1. Sciences industrielles de l’ingénieur 06/10/2020 Page 1 sur 6
Sciences de l’ingénieur
DÉTERMINER LA LOI DE COMMANDE EN
MOUVEMENT DE L’EFFECTEUR DE CHAQUE
CHAÎNE D’ÉNERGIE-PUISSANCE D’UN
MÉCANISME EN CHAÎNE OUVERTE
CIN04
TD
Corrigé
1. Maquette en soufflerie
1. Sur le schéma cinématique, repasser chaque solide d’une couleur différente.
2. Réaliser le graphe des liaisons. S’il est défini, préciser le paramètre de mouvement associé à chaque liaison.
3. Justifier l’utilisation des « doubles indices » dans les notations 01 01 01
,
i j et k .
Le mouvement de 1/0 est une translation à trajectoire rectiligne (liaison glissière). Les bases 0 0 0
( , , )
i j k et 1 1 1
( , , )
i j k sont donc
égales, ce qui justifie la notation utilisée.
4. Réaliser la ou les figure(s) de changement de base, et en déduire les vecteurs vitesse angulaire associés.
2/1 0
3/2 0
i
i
 = 
 = 
5. Déterminer les expressions des torseurs cinématiques suivants :  
1/0
V ,  
2/1
V et  
2/0
V .
1/0 est en liaison glissière de direction 01
k donc  

 
 
=  

 
 
1/0
01
0
P
V
k
2/1 est en liaison pivot d’axe 01
( , )
A i donc  
01
01
2/1
( , )
0
P A i
i
V
 
 

 
=  
 
 
2/0 n’est pas un mouvement élémentaire donc       01
2/0 2/1 1/0
01
0
0
A
A
i
V V V
k
   

   
= + = + 
   
  
   
 
  01
2/0
01
A
i
V
k
 

 
=  

 
 
6. Déterminer l’expression littérale de 3/0
F
V  . Vérifier l’homogénéité du résultat.
Le mouvement de 3/0 n’est pas un mouvement élémentaire, donc on compose : 3/0 3/2 2/1 1/0
F F F F
V V V V
   
= + +
Avec :
3/2 3/2
F E
V V
 
= 3/2 3 3 0 3 3
2/1 2/1
F A
FE k i j
V V
 
+   = −  = − 
= ( )
2/1 2 2 3 3 0 2 2 3 3
1/0 01
F
FA k k i j j
V k




+   = − −   = −  − 


= 


Donc 3/0 01 2 2 3 3
( )
F
V k j j
 =  −  − + 
On laisse le résultat exprimé dans des bases différentes.
En revanche, on prend l’habitude de l’exprimer dans l’ordre croissant des bases (base 1, puis 2, …), et au sein d’une même
base, dans l’ordre direct des vecteurs unitaires ( , puis
x y z ).
On vérifie que les composantes sont bien homogènes à une vitesse linéaire (m.s-1
) (le radian est une unité sans dimension).

2. CIN04 TD Corrigé - Déterminer la loi de commande en mouvement de l’effecteur de chaque chaîne d’énergie-puissance d’un mécanisme en
chaîne ouverte
Sciences industrielles de l’ingénieur 06/10/2020 Page 2 sur 6
7. Dans la position donnée sur le schéma cinématique et en supposant
-1
0,03rad s
 = −  ,
-1
0,02rad s
 = +  et
-1
14mm s
 =  , tracer sur celui-ci 1/0
F
V  , 2/1
F
V  , 3/2
F
V  . NB : pour tracer 2/1
F
V  , il faut penser à tracer ses 2
composantes : l’une suivant 2
j et l’autre suivant 3
j . En déduire le tracé de 3/0
F
V  . On prendra comme échelle,
-1
1cm 10mm s
  .
Les vecteurs vitesses de points dans un mouvement de rotation, se tracent perpendiculairement au rayon.
Pour obtenir, leur sens, on regarde le signe des vitesses angulaires.
Ensuite, on détermine leur norme.
NB : au lieu de déterminer la norme de 3/2
F
V  , il est possible de tracer les vecteurs intermédiaires portés par 2
j et 3
j .
On obtient donc :
-1
3/2 3
3/2 3 3
-1
2/1 2 2 3 3 2/1 2 3
-1
1/0 01 1/0 01
15 (mm s )
41 22 (mm s )
14 (mm s )
F
F
F F
F F
V j
V j
V j j V j j
V k V k


 
 
 = − 
 = − 


 
= −  −   = + 
 
 
=  = 
 
 
(ce vecteur est perpendiculaire à (AF))
On commence par tracer -1
2/1 2 3
41 22 (mm s )
F
V j j
 = + 
Remarque : dans la position donnée 0
  et 0
  .
Puis on trace 3/2
F
V  et 2/1
F
V  :

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chaîne ouverte
Sciences industrielles de l’ingénieur 06/10/2020 Page 3 sur 6
On en déduit le tracé de 3/0
F
V  :
8. Donner l’expression du torseur cinématique  
3/0
V .
( )
3/0 3/2 2/1 1/0 0
i
 =  + + = +
On a :    
( ) 0
3/0
3/0 3/0
3/0 01 2 2 3 3
( )
F
F F
i
V V
V k j j

 
 + 
 

   
=  =
   
   −  −  + 
 
   
9. Quel est le mouvement imposé au missile 3 par rapport à 0. En déduire la forme à imposer au torseur
cinématique  
3/0 imposé
V pour assurer ce mouvement.
Le mouvement de 3/0 imposé est une translation à trajectoire rectiligne de direction 01
j :  
3/0
larg 01
0
imposé
P
V
V j

 
 
=  
 
 
10. Traduire la condition    
3/0 3/0 imposé
V V
= en deux relations vectorielles.
   
( ) ( ) 0
0
3/0 3/0
larg 01 01 2 2 3 3 larg 01
01 2 2 3 3
1
0 ( 1)
0
( ) ( 2)
( )
imposé
F
F
égalitétorsorielle sys
i éq
i
V V
V j k j j V j éq
k j j

  +  =
+   
    
=  = 
    
 −  − +  =
 
 −  − + 
  
 
  
2
tème de égalitésvectorielles
11. En déduire 3 relations scalaires imposées entre les paramètres de mouvement et/ou leurs dérivées.
En projetant dans la base 1 (NB : certaines équations donnent 0 0
= …) :
1
1
1
1
1
1
0
( 1)
0 0
( 1)
( 1)
( 2)
( 2)
( 2)
éq i
éq j
éq k
éq i
éq j
éq k
  +  =


=












 

0 0
=
0 0
=
2 larg
2
2 larg
2
0
cos
sin 0
cos
sin 0
V
V



 +  =



 −   =
 
 
 −   =

−   =

 −   =

12. Intégrer ces relations par rapport au temps, puis déterminer les expressions des lois de commande en position :
( )
t
 , ( )
t
 et ( )
t
 .
Ces équations peuvent s’intégrer :
larg larg
2 2
larg larg
2 2
2
2
larg
2
2
arcsin si 1
sin arcsin
cos
1
V t V t
B B
A
V t V t
B B A
C
V t
B C

   
 = + + 
   
 − −
 +  =
    

   
 
 = +   = − + +
 
 
− −
 
 
 
 = −  +
   
 = − − + +
  
−
 


avec A, B et C des
constantes qui
dépendent de la
position à l’instant
t=0.

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chaîne ouverte
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2. Robot soudeur 4 axes
1. Sur le schéma cinématique, repasser chaque solide d’une couleur différente.
2. Réaliser le graphe des liaisons. S’il est défini, préciser le paramètre de mouvement associé à chaque liaison.
3. Réaliser la ou les figure(s) de changement de base, et en déduire les vecteurs vitesse angulaire associés.
1/0 1 0
z
 =  2/1 2 1 3/2 3 1
&
x x
 =   = 
4. Préciser une relation mathématique qui traduit l’exigence Ex1 du cahier des charges. En déduire une relation à
imposer aux paramètres de mouvement.
0 4
1
Ex O O R
 
0 4 0 4
2
1 0 2 2 3 3 3
2 2 2 2
1 2 3 1 2 2 1 3 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3
( )
2 sin 2 sin( ) 2 cos( ) 2 cos 2 sin
O O O O R
L z L y L y z R
L L L L L L L L L L L R
 
+ + +  
+ + +  +  +  +  +   +  +  −   
Rappel : 2 2 2 2 2
( ) 2 2 2 2 2 2
a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd
+ + + = + + + + + + + + +
5. Préciser trois relations mathématiques qui traduisent l’exigence Ex2 du cahier des charges. En déduire trois relations
à imposer aux paramètres de mouvement (ne pas résoudre le système à 3 équations).
0 4 0 1 0 2 2 3 3 3 0
0 4 0 0 4 0 1 0 2 2 3 3 3 0
1 0 2 2 3 3 3 0
0 4 0
2 2 3 3
0 ( ) 0
2 (avec variable) ( )
( ) 0
0
(
O O x L z L y L y z x
Ex O O y y O O y y y L z L y L y z y y
L z L y L y z z
O O z
L y L y
  = + + +   =


 
 =   =  + + +   =
 
  + + +   =
 = 


+ +

3 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 3 3 3 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1
1 2 2 3 2 3 2 3
) (cos sin ) 0 sin cos sin cos( ) sin sin( ) 0
( ) (cos sin ) cos cos cos cos( ) cos sin
sin sin( ) cos( ) 0
z x y L L
L y L y z y x y L L
L L L
   −  = −   −   +  +    +  =


+ +    +  =    +   +  −  

 +  +  +  +   +  =

2 3
1 2 2 3 2 3 2 3
( )
sin sin( ) cos( ) 0
y
L L L


 +  =

 +  +  +  +   +  =


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chaîne ouverte
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À titre indicatif, un début de la suite de la résolution :
 
 
 
( )
1 2 2 3 2 3 2 3
1 2 2 3 2 3 2 3
1 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 3 2
1 2 2 3 2 3 2 3
sin 0 car si cos cos( ) sin( ) 0 alors 0
sin cos cos( ) sin( ) 0
cos cos cos( ) sin( ) cos cos cos(
sin sin( ) cos( ) 0
L L y
L L
L L y L L
L L L
 = −  −  +  +   +  = =
  −  −  +  +   +  =

   +  +  −  +  =    +  +

 +  +  +  +   +  =

 
 
3 2 3
1 2 2 3 2 3 2 3
1
2 2 3 2 3 2 3
1 2 2 3 2 3 2 3
) sin( )
sin sin( ) cos( ) 0
0 180
cos cos( ) sin( )
sin sin( ) cos( ) 0
y
L L L
ou
L L y
L L L



 −  +  =

 +  +  +  +   +  =


 =  


   +  +  −  +  =

 +  +  +  +   +  =

6. Déterminer les expressions des torseurs cinématiques suivants :  
1/0
V ,  
2/1
V et  
2/0
V .
1/0 est en liaison pivot d’axe 1 0
( , )
O z donc  
1 0
1 0
1/0
( , )
0
P O z
z
V
 
 

 
=  
 
 
2/1 est en liaison pivot d’axe 1 1
( , )
O x donc  
1 1
2 1
2/1
( , )
0
P O x
x
V
 
 

 
=  
 
 
2/0 n’est pas un mouvement élémentaire donc      
1 1
1 0 2 1
2/0 2/1 1/0
0 0
O O
z x
V V V
   
 
   
= + = + 
   
   
   
 
1
1 0 2 1
2/0
0
O
z x
V
 
 + 
 
=  
 
 
7. Déterminer l’expression littérale de 4 4/0
O
V  . Vérifier l’homogénéité du résultat. En déduire l’expression du torseur
 
4/0
V .
Le mouvement de 4/0 n’est pas un mouvement élémentaire, donc on compose :
4 4 4 4 4
4/0 4/3 3/2 2/1 1/0
O O O O O
V V V V V
    
= + + +
Avec :
4
4 2
4/3 3
3/2 3/2
O
O O
V z
V V

 
= 
=
4 1
4 2 3/2 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3
2/1 2/1
( )
O O
O O z L y x y L z
V V
 
+   = − −   = − + 
=
4 1
4 1 2/1 3 3 3 2 2 2 1 2 3 3 2 3 2 2 2
1/0 1/0
( )
O O
O O z L y L y x y L z L z
V V
 
+   = − − −   = − +  + 
= 4 1 1/0 3 3 3 2 2 1 0 1 3 2 3 3 1 3 2 3 2 1 2 3
( ) sin( ) cos( ) cos
O O z L y L y z x L x L x







 +   = − − −   =   +  −   +  −  

Donc  
  
=  +   +  −  +  −   −   +  +  +  + 
 
4 4/0 2 2 2 3 2 3 3 2 2 2 1 3 3 2 3 3 3 2 3
sin( ) cos( ) cos ( ) ( )
O
V L z L L x y L z
On laisse le résultat exprimé dans des bases différentes.
En revanche, on prend l’habitude de l’exprimer dans l’ordre croissant des bases (base 1, puis 2, …), et au sein d’une même
base, dans l’ordre direct des vecteurs unitaires ( , puis
x y z ).
On vérifie que les composantes sont bien homogènes à une vitesse linéaire (m.s-1
) (le radian est une unité sans dimension).
4/0 4/3 3/2 2/1 1/0 3 2 1 1 0
( ) x z
 =  +  +  +  =  +  + 
 
 
 

 

 
=  
 
 
 
 +  + 
 
=  
 
 +   +  −  +  −   −   +  +  +  + 
 
 
 
4
4
4
4/0
4/0
4/0
3 2 1 1 0
4/0
2 2 2 3 2 3 3 2 2 2 1 3 3 2 3 3 3 2 3
( )
sin( ) cos( ) cos ( ) ( )
O
O
O
V
V
x z
V
L z L L x y L z

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chaîne ouverte
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8. Définir la forme du torseur cinématique  
4/0 imposé
V qui traduit l’exigences Ex3.
Le mouvement souhaité est un mouvement de translation à trajectoire rectiligne de direction 0
y , on impose donc :
 
4/0
0
0
imposé
P
V
V y

 
 
=  
 
 
9. On se place dans le cas où le moteur M1 est arrêté dans la position 1 0
 =  , traduire alors la condition
   
4/0 4/0 imposé
V V
= en deux relations vectorielles.
En tenant compte du fait que 1 0 cte
 =  = alors 1 0°/s cte
 = = , le torseur  
4/0
V s’écrit :
 

 
 + 
 

   
= =
   
 
 −   +  +  +  + 
   
   
 
4
4 4
2 3 1
4/0
4/0
4/0 2 2 2 3 2 3 3 3 2 3
( )
( ) ( )
O
O O
x
V
V L z y L z
   
 
 +   
   
=
   
 
 −   +  +  +  + 
=   
 
 
 
  4
4
2 3 1
0
2 2 2 3 2 3 3 3 2 3
4/0 4/0
1
( ) 0
( ) ( ) O
imposé O
égalitétorsorielle
x
V y
L z y L z
V V
2 3 1
2 2 2 3 2 3 3 3 2 3 0
1 2
( ) 0 ( 1)
( ) ( ) ( 2)
système de égalitésvectorielles
x éq
L z y L z V y éq
  +  =


  
 −   +  +  +  +  =
  

10. En déduire 3 relations scalaires imposées entre les paramètres de mouvement et/ou leurs dérivées (ne pas résoudre
le système à 3 équations).
En projetant dans la base 1 (NB : certaines équations donnent 0 0
= …) :
1
1
( 1)
( 1)
éq x
éq y


1
( 1)
éq z

1
( 2)
éq x

2 3
2 2 2 2 3 1 0 1
2 2 2 2 3
1
1
0
sin sin( ) (lorsque 0 , ona )
cos cos( ) 0
( 2)
( 2)
L V y y
L
éq y
éq z



  +  =
 

 −   −   +  =  =  =
 
 
−   −   +  =


 



