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Campus centre




                Chapitre 8

                Flexion pure




                               1
Campus centre
                         Définition

Une poutre est sollicitée à la flexion pure si le seul élément de
réduction au centre de gravité de chaque section des forces de
cohésion est un moment perpendiculaire au plan de symétrie appelé
moment de flexion.
                 N=Ty=Tz=0 , Mt=0 , Mfy et/ou Mfz 0




                                                                2
Etude des contraintes
Campus centre




                M
                                                           M




Deux sections droites voisines tournent l’une par rapport à l’autre d’un
angle élémentaire      autour de l’axe z, normal au plan de symétrie.
La déformation d’ensemble observée résulte de la composition de
toutes les rotations relatives de toutes les sections.



                                                                        3
Etude des contraintes
Campus centre



                                   Si on soumet la section S à la flexion, elle tourne
                 Δα       y
                                   d’un angle   autour de Gz. On appelle S’ la section
                                   déformée et M’ représente la position de M après
                                   déformation.
M0              M’        M

                                   D’après la loi de Hooke, on a :
y

                          x




     S0               S       S’
            Δx
                                                                                   4
Etude des contraintes
 O
                    Si on prolonge toutes les sections déformées, elles
                    concourent toutes en un point O, appelé centre de
                    courbure. La distance OG est appelée , rayon de courbure.


           y
                    Détermination de l’axe neutre       =0
                    La force normale élémentaire agissant sur chaque dS vaut :
M0
      M’   M

y                    On sait que l’effort normal N est nul, on peut donc écrire :
           G

               x




 S0        S   S’                                                             5
       x
Etude des contraintes
Campus centre

Relation entre contrainte et moment de flexion
On coupe la poutre en une section (S) et on exprime que la partie
isolée est en équilibre sous l’action des efforts extérieurs et des forces
de cohésion dans la section (S).
On sait que la force normale élémentaire vaut:
Le moment élémentaire s’écrit :
L’équilibre de la partie isolée s’écrit donc :

Ce qui donne :




                                                                       6
Etude des contraintes
Campus centre
                y             Remarques:
     max
                               la distribution de la contrainte normale
                              dans une section est linéaire,
                               l’axe neutre ( =0) passe par le centre de
                              gravité des sections,
                G              la contrainte normale est maximale
                          x   ( max) pour la fibre la plus éloignée de c.d.g.
                                  ymax=h/2 dans le cas des sections
                              symétriques / Gz



                    max
                                                                           7
Etude des déformations
Campus centre




  v représente la flèche de la poutre,
  v’ représente la rotation de la section.
  On a une équation différentielle donnant l’expression de v’’, pour
 trouver la flèche v, il faut donc intégrer deux fois. On obtient donc
 des constantes d’intégration. Pour connaître leurs valeurs, il faut
 appliquer les conditions aux limites de la poutre étudiée.




                                                                         8
Dimensionnement
Campus centre


Condition de résistance
On limitera la valeur de la contrainte normale à une valeur notée Rpe
(résistance pratique à l’extension = contrainte normale admissible
  adm) définie par :




On obtient ainsi l’inéquation suivante:




                                                                        9
Dimensionnement
Campus centre



Condition de déformation
On peut limiter la flèche maximale (vmax) à une valeur limite (vlim)
imposée par le type de construction ou les contraintes
technologiques.

On obtient ainsi l’inéquation suivante:




                                                                       10

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Chapitre 8 flexion pure

  • 1. Campus centre Chapitre 8 Flexion pure 1
  • 2. Campus centre Définition Une poutre est sollicitée à la flexion pure si le seul élément de réduction au centre de gravité de chaque section des forces de cohésion est un moment perpendiculaire au plan de symétrie appelé moment de flexion. N=Ty=Tz=0 , Mt=0 , Mfy et/ou Mfz 0 2
  • 3. Etude des contraintes Campus centre M M Deux sections droites voisines tournent l’une par rapport à l’autre d’un angle élémentaire autour de l’axe z, normal au plan de symétrie. La déformation d’ensemble observée résulte de la composition de toutes les rotations relatives de toutes les sections. 3
  • 4. Etude des contraintes Campus centre Si on soumet la section S à la flexion, elle tourne Δα y d’un angle autour de Gz. On appelle S’ la section déformée et M’ représente la position de M après déformation. M0 M’ M D’après la loi de Hooke, on a : y x S0 S S’ Δx 4
  • 5. Etude des contraintes O Si on prolonge toutes les sections déformées, elles concourent toutes en un point O, appelé centre de courbure. La distance OG est appelée , rayon de courbure. y Détermination de l’axe neutre =0 La force normale élémentaire agissant sur chaque dS vaut : M0 M’ M y On sait que l’effort normal N est nul, on peut donc écrire : G x S0 S S’ 5 x
  • 6. Etude des contraintes Campus centre Relation entre contrainte et moment de flexion On coupe la poutre en une section (S) et on exprime que la partie isolée est en équilibre sous l’action des efforts extérieurs et des forces de cohésion dans la section (S). On sait que la force normale élémentaire vaut: Le moment élémentaire s’écrit : L’équilibre de la partie isolée s’écrit donc : Ce qui donne : 6
  • 7. Etude des contraintes Campus centre y Remarques: max  la distribution de la contrainte normale dans une section est linéaire,  l’axe neutre ( =0) passe par le centre de gravité des sections, G  la contrainte normale est maximale x ( max) pour la fibre la plus éloignée de c.d.g. ymax=h/2 dans le cas des sections symétriques / Gz max 7
  • 8. Etude des déformations Campus centre  v représente la flèche de la poutre,  v’ représente la rotation de la section.  On a une équation différentielle donnant l’expression de v’’, pour trouver la flèche v, il faut donc intégrer deux fois. On obtient donc des constantes d’intégration. Pour connaître leurs valeurs, il faut appliquer les conditions aux limites de la poutre étudiée. 8
  • 9. Dimensionnement Campus centre Condition de résistance On limitera la valeur de la contrainte normale à une valeur notée Rpe (résistance pratique à l’extension = contrainte normale admissible adm) définie par : On obtient ainsi l’inéquation suivante: 9
  • 10. Dimensionnement Campus centre Condition de déformation On peut limiter la flèche maximale (vmax) à une valeur limite (vlim) imposée par le type de construction ou les contraintes technologiques. On obtient ainsi l’inéquation suivante: 10