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1
Introduction :
Les informations fiables sur des conditions in situ de réservoir sont importantes en
beaucoup de phases de la technologie de pétrole.
L’ingénieur de réservoir doit avoir des informations suffisantes sur le réservoir pour
analyser convenablement la performance de réservoir et pour prévoir la future
production sous de divers modes des fonctionnements.
L’ingénieur de production doit connaître les conditions des puits producteurs et
injecteurs pour avoir la meilleure performance du réservoir. Beaucoup de cette
information peut être obtenue à partir des essais de puits.
Contrairement à la sismique qui donne une information globale sur le gisement, et à la
diagraphie qui donne une information locale, les essais de puits (souvent combinaison
de plusieurs) donne une information détaillée à une échelle moyenne autour du puits
qui reflète des grandeurs statiques telles que la géométrie, les limites, l’efficacité des
opérations de forage ou de production ; et des grandeurs dynamiques tels que La
pression de gisement, la perméabilité, l’indice de productivité etc.
Objectif :
D´une Facon générale, le but d´un test de puits est d´obtenir des renseignements sur un
puits et sur un réservoir, á savoir :
1. Perméabilité du réservoir,
2. Degré d´endommagement du puits (Skin),
3. La pression du réservoir Pr,
4. Les limites du réservoir,
5. Le type du réservoir,
6. Caractérisation d´une fracturation,
7. Evaluer les communications entre les puits …etc.
Principe :
Le principe d´un essai de puits est de faire varier le débit du puits pour provoquer une
perturbation des pressions existant dans le réservoir.
La mesure de l´évolution de la pression en fonction du temps et son interprétation
fournit des renseignements sur le réservoir et le puits.
2
3
CHAPITRE I : Modèle de filtration
L’Écoulement en milieu poreux est un phénomène très complexe et ne peuvent pas
donc être décrit comme explicitement que le flux moyen de canalisations ou conduits.
Il est assez facile de mesurer la longueur et le diamètre d'un tuyau et calculer sa capacité
d'écoulement en fonction de la pression; cependant, dans les milieux poreux, le débit
est différent en ce sens il n'ya pas de claire voies d'écoulement qui se prêtent à la mesure.
L'objectif principal de cette partie est de présenter les relations mathématiques qui
sont conçus pour décrire le comportement d'écoulement des fluides du réservoir. Les
formes mathématiques de ces relations varient selon les caractéristiques du réservoir.
Les caractéristiques primaires de réservoir qui doit être considéré incluent :
 Types de fluides dans le réservoir
 Régimes d'écoulement.
 Géométrie du réservoir
 Nombre d'écoulement des fluides dans le réservoir.
a) Types des fluides :
En fonction du coefficient de compressibilité isotherme C, on peut distinguer les fluides
de réservoir en trois (3) groupes :
 Fluides incompréssibles,
 Fluides peu-compressibles,
 Fluides compressibles.
Coefficient de compressibilité :
 En terme de volume du fluide : 𝐶 = −
1
𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑃
 En terme de masse volumique du fluide : 𝐶 =
1
𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑃
i. Fluides incompressibles :
Un fluide incompressible est défini comme étant le liquide dont le volume (ou densité)
ne change pas avec la pression :
𝜕𝑉
𝜕𝑝
= 0 et
𝜕𝜚
𝜕𝑝
= 0
ii. Fluides peu compressibles :
4
Ces fluides compressibles exposent de petits changements du volume, ou la densité,
avec des changements de pression .Connaissant le volume d’une Vref d’un liquide peu
compressible à une référence (initiale) pref pression, les changements du
comportement volumétrique de ce fluide en fonction de la pression p peuvent être
mathématiquement décrits en intégrant l'équation (3.1) pour donner :
−𝐶 ∫ 𝑑𝑃 = ∫
𝑑𝑉
𝑉
𝑉
𝑉𝑟é𝑓
𝑃
𝑃𝑟é𝑓
; 𝑉 = 𝑉𝑟é𝑓𝑒 𝐶(𝑃𝑟é𝑓−𝑃)
On a 𝑒 𝑥 ≈ 1 + 𝑥 ;
𝑉 = 𝑉𝑟é𝑓[1 + 𝐶(𝑃𝑟é𝑓 − 𝑃)] ; 𝜌 = 𝜌𝑟é𝑓[1 − 𝐶(𝑃𝑟é𝑓 − 𝑃)]
iii. Fluides compressibles :
Ce sont des fluides qui subissent à un grand changement de volume en fonction de la pression.
Tous les gaz sont considérés comme des fluides compressibles. La compressibilité isotherme
de n'importe quel fluide compressible est décrite par l'expression suivante :
𝐶𝑔 =
1
𝑃
−
1
𝑍
(
𝜕𝑍
𝜕𝑃
)
b) Régimes d’écoulement :
En général, il existe trois (3) types d’écoulements :
- Ecoulement permanent,
- Ecoulement non-permanent,
- Ecoulement pseudo-permanent.
i. Ecoulement permanent (steady state flow):
Le régime permanent est identifié si la pression à chaque endroit dans le réservoir reste
constant, c'est à dire, ne change pas avec le temps. Mathématiquement, cette condition
est exprimée en tant que:
𝜕𝑃
𝜕𝑡
= 0
Dans les réservoirs, un écoulement permanent ne peut se produire lorsque le réservoir
est complètement rechargé et soutenu par une forte aquifère ou des opérations de
maintien de la pression.
ii. Ecoulement transitoire (unsteady state):
L'écoulement transitoire est défini comme l'état fluide à laquelle le taux de variation de
la pression par rapport au temps à n'importe quelle position dans le réservoir n'est pas
nul ou constant.
5
𝜕𝑃
𝜕𝑡
= 𝑓(𝑖, 𝑡)
Cette définition suggère que la pression dérivée par rapport au temps est essentiellement
une fonction à la fois la position i et le temps t.
iii. Ecoulement semi permanent (Pseudosteady-state)
Lorsque la pression à différents endroits dans le réservoir baisse linéairement en
fonction du temps, c'est à dire à un taux de déclin constant, l'état de fluide est caractérisé
comme un écoulement semi permanent. Mathématiquement, cette définition indique
que le taux de variation de la pression par rapport au temps, à chaque position est
constant, donc :
(
𝜕𝑃
𝜕𝑡
) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
c) La géométrie du réservoir :
La forme d'un réservoir exerce un impact significatif sur son comportement
d'écoulement. La plupart des réservoirs ont des frontières irrégulières et une description
mathématique rigoureuse de leur géométrie est souvent possible seulement avec
l'utilisation des simulateurs numériques. Cependant, pour des intérêts pratiques, la
géométrie de l'écoulement réel peut être représentée par l’un des l'écoulement suivants
:
 écoulement linéaire ;
 écoulement radial circulaire ;
 écoulement elliptique
 écoulement sphérique et hémisphérique.
i. Ecoulement linéaire:
6
L’écoulement linéaire intervient lorsque les lignes d'écoulement sont parallèles et
l’écoulement suit une seule direction. Cela se produit seulement lorsque l’aire de
l'écoulement est constante, on trouve ce type d'écoulement dans les puits à fractures
naturelles communicantes ou fracture artificielle
ii. Ecoulement radial circulaire:
Dans l'absence des hétérogénéités de réservoir. L’écoulement vers le puits suit un
chemin radial aux alentours de puits et le gradient de pression augmente aux abords de
puits, l’écoulement devient radial.
iii. Écoulement elliptique:
L’écoulement des fluides est radial à une distance proche du puits mais dans les puits
fracturés l’écoulement change sa direction et devient elliptique.
iv. Ecoulement Sphérique et hémisphérique :
Selon le type de complétion de puits, il est possible d'avoir un écoulement sphérique
le s lig n e s is o p o t e n t ie ls
le s lig n e s d ’ é c o u le m e n t
S c h e m a 3
P u it s
F r a c t u r e
7
ou hémisphérique, près du puits. Un puits équipé d'un intervalle perforé limitée
pourrait produire un écoulement sphérique dans le voisinage des perforations.
Un puits qui pénètre partiellement la zone productrice, suivant les indications de cette
figure a pu avoir comme conséquence l'écoulement hémisphérique. La condition a pu
surgir là où le coning d’eau est important.
d) Nombre de fluides débordants dans le réservoir :
Les expressions mathématiques qui sont utilisés pour prédire le rendement
volumétrique et le comportement de la pression du réservoir varient en formes et de la
complexité en fonction du nombre de fluides mobiles dans le réservoir. Il y a
généralement trois systèmes d’écoulements :
1) écoulement monophasé (huile, eau, ou gaz).
2) écoulement biphasique (huile-eau, gaz-huile, ou gaz-eau).
3) écoulement triphasé (huile, eau, et gaz).
La loi de Darcy :
C’est la loi fondamentale du mouvement des fluides en milieux poreux.
L'expression mathématique développé par Henry Darcy en 1856 déclare que la vitesse
d'un fluide homogène dans un milieu poreux est proportionnelle au gradient de pression
et inversement proportionnelle à la viscosité du fluide. Pour un système linéaire
horizontal, cette relation est la suivante:
𝑣 =
𝑞
𝐴
= −
𝑘
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
Et sous forme vectorielle :
𝑣⃗⃗⃗⃗ = −
𝑘̿
𝜇
∇⃗⃗⃗⃗ p
La loi de Darcy ne s'applique que lorsque les conditions suivantes sont réunies:
 écoulement laminaire.
 régime permanent.
 fluides incompressibles.
P e r f o sP u its
S p h é r iq u e S e m i S p h é r iq u e s
8
 formation homogène.
 pas de réaction entre fluide et formation.
Pour un écoulement turbulent, ce qui se produit à des vitesses plus élevées, une
modification spéciale de l'équation de Darcy est nécessaire.
1) Les équations fondamentales d’écoulement:
a) Steady state flow
i. Radial flow of incompressible fluids:
Selon la loi de Darcy, on a :
𝑉 =
𝑞
𝐴 𝑟
= 0.001127
𝑘
𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑟
𝑄𝐵
2𝜋𝑟ℎ
= 0.001127
𝑘
𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑟
(
𝑄
2𝜋ℎ
) ∫
𝑑𝑟
𝑟
𝑟𝑒
𝑟 𝑤
=
0.001127𝑘
𝜇𝐵
∫ 𝑑𝑃
𝑃𝑒
𝑃 𝑤𝑓
𝑄 =
0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑒 − 𝑃 𝑤𝑓)
𝜇𝐵𝑙𝑛(
𝑟𝑒
𝑟𝑤
⁄ )
The external (drainage) radius re is usually determined from the well spacing by
equating the area of the well spacing with that of a circle
𝜋𝑟𝑒
2
= 43.560 𝐴 → 𝑟𝑒 = √
43.560 𝐴
𝜋
where A is the well spacing in acres.
𝑃 = 𝑃 𝑤𝑓 +
𝑄𝐵𝜇
0.00708𝑘ℎ
𝑙𝑛(
𝑟𝑒
𝑟𝑤
⁄ )
Craft and Hawkins (1959) showed that the average pressure is located at about
61% of the drainage radius re for a steady-state flow condition.
𝑄 =
0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑟 − 𝑃 𝑤𝑓)
𝜇𝐵𝑙𝑛 (
0.61𝑟𝑒
𝑟𝑤
⁄ )
𝑃𝑟 = 𝑃 𝑤𝑓 +
𝑄𝐵𝜇
0.00708𝑘ℎ
𝑙𝑛 (
0.61𝑟𝑒
𝑟𝑤
⁄ )
𝑃𝑟 = 𝑃 𝑤𝑓 +
𝑄𝐵𝜇
0.00708𝑘ℎ
[𝑙𝑛(
𝑟𝑒
𝑟𝑤
⁄ ) − 0.5]
𝑄 =
0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑟 − 𝑃 𝑤𝑓)
𝜇𝐵[𝑙𝑛(
𝑟𝑒
𝑟𝑤
⁄ ) − 0.5]
9
ii. Radial flow of slightly compressible fluids:
𝑉 =
𝑞
𝐴 𝑟
=
𝑞 𝑟é𝑓[1 + 𝐶(𝑃𝑟é𝑓 − 𝑃)]
2𝜋𝑟ℎ
= 0.001127
𝑘
𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑟
𝑞 𝑟é𝑓 = [
−0.00708𝑘ℎ
𝜇𝐶(
𝑟𝑒
𝑟𝑤
⁄ )
] 𝑙𝑛 [
1 + 𝐶(𝑃𝑟é𝑓 − 𝑃𝑒)
1 + 𝐶(𝑃𝑟é𝑓 − 𝑃 𝑤𝑓)
]
Supposons que le point de référence est le fond du puits, alors :
𝑄 = [
0.00708𝑘ℎ
𝜇𝐵𝐶𝑙𝑛(
𝑟𝑒
𝑟𝑤
⁄ )
] 𝑙𝑛[1 − 𝐶(𝑃𝑒 − 𝑃 𝑤𝑓)]
iii. Radial flow for compressible gases:
𝑞 𝑔
𝐴 𝑟
= 0.001127
𝑘
𝜇 𝑔
𝑑𝑃
𝑑𝑟
5.615𝑞 𝑔 𝑃
𝑍𝑅𝑇
=
𝑄 𝑔 𝑃𝑠𝑐
𝑍𝑠𝑐 𝑅𝑇𝑠𝑐
(
𝑇𝑄 𝑔
𝑘ℎ
)
𝑑𝑟
𝑟
= 0.703 (
2𝑃
𝜇𝑍
) 𝑑𝑃
(
𝑇𝑄 𝑔
𝑘ℎ
) 𝑙𝑛( 𝑟
𝑟𝑤⁄ ) = 0.703 ∫ (
2𝑃
𝜇𝑍
) 𝑑𝑃
𝑃
𝑃 𝑤𝑓
Imposing darcy’s law condition
 Steady state flow : which requires that 𝑄 𝑔is constant at all radii
 Homogenous formation which implies that k and h are constant gives
(
𝑇𝑄 𝑔
𝑘ℎ
) 𝑙𝑛( 𝑟
𝑟𝑤⁄ ) = 0.703 ∫ (
2𝑃
𝜇𝑍
) 𝑑𝑃
𝑃
𝑃 𝑤𝑓
The terme ∫ (
2𝑃
𝜇𝑍
) 𝑑𝑃
𝑃
𝑃 𝑤𝑓
can be extanded to give
∫ (
2𝑃
𝜇𝑍
) 𝑑𝑃
𝑃
𝑃 𝑤𝑓
= ∫ (
2𝑃
𝜇𝑍
) 𝑑𝑃
𝑃
0
− ∫ (
2𝑃
𝜇𝑍
) 𝑑𝑃
𝑃 𝑤𝑓
0
(
𝑇𝑄 𝑔
𝑘ℎ
) 𝑙𝑛( 𝑟
𝑟𝑤⁄ ) = 0.703 [∫ (
2𝑃
𝜇𝑍
) 𝑑𝑃
𝑃
0
− ∫ (
2𝑃
𝜇𝑍
) 𝑑𝑃
𝑃 𝑤𝑓
0
]
The integral ∫ (
2𝑃
𝜇𝑍
) 𝑑𝑃
𝑃
0
is called the real gas potentiel or real gas pseudo-pressure and
its usually represented by m(p) or 𝛹 this
10
m(p) = 𝛹 = ∫ (
2𝑃
𝜇𝑍
) 𝑑𝑃
𝑃
0
(
𝑇𝑄 𝑔
𝑘ℎ
) 𝑙𝑛( 𝑟
𝑟𝑤⁄ ) = 0.703(𝛹 − 𝛹𝑤)
𝛹 = 𝛹𝑤 + (
𝑄 𝑔 𝑇
0.703𝑘ℎ
) 𝑙𝑛( 𝑟
𝑟𝑤⁄ )
We trace a graphe of 𝛹 VS 𝑙𝑛( 𝑟
𝑟𝑤⁄ ) yields a straight line of slope (
𝑄 𝑔 𝑇
0.703𝑘ℎ
) and
intercepts 𝛹𝑤
Graph of Ψ vs. ln (r/rw).
The flow rate is given exatly by
𝑄 𝑔 =
0.703𝑘ℎ(𝛹 − 𝛹𝑤)
𝑇𝑙𝑛( 𝑟
𝑟𝑤⁄ )
For 𝑟 = 0.61𝑟𝑒 and 𝛹 = 𝛹𝑟
𝑄 𝑔 =
𝑘ℎ(𝛹𝑟 − 𝛹𝑤)
1422𝑇[𝑙𝑛( 𝑟
𝑟𝑤⁄ ) − 0.5]
Approximation of the gas flow rate
The term
2
𝜇𝑍
outside the integral as a constant. It should be pointed out that the 𝜇𝑍 is
considered constant only under a pressure range of < 2000 psi.
𝑄 𝑔 =
𝑘ℎ
1422𝑇𝑙𝑛( 𝑟
𝑟𝑤⁄ )
∫ (
2𝑃
𝜇𝑍
) 𝑑𝑃
𝑃
𝑃 𝑤𝑓
11
𝑄 𝑔 =
𝑘ℎ(𝑃𝑒
2
− 𝑃 𝑤𝑓
2
)
1422𝑇(𝜇𝑍̅̅̅̅)𝑙𝑛( 𝑟
𝑟𝑤⁄ )
The term (𝜇𝑍̅̅̅̅) is evaluated at an average pressure p that is defined by the following
expression:
𝑃̅ = √
𝑃1
2
+ 𝑃2
2
2
Horizontal multiple phase flow
𝑞 𝑂 = 0.001127 (
2𝜋𝑟ℎ
𝜇 𝑜
) 𝑘 𝑜
𝑑𝑃
𝑑𝑟
𝑞 𝑤 = 0.001127 (
2𝜋𝑟ℎ
𝜇 𝑤
) 𝑘 𝑤
𝑑𝑃
𝑑𝑟
𝑞 𝑔 = 0.001127 (
2𝜋𝑟ℎ
𝜇 𝑔
) 𝑘 𝑔
𝑑𝑃
𝑑𝑟
Using the above concept in Darcy’s equation and expressing the flow rate in standard
conditions yield:
𝑞 𝑂 = 0.00708𝑟ℎ𝑘 (
𝑘 𝑟𝑜
𝜇 𝑜 𝐵𝑜
)
𝑑𝑃
𝑑𝑟
𝑞 𝑤 = 0.00708𝑟ℎ𝑘 (
𝑘 𝑟𝑤
𝜇 𝑤 𝐵 𝑤
)
𝑑𝑃
𝑑𝑟
𝑞 𝑔 = 0.00708𝑟ℎ𝑘 (
𝑘 𝑟𝑔
𝜇 𝑔 𝐵𝑔
)
𝑑𝑃
𝑑𝑟
b) Un-steady state flow
Basic equtions for transient flow
 Equation de continuité
12
 Equation de transport
 Equation de compressibilité
 Condition initial et condition aux limites
Régime un steady state
 Equation de continuité
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 – 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡 = 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 = (𝜌𝑉) 𝑟+𝑑𝑟 = 𝜌𝐴(𝑟 + 𝑑𝑟) = 𝜌𝐴𝑣∆𝑡
𝐴 = 2𝜋(𝑟 + 𝑑𝑟)ℎ
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 = 𝜌[2𝜋(𝑟 + 𝑑𝑟)ℎ]𝑣∆𝑡
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 = 2𝜋∆𝑡(𝑟 + 𝑑𝑟)ℎ(𝜌𝑣) 𝑟+𝑑𝑟
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡 = 2𝜋∆𝑡𝑟ℎ(𝜌𝑣) 𝑟
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ →
𝑑𝑉
𝑑𝑟
= 2𝜋𝑟ℎ → 𝑑𝑉 = 2𝜋𝑟ℎ𝑑𝑟
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = 𝑑𝑉[(𝜌∅) 𝑡+∆𝑡 − (𝜌∅) 𝑡]
𝐷𝑖𝑣(𝜌𝑉) +
𝑑
𝑑𝑡
(𝜌∅) = 0
Coordonnées cylindriques :
 Equation de Darcy :
Ecoulement linéaire : 𝑉 = −0.001127
𝑘
𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑥
 
     
d
dt r
d
dr
U r
r
d
d
U
d
dz
Ur z
 


 
S0 1 1
   




13
Ecoulement radial : 𝑉 = 0.006328
𝑘
𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑟
 Equation d’état :
Compressibilité du fluide : 𝐶 =
1
𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑃
Compressibilité de formation (roche) : 𝐶𝑟 =
1
∅
𝜕∅
𝜕𝑃
 Equation de diffusivité :
Combinons ces trois équations précédentes,
0,006328
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(
𝑘
𝜇
(𝜌𝑟)
𝜕𝑃
𝜕𝑟
) =
𝜕
𝜕𝑡
(𝜌∅)
𝜕
𝜕𝑡
(𝜌∅) = ∅
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝜌
𝜕∅
𝜕𝑡
𝜕∅
𝜕𝑡
=
𝜕∅
𝜕𝑃
𝜕𝑃
𝜕𝑡
= ∅𝐶𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑡
0,006328
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(
𝑘
𝜇
(𝜌𝑟)
𝜕𝑃
𝜕𝑟
) = ∅𝐶𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑡
+ ∅
𝜕𝜌
𝜕𝑡
i. Radial flow of slightly compressible flow
0.006328 (
𝑘
𝜇
) [
𝜕2
𝑃
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑟
+ 𝐶 (
𝜕𝑃
𝜕𝑟
)
2
] = ∅(𝐶𝑟 + 𝐶)
𝜕𝑃
𝜕𝑡
𝐶 (
𝜕𝑃
𝜕𝑟
)
2
≈ 0
0.006328 (
𝑘
𝜇
) [
𝜕2
𝑃
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑟
] = ∅𝐶𝑡
𝜕𝑃
𝜕𝑡
𝜕2
𝑃
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑟
=
∅𝜇𝐶𝑡
0.006328𝑘
𝜕𝑃
𝜕𝑡
𝜕2 𝑃
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑟
=
∅𝜇𝐶𝑡
0.000264𝑘
𝜕𝑃
𝜕𝑡
C’est l’équation de diffusivité des fluides peu-compressibles
(huiles)
Ƞ =
0.000624𝑘
∅𝜇𝐶 𝑡
Ƞ : diffisivity constant
𝜕2
𝑃
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑟
=
1
Ƞ
𝜕𝑃
𝜕𝑡
Solution de l’équation de diffusivité pour les fluides peu-compressibles :
 La solution Ei-function :
En 1967, Matthews et Russell ont proposé une solution de l’équation de diffusivité
basée sur les hypothèses suivantes :
14
 Réservoir infini,
 Le puits produit avec un débit constant,
 𝑃(𝑡 = 𝑂) = 𝑃𝑖,
 Le puits de rayon rw est localisé au centre d’un cylindre de rayon re,
 𝑟 = 𝑟𝑒 𝑄 = 0.
D’où la solution proposée par ces auteurs prend la forme suivante :
𝑃(𝑟, 𝑡) = 𝑃𝑖 + [
70.6𝑄𝜇𝐵
𝑘ℎ
] 𝐸𝑖 [
−948∅𝜇𝐶𝑡 𝑟2
𝑘𝑡
]
La fonction mathématique Ei est appelée exponentiel intégral, définie par :
𝐸𝑖(−𝑥) = − ∫
𝑒−𝑢
𝑢
∞
𝑥
𝑑𝑢 = [𝑙𝑛𝑥 −
𝑥
1!
+
𝑥2
2(2!)
−
𝑥3
3(3!)
+ ⋯ ]
Si 𝑥 < 0.01 ;
𝐸𝑖(−𝑥) = ln(1.781𝑥) 𝑥 =
948∅𝜇𝐶 𝑡 𝑟2
𝑘𝑡
Si 0.01 < 𝑥 < 3 ;
𝐸𝑖(−𝑥) = 𝑎1 + 𝑎2 ln(𝑥) + 𝑎3[ln(𝑥)]2
+ 𝑎4[ln(𝑥)]3
+ 𝑎5 𝑥 + 𝑎6 𝑥2
+ 𝑎7 𝑥3
+ 𝑎8/𝑥
𝑥 > 10.9
𝐸𝑖(−𝑥) = 0
Pour 𝑥 < 0.01
𝑃(𝑟, 𝑡) = 𝑃𝑖 − [
162.6𝑄𝜇𝐵
𝑘ℎ
] [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟2
) − 3.23]
On a pour 𝑟 = 𝑟𝑤 𝑃 = 𝑃 𝑤𝑓
𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 − [
162.6𝑄𝜇𝐵
𝑘ℎ
] [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23]
 La solution en termes de pression adimensionnelle :
L’importance des variables adimensionnelles est de simplifier l’équation de diffusivité
et leur solution par combinaison des paramètres de réservoir,
𝑄 𝑜 = 0.00708
𝑘ℎ(𝑃𝑒 − 𝑃 𝑤𝑓)
𝜇 𝑜 𝐵𝑜 𝑙𝑛(𝑟𝑒/𝑟𝑤)
15
𝑃𝑒 − 𝑃 𝑤𝑓
(
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
0.00708𝑘ℎ
)
= 𝑙𝑛 (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
)
Cette équation peut être écrite sous la forme adimensionnelle suivante :
𝑃𝐷 = 𝑙𝑛(𝑟𝑒𝐷)
Avec :
𝑃𝐷 =
𝑃𝑒 − 𝑃 𝑤𝑓
(
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
0.00708𝑘ℎ
)
𝑒𝑡 𝑟𝑒𝐷 =
𝑟𝑒
𝑟𝑤
𝑃𝐷 =
𝑃𝑖 − 𝑃(𝑟, 𝑡)
(
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
0.00708𝑘ℎ
)
𝑡 𝐷 =
0.000264𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
𝑡 𝐷𝐴 =
0.000264𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝐴
= 𝑡 𝐷 (
𝑟𝑤
2
𝐴
)
L’équation de diffusivité peut être écrite sous la forme adimensionnelle comme suit :
𝜕2
𝑃𝐷
𝜕𝑟𝐷
2
+
1
𝑟𝐷
𝜕𝑃𝐷
𝜕𝑟𝐷
=
𝜕𝑃𝐷
𝜕𝑡 𝐷
En 1949, Van Everdingen et Hurst ont proposé une solution analytique de l’équation
de diffusivité basée sur les hypothèses suivantes :
 Réservoir radial,
 Le puits est centré et produit à débit constant,
 𝑃(𝑡 = 0) = 𝑃𝑖,
 (
𝜕𝑃
𝜕𝑟
)
𝑟𝑒
= 0 .
Van Everdingen and Hurst presented the solution in a form of an infinite series of
exponential terms and Bessel functions. The authors evaluated this series for several
values of 𝑟𝑒𝐷 over a wide range of values for 𝑡 𝐷 and presented the solution in terms of
dimensionless pressure drop 𝑝 𝐷 as a function of dimensionless radius 𝑟𝑒𝐷 and
dimensionless time 𝑡 𝐷. Chatas (1953) and Lee (1982) conveniently tabulated these
solutions for the following two cases:
1) infinite-acting reservoir 𝑟𝑒𝐷 → ∞;
2) finite-radial réservoir
1- Cas de réservoir infini :
16
C’est le cas où la réponse de pression n’est affectée par les limites du réservoir, c’est
pour cela que le régime transitoire est appelé infinite acting state.
Dans ce cas 𝑟𝑒𝐷 → ∞, et 𝑃𝐷 = 𝑓(𝑡 𝐷)
Chatas et Lee ont tablé les valeurs de PD dans le du réservoir infini ;
Les expressions mathématiques suivantes sont utilisées pour évaluées les résultats
tablés :
Pour 𝒕 𝑫 < 𝟎. 𝟎𝟏 ,
𝑃𝐷 = 2√
𝑡 𝐷
𝜋
Pour 𝒕 𝑫 > 𝟏𝟎𝟎 ,
𝑃𝐷 = 0.5[𝑙𝑛(𝑡 𝐷) + 0.80907]
Pour 𝟎. 𝟎𝟐 < 𝒕 𝑫 < 𝟏𝟎𝟎 ,
𝑃𝐷 = 𝑎1 + 𝑎2 ln(𝑡 𝐷) + 𝑎3[ln(𝑡 𝐷)]2
+ 𝑎4[ln(𝑡 𝐷)]3
+ 𝑎5 𝑡 𝐷 + 𝑎6 𝑡 𝐷
2
+ 𝑎7 𝑡 𝐷
3
+ 𝑎8/𝑡 𝐷
2) Cas de réservoir fini :
La pression est affectée par les limites du réservoir, c-à-d la fin de la période transitoire
et le début du régime pseudo-permanent,
Dans ce cas 𝑃𝐷 = 𝑓(𝑡 𝐷, 𝑟𝑒𝐷)
Chatas en 1953 a proposé une expression mathématique pour calculer PD,
Pour 25 < 𝑡 𝐷 𝑒𝑡 0.25𝑟𝑒𝐷
2
< 𝑡 𝐷 ,
𝑃𝐷 =
0.5 + 2𝑡 𝐷
𝑟𝑒𝐷
2 − 1
−
𝑟𝑒𝐷
4[3 − 4𝑙𝑛(𝑟𝑒𝐷)] − 2𝑟𝑒𝐷
2
− 1
4(𝑟𝑒𝐷
2 − 1)2
Cas particulier : pour 𝑟𝑒𝐷
2
>>> 1
𝑃𝐷 =
2𝑡 𝐷
𝑟𝑒𝐷
2
+ 𝑙𝑛(𝑟𝑒𝐷) − 0.75
𝑃(𝑟𝑤, 𝑡) = 𝑃𝑖 − (
𝑄𝐵𝜇
0.00708𝑘ℎ
) 𝑃𝐷
ii. Radial flow of compressible fluides
Masse volumique des gaz : 𝜌 =
𝑃𝑀
𝑍𝑅𝑇
Compressibilité des gaz :
17
𝐶𝑔 =
1
𝑃
−
1
𝑍
(
𝜕𝑍
𝜕𝑃
)
Par combinaison de ces 2 équations et l’équation de diffusivité,
0,006328
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(
𝑘
𝜇
(𝜌𝑟)
𝜕𝑃
𝜕𝑟
) = ∅𝐶𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑡
+ ∅
𝜕𝜌
𝜕𝑡
On obtient l’équation suivante :
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
𝑃
𝜇𝑍
𝜕𝑃
𝜕𝑟
) =
∅𝜇𝐶𝑡
0.000264𝑘
𝑃
𝜇𝑍
𝜕𝑃
𝜕𝑡
En 1966, Al-Hussainy, Ramey et Crawford ont linéarisé l’équation précédente en
introduisant le potentiel réel des gaz m(P) :
𝑚(𝑃) = ∫
2𝑃
𝜇𝑍
𝑑𝑃
𝑃
0
, 𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = ∫
2𝑃
𝜇𝑍
𝑑𝑃
𝑃 𝑖
𝑃 𝑤𝑓
𝜕𝑚(𝑃)
𝜕𝑃
=
2𝑃
𝜇𝑍
𝜕𝑚(𝑃)
𝜕𝑡
=
𝜕𝑚(𝑃)
𝜕𝑃
𝜕𝑃
𝜕𝑡
𝜕𝑃
𝜕𝑟
=
𝜇𝑍
2𝑃
𝜕𝑚(𝑃)
𝜕𝑟
et
𝜕𝑃
𝜕𝑡
=
𝜇𝑍
2𝑃
𝜕𝑚(𝑃)
𝜕𝑡
Donc l’équation de diffusivité devient comme suit :
𝜕2 𝑚(𝑃)
𝜕𝑟2 +
1
𝑟
𝜕𝑚(𝑃)
𝜕𝑟
=
∅𝜇𝐶𝑡
0.000264𝑘
𝜕𝑚(𝑃)
𝜕𝑡
C’est l’équation de diffusivité des fluides
incompressibles (gaz).
La méthode de solution m(P) (solution exacte) :
En 1966, Al-Hussainy, et al ont proposé une solution de la forme suivante :
𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = 𝑚(𝑃𝑖) − 5789.3 (
𝑃𝑠𝑐
𝑇𝑠𝑐
) (
𝑄 𝑔 𝑇
𝑘ℎ
) [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23]
𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = 𝑚(𝑃𝑖) − (
1637𝑄 𝑔 𝑇
𝑘ℎ
) [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23]
La méthode de la pression quadratique:
Cette approximation fait sortir le terme (𝜇𝑍) en dehors de l’intégrale, utilisée pour des
pressions de réservoir P<2000psi.
𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) =
2
𝜇 𝑍
∫ 𝑃𝑑𝑃
𝑃 𝑖
𝑃 𝑤𝑓
𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) =
𝑃𝑖
2
− 𝑃 𝑤𝑓
2
𝜇 𝑍
18
𝜇 𝑒𝑡 𝑍 Sont calculées à la pression moyenne 𝑃 = √
𝑃𝑖
2−𝑃 𝑤𝑓
2
2
𝑃 𝑤𝑓
2
= 𝑃𝑖
2
− (
1637𝑄 𝑔 𝑇𝜇𝑍
𝑘ℎ
) [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23]
The pressure approximation methode:
𝐵𝑔 = (
𝑃𝑠𝑐
5.615𝑇𝑠𝑐
) (
𝑍𝑇
𝑃
)
𝑃
𝑍
= (
𝑇𝑃𝑠𝑐
5.615𝑇𝑠𝑐
) (
1
𝐵𝑔
)
𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = ∫
2𝑃
𝜇𝑍
𝑑𝑃
𝑃 𝑖
𝑃 𝑤𝑓
𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) =
2𝑇𝑃𝑠𝑐
5.615𝑇𝑠𝑐
∫ (
1
𝜇𝐵𝑔
) 𝑑𝑃
𝑃 𝑖
𝑃 𝑤𝑓
Fetkovich (1973) a suggéré que pour P>3000psi,
1
𝜇𝐵 𝑔
est constant, alors
𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) =
2𝑇𝑃𝑠𝑐
5.615𝑇𝑠𝑐 𝜇𝐵𝑔
(𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓)
𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 − (
162.5 ∗ 103
𝑄 𝑔 𝜇𝐵𝑔
𝑘ℎ
) [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23]
c) Pseudo steady state
Pendent l’écoulement transitoire, on a supposé que le puits est localisé dans large
réservoir et se produit à débit constant, les limites du réservoir n’affectent pas le
comportement de pression.
Quand la pression atteint toutes les limites de drainage, l’écoulement transitoire se
disparait, un autre régime aura lieu appelé écoulement pseudo-permanent.
Il est nécessaire d’imposer des conditions aux limites pour la solution de l’équation de
diffusivité durant ce régime d’écoulement.
19
(𝜕𝑃/𝜕𝑡) 𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
𝐶 = −
1
𝑉
𝑑𝑉
𝑑𝑃
, 𝐶𝑉𝑑𝑃 = −𝑑𝑉 , 𝐶𝑉
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= −
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝑞
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= −
𝑞
𝐶𝑉
= −
𝑞
24𝐶𝑉
= −
𝑄 𝑜 𝐵𝑜
24𝐶𝑉
Le volume des pores pour un drainage radial est 𝑉 =
𝜋𝑟𝑒
2ℎ∅
5.615
=
𝐴ℎ∅
5.615
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= −
0.23396𝑞
𝐶𝑡 𝜋𝑟𝑒
2ℎ∅
= −
0.23396𝑞
𝐶𝑡 𝐴ℎ∅
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
𝑃 𝑖−𝑃𝑟
𝑡
, 𝑃𝑟 = 𝑃𝑖 −
0.23396𝑞𝑡
𝐶 𝑡 𝐴ℎ∅
t : la durée la période pseudo-permanente.
i. Fluides peu-compressibles :
𝜕2
𝑃
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑟
=
∅𝜇𝐶𝑡
0.000264𝑘
𝜕𝑃
𝜕𝑡
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= −
0.23396𝑞
𝐶𝑡 𝐴ℎ∅
20
𝜕2
𝑃
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑟
= (
∅𝜇𝐶𝑡
0.000264𝑘
) (−
0.23396𝑞
𝐶𝑡 𝐴ℎ∅
)
𝜕2
𝑃
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑟
= (
−887.22𝑞𝜇
𝐴ℎ𝑘
)
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑟
) = (
−887.22𝑞𝜇
(𝜋𝑟𝑒
2)ℎ𝑘
)
𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑟
=
−887.22𝑞𝜇
(𝜋𝑟𝑒
2)ℎ𝑘
(
𝑟2
2
) + 𝐶1
La constante C1 peut être déterminée en imposant la condition aux limites :
(
𝜕𝑃
𝜕𝑟
)
𝑟𝑒
= 0 , donc 𝐶1 =
141.2𝑞𝜇
ℎ𝑘
𝜕𝑃
𝜕𝑟
=
141.2𝑞𝜇
ℎ𝑘
[
1
𝑟
−
𝑟
𝑟𝑒
]
par intégration de pression entre Pi et Pwf, et de rayon entre re et rw on trouve :
𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓 =
141.2𝑞𝜇
𝑘ℎ
[𝑙𝑛 (
𝑟𝑒
𝑟 𝑤
) −
1
2
] ,
𝑄 =
0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓)
𝜇𝐵 [𝑙𝑛 (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.5]
On suppose que la pression de réservoir moyenne est atteinte à 47% du rayon de
drainage durant le régime pseudo-permanent, d’où
𝑄 =
0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑟−𝑃 𝑤𝑓)
𝜇𝐵[𝑙𝑛(
𝑟 𝑒
𝑟 𝑤
)]
,
𝑙𝑛 (
0.47𝑟𝑒
𝑟𝑤
) = 𝑙𝑛 (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.75
𝑄 =
0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑟 − 𝑃 𝑤𝑓)
𝜇𝐵 [𝑙𝑛 (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.75]
On considère la solution en variables adimensionnelles de la forme suivante :
𝑃𝐷 =
2𝑡 𝐷
𝑟𝑒𝐷
2 + 𝑙𝑛(𝑟𝑒𝐷) − 0.75
𝑃𝐷 =
(
𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓
𝑄𝐵𝜇
)
0.00708𝑘ℎ
𝑡 𝐷 =
0.000264𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
𝑟𝑒𝐷 =
𝑟𝑒
𝑟𝑤
21
Par combinaison de ces 4 relations, on obtient :
𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 −
𝑄𝐵𝜇
0.00708𝑘ℎ
[
0.0005274𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑒
2
+ 𝑙𝑛 (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.75]
𝑃𝑟 = 𝑃𝑖 −
0.23396𝑞𝑡
𝐶 𝑡 𝐴ℎ∅
,
𝑡 =
𝐶𝑡 𝐴ℎ∅(𝑃𝑖 − 𝑃𝑟)
0.23396𝑄𝐵
=
𝐶𝑡(𝜋𝑟𝑒
2
)ℎ∅(𝑃𝑖 − 𝑃𝑟)
0.23396𝑄𝐵
En 1971, Ramey et Cobb ont proposé une solution en introduisant un facteur de
correction appelé shape factor CA dans l’équation de diffusivité
𝜕2
𝑃
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝑟
= (
−887.22𝑞𝜇
𝐴ℎ𝑘
)
𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑟 −
162.6𝑄𝐵𝜇
𝑘ℎ
𝑙𝑜𝑔 [
4𝐴
1.781𝐶𝐴 𝑟𝑤
2
]
𝑃𝑟 = 𝑃𝑖 −
0.23396𝑞𝑡
𝐶𝑡 𝐴ℎ∅
En combinant ces deux dernières équations :
𝑃 𝑤𝑓 = [𝑃𝑖 −
0.23396𝑄𝐵𝑡
𝐴ℎ∅𝐶𝑡
] −
162.6𝑄𝐵𝜇
𝑘ℎ
𝑙𝑜𝑔 [
4𝐴
𝐴. 781𝐶𝐴 𝑟𝑤
2
]
ii. Fluides compressibles :
𝜕2 𝑚(𝑃)
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑚(𝑃)
𝜕𝑟
=
∅𝜇𝐶𝑡
0.000264𝑘
𝜕𝑚(𝑃)
𝜕𝑡
𝜕𝑚(𝑃)
𝜕𝑡
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
𝑄 𝑔 =
𝑘ℎ[𝑚(𝑃𝑟) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓)]
1422𝑇 [𝑙𝑛 (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.75]
Two approximations to the above solution are widely used. These approximations are:
 Pressure-squared approximation
 Pressure-approximation
La méthode de pression quadratique : 𝑃 < 2000𝑝𝑠𝑖,
𝑄 𝑔 =
𝑘ℎ (𝑃𝑟
2
− 𝑃 𝑤𝑓
2
)
1422𝑇𝜇𝑍 [𝑙𝑛 (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.75]
Z et µ sont calculés à la pression moyenne 𝑃 = √ 𝑃𝑟
2
+𝑃̅ 𝑤𝑓
2
2
22
The pressure approximated methode 𝑃 > 3 000𝑝𝑠𝑖,
𝑄 𝑔 =
𝑘ℎ(𝑃𝑟 − 𝑃 𝑤𝑓)
1422𝑇𝜇𝐵𝑔 [𝑙𝑛 (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.75]
Les propriétés de gaz sont calculées à la pression moyenne 𝑃 =
𝑃𝑟+𝑃 𝑤𝑓
2
Le facteur volumétrique de formation de gaz est donné par la formule :
𝐵𝑔 = 0.00504
𝑍𝑇
𝑃
CHAPITRE II : Le Skin
23
L'effet du skin “𝒔“ est prévu pour décrire les changements dans la zone near-wellbore.
Ces changements sont dus à plusieurs problèmes qui peuvent être provoquée
pratiquement par n'importe quelle activité pétrolière, telle que le forage, la perforation
et la stimulation. Le skin est un facteur sans dimensions qui peut être obtenu à partir
d'un essai de puits.
L'effet de la zone du skin consiste à modifier la répartition de pression autour du puits
de forage. Dans le cas d’endommagement du puits, la zone de skin provoque une perte
de charge supplémentaire dans la formation.
Trois résultats peuvent être expliqués l’effet de chute de pression au niveau de puits
24
 Premier résultat: 𝛥𝑝𝑠𝑘𝑖𝑛 > 0 ce qui indique une perte de charge
supplémentaire due à l’endommagement du puits c’est que ce veut dire
𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 < 𝑘.
 Deuxième résultat: 𝛥𝑝𝑠𝑘𝑖𝑛 < 0 ce qui indique une chute de pression négative
due à l'amélioration de perméabilité de la zone de skin c'est-à-dire 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 > 𝑘.
 Troisième résultat: 𝛥𝑝𝑠𝑘𝑖𝑛 = 0 ce qui indique l'absence de changements dans
le puits de forage 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 = 𝑘.
Hawkins (1956) a suggéré que la perméabilité dans la zone de skin est uniforme et la
chute de pression dans cette zone peut être approchée par l'équation de Darcy. Hawkins
a proposé la démarche suivante:
∆𝑃𝑠𝑘𝑖𝑛 = [
∆𝑃 𝑖𝑛 𝑠𝑘𝑖𝑛 𝑧𝑜𝑛𝑒
𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛
] − [
∆𝑃 𝑖𝑛 𝑠𝑘𝑖𝑛 𝑧𝑜𝑛𝑒
𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 𝑘
]
L'application de l'équation de Darcy donne:
∆𝑃𝑠𝑘𝑖𝑛 = (
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
0.00708ℎ𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛
) ln (
𝑟𝑠𝑘𝑖𝑛
𝑟𝑤
) − (
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
0.00708ℎ𝑘
) ln (
𝑟𝑠𝑘𝑖𝑛
𝑟𝑤
)
Où:
∆𝑃𝑠𝑘𝑖𝑛 = (
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
0.00708ℎ𝑘
) [
𝑘
𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛
− 1] ln (
𝑟𝑠𝑘𝑖𝑛
𝑟𝑤
)
Où:
𝑘 ∶ Perméabilité de la formation 𝑚𝐷
𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛: Perméabilité de la zone de skin 𝑚𝐷
Donc ∆𝑃𝑠𝑘𝑖𝑛 exprimée sous la forme suivante:
∆𝑃𝑠𝑘𝑖𝑛 = (
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
0.00708ℎ𝑘
) 𝑠 = 141.2 (
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
) 𝑠
Où 𝑠 est appelé le facteur de skin et définie par:
𝑠 = [
𝑘
𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛
− 1] ln (
𝑟𝑠𝑘𝑖𝑛
𝑟𝑤
)
Selon le rapport de perméabilité 𝑘/𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 et si 𝑙𝑛 (𝑟𝑠𝑘𝑖𝑛 / 𝑟𝑤) sont toujours positif, trois
cas possibles pour le signe de skin facteur 𝑠:
25
i. skin positif 𝑆 > 0: Lorsque la zone est endommagée aux abords du puits, 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛
est inférieur à 𝑘 et où 𝑠 est un nombre positif.
ii. skin négatif 𝑆 < 0: Lorsque la perméabilité 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 supérieure à celle de la
formation 𝑘. Ce facteur négatif indique une d'amélioration de perméabilité de la
zone de skin (puits fracturé ou naturellement fracturé).
iii. skin nulle 𝑆 = 0: 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 = 𝑘 la perméabilité de near-wellbore est égale à la
perméabilité originale du réservoir.
L'équation précédente indique qu'un facteur négatif de skin se traduira par une valeur
négative de 𝛥𝑝𝑠𝑘𝑖𝑛. Cela implique que le puits est stimulé, il faudra prélèvements moins
de pression pour produire un débit équivalent le débit produit par une perméabilité
uniforme de réservoir.
La modification de l'équation d'écoulement précédente est basée sur le concept que la
pression réelle va augmenter ou diminuer en fonction de 𝛥𝑝𝑠𝑘𝑖𝑛. En supposant que
(∆𝑃)𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 représente la pression d’une zone de drainage avec une perméabilité
uniforme k alors:
(∆𝑃) 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = (∆𝑃)𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 + (∆𝑃) 𝑠𝑘𝑖𝑛
Où:
(𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓)
𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
= (𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓)
𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
+ (∆𝑃) 𝑠𝑘𝑖𝑛
La modification de débit est recommandé pour tenir compte la variation de la chute de
pression due l'effet de skin peut être appliqué aux trois précédents régimes
d'écoulement:
 Steady-state flow (permanent).
 Unsteady-state flow (transit).
 Pseudo-steady state flow (semi-permanent).
Steady state radial flow
(∆𝑃) 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = (∆𝑃)𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 + (∆𝑃) 𝑠𝑘𝑖𝑛
(𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓)
𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
= (
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
0.00708ℎ𝑘
) ln (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) + (
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
0.00708ℎ𝑘
) 𝑠
Donc le débit est:
𝑄 𝑜 =
0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓)
𝜇 𝑜 𝐵𝑜 [ln
𝑟𝑒
𝑟𝑤
+ 𝑠]
26
Où:
𝑄 𝑜 = Débit d'huile, STB / jour
𝑘 = Perméabilité, mD
ℎ = Épaisseur ft
𝑠 = Le skin facteur
𝐵𝑜 = Facteur volumétrique d’huile, bbl / STB
𝜇 𝑜 = viscosité d'huile, cp
𝑃𝑖 = Pression initiale du réservoir, psi
𝑃 𝑤𝑓 = Fond du trou pression s'écoulant, psi
Un-steady-state radial flow
Pour les fluides peu-compressibles :
(∆𝑃) 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = (∆𝑃)𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 + (∆𝑃) 𝑠𝑘𝑖𝑛
𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓 = 162.6 (
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
) [log
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
− 3.23] + 141.2 (
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
) 𝑠
Ou
𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓 = 162.6 (
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
) [log
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
− 3.23 + 0.87𝑠]
Pour les fluides compressibles : Une approche similaire à celle de la ci-dessus donne:
𝑚(𝑝𝑖) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓) =
1637𝑄 𝑔 𝑇
𝑘ℎ
[log
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
− 3.23 + 0.87𝑠]
Et en ce qui concerne la méthode de pression au carré, la différence [𝑚 (𝑝𝑖) −
𝑚 (𝑝 𝑤𝑓)] peut être remplacée par:
𝑚(𝑝𝑖) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓) = ∫
2𝑝
𝜇𝑍
𝑑𝑝
𝑝 𝑖
𝑝 𝑤𝑓
=
𝑝𝑖
2
− 𝑝 𝑤𝑓
2
𝜇̅ 𝑍̅
Donc :
𝑝𝑖
2
− 𝑝 𝑤𝑓
2
=
1637𝑄 𝑔 𝑇𝜇̅ 𝑍̅
𝑘ℎ
[log
𝑘𝑡
∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤
2
− 3.23 + 0.87𝑠]
Où:
27
𝑄 𝑔 = Débit de gaz, Mscf / jour
𝑇 = Température, °R
𝑘 = Perméabilité, mD
𝑡 = Temps, (hours)
Pseudo-steady-state flow
 Pour les fluides peu-compressibles :
𝑄 𝑜 =
0.00708𝑘ℎ(𝑝̅ 𝑟 − 𝑝 𝑤𝑓)
𝜇 𝑜 𝐵𝑜 [ln (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.75 + 𝑠]
 Pour les fluides compressibles :
𝑄 𝑜 =
𝑘ℎ[𝑚(𝑝̅ 𝑟) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓)]
1422𝑇 [ln (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.75 + 𝑠]
Et en termes de l'approximation quadratique de pression:
𝑄 𝑜 =
𝑘ℎ(𝑝𝑟
2
− 𝑝 𝑤𝑓
2
)
1422𝑇𝜇̅ 𝑍̅ [ln (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.75 + 𝑠]
Où:
𝑄 𝑔 = Débit de gaz, Mscf / jour
𝑘 = Perméabilité, mD
𝑇 = température, ◦ R
𝜇 ̅ 𝑔 = viscosité du gaz à la pression moyenne cp.
𝑍 ̅ 𝑔 = Facteur de compressibilité du gaz à la pression moyenne.
Un traitement alternatif proposé par Matthew & Russell utilise un rayon de puits effectif
ou apparent de tel sorte que la perte de charge totale soit égale dans les deux systèmes,
remplaçant dans l’équation de Darcy on obtient :
𝑟𝑤 𝑎 = 𝑟𝑤 𝑒−𝑠
𝑟𝑤𝑎 : Rayon apparent.
𝑟𝑤 : Rayon de puits.
Toutes les équations idéales d’écoulement radial peuvent être également modifiées par
le remplacement 𝑟𝑤 par le rayon 𝑟𝑤 𝑎. L’équation d’un écoulement radial peut être
exprimée de manière équivalente comme:
28
𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓 = 162.6 (
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
) [log
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 𝑎
2
− 3.23]
Turbulent flow factor
Si la vitesse de l’écoulement de fluide est grande, la loi de Darcy n’est pas applicable
Il apparaitre un non-Darcy-flow qui décrire une chute de pression supplémentaire due
de la turbulence de fluide.
(∆𝛹) 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = (∆𝛹)𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 + (∆𝛹) 𝑠𝑘𝑖𝑛 + (∆𝛹) 𝑛𝑜𝑛−𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦
Wattenbarger et Ramey (1968) a proposé l'expression suivante pour le calcul de
(∆𝛹) 𝑛𝑜𝑛−𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦
(∆𝛹) 𝑛𝑜𝑛−𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦 = 3.161 × 10−12
[
𝛽𝑇𝛾𝑔
𝜇 𝑔𝑤ℎ2 𝑟𝑤
] 𝑄 𝑔
2
Cette équation peut être exprimée sous une forme plus pratique que;
(∆𝛹) 𝑛𝑜𝑛−𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦 = 𝐹𝑄 𝑔
2
Où F est appelé le "coefficient non-Darcy flow" et donné par:
𝐹 = 3.161 × 10−12
[
𝛽𝑇𝛾𝑔
𝜇 𝑔𝑤ℎ2 𝑟𝑤
]
Où:
𝑄 𝑔: Débit de gaz, Mscf / jour
𝜇 𝑔𝑤: viscosité de gaz évalué à 𝑝 𝑤𝑓 (cp).
𝛾𝑔: Densité du gaz.
ℎ: Épaisseur, ft.
𝐹: Coefficient de débit non-Darcy, 𝑝𝑠𝑖2
/𝑐𝑝 / (𝑀𝑠𝑐𝑓 / 𝑗𝑜𝑢𝑟) 2
𝛽 : Paramètre de turbulences
Jones (1987) a proposé une expression mathématique pour estimer le paramètre de
turbulences β tel que :
𝛽 = 1.88(10−10)(𝑘)−1.47(∅)−0.53
Où:
𝑘 : Perméabilité, mD.
𝜑: Porosité, fraction.
Le terme 𝐹𝑄 𝑔
2
peut être inclus dans toutes les équations d’un écoulement de gaz de la
même façon le facteur de skin.
Le terme non-Darcy est interprété comme un skin dépendant du débit.
29
La modification des équations de l'écoulement de gaz pour tenir compte de la condition
d'écoulement turbulent est donnée ci-dessous pour les trois régimes d'écoulement:
 Unsteady-state (transient) flow.
 Semi-steady-state flow.
 Steady-state flow.
Unsteady-state radial flow:
𝑚(𝑝𝑖) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓) = (
1637𝑄 𝑔 𝑇
𝑘ℎ
) [log (
𝑘𝑡
∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠] + 𝐹𝑄 𝑔
2
Donc on peut écrire :
𝑚(𝑝𝑖) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓) = (
1637𝑄 𝑔 𝑇
𝑘ℎ
) [log (
𝑘𝑡
∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠 + 0.87𝐷𝑄 𝑔]
Où le terme 𝐷𝑄 𝑔 est interprété comme le facteur de skin dépendant le débit. Le
coefficient D est appelé le «turbulent flow factor» et donnée par:
𝐷 =
𝐹𝑘ℎ
1422𝑇
Donc le skin total on peut écrire d’après la formule suivante :
𝑠′
= 𝑠 + 𝐷𝑄 𝑔
Ou
𝑚(𝑝𝑖) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓) = (
1637𝑄 𝑔 𝑇
𝑘ℎ
) [log (
𝑘𝑡
∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠′
]
Équation précédente peut être exprimé sous une forme quadratique de pression comme:
𝑝𝑖
2
− 𝑝 𝑤𝑓
2
=
1637𝑄 𝑔 𝑇𝜇̅ 𝑍̅
𝑘ℎ
[log
𝑘𝑡
∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤
2
− 3.23 + 0.87𝑠′
]
Où:
𝑄 𝑔: Débit de gaz, Mscf / jour
𝑡: Temps, (hours)
𝑘 : Perméabilité, mD
𝜇𝑖: viscosité du gaz évalué à 𝑃𝑖, cp
Semi-steady-state flow
Équation d’écoulement pour un régime pseudo-permanant peuvent être modifiés pour
tenir compte de l'écoulement non-Darcy comme suit:
𝑄 𝑔 =
𝑘ℎ [[𝑚(𝑝̅ 𝑟) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓)]]
1422𝑇 [ln (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.75 + 𝑠 + 𝐷𝑄 𝑔]
30
Ou en termes de l'approche de pression au carré:
𝑄 𝑔 =
𝑘ℎ(𝑝𝑟
2
− 𝑝 𝑤𝑓
2
)
1422𝑇𝜇̅ 𝑍̅ [ln (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.75 + 𝑠 + 𝐷𝑄 𝑔]
Steady-state flow
Similaire à la procédure de modification ci-dessus, les équations de régime permanant
peuvent être exprimées comme suit:
𝑄 𝑔 =
𝑘ℎ [[𝑚(𝑝̅ 𝑟) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓)]]
1422𝑇 [ln (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.5 + 𝑠 + 𝐷𝑄 𝑔]
𝑄 𝑔 =
𝑘ℎ(𝑝𝑟
2
− 𝑝 𝑤𝑓
2
)
1422𝑇𝜇̅ 𝑍̅ [ln (
𝑟𝑒
𝑟𝑤
) − 0.5 + 𝑠 + 𝐷𝑄 𝑔]
Les composantes de l’effet de skin :
Le facteur de skin qu’est déterminée par une analyse des essais de puits transitoire
représente le facteur de skin "total" qui comprend les déférents types de skin suivants:
● Skin due to wellbore damage or stimulation 𝑠 𝑑;
● Skin due to partial penetration and restricted entry 𝑠𝑟;
● Skin due to perforations 𝑠 𝑝;
● Skin due to turbulence flow 𝑠𝑡;
● Skin due to deviated well 𝑠 𝑑𝑤.
L’effet de skin peut être écrit comme :
𝑠𝑡 = 𝑠 𝑑 + 𝑠𝑟 + 𝑠 𝑝 + 𝑠𝑡 + 𝑠 𝑑𝑤
a) L’effet de skin provoqué par la complétion et le slant :
Cinco-Ley (1975) a résolu le problème semi-analytique et a présenté des tables de ces
effets de skin pour différentes combinaisons de complétion partiel (slant), d'altitude de
complétion, et de déviation de puits, le schéma suivante montre les variables
appropriées, le ℎ 𝑤 est la taille perforée, le 𝑧 𝑤 est l'altitude du point médian de
perforation de la base du réservoir, ℎ est la taille de réservoir, 𝜃 est l'angle de la
déviation du puits, et le 𝑟𝑤 est le rayon de puits.
31
b) L'effet de skin provoqué par la perforation :
Karakas et Tariq (1988) ont développé un procédé pour calculer l'effet de skin provoqué
par les perforations. Ce qu'ils divisent en composant : l'effet plat d'écoulement (plane
flow) “𝑠ℎ“, l'effet convergent vertical “𝑠 𝑣“, et l'effet de wellbore “𝑠 𝑤𝑏“, tout l’effet de
skin de perforation est alors donné par l’équation :
𝑠 𝑝 = 𝑠ℎ + 𝑠 𝑣 + 𝑠 𝑤𝑏
La figure (3) donne le calcul du skin de perforation, ceux-ci incluent le rayon de puits,
“𝒓 𝒘“, le rayon de perforation, “𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒇“, la longueur de perforation, “𝒍 𝒑“, l'angle de la
perforation 𝜽, et le plus important, c’est la distance entre deux perforation ℎ, qui est
inversement proportionnelle à la densité de perforation.
Ci-dessous, la méthode d'estimer les différents composants du skin de perforation.
32
Calcule de 𝒔 𝒉 :
𝑠ℎ = ln
𝑟𝑤
𝑟𝑤
′ (𝜃)
Où “𝒓 𝒘
′
(𝜽)“ est le rayon efficace du puits et il est une fonction de l'angle de perforation.
𝑟𝑤
′ (𝜃) = {
𝑙 𝑝 4⁄ 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝜃 = 0
𝛼 𝜃(𝑟𝑤 + 𝑙 𝑝) 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝜃 ≠ 0
“𝛼 𝜃“ est un variable dépend à la phase et il obtient à partir le tableau suivant :
Dependance of 𝜶 𝜽 on phasing
Perforating phasing 𝜶 𝜽
0 (360)
180
120
90
60
45
0.250
0.500
0.648
0.726
0.813
0.860
Calcule de 𝒔 𝒗 :
33
Le facteur pseudo skin vertical 𝑠 𝑣 peut être calculé après que certaines variables soient
déterminées :
ℎ 𝐷 =
ℎ
𝑙 𝑝
√
𝑘ℎ
𝑘 𝑣
𝑟𝑝𝐷 =
𝑟𝑝𝑒𝑟𝑓
2ℎ
(1 + √
𝑘 𝑣
𝑘ℎ
)
Donc le facteur pseudo skin 𝑠 𝑣 égale a :
𝑠 𝑣 = 10 𝑎
ℎ 𝐷
𝑏−1
𝑟𝑝𝐷
𝑏
Où les facteurs “𝒂“ et “𝒃“ sont donnes par les équations suivants :
𝑎 = 𝑎1 log 𝑟𝑝𝐷 + 𝑎2
𝑏 = 𝑏1 𝑟𝑝𝐷 + 𝑏2
Les valeurs des constantes 𝑎1,𝑎2, 𝑏1 et 𝑏2 sont indiquées dans le tableau suivante en
fonctions de l'angle mise en phase θ.
Vertical skin correlation coefficients
Perforating phasing (°) 𝒂 𝟏 𝒂 𝟐 𝒃 𝟏 𝒃 𝟐
0(360)
180
120
90
60
45
-2.091
-2.025
-2.018
-1.905
-1.898
-1.788
0.0453
0.0943
0.0634
0.1038
0.1023
0.2398
5.1313
3.0373
1.6136
1.5674
1.3654
1.1915
1.8672
1.8115
1.7770
1.6935
1.6490
1.6392
Calcule de 𝒔 𝒘𝒃
En conclusion, l’effet de skin dans la zone near-wellbore “𝒔 𝒘𝒃“ égale :
𝑠 𝑤𝑏 = 𝐶1 𝑒 𝐶2 𝑟 𝑤𝐷
𝑟 𝑤𝐷 =
𝑟𝑤
𝑙 𝑝 + 𝑟𝑤
Les constantes 𝐶1 et 𝐶2 sont obtenus dans le tableau (4).
34
Variables 𝑪 𝟏 and 𝑪 𝟐
Perforating phasing (°) 𝑪 𝟏 𝑪 𝟐
0(360)
180
120
90
60
45
1.6𝐸 − 1
2.6𝐸 − 2
6.6𝐸 − 3
1.9𝐸 − 3
3.0𝐸 − 4
4.6𝐸 − 5
2.675
4.532
5.320
6.155
7.509
8.791
L’effet de skin dû au colmatage et la perforation :
Karakas et Tariq (1988) ont prouvé que l'effet de skin dû à la perforation et le colmatage
peuvent être égal :
(𝑠 𝑑) 𝑝 = (
𝑘
𝑘 𝑠
− 1) [ln
𝑟𝑠
𝑟𝑤
+ 𝑠 𝑝] = (𝑠 𝑑) 𝑜 +
𝑘
𝑘 𝑠
𝑠 𝑝
Là où les perforations se déterminent à l'intérieur de la zone de dommages(𝒍 𝒑 < 𝒍 𝒅), où
(𝒔 𝒅) 𝒑 est l’effet de skin équivalant d’openhole.
Karakas et Tariq (1988) ont également prouvé que l'effet de skin de colmatage des
perforations déterminant à l'extérieur de la zone endommagée peut être égal :
(𝑠 𝑑) 𝑝 = 𝑠 𝑝 − 𝑠 𝑝
′
Le 𝑠 𝑝
′
est l'effet de skin de perforation évalué à la longueur 𝒍 𝒑
′
et le rayon 𝒓 𝒘
′
donc :
𝑙 𝑝
′
= 𝑙 𝑝 − (1 −
𝑘 𝑠
𝑘
) 𝑙 𝑑
𝑟𝑤
′
= 𝑟𝑤 + (1 −
𝑘 𝑠
𝑘
) 𝑙 𝑑
Les valeurs 𝒍 𝒑' et 𝒓 𝒘' sont employés au lieu du 𝒍 𝒑 et 𝒓 𝒘, respectivement, pour calculer
le 𝑠 𝑝
′
35
Chapitre III : Analyse des Well test méthodes et applications
1- Principe de superposition
Les solutions de l'équation de diffusivité sont applicables pour décrire la répartition de
la pression dans un réservoir infini qui a été causé par une production constante d'un
seul puits. Dans le cas général les réservoirs ont généralement plusieurs puits qui
fonctionnent à vitesse variable, une approche plus générale est nécessaire d'étudier le
comportement de l'écoulement de fluide au cours de la période écoulement
instationnaire.
Le principe de superposition est un concept puissant qui peut être appliqué pour
supprimer les restrictions qui ont été imposées aux diverses formes de solution de
l'équation d'écoulement transitoire. Mathématiquement, le théorème de superposition
stipule que toute somme de solutions individuelles à l'équation de diffusivité est
également une solution à cette équation. Ce concept peut être appliqué pour tenir
compte des effets suivants sur la solution de l’équation d’écoulement transitoire:
 Effets de puits multiples.
 Effets des débits variables.
 Effets des conditions aux limites.
 Effets des changements de pression.
Curseur (1976) a présenté une excellente analyse et la discussion des applications
pratiques du principe de superposition pour résoudre une grande variété de problèmes
d'écoulement instationnaires.
a- Effets de puits multiples
Le concept de superposition explique que la chute de pression totale en un point
quelconque du réservoir est la somme des variations de pression à ce point provoqué
par l'écoulement dans chacun des puits dans le réservoir. En d'autres termes, il suffit de
superposer un effet sur l'autre.
Considérons la Figure suivante qui montre trois puits qui produisent à différents débits
à partir d'un réservoir infini,
36
Le principe de superposition stipule que la chute de pression totale observée dans le
puits 1 est la suivante:
(𝑃𝑖 – 𝑃 𝑤𝑓) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑝𝑢𝑖𝑡𝑠1
= (𝑃𝑖 – 𝑃 𝑤𝑓) 𝑑𝑢𝑒 𝑎𝑢 𝑝𝑢𝑖𝑡𝑠1 + (𝑃𝑖 – 𝑃 𝑤𝑓) 𝑑𝑢𝑒 𝑎𝑢 𝑝𝑢𝑖𝑡𝑠2
+ (𝑃𝑖 – 𝑃 𝑤𝑓) 𝑑𝑢𝑒 𝑎𝑢 𝑝𝑢𝑖𝑡𝑠3
La chute de pression dans le puits 1 en raison de sa propre production est donnée par
l'approximation log à la solution fonction 𝐸𝑖 présenté par l'équation suivante:
(𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝑑𝑢𝑒 𝑎𝑢 𝑝𝑢𝑖𝑡𝑠1
= [
162.6𝑄1 𝜇𝐵
𝑘ℎ
] [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
Où:
𝑡 = Temps (heures).
𝑠 = Skin factor
𝑘 = Perméabilité, mD
𝑄1 = Débit d'huile à partir de puits 1
La chute de pression supplémentaire au puits 1 en raison de la production des puits 2 et
3 doit être écrite en termes de fonction de la solution 𝐸𝑖, il est exprimé par l'équation
suivant,
𝑃(𝑟, 𝑡) = 𝑃𝑖 + [
70.6𝑄 𝑜 𝜇𝐵 𝑜
𝑘ℎ
] 𝐸𝑖[
−948∅𝜇𝐶𝑡 𝑟 𝑜
2
𝑘𝑡
]
Application de l'expression ci-dessus pour calculer la chute de pression supplémentaire
due à deux puits donne:
37
(∆𝑃) 𝑑𝑟𝑜𝑝 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 𝑤𝑒𝑙𝑙 2 = 𝑃𝑖 − 𝑃(𝑟1, 𝑡) = [
−70.6𝑄 𝑜1 𝜇𝐵 𝑜
𝑘ℎ
] 𝐸𝑖[
−948∅𝜇𝐶𝑡 𝑟1
2
𝑘𝑡
]
(∆𝑃) 𝑑𝑟𝑜𝑝 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 𝑤𝑒𝑙𝑙 3 = 𝑃𝑖 − 𝑃(𝑟2, 𝑡) = [
−70.6𝑄 𝑜2 𝜇𝐵 𝑜
𝑘ℎ
] 𝐸𝑖[
−948∅𝜇𝐶𝑡 𝑟2
2
𝑘𝑡
]
Les équations sont applicable pour 𝑥 > 0. 1.
La chute de pression totale est alors donnée par :
(𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑃1
= [
162.6𝑄1 𝜇𝐵
𝑘ℎ
] [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
− [
70.6𝑄2 𝜇𝐵
𝑘ℎ
] 𝐸𝑖 [
−948∅𝜇𝐶𝑡 𝑟1
2
𝑘𝑡
]
− [
70.6𝑄3 𝜇𝐵
𝑘ℎ
] 𝐸𝑖 [
−948∅𝜇𝐶𝑡 𝑟2
2
𝑘𝑡
]
Où 𝑄1, 𝑄2 et 𝑄3 présentent la production du puits 1, 2 et 3. L'approche ci-dessus de
calcul peut être utilisée pour calculer la pression dans les puits 2 et 3.
b- Effets des débits variables
En conséquence, la perte de charge totale qui a eu lieu à un moment quelconque est la
somme des variations de pression provoquées séparément par chaque changement de
débit.
Prenons le cas initial Q = 0, qui a ensuite été autorisés à produire lors d'une série de
changement de débit pour des différentes périodes de temps comme indiquées dans la
figure suivante :
38
Pour calculer la chute de pression totale à l'instant t4, la solution composite est obtenue
en additionnant les différentes solutions à débit constant à la vitesse spécifiée en temps
de séquence, ou:
(∆𝑃) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄01→0) + (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 (𝑄02→𝑄01) + (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄03→𝑄02)
+ (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄04→𝑄03)
L'expression ci-dessus indique qu'il y a quatre contributions à la perte de charge totale
résultant des quatre taux de flux individuels:
Les résultats de la première contribution de l'augmentation du taux de 0 à Q1 et est en
vigueur pendant toute la période t4, ainsi:
(∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄01→0) = [
162.6(𝑄1 − 0)𝐵𝜇
𝑘ℎ
] [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘𝑡4
∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
Les résultats de la deuxième contribution la diminution du taux de Q1 à Q2 à t1, ainsi
(∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄02→𝑄01) = [
162.6(𝑄2 − 𝑄1)𝐵𝜇
𝑘ℎ
] [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘(𝑡4 − 𝑡1)
∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
De la même façon :
(∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄03→𝑄02) = [
162.6(𝑄3 − 𝑄2)𝐵𝜇
𝑘ℎ
] [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘(𝑡4 − 𝑡2)
∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
(∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄04→𝑄03) = [
162.6(𝑄4 − 𝑄3)𝐵𝜇
𝑘ℎ
] [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘(𝑡4 − 𝑡3)
∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
39
c- Effects of the reservoir boundary
Le théorème de superposition peut être également étendu pour prédire la pression d'un
puits dans un réservoir limité. La limite d'écoulement ne peut être représentée par
l'expression gradient de pression suivante:
(
𝜕𝑃
𝜕𝐿
)
𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑦
= 0
Mathématiquement, la condition aux limites ci-dessus peuvent être satisfaites en
plaçant une image bien identique à celle de l'effectif et de l'autre côté de la faille à
distance exactement L. Par conséquent, l'effet de la frontière sur le comportement de la
pression serait bien être le même que l'effet imaginaire et située à une distance 2L du
puits réel. La méthode de superposition est souvent appelée la méthode imaginaire.
Ainsi, pour le problème de la configuration du système de la Figure suivante, le
problème se réduit à une détermination de l'effet de l'image sur le puits réel. La chute
de pression totale sera bien la chute de pression en raison de sa propre production ainsi
que la perte de charge supplémentaire provoquée par un puits identique à une distance
de 2 L, ou:
(∆𝑃) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (∆𝑃) 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑒𝑙 𝑤𝑒𝑙𝑙 + (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒 𝑤𝑒𝑙𝑙
40
Method of images in solving boundary problems
Ou
(∆𝑃) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
162.6𝑄 𝑂 𝐵𝜇
𝑘ℎ
[𝑙𝑜𝑔 (
𝑘𝑡
∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
− (
70.6 𝑄 𝑂 𝐵𝜇
𝑘ℎ
) 𝐸𝑖[
−948∅𝜇𝐶𝑡(2𝐿)2
𝑘𝑡
]
Notez que cette équation suppose que le réservoir est infinie exception de la limite
indiquée. L'effet des limites est toujours à provoquer une chute de pression supérieure
à celles calculées pour les réservoirs infinies.
Le concept de puits d'image peut être étendu pour générer la pression d'un
comportement bien situé dans une variété de configurations de délimitation.
41
Test transitoire
Un essai transitoire est essentiellement réalisé par la création d'une perturbation au
niveau de réservoir et l'enregistrement de la réponse de pression au fond de puits 𝑃 𝑤𝑓
en fonction du temps. Les tests transitoires de pression les plus couramment utilisés
dans l'industrie pétrolière comprennent:
● Pressure drawdown.
● Pressure buildup.
● multirate.
● Interference.
● Drill stem (DST).
● Falloff.
● Injectivité.
Il convient de souligner que lorsque le débit est changé et la réponse de la pression est
enregistrée dans le puits, le test est appelé un test à un seul puits.
Lorsque le débit est modifié dans un puits et la réponse en pression est mesurée dans
un autre puits (s), le test est appelé les tests à plusieurs puits.
2- Types de well test :
On peut classer les essais de puits par plusieurs critères :
 Selon la chronologie de test :
On a les tests initiaux (drill stem test), tests potentiels, et tests périodiques.
 Selon le nombre de puits rentrant dans le test :
On a les tests à un seul puits (build up, drawdown, falloff) ; et les tests à
plusieurs puits (test d’interférence ; pulse test)
 Selon le type de puits : test des puits producteurs (build up ;drawdown ) et des
test des puits injecteurs (injectivity test ;falloff).
 Selon le mode de test :
En fermant le puits (build up ; falloff)
En ouvrant le puits (drawdown ; injectivity test)
en plusieurs fermetures et ouvertures successives (dst ;interference test ;)
a- Draw-down test:
42
C’est un test pour un puits qui produit à un débit constant avec une continuité
d’enregistrement de la pression en face de la formation comme une fonction de temps
de production. Le but de ce test est de caractériser les propriétés de réservoir et le fluide
qui le contient.
Les premières informations acquises de test DRAW-DOWN sont:
 La perméabilité effective moyenne des fluides mobiles dans le réservoir.
 Facteur de skin total.
 Efficacité d'écoulement.
 L’aire de drainage (les limites de réservoir)
 Détection des failles et les distances entre elles.
 Détection des fractures et leurs longueurs.
Le test DRAW-DOWN est pratiquement applicable aux:
 Nouveaux puits
 Pour les puits où le test B U provoque une énorme perte de
production
 Pour les puits, où les objectifs sont de déterminer les limites.
Les inconvénients:
 Impossible de maintenir le débit constant.
 Impossible d’éliminer l’effet de capacité.
 Problème de nettoyage associé aux nouveaux puits après Work-Over et forage.
b- Build up test :
C’est le test le plus utilisé dans le domaine pétrolier, ce test nécessite la fermeture de
puits, l’augmentation de la pression de fond en face de la formation doit être mesurée
en fonction du temps, de fermeture en plus des suppositions faites sur la solution de
l'équation de diffusivité, une théorie de base utilisée pour analyser des données de test
de fermeture, suppose que le puits produit à un débit constant pendant un certain temps
avant la fermeture.
43
Figure. Build up test
Les objective de test BUILD UP: Les objectifs de ce test sont d'évaluer et analyser:
 La perméabilité effective de réservoir.
 Le taux d'endommagement de la formation.
 La pression moyenne de réservoir.
 Les limites de réservoir. (Les failles)
 Les problèmes d'interprétation (l’effet de capacité)
 Les avantages de test BUILD UP: Ce test est préférable par rapport à d’autres
tests pour les raisons suivantes:
 Le contrôle de débit (puits fermé Q = 0)
 La durée de l’effet de capacité peut être réduite ou éliminée en
introduisant une vanne de fermeture au fond.
 Le test peut être utilisé dans certain puits qui fonctionne avec des
moyens artificiels (pompage)
 Les inconvénients de test BUILD UP:
 Perte de la production durant le test.
 Redistribution des fluides dans le puits durant le test rend l’analyse des
données difficile lorsque la vanne de fermeture de fond n’existe pas.
 Nécessite un débit constant pendant la période qui précède la fermeture.
 Le test BUILD UP est un essai à deux débits, par conséquent les méthodes
de superposition doivent être utilisées pour l’interprétation des données, les
variations de pression mesurées durant la fermeture ne sont pas seulement
44
influencées par la fermeture de puits, mais aussi par la période de débit
avant la fermeture.
c- Fall off test:
En Fall Off Test on mesure le déclin de pression correspondant à la fermeture du puits.
Ce test est similaire au test du Build Up (pour les puits producteurs). C'est un essai
spécifique aux puits injecteurs.
Dans ce cas la fermeture provoque non pas une remonte de pression, comme c'est le cas
des puits producteurs, mais un déclin de pression ce qui nous l'allure de la courbe
suivant :
Objective du fall off test:
Le but de Fall Off Test, est d'identifier les raisons qui justifient la chute d'injection du
puits. Et calcul de l'endommagement possible de la formation qui causer la chute de
l'injectivité.
 Avantage:
Les débits d'injection sont souvent bien et facilement contrôlés.
 Inconvénients:
Les analyses peuvent être compliquées, et les résultats erronés due aux l’effet du
fluide injecté, sauf, si le fluide est similaire au fluide de la formation.
Le déclin de pression dans un test Fall off
45
d- Test d´injectivité :
Ces tests ont pour objectif de déterminer la capacité d´absorption d´un puits. Il est
réalisé sur les puits injecteurs. Ce test consiste à injecter un fluide à un débit connu q
dans un puits injecteur initialement fermé et l’enregistrement de la variation de pression
causé par la perturbation. C´est l´équivalent d´un Drawdown pour un puits producteur.
e- Test d´interférence :
Un test d´interférence est un test multi-puits, au moins deux puits sont nécessaires, un
puits d´observation et un puits active
Test d´Interférence entre deux puits
Fall off test.
46
Un test d’interférence a pour but principale de déterminer l’existence d’interférence
(communication) entre les puits testés. Ce test nous permet aussi de déterminer les
caractéristiques du réservoir à une échelle plus grande que celui des essais de puits
conventionnelles. Dans un test d´interférence le débit est varié sur un puits et la
perturbation est enregistrée sur un autre puits.
f- Back Pressure Test (Flow After Flow Test)
Les étapes d’un Back Pressure Test sont les suivantes :
 Produire le puits avec 3 ou 4 duses avec des débits croissant de durées
suffisantes pour atteindre la stabilisation de la pression.
 Fermer le puits jusqu'à atteindre la pression du réservoir.
Historique de débit et de pression d’un Back pressure test
g- Test Isochrone :
Le puits est produit à trois ou quatre débits croissants et une période de fermeture est
introduite entre chaque débit. Les périodes de production, de même durée tp, sont
interrompues pendant le régime de comportement infini. Les fermetures intermédiaires
durent assez pour atteindre la pression initiale pi. Le débit final est étendu pour que la
pression de débit se stabilise.
47
Historique d´un essai isochrone
h- Test Isochrone Modifié :
Les fermetures intermédiaires ont la même durée tp que les périodes de débit, et le débit
final est étendu pour que la pression de débit se stabilise.
Historique d’un essai isochrone modifié
48
Tests But de Test
Draw-down test Pressure profile
Réservoir behavior
Permeability
Skin
Facteur length
Réservoir and limit shape
Build- up test Réservoir behavior
Permeability
Factor length
Skin
Reservoir pressure
Boundaries
DST Reservoir behavior
Permeability
Skin
Factor length
Reservoir limit
boundaries
Fall off tests Mobility in various banks
Skin
Reservoir pressure
Fracture length
Location of front
boundaries
Interferance test Communication between wells
Reservoir type behavior
Porosity
Interwell permeability
Vertical permeability
Layered réservoir test Horizontal permeability
Vertical permeability
skin
average layer pressure
outer boundaries
Step rate test Formation parting pressure
Permeability and skin
49
3- Présentation des méthodes d’interprétation:
Plusieurs méthodes permettent d ‘interpréter un essai de puits.
Ces méthodes peuvent être classées en deux grandes familles:
- Les méthodes conventionnelles.
- Les méthodes utilisant les courbes types.
a- les méthodes conventionnelles:
Elles ont été mises au point à partir des années 30. Elles étaient les seules disponibles
jusqu’aux années 70.
Elles consistent à repérer sur l’évolution de pression les différentes périodes
d’écoulement caractéristiques qui se succèdent.
Au cours d’un écoulement caractéristique (radial circulaire, linéaire…etc.) l’évolution
de la pression est représentée par une fonction du temps f(t). La représentation de la
pression en fonction du temps se traduits par une droite qui permet de déterminer selon
l’écoulement certaines caractéristiques du puits et du réservoir.
N’utiliser que les méthodes conventionnelles pour interpréter un essai présente
plusieurs inconvénients.
- Diagnostiquer un écoulement est parfois délicat:
La représentation de la pression en fonction du temps se traduits par une droite. La
droite n’existe que si les écoulements qui se succèdent sont bien découplés dans le
temps.
Dans le cas contraire aucune droite n’existe; aucune interprétation conventionnelle
n’est possible.
 L’interprétation ne prend en compte que les points situés sur la droite: les points
situés entre deux droites pendant la transition entre deux écoulements ne sont
pas utilisés. De ce fait, souvent, seul un faible parti des données sert à
l’interprétation.
 Tracer le bon droit est parfois délicat:
Dans nombreuses interprétations plusieurs droites peuvent sembler apparaître. Il est
souvent difficile de déterminer la droite correspondant à l’interprétation recherchée.
Les autres apparences de droites ne sont souvent que les tangentes à une courbe de
faible courbure.
b- Les méthodes utilisant les courbes types:
50
Ces méthodes sont apparues dans les années 70 mais ne se sont diffusées et ont pris
toute leur extension que dans les années 80.
Elles sont apparues dans un premier temps sous la forme de planches de courbes
utilisant des paramètres sans dimension.
Pour permettre la représentation sous forme de planches, les courbes types font l’objet
des hypothèses simplificatrices qui limitent parfois sévèrement leurs conditions
d’utilisation.
L’extension des courbes types est directement liée aux progrès importants de
l’informatique: progrès en termes de réduction considérable des temps calcul sur des
ordinateurs de plus en plus puissants.
Ces progrès offrent la possibilité de simuler à l’aide d’un modèle analytique, en faisant
le minimum de simplifications. L ‘évolution de la pression attendue sur l’ensemble d’un
essai de puits en fonction de la configuration réservoir puits choisie.
La génération à l’aide d’un modèle puits implanté sur micro- ordinateur à débarrassé
les courbes types d’une bonne partie des limitations des planches et a considérablement
étendu leurs possibilités.
Les méthodes courbes types ont été fortement améliorées par l’utilisation simultanée
de la dérivée de la pression à partir de l’année 83.
Les méthodes courbes types ont en commun d’interpréter d’un seul coup la globalité
de l’évolution de pression enregistrée au cours d’un essai de puits.
Cette propriété permet à l’interprétateur de déterminer la succession des écoulements
visibles dont l’essai. Il peut ainsi porter un diagnostic sur son puits et son réservoir.
Déroulement d’une interprétation:
La démarche actuellement utilisée est la suivante:
diagnostic : Il sert à déterminer la succession des écoulements visibles au cours
de l’essai. Le repérage de ces écoulements détermine la configuration réservoir
puits qui sera ensuite utilisée dans l’interprétation. Le diagnostic est fait surtout
à l’aide de la dérivée de la pression.
Interprétation : L’interprétation vise à quantifier les paramètres de la
configuration réservoir puits. Elle est réalisée avec les courbes types, la dérivée
de la pression et les méthodes conventionnelles.
Validation : l’interprétation est validée en générant une courbe type simulant
au mieux les données à l’aide d’un modèle analytique adapté à la configuration
51
réservoir puits et à l’historique des débits. Les paramètres initiaux du modèle
sont déterminés lors de la phase d’interprétation.
Un dernier ajustement des paramètres est la plupart du temps nécessaire pour
simuler au mieux les données, surtout au niveau des transitions entre les
différents écoulements.
4- Notion de la zone Compressible et du Rayon d´Investigation :
a- Zone Compressible :
Le débit qui existe à une distance 𝑟 du puits à l´instant 𝑡 peut être déterminé à partir de
la loi de Darcy locale exprimé en écoulement radial circulaire.
La notion de la zone compressible permet de situer de manière pratique la zone du
réservoir atteinte par la perturbation de débit.
La variation de la pression du puits traduit principalement les propriétés du réservoir
dans la zone compressible.
b- Rayon d'investigation:
L'évolution de la pression au puits reflète les propriétés de la portion du réservoir
traversée par la zone compressible. Il est intéressant de caractériser la position de cette
zone. C'est ce que recouvre la notion de rayon d'investigation d'un essai.
La littérature pétrolière présente un grand nombre de définitions différentes du rayon
d'investigation. L'article H.K Van POOLEN présente une bonne synthèse de ces
définitions.
Parmi toutes, on note:
i. La définition de Jones:
Le rayon d'investigation est l'endroit de réservoir où l'évolution de la pression
représente 1% de l'évolution observée au puits.
𝑟𝑖 = 4√ 𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡
⁄
ii. Le définition de POETTMANN:
Le rayon d'investigation est l'endroit de réservoir traversé par un débit égal à 1% de
débit du puits.
𝑟𝑖 = 4.29√ 𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡
⁄
iii. Définition de J. Lee et Muskat :
52
Le rayon d´investigation est l´endroit du réservoir où l´évolution de la pression est la
plus petit.
𝑟𝑖 = 2√ 𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡
⁄
5- Indice de productivité :
L’indice de productivité Ip représente le rapport entre le débit de production et la
différence entre la pression de réservoir moyenne et la pression de fond tel que :
𝐼 𝑝 =
𝑞
𝑃 − 𝑃 𝑤𝑓
a- Indice de productivité réel
(𝐼 𝑝) 𝑟é𝑒𝑙
=
𝑞
𝑃 − 𝑃 𝑤𝑓
b- Indice de productivité théorique:
(𝐼 𝑝) 𝑡ℎé𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒
=
𝑞
𝑃 − 𝑃 𝑤𝑓 − ∆𝑃𝑠
c- Efficacité d’écoulement:
Lorsque n’est pas disponible, peut être remplacé par P*
E
P P P
P P
r wf S
r wf

 


Pr
53
Chapitre IV : Interprétations des Essais du puits
A- Interprétation par les méthodes conventionnelles ;
Ils existent plusieurs types des essais de puits qui différent selon la nature du puits et le
but recherché à travers l´essai de puits. Les plus courant sont les tests de remonté de
pression communément appelé Build Up et les tests en débit appelé Drawdown tests.
1- Drawdown test :
Un test en débit consiste à l´ouverture d´un puits initialement fermé à un débit constant
q.
a- Fluides peu compressible
L’évolution de pression au niveau de réservoir est décrite par :
𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 − [
162.6𝑄𝜇𝐵
𝑘ℎ
] [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
Where:
𝑘 = permeability, md
𝑡 = time, hours
𝑟𝑤 = wellbore radius, ft
𝑠 = skin factor.
L'expression ci-dessus peut être écrite comme:
54
𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 − [
162.6𝑄𝜇𝐵
𝑘ℎ
] [𝑙𝑜𝑔(𝑡) + 𝑙𝑜𝑔 (
𝑘
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
Cette relation est essentiellement une équation d'une ligne droite et peut être exprimée
comme suit:
𝑃 𝑤𝑓 = 𝑎 + 𝑚 𝑙𝑜𝑔(𝑡)
Et la pente 𝑚 est donnée par:
−𝑚 =
−162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
Note : on trace 𝑃 𝑤𝑓 en fonction de 𝑙𝑜𝑔(𝑡) sur un papier semi-log pendant l’écoulement
transitoire pour déterminer la pente 𝑚, qui permet de déterminer le 𝑘ℎ
Le graphe ci-dessous représente l’allure de 𝑃 𝑤𝑓 en fonction du temps 𝑡 pendant un test
Drawdown :
𝑚 =
𝑃 𝑤𝑓 − 𝑃1ℎ𝑟
𝑙𝑜𝑔(𝑡) − 𝑙𝑜𝑔(1)
=
𝑃 𝑤𝑓 − 𝑃1ℎ𝑟
𝑙𝑜𝑔(𝑡)
𝑃 𝑤𝑓 = 𝑚 𝑙𝑜𝑔(𝑡) + 𝑃1ℎ𝑟
La perméabilité moyenne est donnée par:
𝑘 =
162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
|𝑚|ℎ
𝑘 : La perméabilité moyenne, md.
55
𝑚 : La pente du régime transitoire, psi/cycle.
Et le skin peut être obtenue par :
𝑠 = 1.151 [(
𝑃 𝑤𝑓 − 𝑃𝑖
|𝑚|
) − 𝑙𝑜𝑔(𝑡) − 𝑙𝑜𝑔 (
𝑘
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) + 3.23]
Si 𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃1ℎ𝑟, 𝑙𝑜𝑔(𝑡) = 𝑙𝑜𝑔(1) = 0
Alors ;
𝑠 = 1.151 [(
𝑃𝑖 − 𝑃1ℎ𝑟
|𝑚|
) − 𝑙𝑜𝑔 (
𝑘
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) + 3.23]
Notez que la chute de pression supplémentaire due au skin est exprimée comme
∆𝑃𝑠 = 141.2 (
𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
) 𝑠
Donc perte de charge due au skin est calculée par l’expression suivante :
∆𝑃𝑠 = 0.87 |𝑚| 𝑠
 Efficacité d’écoulement E:
Il est définie par le rapport de l’indice de productivité réel par rapport au théorique :
𝐸 =
𝐽𝑟é𝑒𝑙
𝐽𝑡ℎé𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒
=
𝑃 − 𝑃 𝑤𝑓 + ∆𝑃𝑠
𝑃 − 𝑃 𝑤𝑓
 La durée de la période transitoire :
La durée de l’écoulement transitoire peut être estimée par:
𝑡 𝑒𝑖𝑎 = [
∅𝜇𝐶𝑡 𝐴
0.000264𝑘
] (𝑡 𝐷𝐴) 𝑒𝑖𝑎
𝑡 𝑒𝑖𝑎 : Temps de la fin de la période transitoire, heures
A : aire de drainage, ft2
(𝑡 𝐷𝐴) 𝑒𝑖𝑎 : Temps adimensionnelle de la fin de la période transitoire
𝐶𝑡 : Compressibilité totale, psi-1
(𝑡 𝐷𝐴) 𝑒𝑖𝑎 Est déterminé à partir du tableau (colonne 5) (voir annexe)
 La période pseudo permanent:
Si la durée de test DRAW-DOWN est suffisamment longue pour que la pression
se stabilise. La pression durant cette période peut s’écrire selon la formulation de
RAMEY et COBB comme suite:
𝑃 𝑤𝑓 = [𝑃𝑖 −
0.23396𝑄𝐵𝑡
𝐴ℎ∅𝐶𝑡
] −
162.6𝑄𝐵𝜇
𝑘ℎ
𝑙𝑜𝑔 [
4𝐴
1.781𝐶𝐴 𝑟𝑤
2
]
56
Cette formule indique qu’un plot de 𝑃 𝑤𝑓 en fonction de temps 𝑡 donne une ligne droite
sur une échelle cartésienne pendant le régime pseudo-permanent :
𝑃 𝑤𝑓 = 𝑚′
∗ 𝑡 + 𝑏
𝑚′
=
0.23396𝑄𝐵
𝐴ℎ∅𝐶 𝑡
=
𝑑𝑃 𝑤𝑓
𝑑𝑡
𝐴 = 𝜋𝑟𝑒
2
𝑚′
= pente de la semisteady (échelle cartésienne)
Q = débit de fluide, STB / jour
B = facteur volumétrique, bbl / STB
 Test des limites de réservoir:
D’après l’équation précédente, un plot cartésien de 𝑷 𝒘𝒇 en fonction du temps
nous donne une droite pour la pression mesurée durant l’écoulement pseudo-
permanent (pseudo-steady-state). Donc la détermination de la pente m', nous
permet de calculer le volume des pores de drainage de puits comme suite:
𝐴ℎ∅ =
0.23396𝑄𝐵
𝑚′ 𝐶𝑡
 Estimation de la forme de l’aire de drainage:
EARLOUGHER a montré que la forme de l’aire de drainage peut être estimée par
l’expression suivante :
𝐶𝐴 = 5.456
𝑚
𝑚′
𝐸𝑋𝑃 [2.303
(𝑃1ℎ𝑟 − 𝑃𝑖𝑛𝑡)
𝑚
]
𝐶𝐴 : Facteur de forme de l’aire de drainage
𝒎 : La pente du droit en semi-log (plot semi log) (Psi / log cycle)
𝑷 𝟏𝒉𝒓 : Pression à 𝒕 = 𝟏 𝒉𝒓 (plot semi log) (psi)
𝑷𝒊𝒏𝒕 : Pression extrapolée à t = 0 (plot cartésien).
𝒎′
: La pente de la droite (plot cartésien) psi / heure.
𝐶𝐴 : Calculé est comparé avec les valeurs cités dans le tableau (voir annexe) permet de
déterminer la forme de l’aire de drainage.
57
 Le temps de stabilisation (début de la période pseudo-permanente):
C’est le temps nécessaire pour que l’écoulement pseudo-permanent commence. Une
estimation de ce temps:
𝑡 𝑝𝑠𝑠 =
∅𝜇𝐶𝑡 𝐴
0.0002637 𝑘
(𝑡 𝐷𝐴) 𝑝𝑠𝑠
𝑡 𝑝𝑠𝑠 : Le temps nécessaire pour atteindre le régime pseudo-permanent.
 pssDAt : Le temps sans dimension de stabilisation.
 pssDAt : Peut être déterminé à partir du tableau (colonne 5)
 Effet de capacité (wellbore storage) :
L’interprétation des essais de puits est basée sur l’analyse de la réponse de pression
provoquée par le changement brutale du débit (de 0 à Q pour Drawdown; de Q à 0 pour
Buildup). Le débit est contrôlé au surface à cause du volume du tubing, un débit
constant au surface n’implique pas forcément que ce débit est produit entièrement de la
formation. Cet effet est appelé wellbore storage.
Prenons le cas d’un test Drawdown, le puits est initialement fermé, dans le cas ou puits
ouvert à débit constant, la pression de fond se chute, cette dernière provoque deux types
de wellbore storage à savoir :
- Wellbore storage causé par l’expansion du fluide (compressibilité du fluide).
- Wellbore storage causé par le changement de niveau de fluide dans le tubing.
58
Plus la pression de fond se chute, plus le fluide dans le tubing se dilate, le premier débit
de surface n’est produit de la formation, mais de l’expansion du fluide dans le tubing,
c’est l’effet wellbore storage dû à l’expansion du fluide.
𝑞 = 𝑞 𝑓 + 𝑞 𝑤𝑏
𝑞 : Débit de surface,
𝑞 𝑓 : Débit de formation,
𝑞 𝑤𝑏 : Débit contribué par puits.
Durant la période de l’effet wellbore storage, la pression mesurée ne donne pas une
droite en semi-log comme celle du régime transitoire.
Plus la production augmente plus l’effet wellbore storage diminue et on aura = 𝑞 𝑓 , cela
signifie la fin de l’effet wellbore storage.
𝐶 =
∆𝑉 𝑤𝑏
∆𝑃
𝐶 : Coefficient de wellbore storage, bbl/psi
∆𝑉 𝑤𝑏 : Changement du fluide dans le tubing, bbl
𝐶 𝐹𝐸 = 𝑉 𝑤𝑏 ∗ 𝑐 𝑤𝑏
𝐶 𝐹𝐸 : Coefficient du wellbore storage dû à l’expansion du fluide, bbl/psi
𝑉 𝑤𝑏 : Volume total du fluide de fond, bbl
𝑐 𝑤𝑏 : Compressibilité moyenne du fluide de fond, 𝑝𝑠𝑖−1
𝐶 𝐹𝐿 =
144𝐴 𝑎
5.615𝜌
𝐴 𝑎 =
𝜋(𝐼𝐷)2
4(144)
𝐶 𝐹𝐿 : Coefficient du wellbore storage du au changement du fluide dans le tubing, bbl/psi
𝐴 𝑎 : Section du tubing, 𝑓𝑡2
𝐼𝐷 : Diamètre intérieur du tubing, inches
𝜌 : Masse volumique du fluide, 𝑙𝑏/𝑓𝑡3
𝐶 = 𝐶 𝐹𝐸 + 𝐶 𝐹𝐿
 Wellbore storage adimensionnel :
𝐶 𝐷 =
5.615𝐶
2𝜋ℎ∅𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
=
0.8936𝐶
∅ℎ𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
𝐶 𝐷 : Coefficient de wellbore storage adimensionnel,
59
Horner et Earloungher ont indiqué que la pression de fond est proportionnelle de temps
pendant l’effet wellbore storage :
𝑃𝐷 =
𝑡 𝐷
𝐶 𝐷
, log(𝑃𝐷) = log(𝑡 𝐷) − log(𝐶 𝐷)
Cette dernière expression indique qu’un plot de 𝑃𝐷 en fonction de 𝑡 𝐷 sur un papier log-
log forme une droite de pente unitaire pendant l’effet wellbore storage; puisque 𝑃𝐷 =
𝑓(∆𝑃), et 𝑡 𝐷 = 𝑓(𝑡)
Alors, un plot ∆𝑃 en fonction de 𝑡, nous donne aussi une droite de pente unitaire
pendant l’effet wellbore srorage.
Il est possible de calculer le coefficient de wellbore storage 𝐶 par la sélection d’un point
arbitraire depuis la droite de pente unitaire (log-log) et lire ∆𝑃 et 𝑡
𝐶 =
𝑞𝑡
24∆𝑃
=
𝑄𝐵 ∗ 𝑡
24∆𝑃
∆𝑃 = 𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓, psi
𝑄 : Débit en surface, Stb/day
𝐵 : Facteur volumétrique de fond, bbl/Stb
t : temps heures.
 La durée de l’effet wellbore storage :
Ce temps peut être estimé à partir la relation suivante :
𝑡 𝐷 > (60 + 3.5 ∗ 𝑠)𝐶 𝐷
𝑡 >
(200000 + 12000 ∗ 𝑠)𝐶
(𝑘ℎ/𝜇)
 Règle de pouce :
Cette règle situe la fin de l’effet wellbore storage à l’intersection de la courbe log-log
de ∆𝑃 en fonction de 𝑡 de la parallèle à la droite de pente unitaire translatée de 1à 1.5
cycle. (Voir figure ci-dessous).
60
 Rayon d’investigation :
𝑟𝑖𝑛 = 0.0325√
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡
b- Fluides compressibles :
 Régime transitoire :
𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = 𝑚(𝑃𝑖) − (
1637𝑄 𝑔 𝑇
𝑘ℎ
) [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠′
]
𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = 𝑚 ∗ log(𝑡) + 𝑏
𝑚 =
1637𝑄 𝑔 𝑇
𝑘ℎ
𝑃 𝑤𝑓
2
= 𝑃𝑖
2
− (
1637𝑄 𝑔 𝑇𝜇𝑍
𝑘ℎ
) [𝑙𝑜𝑔 (
𝑘𝑡
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠′
]
𝑃 𝑤𝑓
2
= 𝑚 ∗ log(𝑡) + 𝑏
𝑚 =
1637𝑄 𝑔 𝑇𝑍𝜇
𝑘ℎ
𝑠′
= 𝑠 + 𝐷𝑄 𝑔
𝑠′
= 1.151 [(
𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃1ℎ𝑟)
|𝑚|
) − 𝑙𝑜𝑔 (
𝑘
∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤
2
) + 3.23]
𝑠′
= 1.151 [(
𝑃𝑖
2
− 𝑃1ℎ𝑟
2
|𝑚|
) − 𝑙𝑜𝑔 (
𝑘
∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤
2
) + 3.23]
61
 Régime pseudo-permanent:
𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓)
𝑞
=
711𝑇
𝑘ℎ
(𝑙𝑛
4𝐴
1.781𝐶𝐴 𝑟𝑤
2
) + [
2.356𝑇
∅(𝜇 𝑔 𝐶𝑔)
𝑖
𝐴ℎ
] 𝑡
∆𝑚(𝑃)
𝑞
= 𝑏 𝑝𝑠𝑠 + 𝑚′
∗ 𝑡
Cette relation indique qu’un plot de
∆𝑚(𝑃)
𝑞
vs t produit une droite, d’où
𝑏 𝑝𝑠𝑠 =
711𝑇
𝑘ℎ
(𝑙𝑛
4𝐴
1.781𝐶𝐴 𝑟𝑤
2
)
𝑚′
=
2.356𝑇
(𝜇 𝑔 𝐶𝑔)
𝑖
𝐴ℎ∅
 Approche de la pression quadratique :
∆(𝑃2
)
𝑞
=
711𝑇
𝑘ℎ
(𝑙𝑛
4𝐴
1.781𝐶𝐴 𝑟𝑤
2
) + [
2.356𝑇
∅(𝜇 𝑔 𝐶𝑔)
𝑖
𝐴ℎ
] 𝑡
∆(𝑃2
)
𝑞
= 𝑏 𝑝𝑠𝑠 + 𝑚′
∗ 𝑡
𝑏 𝑝𝑠𝑠 =
711𝜇 𝑍𝑇
𝑘ℎ
(𝑙𝑛
4𝐴
1.781𝐶𝐴 𝑟𝑤
2
)
𝑚′
=
2.356𝜇 𝑍𝑇
(𝜇 𝑔 𝐶𝑔)
𝑖
𝐴ℎ∅
Avec :
𝑞: Débit de gaz, Mscf/day
𝐴 : drainage area, ft2
𝑇 : température, °R
𝑡: temps, heures
 L’écoulement multiphasique:
Lorsque la pression de gisement est inférieure de la pression de bulle on a l’existence
de deux phases dans le gisement.
Il est possible dans certain réservoir d’avoir un écoulement de troisième phase (l’eau).
La résolution de ce problème est la considération que la distribution de chaque fluide
est en fonction du temps.
Si les fluides dans le réservoir sont immiscible et les saturations uniformes. L’équation
de la pression DRAW DOWN peut exprimer par:
62
𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 −
162.6𝑞𝑡
 𝑡
ℎ
[log(𝑡) + 𝑙𝑜𝑔 (
 𝑡
∅𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
Le débit total d’écoulement 𝑞𝑡 peut déterminer comme suite:
𝑞𝑡 = 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 + 𝑄 𝑤 𝐵 𝑤 + (𝑄 𝑔 − 𝑄 𝑂 𝑅 𝑠)𝐵𝑔
𝑞𝑡 = 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 + 𝑄 𝑤 𝐵 𝑤 + (𝐺𝑂𝑅 − 𝑅 𝑠)𝑄 𝑜 𝐵𝑔
Avec :
𝑞𝑡 : Le débit total de production bbl/day.
𝑄 𝑜 : Le débit total de production d’huile STB/day.
𝑄 𝑤 : Le débit de production d’eau STB/day
𝑄 𝑔: Le débit de production de gaz Scf/day
𝑅 𝑠 : Le GOR de dissolution SCF / STB.
𝐵𝑔 : Facteur volumétrique de gaz bbl/SCF.
𝐵 𝑤: Facteur volumétrique d’eau bbl/STB.
𝐺𝑂𝑅 : Gaz oil ratio
La mobilité totale λt est:
w
w
g
g
t
kkk

 
0
0
𝑘𝑖 : Perméabilité effective de la phase i, 𝑚𝑑 (i=o, w, g)
µ 𝑖
: viscosité de la phase i, 𝑐𝑝 (i=o, w, g)
La relation de Drawdown précédente indique qu’un plot de 𝑃 𝑤𝑓 en fonction de temps 𝑡,
sur un papier semilog produit une droite de pente m utilisée pour calculer la mobilité
totale λt
 𝑡
=
162.6𝑞𝑡
𝑚 ℎ
PERRINE voit que la perméabilité de chaque phase mobile peut s’exprimer comme
suite:
𝑘 𝑜 =
162.6𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑚 ∗ ℎ
𝑘 𝑤 =
162.6𝑄 𝑤 𝐵 𝑤 𝜇 𝑤
𝑚 ∗ ℎ
𝑘 𝑜 =
162.6(𝑄 𝑔 − 𝑄 𝑜 𝑅𝑠)𝐵𝑔 𝜇 𝑜
𝑚 ∗ ℎ
En fin le facteur de skin total est:
63
s = 1.151 [
Pi − P1hr
|m|
− log (
 t
∅Ctrw
2
) + 3.23]
Remarque :
Après 1 heure d´ouverture, le puits peut être encore sous l´effet de capacité du puits
(wellbore storage), il est alors important de lire la pression sur le droit semi log et non
pas par extrapolation des points de mesures.
Il est à signaler que l´inconvénient majeure d´un test de débit est la difficulté de
maintenir un débit constant durant toute la période de débit.
c- Étapes d’interprétation d’un test DrawDown :
Les différentes étapes d’interprétation d’un test de débit sont citées ci-dessous :
1. Tracer la courbe (𝑃𝑖 – 𝑃 𝑤𝑓) en fonction du temps sur un plot Log – Log.
2. Lire le temps correspondant à la fin de la pente unité.
3. Déterminer le temps à un cycle et demi du temps de l’étape 2. Ceci correspond à la
fin de l’effet de capacité du puits (wellbore storage) et au début de la droit en semilog.
4. Calculer l’effet de capacité du puits (wellbore storage) par la formule :
𝐶 =
𝑄𝐵
24
𝑡
∆𝑃
5. Tracer la courbe 𝑃 𝑤𝑓 en fonction du temps sur un plot semilog.
6. A partir du temps déterminé dans l’étape 3, tracé la meilleur droite.
7. Calculer la pente de la droite m.
8. Calculer le produit 𝑘ℎ et le skin 𝑆, en utilisant les formules citées précédemment.
9. Déterminer le temps correspondant à la fin de la droite sur le semilog (𝑡 𝑒𝑖𝑎).
10. Sur un plot cartésien, tracer 𝑃 𝑤𝑓 en fonction du temps après le début de 𝑡 𝑒𝑖𝑎 ; La
courbe doit être une droite.
11. Déterminer la pente de la droite m’.
12. Calculer le drainage area par l’équation :
𝐴 =
0.23396𝑄𝐵
𝑚′ 𝐶𝑡ℎ∅
13. Calculer le coefficient du Shape factor par l’équation :
𝐶𝐴 = 5.456
𝑚
𝑚′
𝐸𝑋𝑃 [2.303
(𝑃1ℎ𝑟 − 𝑃𝑖𝑛𝑡)
𝑚
]
14. Utilisé la valeur du Shape factor pour déterminer la configuration du drainage du
puits testé. (Voir le tableau).
64
2- Pressure buildup test :
L’essai BU décrit la remonté de la pression de fond en fonction du temps après la
fermeture du puits.
Deux méthodes couramment utilisées sont discutées ci-dessous, ce sont:
i. la méthode de Horner;
ii. la méthode de Miller-Teintures-Hutchinson.
a) la méthode de Horner
Un test de montée en pression est décrit mathématiquement en utilisant le principe de
superposition de 0 a 𝑄 et de 𝑄 a 0
𝑝𝑖 − 𝑝 𝑤𝑠 = (∆𝑝) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (∆𝑝) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 (𝑄 𝑜→0) + (∆𝑝) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 (0→𝑄 𝑜)
Où:
𝑃𝑖 = Pression initiale du réservoir, psi
𝑃𝑤𝑠 = Pression de puits de forage pendant la fermeture, psi
65
(∆𝑝) 𝑄 𝑜→0 = [
162.6 (𝑄 𝑜 − 0)𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
] × [log (
𝑘(𝑡 𝑝 + ∆𝑡)
∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
(∆𝑝) 𝑄 𝑜→0 = [
162.6 (0 − 𝑄 𝑜)𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
] × [log (
𝑘(∆𝑡)
∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
Le comportement de la pression dans le puits pendant la période d'arrêt est alors donné
par:
𝑝𝑖 − 𝑝 𝑤𝑠 =
162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
[log (
𝑘(𝑡 𝑝 + ∆𝑡)
∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
+
162.6 (−𝑄 𝑜)𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
[log (
𝑘(∆𝑡)
∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤
2
) − 3.23 + 0.87𝑠]
On obtient:
𝑝 𝑤𝑠 = 𝑝𝑖 −
162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
[log (
(𝑡 𝑝 + ∆𝑡)
∆𝑡
)]
Où:
𝑃𝑖 = Pression initiale du réservoir, psi
𝑃𝑤𝑠 = Pression face à sable pendant la montée en pression, psi
𝑡 𝑝 = Temps qui s'écoule avant l'arrêt dans, les heures
𝑄 𝑜 = Débit stabilisé bien avant coupure dans, STB / jour
∆𝑡 = arrêt-dans le temps, les heures
L'équation précédente est essentiellement une équation d'une droite qui peut être
exprimé comme suit:
𝑝 𝑤𝑠 = 𝑝𝑖 − 𝑚 [log (
𝑡 𝑝 + ∆𝑡
∆𝑡
)]
On trace 𝑃𝑤𝑠 en fonction de (
𝑡 𝑝+∆𝑡
∆𝑡
) sur un papier semi-log comme indiqué dans la
figure suivante :
66
La courbe présente une droite de pente 𝑚 tell que :
𝑚 =
162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
Ou
𝑘 =
162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑚 ℎ
Où :
m = pente de la droite, psi / cycle
k = perméabilité, mD
Le temps de production peut être exprimé à partir de l'équation suivante:
𝑡 𝑝 =
24𝑁𝑝
𝑄 𝑜
Ou:
𝑁𝑝 = well cumulative oil produced before shut in, STB
𝑄 𝑜 = stabilized well flow rate before shut in, STB/day
𝑡 𝑝 = total production time, hours
67
Le skin peut être déterminé par :
𝑠 = 1.151 [
𝑃1ℎ𝑟 − 𝑃 𝑤𝑓 à ∆𝑡=0
|𝑚|
− 𝑙𝑜𝑔 (
𝑘
∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) + 3.23]
∆𝑃𝑠 = 0.87 ∗ |𝑚| ∗ 𝑠
Où:
𝑃 𝑤𝑓 à ∆𝑡=0 : La pression de fond avant la fermeture (∆𝑡 = 0), psi
𝑠 = Le skin factor
| 𝑚 | = Valeur absolue de la pente de Horner, psi / cycle
𝑟𝑤: Rayon de puits, ft
Pour un écoulement poly-phasique l’équation de build up devient:
𝑝 𝑤𝑠 = 𝑝𝑖 −
162.6 𝑞𝑡
𝜆 𝑡 ℎ
[log (
𝑡 𝑝 + ∆𝑡
∆𝑡
)]
Et le skin est :
𝑠 = 1.151 [
𝑝1ℎ𝑟 − 𝑝 𝑤𝑓 𝑎𝑡=0
|𝑚|
− log (
𝜆 𝑡
∅𝐶𝑡 𝑟𝑤
2
) + 3.23]
Avec
𝜆 𝑡 =
𝑘 𝑜
𝜇 𝑜
+
𝑘 𝑤
𝜇 𝑤
+
𝑘 𝑔
𝜇 𝑔
𝑞𝑡 = 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 + 𝑄 𝑤 𝐵 𝑤 + (𝑄 𝑔 − 𝑄 𝑜 𝑅 𝑠)𝐵𝑔
Ou de manière équivalente en termes de GOR comme:
𝑞𝑡 = 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 + 𝑄 𝑤 𝐵 𝑤 + (𝐺𝑂𝑅 − 𝑅 𝑠)𝑄 𝑜 𝐵𝑔
Où:
𝑞𝑡: Débit total, STB / jour
𝑄 𝑜: Débit d'huile, STB / jour
𝑄 𝑤: Débit d'eau, STB / jour
𝑄 𝑔: Débit de gaz, scf / jour
𝑅 𝑠: Solubilité de gaz, scf / STB
𝐵𝑔: Facteur volumétrique de gaz, bbl / scf
𝜆 𝑡: Mobilité totale, md / cp
𝑘 𝑜: Perméabilité effective à l'huile, mD
𝑘 𝑤: Perméabilité effective de l'eau, mD
𝑘 𝑔: Perméabilité effective de gaz, mD
D’après la méthode de Horner on peut calculer la mobilité totale de fluide :
68
𝜆 𝑡 =
162.6 𝑞𝑡
𝑚 ℎ
Perrine (1956) ont montré que la perméabilité effective de chaque phase, c'est 𝑘 𝑜,𝑘 𝑤,
et 𝑘 𝑔, peut être déterminé comme suit:
𝑘 𝑜 =
162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑚 ℎ
𝑘 𝑤 =
162.6 𝑄 𝑤 𝐵 𝑤 𝜇 𝑤
𝑚 ℎ
𝑘 𝑔 =
162.6 (𝑄 𝑔 − 𝑄 𝑜 𝑅 𝑠)𝐵𝑔 𝜇 𝑔
𝑚 ℎ
Pour les fluides compressibles (gaz)
On trace 𝑚(𝑃𝑤𝑠) ou 𝑃𝑤𝑠
2
vs (
𝑡 𝑝+∆𝑡
∆𝑡
) sur une échelle semi-logarithmique produirait une
relation linéaire avec une pente 𝑚
 Pour l'approche pseudo-pressure:
La pente est :
𝑚 =
1637𝑄 𝑔 𝑇
𝑘ℎ
Et le skin factor est définie par :
𝑠′
= 1.151 [
𝑚(𝑝1ℎ𝑟) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓 𝑎𝑡 ∆𝑡=0)
|𝑚|
− log (
𝑘
∅𝜇𝑖 𝑐𝑡𝑖 𝑟𝑤
2
) + 3.23]
 Pour une pression-carré approche:
Le skin apparente est défini par :
𝑚 =
1637𝑄 𝑔 𝑍̅ 𝜇 𝑔̅̅̅
𝑘ℎ
𝑠′
= 1.151 [
𝑝1 ℎ𝑟
2
− 𝑝 𝑤𝑓 𝑎𝑡 ∆𝑡=0
2
|𝑚|
− log (
𝑘
∅𝜇𝑐𝑡𝑖 𝑟𝑤
2
) + 3.23]
Où 𝑄 𝑔 le débit de gaz est exprimée en Mscf / jour.
 L’effet de capacité du puits C :
𝐶 =
𝑞 ∆𝑡
24 ∆𝑝
=
𝑄 𝐵 ∆𝑡
24 ∆𝑝
Où
∆𝑡 ∶ Le temps de fermeture, hours
∆𝑝 ∶ Différence de pression(𝑃𝑤𝑠 − 𝑃 𝑤𝑓), psi
𝑞 ∶ Débit de fond, STB/ jour
69
𝑄 ∶ Débit de surface, STB / jour
𝐵 ∶ Facteur volumétrique bbl / STB
Le coefficient de wellbore storage a dimensionnel donnée par la formule suivante:
𝐶 𝐷 =
0.8936𝐶
∅ℎ𝑐𝑡 𝑟𝑤
2
Le temps de début de la ligne droite semi-logarithmique peut être estimée à partir de:
∆𝑡 >
170000𝐶𝑒0.14𝑠
(𝑘ℎ/𝜇)
Où:
𝐶 ∶ Coefficent de wellbore storage, 𝑏𝑏𝑙 / 𝑝𝑠𝑖
𝑘 ∶ Perméabilité, 𝑚𝐷
𝑠: Le Skin factor
ℎ ∶ Épaisseur, 𝑓𝑡
Pour 𝑟𝑒 → ∞ la pression serait égale à la pression initiale du réservoir 𝑃𝑖, la droite semi-
logarithmique sera toujours extrapoler à (
𝑡 𝑝+∆𝑡
∆𝑡
) = 1 c à d ∆𝑡 → ∞ pour déterminer la
pression du réservoir.
Réellement la droite ne sera pas extrapoler à la pression initiale du réservoir, mais, au
contraire la pression obtenue aura une pression fausse indiqué par p*.
La pression fausse comme illustré par Matthews et Russell (1967) n'a pas de sens
physique, mais il est généralement utilisé pour déterminer la pression moyenne
réservoir.
Donc d’après la méthode de Horner :
𝑝 𝑤𝑠 = 𝑝∗
−
162.6 𝑄 𝑜 𝜇 𝑜 𝐵𝑜
𝑘ℎ
[log (
𝑡 𝑝 + ∆𝑡
∆𝑡
)]
Et
𝑝 𝑤𝑠 = 𝑝∗
− 𝑚 [log (
𝑡 𝑝 + ∆𝑡
∆𝑡
)]
Bossie-Codreanu (1989) sélectionnent trois points quelconques situés sur la partie
linéaire de semi-log, Les coordonnées de ces trois points sont désignées comme suit:
∆𝑡1 : correspond une pression statique 𝑃 𝑤𝑠1.
∆𝑡2 : Correspond une pression statique 𝑃 𝑤𝑠2.
∆𝑡3 : Correspond une pression statique 𝑃 𝑤𝑠3.
Si ∆𝑡1 < ∆𝑡2 < ∆𝑡3 la pente du pseudo permanant peut être exprimée comme suit :
70
𝑚 𝑝𝑠𝑠 =
(𝑝 𝑤𝑠2 − 𝑝 𝑤𝑠1) log(∆𝑡3 ∆𝑡1⁄ ) − (𝑝 𝑤𝑠3 − 𝑝 𝑤𝑠1) log(∆𝑡2 ∆𝑡1⁄ )
(∆𝑡3 − ∆𝑡1) log(∆𝑡2 ∆𝑡1⁄ ) − (∆𝑡2 − ∆𝑡1) log(∆𝑡3 ∆𝑡1⁄ )
L’aire de drainage du puits peut être calculée à partir de l'équation suivante :
𝑚′
= 𝑚 𝑝𝑠𝑠 =
0.23396 𝑄 𝑜 𝐵𝑜
𝑐𝑡 𝐴 ℎ ∅
Donc l’aire de drainage est :
𝐴 =
0.23396 𝑄 𝑜 𝐵𝑜
𝑐𝑡 𝑚 𝑝𝑠𝑠 ℎ ∅
𝑚′
: La pente de la droite de régime semi-permanant.
En conclusion pour la méthode de Horner :
1. Tracer la courbe (𝑃𝑤𝑠 – 𝑃 𝑤𝑓) en fonction du ∆𝑡 sur un plot Log – Log
2. Lire le temps correspondant à la fin de la pente unité.
3. Déterminer le temps à un cycle et demi du temps de l’étape 2. Ceci correspond
à la fin de l’effet de capacité du puits (wellbore storage) et au début de la droit
en semi log.
4. Calculer l’effet de capacité du puits (wellbore storage) par la formule :
𝐶 =
𝑞 ∆𝑡
24 ∆𝑝
=
𝑄 𝐵 ∆𝑡
24 ∆𝑝
5. Tracer la courbe 𝑃 𝑤𝑓 en fonction du temps sur un plot semilog.
6. A partir du temps déterminé dans l’étape 3, tracé la meilleur droite.
7. Calculer la pente de la droite m.
8. Calculer le produit 𝑘ℎ et le skin 𝑆, en utilisant les formules citées
précédemment.
9. Extrapoler la ligne semi-log et déterminer la pression de réservoir pour
(
𝑡 𝑝+∆𝑡
∆𝑡
) = 1
10. Utilisé la méthode de Bossie-Codreanu pour calculé 𝑚 𝑝𝑠𝑠.
11. Déterminer la pente de la droite m’.
12. Calculer le drainage area par l’équation :
𝐴 =
0.23396𝑄𝐵
𝑚′ 𝐶𝑡ℎ∅
b- Miller–Dyes–Hutchinson method (MDT) :
71
La méthode de Horner peut être simplifiée si le puits produit assez long pour atteindre
un état pseudo-stationnaire. En supposant que le temps de production 𝑡 𝑝 est beaucoup
plus grand que le temps de fermeture ∆𝑡 c'est-à-dire 𝑡 𝑝 + ∆𝑡 ≅ 𝑡 𝑝
On peut écrire :
log (
𝑡 𝑝 + ∆𝑡
∆𝑡
) ≅ log (
𝑡 𝑝
∆𝑡
) = log(𝑡 𝑝) − log(∆𝑡)
Donc l’équation de MDT est la suivante
𝑝 𝑤𝑠 = 𝑝∗
− 𝑚[log(𝑡 𝑝) − log(∆𝑡)]
Ou
𝑝 𝑤𝑠 = [𝑝∗
− 𝑚log(𝑡 𝑝)] + 𝑚 log(∆𝑡)
On trace 𝑝 𝑤𝑠 en fonction de log(∆𝑡) sur un papier semi-log produirait une droite avec
une pente positive de 𝑚 qui est identique à celle obtenue à partir de la méthode de
Horner.
La pente est définie par la formule suivante :
𝑚 =
162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑘ℎ
Et la perméabilité 𝑘 est :
𝑘 =
162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜
𝑚ℎ
La pression p * peut être estimée à partir de MDH en utilisant:
𝑝∗
= 𝑝1ℎ𝑟 + 𝑚 𝑙𝑜𝑔(𝑡 𝑝 + 1)
72
Pour un système circulaire ou carré on peut utiliser la méthode MDH pour estimer la
pression moyenne de réservoir:
1- Choisissez n'importe quel moment ∆𝑡 sur la ligne droite semi-logarithmique et
lire la pression correspondante.
2- Calculer ∆𝑡 à dimensionnel :
∆𝑡 𝐷𝐴 =
0.0002637 𝑘 ∆𝑡
∅ 𝜇 𝑐𝑡 𝐴
3- D’après la figure suivante déterminer 𝑃𝐷𝑀𝐷𝐻
4- Estimer la pression du réservoir moyenne à partir de:
𝑝𝑟̅̅̅ = 𝑝 𝑤𝑠 +
𝑚 𝑃𝐷𝑀𝐷𝐻
1.1513
73
Calcule la pression moyenne de réservoir
 Ramey–Cobb method (Horner)
Ramey et Cobb (1971) ont proposé que la pression moyenne dans la zone de drainage
et peut être lu directement à partir de la ligne droite semilog (Horner methode)
La méthode proposée est basée sur le calcul de la 𝑡 𝑝𝐷𝐴 de temps à produire dimension
telle que définie par l'équation suivante:
𝑡 𝑝𝐷𝐴 = [
0.0002637 𝑘
∅𝜇𝑐𝑡 𝐴
] 𝑡 𝑝
Où:
𝑡 𝑝 : Le temps de production, heures
𝐴 : Drainage Area, 𝑓𝑡2
Connaissant la forme de la zone de drainage et l'emplacement de puits, on peut
déterminer le temps sans dimension d'état pseudo-steady state 𝑡 𝐷𝐴 𝑝𝑠𝑠 indiqué dans le
tableau (la cinquième colonne).
Comparer 𝑡 𝑝𝐷𝐴 avec 𝑡 𝐷𝐴 𝑝𝑠𝑠:
74
● Si 𝒕 𝒑𝑫𝑨 < 𝒕 𝑫𝑨 𝒑𝒔𝒔, alors lisez la pression moyenne réservoir 𝑝̅ d’après la ligne droite
de semi-log et pour (
𝑡 𝑝+∆𝑡
∆𝑡
) = 𝑒𝑥𝑝(4𝜋𝑡 𝑃𝐷𝐴)
Ou utiliser l'expression suivante pour estimer 𝑝̅:
𝒑̅ = 𝒑∗
− 𝒎 𝒍𝒐𝒈[𝒆𝒙𝒑(𝟒𝝅𝒕 𝑷𝑫𝑨)]
● Si 𝒕 𝒑𝑫𝑨 > 𝒕 𝑫𝑨 𝒑𝒔𝒔, puis lisez la pression moyenne de réservoir 𝑝̅ sur la ligne droite
de semi-log pour (
𝑡 𝑝+∆𝑡
∆𝑡
) = 𝐶𝐴 𝑡 𝑃𝐷𝐴
Où 𝐶𝐴 c’est le shape factor déterminée à partir le tableau,
Ou utiliser l'expression suivante pour estimer 𝑝̅:
𝒑̅ = 𝒑∗
− 𝒎 𝒍𝒐𝒈(𝑪 𝑨 𝒕 𝑷𝑫𝑨)
Où:
𝑚 : La pente de la ligne droite semi-log, psi / Cycle
𝑝∗
: La pression fausse, psia
𝐶𝐴 : Le shap factor,
 Dietz method (MDH)
Dietz (1965) a indiqué que si le test prend longtemps pour atteindre l'état pseudo-steady
state, la pression moyenne peut être lu directement à partir de semilog,
Le temps de fermeture :
(∆𝑡) 𝑝̅ =
∅𝜇𝑐𝑡 𝐴
0.0002637𝐶𝐴 𝑘
Où:
∆𝑡 : Temps de fermeture, (heures).
𝐴 : Drainage Area, 𝑓𝑡2
.
𝐶𝐴 : Shape factor
𝑘 : Perméabilité, mD
𝑐𝑡 : Compressibilité totale, psi-1
Donc la pression moyenne de réservoir est estimée par la relation suivante :
𝑝̅ = [𝑝∗
− 𝑚 𝑙𝑜𝑔(𝑡 𝑝)] + 𝑚 log((∆𝑡) 𝑝̅)
3- Injection Well Testing
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Well test

  • 1. 1 Introduction : Les informations fiables sur des conditions in situ de réservoir sont importantes en beaucoup de phases de la technologie de pétrole. L’ingénieur de réservoir doit avoir des informations suffisantes sur le réservoir pour analyser convenablement la performance de réservoir et pour prévoir la future production sous de divers modes des fonctionnements. L’ingénieur de production doit connaître les conditions des puits producteurs et injecteurs pour avoir la meilleure performance du réservoir. Beaucoup de cette information peut être obtenue à partir des essais de puits. Contrairement à la sismique qui donne une information globale sur le gisement, et à la diagraphie qui donne une information locale, les essais de puits (souvent combinaison de plusieurs) donne une information détaillée à une échelle moyenne autour du puits qui reflète des grandeurs statiques telles que la géométrie, les limites, l’efficacité des opérations de forage ou de production ; et des grandeurs dynamiques tels que La pression de gisement, la perméabilité, l’indice de productivité etc. Objectif : D´une Facon générale, le but d´un test de puits est d´obtenir des renseignements sur un puits et sur un réservoir, á savoir : 1. Perméabilité du réservoir, 2. Degré d´endommagement du puits (Skin), 3. La pression du réservoir Pr, 4. Les limites du réservoir, 5. Le type du réservoir, 6. Caractérisation d´une fracturation, 7. Evaluer les communications entre les puits …etc. Principe : Le principe d´un essai de puits est de faire varier le débit du puits pour provoquer une perturbation des pressions existant dans le réservoir. La mesure de l´évolution de la pression en fonction du temps et son interprétation fournit des renseignements sur le réservoir et le puits.
  • 2. 2
  • 3. 3 CHAPITRE I : Modèle de filtration L’Écoulement en milieu poreux est un phénomène très complexe et ne peuvent pas donc être décrit comme explicitement que le flux moyen de canalisations ou conduits. Il est assez facile de mesurer la longueur et le diamètre d'un tuyau et calculer sa capacité d'écoulement en fonction de la pression; cependant, dans les milieux poreux, le débit est différent en ce sens il n'ya pas de claire voies d'écoulement qui se prêtent à la mesure. L'objectif principal de cette partie est de présenter les relations mathématiques qui sont conçus pour décrire le comportement d'écoulement des fluides du réservoir. Les formes mathématiques de ces relations varient selon les caractéristiques du réservoir. Les caractéristiques primaires de réservoir qui doit être considéré incluent :  Types de fluides dans le réservoir  Régimes d'écoulement.  Géométrie du réservoir  Nombre d'écoulement des fluides dans le réservoir. a) Types des fluides : En fonction du coefficient de compressibilité isotherme C, on peut distinguer les fluides de réservoir en trois (3) groupes :  Fluides incompréssibles,  Fluides peu-compressibles,  Fluides compressibles. Coefficient de compressibilité :  En terme de volume du fluide : 𝐶 = − 1 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑃  En terme de masse volumique du fluide : 𝐶 = 1 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝑃 i. Fluides incompressibles : Un fluide incompressible est défini comme étant le liquide dont le volume (ou densité) ne change pas avec la pression : 𝜕𝑉 𝜕𝑝 = 0 et 𝜕𝜚 𝜕𝑝 = 0 ii. Fluides peu compressibles :
  • 4. 4 Ces fluides compressibles exposent de petits changements du volume, ou la densité, avec des changements de pression .Connaissant le volume d’une Vref d’un liquide peu compressible à une référence (initiale) pref pression, les changements du comportement volumétrique de ce fluide en fonction de la pression p peuvent être mathématiquement décrits en intégrant l'équation (3.1) pour donner : −𝐶 ∫ 𝑑𝑃 = ∫ 𝑑𝑉 𝑉 𝑉 𝑉𝑟é𝑓 𝑃 𝑃𝑟é𝑓 ; 𝑉 = 𝑉𝑟é𝑓𝑒 𝐶(𝑃𝑟é𝑓−𝑃) On a 𝑒 𝑥 ≈ 1 + 𝑥 ; 𝑉 = 𝑉𝑟é𝑓[1 + 𝐶(𝑃𝑟é𝑓 − 𝑃)] ; 𝜌 = 𝜌𝑟é𝑓[1 − 𝐶(𝑃𝑟é𝑓 − 𝑃)] iii. Fluides compressibles : Ce sont des fluides qui subissent à un grand changement de volume en fonction de la pression. Tous les gaz sont considérés comme des fluides compressibles. La compressibilité isotherme de n'importe quel fluide compressible est décrite par l'expression suivante : 𝐶𝑔 = 1 𝑃 − 1 𝑍 ( 𝜕𝑍 𝜕𝑃 ) b) Régimes d’écoulement : En général, il existe trois (3) types d’écoulements : - Ecoulement permanent, - Ecoulement non-permanent, - Ecoulement pseudo-permanent. i. Ecoulement permanent (steady state flow): Le régime permanent est identifié si la pression à chaque endroit dans le réservoir reste constant, c'est à dire, ne change pas avec le temps. Mathématiquement, cette condition est exprimée en tant que: 𝜕𝑃 𝜕𝑡 = 0 Dans les réservoirs, un écoulement permanent ne peut se produire lorsque le réservoir est complètement rechargé et soutenu par une forte aquifère ou des opérations de maintien de la pression. ii. Ecoulement transitoire (unsteady state): L'écoulement transitoire est défini comme l'état fluide à laquelle le taux de variation de la pression par rapport au temps à n'importe quelle position dans le réservoir n'est pas nul ou constant.
  • 5. 5 𝜕𝑃 𝜕𝑡 = 𝑓(𝑖, 𝑡) Cette définition suggère que la pression dérivée par rapport au temps est essentiellement une fonction à la fois la position i et le temps t. iii. Ecoulement semi permanent (Pseudosteady-state) Lorsque la pression à différents endroits dans le réservoir baisse linéairement en fonction du temps, c'est à dire à un taux de déclin constant, l'état de fluide est caractérisé comme un écoulement semi permanent. Mathématiquement, cette définition indique que le taux de variation de la pression par rapport au temps, à chaque position est constant, donc : ( 𝜕𝑃 𝜕𝑡 ) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 c) La géométrie du réservoir : La forme d'un réservoir exerce un impact significatif sur son comportement d'écoulement. La plupart des réservoirs ont des frontières irrégulières et une description mathématique rigoureuse de leur géométrie est souvent possible seulement avec l'utilisation des simulateurs numériques. Cependant, pour des intérêts pratiques, la géométrie de l'écoulement réel peut être représentée par l’un des l'écoulement suivants :  écoulement linéaire ;  écoulement radial circulaire ;  écoulement elliptique  écoulement sphérique et hémisphérique. i. Ecoulement linéaire:
  • 6. 6 L’écoulement linéaire intervient lorsque les lignes d'écoulement sont parallèles et l’écoulement suit une seule direction. Cela se produit seulement lorsque l’aire de l'écoulement est constante, on trouve ce type d'écoulement dans les puits à fractures naturelles communicantes ou fracture artificielle ii. Ecoulement radial circulaire: Dans l'absence des hétérogénéités de réservoir. L’écoulement vers le puits suit un chemin radial aux alentours de puits et le gradient de pression augmente aux abords de puits, l’écoulement devient radial. iii. Écoulement elliptique: L’écoulement des fluides est radial à une distance proche du puits mais dans les puits fracturés l’écoulement change sa direction et devient elliptique. iv. Ecoulement Sphérique et hémisphérique : Selon le type de complétion de puits, il est possible d'avoir un écoulement sphérique le s lig n e s is o p o t e n t ie ls le s lig n e s d ’ é c o u le m e n t S c h e m a 3 P u it s F r a c t u r e
  • 7. 7 ou hémisphérique, près du puits. Un puits équipé d'un intervalle perforé limitée pourrait produire un écoulement sphérique dans le voisinage des perforations. Un puits qui pénètre partiellement la zone productrice, suivant les indications de cette figure a pu avoir comme conséquence l'écoulement hémisphérique. La condition a pu surgir là où le coning d’eau est important. d) Nombre de fluides débordants dans le réservoir : Les expressions mathématiques qui sont utilisés pour prédire le rendement volumétrique et le comportement de la pression du réservoir varient en formes et de la complexité en fonction du nombre de fluides mobiles dans le réservoir. Il y a généralement trois systèmes d’écoulements : 1) écoulement monophasé (huile, eau, ou gaz). 2) écoulement biphasique (huile-eau, gaz-huile, ou gaz-eau). 3) écoulement triphasé (huile, eau, et gaz). La loi de Darcy : C’est la loi fondamentale du mouvement des fluides en milieux poreux. L'expression mathématique développé par Henry Darcy en 1856 déclare que la vitesse d'un fluide homogène dans un milieu poreux est proportionnelle au gradient de pression et inversement proportionnelle à la viscosité du fluide. Pour un système linéaire horizontal, cette relation est la suivante: 𝑣 = 𝑞 𝐴 = − 𝑘 𝜇 𝜕𝑝 𝜕𝑥 Et sous forme vectorielle : 𝑣⃗⃗⃗⃗ = − 𝑘̿ 𝜇 ∇⃗⃗⃗⃗ p La loi de Darcy ne s'applique que lorsque les conditions suivantes sont réunies:  écoulement laminaire.  régime permanent.  fluides incompressibles. P e r f o sP u its S p h é r iq u e S e m i S p h é r iq u e s
  • 8. 8  formation homogène.  pas de réaction entre fluide et formation. Pour un écoulement turbulent, ce qui se produit à des vitesses plus élevées, une modification spéciale de l'équation de Darcy est nécessaire. 1) Les équations fondamentales d’écoulement: a) Steady state flow i. Radial flow of incompressible fluids: Selon la loi de Darcy, on a : 𝑉 = 𝑞 𝐴 𝑟 = 0.001127 𝑘 𝜇 𝑑𝑃 𝑑𝑟 𝑄𝐵 2𝜋𝑟ℎ = 0.001127 𝑘 𝜇 𝑑𝑃 𝑑𝑟 ( 𝑄 2𝜋ℎ ) ∫ 𝑑𝑟 𝑟 𝑟𝑒 𝑟 𝑤 = 0.001127𝑘 𝜇𝐵 ∫ 𝑑𝑃 𝑃𝑒 𝑃 𝑤𝑓 𝑄 = 0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑒 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝜇𝐵𝑙𝑛( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ⁄ ) The external (drainage) radius re is usually determined from the well spacing by equating the area of the well spacing with that of a circle 𝜋𝑟𝑒 2 = 43.560 𝐴 → 𝑟𝑒 = √ 43.560 𝐴 𝜋 where A is the well spacing in acres. 𝑃 = 𝑃 𝑤𝑓 + 𝑄𝐵𝜇 0.00708𝑘ℎ 𝑙𝑛( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ⁄ ) Craft and Hawkins (1959) showed that the average pressure is located at about 61% of the drainage radius re for a steady-state flow condition. 𝑄 = 0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑟 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝜇𝐵𝑙𝑛 ( 0.61𝑟𝑒 𝑟𝑤 ⁄ ) 𝑃𝑟 = 𝑃 𝑤𝑓 + 𝑄𝐵𝜇 0.00708𝑘ℎ 𝑙𝑛 ( 0.61𝑟𝑒 𝑟𝑤 ⁄ ) 𝑃𝑟 = 𝑃 𝑤𝑓 + 𝑄𝐵𝜇 0.00708𝑘ℎ [𝑙𝑛( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ⁄ ) − 0.5] 𝑄 = 0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑟 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝜇𝐵[𝑙𝑛( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ⁄ ) − 0.5]
  • 9. 9 ii. Radial flow of slightly compressible fluids: 𝑉 = 𝑞 𝐴 𝑟 = 𝑞 𝑟é𝑓[1 + 𝐶(𝑃𝑟é𝑓 − 𝑃)] 2𝜋𝑟ℎ = 0.001127 𝑘 𝜇 𝑑𝑃 𝑑𝑟 𝑞 𝑟é𝑓 = [ −0.00708𝑘ℎ 𝜇𝐶( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ⁄ ) ] 𝑙𝑛 [ 1 + 𝐶(𝑃𝑟é𝑓 − 𝑃𝑒) 1 + 𝐶(𝑃𝑟é𝑓 − 𝑃 𝑤𝑓) ] Supposons que le point de référence est le fond du puits, alors : 𝑄 = [ 0.00708𝑘ℎ 𝜇𝐵𝐶𝑙𝑛( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ⁄ ) ] 𝑙𝑛[1 − 𝐶(𝑃𝑒 − 𝑃 𝑤𝑓)] iii. Radial flow for compressible gases: 𝑞 𝑔 𝐴 𝑟 = 0.001127 𝑘 𝜇 𝑔 𝑑𝑃 𝑑𝑟 5.615𝑞 𝑔 𝑃 𝑍𝑅𝑇 = 𝑄 𝑔 𝑃𝑠𝑐 𝑍𝑠𝑐 𝑅𝑇𝑠𝑐 ( 𝑇𝑄 𝑔 𝑘ℎ ) 𝑑𝑟 𝑟 = 0.703 ( 2𝑃 𝜇𝑍 ) 𝑑𝑃 ( 𝑇𝑄 𝑔 𝑘ℎ ) 𝑙𝑛( 𝑟 𝑟𝑤⁄ ) = 0.703 ∫ ( 2𝑃 𝜇𝑍 ) 𝑑𝑃 𝑃 𝑃 𝑤𝑓 Imposing darcy’s law condition  Steady state flow : which requires that 𝑄 𝑔is constant at all radii  Homogenous formation which implies that k and h are constant gives ( 𝑇𝑄 𝑔 𝑘ℎ ) 𝑙𝑛( 𝑟 𝑟𝑤⁄ ) = 0.703 ∫ ( 2𝑃 𝜇𝑍 ) 𝑑𝑃 𝑃 𝑃 𝑤𝑓 The terme ∫ ( 2𝑃 𝜇𝑍 ) 𝑑𝑃 𝑃 𝑃 𝑤𝑓 can be extanded to give ∫ ( 2𝑃 𝜇𝑍 ) 𝑑𝑃 𝑃 𝑃 𝑤𝑓 = ∫ ( 2𝑃 𝜇𝑍 ) 𝑑𝑃 𝑃 0 − ∫ ( 2𝑃 𝜇𝑍 ) 𝑑𝑃 𝑃 𝑤𝑓 0 ( 𝑇𝑄 𝑔 𝑘ℎ ) 𝑙𝑛( 𝑟 𝑟𝑤⁄ ) = 0.703 [∫ ( 2𝑃 𝜇𝑍 ) 𝑑𝑃 𝑃 0 − ∫ ( 2𝑃 𝜇𝑍 ) 𝑑𝑃 𝑃 𝑤𝑓 0 ] The integral ∫ ( 2𝑃 𝜇𝑍 ) 𝑑𝑃 𝑃 0 is called the real gas potentiel or real gas pseudo-pressure and its usually represented by m(p) or 𝛹 this
  • 10. 10 m(p) = 𝛹 = ∫ ( 2𝑃 𝜇𝑍 ) 𝑑𝑃 𝑃 0 ( 𝑇𝑄 𝑔 𝑘ℎ ) 𝑙𝑛( 𝑟 𝑟𝑤⁄ ) = 0.703(𝛹 − 𝛹𝑤) 𝛹 = 𝛹𝑤 + ( 𝑄 𝑔 𝑇 0.703𝑘ℎ ) 𝑙𝑛( 𝑟 𝑟𝑤⁄ ) We trace a graphe of 𝛹 VS 𝑙𝑛( 𝑟 𝑟𝑤⁄ ) yields a straight line of slope ( 𝑄 𝑔 𝑇 0.703𝑘ℎ ) and intercepts 𝛹𝑤 Graph of Ψ vs. ln (r/rw). The flow rate is given exatly by 𝑄 𝑔 = 0.703𝑘ℎ(𝛹 − 𝛹𝑤) 𝑇𝑙𝑛( 𝑟 𝑟𝑤⁄ ) For 𝑟 = 0.61𝑟𝑒 and 𝛹 = 𝛹𝑟 𝑄 𝑔 = 𝑘ℎ(𝛹𝑟 − 𝛹𝑤) 1422𝑇[𝑙𝑛( 𝑟 𝑟𝑤⁄ ) − 0.5] Approximation of the gas flow rate The term 2 𝜇𝑍 outside the integral as a constant. It should be pointed out that the 𝜇𝑍 is considered constant only under a pressure range of < 2000 psi. 𝑄 𝑔 = 𝑘ℎ 1422𝑇𝑙𝑛( 𝑟 𝑟𝑤⁄ ) ∫ ( 2𝑃 𝜇𝑍 ) 𝑑𝑃 𝑃 𝑃 𝑤𝑓
  • 11. 11 𝑄 𝑔 = 𝑘ℎ(𝑃𝑒 2 − 𝑃 𝑤𝑓 2 ) 1422𝑇(𝜇𝑍̅̅̅̅)𝑙𝑛( 𝑟 𝑟𝑤⁄ ) The term (𝜇𝑍̅̅̅̅) is evaluated at an average pressure p that is defined by the following expression: 𝑃̅ = √ 𝑃1 2 + 𝑃2 2 2 Horizontal multiple phase flow 𝑞 𝑂 = 0.001127 ( 2𝜋𝑟ℎ 𝜇 𝑜 ) 𝑘 𝑜 𝑑𝑃 𝑑𝑟 𝑞 𝑤 = 0.001127 ( 2𝜋𝑟ℎ 𝜇 𝑤 ) 𝑘 𝑤 𝑑𝑃 𝑑𝑟 𝑞 𝑔 = 0.001127 ( 2𝜋𝑟ℎ 𝜇 𝑔 ) 𝑘 𝑔 𝑑𝑃 𝑑𝑟 Using the above concept in Darcy’s equation and expressing the flow rate in standard conditions yield: 𝑞 𝑂 = 0.00708𝑟ℎ𝑘 ( 𝑘 𝑟𝑜 𝜇 𝑜 𝐵𝑜 ) 𝑑𝑃 𝑑𝑟 𝑞 𝑤 = 0.00708𝑟ℎ𝑘 ( 𝑘 𝑟𝑤 𝜇 𝑤 𝐵 𝑤 ) 𝑑𝑃 𝑑𝑟 𝑞 𝑔 = 0.00708𝑟ℎ𝑘 ( 𝑘 𝑟𝑔 𝜇 𝑔 𝐵𝑔 ) 𝑑𝑃 𝑑𝑟 b) Un-steady state flow Basic equtions for transient flow  Equation de continuité
  • 12. 12  Equation de transport  Equation de compressibilité  Condition initial et condition aux limites Régime un steady state  Equation de continuité 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 – 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡 = 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 = (𝜌𝑉) 𝑟+𝑑𝑟 = 𝜌𝐴(𝑟 + 𝑑𝑟) = 𝜌𝐴𝑣∆𝑡 𝐴 = 2𝜋(𝑟 + 𝑑𝑟)ℎ 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 = 𝜌[2𝜋(𝑟 + 𝑑𝑟)ℎ]𝑣∆𝑡 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 = 2𝜋∆𝑡(𝑟 + 𝑑𝑟)ℎ(𝜌𝑣) 𝑟+𝑑𝑟 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡 = 2𝜋∆𝑡𝑟ℎ(𝜌𝑣) 𝑟 𝑉 = 𝜋𝑟2 ℎ → 𝑑𝑉 𝑑𝑟 = 2𝜋𝑟ℎ → 𝑑𝑉 = 2𝜋𝑟ℎ𝑑𝑟 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = 𝑑𝑉[(𝜌∅) 𝑡+∆𝑡 − (𝜌∅) 𝑡] 𝐷𝑖𝑣(𝜌𝑉) + 𝑑 𝑑𝑡 (𝜌∅) = 0 Coordonnées cylindriques :  Equation de Darcy : Ecoulement linéaire : 𝑉 = −0.001127 𝑘 𝜇 𝑑𝑃 𝑑𝑥         d dt r d dr U r r d d U d dz Ur z       S0 1 1        
  • 13. 13 Ecoulement radial : 𝑉 = 0.006328 𝑘 𝜇 𝑑𝑃 𝑑𝑟  Equation d’état : Compressibilité du fluide : 𝐶 = 1 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝑃 Compressibilité de formation (roche) : 𝐶𝑟 = 1 ∅ 𝜕∅ 𝜕𝑃  Equation de diffusivité : Combinons ces trois équations précédentes, 0,006328 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑘 𝜇 (𝜌𝑟) 𝜕𝑃 𝜕𝑟 ) = 𝜕 𝜕𝑡 (𝜌∅) 𝜕 𝜕𝑡 (𝜌∅) = ∅ 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜌 𝜕∅ 𝜕𝑡 𝜕∅ 𝜕𝑡 = 𝜕∅ 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑡 = ∅𝐶𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑡 0,006328 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑘 𝜇 (𝜌𝑟) 𝜕𝑃 𝜕𝑟 ) = ∅𝐶𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑡 + ∅ 𝜕𝜌 𝜕𝑡 i. Radial flow of slightly compressible flow 0.006328 ( 𝑘 𝜇 ) [ 𝜕2 𝑃 𝜕𝑟2 + 1 𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑟 + 𝐶 ( 𝜕𝑃 𝜕𝑟 ) 2 ] = ∅(𝐶𝑟 + 𝐶) 𝜕𝑃 𝜕𝑡 𝐶 ( 𝜕𝑃 𝜕𝑟 ) 2 ≈ 0 0.006328 ( 𝑘 𝜇 ) [ 𝜕2 𝑃 𝜕𝑟2 + 1 𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑟 ] = ∅𝐶𝑡 𝜕𝑃 𝜕𝑡 𝜕2 𝑃 𝜕𝑟2 + 1 𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑟 = ∅𝜇𝐶𝑡 0.006328𝑘 𝜕𝑃 𝜕𝑡 𝜕2 𝑃 𝜕𝑟2 + 1 𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑟 = ∅𝜇𝐶𝑡 0.000264𝑘 𝜕𝑃 𝜕𝑡 C’est l’équation de diffusivité des fluides peu-compressibles (huiles) Ƞ = 0.000624𝑘 ∅𝜇𝐶 𝑡 Ƞ : diffisivity constant 𝜕2 𝑃 𝜕𝑟2 + 1 𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑟 = 1 Ƞ 𝜕𝑃 𝜕𝑡 Solution de l’équation de diffusivité pour les fluides peu-compressibles :  La solution Ei-function : En 1967, Matthews et Russell ont proposé une solution de l’équation de diffusivité basée sur les hypothèses suivantes :
  • 14. 14  Réservoir infini,  Le puits produit avec un débit constant,  𝑃(𝑡 = 𝑂) = 𝑃𝑖,  Le puits de rayon rw est localisé au centre d’un cylindre de rayon re,  𝑟 = 𝑟𝑒 𝑄 = 0. D’où la solution proposée par ces auteurs prend la forme suivante : 𝑃(𝑟, 𝑡) = 𝑃𝑖 + [ 70.6𝑄𝜇𝐵 𝑘ℎ ] 𝐸𝑖 [ −948∅𝜇𝐶𝑡 𝑟2 𝑘𝑡 ] La fonction mathématique Ei est appelée exponentiel intégral, définie par : 𝐸𝑖(−𝑥) = − ∫ 𝑒−𝑢 𝑢 ∞ 𝑥 𝑑𝑢 = [𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 1! + 𝑥2 2(2!) − 𝑥3 3(3!) + ⋯ ] Si 𝑥 < 0.01 ; 𝐸𝑖(−𝑥) = ln(1.781𝑥) 𝑥 = 948∅𝜇𝐶 𝑡 𝑟2 𝑘𝑡 Si 0.01 < 𝑥 < 3 ; 𝐸𝑖(−𝑥) = 𝑎1 + 𝑎2 ln(𝑥) + 𝑎3[ln(𝑥)]2 + 𝑎4[ln(𝑥)]3 + 𝑎5 𝑥 + 𝑎6 𝑥2 + 𝑎7 𝑥3 + 𝑎8/𝑥 𝑥 > 10.9 𝐸𝑖(−𝑥) = 0 Pour 𝑥 < 0.01 𝑃(𝑟, 𝑡) = 𝑃𝑖 − [ 162.6𝑄𝜇𝐵 𝑘ℎ ] [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟2 ) − 3.23] On a pour 𝑟 = 𝑟𝑤 𝑃 = 𝑃 𝑤𝑓 𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 − [ 162.6𝑄𝜇𝐵 𝑘ℎ ] [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23]  La solution en termes de pression adimensionnelle : L’importance des variables adimensionnelles est de simplifier l’équation de diffusivité et leur solution par combinaison des paramètres de réservoir, 𝑄 𝑜 = 0.00708 𝑘ℎ(𝑃𝑒 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝜇 𝑜 𝐵𝑜 𝑙𝑛(𝑟𝑒/𝑟𝑤)
  • 15. 15 𝑃𝑒 − 𝑃 𝑤𝑓 ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 0.00708𝑘ℎ ) = 𝑙𝑛 ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) Cette équation peut être écrite sous la forme adimensionnelle suivante : 𝑃𝐷 = 𝑙𝑛(𝑟𝑒𝐷) Avec : 𝑃𝐷 = 𝑃𝑒 − 𝑃 𝑤𝑓 ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 0.00708𝑘ℎ ) 𝑒𝑡 𝑟𝑒𝐷 = 𝑟𝑒 𝑟𝑤 𝑃𝐷 = 𝑃𝑖 − 𝑃(𝑟, 𝑡) ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 0.00708𝑘ℎ ) 𝑡 𝐷 = 0.000264𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 𝑡 𝐷𝐴 = 0.000264𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝐴 = 𝑡 𝐷 ( 𝑟𝑤 2 𝐴 ) L’équation de diffusivité peut être écrite sous la forme adimensionnelle comme suit : 𝜕2 𝑃𝐷 𝜕𝑟𝐷 2 + 1 𝑟𝐷 𝜕𝑃𝐷 𝜕𝑟𝐷 = 𝜕𝑃𝐷 𝜕𝑡 𝐷 En 1949, Van Everdingen et Hurst ont proposé une solution analytique de l’équation de diffusivité basée sur les hypothèses suivantes :  Réservoir radial,  Le puits est centré et produit à débit constant,  𝑃(𝑡 = 0) = 𝑃𝑖,  ( 𝜕𝑃 𝜕𝑟 ) 𝑟𝑒 = 0 . Van Everdingen and Hurst presented the solution in a form of an infinite series of exponential terms and Bessel functions. The authors evaluated this series for several values of 𝑟𝑒𝐷 over a wide range of values for 𝑡 𝐷 and presented the solution in terms of dimensionless pressure drop 𝑝 𝐷 as a function of dimensionless radius 𝑟𝑒𝐷 and dimensionless time 𝑡 𝐷. Chatas (1953) and Lee (1982) conveniently tabulated these solutions for the following two cases: 1) infinite-acting reservoir 𝑟𝑒𝐷 → ∞; 2) finite-radial réservoir 1- Cas de réservoir infini :
  • 16. 16 C’est le cas où la réponse de pression n’est affectée par les limites du réservoir, c’est pour cela que le régime transitoire est appelé infinite acting state. Dans ce cas 𝑟𝑒𝐷 → ∞, et 𝑃𝐷 = 𝑓(𝑡 𝐷) Chatas et Lee ont tablé les valeurs de PD dans le du réservoir infini ; Les expressions mathématiques suivantes sont utilisées pour évaluées les résultats tablés : Pour 𝒕 𝑫 < 𝟎. 𝟎𝟏 , 𝑃𝐷 = 2√ 𝑡 𝐷 𝜋 Pour 𝒕 𝑫 > 𝟏𝟎𝟎 , 𝑃𝐷 = 0.5[𝑙𝑛(𝑡 𝐷) + 0.80907] Pour 𝟎. 𝟎𝟐 < 𝒕 𝑫 < 𝟏𝟎𝟎 , 𝑃𝐷 = 𝑎1 + 𝑎2 ln(𝑡 𝐷) + 𝑎3[ln(𝑡 𝐷)]2 + 𝑎4[ln(𝑡 𝐷)]3 + 𝑎5 𝑡 𝐷 + 𝑎6 𝑡 𝐷 2 + 𝑎7 𝑡 𝐷 3 + 𝑎8/𝑡 𝐷 2) Cas de réservoir fini : La pression est affectée par les limites du réservoir, c-à-d la fin de la période transitoire et le début du régime pseudo-permanent, Dans ce cas 𝑃𝐷 = 𝑓(𝑡 𝐷, 𝑟𝑒𝐷) Chatas en 1953 a proposé une expression mathématique pour calculer PD, Pour 25 < 𝑡 𝐷 𝑒𝑡 0.25𝑟𝑒𝐷 2 < 𝑡 𝐷 , 𝑃𝐷 = 0.5 + 2𝑡 𝐷 𝑟𝑒𝐷 2 − 1 − 𝑟𝑒𝐷 4[3 − 4𝑙𝑛(𝑟𝑒𝐷)] − 2𝑟𝑒𝐷 2 − 1 4(𝑟𝑒𝐷 2 − 1)2 Cas particulier : pour 𝑟𝑒𝐷 2 >>> 1 𝑃𝐷 = 2𝑡 𝐷 𝑟𝑒𝐷 2 + 𝑙𝑛(𝑟𝑒𝐷) − 0.75 𝑃(𝑟𝑤, 𝑡) = 𝑃𝑖 − ( 𝑄𝐵𝜇 0.00708𝑘ℎ ) 𝑃𝐷 ii. Radial flow of compressible fluides Masse volumique des gaz : 𝜌 = 𝑃𝑀 𝑍𝑅𝑇 Compressibilité des gaz :
  • 17. 17 𝐶𝑔 = 1 𝑃 − 1 𝑍 ( 𝜕𝑍 𝜕𝑃 ) Par combinaison de ces 2 équations et l’équation de diffusivité, 0,006328 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑘 𝜇 (𝜌𝑟) 𝜕𝑃 𝜕𝑟 ) = ∅𝐶𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑡 + ∅ 𝜕𝜌 𝜕𝑡 On obtient l’équation suivante : 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟 𝑃 𝜇𝑍 𝜕𝑃 𝜕𝑟 ) = ∅𝜇𝐶𝑡 0.000264𝑘 𝑃 𝜇𝑍 𝜕𝑃 𝜕𝑡 En 1966, Al-Hussainy, Ramey et Crawford ont linéarisé l’équation précédente en introduisant le potentiel réel des gaz m(P) : 𝑚(𝑃) = ∫ 2𝑃 𝜇𝑍 𝑑𝑃 𝑃 0 , 𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = ∫ 2𝑃 𝜇𝑍 𝑑𝑃 𝑃 𝑖 𝑃 𝑤𝑓 𝜕𝑚(𝑃) 𝜕𝑃 = 2𝑃 𝜇𝑍 𝜕𝑚(𝑃) 𝜕𝑡 = 𝜕𝑚(𝑃) 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑡 𝜕𝑃 𝜕𝑟 = 𝜇𝑍 2𝑃 𝜕𝑚(𝑃) 𝜕𝑟 et 𝜕𝑃 𝜕𝑡 = 𝜇𝑍 2𝑃 𝜕𝑚(𝑃) 𝜕𝑡 Donc l’équation de diffusivité devient comme suit : 𝜕2 𝑚(𝑃) 𝜕𝑟2 + 1 𝑟 𝜕𝑚(𝑃) 𝜕𝑟 = ∅𝜇𝐶𝑡 0.000264𝑘 𝜕𝑚(𝑃) 𝜕𝑡 C’est l’équation de diffusivité des fluides incompressibles (gaz). La méthode de solution m(P) (solution exacte) : En 1966, Al-Hussainy, et al ont proposé une solution de la forme suivante : 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = 𝑚(𝑃𝑖) − 5789.3 ( 𝑃𝑠𝑐 𝑇𝑠𝑐 ) ( 𝑄 𝑔 𝑇 𝑘ℎ ) [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23] 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = 𝑚(𝑃𝑖) − ( 1637𝑄 𝑔 𝑇 𝑘ℎ ) [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23] La méthode de la pression quadratique: Cette approximation fait sortir le terme (𝜇𝑍) en dehors de l’intégrale, utilisée pour des pressions de réservoir P<2000psi. 𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = 2 𝜇 𝑍 ∫ 𝑃𝑑𝑃 𝑃 𝑖 𝑃 𝑤𝑓 𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = 𝑃𝑖 2 − 𝑃 𝑤𝑓 2 𝜇 𝑍
  • 18. 18 𝜇 𝑒𝑡 𝑍 Sont calculées à la pression moyenne 𝑃 = √ 𝑃𝑖 2−𝑃 𝑤𝑓 2 2 𝑃 𝑤𝑓 2 = 𝑃𝑖 2 − ( 1637𝑄 𝑔 𝑇𝜇𝑍 𝑘ℎ ) [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23] The pressure approximation methode: 𝐵𝑔 = ( 𝑃𝑠𝑐 5.615𝑇𝑠𝑐 ) ( 𝑍𝑇 𝑃 ) 𝑃 𝑍 = ( 𝑇𝑃𝑠𝑐 5.615𝑇𝑠𝑐 ) ( 1 𝐵𝑔 ) 𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = ∫ 2𝑃 𝜇𝑍 𝑑𝑃 𝑃 𝑖 𝑃 𝑤𝑓 𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = 2𝑇𝑃𝑠𝑐 5.615𝑇𝑠𝑐 ∫ ( 1 𝜇𝐵𝑔 ) 𝑑𝑃 𝑃 𝑖 𝑃 𝑤𝑓 Fetkovich (1973) a suggéré que pour P>3000psi, 1 𝜇𝐵 𝑔 est constant, alors 𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = 2𝑇𝑃𝑠𝑐 5.615𝑇𝑠𝑐 𝜇𝐵𝑔 (𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 − ( 162.5 ∗ 103 𝑄 𝑔 𝜇𝐵𝑔 𝑘ℎ ) [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23] c) Pseudo steady state Pendent l’écoulement transitoire, on a supposé que le puits est localisé dans large réservoir et se produit à débit constant, les limites du réservoir n’affectent pas le comportement de pression. Quand la pression atteint toutes les limites de drainage, l’écoulement transitoire se disparait, un autre régime aura lieu appelé écoulement pseudo-permanent. Il est nécessaire d’imposer des conditions aux limites pour la solution de l’équation de diffusivité durant ce régime d’écoulement.
  • 19. 19 (𝜕𝑃/𝜕𝑡) 𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝐶 = − 1 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑃 , 𝐶𝑉𝑑𝑃 = −𝑑𝑉 , 𝐶𝑉 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = − 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑞 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = − 𝑞 𝐶𝑉 = − 𝑞 24𝐶𝑉 = − 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 24𝐶𝑉 Le volume des pores pour un drainage radial est 𝑉 = 𝜋𝑟𝑒 2ℎ∅ 5.615 = 𝐴ℎ∅ 5.615 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = − 0.23396𝑞 𝐶𝑡 𝜋𝑟𝑒 2ℎ∅ = − 0.23396𝑞 𝐶𝑡 𝐴ℎ∅ 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝑃 𝑖−𝑃𝑟 𝑡 , 𝑃𝑟 = 𝑃𝑖 − 0.23396𝑞𝑡 𝐶 𝑡 𝐴ℎ∅ t : la durée la période pseudo-permanente. i. Fluides peu-compressibles : 𝜕2 𝑃 𝜕𝑟2 + 1 𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑟 = ∅𝜇𝐶𝑡 0.000264𝑘 𝜕𝑃 𝜕𝑡 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = − 0.23396𝑞 𝐶𝑡 𝐴ℎ∅
  • 20. 20 𝜕2 𝑃 𝜕𝑟2 + 1 𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑟 = ( ∅𝜇𝐶𝑡 0.000264𝑘 ) (− 0.23396𝑞 𝐶𝑡 𝐴ℎ∅ ) 𝜕2 𝑃 𝜕𝑟2 + 1 𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑟 = ( −887.22𝑞𝜇 𝐴ℎ𝑘 ) 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑟 ) = ( −887.22𝑞𝜇 (𝜋𝑟𝑒 2)ℎ𝑘 ) 𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑟 = −887.22𝑞𝜇 (𝜋𝑟𝑒 2)ℎ𝑘 ( 𝑟2 2 ) + 𝐶1 La constante C1 peut être déterminée en imposant la condition aux limites : ( 𝜕𝑃 𝜕𝑟 ) 𝑟𝑒 = 0 , donc 𝐶1 = 141.2𝑞𝜇 ℎ𝑘 𝜕𝑃 𝜕𝑟 = 141.2𝑞𝜇 ℎ𝑘 [ 1 𝑟 − 𝑟 𝑟𝑒 ] par intégration de pression entre Pi et Pwf, et de rayon entre re et rw on trouve : 𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓 = 141.2𝑞𝜇 𝑘ℎ [𝑙𝑛 ( 𝑟𝑒 𝑟 𝑤 ) − 1 2 ] , 𝑄 = 0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝜇𝐵 [𝑙𝑛 ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.5] On suppose que la pression de réservoir moyenne est atteinte à 47% du rayon de drainage durant le régime pseudo-permanent, d’où 𝑄 = 0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑟−𝑃 𝑤𝑓) 𝜇𝐵[𝑙𝑛( 𝑟 𝑒 𝑟 𝑤 )] , 𝑙𝑛 ( 0.47𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) = 𝑙𝑛 ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.75 𝑄 = 0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑟 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝜇𝐵 [𝑙𝑛 ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.75] On considère la solution en variables adimensionnelles de la forme suivante : 𝑃𝐷 = 2𝑡 𝐷 𝑟𝑒𝐷 2 + 𝑙𝑛(𝑟𝑒𝐷) − 0.75 𝑃𝐷 = ( 𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓 𝑄𝐵𝜇 ) 0.00708𝑘ℎ 𝑡 𝐷 = 0.000264𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 𝑟𝑒𝐷 = 𝑟𝑒 𝑟𝑤
  • 21. 21 Par combinaison de ces 4 relations, on obtient : 𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 − 𝑄𝐵𝜇 0.00708𝑘ℎ [ 0.0005274𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑒 2 + 𝑙𝑛 ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.75] 𝑃𝑟 = 𝑃𝑖 − 0.23396𝑞𝑡 𝐶 𝑡 𝐴ℎ∅ , 𝑡 = 𝐶𝑡 𝐴ℎ∅(𝑃𝑖 − 𝑃𝑟) 0.23396𝑄𝐵 = 𝐶𝑡(𝜋𝑟𝑒 2 )ℎ∅(𝑃𝑖 − 𝑃𝑟) 0.23396𝑄𝐵 En 1971, Ramey et Cobb ont proposé une solution en introduisant un facteur de correction appelé shape factor CA dans l’équation de diffusivité 𝜕2 𝑃 𝜕𝑟2 + 1 𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑟 = ( −887.22𝑞𝜇 𝐴ℎ𝑘 ) 𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑟 − 162.6𝑄𝐵𝜇 𝑘ℎ 𝑙𝑜𝑔 [ 4𝐴 1.781𝐶𝐴 𝑟𝑤 2 ] 𝑃𝑟 = 𝑃𝑖 − 0.23396𝑞𝑡 𝐶𝑡 𝐴ℎ∅ En combinant ces deux dernières équations : 𝑃 𝑤𝑓 = [𝑃𝑖 − 0.23396𝑄𝐵𝑡 𝐴ℎ∅𝐶𝑡 ] − 162.6𝑄𝐵𝜇 𝑘ℎ 𝑙𝑜𝑔 [ 4𝐴 𝐴. 781𝐶𝐴 𝑟𝑤 2 ] ii. Fluides compressibles : 𝜕2 𝑚(𝑃) 𝜕𝑟2 + 1 𝑟 𝜕𝑚(𝑃) 𝜕𝑟 = ∅𝜇𝐶𝑡 0.000264𝑘 𝜕𝑚(𝑃) 𝜕𝑡 𝜕𝑚(𝑃) 𝜕𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑄 𝑔 = 𝑘ℎ[𝑚(𝑃𝑟) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓)] 1422𝑇 [𝑙𝑛 ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.75] Two approximations to the above solution are widely used. These approximations are:  Pressure-squared approximation  Pressure-approximation La méthode de pression quadratique : 𝑃 < 2000𝑝𝑠𝑖, 𝑄 𝑔 = 𝑘ℎ (𝑃𝑟 2 − 𝑃 𝑤𝑓 2 ) 1422𝑇𝜇𝑍 [𝑙𝑛 ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.75] Z et µ sont calculés à la pression moyenne 𝑃 = √ 𝑃𝑟 2 +𝑃̅ 𝑤𝑓 2 2
  • 22. 22 The pressure approximated methode 𝑃 > 3 000𝑝𝑠𝑖, 𝑄 𝑔 = 𝑘ℎ(𝑃𝑟 − 𝑃 𝑤𝑓) 1422𝑇𝜇𝐵𝑔 [𝑙𝑛 ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.75] Les propriétés de gaz sont calculées à la pression moyenne 𝑃 = 𝑃𝑟+𝑃 𝑤𝑓 2 Le facteur volumétrique de formation de gaz est donné par la formule : 𝐵𝑔 = 0.00504 𝑍𝑇 𝑃 CHAPITRE II : Le Skin
  • 23. 23 L'effet du skin “𝒔“ est prévu pour décrire les changements dans la zone near-wellbore. Ces changements sont dus à plusieurs problèmes qui peuvent être provoquée pratiquement par n'importe quelle activité pétrolière, telle que le forage, la perforation et la stimulation. Le skin est un facteur sans dimensions qui peut être obtenu à partir d'un essai de puits. L'effet de la zone du skin consiste à modifier la répartition de pression autour du puits de forage. Dans le cas d’endommagement du puits, la zone de skin provoque une perte de charge supplémentaire dans la formation. Trois résultats peuvent être expliqués l’effet de chute de pression au niveau de puits
  • 24. 24  Premier résultat: 𝛥𝑝𝑠𝑘𝑖𝑛 > 0 ce qui indique une perte de charge supplémentaire due à l’endommagement du puits c’est que ce veut dire 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 < 𝑘.  Deuxième résultat: 𝛥𝑝𝑠𝑘𝑖𝑛 < 0 ce qui indique une chute de pression négative due à l'amélioration de perméabilité de la zone de skin c'est-à-dire 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 > 𝑘.  Troisième résultat: 𝛥𝑝𝑠𝑘𝑖𝑛 = 0 ce qui indique l'absence de changements dans le puits de forage 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 = 𝑘. Hawkins (1956) a suggéré que la perméabilité dans la zone de skin est uniforme et la chute de pression dans cette zone peut être approchée par l'équation de Darcy. Hawkins a proposé la démarche suivante: ∆𝑃𝑠𝑘𝑖𝑛 = [ ∆𝑃 𝑖𝑛 𝑠𝑘𝑖𝑛 𝑧𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 ] − [ ∆𝑃 𝑖𝑛 𝑠𝑘𝑖𝑛 𝑧𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 𝑘 ] L'application de l'équation de Darcy donne: ∆𝑃𝑠𝑘𝑖𝑛 = ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 0.00708ℎ𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 ) ln ( 𝑟𝑠𝑘𝑖𝑛 𝑟𝑤 ) − ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 0.00708ℎ𝑘 ) ln ( 𝑟𝑠𝑘𝑖𝑛 𝑟𝑤 ) Où: ∆𝑃𝑠𝑘𝑖𝑛 = ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 0.00708ℎ𝑘 ) [ 𝑘 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 − 1] ln ( 𝑟𝑠𝑘𝑖𝑛 𝑟𝑤 ) Où: 𝑘 ∶ Perméabilité de la formation 𝑚𝐷 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛: Perméabilité de la zone de skin 𝑚𝐷 Donc ∆𝑃𝑠𝑘𝑖𝑛 exprimée sous la forme suivante: ∆𝑃𝑠𝑘𝑖𝑛 = ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 0.00708ℎ𝑘 ) 𝑠 = 141.2 ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ ) 𝑠 Où 𝑠 est appelé le facteur de skin et définie par: 𝑠 = [ 𝑘 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 − 1] ln ( 𝑟𝑠𝑘𝑖𝑛 𝑟𝑤 ) Selon le rapport de perméabilité 𝑘/𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 et si 𝑙𝑛 (𝑟𝑠𝑘𝑖𝑛 / 𝑟𝑤) sont toujours positif, trois cas possibles pour le signe de skin facteur 𝑠:
  • 25. 25 i. skin positif 𝑆 > 0: Lorsque la zone est endommagée aux abords du puits, 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 est inférieur à 𝑘 et où 𝑠 est un nombre positif. ii. skin négatif 𝑆 < 0: Lorsque la perméabilité 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 supérieure à celle de la formation 𝑘. Ce facteur négatif indique une d'amélioration de perméabilité de la zone de skin (puits fracturé ou naturellement fracturé). iii. skin nulle 𝑆 = 0: 𝑘 𝑠𝑘𝑖𝑛 = 𝑘 la perméabilité de near-wellbore est égale à la perméabilité originale du réservoir. L'équation précédente indique qu'un facteur négatif de skin se traduira par une valeur négative de 𝛥𝑝𝑠𝑘𝑖𝑛. Cela implique que le puits est stimulé, il faudra prélèvements moins de pression pour produire un débit équivalent le débit produit par une perméabilité uniforme de réservoir. La modification de l'équation d'écoulement précédente est basée sur le concept que la pression réelle va augmenter ou diminuer en fonction de 𝛥𝑝𝑠𝑘𝑖𝑛. En supposant que (∆𝑃)𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 représente la pression d’une zone de drainage avec une perméabilité uniforme k alors: (∆𝑃) 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = (∆𝑃)𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 + (∆𝑃) 𝑠𝑘𝑖𝑛 Où: (𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = (𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 + (∆𝑃) 𝑠𝑘𝑖𝑛 La modification de débit est recommandé pour tenir compte la variation de la chute de pression due l'effet de skin peut être appliqué aux trois précédents régimes d'écoulement:  Steady-state flow (permanent).  Unsteady-state flow (transit).  Pseudo-steady state flow (semi-permanent). Steady state radial flow (∆𝑃) 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = (∆𝑃)𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 + (∆𝑃) 𝑠𝑘𝑖𝑛 (𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 0.00708ℎ𝑘 ) ln ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) + ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 0.00708ℎ𝑘 ) 𝑠 Donc le débit est: 𝑄 𝑜 = 0.00708𝑘ℎ(𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝜇 𝑜 𝐵𝑜 [ln 𝑟𝑒 𝑟𝑤 + 𝑠]
  • 26. 26 Où: 𝑄 𝑜 = Débit d'huile, STB / jour 𝑘 = Perméabilité, mD ℎ = Épaisseur ft 𝑠 = Le skin facteur 𝐵𝑜 = Facteur volumétrique d’huile, bbl / STB 𝜇 𝑜 = viscosité d'huile, cp 𝑃𝑖 = Pression initiale du réservoir, psi 𝑃 𝑤𝑓 = Fond du trou pression s'écoulant, psi Un-steady-state radial flow Pour les fluides peu-compressibles : (∆𝑃) 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = (∆𝑃)𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 + (∆𝑃) 𝑠𝑘𝑖𝑛 𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓 = 162.6 ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ ) [log 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 − 3.23] + 141.2 ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ ) 𝑠 Ou 𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓 = 162.6 ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ ) [log 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 − 3.23 + 0.87𝑠] Pour les fluides compressibles : Une approche similaire à celle de la ci-dessus donne: 𝑚(𝑝𝑖) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓) = 1637𝑄 𝑔 𝑇 𝑘ℎ [log 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 − 3.23 + 0.87𝑠] Et en ce qui concerne la méthode de pression au carré, la différence [𝑚 (𝑝𝑖) − 𝑚 (𝑝 𝑤𝑓)] peut être remplacée par: 𝑚(𝑝𝑖) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓) = ∫ 2𝑝 𝜇𝑍 𝑑𝑝 𝑝 𝑖 𝑝 𝑤𝑓 = 𝑝𝑖 2 − 𝑝 𝑤𝑓 2 𝜇̅ 𝑍̅ Donc : 𝑝𝑖 2 − 𝑝 𝑤𝑓 2 = 1637𝑄 𝑔 𝑇𝜇̅ 𝑍̅ 𝑘ℎ [log 𝑘𝑡 ∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤 2 − 3.23 + 0.87𝑠] Où:
  • 27. 27 𝑄 𝑔 = Débit de gaz, Mscf / jour 𝑇 = Température, °R 𝑘 = Perméabilité, mD 𝑡 = Temps, (hours) Pseudo-steady-state flow  Pour les fluides peu-compressibles : 𝑄 𝑜 = 0.00708𝑘ℎ(𝑝̅ 𝑟 − 𝑝 𝑤𝑓) 𝜇 𝑜 𝐵𝑜 [ln ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.75 + 𝑠]  Pour les fluides compressibles : 𝑄 𝑜 = 𝑘ℎ[𝑚(𝑝̅ 𝑟) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓)] 1422𝑇 [ln ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.75 + 𝑠] Et en termes de l'approximation quadratique de pression: 𝑄 𝑜 = 𝑘ℎ(𝑝𝑟 2 − 𝑝 𝑤𝑓 2 ) 1422𝑇𝜇̅ 𝑍̅ [ln ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.75 + 𝑠] Où: 𝑄 𝑔 = Débit de gaz, Mscf / jour 𝑘 = Perméabilité, mD 𝑇 = température, ◦ R 𝜇 ̅ 𝑔 = viscosité du gaz à la pression moyenne cp. 𝑍 ̅ 𝑔 = Facteur de compressibilité du gaz à la pression moyenne. Un traitement alternatif proposé par Matthew & Russell utilise un rayon de puits effectif ou apparent de tel sorte que la perte de charge totale soit égale dans les deux systèmes, remplaçant dans l’équation de Darcy on obtient : 𝑟𝑤 𝑎 = 𝑟𝑤 𝑒−𝑠 𝑟𝑤𝑎 : Rayon apparent. 𝑟𝑤 : Rayon de puits. Toutes les équations idéales d’écoulement radial peuvent être également modifiées par le remplacement 𝑟𝑤 par le rayon 𝑟𝑤 𝑎. L’équation d’un écoulement radial peut être exprimée de manière équivalente comme:
  • 28. 28 𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓 = 162.6 ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ ) [log 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 𝑎 2 − 3.23] Turbulent flow factor Si la vitesse de l’écoulement de fluide est grande, la loi de Darcy n’est pas applicable Il apparaitre un non-Darcy-flow qui décrire une chute de pression supplémentaire due de la turbulence de fluide. (∆𝛹) 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = (∆𝛹)𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 + (∆𝛹) 𝑠𝑘𝑖𝑛 + (∆𝛹) 𝑛𝑜𝑛−𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦 Wattenbarger et Ramey (1968) a proposé l'expression suivante pour le calcul de (∆𝛹) 𝑛𝑜𝑛−𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦 (∆𝛹) 𝑛𝑜𝑛−𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦 = 3.161 × 10−12 [ 𝛽𝑇𝛾𝑔 𝜇 𝑔𝑤ℎ2 𝑟𝑤 ] 𝑄 𝑔 2 Cette équation peut être exprimée sous une forme plus pratique que; (∆𝛹) 𝑛𝑜𝑛−𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦 = 𝐹𝑄 𝑔 2 Où F est appelé le "coefficient non-Darcy flow" et donné par: 𝐹 = 3.161 × 10−12 [ 𝛽𝑇𝛾𝑔 𝜇 𝑔𝑤ℎ2 𝑟𝑤 ] Où: 𝑄 𝑔: Débit de gaz, Mscf / jour 𝜇 𝑔𝑤: viscosité de gaz évalué à 𝑝 𝑤𝑓 (cp). 𝛾𝑔: Densité du gaz. ℎ: Épaisseur, ft. 𝐹: Coefficient de débit non-Darcy, 𝑝𝑠𝑖2 /𝑐𝑝 / (𝑀𝑠𝑐𝑓 / 𝑗𝑜𝑢𝑟) 2 𝛽 : Paramètre de turbulences Jones (1987) a proposé une expression mathématique pour estimer le paramètre de turbulences β tel que : 𝛽 = 1.88(10−10)(𝑘)−1.47(∅)−0.53 Où: 𝑘 : Perméabilité, mD. 𝜑: Porosité, fraction. Le terme 𝐹𝑄 𝑔 2 peut être inclus dans toutes les équations d’un écoulement de gaz de la même façon le facteur de skin. Le terme non-Darcy est interprété comme un skin dépendant du débit.
  • 29. 29 La modification des équations de l'écoulement de gaz pour tenir compte de la condition d'écoulement turbulent est donnée ci-dessous pour les trois régimes d'écoulement:  Unsteady-state (transient) flow.  Semi-steady-state flow.  Steady-state flow. Unsteady-state radial flow: 𝑚(𝑝𝑖) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓) = ( 1637𝑄 𝑔 𝑇 𝑘ℎ ) [log ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] + 𝐹𝑄 𝑔 2 Donc on peut écrire : 𝑚(𝑝𝑖) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓) = ( 1637𝑄 𝑔 𝑇 𝑘ℎ ) [log ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠 + 0.87𝐷𝑄 𝑔] Où le terme 𝐷𝑄 𝑔 est interprété comme le facteur de skin dépendant le débit. Le coefficient D est appelé le «turbulent flow factor» et donnée par: 𝐷 = 𝐹𝑘ℎ 1422𝑇 Donc le skin total on peut écrire d’après la formule suivante : 𝑠′ = 𝑠 + 𝐷𝑄 𝑔 Ou 𝑚(𝑝𝑖) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓) = ( 1637𝑄 𝑔 𝑇 𝑘ℎ ) [log ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠′ ] Équation précédente peut être exprimé sous une forme quadratique de pression comme: 𝑝𝑖 2 − 𝑝 𝑤𝑓 2 = 1637𝑄 𝑔 𝑇𝜇̅ 𝑍̅ 𝑘ℎ [log 𝑘𝑡 ∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤 2 − 3.23 + 0.87𝑠′ ] Où: 𝑄 𝑔: Débit de gaz, Mscf / jour 𝑡: Temps, (hours) 𝑘 : Perméabilité, mD 𝜇𝑖: viscosité du gaz évalué à 𝑃𝑖, cp Semi-steady-state flow Équation d’écoulement pour un régime pseudo-permanant peuvent être modifiés pour tenir compte de l'écoulement non-Darcy comme suit: 𝑄 𝑔 = 𝑘ℎ [[𝑚(𝑝̅ 𝑟) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓)]] 1422𝑇 [ln ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.75 + 𝑠 + 𝐷𝑄 𝑔]
  • 30. 30 Ou en termes de l'approche de pression au carré: 𝑄 𝑔 = 𝑘ℎ(𝑝𝑟 2 − 𝑝 𝑤𝑓 2 ) 1422𝑇𝜇̅ 𝑍̅ [ln ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.75 + 𝑠 + 𝐷𝑄 𝑔] Steady-state flow Similaire à la procédure de modification ci-dessus, les équations de régime permanant peuvent être exprimées comme suit: 𝑄 𝑔 = 𝑘ℎ [[𝑚(𝑝̅ 𝑟) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓)]] 1422𝑇 [ln ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.5 + 𝑠 + 𝐷𝑄 𝑔] 𝑄 𝑔 = 𝑘ℎ(𝑝𝑟 2 − 𝑝 𝑤𝑓 2 ) 1422𝑇𝜇̅ 𝑍̅ [ln ( 𝑟𝑒 𝑟𝑤 ) − 0.5 + 𝑠 + 𝐷𝑄 𝑔] Les composantes de l’effet de skin : Le facteur de skin qu’est déterminée par une analyse des essais de puits transitoire représente le facteur de skin "total" qui comprend les déférents types de skin suivants: ● Skin due to wellbore damage or stimulation 𝑠 𝑑; ● Skin due to partial penetration and restricted entry 𝑠𝑟; ● Skin due to perforations 𝑠 𝑝; ● Skin due to turbulence flow 𝑠𝑡; ● Skin due to deviated well 𝑠 𝑑𝑤. L’effet de skin peut être écrit comme : 𝑠𝑡 = 𝑠 𝑑 + 𝑠𝑟 + 𝑠 𝑝 + 𝑠𝑡 + 𝑠 𝑑𝑤 a) L’effet de skin provoqué par la complétion et le slant : Cinco-Ley (1975) a résolu le problème semi-analytique et a présenté des tables de ces effets de skin pour différentes combinaisons de complétion partiel (slant), d'altitude de complétion, et de déviation de puits, le schéma suivante montre les variables appropriées, le ℎ 𝑤 est la taille perforée, le 𝑧 𝑤 est l'altitude du point médian de perforation de la base du réservoir, ℎ est la taille de réservoir, 𝜃 est l'angle de la déviation du puits, et le 𝑟𝑤 est le rayon de puits.
  • 31. 31 b) L'effet de skin provoqué par la perforation : Karakas et Tariq (1988) ont développé un procédé pour calculer l'effet de skin provoqué par les perforations. Ce qu'ils divisent en composant : l'effet plat d'écoulement (plane flow) “𝑠ℎ“, l'effet convergent vertical “𝑠 𝑣“, et l'effet de wellbore “𝑠 𝑤𝑏“, tout l’effet de skin de perforation est alors donné par l’équation : 𝑠 𝑝 = 𝑠ℎ + 𝑠 𝑣 + 𝑠 𝑤𝑏 La figure (3) donne le calcul du skin de perforation, ceux-ci incluent le rayon de puits, “𝒓 𝒘“, le rayon de perforation, “𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒇“, la longueur de perforation, “𝒍 𝒑“, l'angle de la perforation 𝜽, et le plus important, c’est la distance entre deux perforation ℎ, qui est inversement proportionnelle à la densité de perforation. Ci-dessous, la méthode d'estimer les différents composants du skin de perforation.
  • 32. 32 Calcule de 𝒔 𝒉 : 𝑠ℎ = ln 𝑟𝑤 𝑟𝑤 ′ (𝜃) Où “𝒓 𝒘 ′ (𝜽)“ est le rayon efficace du puits et il est une fonction de l'angle de perforation. 𝑟𝑤 ′ (𝜃) = { 𝑙 𝑝 4⁄ 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝜃 = 0 𝛼 𝜃(𝑟𝑤 + 𝑙 𝑝) 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝜃 ≠ 0 “𝛼 𝜃“ est un variable dépend à la phase et il obtient à partir le tableau suivant : Dependance of 𝜶 𝜽 on phasing Perforating phasing 𝜶 𝜽 0 (360) 180 120 90 60 45 0.250 0.500 0.648 0.726 0.813 0.860 Calcule de 𝒔 𝒗 :
  • 33. 33 Le facteur pseudo skin vertical 𝑠 𝑣 peut être calculé après que certaines variables soient déterminées : ℎ 𝐷 = ℎ 𝑙 𝑝 √ 𝑘ℎ 𝑘 𝑣 𝑟𝑝𝐷 = 𝑟𝑝𝑒𝑟𝑓 2ℎ (1 + √ 𝑘 𝑣 𝑘ℎ ) Donc le facteur pseudo skin 𝑠 𝑣 égale a : 𝑠 𝑣 = 10 𝑎 ℎ 𝐷 𝑏−1 𝑟𝑝𝐷 𝑏 Où les facteurs “𝒂“ et “𝒃“ sont donnes par les équations suivants : 𝑎 = 𝑎1 log 𝑟𝑝𝐷 + 𝑎2 𝑏 = 𝑏1 𝑟𝑝𝐷 + 𝑏2 Les valeurs des constantes 𝑎1,𝑎2, 𝑏1 et 𝑏2 sont indiquées dans le tableau suivante en fonctions de l'angle mise en phase θ. Vertical skin correlation coefficients Perforating phasing (°) 𝒂 𝟏 𝒂 𝟐 𝒃 𝟏 𝒃 𝟐 0(360) 180 120 90 60 45 -2.091 -2.025 -2.018 -1.905 -1.898 -1.788 0.0453 0.0943 0.0634 0.1038 0.1023 0.2398 5.1313 3.0373 1.6136 1.5674 1.3654 1.1915 1.8672 1.8115 1.7770 1.6935 1.6490 1.6392 Calcule de 𝒔 𝒘𝒃 En conclusion, l’effet de skin dans la zone near-wellbore “𝒔 𝒘𝒃“ égale : 𝑠 𝑤𝑏 = 𝐶1 𝑒 𝐶2 𝑟 𝑤𝐷 𝑟 𝑤𝐷 = 𝑟𝑤 𝑙 𝑝 + 𝑟𝑤 Les constantes 𝐶1 et 𝐶2 sont obtenus dans le tableau (4).
  • 34. 34 Variables 𝑪 𝟏 and 𝑪 𝟐 Perforating phasing (°) 𝑪 𝟏 𝑪 𝟐 0(360) 180 120 90 60 45 1.6𝐸 − 1 2.6𝐸 − 2 6.6𝐸 − 3 1.9𝐸 − 3 3.0𝐸 − 4 4.6𝐸 − 5 2.675 4.532 5.320 6.155 7.509 8.791 L’effet de skin dû au colmatage et la perforation : Karakas et Tariq (1988) ont prouvé que l'effet de skin dû à la perforation et le colmatage peuvent être égal : (𝑠 𝑑) 𝑝 = ( 𝑘 𝑘 𝑠 − 1) [ln 𝑟𝑠 𝑟𝑤 + 𝑠 𝑝] = (𝑠 𝑑) 𝑜 + 𝑘 𝑘 𝑠 𝑠 𝑝 Là où les perforations se déterminent à l'intérieur de la zone de dommages(𝒍 𝒑 < 𝒍 𝒅), où (𝒔 𝒅) 𝒑 est l’effet de skin équivalant d’openhole. Karakas et Tariq (1988) ont également prouvé que l'effet de skin de colmatage des perforations déterminant à l'extérieur de la zone endommagée peut être égal : (𝑠 𝑑) 𝑝 = 𝑠 𝑝 − 𝑠 𝑝 ′ Le 𝑠 𝑝 ′ est l'effet de skin de perforation évalué à la longueur 𝒍 𝒑 ′ et le rayon 𝒓 𝒘 ′ donc : 𝑙 𝑝 ′ = 𝑙 𝑝 − (1 − 𝑘 𝑠 𝑘 ) 𝑙 𝑑 𝑟𝑤 ′ = 𝑟𝑤 + (1 − 𝑘 𝑠 𝑘 ) 𝑙 𝑑 Les valeurs 𝒍 𝒑' et 𝒓 𝒘' sont employés au lieu du 𝒍 𝒑 et 𝒓 𝒘, respectivement, pour calculer le 𝑠 𝑝 ′
  • 35. 35 Chapitre III : Analyse des Well test méthodes et applications 1- Principe de superposition Les solutions de l'équation de diffusivité sont applicables pour décrire la répartition de la pression dans un réservoir infini qui a été causé par une production constante d'un seul puits. Dans le cas général les réservoirs ont généralement plusieurs puits qui fonctionnent à vitesse variable, une approche plus générale est nécessaire d'étudier le comportement de l'écoulement de fluide au cours de la période écoulement instationnaire. Le principe de superposition est un concept puissant qui peut être appliqué pour supprimer les restrictions qui ont été imposées aux diverses formes de solution de l'équation d'écoulement transitoire. Mathématiquement, le théorème de superposition stipule que toute somme de solutions individuelles à l'équation de diffusivité est également une solution à cette équation. Ce concept peut être appliqué pour tenir compte des effets suivants sur la solution de l’équation d’écoulement transitoire:  Effets de puits multiples.  Effets des débits variables.  Effets des conditions aux limites.  Effets des changements de pression. Curseur (1976) a présenté une excellente analyse et la discussion des applications pratiques du principe de superposition pour résoudre une grande variété de problèmes d'écoulement instationnaires. a- Effets de puits multiples Le concept de superposition explique que la chute de pression totale en un point quelconque du réservoir est la somme des variations de pression à ce point provoqué par l'écoulement dans chacun des puits dans le réservoir. En d'autres termes, il suffit de superposer un effet sur l'autre. Considérons la Figure suivante qui montre trois puits qui produisent à différents débits à partir d'un réservoir infini,
  • 36. 36 Le principe de superposition stipule que la chute de pression totale observée dans le puits 1 est la suivante: (𝑃𝑖 – 𝑃 𝑤𝑓) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑝𝑢𝑖𝑡𝑠1 = (𝑃𝑖 – 𝑃 𝑤𝑓) 𝑑𝑢𝑒 𝑎𝑢 𝑝𝑢𝑖𝑡𝑠1 + (𝑃𝑖 – 𝑃 𝑤𝑓) 𝑑𝑢𝑒 𝑎𝑢 𝑝𝑢𝑖𝑡𝑠2 + (𝑃𝑖 – 𝑃 𝑤𝑓) 𝑑𝑢𝑒 𝑎𝑢 𝑝𝑢𝑖𝑡𝑠3 La chute de pression dans le puits 1 en raison de sa propre production est donnée par l'approximation log à la solution fonction 𝐸𝑖 présenté par l'équation suivante: (𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝑑𝑢𝑒 𝑎𝑢 𝑝𝑢𝑖𝑡𝑠1 = [ 162.6𝑄1 𝜇𝐵 𝑘ℎ ] [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] Où: 𝑡 = Temps (heures). 𝑠 = Skin factor 𝑘 = Perméabilité, mD 𝑄1 = Débit d'huile à partir de puits 1 La chute de pression supplémentaire au puits 1 en raison de la production des puits 2 et 3 doit être écrite en termes de fonction de la solution 𝐸𝑖, il est exprimé par l'équation suivant, 𝑃(𝑟, 𝑡) = 𝑃𝑖 + [ 70.6𝑄 𝑜 𝜇𝐵 𝑜 𝑘ℎ ] 𝐸𝑖[ −948∅𝜇𝐶𝑡 𝑟 𝑜 2 𝑘𝑡 ] Application de l'expression ci-dessus pour calculer la chute de pression supplémentaire due à deux puits donne:
  • 37. 37 (∆𝑃) 𝑑𝑟𝑜𝑝 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 𝑤𝑒𝑙𝑙 2 = 𝑃𝑖 − 𝑃(𝑟1, 𝑡) = [ −70.6𝑄 𝑜1 𝜇𝐵 𝑜 𝑘ℎ ] 𝐸𝑖[ −948∅𝜇𝐶𝑡 𝑟1 2 𝑘𝑡 ] (∆𝑃) 𝑑𝑟𝑜𝑝 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 𝑤𝑒𝑙𝑙 3 = 𝑃𝑖 − 𝑃(𝑟2, 𝑡) = [ −70.6𝑄 𝑜2 𝜇𝐵 𝑜 𝑘ℎ ] 𝐸𝑖[ −948∅𝜇𝐶𝑡 𝑟2 2 𝑘𝑡 ] Les équations sont applicable pour 𝑥 > 0. 1. La chute de pression totale est alors donnée par : (𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑃1 = [ 162.6𝑄1 𝜇𝐵 𝑘ℎ ] [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] − [ 70.6𝑄2 𝜇𝐵 𝑘ℎ ] 𝐸𝑖 [ −948∅𝜇𝐶𝑡 𝑟1 2 𝑘𝑡 ] − [ 70.6𝑄3 𝜇𝐵 𝑘ℎ ] 𝐸𝑖 [ −948∅𝜇𝐶𝑡 𝑟2 2 𝑘𝑡 ] Où 𝑄1, 𝑄2 et 𝑄3 présentent la production du puits 1, 2 et 3. L'approche ci-dessus de calcul peut être utilisée pour calculer la pression dans les puits 2 et 3. b- Effets des débits variables En conséquence, la perte de charge totale qui a eu lieu à un moment quelconque est la somme des variations de pression provoquées séparément par chaque changement de débit. Prenons le cas initial Q = 0, qui a ensuite été autorisés à produire lors d'une série de changement de débit pour des différentes périodes de temps comme indiquées dans la figure suivante :
  • 38. 38 Pour calculer la chute de pression totale à l'instant t4, la solution composite est obtenue en additionnant les différentes solutions à débit constant à la vitesse spécifiée en temps de séquence, ou: (∆𝑃) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄01→0) + (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 (𝑄02→𝑄01) + (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄03→𝑄02) + (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄04→𝑄03) L'expression ci-dessus indique qu'il y a quatre contributions à la perte de charge totale résultant des quatre taux de flux individuels: Les résultats de la première contribution de l'augmentation du taux de 0 à Q1 et est en vigueur pendant toute la période t4, ainsi: (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄01→0) = [ 162.6(𝑄1 − 0)𝐵𝜇 𝑘ℎ ] [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘𝑡4 ∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] Les résultats de la deuxième contribution la diminution du taux de Q1 à Q2 à t1, ainsi (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄02→𝑄01) = [ 162.6(𝑄2 − 𝑄1)𝐵𝜇 𝑘ℎ ] [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘(𝑡4 − 𝑡1) ∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] De la même façon : (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄03→𝑄02) = [ 162.6(𝑄3 − 𝑄2)𝐵𝜇 𝑘ℎ ] [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘(𝑡4 − 𝑡2) ∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜(𝑄04→𝑄03) = [ 162.6(𝑄4 − 𝑄3)𝐵𝜇 𝑘ℎ ] [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘(𝑡4 − 𝑡3) ∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠]
  • 39. 39 c- Effects of the reservoir boundary Le théorème de superposition peut être également étendu pour prédire la pression d'un puits dans un réservoir limité. La limite d'écoulement ne peut être représentée par l'expression gradient de pression suivante: ( 𝜕𝑃 𝜕𝐿 ) 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑦 = 0 Mathématiquement, la condition aux limites ci-dessus peuvent être satisfaites en plaçant une image bien identique à celle de l'effectif et de l'autre côté de la faille à distance exactement L. Par conséquent, l'effet de la frontière sur le comportement de la pression serait bien être le même que l'effet imaginaire et située à une distance 2L du puits réel. La méthode de superposition est souvent appelée la méthode imaginaire. Ainsi, pour le problème de la configuration du système de la Figure suivante, le problème se réduit à une détermination de l'effet de l'image sur le puits réel. La chute de pression totale sera bien la chute de pression en raison de sa propre production ainsi que la perte de charge supplémentaire provoquée par un puits identique à une distance de 2 L, ou: (∆𝑃) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (∆𝑃) 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑒𝑙 𝑤𝑒𝑙𝑙 + (∆𝑃) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒 𝑤𝑒𝑙𝑙
  • 40. 40 Method of images in solving boundary problems Ou (∆𝑃) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 162.6𝑄 𝑂 𝐵𝜇 𝑘ℎ [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] − ( 70.6 𝑄 𝑂 𝐵𝜇 𝑘ℎ ) 𝐸𝑖[ −948∅𝜇𝐶𝑡(2𝐿)2 𝑘𝑡 ] Notez que cette équation suppose que le réservoir est infinie exception de la limite indiquée. L'effet des limites est toujours à provoquer une chute de pression supérieure à celles calculées pour les réservoirs infinies. Le concept de puits d'image peut être étendu pour générer la pression d'un comportement bien situé dans une variété de configurations de délimitation.
  • 41. 41 Test transitoire Un essai transitoire est essentiellement réalisé par la création d'une perturbation au niveau de réservoir et l'enregistrement de la réponse de pression au fond de puits 𝑃 𝑤𝑓 en fonction du temps. Les tests transitoires de pression les plus couramment utilisés dans l'industrie pétrolière comprennent: ● Pressure drawdown. ● Pressure buildup. ● multirate. ● Interference. ● Drill stem (DST). ● Falloff. ● Injectivité. Il convient de souligner que lorsque le débit est changé et la réponse de la pression est enregistrée dans le puits, le test est appelé un test à un seul puits. Lorsque le débit est modifié dans un puits et la réponse en pression est mesurée dans un autre puits (s), le test est appelé les tests à plusieurs puits. 2- Types de well test : On peut classer les essais de puits par plusieurs critères :  Selon la chronologie de test : On a les tests initiaux (drill stem test), tests potentiels, et tests périodiques.  Selon le nombre de puits rentrant dans le test : On a les tests à un seul puits (build up, drawdown, falloff) ; et les tests à plusieurs puits (test d’interférence ; pulse test)  Selon le type de puits : test des puits producteurs (build up ;drawdown ) et des test des puits injecteurs (injectivity test ;falloff).  Selon le mode de test : En fermant le puits (build up ; falloff) En ouvrant le puits (drawdown ; injectivity test) en plusieurs fermetures et ouvertures successives (dst ;interference test ;) a- Draw-down test:
  • 42. 42 C’est un test pour un puits qui produit à un débit constant avec une continuité d’enregistrement de la pression en face de la formation comme une fonction de temps de production. Le but de ce test est de caractériser les propriétés de réservoir et le fluide qui le contient. Les premières informations acquises de test DRAW-DOWN sont:  La perméabilité effective moyenne des fluides mobiles dans le réservoir.  Facteur de skin total.  Efficacité d'écoulement.  L’aire de drainage (les limites de réservoir)  Détection des failles et les distances entre elles.  Détection des fractures et leurs longueurs. Le test DRAW-DOWN est pratiquement applicable aux:  Nouveaux puits  Pour les puits où le test B U provoque une énorme perte de production  Pour les puits, où les objectifs sont de déterminer les limites. Les inconvénients:  Impossible de maintenir le débit constant.  Impossible d’éliminer l’effet de capacité.  Problème de nettoyage associé aux nouveaux puits après Work-Over et forage. b- Build up test : C’est le test le plus utilisé dans le domaine pétrolier, ce test nécessite la fermeture de puits, l’augmentation de la pression de fond en face de la formation doit être mesurée en fonction du temps, de fermeture en plus des suppositions faites sur la solution de l'équation de diffusivité, une théorie de base utilisée pour analyser des données de test de fermeture, suppose que le puits produit à un débit constant pendant un certain temps avant la fermeture.
  • 43. 43 Figure. Build up test Les objective de test BUILD UP: Les objectifs de ce test sont d'évaluer et analyser:  La perméabilité effective de réservoir.  Le taux d'endommagement de la formation.  La pression moyenne de réservoir.  Les limites de réservoir. (Les failles)  Les problèmes d'interprétation (l’effet de capacité)  Les avantages de test BUILD UP: Ce test est préférable par rapport à d’autres tests pour les raisons suivantes:  Le contrôle de débit (puits fermé Q = 0)  La durée de l’effet de capacité peut être réduite ou éliminée en introduisant une vanne de fermeture au fond.  Le test peut être utilisé dans certain puits qui fonctionne avec des moyens artificiels (pompage)  Les inconvénients de test BUILD UP:  Perte de la production durant le test.  Redistribution des fluides dans le puits durant le test rend l’analyse des données difficile lorsque la vanne de fermeture de fond n’existe pas.  Nécessite un débit constant pendant la période qui précède la fermeture.  Le test BUILD UP est un essai à deux débits, par conséquent les méthodes de superposition doivent être utilisées pour l’interprétation des données, les variations de pression mesurées durant la fermeture ne sont pas seulement
  • 44. 44 influencées par la fermeture de puits, mais aussi par la période de débit avant la fermeture. c- Fall off test: En Fall Off Test on mesure le déclin de pression correspondant à la fermeture du puits. Ce test est similaire au test du Build Up (pour les puits producteurs). C'est un essai spécifique aux puits injecteurs. Dans ce cas la fermeture provoque non pas une remonte de pression, comme c'est le cas des puits producteurs, mais un déclin de pression ce qui nous l'allure de la courbe suivant : Objective du fall off test: Le but de Fall Off Test, est d'identifier les raisons qui justifient la chute d'injection du puits. Et calcul de l'endommagement possible de la formation qui causer la chute de l'injectivité.  Avantage: Les débits d'injection sont souvent bien et facilement contrôlés.  Inconvénients: Les analyses peuvent être compliquées, et les résultats erronés due aux l’effet du fluide injecté, sauf, si le fluide est similaire au fluide de la formation. Le déclin de pression dans un test Fall off
  • 45. 45 d- Test d´injectivité : Ces tests ont pour objectif de déterminer la capacité d´absorption d´un puits. Il est réalisé sur les puits injecteurs. Ce test consiste à injecter un fluide à un débit connu q dans un puits injecteur initialement fermé et l’enregistrement de la variation de pression causé par la perturbation. C´est l´équivalent d´un Drawdown pour un puits producteur. e- Test d´interférence : Un test d´interférence est un test multi-puits, au moins deux puits sont nécessaires, un puits d´observation et un puits active Test d´Interférence entre deux puits Fall off test.
  • 46. 46 Un test d’interférence a pour but principale de déterminer l’existence d’interférence (communication) entre les puits testés. Ce test nous permet aussi de déterminer les caractéristiques du réservoir à une échelle plus grande que celui des essais de puits conventionnelles. Dans un test d´interférence le débit est varié sur un puits et la perturbation est enregistrée sur un autre puits. f- Back Pressure Test (Flow After Flow Test) Les étapes d’un Back Pressure Test sont les suivantes :  Produire le puits avec 3 ou 4 duses avec des débits croissant de durées suffisantes pour atteindre la stabilisation de la pression.  Fermer le puits jusqu'à atteindre la pression du réservoir. Historique de débit et de pression d’un Back pressure test g- Test Isochrone : Le puits est produit à trois ou quatre débits croissants et une période de fermeture est introduite entre chaque débit. Les périodes de production, de même durée tp, sont interrompues pendant le régime de comportement infini. Les fermetures intermédiaires durent assez pour atteindre la pression initiale pi. Le débit final est étendu pour que la pression de débit se stabilise.
  • 47. 47 Historique d´un essai isochrone h- Test Isochrone Modifié : Les fermetures intermédiaires ont la même durée tp que les périodes de débit, et le débit final est étendu pour que la pression de débit se stabilise. Historique d’un essai isochrone modifié
  • 48. 48 Tests But de Test Draw-down test Pressure profile Réservoir behavior Permeability Skin Facteur length Réservoir and limit shape Build- up test Réservoir behavior Permeability Factor length Skin Reservoir pressure Boundaries DST Reservoir behavior Permeability Skin Factor length Reservoir limit boundaries Fall off tests Mobility in various banks Skin Reservoir pressure Fracture length Location of front boundaries Interferance test Communication between wells Reservoir type behavior Porosity Interwell permeability Vertical permeability Layered réservoir test Horizontal permeability Vertical permeability skin average layer pressure outer boundaries Step rate test Formation parting pressure Permeability and skin
  • 49. 49 3- Présentation des méthodes d’interprétation: Plusieurs méthodes permettent d ‘interpréter un essai de puits. Ces méthodes peuvent être classées en deux grandes familles: - Les méthodes conventionnelles. - Les méthodes utilisant les courbes types. a- les méthodes conventionnelles: Elles ont été mises au point à partir des années 30. Elles étaient les seules disponibles jusqu’aux années 70. Elles consistent à repérer sur l’évolution de pression les différentes périodes d’écoulement caractéristiques qui se succèdent. Au cours d’un écoulement caractéristique (radial circulaire, linéaire…etc.) l’évolution de la pression est représentée par une fonction du temps f(t). La représentation de la pression en fonction du temps se traduits par une droite qui permet de déterminer selon l’écoulement certaines caractéristiques du puits et du réservoir. N’utiliser que les méthodes conventionnelles pour interpréter un essai présente plusieurs inconvénients. - Diagnostiquer un écoulement est parfois délicat: La représentation de la pression en fonction du temps se traduits par une droite. La droite n’existe que si les écoulements qui se succèdent sont bien découplés dans le temps. Dans le cas contraire aucune droite n’existe; aucune interprétation conventionnelle n’est possible.  L’interprétation ne prend en compte que les points situés sur la droite: les points situés entre deux droites pendant la transition entre deux écoulements ne sont pas utilisés. De ce fait, souvent, seul un faible parti des données sert à l’interprétation.  Tracer le bon droit est parfois délicat: Dans nombreuses interprétations plusieurs droites peuvent sembler apparaître. Il est souvent difficile de déterminer la droite correspondant à l’interprétation recherchée. Les autres apparences de droites ne sont souvent que les tangentes à une courbe de faible courbure. b- Les méthodes utilisant les courbes types:
  • 50. 50 Ces méthodes sont apparues dans les années 70 mais ne se sont diffusées et ont pris toute leur extension que dans les années 80. Elles sont apparues dans un premier temps sous la forme de planches de courbes utilisant des paramètres sans dimension. Pour permettre la représentation sous forme de planches, les courbes types font l’objet des hypothèses simplificatrices qui limitent parfois sévèrement leurs conditions d’utilisation. L’extension des courbes types est directement liée aux progrès importants de l’informatique: progrès en termes de réduction considérable des temps calcul sur des ordinateurs de plus en plus puissants. Ces progrès offrent la possibilité de simuler à l’aide d’un modèle analytique, en faisant le minimum de simplifications. L ‘évolution de la pression attendue sur l’ensemble d’un essai de puits en fonction de la configuration réservoir puits choisie. La génération à l’aide d’un modèle puits implanté sur micro- ordinateur à débarrassé les courbes types d’une bonne partie des limitations des planches et a considérablement étendu leurs possibilités. Les méthodes courbes types ont été fortement améliorées par l’utilisation simultanée de la dérivée de la pression à partir de l’année 83. Les méthodes courbes types ont en commun d’interpréter d’un seul coup la globalité de l’évolution de pression enregistrée au cours d’un essai de puits. Cette propriété permet à l’interprétateur de déterminer la succession des écoulements visibles dont l’essai. Il peut ainsi porter un diagnostic sur son puits et son réservoir. Déroulement d’une interprétation: La démarche actuellement utilisée est la suivante: diagnostic : Il sert à déterminer la succession des écoulements visibles au cours de l’essai. Le repérage de ces écoulements détermine la configuration réservoir puits qui sera ensuite utilisée dans l’interprétation. Le diagnostic est fait surtout à l’aide de la dérivée de la pression. Interprétation : L’interprétation vise à quantifier les paramètres de la configuration réservoir puits. Elle est réalisée avec les courbes types, la dérivée de la pression et les méthodes conventionnelles. Validation : l’interprétation est validée en générant une courbe type simulant au mieux les données à l’aide d’un modèle analytique adapté à la configuration
  • 51. 51 réservoir puits et à l’historique des débits. Les paramètres initiaux du modèle sont déterminés lors de la phase d’interprétation. Un dernier ajustement des paramètres est la plupart du temps nécessaire pour simuler au mieux les données, surtout au niveau des transitions entre les différents écoulements. 4- Notion de la zone Compressible et du Rayon d´Investigation : a- Zone Compressible : Le débit qui existe à une distance 𝑟 du puits à l´instant 𝑡 peut être déterminé à partir de la loi de Darcy locale exprimé en écoulement radial circulaire. La notion de la zone compressible permet de situer de manière pratique la zone du réservoir atteinte par la perturbation de débit. La variation de la pression du puits traduit principalement les propriétés du réservoir dans la zone compressible. b- Rayon d'investigation: L'évolution de la pression au puits reflète les propriétés de la portion du réservoir traversée par la zone compressible. Il est intéressant de caractériser la position de cette zone. C'est ce que recouvre la notion de rayon d'investigation d'un essai. La littérature pétrolière présente un grand nombre de définitions différentes du rayon d'investigation. L'article H.K Van POOLEN présente une bonne synthèse de ces définitions. Parmi toutes, on note: i. La définition de Jones: Le rayon d'investigation est l'endroit de réservoir où l'évolution de la pression représente 1% de l'évolution observée au puits. 𝑟𝑖 = 4√ 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 ⁄ ii. Le définition de POETTMANN: Le rayon d'investigation est l'endroit de réservoir traversé par un débit égal à 1% de débit du puits. 𝑟𝑖 = 4.29√ 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 ⁄ iii. Définition de J. Lee et Muskat :
  • 52. 52 Le rayon d´investigation est l´endroit du réservoir où l´évolution de la pression est la plus petit. 𝑟𝑖 = 2√ 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 ⁄ 5- Indice de productivité : L’indice de productivité Ip représente le rapport entre le débit de production et la différence entre la pression de réservoir moyenne et la pression de fond tel que : 𝐼 𝑝 = 𝑞 𝑃 − 𝑃 𝑤𝑓 a- Indice de productivité réel (𝐼 𝑝) 𝑟é𝑒𝑙 = 𝑞 𝑃 − 𝑃 𝑤𝑓 b- Indice de productivité théorique: (𝐼 𝑝) 𝑡ℎé𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 = 𝑞 𝑃 − 𝑃 𝑤𝑓 − ∆𝑃𝑠 c- Efficacité d’écoulement: Lorsque n’est pas disponible, peut être remplacé par P* E P P P P P r wf S r wf      Pr
  • 53. 53 Chapitre IV : Interprétations des Essais du puits A- Interprétation par les méthodes conventionnelles ; Ils existent plusieurs types des essais de puits qui différent selon la nature du puits et le but recherché à travers l´essai de puits. Les plus courant sont les tests de remonté de pression communément appelé Build Up et les tests en débit appelé Drawdown tests. 1- Drawdown test : Un test en débit consiste à l´ouverture d´un puits initialement fermé à un débit constant q. a- Fluides peu compressible L’évolution de pression au niveau de réservoir est décrite par : 𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 − [ 162.6𝑄𝜇𝐵 𝑘ℎ ] [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] Where: 𝑘 = permeability, md 𝑡 = time, hours 𝑟𝑤 = wellbore radius, ft 𝑠 = skin factor. L'expression ci-dessus peut être écrite comme:
  • 54. 54 𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 − [ 162.6𝑄𝜇𝐵 𝑘ℎ ] [𝑙𝑜𝑔(𝑡) + 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] Cette relation est essentiellement une équation d'une ligne droite et peut être exprimée comme suit: 𝑃 𝑤𝑓 = 𝑎 + 𝑚 𝑙𝑜𝑔(𝑡) Et la pente 𝑚 est donnée par: −𝑚 = −162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ Note : on trace 𝑃 𝑤𝑓 en fonction de 𝑙𝑜𝑔(𝑡) sur un papier semi-log pendant l’écoulement transitoire pour déterminer la pente 𝑚, qui permet de déterminer le 𝑘ℎ Le graphe ci-dessous représente l’allure de 𝑃 𝑤𝑓 en fonction du temps 𝑡 pendant un test Drawdown : 𝑚 = 𝑃 𝑤𝑓 − 𝑃1ℎ𝑟 𝑙𝑜𝑔(𝑡) − 𝑙𝑜𝑔(1) = 𝑃 𝑤𝑓 − 𝑃1ℎ𝑟 𝑙𝑜𝑔(𝑡) 𝑃 𝑤𝑓 = 𝑚 𝑙𝑜𝑔(𝑡) + 𝑃1ℎ𝑟 La perméabilité moyenne est donnée par: 𝑘 = 162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 |𝑚|ℎ 𝑘 : La perméabilité moyenne, md.
  • 55. 55 𝑚 : La pente du régime transitoire, psi/cycle. Et le skin peut être obtenue par : 𝑠 = 1.151 [( 𝑃 𝑤𝑓 − 𝑃𝑖 |𝑚| ) − 𝑙𝑜𝑔(𝑡) − 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) + 3.23] Si 𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃1ℎ𝑟, 𝑙𝑜𝑔(𝑡) = 𝑙𝑜𝑔(1) = 0 Alors ; 𝑠 = 1.151 [( 𝑃𝑖 − 𝑃1ℎ𝑟 |𝑚| ) − 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) + 3.23] Notez que la chute de pression supplémentaire due au skin est exprimée comme ∆𝑃𝑠 = 141.2 ( 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ ) 𝑠 Donc perte de charge due au skin est calculée par l’expression suivante : ∆𝑃𝑠 = 0.87 |𝑚| 𝑠  Efficacité d’écoulement E: Il est définie par le rapport de l’indice de productivité réel par rapport au théorique : 𝐸 = 𝐽𝑟é𝑒𝑙 𝐽𝑡ℎé𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 = 𝑃 − 𝑃 𝑤𝑓 + ∆𝑃𝑠 𝑃 − 𝑃 𝑤𝑓  La durée de la période transitoire : La durée de l’écoulement transitoire peut être estimée par: 𝑡 𝑒𝑖𝑎 = [ ∅𝜇𝐶𝑡 𝐴 0.000264𝑘 ] (𝑡 𝐷𝐴) 𝑒𝑖𝑎 𝑡 𝑒𝑖𝑎 : Temps de la fin de la période transitoire, heures A : aire de drainage, ft2 (𝑡 𝐷𝐴) 𝑒𝑖𝑎 : Temps adimensionnelle de la fin de la période transitoire 𝐶𝑡 : Compressibilité totale, psi-1 (𝑡 𝐷𝐴) 𝑒𝑖𝑎 Est déterminé à partir du tableau (colonne 5) (voir annexe)  La période pseudo permanent: Si la durée de test DRAW-DOWN est suffisamment longue pour que la pression se stabilise. La pression durant cette période peut s’écrire selon la formulation de RAMEY et COBB comme suite: 𝑃 𝑤𝑓 = [𝑃𝑖 − 0.23396𝑄𝐵𝑡 𝐴ℎ∅𝐶𝑡 ] − 162.6𝑄𝐵𝜇 𝑘ℎ 𝑙𝑜𝑔 [ 4𝐴 1.781𝐶𝐴 𝑟𝑤 2 ]
  • 56. 56 Cette formule indique qu’un plot de 𝑃 𝑤𝑓 en fonction de temps 𝑡 donne une ligne droite sur une échelle cartésienne pendant le régime pseudo-permanent : 𝑃 𝑤𝑓 = 𝑚′ ∗ 𝑡 + 𝑏 𝑚′ = 0.23396𝑄𝐵 𝐴ℎ∅𝐶 𝑡 = 𝑑𝑃 𝑤𝑓 𝑑𝑡 𝐴 = 𝜋𝑟𝑒 2 𝑚′ = pente de la semisteady (échelle cartésienne) Q = débit de fluide, STB / jour B = facteur volumétrique, bbl / STB  Test des limites de réservoir: D’après l’équation précédente, un plot cartésien de 𝑷 𝒘𝒇 en fonction du temps nous donne une droite pour la pression mesurée durant l’écoulement pseudo- permanent (pseudo-steady-state). Donc la détermination de la pente m', nous permet de calculer le volume des pores de drainage de puits comme suite: 𝐴ℎ∅ = 0.23396𝑄𝐵 𝑚′ 𝐶𝑡  Estimation de la forme de l’aire de drainage: EARLOUGHER a montré que la forme de l’aire de drainage peut être estimée par l’expression suivante : 𝐶𝐴 = 5.456 𝑚 𝑚′ 𝐸𝑋𝑃 [2.303 (𝑃1ℎ𝑟 − 𝑃𝑖𝑛𝑡) 𝑚 ] 𝐶𝐴 : Facteur de forme de l’aire de drainage 𝒎 : La pente du droit en semi-log (plot semi log) (Psi / log cycle) 𝑷 𝟏𝒉𝒓 : Pression à 𝒕 = 𝟏 𝒉𝒓 (plot semi log) (psi) 𝑷𝒊𝒏𝒕 : Pression extrapolée à t = 0 (plot cartésien). 𝒎′ : La pente de la droite (plot cartésien) psi / heure. 𝐶𝐴 : Calculé est comparé avec les valeurs cités dans le tableau (voir annexe) permet de déterminer la forme de l’aire de drainage.
  • 57. 57  Le temps de stabilisation (début de la période pseudo-permanente): C’est le temps nécessaire pour que l’écoulement pseudo-permanent commence. Une estimation de ce temps: 𝑡 𝑝𝑠𝑠 = ∅𝜇𝐶𝑡 𝐴 0.0002637 𝑘 (𝑡 𝐷𝐴) 𝑝𝑠𝑠 𝑡 𝑝𝑠𝑠 : Le temps nécessaire pour atteindre le régime pseudo-permanent.  pssDAt : Le temps sans dimension de stabilisation.  pssDAt : Peut être déterminé à partir du tableau (colonne 5)  Effet de capacité (wellbore storage) : L’interprétation des essais de puits est basée sur l’analyse de la réponse de pression provoquée par le changement brutale du débit (de 0 à Q pour Drawdown; de Q à 0 pour Buildup). Le débit est contrôlé au surface à cause du volume du tubing, un débit constant au surface n’implique pas forcément que ce débit est produit entièrement de la formation. Cet effet est appelé wellbore storage. Prenons le cas d’un test Drawdown, le puits est initialement fermé, dans le cas ou puits ouvert à débit constant, la pression de fond se chute, cette dernière provoque deux types de wellbore storage à savoir : - Wellbore storage causé par l’expansion du fluide (compressibilité du fluide). - Wellbore storage causé par le changement de niveau de fluide dans le tubing.
  • 58. 58 Plus la pression de fond se chute, plus le fluide dans le tubing se dilate, le premier débit de surface n’est produit de la formation, mais de l’expansion du fluide dans le tubing, c’est l’effet wellbore storage dû à l’expansion du fluide. 𝑞 = 𝑞 𝑓 + 𝑞 𝑤𝑏 𝑞 : Débit de surface, 𝑞 𝑓 : Débit de formation, 𝑞 𝑤𝑏 : Débit contribué par puits. Durant la période de l’effet wellbore storage, la pression mesurée ne donne pas une droite en semi-log comme celle du régime transitoire. Plus la production augmente plus l’effet wellbore storage diminue et on aura = 𝑞 𝑓 , cela signifie la fin de l’effet wellbore storage. 𝐶 = ∆𝑉 𝑤𝑏 ∆𝑃 𝐶 : Coefficient de wellbore storage, bbl/psi ∆𝑉 𝑤𝑏 : Changement du fluide dans le tubing, bbl 𝐶 𝐹𝐸 = 𝑉 𝑤𝑏 ∗ 𝑐 𝑤𝑏 𝐶 𝐹𝐸 : Coefficient du wellbore storage dû à l’expansion du fluide, bbl/psi 𝑉 𝑤𝑏 : Volume total du fluide de fond, bbl 𝑐 𝑤𝑏 : Compressibilité moyenne du fluide de fond, 𝑝𝑠𝑖−1 𝐶 𝐹𝐿 = 144𝐴 𝑎 5.615𝜌 𝐴 𝑎 = 𝜋(𝐼𝐷)2 4(144) 𝐶 𝐹𝐿 : Coefficient du wellbore storage du au changement du fluide dans le tubing, bbl/psi 𝐴 𝑎 : Section du tubing, 𝑓𝑡2 𝐼𝐷 : Diamètre intérieur du tubing, inches 𝜌 : Masse volumique du fluide, 𝑙𝑏/𝑓𝑡3 𝐶 = 𝐶 𝐹𝐸 + 𝐶 𝐹𝐿  Wellbore storage adimensionnel : 𝐶 𝐷 = 5.615𝐶 2𝜋ℎ∅𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 = 0.8936𝐶 ∅ℎ𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 𝐶 𝐷 : Coefficient de wellbore storage adimensionnel,
  • 59. 59 Horner et Earloungher ont indiqué que la pression de fond est proportionnelle de temps pendant l’effet wellbore storage : 𝑃𝐷 = 𝑡 𝐷 𝐶 𝐷 , log(𝑃𝐷) = log(𝑡 𝐷) − log(𝐶 𝐷) Cette dernière expression indique qu’un plot de 𝑃𝐷 en fonction de 𝑡 𝐷 sur un papier log- log forme une droite de pente unitaire pendant l’effet wellbore storage; puisque 𝑃𝐷 = 𝑓(∆𝑃), et 𝑡 𝐷 = 𝑓(𝑡) Alors, un plot ∆𝑃 en fonction de 𝑡, nous donne aussi une droite de pente unitaire pendant l’effet wellbore srorage. Il est possible de calculer le coefficient de wellbore storage 𝐶 par la sélection d’un point arbitraire depuis la droite de pente unitaire (log-log) et lire ∆𝑃 et 𝑡 𝐶 = 𝑞𝑡 24∆𝑃 = 𝑄𝐵 ∗ 𝑡 24∆𝑃 ∆𝑃 = 𝑃𝑖 − 𝑃 𝑤𝑓, psi 𝑄 : Débit en surface, Stb/day 𝐵 : Facteur volumétrique de fond, bbl/Stb t : temps heures.  La durée de l’effet wellbore storage : Ce temps peut être estimé à partir la relation suivante : 𝑡 𝐷 > (60 + 3.5 ∗ 𝑠)𝐶 𝐷 𝑡 > (200000 + 12000 ∗ 𝑠)𝐶 (𝑘ℎ/𝜇)  Règle de pouce : Cette règle situe la fin de l’effet wellbore storage à l’intersection de la courbe log-log de ∆𝑃 en fonction de 𝑡 de la parallèle à la droite de pente unitaire translatée de 1à 1.5 cycle. (Voir figure ci-dessous).
  • 60. 60  Rayon d’investigation : 𝑟𝑖𝑛 = 0.0325√ 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 b- Fluides compressibles :  Régime transitoire : 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = 𝑚(𝑃𝑖) − ( 1637𝑄 𝑔 𝑇 𝑘ℎ ) [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠′ ] 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) = 𝑚 ∗ log(𝑡) + 𝑏 𝑚 = 1637𝑄 𝑔 𝑇 𝑘ℎ 𝑃 𝑤𝑓 2 = 𝑃𝑖 2 − ( 1637𝑄 𝑔 𝑇𝜇𝑍 𝑘ℎ ) [𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘𝑡 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠′ ] 𝑃 𝑤𝑓 2 = 𝑚 ∗ log(𝑡) + 𝑏 𝑚 = 1637𝑄 𝑔 𝑇𝑍𝜇 𝑘ℎ 𝑠′ = 𝑠 + 𝐷𝑄 𝑔 𝑠′ = 1.151 [( 𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃1ℎ𝑟) |𝑚| ) − 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘 ∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤 2 ) + 3.23] 𝑠′ = 1.151 [( 𝑃𝑖 2 − 𝑃1ℎ𝑟 2 |𝑚| ) − 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘 ∅𝜇𝑖 𝐶𝑡𝑖 𝑟𝑤 2 ) + 3.23]
  • 61. 61  Régime pseudo-permanent: 𝑚(𝑃𝑖) − 𝑚(𝑃 𝑤𝑓) 𝑞 = 711𝑇 𝑘ℎ (𝑙𝑛 4𝐴 1.781𝐶𝐴 𝑟𝑤 2 ) + [ 2.356𝑇 ∅(𝜇 𝑔 𝐶𝑔) 𝑖 𝐴ℎ ] 𝑡 ∆𝑚(𝑃) 𝑞 = 𝑏 𝑝𝑠𝑠 + 𝑚′ ∗ 𝑡 Cette relation indique qu’un plot de ∆𝑚(𝑃) 𝑞 vs t produit une droite, d’où 𝑏 𝑝𝑠𝑠 = 711𝑇 𝑘ℎ (𝑙𝑛 4𝐴 1.781𝐶𝐴 𝑟𝑤 2 ) 𝑚′ = 2.356𝑇 (𝜇 𝑔 𝐶𝑔) 𝑖 𝐴ℎ∅  Approche de la pression quadratique : ∆(𝑃2 ) 𝑞 = 711𝑇 𝑘ℎ (𝑙𝑛 4𝐴 1.781𝐶𝐴 𝑟𝑤 2 ) + [ 2.356𝑇 ∅(𝜇 𝑔 𝐶𝑔) 𝑖 𝐴ℎ ] 𝑡 ∆(𝑃2 ) 𝑞 = 𝑏 𝑝𝑠𝑠 + 𝑚′ ∗ 𝑡 𝑏 𝑝𝑠𝑠 = 711𝜇 𝑍𝑇 𝑘ℎ (𝑙𝑛 4𝐴 1.781𝐶𝐴 𝑟𝑤 2 ) 𝑚′ = 2.356𝜇 𝑍𝑇 (𝜇 𝑔 𝐶𝑔) 𝑖 𝐴ℎ∅ Avec : 𝑞: Débit de gaz, Mscf/day 𝐴 : drainage area, ft2 𝑇 : température, °R 𝑡: temps, heures  L’écoulement multiphasique: Lorsque la pression de gisement est inférieure de la pression de bulle on a l’existence de deux phases dans le gisement. Il est possible dans certain réservoir d’avoir un écoulement de troisième phase (l’eau). La résolution de ce problème est la considération que la distribution de chaque fluide est en fonction du temps. Si les fluides dans le réservoir sont immiscible et les saturations uniformes. L’équation de la pression DRAW DOWN peut exprimer par:
  • 62. 62 𝑃 𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 − 162.6𝑞𝑡  𝑡 ℎ [log(𝑡) + 𝑙𝑜𝑔 (  𝑡 ∅𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] Le débit total d’écoulement 𝑞𝑡 peut déterminer comme suite: 𝑞𝑡 = 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 + 𝑄 𝑤 𝐵 𝑤 + (𝑄 𝑔 − 𝑄 𝑂 𝑅 𝑠)𝐵𝑔 𝑞𝑡 = 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 + 𝑄 𝑤 𝐵 𝑤 + (𝐺𝑂𝑅 − 𝑅 𝑠)𝑄 𝑜 𝐵𝑔 Avec : 𝑞𝑡 : Le débit total de production bbl/day. 𝑄 𝑜 : Le débit total de production d’huile STB/day. 𝑄 𝑤 : Le débit de production d’eau STB/day 𝑄 𝑔: Le débit de production de gaz Scf/day 𝑅 𝑠 : Le GOR de dissolution SCF / STB. 𝐵𝑔 : Facteur volumétrique de gaz bbl/SCF. 𝐵 𝑤: Facteur volumétrique d’eau bbl/STB. 𝐺𝑂𝑅 : Gaz oil ratio La mobilité totale λt est: w w g g t kkk    0 0 𝑘𝑖 : Perméabilité effective de la phase i, 𝑚𝑑 (i=o, w, g) µ 𝑖 : viscosité de la phase i, 𝑐𝑝 (i=o, w, g) La relation de Drawdown précédente indique qu’un plot de 𝑃 𝑤𝑓 en fonction de temps 𝑡, sur un papier semilog produit une droite de pente m utilisée pour calculer la mobilité totale λt  𝑡 = 162.6𝑞𝑡 𝑚 ℎ PERRINE voit que la perméabilité de chaque phase mobile peut s’exprimer comme suite: 𝑘 𝑜 = 162.6𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑚 ∗ ℎ 𝑘 𝑤 = 162.6𝑄 𝑤 𝐵 𝑤 𝜇 𝑤 𝑚 ∗ ℎ 𝑘 𝑜 = 162.6(𝑄 𝑔 − 𝑄 𝑜 𝑅𝑠)𝐵𝑔 𝜇 𝑜 𝑚 ∗ ℎ En fin le facteur de skin total est:
  • 63. 63 s = 1.151 [ Pi − P1hr |m| − log (  t ∅Ctrw 2 ) + 3.23] Remarque : Après 1 heure d´ouverture, le puits peut être encore sous l´effet de capacité du puits (wellbore storage), il est alors important de lire la pression sur le droit semi log et non pas par extrapolation des points de mesures. Il est à signaler que l´inconvénient majeure d´un test de débit est la difficulté de maintenir un débit constant durant toute la période de débit. c- Étapes d’interprétation d’un test DrawDown : Les différentes étapes d’interprétation d’un test de débit sont citées ci-dessous : 1. Tracer la courbe (𝑃𝑖 – 𝑃 𝑤𝑓) en fonction du temps sur un plot Log – Log. 2. Lire le temps correspondant à la fin de la pente unité. 3. Déterminer le temps à un cycle et demi du temps de l’étape 2. Ceci correspond à la fin de l’effet de capacité du puits (wellbore storage) et au début de la droit en semilog. 4. Calculer l’effet de capacité du puits (wellbore storage) par la formule : 𝐶 = 𝑄𝐵 24 𝑡 ∆𝑃 5. Tracer la courbe 𝑃 𝑤𝑓 en fonction du temps sur un plot semilog. 6. A partir du temps déterminé dans l’étape 3, tracé la meilleur droite. 7. Calculer la pente de la droite m. 8. Calculer le produit 𝑘ℎ et le skin 𝑆, en utilisant les formules citées précédemment. 9. Déterminer le temps correspondant à la fin de la droite sur le semilog (𝑡 𝑒𝑖𝑎). 10. Sur un plot cartésien, tracer 𝑃 𝑤𝑓 en fonction du temps après le début de 𝑡 𝑒𝑖𝑎 ; La courbe doit être une droite. 11. Déterminer la pente de la droite m’. 12. Calculer le drainage area par l’équation : 𝐴 = 0.23396𝑄𝐵 𝑚′ 𝐶𝑡ℎ∅ 13. Calculer le coefficient du Shape factor par l’équation : 𝐶𝐴 = 5.456 𝑚 𝑚′ 𝐸𝑋𝑃 [2.303 (𝑃1ℎ𝑟 − 𝑃𝑖𝑛𝑡) 𝑚 ] 14. Utilisé la valeur du Shape factor pour déterminer la configuration du drainage du puits testé. (Voir le tableau).
  • 64. 64 2- Pressure buildup test : L’essai BU décrit la remonté de la pression de fond en fonction du temps après la fermeture du puits. Deux méthodes couramment utilisées sont discutées ci-dessous, ce sont: i. la méthode de Horner; ii. la méthode de Miller-Teintures-Hutchinson. a) la méthode de Horner Un test de montée en pression est décrit mathématiquement en utilisant le principe de superposition de 0 a 𝑄 et de 𝑄 a 0 𝑝𝑖 − 𝑝 𝑤𝑠 = (∆𝑝) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (∆𝑝) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 (𝑄 𝑜→0) + (∆𝑝) 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 (0→𝑄 𝑜) Où: 𝑃𝑖 = Pression initiale du réservoir, psi 𝑃𝑤𝑠 = Pression de puits de forage pendant la fermeture, psi
  • 65. 65 (∆𝑝) 𝑄 𝑜→0 = [ 162.6 (𝑄 𝑜 − 0)𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ ] × [log ( 𝑘(𝑡 𝑝 + ∆𝑡) ∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] (∆𝑝) 𝑄 𝑜→0 = [ 162.6 (0 − 𝑄 𝑜)𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ ] × [log ( 𝑘(∆𝑡) ∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] Le comportement de la pression dans le puits pendant la période d'arrêt est alors donné par: 𝑝𝑖 − 𝑝 𝑤𝑠 = 162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ [log ( 𝑘(𝑡 𝑝 + ∆𝑡) ∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] + 162.6 (−𝑄 𝑜)𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ [log ( 𝑘(∆𝑡) ∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤 2 ) − 3.23 + 0.87𝑠] On obtient: 𝑝 𝑤𝑠 = 𝑝𝑖 − 162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ [log ( (𝑡 𝑝 + ∆𝑡) ∆𝑡 )] Où: 𝑃𝑖 = Pression initiale du réservoir, psi 𝑃𝑤𝑠 = Pression face à sable pendant la montée en pression, psi 𝑡 𝑝 = Temps qui s'écoule avant l'arrêt dans, les heures 𝑄 𝑜 = Débit stabilisé bien avant coupure dans, STB / jour ∆𝑡 = arrêt-dans le temps, les heures L'équation précédente est essentiellement une équation d'une droite qui peut être exprimé comme suit: 𝑝 𝑤𝑠 = 𝑝𝑖 − 𝑚 [log ( 𝑡 𝑝 + ∆𝑡 ∆𝑡 )] On trace 𝑃𝑤𝑠 en fonction de ( 𝑡 𝑝+∆𝑡 ∆𝑡 ) sur un papier semi-log comme indiqué dans la figure suivante :
  • 66. 66 La courbe présente une droite de pente 𝑚 tell que : 𝑚 = 162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ Ou 𝑘 = 162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑚 ℎ Où : m = pente de la droite, psi / cycle k = perméabilité, mD Le temps de production peut être exprimé à partir de l'équation suivante: 𝑡 𝑝 = 24𝑁𝑝 𝑄 𝑜 Ou: 𝑁𝑝 = well cumulative oil produced before shut in, STB 𝑄 𝑜 = stabilized well flow rate before shut in, STB/day 𝑡 𝑝 = total production time, hours
  • 67. 67 Le skin peut être déterminé par : 𝑠 = 1.151 [ 𝑃1ℎ𝑟 − 𝑃 𝑤𝑓 à ∆𝑡=0 |𝑚| − 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑘 ∅𝜇𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) + 3.23] ∆𝑃𝑠 = 0.87 ∗ |𝑚| ∗ 𝑠 Où: 𝑃 𝑤𝑓 à ∆𝑡=0 : La pression de fond avant la fermeture (∆𝑡 = 0), psi 𝑠 = Le skin factor | 𝑚 | = Valeur absolue de la pente de Horner, psi / cycle 𝑟𝑤: Rayon de puits, ft Pour un écoulement poly-phasique l’équation de build up devient: 𝑝 𝑤𝑠 = 𝑝𝑖 − 162.6 𝑞𝑡 𝜆 𝑡 ℎ [log ( 𝑡 𝑝 + ∆𝑡 ∆𝑡 )] Et le skin est : 𝑠 = 1.151 [ 𝑝1ℎ𝑟 − 𝑝 𝑤𝑓 𝑎𝑡=0 |𝑚| − log ( 𝜆 𝑡 ∅𝐶𝑡 𝑟𝑤 2 ) + 3.23] Avec 𝜆 𝑡 = 𝑘 𝑜 𝜇 𝑜 + 𝑘 𝑤 𝜇 𝑤 + 𝑘 𝑔 𝜇 𝑔 𝑞𝑡 = 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 + 𝑄 𝑤 𝐵 𝑤 + (𝑄 𝑔 − 𝑄 𝑜 𝑅 𝑠)𝐵𝑔 Ou de manière équivalente en termes de GOR comme: 𝑞𝑡 = 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 + 𝑄 𝑤 𝐵 𝑤 + (𝐺𝑂𝑅 − 𝑅 𝑠)𝑄 𝑜 𝐵𝑔 Où: 𝑞𝑡: Débit total, STB / jour 𝑄 𝑜: Débit d'huile, STB / jour 𝑄 𝑤: Débit d'eau, STB / jour 𝑄 𝑔: Débit de gaz, scf / jour 𝑅 𝑠: Solubilité de gaz, scf / STB 𝐵𝑔: Facteur volumétrique de gaz, bbl / scf 𝜆 𝑡: Mobilité totale, md / cp 𝑘 𝑜: Perméabilité effective à l'huile, mD 𝑘 𝑤: Perméabilité effective de l'eau, mD 𝑘 𝑔: Perméabilité effective de gaz, mD D’après la méthode de Horner on peut calculer la mobilité totale de fluide :
  • 68. 68 𝜆 𝑡 = 162.6 𝑞𝑡 𝑚 ℎ Perrine (1956) ont montré que la perméabilité effective de chaque phase, c'est 𝑘 𝑜,𝑘 𝑤, et 𝑘 𝑔, peut être déterminé comme suit: 𝑘 𝑜 = 162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑚 ℎ 𝑘 𝑤 = 162.6 𝑄 𝑤 𝐵 𝑤 𝜇 𝑤 𝑚 ℎ 𝑘 𝑔 = 162.6 (𝑄 𝑔 − 𝑄 𝑜 𝑅 𝑠)𝐵𝑔 𝜇 𝑔 𝑚 ℎ Pour les fluides compressibles (gaz) On trace 𝑚(𝑃𝑤𝑠) ou 𝑃𝑤𝑠 2 vs ( 𝑡 𝑝+∆𝑡 ∆𝑡 ) sur une échelle semi-logarithmique produirait une relation linéaire avec une pente 𝑚  Pour l'approche pseudo-pressure: La pente est : 𝑚 = 1637𝑄 𝑔 𝑇 𝑘ℎ Et le skin factor est définie par : 𝑠′ = 1.151 [ 𝑚(𝑝1ℎ𝑟) − 𝑚(𝑝 𝑤𝑓 𝑎𝑡 ∆𝑡=0) |𝑚| − log ( 𝑘 ∅𝜇𝑖 𝑐𝑡𝑖 𝑟𝑤 2 ) + 3.23]  Pour une pression-carré approche: Le skin apparente est défini par : 𝑚 = 1637𝑄 𝑔 𝑍̅ 𝜇 𝑔̅̅̅ 𝑘ℎ 𝑠′ = 1.151 [ 𝑝1 ℎ𝑟 2 − 𝑝 𝑤𝑓 𝑎𝑡 ∆𝑡=0 2 |𝑚| − log ( 𝑘 ∅𝜇𝑐𝑡𝑖 𝑟𝑤 2 ) + 3.23] Où 𝑄 𝑔 le débit de gaz est exprimée en Mscf / jour.  L’effet de capacité du puits C : 𝐶 = 𝑞 ∆𝑡 24 ∆𝑝 = 𝑄 𝐵 ∆𝑡 24 ∆𝑝 Où ∆𝑡 ∶ Le temps de fermeture, hours ∆𝑝 ∶ Différence de pression(𝑃𝑤𝑠 − 𝑃 𝑤𝑓), psi 𝑞 ∶ Débit de fond, STB/ jour
  • 69. 69 𝑄 ∶ Débit de surface, STB / jour 𝐵 ∶ Facteur volumétrique bbl / STB Le coefficient de wellbore storage a dimensionnel donnée par la formule suivante: 𝐶 𝐷 = 0.8936𝐶 ∅ℎ𝑐𝑡 𝑟𝑤 2 Le temps de début de la ligne droite semi-logarithmique peut être estimée à partir de: ∆𝑡 > 170000𝐶𝑒0.14𝑠 (𝑘ℎ/𝜇) Où: 𝐶 ∶ Coefficent de wellbore storage, 𝑏𝑏𝑙 / 𝑝𝑠𝑖 𝑘 ∶ Perméabilité, 𝑚𝐷 𝑠: Le Skin factor ℎ ∶ Épaisseur, 𝑓𝑡 Pour 𝑟𝑒 → ∞ la pression serait égale à la pression initiale du réservoir 𝑃𝑖, la droite semi- logarithmique sera toujours extrapoler à ( 𝑡 𝑝+∆𝑡 ∆𝑡 ) = 1 c à d ∆𝑡 → ∞ pour déterminer la pression du réservoir. Réellement la droite ne sera pas extrapoler à la pression initiale du réservoir, mais, au contraire la pression obtenue aura une pression fausse indiqué par p*. La pression fausse comme illustré par Matthews et Russell (1967) n'a pas de sens physique, mais il est généralement utilisé pour déterminer la pression moyenne réservoir. Donc d’après la méthode de Horner : 𝑝 𝑤𝑠 = 𝑝∗ − 162.6 𝑄 𝑜 𝜇 𝑜 𝐵𝑜 𝑘ℎ [log ( 𝑡 𝑝 + ∆𝑡 ∆𝑡 )] Et 𝑝 𝑤𝑠 = 𝑝∗ − 𝑚 [log ( 𝑡 𝑝 + ∆𝑡 ∆𝑡 )] Bossie-Codreanu (1989) sélectionnent trois points quelconques situés sur la partie linéaire de semi-log, Les coordonnées de ces trois points sont désignées comme suit: ∆𝑡1 : correspond une pression statique 𝑃 𝑤𝑠1. ∆𝑡2 : Correspond une pression statique 𝑃 𝑤𝑠2. ∆𝑡3 : Correspond une pression statique 𝑃 𝑤𝑠3. Si ∆𝑡1 < ∆𝑡2 < ∆𝑡3 la pente du pseudo permanant peut être exprimée comme suit :
  • 70. 70 𝑚 𝑝𝑠𝑠 = (𝑝 𝑤𝑠2 − 𝑝 𝑤𝑠1) log(∆𝑡3 ∆𝑡1⁄ ) − (𝑝 𝑤𝑠3 − 𝑝 𝑤𝑠1) log(∆𝑡2 ∆𝑡1⁄ ) (∆𝑡3 − ∆𝑡1) log(∆𝑡2 ∆𝑡1⁄ ) − (∆𝑡2 − ∆𝑡1) log(∆𝑡3 ∆𝑡1⁄ ) L’aire de drainage du puits peut être calculée à partir de l'équation suivante : 𝑚′ = 𝑚 𝑝𝑠𝑠 = 0.23396 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝑐𝑡 𝐴 ℎ ∅ Donc l’aire de drainage est : 𝐴 = 0.23396 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝑐𝑡 𝑚 𝑝𝑠𝑠 ℎ ∅ 𝑚′ : La pente de la droite de régime semi-permanant. En conclusion pour la méthode de Horner : 1. Tracer la courbe (𝑃𝑤𝑠 – 𝑃 𝑤𝑓) en fonction du ∆𝑡 sur un plot Log – Log 2. Lire le temps correspondant à la fin de la pente unité. 3. Déterminer le temps à un cycle et demi du temps de l’étape 2. Ceci correspond à la fin de l’effet de capacité du puits (wellbore storage) et au début de la droit en semi log. 4. Calculer l’effet de capacité du puits (wellbore storage) par la formule : 𝐶 = 𝑞 ∆𝑡 24 ∆𝑝 = 𝑄 𝐵 ∆𝑡 24 ∆𝑝 5. Tracer la courbe 𝑃 𝑤𝑓 en fonction du temps sur un plot semilog. 6. A partir du temps déterminé dans l’étape 3, tracé la meilleur droite. 7. Calculer la pente de la droite m. 8. Calculer le produit 𝑘ℎ et le skin 𝑆, en utilisant les formules citées précédemment. 9. Extrapoler la ligne semi-log et déterminer la pression de réservoir pour ( 𝑡 𝑝+∆𝑡 ∆𝑡 ) = 1 10. Utilisé la méthode de Bossie-Codreanu pour calculé 𝑚 𝑝𝑠𝑠. 11. Déterminer la pente de la droite m’. 12. Calculer le drainage area par l’équation : 𝐴 = 0.23396𝑄𝐵 𝑚′ 𝐶𝑡ℎ∅ b- Miller–Dyes–Hutchinson method (MDT) :
  • 71. 71 La méthode de Horner peut être simplifiée si le puits produit assez long pour atteindre un état pseudo-stationnaire. En supposant que le temps de production 𝑡 𝑝 est beaucoup plus grand que le temps de fermeture ∆𝑡 c'est-à-dire 𝑡 𝑝 + ∆𝑡 ≅ 𝑡 𝑝 On peut écrire : log ( 𝑡 𝑝 + ∆𝑡 ∆𝑡 ) ≅ log ( 𝑡 𝑝 ∆𝑡 ) = log(𝑡 𝑝) − log(∆𝑡) Donc l’équation de MDT est la suivante 𝑝 𝑤𝑠 = 𝑝∗ − 𝑚[log(𝑡 𝑝) − log(∆𝑡)] Ou 𝑝 𝑤𝑠 = [𝑝∗ − 𝑚log(𝑡 𝑝)] + 𝑚 log(∆𝑡) On trace 𝑝 𝑤𝑠 en fonction de log(∆𝑡) sur un papier semi-log produirait une droite avec une pente positive de 𝑚 qui est identique à celle obtenue à partir de la méthode de Horner. La pente est définie par la formule suivante : 𝑚 = 162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑘ℎ Et la perméabilité 𝑘 est : 𝑘 = 162.6 𝑄 𝑜 𝐵𝑜 𝜇 𝑜 𝑚ℎ La pression p * peut être estimée à partir de MDH en utilisant: 𝑝∗ = 𝑝1ℎ𝑟 + 𝑚 𝑙𝑜𝑔(𝑡 𝑝 + 1)
  • 72. 72 Pour un système circulaire ou carré on peut utiliser la méthode MDH pour estimer la pression moyenne de réservoir: 1- Choisissez n'importe quel moment ∆𝑡 sur la ligne droite semi-logarithmique et lire la pression correspondante. 2- Calculer ∆𝑡 à dimensionnel : ∆𝑡 𝐷𝐴 = 0.0002637 𝑘 ∆𝑡 ∅ 𝜇 𝑐𝑡 𝐴 3- D’après la figure suivante déterminer 𝑃𝐷𝑀𝐷𝐻 4- Estimer la pression du réservoir moyenne à partir de: 𝑝𝑟̅̅̅ = 𝑝 𝑤𝑠 + 𝑚 𝑃𝐷𝑀𝐷𝐻 1.1513
  • 73. 73 Calcule la pression moyenne de réservoir  Ramey–Cobb method (Horner) Ramey et Cobb (1971) ont proposé que la pression moyenne dans la zone de drainage et peut être lu directement à partir de la ligne droite semilog (Horner methode) La méthode proposée est basée sur le calcul de la 𝑡 𝑝𝐷𝐴 de temps à produire dimension telle que définie par l'équation suivante: 𝑡 𝑝𝐷𝐴 = [ 0.0002637 𝑘 ∅𝜇𝑐𝑡 𝐴 ] 𝑡 𝑝 Où: 𝑡 𝑝 : Le temps de production, heures 𝐴 : Drainage Area, 𝑓𝑡2 Connaissant la forme de la zone de drainage et l'emplacement de puits, on peut déterminer le temps sans dimension d'état pseudo-steady state 𝑡 𝐷𝐴 𝑝𝑠𝑠 indiqué dans le tableau (la cinquième colonne). Comparer 𝑡 𝑝𝐷𝐴 avec 𝑡 𝐷𝐴 𝑝𝑠𝑠:
  • 74. 74 ● Si 𝒕 𝒑𝑫𝑨 < 𝒕 𝑫𝑨 𝒑𝒔𝒔, alors lisez la pression moyenne réservoir 𝑝̅ d’après la ligne droite de semi-log et pour ( 𝑡 𝑝+∆𝑡 ∆𝑡 ) = 𝑒𝑥𝑝(4𝜋𝑡 𝑃𝐷𝐴) Ou utiliser l'expression suivante pour estimer 𝑝̅: 𝒑̅ = 𝒑∗ − 𝒎 𝒍𝒐𝒈[𝒆𝒙𝒑(𝟒𝝅𝒕 𝑷𝑫𝑨)] ● Si 𝒕 𝒑𝑫𝑨 > 𝒕 𝑫𝑨 𝒑𝒔𝒔, puis lisez la pression moyenne de réservoir 𝑝̅ sur la ligne droite de semi-log pour ( 𝑡 𝑝+∆𝑡 ∆𝑡 ) = 𝐶𝐴 𝑡 𝑃𝐷𝐴 Où 𝐶𝐴 c’est le shape factor déterminée à partir le tableau, Ou utiliser l'expression suivante pour estimer 𝑝̅: 𝒑̅ = 𝒑∗ − 𝒎 𝒍𝒐𝒈(𝑪 𝑨 𝒕 𝑷𝑫𝑨) Où: 𝑚 : La pente de la ligne droite semi-log, psi / Cycle 𝑝∗ : La pression fausse, psia 𝐶𝐴 : Le shap factor,  Dietz method (MDH) Dietz (1965) a indiqué que si le test prend longtemps pour atteindre l'état pseudo-steady state, la pression moyenne peut être lu directement à partir de semilog, Le temps de fermeture : (∆𝑡) 𝑝̅ = ∅𝜇𝑐𝑡 𝐴 0.0002637𝐶𝐴 𝑘 Où: ∆𝑡 : Temps de fermeture, (heures). 𝐴 : Drainage Area, 𝑓𝑡2 . 𝐶𝐴 : Shape factor 𝑘 : Perméabilité, mD 𝑐𝑡 : Compressibilité totale, psi-1 Donc la pression moyenne de réservoir est estimée par la relation suivante : 𝑝̅ = [𝑝∗ − 𝑚 𝑙𝑜𝑔(𝑡 𝑝)] + 𝑚 log((∆𝑡) 𝑝̅) 3- Injection Well Testing