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                 Résistance des matériaux

                      Cours de tronc commun



                                                        Mouna SOUISSI
                                                      Mouna.souissi@hei.fr




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                  Résistance des matériaux
• La résistance des matériaux est la mécanique
  des solides déformables. Elle permet de :

                 • Caractériser les matériaux ;
                 • Dimensionner une pièce à partir des efforts qu’elle
                   supporte ;
                 • Déterminer la déformation d’une pièce à partir des
                   efforts qu’elle supporte ;
                 • Déterminer les efforts maximums que peut supporter
                   une pièce.

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                 Résistance des matériaux




Sous une charge identique les deux poutres n’offrent pas la même résistance.
Il y a alors d’autres caractéristiques autres que l’aire de la section à connaitre.


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Plan
    1.       Rappels de statique
    2.       Hypothèses de la Résistance des Matériaux
    3.       Caractéristiques mécaniques des matériaux
    4.       Traction – Compression
    5.       Cisaillement simple
    6.       Torsion pure
    7.       Flexion pure
    8.       Flexion simple
    9.       Sollicitations composées


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                  Chapitre 1

                Rappels de statique
Énoncé avec les
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                          forces et les moments
• La force : Un représentant du vecteur force est
  caractérisé par 4 éléments :
                 •   la direction : orientation de la force
                 •   le sens : vers où la force agit
                 •   la norme : grandeur de la force, elle est mesurée en (N)
                 •   le point d'application : endroit où la force s'exerce




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.
                        Énoncé avec les
     Campus centre
                     forces et les moments
    • Le moment d'une force:
           – Le moment d'une force F s'exerçant au point P par rapport
             au pivot , est le vecteur:




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:




     Campus centre
                     Principe des actions
                          mutuelles
    • Deux ressorts , de masses négligeables D1 et D2, sont en
      équilibre . Il existe deux forces de contact qui ont des valeurs
      identiques :


    •Ces vecteurs forces ont
    les mêmes valeurs et ligne
    d'action (la droite D1D2)
    mais leur sens est opposé. On
    note :



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                 Principe fondamental
                     de la statique
• Si un système de solides est en équilibre, alors la somme des
  actions mécaniques extérieures à ce solide ou ce système est nulle.

• Solide ou système de solides : ensemble de 1 à plusieurs solides au
  moins assemblés deux à deux

• Équilibre : le solide n’est pas en mouvement par rapport à un
  système Galiléen

• Actions mécaniques extérieures : qui dit extérieures, dit intérieures
  et dit forcement frontière entre les deux milieux c’est ce que l’on
  va appeler la frontière d’isolement.


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                   Principe fondamental
                       de la statique
• Un système (S) est en équilibre si :
                                                      F ext     0
                 ( S ) en équilibre
                                                  M F ext / M       0

• Autre écriture :




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                       Les appuis usuels
             y       Appui simple           Articulation       Encastrement
                       A                      B
                                                                C
             z   x
         .




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02/04/2013   Résistance des matériaux   12
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                 Structure isostatiques et
                      hyperstatiques
• Pour une structure plane, les équations sont au nombre de 3.
  Soit R le nombre des inconnues des réactions d’appui d’une
  structure plane chargée dans son plan.

• Si R =3, les équations de la statique permettent de déterminer
  les réactions d’appui structure isostatique extérieurement.
• Si R>3, le nombre des équations d’équilibre est insuffisant
  pour permettre le détermination des réactions d’appui. La
  structure est hyperstatique d’ordre R-3.
• Si R<3, l’équilibre de la structure ne peut être assuré .la
  structure est instable il s’agit d’un mécanisme.

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                               Application
     Exercice 1: Calculer les réactions d’appui de la poutre




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                              Application
 Exercice 2: Calculer les réactions d’appui de la poutre




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                   Chapitre 2

                Hypothèse de la RDM
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                 Hypothèses de la RDM
• Matériau:
       – Homogène
       – Isotrope :
       – Elastique linéaire :
• Les hypothèses fondamentales de le rdm
       – Principe de Saint Venant
       – Hypothèse de Bernoulli
       – Conditions aux limites

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                     Hypothèses de la RDM
Les solides:
En RDM, les solides étudiés portent le nom de poutres.

Par définition, une poutre est un solide engendré par une surface plane (S) dont le
centre de gravité G décrit une courbe (                 (la ligne moyenne), (S) restant
perpendiculaire à ( .

  très long / à ses dimensions
 transversales,
  ( rectiligne ou à très faible
 courbure,
  section constante (S) ou lentement
 variable.

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                  Hypothèses de la RDM
Les matériaux :

Les matériaux utilisés doivent être :
       homogènes : mêmes propriétés mécaniques en tout point,
       isotropes : en un même point, mêmes propriétés mécaniques dans
           toutes les directions (non vérifié pour le bois, les matériaux
           composites…).
Les déformations:

Les déformations doivent être :
        petites      réversibles,
        lentes       à chaque instant le corps peut être considéré
            comme étant en équilibre statique.
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                 Hypothèses de la RDM
  Les déformations:

   Hypothèse de SAINT VENANT

  Les résultats obtenus par un calcul de RdM sur une poutre
  ne sont valables qu’à une distance suffisamment éloignée de
  la région d’application des actions mécaniques extérieures
  concentrées et des liaisons




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                 Hypothèses de la RDM
  Les déformations:

   Hypothèse de BERNOUILLI

  Les sections droites planes et perpendiculaires à la ligne moyenne,
  restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après
  déformation.




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                 Hypothèses de la RDM
Les déformations:

Principe de SUPERPOSITION
La déformation (ou la contrainte) en un point M de la poutre due à
plusieurs actions mécaniques extérieures est égale à la somme des
déformations (ou des contraintes) dues à chaque action
mécanique extérieure prise isolément.
Intérêt: ramener un système composé (complexe) à une somme
de systèmes simples.



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                 Hypothèses de la RDM
Conditions aux limites :

Efforts extérieurs : Les efforts extérieurs qui s’appliquent au modèle poutre
sont principalement de deux types.
                         •concentrées,
                         •réparties de façon continue.



Liaisons : Les liaisons que l’on rencontre sont les liaisons classiques

             y       Appui simple            Articulation            Encastrement
                       A                       B
                                                                          C
             z   x
         .


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Campus centre    Torseur des efforts intérieurs
                      notions contraintes

• On aborde deux notions fondamentales pour
  la RdM :

                 • le torseur des efforts intérieurs ;
                 • la notion de contrainte.




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                     Torseur des efforts intérieurs

• On considère une poutre (E) composée de deux parties:

• La séparation est une coupure au point G par un plan
  perpendiculaire de section (S):

                 y


                      x   E1                        G           E2
                                                          (S)
                      z
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                 Torseur des efforts intérieurs
 1)Expression du torseur des efforts intérieurs

 Equilibre de l’aval (E2):




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                 Torseur des efforts intérieurs
 1)Expression du torseur des efforts intérieurs

 Equilibre de l’amant (E1):




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                 Torseur des efforts intérieurs
 1)Expression du torseur des efforts intérieurs
 Bilan et règle de calcul et synthèse:




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                 Torseur des efforts intérieurs
   2) Composantes du torseur de section:
   Dans le repère local le torseur des efforts intérieurs est exprimé par :




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                 Torseur des efforts intérieurs
   3) Les sollicitations élémentaires :

Nature des sollicitations          Forces de cohésion
            Traction
               ou                                  N
           Compression

     Cisaillement simple                           T

          Torsion simple                          Mt

            Flexion pure                          Mf

          Flexion simple                       T+Mf

       Flexion composée                      N+T+Mf
02/04/2013                        Résistance des matériaux
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                        Chapitre 3

                Caractéristiques mécaniques des
                            matériaux
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                     Caractéristiques
                 mécaniques des matériaux
•      Le torseur de cohésion ne représente qu’une vision
     globale sur la section droite de toutes les actions
     mécaniques qui s’appliquent localement en chaque
     point de la surface.

•     Ces actions mécaniques locales sont réparties sur
     toute la surface suivant une loi à priori inconnue. Pour
     les représenter, considérons un point M de la surface S.

•     Autour de ce point M on considère un petit élément
     de surface dS de normale .
02/04/2013                Résistance des matériaux         32
Campus centre
                 Notion de contraintes
• En RdM les efforts intérieurs exercés sur dS sont une densité
  surfacique d’efforts ou densité de force par unité de surface.
  Cette densité surfacique d’effort est caractérisée par le
  vecteur contrainte:



   Les actions mécaniques qui s’exercent sur la surface dS sont
   donc :




02/04/2013                   Résistance des matériaux             33
Campus centre
                     Notion de contraintes
 I.1 Contrainte en un point M
 Elle caractérise les actions mécaniques de cohésion qui existent entre
 les grains de matière.
 Soient :
           un point M,
           un élément de surface S appartenant à S,
            
           n le vecteur normal à S en M,
              
           f la résultante en M des forces de cohésion appliquées à S.

                                  La contrainte au point M est définie par :
                                                              
                                                        Δf df
                                             C M lim
                                                    ΔS 0 ΔS  dS
                 M
                                         Force de cohésion en M par unité de
02/04/2013                        surface
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Notion de contraintes
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 I.1 Contrainte en un point M
 La contrainte est homogène à une pression. L’unité employée est le
 mégapascal noté MPa.
 Rappel: 1 MPa = 1 N/mm² = 106 Pa = 106 N/m²

 Contrainte normale – contrainte tangentielle

                                                La contrainte au point M peut s’écrire :
                                                                       
                                                             CM       M   M


                                                   contrainte            contrainte
                                                    normale             tangentielle
  On peut aussi écrire :                                =                   =
                                                            CM                   
   CM       M .n    M .t                          projection de
                                                           n           projection de C M
                                                                                 
                                                       sur                  sur t
M   et     M     valeurs algébriques
02/04/2013                             Résistance des matériaux                     35
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                 Notion de contraintes
 I.2 Déformations
 Elles résultent des charges appliquées sur le solide et varient en
 fonction de leur intensité. Elles sont mises en évidence par la variation
 des dimensions du solide, et peuvent être élastiques ou plastiques.


 L’élasticité caractérise l'aptitude qu'a un matériau à reprendre sa forme
 et ses dimensions initiales après avoir été déformé (un ressort chargé
 normalement a un comportement élastique).


 Un matériau qui ne reprend pas sa forme et ses dimensions initiales
 après avoir été déformé est dit plastique (la pâte à modeler a un
 comportement plastique).

02/04/2013                   Résistance des matériaux                 36
Comportement mécanique
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 Essai de traction
 L’essai de traction permet, à lui seul, de
 définir les caractéristiques mécaniques
 courantes des matériaux. Les résultats
 issus de cet essai, permettent de prévoir
 le comportement d’une pièce sollicitée
 en Cisaillement, Traction / Compression
 et Flexion.




02/04/2013                   Résistance des matériaux   37
Comportement mécanique
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 Mesures effectuées
 Les deux points A et B sont situés sur l’éprouvette.
 L0 : Longueur initiale de l’éprouvette au repos (sans charge).
 L : Longueur de l’éprouvette mesurée sous charge F.
 F : Force exercée par la machine d’essai sur l’éprouvette.




                                                              L L0    L
 La déformation longitudinale est notée et vaut :
                                                               L0    L0
02/04/2013                   Résistance des matériaux                 38
Comportement mécanique
 Campus centre
 Résultats (matériau ductile)
 On peut tracer la courbe des déformations en fonction des contraintes
 (ici cas d’un acier doux : loi de comportement élastoplastique avec
 écrouissage) de rupture
            limite
                   en traction




                                                                               allongement
                                                                      Apparition de la striction
                                                                                à la rupture
                 limite d’élasticité
                                                                  R




 Zone élastique : loi de Hooke :               = E.
 Avec E, le module de Young (en MPa)
02/04/2013                             Résistance des matériaux                                    39
Comportement mécanique
 Campus centre



Résultats (matériau fragile)
Exemples: béton, fonte, verre…
                 limite de rupture
                    en traction




         limite de rupture
           en compression




02/04/2013                           Résistance des matériaux   40

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Chapitre 1 rdm

  • 1. Campus centre Résistance des matériaux Cours de tronc commun Mouna SOUISSI Mouna.souissi@hei.fr 02/04/2013 Résistance des matériaux 1
  • 2. Campus centre Résistance des matériaux • La résistance des matériaux est la mécanique des solides déformables. Elle permet de : • Caractériser les matériaux ; • Dimensionner une pièce à partir des efforts qu’elle supporte ; • Déterminer la déformation d’une pièce à partir des efforts qu’elle supporte ; • Déterminer les efforts maximums que peut supporter une pièce. 02/04/2013 Résistance des matériaux 2
  • 3. Campus centre Résistance des matériaux Sous une charge identique les deux poutres n’offrent pas la même résistance. Il y a alors d’autres caractéristiques autres que l’aire de la section à connaitre. 02/04/2013 Résistance des matériaux 3
  • 4. Plan 1. Rappels de statique 2. Hypothèses de la Résistance des Matériaux 3. Caractéristiques mécaniques des matériaux 4. Traction – Compression 5. Cisaillement simple 6. Torsion pure 7. Flexion pure 8. Flexion simple 9. Sollicitations composées 02/04/2013 Résistance des matériaux 4
  • 5. Campus centre Chapitre 1 Rappels de statique
  • 6. Énoncé avec les Campus centre forces et les moments • La force : Un représentant du vecteur force est caractérisé par 4 éléments : • la direction : orientation de la force • le sens : vers où la force agit • la norme : grandeur de la force, elle est mesurée en (N) • le point d'application : endroit où la force s'exerce 02/04/2013 Résistance des matériaux 6
  • 7. . Énoncé avec les Campus centre forces et les moments • Le moment d'une force: – Le moment d'une force F s'exerçant au point P par rapport au pivot , est le vecteur: 02/04/2013 Résistance des matériaux 7
  • 8. : Campus centre Principe des actions mutuelles • Deux ressorts , de masses négligeables D1 et D2, sont en équilibre . Il existe deux forces de contact qui ont des valeurs identiques : •Ces vecteurs forces ont les mêmes valeurs et ligne d'action (la droite D1D2) mais leur sens est opposé. On note : 02/04/2013 Résistance des matériaux 8
  • 9. Campus centre Principe fondamental de la statique • Si un système de solides est en équilibre, alors la somme des actions mécaniques extérieures à ce solide ou ce système est nulle. • Solide ou système de solides : ensemble de 1 à plusieurs solides au moins assemblés deux à deux • Équilibre : le solide n’est pas en mouvement par rapport à un système Galiléen • Actions mécaniques extérieures : qui dit extérieures, dit intérieures et dit forcement frontière entre les deux milieux c’est ce que l’on va appeler la frontière d’isolement. 02/04/2013 Résistance des matériaux 9
  • 10. Campus centre Principe fondamental de la statique • Un système (S) est en équilibre si : F ext 0 ( S ) en équilibre M F ext / M 0 • Autre écriture : 02/04/2013 Résistance des matériaux 10
  • 11. Campus centre Les appuis usuels y Appui simple Articulation Encastrement A B C z x . 02/04/2013 Résistance des matériaux 11
  • 12. 02/04/2013 Résistance des matériaux 12
  • 13. Campus centre Structure isostatiques et hyperstatiques • Pour une structure plane, les équations sont au nombre de 3. Soit R le nombre des inconnues des réactions d’appui d’une structure plane chargée dans son plan. • Si R =3, les équations de la statique permettent de déterminer les réactions d’appui structure isostatique extérieurement. • Si R>3, le nombre des équations d’équilibre est insuffisant pour permettre le détermination des réactions d’appui. La structure est hyperstatique d’ordre R-3. • Si R<3, l’équilibre de la structure ne peut être assuré .la structure est instable il s’agit d’un mécanisme. 02/04/2013 Résistance des matériaux 13
  • 14. Campus centre Application Exercice 1: Calculer les réactions d’appui de la poutre 02/04/2013 Résistance des matériaux 14
  • 15. Campus centre Application Exercice 2: Calculer les réactions d’appui de la poutre 02/04/2013 Résistance des matériaux 15
  • 16. Campus centre Chapitre 2 Hypothèse de la RDM
  • 17. Campus centre Hypothèses de la RDM • Matériau: – Homogène – Isotrope : – Elastique linéaire : • Les hypothèses fondamentales de le rdm – Principe de Saint Venant – Hypothèse de Bernoulli – Conditions aux limites 02/04/2013 Résistance des matériaux 17
  • 18. Campus centre Hypothèses de la RDM Les solides: En RDM, les solides étudiés portent le nom de poutres. Par définition, une poutre est un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de gravité G décrit une courbe ( (la ligne moyenne), (S) restant perpendiculaire à ( .  très long / à ses dimensions transversales,  ( rectiligne ou à très faible courbure,  section constante (S) ou lentement variable. 02/04/2013 Résistance des matériaux 18
  • 19. Campus centre Hypothèses de la RDM Les matériaux : Les matériaux utilisés doivent être :  homogènes : mêmes propriétés mécaniques en tout point,  isotropes : en un même point, mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions (non vérifié pour le bois, les matériaux composites…). Les déformations: Les déformations doivent être :  petites réversibles,  lentes à chaque instant le corps peut être considéré comme étant en équilibre statique. 02/04/2013 Résistance des matériaux 19
  • 20. Campus centre Hypothèses de la RDM Les déformations:  Hypothèse de SAINT VENANT Les résultats obtenus par un calcul de RdM sur une poutre ne sont valables qu’à une distance suffisamment éloignée de la région d’application des actions mécaniques extérieures concentrées et des liaisons 02/04/2013 Résistance des matériaux 20
  • 21. Campus centre Hypothèses de la RDM Les déformations:  Hypothèse de BERNOUILLI Les sections droites planes et perpendiculaires à la ligne moyenne, restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformation. 02/04/2013 Résistance des matériaux 21
  • 22. Campus centre Hypothèses de la RDM Les déformations: Principe de SUPERPOSITION La déformation (ou la contrainte) en un point M de la poutre due à plusieurs actions mécaniques extérieures est égale à la somme des déformations (ou des contraintes) dues à chaque action mécanique extérieure prise isolément. Intérêt: ramener un système composé (complexe) à une somme de systèmes simples. 02/04/2013 Résistance des matériaux 22
  • 23. Campus centre Hypothèses de la RDM Conditions aux limites : Efforts extérieurs : Les efforts extérieurs qui s’appliquent au modèle poutre sont principalement de deux types. •concentrées, •réparties de façon continue. Liaisons : Les liaisons que l’on rencontre sont les liaisons classiques y Appui simple Articulation Encastrement A B C z x . 02/04/2013 Résistance des matériaux 23
  • 24. Campus centre Torseur des efforts intérieurs notions contraintes • On aborde deux notions fondamentales pour la RdM : • le torseur des efforts intérieurs ; • la notion de contrainte. 02/04/2013 Résistance des matériaux 24
  • 25. Campus centre Torseur des efforts intérieurs • On considère une poutre (E) composée de deux parties: • La séparation est une coupure au point G par un plan perpendiculaire de section (S): y x E1 G E2 (S) z 02/04/2013 Résistance des matériaux 25
  • 26. Campus centre Torseur des efforts intérieurs 1)Expression du torseur des efforts intérieurs Equilibre de l’aval (E2): 02/04/2013 Résistance des matériaux 26
  • 27. Campus centre Torseur des efforts intérieurs 1)Expression du torseur des efforts intérieurs Equilibre de l’amant (E1): 02/04/2013 Résistance des matériaux 27
  • 28. Campus centre Torseur des efforts intérieurs 1)Expression du torseur des efforts intérieurs Bilan et règle de calcul et synthèse: 02/04/2013 Résistance des matériaux 28
  • 29. Campus centre Torseur des efforts intérieurs 2) Composantes du torseur de section: Dans le repère local le torseur des efforts intérieurs est exprimé par : 02/04/2013 Résistance des matériaux 29
  • 30. Campus centre Torseur des efforts intérieurs 3) Les sollicitations élémentaires : Nature des sollicitations Forces de cohésion Traction ou N Compression Cisaillement simple T Torsion simple Mt Flexion pure Mf Flexion simple T+Mf Flexion composée N+T+Mf 02/04/2013 Résistance des matériaux
  • 31. Campus centre Chapitre 3 Caractéristiques mécaniques des matériaux
  • 32. Campus centre Caractéristiques mécaniques des matériaux • Le torseur de cohésion ne représente qu’une vision globale sur la section droite de toutes les actions mécaniques qui s’appliquent localement en chaque point de la surface. • Ces actions mécaniques locales sont réparties sur toute la surface suivant une loi à priori inconnue. Pour les représenter, considérons un point M de la surface S. • Autour de ce point M on considère un petit élément de surface dS de normale . 02/04/2013 Résistance des matériaux 32
  • 33. Campus centre Notion de contraintes • En RdM les efforts intérieurs exercés sur dS sont une densité surfacique d’efforts ou densité de force par unité de surface. Cette densité surfacique d’effort est caractérisée par le vecteur contrainte: Les actions mécaniques qui s’exercent sur la surface dS sont donc : 02/04/2013 Résistance des matériaux 33
  • 34. Campus centre Notion de contraintes I.1 Contrainte en un point M Elle caractérise les actions mécaniques de cohésion qui existent entre les grains de matière. Soient :  un point M,  un élément de surface S appartenant à S,   n le vecteur normal à S en M,   f la résultante en M des forces de cohésion appliquées à S. La contrainte au point M est définie par :    Δf df C M lim ΔS 0 ΔS dS M Force de cohésion en M par unité de 02/04/2013 surface Résistance des matériaux 34
  • 35. Notion de contraintes Campus centre I.1 Contrainte en un point M La contrainte est homogène à une pression. L’unité employée est le mégapascal noté MPa. Rappel: 1 MPa = 1 N/mm² = 106 Pa = 106 N/m² Contrainte normale – contrainte tangentielle La contrainte au point M peut s’écrire :    CM M M contrainte contrainte normale tangentielle On peut aussi écrire : =  =     CM  CM M .n M .t projection de n projection de C M  sur sur t M et M valeurs algébriques 02/04/2013 Résistance des matériaux 35
  • 36. Campus centre Notion de contraintes I.2 Déformations Elles résultent des charges appliquées sur le solide et varient en fonction de leur intensité. Elles sont mises en évidence par la variation des dimensions du solide, et peuvent être élastiques ou plastiques. L’élasticité caractérise l'aptitude qu'a un matériau à reprendre sa forme et ses dimensions initiales après avoir été déformé (un ressort chargé normalement a un comportement élastique). Un matériau qui ne reprend pas sa forme et ses dimensions initiales après avoir été déformé est dit plastique (la pâte à modeler a un comportement plastique). 02/04/2013 Résistance des matériaux 36
  • 37. Comportement mécanique Campus centre Essai de traction L’essai de traction permet, à lui seul, de définir les caractéristiques mécaniques courantes des matériaux. Les résultats issus de cet essai, permettent de prévoir le comportement d’une pièce sollicitée en Cisaillement, Traction / Compression et Flexion. 02/04/2013 Résistance des matériaux 37
  • 38. Comportement mécanique Campus centre Mesures effectuées Les deux points A et B sont situés sur l’éprouvette. L0 : Longueur initiale de l’éprouvette au repos (sans charge). L : Longueur de l’éprouvette mesurée sous charge F. F : Force exercée par la machine d’essai sur l’éprouvette. L L0 L La déformation longitudinale est notée et vaut : L0 L0 02/04/2013 Résistance des matériaux 38
  • 39. Comportement mécanique Campus centre Résultats (matériau ductile) On peut tracer la courbe des déformations en fonction des contraintes (ici cas d’un acier doux : loi de comportement élastoplastique avec écrouissage) de rupture limite en traction allongement Apparition de la striction à la rupture limite d’élasticité R Zone élastique : loi de Hooke : = E. Avec E, le module de Young (en MPa) 02/04/2013 Résistance des matériaux 39
  • 40. Comportement mécanique Campus centre Résultats (matériau fragile) Exemples: béton, fonte, verre… limite de rupture en traction limite de rupture en compression 02/04/2013 Résistance des matériaux 40