennent des valeurs entières discontinues sur un intervalle donné. Ce sont généralement le résultat de dénombrement. Loi uniforme; Loi de Bernoulli; Loi Binomiale. Loi géométrique. Loi de poisson. Loi Hypergéométrique. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 63. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi uniforme Definition Une distribution de probabilité suit une loi uniforme lorsque toutes les valeurs prises par la variable aléatoire sont équiprobables. Si n est le nombre de valeurs différentes prises par la variable aléatoire, ∀i P(X = xi ) = 1 n I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 64. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Exemple La distribution des chiffres obtenus au lancer de dé (si ce dernier est non pipé) suit une loi uniforme dont la loi de probabilité est la suivante : X 1 2 3 4 5 6 P(X = xi ) 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 I Calculer l’espérence mathématique I Calculer la variance I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 65. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Proprétés de la loi uniforme E(X) = n + 1 2 . Var(X) = n2 − 1 12 I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 66. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Épreuve de Bernoulli Definition Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire dont le résultat peut être soit un succès, soit un échec, mais pas les deux simultanément. Exemple On choisit au hasard une pièce produite en série et on la teste pour détecter les défectuosités. La pièce peut être défectueuse (succès) ou conforme (échec). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 67. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi de Bernoulli Contexte Lors d’une épreuve de Bernoulli, soit p la probabilité d’un succès et q = 1-p la probabilité d’un échec. Soit v.a X le nombre de succès, alors X(Ω) = {0, 1}. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors on note X v Bernoulli(p) fonction de masse La fonction de masse d’une variable X v Bernoulli(p) s’écrit : pX (x) = 1 − p si x = 0 p si x = 1 I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 68. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique exemple On lance un dé équilibré à 6 faces : I On gagne si on fait 1 ou 6; I On perd sinon. Soit X la variable aléatoire associée à cette expérience aléatoire. La probabilité de faire un coup gagnant (succès) est : p= ? La probabilité de faire un coup perdant (échec) est: 1-p = ? I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 69. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique exemple On lance un dé équilibré à 6 faces : I On gagne si on fait 1 ou 6; I On perd sinon. Soit X la variable aléatoire associée à cette expérience aléatoire. La probabilité de faire un coup gagnant (succès) est : p= ? La probabilité de faire un coup perdant (échec) est: 1-p = ? On a défini une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre 1 3, X ∼ Bernoulli(1 3). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 70. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique exemple On lance un dé équilibré à 6 faces : I On gagne si on fait 1 ou 6; I On perd sinon. Soit X la variable aléatoire associée à cette expérience aléatoire. La probabilité de faire un coup gagnant (succès) est : p= ? La probabilité de faire un coup perdant (échec) est: 1-p = ? On a défini une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre 1 3, X ∼ Bernoulli(1 3). La loi de Bernoulli ? I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 71. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique exemple On lance un dé équilibré à 6 faces : I On gagne si on fait 1 ou 6; I On perd sinon. Soit X la variable aléatoire associée à cette expérience aléatoire. La probabilité de faire un coup gagnant (succès) est : p= ? La probabilité de faire un coup perdant (échec) est: 1-p = ? On a défini une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre 1 3, X ∼ Bernoulli(1 3). La loi de Bernoulli ? X 0 1 P(X = xi ) 2 3 1 3 I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 72. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi de Bernoulli Théorème La fonction de répartition d’une variable X ∼ Bernoulli(p) est FX (x) =    0 si x 0 1 − p si 0 ≤ x 1 1 si x ≥ 1 Déterminer la fonction génératrice associée et déduire l”espérance Mathématique et variance . I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 73. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Propriétés de la loi de bernoulli GX (s) = (1 − p + sp) E(X) = p Var(X) = p(1 − p) I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 74. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi Binomiale Contexte On effectue n répétitions indépendantes d’une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succés est p. Soit X le nombre de succès parmi les n résultats. Alors X(Ω) = {0, 1, 2, ...., n}. Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p alors on note X v B(n, p). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 75. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi Binomiale fonction de masse La fonction de masse d’une variable X v B(n, p), s’écrit : P(X = x) = n x px (1 − p)n−x pour x ∈ {0, 1, 2, ...., n}. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 76. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 77. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi Binomiale Théorème La fonction de répartition d’une variable X ∼ B(n,p) est F(x) = P(X ≤ x) =            1 si x ≥ n bxc X x=0 n x px (1 − p)n−x si 0 ≤ x n 0 si x 0 où bxc représente la partie entière de x. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 78. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 79. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Propriétés de la loi binomiale Déterminer la fonction génératrice associée et déduire l’espérance Mathématique et variance . I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 80. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Propriétés de la loi binomiale Déterminer la fonction génératrice associée et déduire l’espérance Mathématique et variance . GX (s) = (1 − p + sp)n E(X) = np Var(X) = np(1 − p) I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 81. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique exemple Un lot contient 20 articles parmi lesquels 4 sont défectueux. On pige avec remise 7 articles du lot. Calculer I La probabilité d’observer exactement un article défectueux; I La probabilité d’observer au moins 4 articles défectueux; I La moyenne et la variance du nombre d’articles défectueux. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 82. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi Binomiale : Proportion de succès Soit X ∼ B(n, p) et b p = X n la proportion de succès parmi les n épreuves. Alors b p est une variable aléatoire et 1 E(p̂) = p 2 Var(p̂) = p(1−p) n I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 83. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique exemple Un procédé de fabrication produit 4% d’articles non conformes. Un échantillon de 16 unités de cet article est prélevé. Quelle est la probabilité d’y observer au plus 10% d’articles non conformes dans l’échantillon ? I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 84. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi géométrique Contexte On répète continuellement et de façon indépendante une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p. Soit X le nombre d’épreuves nécessaires pour obtenir un premier succès. Alors X suit une loi géométrique de paramètre p, dénoté X ∼ Geom(p). On a X(Ω) = {1, 2, ....}. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 85. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi Géométrique fonction de masse La fonction de masse d’une variable aléatoire X v Geom(p), s’écrit PX (k) = (1 − p)k−1 p pour k = 1, 2, 3, ..... I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 86. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 87. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi Géométrique fonction de répartition La fonction de répartition d’une variable X v Geom(p) est FX (k) = ( 1 − (1 − p)k si k ∈ N∗ 0 sinon I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 88. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 89. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Propriétés de la loi géométrique Si X v Geom(p) Déterminer la fonction génératrice et Espérance Mathématique ainsi que la variance I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 90. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Propriétés de la loi géométrique Si X v Geom(p) Déterminer la fonction génératrice et Espérance Mathématique ainsi que la variance 1 GX (s) = ps 1−(1−p)s 2 E(X) = 1 p . 3 Var(X) = 1 − p p2 . I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 91. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique exemple On lance un dé continuellement jusqu’à l’obtention d’un 6. Soit X le nombre de lancers nécessaires. I Quelle est la probabilité d’obtenir un premier 6 au deuxième lancer ? I Quelle est la probabilité qu’il faille plus de 10 lancers pour obtenir un 6 ? I Si aucun 6 n’a été obtenu lors des 8 premiers lancers, quelle est la probabilité que plus de deux autres lancers soient nécessaires ? I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 92. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique La loi Géométrique Théorème Propriété d’absence de mémoire : si X v Geom(p) alors pour tous t, s 0 P(X s + t|X t) = P(X s) I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 93. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi de Poisson La loi de Poisson a été introduite en 1838 par Siméon Denis Poisson, dans son ouvrage Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Le sujet principal de cet ouvrage consiste en certaines variables aléatoires N qui dénombrent, entre autres choses, le nombre d’occurrences (parfois appelées ”arrivées”) qui prennent place pendant un laps de temps donné. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 94. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi de poisson Contexte La loi de Poisson intervient en général lorsqu’on s’intéresse au nombre de fois X qu’un certain événement se réalise dans le temps, dans l’espace, dans un volume, une distance etc. ou tout autre unité de mesure. Champs d’applications La loi qu’on obtient en comptant des événements aléatoires indépendants : I Arrivée des particules sur un capteur, I Nombre de clients entrant dans un magasin, I comptage de voiture sur une route, I Etude des files d’attente dans les réseaux de communication... I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 95. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi de poisson Definition Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ 0, dénoté X ∼ Pois(λ). Si p(x) = P(X = x) = λx x! e−λ pour x = 0, 1, 2, .... Le paramètre λ correspond à la moyenne de la loi de Poisson. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 96. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 97. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi de poisson fonction de répartition Si X ∼ Pois(λ) alors F(x) = P(X ≤ x) = x X k=0 p(k) = x X k=0 λk k! e−λ I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 98. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi de poisson Les valeurs de F(x) sont données dans la Table de poisson en fonction de x, et λ. Table de la loi de poisson I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 99. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 100. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique exemple Une machine utilisée dans une chaı̂ne de production tombe en panne en moyenne 2 fois par mois. Soit X le nombre de pannes par mois. En supposant que X suit une loi de Poisson, quelle est la probabilité que dans un mois donné la machine I Ne tombe pas en panne ? I Tombe en panne au moins deux fois ?. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 101. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Propriétés de la loi de poisson Si X v Pois(λ) Déterminer Gx (s), E(X), etVar(X). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 102. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Propriétés de la loi de poisson Si X v Pois(λ) Déterminer Gx (s), E(X), etVar(X). 1 GX (s) = eλ(s−1) 2 E(X) = λ. 3 Var(X) = λ. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 103. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique exemple Une boı̂te contient 8 composants parmi lesquels 2 sont défectueux. Trois composants sont pris au hasard et sans remise de la boı̂te. Soit X le nombre de composants défectueux dans l’échantillon. I Calculer la probabilité de ne pas avoir un composant défectueux I Donner la fonction de masse de X, ainsi que E(X) et V(X). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 104. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi Hypgéométrique Contexte On tire sans remise n objets d’un ensemble de N objets dont D possèdent une caractéristique particulière (et les autres N − D ne la possèdent pas). Soit X le nombre d’objets de l’échantillon qui possèdent la caractéristique.. Alors X suit une loi Hypergéométrique de paramètre n, N, D, dénoté X ∼ H(N, D, n). On a X(Ω) = {max(0, n − N + D), ..., min(n, D)}. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 105. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Loi Hypergéométrique fonction de masse La fonction de masse d’une variable aléatoire X v H(N, D, n), s’écrit PX (k) = Ck DCn−k N−D Cn N pour k ∈ X(Ω). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 106. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Géométrique Loi de Poisson Loi Hypergeométrique Propriétés de la loi Hypergéométrique Si X v H(N, D, n) alors 1 E(X) = n D N . 2 Var(X) = n D N (1 − D N ) N − n N − 1 . I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 107. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Couple de variables aléatoires, cas discret On veut décrire l’évolution aléatoire conjointe de deux variables aléatoires X et Y. exemple Soit Z = (X, Y ) décrit le nombre d’années d’études et le nombre de frères et soeurs de l’aı̂né d’une famille: X(Ω) = F; Y (Ω) = G et Z(Ω) = FxG est dénombrable. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 108. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Couple de variables aléatoires, cas discret On veut décrire l’évolution aléatoire conjointe de deux variables aléatoires X et Y. exemple Soit Z = (X, Y ) décrit le nombre d’années d’études et le nombre de frères et soeurs de l’aı̂né d’une famille: X(Ω) = F; Y (Ω) = G et Z(Ω) = FxG est dénombrable. Loi joint du couple (X,Y): C’est une probabilité PX,Y sur FxG caractérisée par la probabilité des singletons. pour tout (x, y) ∈ FxG, P(X,Y )({(X, Y )}) = P(X = x; Y = y) I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 109. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Lois marginales Ce sont les lois respectivement PX et PY des coordonnées X et Y. Remarquons que {X = x} = ∪y∈G {X = x; Y = y}, et les ensembles {X = x; Y = y} sont disjoints. Nous en déduisons que : PX (x) = P(X = x) = X y∈G P(X = x; Y = y) = X y∈G P(X,Y )(x, y), et de même PY (y) = P(Y = y) = X x∈F P(X,Y )(x, y), I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 110. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Lois conditionnelles Definition Soit xi fixé tel que : PX (xi ) 0. La Loi conditionnelle de Y sachant X = xi est la probabilité sur G définie pour tout yj par : PY |X=xi (yj ) = P(Y = yj |X = xi ) = P(X,Y )(xi , yj ) PX (xi ) I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 111. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Lois conditionnelles Definition Soit xi fixé tel que : PX (xi ) 0. La Loi conditionnelle de Y sachant X = xi est la probabilité sur G définie pour tout yj par : PY |X=xi (yj ) = P(Y = yj |X = xi ) = P(X,Y )(xi , yj ) PX (xi ) L’espérance conditionnelle de Y sachant X = xi est définie par: E(Y |X = xi ) = P yj yj PY |X=xi (yj ) Si E(|h(X, Y )|) ∞, nous avons : E(h(X, Y )) = X xi ,yj h(xi , yj )PY |X=xi (yj )PX (xi ). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 112. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Exemple A partir du nombre de voitures passant devant une station d’essence en un jour. On souhaite modéliser le nombre de voitures qui d’arrêtent à la station. On suppose que chaque voiture décide de s’arrêter à la station avec probabilité p indépendamment des autres. Cherchons l’espérance mathématique E I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 113. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Variables aléatoires indépendantes Remarque On a vu précédemment, qu’on peut calculer les lois marginales PX et PY de X et Y à partir de la loi PZ de Z. La connaissance des lois marginales ne suffit pas, en général, à retrouver la loi de Z = (X, Y ). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 114. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Variables aléatoires indépendantes Remarque On a vu précédemment, qu’on peut calculer les lois marginales PX et PY de X et Y à partir de la loi PZ de Z. La connaissance des lois marginales ne suffit pas, en général, à retrouver la loi de Z = (X, Y ). Exercice Considérons une variable aléatoire Z qui vaut (1,1) et (-1,-1) avec une probabilité de p 2 , et (1,-1) et (-1,1) avec probabilité 1−p 2 où p 6= 1 2. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 115. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Variables aléatoires indépendantes Les variables X et Y prennent les valeurs 1 et -1 avec probabilité 1 2, et leur loi ne dépend donc pas du paramètre p ∈ (0, 1) choisi. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 116. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Variables aléatoires indépendantes Les variables X et Y prennent les valeurs 1 et -1 avec probabilité 1 2, et leur loi ne dépend donc pas du paramètre p ∈ (0, 1) choisi. Il est très intéressant d’étudier le cas où l’information que l’on possède sur X ne change rien à la loi de Y , généralisant ainsi la notion d’indépendance introduite pour les événements aléatoires. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 117. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Variables aléatoires indépendantes Definition Les variables aléatoires sont dites indépendantes si, ∀i, j, PY |X=xi (yj ) = PY (yj ) ∀i, j, P(X = xi , Y = yj ) = PX (xi )PY (yj ) ∀A ⊂ F; ∀B ⊂ G, P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B) I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 118. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Variables aléatoires indépendantes Definition Les variables aléatoires sont dites indépendantes si, ∀i, j, PY |X=xi (yj ) = PY (yj ) ∀i, j, P(X = xi , Y = yj ) = PX (xi )PY (yj ) ∀A ⊂ F; ∀B ⊂ G, P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B) Proposition Si X et Y sont indépendantes, et si E(|f (X)|) ∞ et E(|g(Y )|) ∞, alors E(f (X)g(Y )) = E(f (X))E(g(Y )) I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 119. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Variables aléatoires indépendantes Exemple On admet que le nombre de clients dans un bureau de poste pendant une journée suit une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ 0. Soit p la probabilité qu’une personne entrant dans le bureau de poste soit une femme. Soient les variables aléatoires, X le nombre de femmes et Y celui des hommes parmi les clients quotidiens I Déterminer la loi de X et Y I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 120. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Somme de variables aléatoires indépendantes Proposition Soient X et Y des v.a. à valeurs entières, et Z = X + Y. Alors P(Z = i) = X j∈N P((X, Y ) = (j, i − j)). I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 121. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Somme de variables aléatoires indépendantes Proposition Soient X et Y des v.a. à valeurs entières, et Z = X + Y. Alors P(Z = i) = X j∈N P((X, Y ) = (j, i − j)). En particulier, si X et Y son indépendantes: P(Z = i) = X j∈N P(X = j)P(Y = i − j). Proposition Si X et Y sont indépendantes, alors GX+Y (s) = GX (s)GY (s) I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 122. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Stabilité par indépendance du couple aléatoire 1 La somme de n variables aléatoires de Bernoulli de paramètre p indépendantes suit la loi d’une variable aléatoire binomiale B(n, p): G(s) = (1 − p + sp)n 2 X et Y des variables aléatoires indépendantes de lois de Poisson de paramètres : λ, µ. GX+Y (s) = exp((λ + µ)(s − 1)) Donc : X + Y a une loi de Poisson de paramètre (λ + µ); car la fonction génératrice caractérise la loi. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR
  • 123. Introduction Variables aléatoires discrètes Lois usuelles discrètes Couple de variables aléatoires, cas discret Somme de variables aléatoires indépendantes Exercice Soit Z le nombre d’enfants d’une famille ; X le nombre de filles et Y le nombre de garçons. Nous supposons que la probabilité qu’une famille ainsi choisie possède k enfants dont n filles est donnée par : pk,n = P(Z = k; X = n) = e−22k(0.52)n(0.48)k−n n!(k − n)! 1{0 6 n 6 k} I Montrer que les v.a. Z et X ne sont pas indépendantes et que Y et X le sont. I Donner la loi conditionnelle de X sachant Z = k. En déduire l’espérance conditionnelle de X sachant Z. I. MEDARHRI Probabilités pour l’ingénieur, ENSMR