2012/2013                            Résistance des matériaux                                              Mouna SOUISSI  ...
SommaireI.         Rappel de statique........................................................................................
2.        Principe d’essai : ................................................................................................
2.   Etude des déformations .................................................................................................
Liste des figures :Figure 1 : Exemple d’application .........................................................................
I.      Rappel de statique    1. Objet de la statique :Cest létude de léquilibre des ensembles de corps solides dans leur ...
Si nous isolons les solides S1+S2. Les actions mécaniques extérieures à S1+S2 qui agissent surS1+S2 s’énumèrent de la faço...
=             =Dans le repère R (O, , , ) on a alors :   (          ,                 ...On se ramène à 3 équations pour l...
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7. Isostaticité et hyperstaticité :Un système est hyperstatique lorsque les équations issues de l’application du principef...
II.      Hypothèse de la RDM       1. Définition :La résistance des matériaux est la mécanique des solides déformables. El...
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b) Hypothèse de Navier-Bernoulli :Les sections normales à la ligne moyenne restent planes et normales à la ligne moyennepe...
L’articulation, constituée, pour les poutres métalliques, par une rotule comprise entre       deux balanciers en acier mou...
III.   Torseurs des efforts intérieurs et notions contraintes :Dans ce chapitre on aborde deux notions fondamentales pour ...
Par définition, le torseur d’action mécanique de           sur     est appelé torseur des effortsintérieurs ou torseur de ...
2. Les composantes du torseur des efforts intérieurs :On considère une poutre droite. Soit (G, , , ) le repère associé à l...
4. Notion de contrainte- Vecteur contrainte :Le torseur de cohésion ne représente qu’une vision globale sur la section dro...
contrainte limite admissible au-delà de laquelle la pièce subit des détériorations de sescaractéristiques mécaniques, dime...
2. Moment quadratique :       a) Définition :    On appelle moment quadratique        par rapport à l’axe Ox la quantité :...
Soit :De même pour :Sachant que :Avec :On appelle axes principaux X et Y tel que :Leur orientation est définie par :Résist...
La tangente étant définie à   prés, cette solution a deux solutions   et   .Exemples d’application :        Section quelco...
Figure 8 : Courbe de TractionLa droite OA correspond à la déformation élastique réversible.La courbe AC est le domaine de ...
Figure 9 : Différentes étapes de l’essai de traction       Etape1 : Eprouvette avant la traction       Etape2 : Pendant la...
Figure 10 : Poutre soumise à une sollicitation    3. Définition :Une poutre est sollicitée à une traction simple lorsqu’el...
5. Etudes des déformations :Dans cette partie on étudie deux types de déformation. La déformation longitudinale et ladéfor...
On a :                         Figure 14 : Déformation transversale de la poutreOn constate une proportionnalité entre les...
7. Concentration de contraintes :Lorsqu’une poutre possède une variation brusque de sa section, la répartition de la contr...
Figure 16 : Exemple de treillisUn treillis rectangulaire n’est pas stable. Un treillis en triangle est la cellule base d’u...
τ: Contrainte de cisaillement en MPa ou en N/mm²T: Effort tranchant en NS: Aire de la section droite cisaillée en mm²Avec ...
Loi de Hooke :Comme pour l’essai de traction, l’expérience montre que, dans le domaine élastique, il y aproportionnalité e...
On verifie que :VIII.   Torsion pure    1. Hypothèse :       Le solide est composé d’un matériau homogène et isotrope,    ...
Ө : angle de torsion unitaire (rad/mm)           angle total de torsion de (S)/( (rad)          : distance entre (S) et ( ...
On obtient donc :Avec :   La contrainte de cisaillementG : Le module de coulomb  : Angle unitaire de torsion  : Distance d...
On a alors :La contrainte de cisaillement est donc proportionnelle à la distance au centre de gravité de lasection et est ...
P : puissance en watts   : Moment de torsion en N.m      vitesse angulaire en rad/sSi la vitesse de rotation est donnée en...
On considère un élément de longueur Δx, délimité par les sections                 est une fibrede cet élément située à une...
On sait que l’effort normal N est nul, on peut donc écrire :              =                             =0On a donc le mom...
On obtient donc l’équation différentielle de la déformée :                                               = Remarque : On a...
X.      Flexion simple      1. Définition :Une poutre est sollicitée à la flexion simple si les éléments de réduction au c...
 On peut montrer que la contrainte tangentielle en M d’ordonnée y vaut :Avec :               T : l’effort tranchant dans ...
5. Condition de déformation :On peut limiter la flèche maximale (                                        imposée par le ty...
Le critère de Rankine :Conditions de résistance selon Rankine, s’écrit :             =En écrivant        et        en fonc...
Ce qui s’écrit (critère de Von Mises) :Le critère des règles CM :Les limites élastiques du matériau sont telles que :La co...
On aboutit à l’équation différentielle suivante :Mathématiquement on peut donc trouver des solutions de la forme :Avec    ...
On introduit alors le rayon de giration et l’élancement, à savoir :Rayon de giration :           et l’élancement :        ...
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XIII.   Travaux pratiques : TP1 : Etude des treillis plans TP2 : Moment de flexion et effort tranchant (Poutre sur deux su...
XIV.   Bibliographie :       Résistance des matériaux, Ivan CorminBoeuf ing.ETS/EPF       Cours de Dimensionnement des Str...
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  1. 1. 2012/2013 Résistance des matériaux Mouna SOUISSI Flore BrueEcole des hautes études d’ingénieur13 Rue de Toul 59046 LILLE CEDEX
  2. 2. SommaireI. Rappel de statique........................................................................................................................... 6 1. Objet de la statique : .................................................................................................................... 6 2. Définition: ................................................................................................................................... 6 3. Enoncé du principe fondamental de la statique : ......................................................................... 6 4. Exemple :..................................................................................................................................... 6 5. Principe fondamental de la statique appliqué à un problème de 3D : ......................................... 7 6. Principe fondamental de la statique appliqué à un problème de 2D : ......................................... 8 7. Isostaticité et hyperstaticité : ..................................................................................................... 10II. Hypothèse de la RDM ................................................................................................................... 11 1. Définition : ................................................................................................................................. 11 2. Le solide étudié : ....................................................................................................................... 11 3. Hypothèse sur le matériau : ....................................................................................................... 12 4. Hypothèses fondamentales de la RdM : .................................................................................... 12 a) Principe de Saint Venant : ..................................................................................................... 12 b) Hypothèse de Navier-Bernoulli : ........................................................................................... 13 c) Conditions aux limites : ......................................................................................................... 13III. Torseurs des efforts intérieurs et notions contraintes : .............................................................. 15 1. Torseur des efforts intérieurs :................................................................................................... 15 2. Les composantes du torseur des efforts intérieurs :................................................................... 17 3. Les sollicitations élémentaires :................................................................................................. 17 4. Notion de contrainte- Vecteur contrainte : ................................................................................ 18 5. Contrainte normale et tangentielle : .......................................................................................... 18IV. Caractéristiques géométriques de la surface plane : .................................................................. 19 1. Centre d’une surface : ............................................................................................................... 19 a) Barycentre : ........................................................................................................................... 19 b) Centre d’une surface plane : .................................................................................................. 19 2. Moment quadratique : .............................................................................................................. 20 a) Définition : ............................................................................................................................. 20 b) Changement daxe de rotation : Théorème d’Huyghens ...................................................... 20 3. Moment produit : ...................................................................................................................... 20 4. Rotation d’axe : ......................................................................................................................... 20V. Comportement mécanique des matériaux ..................................................................................... 22 1. Essai de traction : ...................................................................................................................... 22Résistance des matériaux Page 2
  3. 3. 2. Principe d’essai : ....................................................................................................................... 22VI. Traction simple /Compression simple : ..................................................................................... 24 1. Introduction : ............................................................................................................................. 24 2. Hypothèses : .............................................................................................................................. 24 3. Définition : ................................................................................................................................ 25 4. Contraintes dans une section droite : ......................................................................................... 25 5. Etudes des déformations :.......................................................................................................... 26 a. Déformation longitudinale : .................................................................................................. 26 b. Déformation transversale :.................................................................................................... 26 6. Dimensionnement :.................................................................................................................... 27 7. Concentration de contraintes : ................................................................................................... 28 8. Application aux treillis : ............................................................................................................ 28VII. Cisaillement simple.................................................................................................................... 29 1. Hypothèses : .............................................................................................................................. 29 2. Définition................................................................................................................................... 29 3. Contraintes dans une section droite : ......................................................................................... 29 4. Etude des déformations ............................................................................................................. 30 5. Condition de résistance : ........................................................................................................... 31 6. Exemple ..................................................................................................................................... 31VIII. Torsion pure .............................................................................................................................. 32 1. Hypothèse : ................................................................................................................................ 32 2. Définition................................................................................................................................... 32 3. Etudes des déformations :.......................................................................................................... 32 4. Etudes des contraintes : ............................................................................................................. 34 5. Dimensionnement :.................................................................................................................... 35IX. Flexion pure ............................................................................................................................... 36 1. Hypothèses ................................................................................................................................ 36 2. Définition .................................................................................................................................. 36 3. Etude des contraintes : ............................................................................................................... 36 4. Etude des deformations: ............................................................................................................ 38 5. Dimensionnement :.................................................................................................................... 39 6. Condition de déformation :........................................................................................................ 39X. Flexion simple ................................................................................................................................ 40 1. Définition : ................................................................................................................................. 40Résistance des matériaux Page 3
  4. 4. 2. Etude des déformations ............................................................................................................. 40 3. Etude des contraintes : ............................................................................................................... 40 4. Condition de résistance : ........................................................................................................... 41 5. Condition de déformation :........................................................................................................ 42XI. Sollicitation composées : (Flexion-Torsion) .............................................................................. 42 1. Définition ................................................................................................................................... 42 2. Exemple d’application ............................................................................................................... 42XII. Flambement .............................................................................................................................. 44 1. Charge critique : ........................................................................................................................ 44XIII. Travaux pratiques : .................................................................................................................... 48XIV. Bibliographie :............................................................................................................................ 49Résistance des matériaux Page 4
  5. 5. Liste des figures :Figure 1 : Exemple d’application ............................................................................................................ 6Figure 2 : Deux poutres sous charge identique ..................................................................................... 11Figure 3 : Poutre .................................................................................................................................... 12Figure 4 : a) avec hypothèse de Navier Bernouilli, b) sans hypothèse de Navier Bernouilli ................ 13Figure 5 : Les trois liaisons usuelles...................................................................................................... 14Figure 6 : Poutre étudiée ....................................................................................................................... 15Figure 7 : Machine essai de traction ...................................................................................................... 22Figure 8 : Courbe de Traction ............................................................................................................... 23Figure 9 : Différentes étapes de l’essai de traction................................................................................ 24Figure 10 : Poutre soumise à une sollicitation....................................................................................... 25Figure 11 : Poutre soumise à une traction ............................................................................................. 25Figure 12 : Poutre soumise à une compression ..................................................................................... 25Figure 13 : Comportement mécanique de la poutre .............................................................................. 26Figure 14 : Déformation transversale de la poutre ................................................................................ 27Figure 15 : Treillis ................................................................................................................................. 28Figure 16 : Exemple de treillis .............................................................................................................. 29Résistance des matériaux Page 5
  6. 6. I. Rappel de statique 1. Objet de la statique :Cest létude de léquilibre des ensembles de corps solides dans leur géométrie initiale. C’est-à-dire dans la structure non déformée par rapport à un repère Galiléen. Le solide seraconsidéré comme infiniment rigide.Un solide indéformable possède une masse constante et un volume dont les limites sontinvariantes quelles que soient les actions extérieures auxquelles il est soumis. 2. Définition:Un ensemble matériel {E} est en équilibre par rapport à un repère R si, au cours du temps,chaque point de {E} conserve une position fixe par rapport au repère R. 3. Enoncé du principe fondamental de la statique :Si un ensemble matériel {E} est en équilibre par rapport à un repère R, la somme des actionsmécaniques extérieures à {E} qui agissent sur {E} est nulle. 4. Exemple : (S2) (S1) C A B (S0) D P1 P2 Figure 1 : Exemple d’applicationIsolons le solide S2. Les actions mécaniques extérieures à S2 qui agissent sur S2 sont: Poids de S2, Action, en C de S0 sur S2, Action, en D de S0 sur S2, Action, en B, de S1 sur S2…. et sont concernées par le PFS.Résistance des matériaux Page 6
  7. 7. Si nous isolons les solides S1+S2. Les actions mécaniques extérieures à S1+S2 qui agissent surS1+S2 s’énumèrent de la façon suivante : Poids de S1, Poids de S2, Action, en A de S0 sur S1, Action, en C de S0 sur S2, Action, en D de S0 sur S2. 5. Principe fondamental de la statique appliqué à un problème de 3D :On peut traduire ce PFS par les relations suivantes: La somme vectorielle de toutes les forces extérieures à S, agissant sur S est nulle d’où le théorème de la résultante : = =Soit = +Et soit dans un repère R (O, , , ) : , ...On se ramène à 3 équations pour les forces : La somme vectorielle des moments en A de toutes les actions mécaniques extérieures à S, agissant sur S, est nulle en un point A quelconque. D’où le théorème du moment résultant en A :Résistance des matériaux Page 7
  8. 8. = =Dans le repère R (O, , , ) on a alors : ( , ...On se ramène à 3 équations pour les moments. 6. Principe fondamental de la statique appliqué à un problème de 2D :Une résolution analytique grâce à l’outil « Torseur » est bien entendu envisageable. Même sicette méthode demande de nombreuses écritures, et est parfois fastidieuse à appliquer, elle ale mérite d’être systématique. Les torseurs sont « allégés» car, seules les composantes derésultantes appartenant au plan, et de moment perpendiculaire au plan apparaissent.Une Solution plus efficace, consiste à utiliser la notion de moment par rapport à un axeperpendiculaire au plan d’étude.Le tableau suivant donne toutes les liaisons mécaniques et le torseur correspondant :Résistance des matériaux Page 8
  9. 9. Résistance des matériaux Page 9
  10. 10. 7. Isostaticité et hyperstaticité :Un système est hyperstatique lorsque les équations issues de l’application du principefondamental de la statique ne permettent pas de calculer toutes les inconnues d’efforts desliaisons.Le degré d’hyperstatisme (hs) est le nombre d’inconnues d’effort de liaison dont il fautimposer la valeur pour pouvoir calculer les autres : c’est la différence entre le nombred’inconnues et le rang du système d’équations obtenues par l’analyse du mécanisme.Quand hs = 0, le mécanisme est isostatique : il est possible de calculer toutes les inconnues deliaison. hs = Ns – 6 (p – 1) + m hs est le degré d’hyperstatisme. Ns est le nombre d’inconnues statique p est le nombre de pièces du mécanisme (bâti compris). m est la mobilité du mécanisme, avec m = mu + mi La mobilité utile mi est le nombre de relations indépendantes qui existe entre les paramètres cinématiques d’entrée et de sortie du mécanisme. La mobilité interne mu est le nombre de relations indépendantes qui existe entre les paramètres cinématiques des pièces internes du mécanisme.Tant que possible, il est préférable d’avoir un mécanisme isostatique : Car imposer des conditions géométriques implique des coûts de fabrication plus élevés enraison du soin à apporter à la réalisation. Car s’engager dans des calculs de RdM augmente les coûts de développement. Les résultatstrouvés avec cette méthode impliquent généralement des solutions techniques plus onéreusesque pour un mécanisme isostatique.Résistance des matériaux Page 10
  11. 11. II. Hypothèse de la RDM 1. Définition :La résistance des matériaux est la mécanique des solides déformables. Elle permet de :  Caractériser les matériaux ;  Dimensionner une pièce à partir des efforts qu’elle supporte ;  Déterminer la déformation d’une pièce à partir des efforts qu’elle supporte ;  Déterminer les efforts maximums que peut supporter une pièce.On considère les deux poutres simples représentées à la figure 2. P P Y Z P Y Z Figure 2 : Deux poutres sous charge identiqueSous une charge identique les deux poutres n’offrent pas la même résistance. Il y a alorsd’autres caractéristiques autres que l’aire de la section à connaitre. 2. Le solide étudié :Un certain nombre de restrictions sont nécessaire pour pouvoir utiliser la RdM. Cesrestrictions portent sur la géométrie du solide étudié, le matériau dont il est constitué, et dansune moindre mesure les liaisons et les efforts extérieurs.En RdM, les solides étudiés portent le nom de poutres.Une poutre est un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre d’inertiegéométrique G décrit une courbe G0G1, le plan de (S) restant normal à la courbe G0G1. Lecentre d’inertie peut dans de nombreux cas être confondu avec le centre de gravité. Nousavons supposé l’aire (S) constante ; la poutre est alors dite de section constante. Mais trèssouvent, en vue de proportionner les dimensions de la poutre aux efforts qu’elle doitsupporter, l’aire (S) varie lorsque son centre de gravité décrit la fibre moyenne ; la poutre estalors dite de section variable, et l’on supposera que la section varie continûment le long de lafibre neutre.Résistance des matériaux Page 11
  12. 12. G1 G (S) P G0 Figure 3 : PoutreL’aire (S) est appelée section droite de la poutre. La courbe G0G1 est appelée fibre moyennede la poutre. Le volume engendré le long de G0G1 par un petit élément dS de la surface (S)porte le nom de fibre.Certaine propriétés de la géométrie doivent être vérifiée : Le rayon de courbure de la ligne moyenne est grand par rapport à la plus grande dimension transversale de la section droite (rapport supérieur à 5) La longueur de la ligne moyenne est grande par rapport à la plus grande dimension transversale de la section droite (rapport supérieur à 5)La poutre étant amenée à se déformer, on va de plus supposer que les déformations subies parla poutre ainsi que les déplacements qui peuvent être mesurés, restent petits. En effet, lesdéformations doivent rester petites pour que le reste dans le domaine élastique, et lesdéplacements doivent rester petits pour que les points d’application des efforts extérieurs nesoient pas modifiés. 3. Hypothèse sur le matériau :Pour toutes les études que nous mènerons en RdM, nous allons considérer que le matériaudont est constituée la poutre est un matériau : Homogène : l’homogénéité se dit d’un milieu matériel qui présente des propriétés constantes dans toute son étendue. Isotrope : le matériau présente les mêmes propriétés dans toutes les directions de l’espace. Elastique linéaire : le matériau retrouve entièrement sa forme ou son volume après avoir subi un cycle de charge/décharge quelconque. Cette notion est implicitement liée à la réversibilité totale et au fait qu’au cours du chargement et du déchargement le matériau ne dissipe aucune énergie. 4. Hypothèses fondamentales de la RdM : a) Principe de Saint Venant :Enoncé :Les résultats obtenus par un calcul de RdM sur une poutre ne sont valables qu’à une distancesuffisamment éloignée de la région d’application des actions mécaniques extérieuresconcentrées et des liaisons (distance égale à 2 fois la plus grande dimension transversale).Résistance des matériaux Page 12
  13. 13. b) Hypothèse de Navier-Bernoulli :Les sections normales à la ligne moyenne restent planes et normales à la ligne moyennependant la déformation de la poutre.On peut aussi dire que toute section droite (plane et perpendiculaire à la ligne moyenne) avantdéformation reste droite après déformation. a) b)Figure 4 : a) avec hypothèse de Navier Bernouilli, b) sans hypothèse de Navier BernouilliCette hypothèse est bien vérifiée dans de nombreux cas de sollicitations simples.Le fait que la section reste plane permet de caractériser le déplacement de toute section droitepar un torseur appelé torseur des petits déplacements. c) Conditions aux limites :Les conditions aux limites qui s’appliquent sur une poutre sont de deux natures.Celles constituées par les liaisons avec l’extérieur, et celles liées à la présence du chargement.Efforts extérieurs :Les efforts extérieurs qui s’appliquent au modèle poutre sont principalement de deux types. concentrées, réparties de façon continue.Comme on travaille sur des poutres à plan moyen on supposera que la forme générale dutorseur des actions mécaniques extérieurs se réduit à :Les forces concentrées sont donc classiquement modélisées par des torseurs d’actionsmécaniques exprimés au centre de gravité G d’une section (S). Un exemple de force répartieest l’action de l’eau sur un barrage qui conduit à une répartition linéique de pression sur lahauteur du barrage.Liaisons :Les liaisons que l’on rencontre sont les liaisons classiques déjà connues. Néanmoins, le faitque l’on se borne aux poutres à plan moyen chargées dans leur plan, amène usuellement àdistinguer les différents types de liaisons imposées aux poutres : L’appui simple, constitué, par exemple, par un rouleau cylindrique, donne lieu à une réaction de direction imposée passant par le point d’appui ; cette réaction est définie par une seule composante en résultante perpendiculaire au contact.Résistance des matériaux Page 13
  14. 14. L’articulation, constituée, pour les poutres métalliques, par une rotule comprise entre deux balanciers en acier moulé et, pour les poutres en béton, par une section fortement rétrécie, donne lieu à une réaction dont on ne connaît pas la direction, mais qui passe par le centre de la rotule ou par le centre de la section rétrécie ; cette réaction est définie par ses deux composantes suivant deux directions non parallèles du plan moyen. L’encastrement a pour objet d’assurer l’invariabilité de la section d’extrémité d’une poutre ; la réaction d’appui comprend une force passant par le centre de gravité G de la section d’encastrement et contenue dans le plan moyen, et un moment normal au plan moyen ; la réaction d’appui est donc définie par trois composantes : les deux projections sur deux axes situés dans le plan moyen et la projection du moment sur l’axe normal au plan moyen. Figure 5 : Les trois liaisons usuellesLes torseurs d’actions transmissibles et le déplacement interdit sont présentés dans le tableausuivant:Liaison Appui simple Articulation EncastrementEquation = = =Critères Le déplacement est Deux déplacements sont bloqués : Pas de déplacement ni de bloqué : rotation :Résistance des matériaux Page 14
  15. 15. III. Torseurs des efforts intérieurs et notions contraintes :Dans ce chapitre on aborde deux notions fondamentales pour la RdM : le torseur des efforts intérieurs ; la notion de contrainte. 1. Torseur des efforts intérieurs :On considère une poutre ( ) composée de deux parties et on alors : E=La séparation est une coupure au point G par un plan perpendiculaire de section (S) comme lemontre la figure suivante : Figure 6 : Poutre étudiéeOn isole la poutre (E) et on applique le PFS : = 0On peu écrire aussi : 0On isole un des parties de la poutre et on applique et détermine l’ensemble des actionsmécaniques appliquées sur la partie .Bilan des actions mécaniques appliquées à Une partie des actions extérieures Les actions de la partie sur la partie à travers la section (S). La liaison entre et peut transmettre toutes les composantes des actions mécaniques de sur , elle peut donc être modélisée par une liaison encastrement.Résistance des matériaux Page 15
  16. 16. Par définition, le torseur d’action mécanique de sur est appelé torseur des effortsintérieurs ou torseur de cohésion. On écrit alors :On applique maintenant le principe fondamental de la dynamique à la partie :On peut alors calculer le torseur de cohésion à partir des actions extérieures exercéesOn isole maintenant la partie . Le bilan des actions mécaniques est le suivant. Les actions mécaniques de l’extérieur sur Les actions mécanique de sur à travers la section (S) que l’on peut relier au torseur des efforts intérieurs par le principe d’action réciproque, soit :Le principe fondamental de la statique donne :Ceci est un autre moyen pour calculer le torseur de cohésion à partir des actions extérieuresexercées sur la partie :Conclusion : Le torseur des efforts intérieurs représente les actions mécaniques exercées à travers une coupure par la partie située à droite de la coupure sur la partie située à gauche de la coupure.On peut donc écrire :Résistance des matériaux Page 16
  17. 17. 2. Les composantes du torseur des efforts intérieurs :On considère une poutre droite. Soit (G, , , ) le repère associé à la section droite. La formegénérale du torseur des efforts intérieurs est :Les abréviations des noms des composantes sont : Effort Normal : N, perpendiculaire à la section droite Efforts Tranchants : et , ont tendance à trancher la poutre perpendiculairement à la ligne moyenne Moment de Torsion : , a tendance à tordre la poutre autour de la ligne moyenne Moments de Flexions : et , ont tendance à faire fléchir la poutre autour d’un axe perpendiculaire à la ligne moyenne 3. Les sollicitations élémentaires :En fonction de la nullité ou non des composantes, on peut identifier un certain nombre desollicitations dites élémentaires.Le tableau suivant présente les sollicitations dites élémentaires et leur torseur de cohésion :Sollicitation Composante non nulle Torseur de CohésionTraction /Compression NCisaillement purTorsionFlexion purFlexion simple Tableau 1 : Sollicitation élémentairesRésistance des matériaux Page 17
  18. 18. 4. Notion de contrainte- Vecteur contrainte :Le torseur de cohésion ne représente qu’une vision globale sur la section droite de toutes lesactions mécaniques qui s’appliquent localement en chaque point de la surface.Ces actions mécaniques locales sont réparties sur toute la surface suivant une loi a prioriinconnue. Pour les représenter, considérons un point M de la surface S.Autour de ce point M on considère un petit élément de surface dS de normaleEn RdM les efforts intérieurs exercés sur dS sont une densité surfacique d’efforts ou densitéde force par unité de surface. Cette densité surfacique d’effort est caractérisée par le vecteurcontrainte .Les actions mécaniques qui s’exercent sur la surface dS sont donc : ( 5. Contrainte normale et tangentielle :Le vecteur contrainte est composé de deux composantes σ et τ. On écrit alors : σ τCes deux composantes du vecteur contrainte ont des sens physiques différents : la contrainte normale σ traduit des actions surfaciques locales de tension au sein de la matière la contrainte tangentielle τ traduit des actions surfaciques locales de cisaillement au sein de la matièreIl existe une relation entre le torseur de cohésion global et les vecteurs contraintes locaux entout point de la section (S). Pour exprimer cette relation, exprimons le torseur des actionsmécaniques s’exerçant sur dS au point G.On a donc :Pour obtenir le torseur de cohésion, il faut intégrer sur toute la surface le torseur écritprécédemment. On peut alors écrire le torseur des efforts intérieurs :En fonction des actions extérieures et des caractéristiques géométriques de la section, on peutdéterminer les contraintes au sein du matériau. On peut alors définir pour chaque matériau uneRésistance des matériaux Page 18
  19. 19. contrainte limite admissible au-delà de laquelle la pièce subit des détériorations de sescaractéristiques mécaniques, dimensionnelles, voire une rupture.Ainsi, connaissant les actions mécaniques extérieures, on peut dimensionner la poutre pourque les contraintes restent inférieures à une contrainte limite admissible.IV. Caractéristiques géométriques de la surface plane : 1. Centre d’une surface : a) Barycentre :On appelle Barycentre G d’un ensemble de n point auxquels sont affectés des coefficients i le point G défini par : =On peut aussi écrire : =On appelant le barycentre des p premiers point et le barycentre des autres points. b) Centre d’une surface plane :C’est par définition le barycentre de tous ses points affectés de l’aire infiniment petite . Ona alors : =Avec coordonnées de G.On a =Et = ;Enfin si l’origine O est au centre G il vient :Résistance des matériaux Page 19
  20. 20. 2. Moment quadratique : a) Définition : On appelle moment quadratique par rapport à l’axe Ox la quantité : = et de même = On a moment quadratique par rapport à O. = = + b) Changement daxe de rotation : Théorème d’Huyghens Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe est égal au moment d’inertie de ce corps par rapport à un axe parallèle à passant par le centre de gravité augmenté du produit . = Exemple moment d’inertie d’un cylindre : 3. Moment produit : Par définition le moment produit est la quantité : Si l’un des axes est axe de symétrie alors : = = + + + +S 4. Rotation d’axe : yY X x Résistance des matériaux Page 20
  21. 21. Soit :De même pour :Sachant que :Avec :On appelle axes principaux X et Y tel que :Leur orientation est définie par :Résistance des matériaux Page 21
  22. 22. La tangente étant définie à prés, cette solution a deux solutions et .Exemples d’application : Section quelconque Demi-cercle Demi-carré Grand rectangle Rectangle Disque Tube Section en T Cornière à ailes inégales V. Comportement mécanique des matériauxLes propriétés mécaniques dépendent de la température d’utilisation, de l’état de surface, desconditions d’application des efforts et de la vitesse de déformation.Elles sont déterminées, avec un certain intervalle de précision, au moyen d’essais normalisés. 1. Essai de traction :L’essai de traction permet, à lui seul, de définir les caractéristiques mécaniques courantes desmatériaux. Les résultats issus de cet essai, permettent de prévoir le comportement d’une piècesollicitée en Cisaillement, Traction/Compression et Flexion. 2. Principe d’essai :L’essai est réalisé sur une machine de traction. On applique progressivement et lentement(sans choc) à une éprouvette cylindrique de formes et de dimensions normalisées, un effort detraction croissant jusqu’à la rupture. Figure 7 : Machine essai de tractionLa courbe type obtenue pour un matériau ductile est la suivante:Résistance des matériaux Page 22
  23. 23. Figure 8 : Courbe de TractionLa droite OA correspond à la déformation élastique réversible.La courbe AC est le domaine de déformation plastique homogène: si on supprime la force detraction, il y a un retour élastique suivant une parallèle à OA et il reste une déformationpermanente.Pour CD, la force nécessaire pour déformer le matériau diminue alors que l’allongementcontinue d’augmenter : cette instabilité est appelée instabilité plastique. La striction apparait.En D il y a rupture de l’éprouvette.Avec Re (MPa) est la limite élastique. Elle est bien marquée pour les matériaux ductiles. Rm est la résistance limite à la traction. Cette valeur est utilisée pour estimer la limite d’endurance à la fatigue.Les caractéristiques mécaniques sur pièces dépendent de facteurs tels que :- La zone de prélèvement sur pièce de l’éprouvette- L’état de l’éprouvette (brute ou usinée)- L’état de santé de l’éprouvette (défauts internes ou de surface)- La finesse de la microstructure (DAS - loi de Hall Petch)- De la composition chimique (teneur en fer, constituants intermétallique, …)- De l’état de finition (brute, grenaillé) et de la présence du plan de jointLes différentes étapes de l’essai de traction sont présentées à la figure suivante :Résistance des matériaux Page 23
  24. 24. Figure 9 : Différentes étapes de l’essai de traction Etape1 : Eprouvette avant la traction Etape2 : Pendant la traction, comportement élastique Etape3 : Déformation de la pièce, déformation plastique Etape4 : Eprouvette après la ruptureVI. Traction simple /Compression simple : 1. Introduction :La traction simple et la compression simple sont distinctes et un certain nombre de matériauxont un comportement différent en traction et en compression (fonte, béton…). Cependant,dans les deux cas, nous arriverons aux mêmes relations de contraintes et de déformations.Dans le repère (Gxyz) lié à la section, traction et compression se différencient par le signe del’effort normal :Si N>0 : TractionSi N<0 : Compression 2. Hypothèses : Le solide est composé d’un matériau homogène et isotrope, Sa ligne moyenne est rectiligne La section droite est constante sur toute la longueur, La résultante des actions extérieures au c.d.g des sections extrêmes n’a qu’une composante dirigée selon la ligne moyenne.Résistance des matériaux Page 24
  25. 25. Figure 10 : Poutre soumise à une sollicitation 3. Définition :Une poutre est sollicitée à une traction simple lorsqu’elle est soumise à deux forcesdirectement opposées qui tendent à l’allonger et appliquées au c.d.g des sections extrêmes. Figure 11 : Poutre soumise à une tractionDans ce cas, les forces de cohésion se réduisent à une composante normal N>0Une poutre est sollicitée à la compression simple lorsqu’elle est soumise à deux forcesdirectement opposées qui tendent à le raccourcir et appliquées au c.d.g des sections extrêmes. Figure 12 : Poutre soumise à une compressionDans ce cas, les forces de cohésion se réduisent à une composante normale N<0.Dans le cas de la compression, si les dimensions longitudinales sont trop importantes (auxdimensions transversales) ; il y a risque de flambement. 4. Contraintes dans une section droite :Pour les deux sollicitations, traction et compression, elles s’expriment de la même façon :Chaque élément de surface supporte un effort de traction parallèle à la ligne moyenne.Il y a répartition uniforme des contraintes dans la section droite.D’où :σ : contrainte normale en MPa ou en N/mm²N : effort normal en NS : aire de la section droite en mm²En traction, N > 0 => σ > 0 ;En compression N < 0 => σ < 0.Pour les deux sollicitations on a :Résistance des matériaux Page 25
  26. 26. 5. Etudes des déformations :Dans cette partie on étudie deux types de déformation. La déformation longitudinale et ladéformation transversale. a. Déformation longitudinale :On se place dans le domaine élastique (petites déformations, réversibles), la loi de Hooke estvalable : E.Avec l’allongement unitaire (voir figure 13) Figure 13 : Comportement mécanique de la poutre : Longueur initiale de l’éprouvette mesurée sous charge F.L : Longueur de l’éprouvette mesurée sous charge F.F : Force exercée par la machine d’essai sur l’éprouvette.La déformation longitudinale est notée et vaut :On a donc : = E.On obtient alors :En traction la poutre s’allonge =>En compression la poutre raccourcit => b. Déformation transversale :Lorsqu’une poutre s’allonge dans la direction longitudinale sous l’effet de N, on observe unecontraction dans la direction transversale.Résistance des matériaux Page 26
  27. 27. On a : Figure 14 : Déformation transversale de la poutreOn constate une proportionnalité entre les déformations transversales et les déformationslongitudinales :Avec le coefficient de Poisson (entre 0.1 et 0.5, 0.3 pour les aciers) 6. Dimensionnement :Afin de tenir compte d’incertitude concernant les charges appliquées au solide, les conditionsd’utilisation ou les caractéristiques mécaniques du matériau, on introduit un coefficient desécurité s.Le dimensionnement des pièces mécaniques se fera en limitant la valeur de la contraintenormale à valeur notée (résistance pratique à l’extension) définie par : Limite élastique à l’extension Coefficient de sécuritéOn doit ainsi vérifier l’inéquation (d’équarrissage) suivante :En compression, on doit vérifier :Avec, la résistance pratique à la compression :Pour des raisons fonctionnelles , il est parfois important de limiter l’allongement à valeur . On obtient donc l’inéquation :Résistance des matériaux Page 27
  28. 28. 7. Concentration de contraintes :Lorsqu’une poutre possède une variation brusque de sa section, la répartition de la contraintenormale n’est plus uniforme à proximité de la discontinuité de section. Il y’a concentration decontrainte.La contrainte maximale vaut : = Avec 8. Application aux treillis :Un treillis est un ensemble d’éléments assemblés les uns aux autres à leurs extrémités par desarticulations (voir figure 15). F F F/2 F Treillis Figure 15 : TreillisCes éléments sont appelés barres. Le point de rencontre des barres s’un treillis s’appelle unnœud. Il ny a pas de charges réparties sur les barres (elles sont de ce fait supposées nonpesantes).Hypothèses : Les assemblages sont géométriquement invariables. Les forces sont ponctuelles et contenues dans le plan de la structure. Le poids des barres est négligé. Les forces agissent aux nœuds qui sont des articulations.Compte tenu des hypothèses, les barres sont soumises soit à la traction, soit à la compression.Stabilité d’un treillis:Considérons les deux cas suivants :Résistance des matériaux Page 28
  29. 29. Figure 16 : Exemple de treillisUn treillis rectangulaire n’est pas stable. Un treillis en triangle est la cellule base d’un treilliscar cette structure ne peut pas s’aplatir.VII. Cisaillement simple 1. Hypothèses : Le solide est composé d’un matériau homogène et isotrope, Sa ligne moyenne est rectiligne, La section droite est constante sur toute la longueur, Le solide a un plan de symétrie verticale, Les actions extérieures sont modélisables en A et B situés dans le plan de symétrie, par deux résultantes verticales, directement opposées, situées dans le plan de cisaillement(P) perpendiculaire à la ligne moyenne. 2. DéfinitionUne poutre subit une sollicitation de cisaillement simple lorsque les actions mécaniques deliaison de réduisent dans une section droite (S) à deux résultantes directement opposées etperpendiculaires à laxe de la poutre. Les forces de cohésion n’ont qu’une composante tangentielle (effort tranchant) N=0, = = =0 et =0 3. Contraintes dans une section droite :Chaque élément de surface ΔS supporte un effort de cisaillement Δf contenu dans le plan (S).On considère qu’il y a répartition uniforme des contraintes dans la section droite. D’où :Résistance des matériaux Page 29
  30. 30. τ: Contrainte de cisaillement en MPa ou en N/mm²T: Effort tranchant en NS: Aire de la section droite cisaillée en mm²Avec τRemarque :S représente l’aire totale soumise au cisaillement. Cela signifie que s’il y a plusieurs plans decisaillement, il faut considérer l’aire de la section droite, multipliée par le nombre de plan decisaillement. 4. Etude des déformationsLe diagramme de l’essai de cisaillement a la même allure que celui de l’essai de traction. Pourl’essai de cisaillement, l’abscisse représente l’angle de glissement γ (en radians) de la sectionS par rapport à la section et l’ordonnée la contrainte de cisaillement.tg γ= or γ est petit donc tg γ= γ , on obtient alors : γ =Résistance des matériaux Page 30
  31. 31. Loi de Hooke :Comme pour l’essai de traction, l’expérience montre que, dans le domaine élastique, il y aproportionnalité entre la contrainte et les déformations.La loi de Hooke en cisaillement s’écrira : τ=G. γG représente le module d’élasticité transversale (ou module de cisaillement ou de Coulomb)est exprimé en MPa.Comme E,G est une caractéristique de matériau, déterminée expérimentalement. Il existe unerelation entre G, E et υ : G= 5. Condition de résistance :Le dimensionnement des solides soumis au cisaillement se fera en limitant la valeur de lacontrainte tangentielle à une valeur notée résistance pratique de glissement = contraintetangentielle admissible ) définie par : au cisaillementOn obtient ainsi l’inéquation suivante : 6. ExempleLa roulette proposée ci contre, se compose d’un support [2] et d’une roue [1]. La liaison pivotest assurée par un axe [3] de 9 mm de diamètre.Calculer les contraintes de cisaillement dans l’axe 3. Le module de F égal 400 daN.1) Déterminez le nombre de surfaces cisaillées : 22) Déterminez la contrainte de cisaillement dans l’axe [3]. =3) Si l’axe est en acier E335, vérifiez si la condition de résistance est respectée, avec uncoefficient de sécurité de 5.Résistance des matériaux Page 31
  32. 32. On verifie que :VIII. Torsion pure 1. Hypothèse : Le solide est composé d’un matériau homogène et isotrope, Sa ligne moyenne est rectiligne Les actions extérieures dans les sections extrêmes sont modélisables par deux moments opposés portés par la ligne moyenne. La section droite est constante sur toute la longueur et circulaire. En effet, pour rester dans le domaine de la RDM, il faut que notre solide vérifie l’hypothèse de Bernoulli. 2. Définition Une poutre est sollicitée à la torsion pure si le seul élément de réduction au centre de gravité de chaque section des forces de cohésion est un moment autour de la ligne moyenne appelé moment de torsion. N= = =0, = =0 et 3. Etudes des déformations : Soit une poutre circulaire pleine, parfaitement encastrée en , soumise à l’extrémité à un moment de torsion Résistance des matériaux Page 32
  33. 33. Ө : angle de torsion unitaire (rad/mm) angle total de torsion de (S)/( (rad) : distance entre (S) et ( (mm)L’expérience montre que, pour une section et un moment de torsion donnés, on a : = = …=csteOn pose Ө =Si , on est dans le domaine élastique, l’angle est proportionnel au momentappliquéSi , on est dans le domaine plastique, l’angle n’est plus proportionnel au momentappliqué.On appelle γ, l’angle M M’. Cet angle représente l’angle de glissement de (S)/ (On a : = γ= γEn torsion, les sections du solide sont soumises à une contrainte tangentielle. Nous avons vula relation liant les contraintes et les déformations.Résistance des matériaux Page 33
  34. 34. On obtient donc :Avec : La contrainte de cisaillementG : Le module de coulomb : Angle unitaire de torsion : Distance du point considéré à l’axe Gx 4. Etudes des contraintes :On coupe le cylindre en une section (S) et on exprime que la partie isolée est en équilibre sousl’action du moment de torsion Mt et des forces de cohésion dans la section (S). est l’élément de surface situé à une distance ρ de l’axe Gx , soumis à une contrainte decisaillementL’effort élémentaire de cisaillement dF vaut donc :L’équilibre de l’élément isolé s’écrit donc :Or :D’où :Comme est identique pour chaque dS, on obtient :On sait aussi queRésistance des matériaux Page 34
  35. 35. On a alors :La contrainte de cisaillement est donc proportionnelle à la distance au centre de gravité de lasection et est maximale pour : Module de torsion en 5. Dimensionnement :Condition de résistance :Le dimensionnement des solides soumis à la torsion pure se fera en limitant la valeur de lacontrainte tangentielle à une valeur notéeOn obtient ainsi l’inéquation suivante :Condition de déformation :On utilise souvent l’angle limite de torsion pour dimensionner une pièce soumise à la torsion.On obtient l’inéquation :On pourra exprimer la puissance :Avec :Résistance des matériaux Page 35
  36. 36. P : puissance en watts : Moment de torsion en N.m vitesse angulaire en rad/sSi la vitesse de rotation est donnée en tours/min, il faut convertir :IX. Flexion pure 1. Hypothèses Le solide est composé d’un matériau homogène et isotrope, Sa ligne moyenne est rectiligne La section droite est constante et possède un plan de symétrie, Les actions extérieures dans les sections extrêmes sont modélisables par deux moments opposés contenus dans le plan de symétrie. 2. DéfinitionUne poutre est sollicitée à la flexion pure si le seul élément de réduction au centre de gravitéde chaque section des forces de cohésion est un moment perpendiculaire au plan de symétrieappelé moment de flexion. N= = =0, et/ou et 3. Etude des contraintes :Les sections droites de la poutre ne se déforment pas, elles se déplacent en restantperpendiculaires à la ligne moyenne qui s’incurve mais ne s’allonge pas.Par conséquent, deux sections droites voisines tournent l’une par rapport à l’autre d’un angleélémentaire Δα autour de l’axe z, normal au plan de symétrie.La déformation d’ensemble observée résulte de la composition de toutes les sections.Résistance des matériaux Page 36
  37. 37. On considère un élément de longueur Δx, délimité par les sections est une fibrede cet élément située à une distance y de la ligne moyenne.Si on soumet la section S à la flexion, elle tourne d’un angle Δα autour de Gz. On apelle S’ lasection déformée et M’ représente la position de M après déformation.D’après la loi de HOOKE, on a :Or on a : = Δx et –Avec y la position de la fibre étudiée/ligne myenne.D’où :Finalement, la loi de Hooke s’écrit :Si on prolonge toutes les sections déformées, elles concourent toutes en un point O, appelcentre de courbure. La distance OG est appelée ρ , rayon de courbure. On a : = tgDétermination de l’axe neutreLa force normale élémentaire agissant sur chaque ds vaut :Résistance des matériaux Page 37
  38. 38. On sait que l’effort normal N est nul, on peut donc écrire : = =0On a donc le moment statique nul => l’axe neutre passe par le centre de gravité G de S.Relation entre contrainte et moment de flexion :On coupe la poutre en une section S et on exprime que la partie isolée est en équilibre sousl’action des efforts extérieurs et des forces de cohésion dans la section S.On sait que la force normale élémentaire vaut : dN=Le moment élémentaire s’écrit : dM=y.L’équilibre de la partie isolée s’écrit :Ce qui donne : or on a =>Finalement, on obtient:La contrainte normale est maximale pour la fibre la plus éloignée de c.d.gOn alors : 4. Etude des deformations:Nous avons montré queOr  = L’expression analytique du rayon de courbure d’une courbe d’équation v =f(x) est : Comme v’ et petit, v’² négligeable/1, il vient alors :Résistance des matériaux Page 38
  39. 39. On obtient donc l’équation différentielle de la déformée : = Remarque : On a une équation différentielle donnant l’expression de v’’ , pour retrouver la flèche v, il faut donc intégrer deux fois. On obtient donc des constantes d’intégration. Pour connaitre leurs valeurs, il faut appliquer les conditions aux limites de la poutre étudiée. 5. Dimensionnement :Condition de résistance :On limitera la valeur de la contrainte normale à une valeur notée (résistance pratique àl’extension = contrainte normale admissible en traction) ou à une valeur (pour lacompression) définie par :On obtient ainsi les inéquations suivantes :Dans la zone des fibres tendues :Dans la zone de fibres comprimées : 6. Condition de déformation :On peut limiter la flèche maximale ( à une valeur limite ( imposée par le type deconstruction ou les contraintes technologiques.On obtient ainsi l’inéquation suivante :Résistance des matériaux Page 39
  40. 40. X. Flexion simple 1. Définition :Une poutre est sollicitée à la flexion simple si les éléments de réduction au centre de gravitéde chaque section des forces de cohésion sont un effort tranchant et un moment de flexion. N= 0, et 2. Etude des déformationsLa présence d’un effort tranchant engendre des contraintes de cisaillement. Toutefois,l’expérience montre que celles-ci sont faibles par rapport aux contraintes normales. Ceci nouspermet de négliger les effets de l’effort tranchant dans la déformation. On ne considère doncque le moment fléchissant pour le calcul de la flèche des poutres en flexion simple.L’équation différentielle de la déformée reste donc : = 3. Etude des contraintes :Contraintes normales :On trouve l’expression de la contrainte normale définie pour la flexion pure :Contraintes tangentielle :On considère deux poutres de sections globales identiques, faites d’un même matériau,soumises au même chargement. Une des deux poutres est constituée d’un empilement debarres.  Glissement des éléments constituant la poutre composée  Poutre monobloc moins déformée car pas de glissement=> forces internes longitudinales=> contraintes tangentielles longitudinale.On observe la présence de deux types de contraintes tangentielles :  Une contrainte transversale notée appartenant aux sections droites de la poutre.  Une contrainte longitudinale notée suivant la direction Gx.Résistance des matériaux Page 40
  41. 41.  On peut montrer que la contrainte tangentielle en M d’ordonnée y vaut :Avec : T : l’effort tranchant dans la section (S) considérée. : le moment statique par rapport à l’axe Gz de la section située au dessus de l’ordonnée y. : moment d’inertie de la section (S) b : la largeur de la section (S) à l’ordonnée y.La répartition de la contrainte tangentielle est parabolique. Elle est nulle sur les facesinférieures et supérieures de la poutre ; elle est maximale en G. 4. Condition de résistance :On limitera la valeur de la contrainte normale à la valeur dans la zone en traction et à lavaleur dans la zone en compression.On obtient ainsi les inéquations suivantes :Pour une section :Pour la poutre :Résistance des matériaux Page 41
  42. 42. 5. Condition de déformation :On peut limiter la flèche maximale ( imposée par le type deconstruction ou les contraintes technologiques.On obtient ainsi l’inéquation suivante :XI. Sollicitation composées : (Flexion-Torsion) 1. DéfinitionLes poutres sont parfois chargées de façon complexe et les sollicitations engendrées, appeléessollicitations composées, ne peuvent pas être étudiées et schématisées à laide de sollicitationsélémentaires ci-dessus.Cependant, dans un grand nombre de cas, les études peuvent être ramenées à la superpositionde plusieurs sollicitations simples. On applique alors le Théorème de SUPERPOSITION, àsavoir laddition détudes de systèmes simples. Ceci concerne :– les actions extérieures.– Les contraintes.– Les sollicitations (efforts normaux, tranchants, moments de torsion et fléchissant)– les déformations. 2. Exemple d’applicationOn considère 2 roues dentées de rayon R1 et R2, montées sur un arbre de transmissionreposant sur deux paliers A et B. L’arbre tourne à vitesse constante avec la puissancetransmise à la roue O1 par une autre roue. La roue O2 transmet une partie de cette puissanceà une autre roue.Seul l’effort moteur tangentiel, la force appliqué au point , est connu.Les forces inconnues sont : : Effort résistant tangentiel, appliqué au point : Réaction du palier A, de direction , : Réaction du palier B, de direction ,1° Déterminer l’effort tranchant et le moment de flexion.2° Déterminer la flècheRésistance des matériaux Page 42
  43. 43. Le critère de Rankine :Conditions de résistance selon Rankine, s’écrit : =En écrivant et en fonction de et deEt avec pour une section circulaire, on a :Ce qui s’écrit (critère de Rankine) :Le critère de Tresca :Les limites élastiques des matériaux sont telles que La condition de résistance s’écritAvecEn écrivant et en fonction de et deEt avec pour une section circulaire, on a :Ce qui s’écrit : (critère de Tresca)Le critère de Von mises :Les limites élastiques du matériau sont telles que :La condition de résistance s’écritAvec :En écrivant et en fonction de et deEt avec pour une section circulaire, on a :Résistance des matériaux Page 43
  44. 44. Ce qui s’écrit (critère de Von Mises) :Le critère des règles CM :Les limites élastiques du matériau sont telles que :La condition de résistance s’écrit :XII. FlambementLorsqu’une pièce longue rectiligne subit une charge F croissant lentement, On observe lesfaits suivants. Pour des valeurs petites de F, la pièce subit d’abord une simple compression etreste rectiligne. A une valeur critique Fc de la charge, la pièce fléchit brusquement. Cephénomène est appelé flambement ou flambage. En fait, ce phénomène existe toujours dansles pièces longues même lorsque F est petit. 1. Charge critique :Prenons pour exemple le cas d’une poutre droite articulée à ses deux extrémités A et B etsollicitée en compression. Lorsque F atteint une certaine valeur, la poutre passe d’un état decompression à un état de flexion.Le flambage est un phénomène d’instabilité élastique lié au module de Young et indépendantde la limite élastique.Faisons l’hypothèse qu’il existe une petite flèche y de la poutre, on se trouve en sollicitationcomposée (compression+flexion).On peut écrire en flexion :Mais le moment de flexion dépond de la charge F et de la flèche y, à savoir :Résistance des matériaux Page 44
  45. 45. On aboutit à l’équation différentielle suivante :Mathématiquement on peut donc trouver des solutions de la forme :Avec constante (flèche de la section médiane)Cette existence de solution confirme notre hypothèse de départ, à savoir, qu’il peut y avoirdéformation (flambage) sous certaine charges dites critiques.Celles-ci dépendent de n et y. On obtient en remplaçant : : est la longueur de flambement de la poutre : La poutre reste droite, elle travaille en compression. On est en équilibre stable. C’est l’incertitude, la poutre peut rester droite ou flamber jusqu’à la valeur . On est en équilibre neutre. La poutre a de très grandes chances de flamber. On est en équilibre instable.Nous venons d’étudier le cas d’une poutre articulée à deux extrémités, on pourrait en faire demême avec d’autres types de liaisons aux extrémités (libre, encastrement …)Seule la longueur à prendre en compte demeure alors changée.Contrainte critique :Nous sommes aussi en compression, on peut donc écrire :Résistance des matériaux Page 45
  46. 46. On introduit alors le rayon de giration et l’élancement, à savoir :Rayon de giration : et l’élancement : ouRemarque :L’élancement caractérise la flexibilité d’une poutre et permet une comparaison de celles-ci.Méthode de calcul : (Poutre en Acier)Méthode Euler-Rankine :C’est une méthode de calcul simplifiée valable si l’on n’atteint jamais la première chargecritique. On définit les grandeurs suivantes :Elancement critique :La relation de base est la suivante :Méthode de calcul- Critères de résistance :On travaille ensuite à l’aide du tableau ci-dessous, suivant l’élancement de la poutre. Poutre courte Poutre moyenne Poutres longuesCalcul en compression Calcul de Rankine Calcul d’EulerMéthode de Duteil :Cette méthode prend en compte les contraintes de compression dues au moment fléchissantengendré par la flèche f.Résistance des matériaux Page 46
  47. 47. Résistance des matériaux Page 47
  48. 48. XIII. Travaux pratiques : TP1 : Etude des treillis plans TP2 : Moment de flexion et effort tranchant (Poutre sur deux supports : courbe des efforts tranchants et courbes des moments de flexion) TP3 : Mesures des jauges de déformations et calcul des contraintes (Flexion, Traction, Torsion : système didactique pour jauge de contrainte) TP4 : Influence des caract.phy.et géom.en Flexion (Déformation de barres soumises à une flexion) TP5 : Courbes de flexion et déflexion en un point de la déformée d’une poutre (Déformation des poutres droites) TP6 : Etudes de concentration des contraintes TP7 : Démonstration et étude du flambement d’Euler TP8 : Essais photoélastiques par transmission Résistance des matériaux Page 48
  49. 49. XIV. Bibliographie : Résistance des matériaux, Ivan CorminBoeuf ing.ETS/EPF Cours de Dimensionnement des Structures Résistance des Matériaux Pierre-Alain Boucard Comportement Mécanique des Matériaux Roland FORTUNIER Ecole Nationale Supérieure des Mines 158 cours Fauriel 42023 Saint-Etienne cedex 2 Cour de Mr Abderrahman.Talha (dept.ccm) Cours RESISTANCE DES MATERIAUX par Saïd KOUTANI 1998Résistance des matériaux Page 49

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