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Cours pour les ensembles, les fonctions injectives, surjectives et bijectives, et relation d’ordre, relation d’équivalence soufiane merabti

Cours pour les ensembles, les fonctions injectives, surjectives et bijectives, et relation d’ordre, relation d’équivalence soufiane merabti

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Faculté de Technoligie/1er
année ST
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1. INCLUSION ET EGALITE
Un ensemble F est inclus dans un ensemble E, lorsque tout élément de F appartient à E et on
écrit F E. Si F E et E F on dit que l’inclusion est stricte ou que F est une partie propre
de E.
Lorsqu’il existe au moins un élément de F n’appartenant pas à E alors F n’est pas inclus dans
E et on écrit F E. d’autre part, deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si l’un est
inclus dans l’autre, c’est-à-dire
Fig 1. A est inclus dans B
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2. REUNION ET INTERSECTION
2.1.Réunion de deux ensemble
 L'ensemble réunion de A et de B, noté « A B » est l'ensemble des éléments appartenant
à A ou à B :
(A B) C = (B C) A
Et on note A B C cet ensemble
 Commutativité: la réunion de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel ces
deux ensembles sont pris :
A B = B A
 Idempotence: la réunion d'un ensemble quelconque avec lui-même redonne cet
ensemble :
A A = A
 est neutre : la réunion de l'ensemble vide avec un ensemble quelconque redonne cet
ensemble :
A = A
 U est absorbant : U A = U.
 A A B, B A B et C [ ].
Par conséquent l'inclusion se définit à partir de la réunion :
A B si et seulement si A B = B.
2.2.Intersection de deux ensembles
L'ensemble intersection de A et de B, noté « A ∩ B » est l'ensemble des éléments
de A qui sont également éléments de B, soit :
A B = { }
C'est-à-dire que :
x ∈ A ∩ B si et seulement si x ∈ A et x ∈ B.
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SOUFIANE MERABTI 3
Fig 3. L'intersection de deux ensembles : A ∩ B.
Les propriétés de l'intersection sont similaires à celles de la réunion. On dit qu'elles sont
duales de celles-ci, car on les obtient en remplaçant le signe de réunion par celui
d'intersection, et si nécessaire en échangeant et U, l'inclusion et sa réciproque. Pour tous
sous-ensembles A, B, C de U on a les propriétés suivantes :
 Associativité: le résultat de l'intersection de plusieurs ensembles ne dépend pas de l'ordre
dans lequel les opérations sont faites :
(A B) C = (B C) A
 Commutativité: l'intersection de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel ces
deux ensembles sont pris
A B = B A
 Idempotence: l'intersection d'un ensemble quelconque avec lui-même redonne cet
ensemble
A A = A
 Ø absorbant: l'intersection de l'ensemble vide et d'un ensemble quelconque est vide
 U est neutre : U ∩ A = A.
 A B , A B B et C [ ].
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SOUFIANE MERABTI 4
Fig 4. A ∩ B ∩ C.
2.3. Distributivité
Les deux opérations de réunion et d'intersection sont distributives l'une par rapport à l'autre,
c'est-à-dire que l'on a les deux propriétés suivantes, pour tous ensembles A, B, C :
 Distributivité de l'intersection par rapport à la réunion : l'intersection de la réunion de
deux ensembles avec un troisième ensemble est égale à la réunion de l'intersection de
chacun des deux premiers ensembles avec le troisième :
A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
Fig 5. A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
 Distributivité de la réunion par rapport à l'intersection: la réunion de l'intersection de
deux ensembles avec un troisième ensemble est égale à l'intersection de la réunion de
chacun des deux premiers ensembles avec le troisième :
A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
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Fig 6. A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
3. DIFFERENCE ET DIFFERENCE SYMETRIQUE
3.1.Différence
La différence ensembliste de A et B notée « A  B » est l'ensemble des éléments de A qui
n'appartiennent pas à B, soit : A { ∈ }
Fig 7. La différence A  B = A ∩ Bc
.
La différence de A et B dans U se définit à partir du complémentaire par A ∩ B c
, et alors
(A ∩ B c
)c
= A c
B.
Si B est inclus dans A, alors A  B se note aussi « A - B », et
s'appelle complémentaire de B dans A (ou relativement à A). On retrouve la notion de
complémentaire ci-dessus, qui est le complémentaire relativement à U :
A A – B = CAB = { ∈ }
3.2.Propriétés de la différence
On a :
x ∈ A  B si et seulement si x ∈ A et x B
x A  B si et seulement si x ∈ A x ∈ B
Et donc :
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SOUFIANE MERABTI 6
A  B = si et seulement si A B.
Les propriétés de la différence s'obtiennent à partir de sa définition et de celles de la réunion
de l'intersection et du complémentaire. Par exemple la première qui suit est une suite
d'intersections, alors que la seconde utilise une loi de De Morgan et la distributivité de
l'intersection sur la réunion.
(A B)C=A (BC) = (AC) (BC)
A(B
3.3.Différence symétrique
La différence symétrique de A et de B, notée « A Δ B » est l'ensemble des éléments qui
appartiennent soit à A, soit à B, mais pas aux deux à la fois. C'est la différence de A B et
de A ∩ B. . On peut l'écrire sous diverses formes :
= (A B)(A B) = (AB) (BA) = (Ac
B) (A Bc
)
Fig 8. La différence symétrique (Ac
B) (A Bc
)
On a :
x ∈ A Δ B si et seulement si ou bien x ∈ A ou bien x ∈ B (ou exclusif)
x A Δ B si et seulement si x ∈ A ⇔ x ∈ B
Ainsi la différence symétrique de deux ensembles est vide si et seulement si les deux
ensembles sont égaux :
A Δ B = si et seulement si A = B.
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3.4.1. Propriétés de la différence symétrique
L'ensemble des parties de U muni de l'opération de différence symétrique est un groupe
commutatif, avec pour élément neutre, et où chaque sous-ensemble de U est son propre
opposé, c'est-à-dire que pour tous sous-ensembles A, B, C de U, on a :
 associativité: la différence symétrique de trois ensembles ne dépend pas de l'ordre dans
lequel les opérations sont effectuées :
(AΔB)ΔC = AΔ(BΔC)
Fig 9. (AΔB)ΔC = AΔ(BΔC)
 commutativité: la différence symétrique de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans
lequel ces ensembles sont pris :
A Δ B= B Δ A
 Ø est élément neutre : la différence symétrique de l'ensemble vide et d'un autre ensemble
redonne cet ensemble :
A Δ Ø = A
 Chaque sous-ensemble est son propre opposé : la différence symétrique de tout ensemble
avec lui-même donne l'ensemble vide :
A Δ A = Ø
Une conséquence est la régularité : si A Δ B = A Δ C, alors B = C.
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Fonctions injectives, surjectives et bijectives
1. Injection
Une fonction g est dite injective si et seulement si tout réel de l’image correspond au plus à
un seul réel du domaine de définition. En notation mathématique, on a
1 , 2 ∈ 𝑑𝑜𝑚 (𝑔) ∶ 𝑔 ( 1)= 𝑔( 2) 1 = 2
Exemples de fonctions injectives

 (𝑎 impair)
 √
2. Surjection
Une fonction f est dite surjective si et seulement si tout réel de l’image correspond à au
moins un réel du domaine de définition. En notation mathématique, on a
𝑦 ∈ 𝑖𝑚 ( ) (∃ | ( ) = 𝑦)
Exemples de fonctions surjectives sur Y =

 (𝑎 impair)
 = 1 / 2 ⁵ + 1 / 5 ³ + 3 ² − 1
3. Bijection
Une fonction h est dite bijective si et seulement si elle est et injective et surjective. En
notation mathématique, on a
1, x2 ∈ 𝑑𝑜𝑚 (h) ∶ h( 1) = h( 2) 1 = 2
ET 𝑦 ∈ 𝑖𝑚 (h) (∃ | h( ) = 𝑦)

 (𝑎 impair)
 √ (𝑎 impair)
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SOUFIANE MERABTI 9
Relation d’ordre, Relation d’équivalence
1. Relation binaire
Soit une relation binaire sur E. pour tous x,y, z ∈ E, on dit que est :
 Réflexive si
 Symétrique si
 Transitive si
 Anti-symétrique si
2. Relation d'ordre
Soit E un ensemble, on nomme relation d'ordre sur E toute relation binaire réflexive,
antisymétrique et transitive sur E.
3. relation d'équivalence
Soit E un ensemble, on nomme relation d'équivalence sur E toute relation binaire
réflexive, symétrique, transitive.
4. Classe d’équivalence
On appelle classe d’équivalence d’un élément x de E, l’ensemble des éléments de E en
relation avec x par , notée
𝑥 𝑥
𝑥 𝑦 𝑦 𝑥
[ 𝑥 𝑦 𝑒𝑡 𝑦 𝑧 ] 𝑥 𝑧
[ 𝑥 𝑦 𝑒𝑡 𝑦 𝑥 ] 𝑥 𝑦
𝒞 𝑥 {𝑦 𝜖 𝐸 ∶ 𝑦 𝑥}

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Cours pour les ensembles, les fonctions injectives, surjectives et bijectives, et relation d’ordre, relation d’équivalence soufiane merabti

  • 1. Université de Mohamed Tahri Bechar Faculté de Technoligie/1er année ST Mr SOUFIANE MERABTI Cours math 1 SOUFIANE MERABTI 1 1. INCLUSION ET EGALITE Un ensemble F est inclus dans un ensemble E, lorsque tout élément de F appartient à E et on écrit F E. Si F E et E F on dit que l’inclusion est stricte ou que F est une partie propre de E. Lorsqu’il existe au moins un élément de F n’appartenant pas à E alors F n’est pas inclus dans E et on écrit F E. d’autre part, deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si l’un est inclus dans l’autre, c’est-à-dire Fig 1. A est inclus dans B  Ensemble de nombres En mathématiques, un ensemble de nombres est l'un des ensembles classiques construits à partir de l'ensemble des entiers naturels et munis d'opérations arithmétiques, apparaissant dans la suite d'inclusions. Symbole Appellation Ensemble des entiers naturels Ensemble des entiers relatifs Ensemble des rationnels Ensemble des réels Ensemble des complexes E = F ⟺ E F et F E
  • 2. Université de Mohamed Tahri Bechar Faculté de Technoligie/1er année ST Mr SOUFIANE MERABTI Cours math 1 SOUFIANE MERABTI 2 2. REUNION ET INTERSECTION 2.1.Réunion de deux ensemble  L'ensemble réunion de A et de B, noté « A B » est l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B : (A B) C = (B C) A Et on note A B C cet ensemble  Commutativité: la réunion de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel ces deux ensembles sont pris : A B = B A  Idempotence: la réunion d'un ensemble quelconque avec lui-même redonne cet ensemble : A A = A  est neutre : la réunion de l'ensemble vide avec un ensemble quelconque redonne cet ensemble : A = A  U est absorbant : U A = U.  A A B, B A B et C [ ]. Par conséquent l'inclusion se définit à partir de la réunion : A B si et seulement si A B = B. 2.2.Intersection de deux ensembles L'ensemble intersection de A et de B, noté « A ∩ B » est l'ensemble des éléments de A qui sont également éléments de B, soit : A B = { } C'est-à-dire que : x ∈ A ∩ B si et seulement si x ∈ A et x ∈ B.
  • 3. Université de Mohamed Tahri Bechar Faculté de Technoligie/1er année ST Mr SOUFIANE MERABTI Cours math 1 SOUFIANE MERABTI 3 Fig 3. L'intersection de deux ensembles : A ∩ B. Les propriétés de l'intersection sont similaires à celles de la réunion. On dit qu'elles sont duales de celles-ci, car on les obtient en remplaçant le signe de réunion par celui d'intersection, et si nécessaire en échangeant et U, l'inclusion et sa réciproque. Pour tous sous-ensembles A, B, C de U on a les propriétés suivantes :  Associativité: le résultat de l'intersection de plusieurs ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel les opérations sont faites : (A B) C = (B C) A  Commutativité: l'intersection de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel ces deux ensembles sont pris A B = B A  Idempotence: l'intersection d'un ensemble quelconque avec lui-même redonne cet ensemble A A = A  Ø absorbant: l'intersection de l'ensemble vide et d'un ensemble quelconque est vide  U est neutre : U ∩ A = A.  A B , A B B et C [ ].
  • 4. Université de Mohamed Tahri Bechar Faculté de Technoligie/1er année ST Mr SOUFIANE MERABTI Cours math 1 SOUFIANE MERABTI 4 Fig 4. A ∩ B ∩ C. 2.3. Distributivité Les deux opérations de réunion et d'intersection sont distributives l'une par rapport à l'autre, c'est-à-dire que l'on a les deux propriétés suivantes, pour tous ensembles A, B, C :  Distributivité de l'intersection par rapport à la réunion : l'intersection de la réunion de deux ensembles avec un troisième ensemble est égale à la réunion de l'intersection de chacun des deux premiers ensembles avec le troisième : A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) Fig 5. A ( B C ) = ( A B ) ( A C )  Distributivité de la réunion par rapport à l'intersection: la réunion de l'intersection de deux ensembles avec un troisième ensemble est égale à l'intersection de la réunion de chacun des deux premiers ensembles avec le troisième : A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
  • 5. Université de Mohamed Tahri Bechar Faculté de Technoligie/1er année ST Mr SOUFIANE MERABTI Cours math 1 SOUFIANE MERABTI 5 Fig 6. A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) 3. DIFFERENCE ET DIFFERENCE SYMETRIQUE 3.1.Différence La différence ensembliste de A et B notée « A B » est l'ensemble des éléments de A qui n'appartiennent pas à B, soit : A { ∈ } Fig 7. La différence A B = A ∩ Bc . La différence de A et B dans U se définit à partir du complémentaire par A ∩ B c , et alors (A ∩ B c )c = A c B. Si B est inclus dans A, alors A B se note aussi « A - B », et s'appelle complémentaire de B dans A (ou relativement à A). On retrouve la notion de complémentaire ci-dessus, qui est le complémentaire relativement à U : A A – B = CAB = { ∈ } 3.2.Propriétés de la différence On a : x ∈ A B si et seulement si x ∈ A et x B x A B si et seulement si x ∈ A x ∈ B Et donc :
  • 6. Université de Mohamed Tahri Bechar Faculté de Technoligie/1er année ST Mr SOUFIANE MERABTI Cours math 1 SOUFIANE MERABTI 6 A B = si et seulement si A B. Les propriétés de la différence s'obtiennent à partir de sa définition et de celles de la réunion de l'intersection et du complémentaire. Par exemple la première qui suit est une suite d'intersections, alors que la seconde utilise une loi de De Morgan et la distributivité de l'intersection sur la réunion. (A B)C=A (BC) = (AC) (BC) A(B 3.3.Différence symétrique La différence symétrique de A et de B, notée « A Δ B » est l'ensemble des éléments qui appartiennent soit à A, soit à B, mais pas aux deux à la fois. C'est la différence de A B et de A ∩ B. . On peut l'écrire sous diverses formes : = (A B)(A B) = (AB) (BA) = (Ac B) (A Bc ) Fig 8. La différence symétrique (Ac B) (A Bc ) On a : x ∈ A Δ B si et seulement si ou bien x ∈ A ou bien x ∈ B (ou exclusif) x A Δ B si et seulement si x ∈ A ⇔ x ∈ B Ainsi la différence symétrique de deux ensembles est vide si et seulement si les deux ensembles sont égaux : A Δ B = si et seulement si A = B.
  • 7. Université de Mohamed Tahri Bechar Faculté de Technoligie/1er année ST Mr SOUFIANE MERABTI Cours math 1 SOUFIANE MERABTI 7 3.4.1. Propriétés de la différence symétrique L'ensemble des parties de U muni de l'opération de différence symétrique est un groupe commutatif, avec pour élément neutre, et où chaque sous-ensemble de U est son propre opposé, c'est-à-dire que pour tous sous-ensembles A, B, C de U, on a :  associativité: la différence symétrique de trois ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées : (AΔB)ΔC = AΔ(BΔC) Fig 9. (AΔB)ΔC = AΔ(BΔC)  commutativité: la différence symétrique de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel ces ensembles sont pris : A Δ B= B Δ A  Ø est élément neutre : la différence symétrique de l'ensemble vide et d'un autre ensemble redonne cet ensemble : A Δ Ø = A  Chaque sous-ensemble est son propre opposé : la différence symétrique de tout ensemble avec lui-même donne l'ensemble vide : A Δ A = Ø Une conséquence est la régularité : si A Δ B = A Δ C, alors B = C.
  • 8. Université de Mohamed Tahri Bechar Faculté de Technoligie/1er année ST Mr SOUFIANE MERABTI Cours math 1 SOUFIANE MERABTI 8 Fonctions injectives, surjectives et bijectives 1. Injection Une fonction g est dite injective si et seulement si tout réel de l’image correspond au plus à un seul réel du domaine de définition. En notation mathématique, on a 1 , 2 ∈ 𝑑𝑜𝑚 (𝑔) ∶ 𝑔 ( 1)= 𝑔( 2) 1 = 2 Exemples de fonctions injectives   (𝑎 impair)  √ 2. Surjection Une fonction f est dite surjective si et seulement si tout réel de l’image correspond à au moins un réel du domaine de définition. En notation mathématique, on a 𝑦 ∈ 𝑖𝑚 ( ) (∃ | ( ) = 𝑦) Exemples de fonctions surjectives sur Y =   (𝑎 impair)  = 1 / 2 ⁵ + 1 / 5 ³ + 3 ² − 1 3. Bijection Une fonction h est dite bijective si et seulement si elle est et injective et surjective. En notation mathématique, on a 1, x2 ∈ 𝑑𝑜𝑚 (h) ∶ h( 1) = h( 2) 1 = 2 ET 𝑦 ∈ 𝑖𝑚 (h) (∃ | h( ) = 𝑦)   (𝑎 impair)  √ (𝑎 impair)
  • 9. Université de Mohamed Tahri Bechar Faculté de Technoligie/1er année ST Mr SOUFIANE MERABTI Cours math 1 SOUFIANE MERABTI 9 Relation d’ordre, Relation d’équivalence 1. Relation binaire Soit une relation binaire sur E. pour tous x,y, z ∈ E, on dit que est :  Réflexive si  Symétrique si  Transitive si  Anti-symétrique si 2. Relation d'ordre Soit E un ensemble, on nomme relation d'ordre sur E toute relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive sur E. 3. relation d'équivalence Soit E un ensemble, on nomme relation d'équivalence sur E toute relation binaire réflexive, symétrique, transitive. 4. Classe d’équivalence On appelle classe d’équivalence d’un élément x de E, l’ensemble des éléments de E en relation avec x par , notée 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 [ 𝑥 𝑦 𝑒𝑡 𝑦 𝑧 ] 𝑥 𝑧 [ 𝑥 𝑦 𝑒𝑡 𝑦 𝑥 ] 𝑥 𝑦 𝒞 𝑥 {𝑦 𝜖 𝐸 ∶ 𝑦 𝑥}