KEY

1. บทที่ 1
ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต
(20 ชั่วโมง)
ลําดับอนันตและอนุกรมอนันตที่จะกลาวถึงในบทนี้ เปนเรื่องเกี่ยวกับลิมิตของลําดับ
ทฤษฎีบทตาง ๆ เกี่ยวกับลิมตของลําดับ การหาผลบวกของอนุกรมอนันต และการใชสญลักษณ
ิ ั
แทนการบวก ตลอดจนโจทยที่แสดงใหเห็นการนําความรูที่กลาวมาไปใชในการแกปญหาตาง ๆ

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. หาลิมิตของลําดับอนันตโดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได
2. หาผลบวกของอนุกรมอนันตได
3. นําความรูเรื่องลําดับและอนุกรมไปใชแกปญหาได
ผลการเรียนรูที่คาดหวังดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรู
ชวงชั้นที่ 4 ทางดานความรู ในการจัดการเรียนรูผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดาน
ทักษะ/ กระบวนการทางคณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมให
ผูเรียนเกิดทักษะ / กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนอันไดแกความสามารถในการแกปญหา
การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยง
ความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอื่น และการคิดริเริ่มสรางสรรค
นอกจากนั้น กิจกรรมการเรียนรูควรสงเสริมใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชา
คณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความ
รับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมันในตนเอง
่
สาระการเรียนรูคณิตศาสตรเพิ่มเติมเปนสาระการเรียนรูสาหรับการศึกษาตอและอาชีพ
ํ
ดังนั้นในการจัดการเรียนรูในสาระนี้ ผูสอนควรสงเสริมใหผูเรียนไดฝกทักษะการคิดวิเคราะห

โดยคํานึงถึงความสมเหตุสมผลของขอมูล ดังนั้น ในการสอนแตละสาระผูสอนจําเปนตองศึกษา
สาระนั้น ๆ ใหเขาใจถองแทเสียกอนแลวเลือกวิธีสอนใหเหมาะสม เพื่อทําใหการจัดการเรียนรู
ไดผลดี

2. 2
ขอเสนอแนะ
1. รูปแบบการกําหนดลําดับทําไดหลายแบบ ผูสอนควรย้าและยกตัวอยางใหผูเรียนเห็นวา
ํ
การกําหนดลําดับโดยการแจงพจนแลวหาพจนทวไปของลําดับนั้น อาจหาพจนทั่วไปไดตางกัน
ั่
(ดูหนังสือเรียนหนา 3 – 4 และคูมือครูสาระการเรียนรูพื้นฐาน ชันมัธยมศึกษาปที่ 5 เรื่องลําดับ
 ้
และอนุกรม หนา 2)
2. ผูสอนควรทบทวนเรื่องลําดับจํากัด ลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต และอนุกรม
จํากัดกอนที่จะขยายความตอและกลาวถึงลําดับอนันตและอนุกรมอนันต ผูสอนควรบอกผูเรียน
ดวยวา ยังมีลําดับอื่น ๆ อีกมากมายที่ไมใชลําดับเลขคณิตหรือลําดับเรขาคณิต ผูสอนอาจใช
ประโยชนจากเว็บไซต The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ซึ่งเก็บรวบรวมลําดับ
ตาง ๆ ไวใหคนหาไดมากมาย ที่ http://www.research.att.com/~njas/sequences/ หรือผูสอนอาจ
ใหผูเรียนชวยกันสรางลําดับใหมเอง
3. ในเรื่องความสัมพันธเวียนเกิด ผูสอนอาจเพิ่มเติมแบบฝกหัดสําหรับผูเรียนที่สนใจ
คณิตศาสตรเปนพิเศษ ผูสอนอาจใหผูเรียนกําหนดลําดับที่กําหนดใหตอไปนี้โดยใชความสัมพันธ
เวียนเกิด
(1) 1, 2, 4, 8, 16, ..., 2n–1 , ...
เพราะวา a1 = 1
a2 = 2 = 2(1) = 2a1
a3 = 4 = 2(2) = 2a2
a4 = 8 = 2(4) = 2a3
an = 2n–1 = 2an–1
ดังนั้น กําหนดลําดับนี้โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปนลําดับ an = 2an–1
เมื่อ n ≥ 2, a1 = 1
(2) 1, –1, 1, –1, ..., (–1)n+1, ...
เพราะวา a1 = 1
a2 = –1 = (–1)(1) = (–1)a1
a3 = 1 = (–1)(–1) = (–1)a2
a4 = –1 = (–1)(1) = (–1)a3
an = (–1)an–1
ดังนั้น กําหนดลําดับนี้โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปนลําดับ an = (–1)an–1
เมื่อ n ≥ 2, a1 = 1

3. 3
(3) กําหนดลําดับ 5, 9, 13, 17, ..., 4n + 1, ... โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปน
ลําดับ an = an–1 + 4 เมื่อ n ≥ 2 , a1 = 5
(4) กําหนดลําดับ 1, 3, 9, 27, ..., 3n–1, ... โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปนลําดับ
an = 3an–1 เมื่อ n ≥ 2 , a1 = 1
(5) กําหนดลําดับ 1, 1, 1, 1, ..., 1, ... โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปนลําดับ
an = an–1 เมื่อ n ≥ 2, a1 = 1
n(n + 1)
(6) กําหนดลําดับ 1, 3, 6, 10, 15, ..., , ... โดยใชความสัมพันธเวียนเกิด
2
ไดเปนลําดับ an = an–1+ n เมื่อ n ≥ 2, a1 = 1
(7) กําหนดลําดับ 5, 10, 30, 120, ..., 5n!, ... โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปน
ลําดับ an = nan–1 เมื่อ n ≥ 2, a1 = 5
4. การทบทวนสูตรพจนที่ n ของลําดับเลขคณิต (หนา 7) และสูตรพจนที่ n ของลําดับ
เรขาคณิต (หนา 9) โดยการเขียนยอนกลับ ผูสอนอาจจะแสดงตัวอยางที่เปนตัวเลขใหผูเรียนพิจารณา
ประกอบไปดวยสัก 2 – 3 ตัวอยางกอนที่จะสรุปเปนกรณีทั่วไป และถาผูสอนพิจารณาแลววา
แนวทางของเรื่องเดียวกันทีนําเสนอไวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐาน ชันมัธยมศึกษา
่  ้
ปที่ 5 เขาใจงายกวา ก็อาจขามสวนนี้ไปก็ได อยางไรก็ตาม ผูสอนควรชี้ใหผูเรียนเห็นแนวทาง
ที่แตกตางของทั้งสองวิธี
5. จากการพิจารณาลิมิตของลําดับ ทําใหแบงลําดับออกเปน 2 ประเภท คือ ลําดับ
ที่มีลิมิต เรียกวา ลําดับลูเขา และลําดับที่ไมมีลิมิต เรียกวา ลําดับลูออก สําหรับลําดับลูออก
ถาพิจารณาลําดับจากกราฟจะแบงออกเปน 3 ประเภทคือ
(1) ลําดับลูออกซึ่งพจนที่ n มีคามากขึ้นเรื่อย ๆ เมือ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สนสุด
่  ิ้
เชน 1, 2, 4, ..., 2 n–1 , ...
(2) ลําดับลูออกซึ่งพจนที่ n มีคาลดลงเรื่อย ๆ เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด
เชน –1, –3, –5, ..., –(2n – 1), ...
(3) ลําดับลูออกซึ่งมีลักษณะแตกตางจากลําดับในขอ (1) และขอ (2) ซึงเรียกวา
่
ลําดับแกวงกวัด เชน an = (–1)n , bn = (–1)n n
6. การเชื่อมโยงมโนทัศนเรื่องลิมิตของลําดับกับรูปภาพ ผูสอนอาจเริ่มจากการคํานวณ

แลวเขียนกราฟ และพิจารณาแนวโนมวา เมื่อ n มีคามากขึ้นเรื่อย ๆ กราฟของลําดับ an จะเปน
อยางไร ผูสอนอาจแนะนําการเขียนกราฟโดยใชเครื่องมือตาง ๆ เชน กระดาษกราฟ เครื่องคํานวณ
โปรแกรม Geometer’s Sketchpad หรือโปรแกรมประเภทตารางทํางาน เชน Microsoft Excel
7. หนังสือเรียนไมไดแสดงวิธีการพิสูจนทฤษฎีบทตาง ๆ เกี่ยวกับลิมิตไว ผูสอนควรให
ผูเรียนพิจารณาคา an โดยตรง หรือทดลองเขียนกราฟของลําดับ an แลวพิจารณาแนวโนมของกราฟ

4. 4
1 1
เชน ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = และ an = 1
เพื่อนําไปสูการยอมรับทฤษฎีบทที่วา
n3
n 3
1
lim
n →∞ n r
= 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริงบวกใด ๆ ผูเรียนควรอธิบายไดวา เมื่อ n มีคามากขึ้นอยาง
1
1 1
ไมมีที่สิ้นสุด n3 และ n3 จะมีคามากขึ้นอยางไมมีที่สิ้นสุดดวย ซึ่งจะทําให และ 1
มีคา
n3
n 3
นอยลงและเขาใกล 0
1
ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = n4 และ an = n เพื่อนําไปสูการยอมรับทฤษฎีบท
4
ที่วา nlim n r หาคาไมได เมื่อ r เปนจํานวนจริงบวกใด ๆ ผูเรียนควรอธิบายไดวา เมื่อ n มี
→∞

1
คามากขึ้นอยางไมมีที่สิ้นสุด n4 และ n4 จะมีคามากขึ้นอยางไมมีที่สิ้นสุดดวย
n n
⎛1⎞ ⎛ 1⎞
ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = ⎜ ⎟ และ an = ⎜− ⎟ เพื่อนําไปสูการยอมรับ
⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠
ทฤษฎีบทที่วา lim r n
n →∞
= 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริง และ r <1
ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = 3n และ an = (–4)n เพื่อนําไปสูการยอมรับทฤษฎี
บทที่วา nlim r หาคาไมได เมื่อ r เปนจํานวนจริง และ r > 1
→∞
n
8. ขอความวา “ nlim a n หาคาไมได” มีความหมายเชนเดียวกับขอความ “ลําดับ an
→∞
ไมมลิมต” หรือ “พจนที่ n ของลําดับ an ไมเขาใกลหรือเทากับจํานวนจริง L ใด ๆ เลย” ในบทนี้
ี ิ
ไมมการใชขอความวา “ nlim a n = ∞ ” หรือ “ nlim a n = – ∞ ”
ี →∞ →∞
9. ในหนังสือเรียนหนา 22 ผูสอนควรย้ํากับผูเรียนวา จะใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได
a lim a n
เมื่อเงื่อนไขเบืองตนเปนจริงกอนเทานัน เชน จะสรุปวา
้ ้ lim n = n →∞ ไดเมื่อ lim a
n →∞ b n lim b n →∞ n
n →∞ n
และ lim b
n →∞ n
หาคาได และ lim b ≠ 0
n →∞ n
ในกรณีที่ไมสามารถใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลําดับ an โดยตรงได อาจตองจัดรูปของ an
กอนการใชทฤษฎีบทเกียวกับลิมิต ดังปรากฏในหลาย ๆ ตัวอยางในหนังสือเรียน อยางไรก็ตาม
่
ลําดับบางลําดับก็ยังคงใชทฤษฎีบทเกียวกับลิมิตไมไดถึงแมจะพยายามจัดรูปใหแตกตางจากเดิม
่
แลว เชน
2
2n − 3n
พิจารณาลําดับ an =
4n − 5
เนื่องจาก 2
lim (2n − 3n)
n →∞
และ lim (4n − 5)
n →∞
หาคาไมไดทั้งคู ฉะนั้น หากตองการ
2 2
2n − 3n lim (2n − 3n)
หา nlim a n = nlim
→∞ →∞
จึงใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตที่วา lim a =
n →∞ n
n →∞ ไมได
4n − 5 lim (4n − 5)
n →∞
การจัดรูป an กอนการพิจารณาลิมิตอาจทําไดหลาย ๆ แบบ บางคนอาจทําดังนี้

5. 5
2⎛
3⎞ 3
2
2n − 3n
⎜2 − ⎟
n 2−
= ⎝ n⎠ = n
4n − 5 2⎛4 5 ⎞ 4
−
5
n ⎜ − ⎟
⎝ n n2 ⎠ n n2
กรณีนก็ยงคงใชทฤษฎีบทเกียวกับลิมิตไมได เพราะเปนกรณียกเวน เนื่องจาก
้ี ั ่
⎛4 5 ⎞
−
n →∞ ⎜ n n 2
lim ⎟ =0
⎝ ⎠
2
2n − 3n n ( 2n − 3) 2n − 3
บางคนอาจทําดังนี้ = =
4n − 5 ⎛ 5⎞
4−
5
n⎜4 − ⎟
⎝ n⎠ n
การจัดรูป an เชนนี้กยังคงใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตไมไดเชนเดียวกัน เพราะ
็
lim (2n − 3) หาคาไมได
n →∞
จะเห็นไดวาการจัดรูป an ทั้งสองแบบไมสามารถชวยสรุปไดวา a n เปนลําดับลูเขาหรือลู
ออกโดยใชทฤษฎีบทเกียวกับลิมตได จึงตองใชวิธีอื่นพิจารณา เชน การพิจารณาคาของ an
่ ิ
โดยตรง หรือจากกราฟของลําดับ an เปนตน
10. จากบทนิยามของอนุกรมจะเห็นวา อนุกรมไดจากการบวกพจนทุกพจนของลําดับ
และในการศึกษาเรื่องลิมิตของอนุกรมไดแบงอนุกรมออกเปน 2 ประเภท เชนเดียวกับลําดับ คือ
อนุกรมลูเขาและอนุกรมลูออก จากตัวอยางของอนุกรมลูเขาจะเห็นวา อนุกรมลูเขามักจะไดจาก
ลําดับลูเขา บางคนอาจจะเขาใจอยางไมถูกตองวา ลําดับลูเขาทุกลําดับเมื่อนํามาเขียนเปนอนุกรม
จะไดอนุกรมลูเขาเสมอ ซึ่งเปนขอที่ควรระวังอยางยิ่งดังตัวอยางตอไปนี้
(1) 1, 1, 1, ..., 1, ... เปนลําดับลูเขาที่มีลิมิตเปน 1
1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... เปนอนุกรมลูออก
1
(2) 1, 1 , 1 , ..., , ... เปนลําดับลูเขาที่มีลิมิตเปน 0
2 4 2n −1
1 1 1
1 + + + ... +
n −1
+ ... เปนอนุกรมลูเขา และผลบวกของ
2 4 2
อนุกรมนี้มีคาเปน 2

1 1 1
(3)
1, , ,..., ,... เปนลําดับลูเขาที่มีลิมิตเปน 0
2 3 n
1 1 1
1 + + + ... + + ... เปนอนุกรมลูออก

2 3 n
การแสดงวาอนุกรม 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... เปนอนุกรมลูออกนัน จะตองพิสูจนไดวา
้
2 3 n
ลําดับผลบวกยอยไมมีลิมิต แตวิธีการพิสูจนคอนขางยุงยากในทีนี้จะแสดงคาของพจนแรก ๆ บาง
่
พจนของลําดับผลบวกยอยเพื่อใหเห็นวา เมื่อมีจํานวนพจนมากเขาผลบวกยอยจะมากขึ้นไดเรื่อย ๆ
ดังนี้

6. 6
S1 = 1
1
S2 = 1+
2
1 1
S3 = 1+ +
2 3
1 1 1
S4 = 1+ + +
2 3 4
1 1 1 1 1 1
แต 1+ + + > 1+ + +
2 3 4 2 4 4
> 2
ดังนั้น S4 > 2
1 1 1 1 1 1 1
S8 = 1+ + + + + + +
2 3 4 5 6 7 8
1 ⎛1 1⎞ ⎛1 1 1 1⎞
แต 1+ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + + + ⎟
2 ⎝3 4⎠ ⎝5 6 7 8⎠
> 1+ 1 + ⎛ 1 + 1 ⎞ + ⎛ 1 + 1 + 1 + 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 ⎝ 4 4⎠ ⎝8 8 8 8⎠
> 21
2
ดังนั้น S8 > 2 1
2
1 ⎛1 1⎞ ⎛1 1 1 1⎞
S16 = 1+ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + + + ⎟
2 ⎝3 4⎠ ⎝5 6 7 8⎠
⎛1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 1 ⎞
+⎜ + + + ⎟ + ⎜ + + + ⎟
⎝ 9 10 11 12 ⎠ ⎝ 13 14 15 16 ⎠
1 ⎛1 1⎞ ⎛1 1 1 1⎞
S16 > 1+ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + + + ⎟
2 ⎝ 4 4⎠ ⎝8 8 8 8⎠
⎛1 1 1 1 1 1 1 1⎞
+⎜ + + + + + + + ⎟
⎝ 16 16 16 16 16 16 16 16 ⎠
S16 > 3
จะพบวา S4 (ผลบวก 4 พจนแรก) มากกวา 2
1
S8 (ผลบวก 8 พจนแรก) มากกวา 2
2
S16 (ผลบวก 16 พจนแรก) มากกวา 3
1
S32 (ผลบวก 32 พจนแรก) มากกวา 3
2
S64 (ผลบวก 64 พจนแรก) มากกวา 4
และผลบวกยอยจะมีคามากขึ้นเรื่อย ๆ ไปไมมีที่สิ้นสุด
11. จากการศึกษาเรื่องอนุกรมเลขคณิต จะเห็นวาอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิต
สวนมากเปนอนุกรมลูออก จะทําใหบางคนคิดวาอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิตทุกอนุกรม

7. 7
เปนอนุกรมลูออก แตความจริงแลวมีอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิตและเปนอนุกรมลูเขา คือ

อนุกรม 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... ซึ่งเปนอนุกรมเลขคณิตที่มี a1 = 0 และ d = 0 และมีผลบวก
เปน 0
12. ผูสอนควรย้ํากับผูเรียนวาการพิจารณาอนุกรมวาเปนอนุกรมลูเขาหรือลูออกตอง
พิจารณาจากลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมเปนหลัก เชน
พิจารณาอนุกรม 1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1 + ... จะเห็นวาลําดับของผลบวกยอย
ของอนุกรมนีคือ 1, 0, 1, 0, 1, ... ซึ่งเปนลําดับลูออก
้
ดังนั้น อนุกรม 1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1 + ... จึงเปนอนุกรมลูออก
ผูสอนควรเสนอแนะเพิ่มเติมวา อาจมีบางคนเขียนจัดรูปอนุกรมขางตนใหมดังนี้
1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1 + ... = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ...
ซึ่งจะไดอนุกรม 0 + 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... เปนอนุกรมลูเขา ที่มีผลบวกเปน 0
หรือบางคนอาจเขียนจัดรูปอนุกรมขางตนใหมดังนี้
1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1 + ... = 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) + ...
ซึ่งจะไดอนุกรม 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + ... เปนอนุกรมลูเขา ที่มีผลบวกเปน 1
ผูสอนควรชี้แนะใหผเู รียนเขาใจใหไดวาการเขียนจัดรูปอนุกรมขางตนทั้งสองแบบ
แลวสรุปวา อนุกรม 1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1 + ... เปนอนุกรมลูเขานั้นไมถูกตอง
13. ในบทเรียนนี้มุงใหพิจารณาอนุกรมอนันตเฉพาะอนุกรมเรขาคณิตหรืออนุกรมที่
อาจจะหาพจนที่ n ของลําดับผลบวกยอยไดไมยากนัก กลาวคือ ถาเปนอนุกรมเรขาคณิตก็
a1
พิจารณาอัตราสวนรวม r และถา r <1 ก็สามารถหาผลบวกจากสูตร S = สวนอนุกรม
1− r
ที่ไมใชอนุกรมเรขาคณิตนัน ใหหาผลบวกโดยการหาลําดับของผลบวกยอยกอน นั่นคือ จะตอง
้
หาพจนที่ n ของลําดับผลบวกยอยนั้น แลวจึงหาลิมิตของลําดับผลบวกยอย
14. ในบทเรียนนี้ไดนําเสนออนุกรมประเภทหนึ่งซึ่งมีความสําคัญและนาสนใจเรียกวา
อนุกรมเทเลสโคป (telescoping series)
อนุกรมเทเลสโคป คือ อนุกรม a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ที่สามารถเขียนอยูในรูป
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = (b1 – b2) + (b2 – b3) + (b3 – b4) + ... + (bn – bn+1) + ...
เมื่อ a1 = b1 – b2
a2 = b2 – b3
a3 = b3 – b4
an = bn – bn+1
ดังนั้น a1 + a2 + a3 ... + an = b1 – bn+1

8. 8
ผูสอนควรเนนลักษณะพิเศษของอนุกรมประเภทนี้ใหผเู รียนทราบ ตัวอยางของอนุกรม
เทเลสโคปในหนังสือเรียน ดังเชน
1 1 1 1 ⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞
+ + + ... + = ⎜ 1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ − ⎟
1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 n(n + 1) ⎝ 2⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝3 4⎠ ⎝ n n +1⎠
1
= 1−
n +1
3 5 7 2n + 1 ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
+ + + ... + 2 = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ 2 −
⎜n
⎟
1 ⋅ 4 4 ⋅ 9 9 ⋅ 16 n ( n + 1) ( n + 1) ⎟
2 2
⎝1 4 ⎠ ⎝ 4 9 ⎠ ⎝ ⎠
1
= 1−
( n + 1)
2
15. ผูสอนอาจจะแนะนําสัญลักษณ ∑ ในหัวขอเรื่องสัญลักษณแทนการบวก ไปพรอม
กับหัวขอเรื่องผลบวกของอนุกรมอนันตเลยก็ได หากพิจารณาแลวเห็นวาสอดคลองกับแนว
ทางการจัดการเรียนการสอนที่ปฏิบัติอยู
16. ในหนังสือเรียนหัวขอ 1.2.2 ไดกลาวถึงสมบัติของ ∑ ที่ควรทราบไว สมบัติ
เหลานั้นแสดงใหเห็นจริงไดโดยงาย ผูสอนควรเชิญชวนใหผูเรียนทดลองพิสูจนสมบัติตาง ๆ ดวย
ตนเอง ดังนี้
n
(1) ∑c = nc เมื่อ c เปนคาคงตัว
i =1
n
∑c = c + c + c + ... + c
i =1
n พจน
= nc
n n
(2) ∑ cai = c∑ a i เมื่อ c เปนคาคงตัว
i=1 i =1
n
∑ cai = ca1 + ca2 + ca3 + ... + can
i=1
= c(a1 + a2 + a3 + ... + an)
n
= c∑ a i
i =1
n n n
(3) ∑ (ai + bi ) = ∑ a i + ∑ bi
i =1 i =1 i =1
n
∑ (ai + bi ) = (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + ... + (an + bn)
i =1
= (a1 + a2 + a3 + ... + an) + (b1 + b2 + b3 + ... + bn)
n n
= ∑ a i + ∑ bi
i =1 i =1

9. 9
n n n
ในทํานองเดียวกันจะแสดงไดวา ∑ (ai − bi ) = ∑ ai − ∑ bi
i =1 i =1 i =1
n
17. ในการหาผลบวก ∑ i นอกจากวิธีที่แสดงไวในหนังสือเรียนแลว ยังแสดงไดโดยวิธี
i =1
n n
เดียวกันกับที่ใชหาสูตรของ ∑ i2 หรือ ∑ i3 ดังนี้
i =1 i =1
2 2
เนื่องจาก n – (n – 1) = 2n – 1 -----(1)
(n – 1)2 – (n – 2)2 = 2(n – 1) – 1 -----(2)
(n – 2)2 – (n – 3)2 = 2(n – 2) – 1 -----(3)
32 – 22 = 2(3) – 1 -----(n–2)
22 – 12 = 2(2) – 1 -----(n–1)
12 – 02 = 2(1) – 1 -----(n)
n n
(1) + (2) + (3) + ... + (n) จะได n2 = 2∑ i − ∑1
i=1 i=1
n
= 2∑ i − n
i=1
n n2 + n n(n + 1)
ดังนั้น ∑i = =
i =1 2 2
n n n
หลังจากศึกษาที่มาของสูตร ∑ i , ∑ i , ∑ i แลว ผูสอนอาจถามผูเรียนตอวา
2 3
i =1 i =1 i =1
n n
การหาสูตร ∑ i หรือ ∑ i จะดําเนินการตามวิธีการเดิมไดหรือไม ผูสอนอาจแนะนําให
4 5
i =1 i =1
ผูเรียนเริ่มตนจาก n – (n – 1)5 และ n6 – (n – 1)6 ตามลําดับ
5
18. แบบฝกหัด 1.2 ข ขอ 7 และขอ 9 อาจจะยากเกินไปหากผูเรียนไมสามารถจัดรูปใหม
ได ดังนัน ผูสอนควรใหคาแนะนําเบื้องตนในแตละขอดังนี้
้ ํ
1 1 1
7(1) = −
n ( n + 1) n n +1
1 1⎛ 1 1 ⎞
7(2) = ⎜ − ⎟
( 2n − 1)( 2n + 1) 2 ⎝ 2n − 1 2n + 1 ⎠
1 1⎛ 1 1 ⎞
7(3) = ⎜ n ( n + 1) − ( n + 1)( n + 2 ) ⎟
⎜ ⎟
n ( n + 1)( n + 2 ) 2⎝ ⎠
1 1⎛1 1 ⎞
7(4) = ⎜ − ⎟
n ( n + 2) 2⎝ n n +2⎠
2n + 1 1 1
9(1) = −
n ( n + 1) ( n + 1)
2 2 2
2
n

10. 10
กิจกรรมแสนอแนะ
ลิมิตของลําดับ
กิจกรรมที่ 1
ผูสอนและผูเรียนชวยกันเขียนกราฟของลําดับ an ตอไปนี้บนกระดานดํา หรือใชโปรแกรม
ประเภทตารางทํางาน เชน Microsoft Excel
1
(1) an =
2n
(2) an = 2
(−1)n
(3) an = 1+
n
(4) an = 2n – 1
(5) an = (–1)n+1
จากนั้นชวยกันพิจารณากราฟของลําดับ an เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด คาของ
พจนที่ n ของลําดับ จะมีคาเขาใกลจํานวนจริงใดหรือไม ซึ่งผูเรียนควรบอกไดวา
สําหรับ ลําดับในขอ (1) คาของพจนที่ n จะเขาใกล 0
ลําดับในขอ (2) คาของพจนที่ n จะเปน 2 เสมอ
ลําดับในขอ (3) คาของพจนที่ n จะเขาใกล 1
ลําดับในขอ (4) คาของพจนที่ n จะมากขึนเรื่อย ๆ
้
ลําดับในขอ (5) คาของพจนที่ n จะเปน 1 เมื่อ n เปนจํานวนคี่ และ
เปน –1 เมื่อ n เปนจํานวนคู
ผูสอนเสนอแนะผูเรียนวาลําดับในขอ (1), (2) และ (3) คาของพจนที่ n จะเขาใกลหรือ
เทากับจํานวนจริงเพียงจํานวนเดียวเทานั้น ในกรณีที่พจนที่ n ของลําดับมีคาเขาใกลหรือเทากับ
จํานวนจริง L เพียงจํานวนเดียวเทานั้น เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สนสุด จะเรียก L วาเปนลิมิต
ิ้
ของลําดับนั้น หรือกลาววาลําดับนั้นมีลิมิตเปน L สวนลําดับที่ไมมีสมบัติเชนนี้จะเปนลําดับที่ไมมี
ลิมิต ผูสอนใหผูเรียนบอกวาลําดับขางตนลําดับใดบางมีลิมิตและลิมตเปนเทาใด ลําดับใดไมมีลิมต
ิ ิ
ซึ่งผูเรียนควรบอกไดวา ลําดับในขอ (1) มีลิมิตเปน 0 ลําดับในขอ (2) มีลิมิตเปน 2 และลําดับใน
ขอ (3) มีลิมิตเปน 1
ผูสอนทบทวนผูเรียนเกี่ยวกับลําดับที่มีลิมิตเรียกวา ลําดับลูเขา สวนลําดับที่ไมมีลิมิต
เรียกวาลําดับลูออก แลวผูสอนใหผูเรียนบอกวาลําดับทั้งหาลําดับขางตน ลําดับใดเปนลําดับลูเขา
และลําดับใดเปนลําดับลูออก ซึ่งผูเรียนควรบอกไดวา ลําดับในขอ (1), (2) และ (3) เปนลําดับลู
เขา ลําดับในขอ (4) และ (5) เปนลําดับลูออก

11. 11
กิจกรรมที่ 2
ผูสอนอาจใชการพับกระดาษแสดงความหมายของลิมิตของลําดับบางลําดับไดดังตอไปนี้
1 1 1 1 1
เชน พิจารณาลําดับ 1, , , , , ,…
2 4 8 16 32
1
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
ผูสอนอธิบายวาถาพับกระดาษตอไปอีก จะไดความยาวของกระดาษนอยลงเรื่อย ๆ จน
เกือบเปน 0 แสดงวา ถา n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สิ้นสุด พจนที่ n ของลําดับจะเขาใกล 0 และ
กลาวไดวา ลิมิตของลําดับขางตนเทากับ 0

อนุกรมอนันต
กิจกรรมที่ 3
ผูสอนอาจประยุกตใชกจกรรมตอไปนี้นําเขาเรื่องอนุกรมอนันตได ใหผูเรียนปฏิบติ
ิ ั
ตามลําดับขั้นและตอบคําถามตอไปนี้
ขั้นที่ 1 ตัดกระดาษขนาด A4 เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาสามรูปที่เทากัน ดังรูป

12. 12
ขั้นที่ 2 แยกสวนที่หนึ่งไวกองหนึ่ง สวนที่สองไวอีกกองหนึ่ง เก็บสวนที่สามไวในมือ
ขั้นที่ 3 ทําซ้ําขั้นที่ 1 และ 2 กับกระดาษสวนที่สามที่อยูในมือไปเรื่อย ๆ
1. สมมติวากระดาษ A4 มีพื้นที่ 1 ตารางหนวย และสมมติวาสามารถตัดกระดาษซ้ํา
ตอไปไดอีกอยางตอเนื่องไมสิ้นสุด จะมีกระดาษในกองที่หนึ่งเทาไร กองที่สองเทาไร และมี
เหลืออยูในมือเทาไร ใหเขียนผลบวกของเศษสวนทีใชแทนพื้นที่ของกระดาษที่มีอยูในแตละกอง
่
ผูเรียนควรตอบไดวา จะมีกระดาษในกองที่หนึ่งและกองที่สองเทากันคือเทากับ
1 1 1 1
+ + + + ... ตารางหนวย และกระดาษที่อยูในมือจะชิ้นเล็กลงเรื่อย ๆ จนไมสามารถตัด
3 32 33 34
ไดจริง ๆ
2. สมมติวาสามารถตัดกระดาษซ้ําตอไปไดอีกอยางตอเนืองอยางไมสิ้นสุด เศษสวนในขอ 1
่
จะมีอยูอยางจํากัดหรือนับไมถวน และผลบวกของเศษสวนเหลานันหาคาไดหรือไม
้
ผูเรียนควรตอบไดวา เศษสวนในขอ 1 มีอยูอยางไมจํากัด แตผลบวกของเศษสวนเหลานั้น
ยังไมแนใจวาจะหาไดหรือไม
3. อนุกรมอนันต คือ ผลบวกของจํานวนหลาย ๆ จํานวน นับไมถวน เชน 1 + 2 + 3 + 4
+ 5 + ... + n + ... เปนอนุกรมอนันต อนุกรมนี้สามารถหาผลบวกเปนจํานวน ๆ หนึงไดหรือไม
่
ผูเรียนควรตอบไดวา ไมสามารถหาผลบวกดังกลาวได

4. ถาอนุกรมอนันตไมสามารถหาผลบวกเปนจํานวน ๆ หนึ่งได เรียกอนุกรมนั้นวา
1 1 1 1
อนุกรมลูออก เชน อนุกรมในขอ 3 เปนอนุกรมลูออก อนุกรม + + + + ... ลูออก
2 2 2 23 2 4
หรือไม ใหสรางแบบจําลองการตัดกระดาษคลาย ๆ กับที่ทํามาแลว
1 1 1 1
อนุกรม + + + + ... ยังไมแนใจวาจะหาผลบวกไดหรือไม แบบจําลองการ
2 2 2 23 2 4
ตัดกระดาษไปเรื่อย ๆ ซึ่งแทนอนุกรม 1 + 12 + 13 + 14 + ... ในขอ 4 เปนดังนี้
2 2 2 2
1
23 1
24
1
2
1
22

13. 13
กิจกรรมที่ 4
n
การหาสูตร ∑ i นอกจากจะใชวิธีทางพีชคณิตดังที่ปรากฏในหนังสือเรียนแลว ผูสอน
i =1
อาจเพิ่มความนาสนใจใหผูเรียนโดยใชพนที่สรุปการหาผลบวกของ i ไดอีกวิธหนึงดังนี้
ื้ ี ่
กําหนดใหรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก ๆ 1 รูป มีพื้นที่ 1 ตารางหนวย
รูปที่ 1
จะเห็นวารูปที่ 1 มีพื้นที่เทากับ 1 + 2 + 3 + 4 ตารางหนวย
ถานํารูปที่ 1 จํานวนสองรูปมาประกอบกัน จะไดรูปสี่เหลี่ยมผืนผาหนึ่งรูป ดังนี้
4
4
4 5
รูปสี่เหลี่ยมผืนผาที่ไดมีพื้นที่เปนสองเทาของรูปที่ 1 และมีพื้นที่เทากับ 4 × 5 ตารางหนวย
ดังนัน จึงได 4 × 5 = 2(1 + 2 + 3 + 4)
้
4×5
= 1+2+3+4
2
ในทํานองเดียวกัน เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก และตองการหาคาของ 1 + 2 + 3 + ... + n
ก็พิจารณาจากพื้นที่ได
n n
n n+1

14. 14
จะเห็นวารูปซาย มีพื้นที่เทากับ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n ตารางหนวย
ถานํารูปซายจํานวนสองรูปมาประกอบกัน จะไดรูปสี่เหลี่ยมผืนผาหนึ่งรูปทีมความยาว
่ ี
n + 1 หนวย และความกวาง n หนวย
รูปสี่เหลี่ยมผืนผามีพื้นที่เปนสองเทาของรูปซาย และมีพื้นที่เทากับ n(n + 1) ตารางหนวย
ดังนัน จึงได n(n + 1) = 2(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)
้
n
= 2∑ i
i=1
n n(n + 1)
∑i = 2
i =1
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. ลําดับตอไปนี้เปนลําดับลูเขาหรือลูออก
2n 1 − n2
(1) an = (2) an =
5n − 3 2 + 3n 2
n
n2 − n + 7 ⎛9⎞
(3) an = (4) an = 1+ ⎜ ⎟
2n 3 + n 2 ⎝ 10 ⎠
n
⎛ 1⎞
(5) an = 2−⎜− ⎟ (6) an = 1 + (–1)n
⎝ 2⎠
2. จงตัดสินวาลําดับตอไปนี้เปนลําดับลูเขาหรือลูออก โดยพิจารณาคาของพจนตาง ๆ ในลําดับ
โดยตรง หรือใชเครื่องคํานวณชวยเขียนกราฟของลําดับ หรือใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมต ิ
n−2 1
(1) an = (2) an = (−1) n +1
n + 13 n
3. เขียน 0.249 ใหอยูในรูปเศษสวน
4. จงหาคา
∞ ∞
(1) ∑ 2 (2) ∑ 4k
1
3
n =1
n
k =1
2
−1
∞ 2n + 7 n ∞
⎛ 6 6 ⎞
(3) ∑ n
(4) ∑ ⎜ 4k − 1 − 4k + 3 ⎟
n =0 9 ⎝
k =1 ⎠
1 1 1 1
5. อนุกรม + + + ... + + ... เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1⋅ 5 2 ⋅ 6 3 ⋅ 7 n(n + 4)
6. การเลนบันจีจัมป (bungee jump) เปนกิจกรรมทาทายที่ผูเลนกระโดดลงมาจากที่สงโดยมีปลาย
ู
เชือกดานหนึ่งผูกติดลําตัวหรือหัวเขาของผูเลน ปลายเชือกอีกดานหนึ่งผูกติดไวกบฐานกระโดด
ั
ชายคนหนึงใชเชือกยาว 250 ฟุต กระโดดบันจีจัมปจากฐานกระโดด และพบวาหลังจากใน
่
แตละครั้งที่เขาดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุด เชือกที่มีความยืดหยุนสูงจะดึงตัวเขาใหลอยขึ้นเปน
ระยะทาง 55% ของระยะทางที่เขาดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุด จงหาระยะทางที่ชายคนนี้เคลื่อนที่
ลอยขึ้นและดิ่งลงทั้งหมด

15. 15
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
2n 2n 2
1. (1) lim
n →∞ 5n − 3
= lim
n →∞ ⎛
= lim
n →∞ 3
3⎞
n⎜5 − ⎟ 5−
⎝ n⎠ n
⎛ 3⎞
เนื่องจาก lim 2
n →∞
= 2 และ lim ⎜ 5 − ⎟
n →∞ ⎝
= 5
n⎠
2 lim 2 2
จะได lim
n →∞ 3
= n →∞ =
5− ⎛ 3⎞ 5
lim 5 − ⎟
n n →∞ ⎜
⎝ n⎠
2n 2n 2
ดังนั้น ลําดับ an = เปนลําดับลูเขา และ lim
n →∞ 5n − 3
=
5n − 3 5
⎛ 1 ⎞ 1
n 2 ⎜ 2 − 1⎟ −1
1− n 2
⎝n ⎠ = lim n 2
(2) lim
n →∞ 2 + 3n 2
= nlim →∞ 2 ⎛ 2 n →∞ 2
⎞ +3
n ⎜ 2 + 3⎟
⎝n ⎠ n2
เนื่องจาก nlim ⎛ 12 − 1⎞ = –1 และ nlim ⎛ 22 + 3 ⎞ = 3
→∞ ⎜ n ⎟ →∞ ⎜ n ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 ⎛ 1 ⎞
−1 lim − 1⎟
n →∞ ⎜ n 2
จะได nlim 2 →∞
n2 = ⎝ ⎠ = −1
+3 ⎛ 2 ⎞ 3
lim + 3⎟
n2 n →∞ ⎜ n 2
⎝ ⎠
1 − n2
เปนลําดับลูเขา และ nlim 1 − n 2
2
1
ดังนั้น ลําดับ a n = →∞ 2 + 3n
= −
2 + 3n 2 3
⎛1 1 7 ⎞ 1 1 7
n3 ⎜ − 2 + 3 ⎟ − 2+ 3
n −n+7
2
n n n ⎠
(3) lim
n →∞ 2n 2 + n 2
= nlim ⎝
→∞
= nlim n n 1 n
→∞
3⎛ 1⎞
n ⎜2+ ⎟ 2+
⎝ n⎠ n
เนื่องจาก nlim ⎛ 1 − 13 + 73 ⎞ = 0 และ nlim ⎛ 2 + 1 ⎞ = 2
→∞ ⎜ n n ⎟ →∞ ⎜ ⎟
⎝ n ⎠ ⎝ n⎠
1 1 7
− 2+ 3
จะได nlim n n 1 n = 0 = 0
→∞
2+ 2
n
ดังนั้น ลําดับ a n = 2 2 เปนลําดับลูเขา และ nlim n − n + 27 = 0
n2 − n + 7 2
2n + n →∞ 2n 3 + n
n
⎛ 9⎞
(4) เนื่องจาก lim 1
n →∞
= 1 และ lim
n →∞ ⎜ 10 ⎟
=0
⎝ ⎠
⎛ ⎛ 9 ⎞n ⎞ ⎛9⎞
n
จะได lim ⎜ 1 + ⎜ ⎟ ⎟
n →∞ ⎜ ⎝ 10 ⎠ ⎟
= lim 1 + lim ⎜ ⎟
n →∞ n →∞ ⎝ 10 ⎠
⎝ ⎠
= 1+0
⎛9⎞
n
⎛ ⎛ 9 ⎞n ⎞
ดังนั้น ลําดับ an = 1+ ⎜ ⎟ เปนลําดับลูเขา และ lim ⎜ 1 + ⎟
n →∞ ⎜ ⎜ 10 ⎟ ⎟
=1
⎝ 10 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠

16. 16
n
⎛ 1⎞
(5) เนื่องจาก lim 2
n →∞
= 2 และ lim −
n →∞ ⎜ 2 ⎟
=0
⎝ ⎠
⎛ ⎛ 1⎞ ⎞
n
⎛ 1⎞
n
จะได lim ⎜ 2 − ⎜ − ⎟ ⎟
n →∞ ⎜
= lim 2 − lim ⎜ − ⎟
⎝ ⎝ 2⎠ ⎟ ⎠
n →∞ n →∞ ⎝ 2 ⎠
= 2–0 = 2
⎛ 1⎞
n
⎛ ⎛ 1⎞ ⎞
n
ดังนั้น an = 2−⎜− ⎟ เปนลําดับลูเขา และ lim ⎜ 2 − ⎜ − ⎟ ⎟
n →∞ ⎜
= 2
⎝ 2⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ ⎟ ⎠
(6) ลําดับนี้คือ 0, 2, 0, 2, ... ซึ่งไมมีลิมิต ดังนั้น ลําดับนี้เปนลําดับลูออก
2. (1) พิจารณาคาของ an โดยตรง เมื่อ n มีคามากขึ้น n – 2 และ n +13 มีคาใกลเคียงกัน
n−2
มาก ลิมิตของลําดับ an = จึงเทากับ 1
n + 13
ใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตเพือสนับสนุนการพิจารณาขางตนดังนี้
่
⎛ 2⎞ 2
n ⎜1 − ⎟ 1−
n−2 ⎝ n⎠
lim
n →∞ n + 13
= nlim →∞ ⎛ 13 ⎞
= nlim 13
→∞
n
n ⎜1 + ⎟ 1+
⎝ n⎠ n
เนื่องจาก nlim ⎛1 − 2 ⎞ = 1 และ nlim ⎛1 + 13 ⎞ = 1
→∞ ⎜ ⎟ →∞ ⎜ ⎟
⎝ n⎠ ⎝ n⎠
2 ⎛ 2⎞
1− lim ⎜1 − ⎟
n →∞ ⎝ n⎠
จะได nlim 13 =
→∞
n
1+ ⎛ 13 ⎞
lim 1 + ⎟
n n →∞ ⎜⎝ n⎠
1
= = 1
1
ดังนั้น ลําดับ a n = n − 2 เปนลําดับลูเขา และ nlim n − 2
→∞ n + 13
=3
n + 13
1 1 1 1 1
(2) คํานวณหาแตละพจนของลําดับ an = (−1) n +1 ไดลําดับ 1, − , , − , , ...
n 2 3 4 5
จากนั้นพิจารณาคาของ an โดยตรง หรือเขียนกราฟของลําดับ an โดยใชโปรแกรม
ประเภทตาราง เชน Microsoft Excel มาชวย จะไดกราฟดังรูป
an
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2 4 6 8 10
n
-0.2
-0.4

17. 17
จากกราฟ จะเห็นวา an จะเขาใกล 0 เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่สนสุด
ิ้
ดังนั้น ลําดับ an = (−1) n +1
1
เปนลําดับลูเขา และ n →∞ ⎛ (−1)n +1 1 ⎞ = 0
lim ⎜ ⎟
n ⎝ n⎠
3. 0.249 = 0.24999...
= 0.24 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ...
9 9 9
= 0.24 + 3
+ 4 + 5 + ...
10 10 10
9 9 9 9
3
+ 4 + 5 + ... เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 = 3
และ r = 1
10 10 10 10 10
1 9 9 9
เนื่องจาก r = <1 อนุกรม 3 + 4 + 5 + ... เปนอนุกรมลูเขา
10 10 10 10
9 9
a1 103 103 = 1
และมีผลบวกเทากับ = 1
= 9 = 0.01
1− r 1− 100
10 10
1
ดังนั้น 0.249 = 0.24 + 0.01 = 0.25 =
4
∞
4. (1) ∑ 2 = n
2 2 2 2
+ 2 + 3 + ... + n + ...
3 n =1 3 3 3 3
2 1
เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 = และ r =
3 3
1 1
เนื่องจาก r = = < 1 อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูเขา
3 3
2
a1
และมีผลบวกเทากับ = 3
1
= 1
1− r 1−
3
∞
ดังนั้น ∑ 2 = 1 n
3 n =1
n
(2) ให Sn = ∑ 1
4k − 1 k =1
2
1 1
เนื่องจาก =
4k − 1 2
(2k) 2 − 1
1
=
(2k − 1)(2k + 1)
n ⎛1
⎛ 1 1 ⎞⎞
จะได Sn = ∑ ⎜ 2 ⎜ 2k − 1 − 2k + 1 ⎟ ⎟
k =1⎝ ⎝ ⎠ ⎠
1 n ⎛ 1 1 ⎞
= ∑ ⎝ 2k − 1 − 2k + 1 ⎠
⎜ ⎟
2 k =1
1 ⎛⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎞
= ⎜ ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ − ⎟⎟
2 ⎝⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ ⎝ 5 7 ⎠ ⎝ 2n − 1 2n + 1 ⎠ ⎠

18. 18
1⎛ 1 ⎞
= ⎜1 − ⎟
2 ⎝ 2n + 1 ⎠
1⎛ 1 ⎞ 1
lim Sn
n →∞
= lim ⎜ 1 −
n →∞ 2 ⎝ ⎟ =
2n + 1 ⎠ 2
∞
ดังนั้น ∑ 1 = 1
4k − 1
k =1
2
2
∞ 2n + 7 n ∞ 2n ∞ n
(3) ∑ = ∑ + ∑7
n =0 9n n =0 9
n
9
n =0
n
∞ ⎛ 2 ⎞n ∞ ⎛ 7 ⎞n
= ∑⎜ ⎟ + ∑⎜ ⎟
n =0 ⎝ 9 ⎠ ⎝9⎠
n =0
1 1
= 2
+ 7
1− 1−
9 9
9 9 18 + 63 81
= + = =
7 2 14 14
∞ 2n + 7 n 81
∑ =
n =0 9n 14
(4) ให Sn = ∑ ⎛ 6 − 6 ⎞
n
⎜ ⎟
⎝ 4k − 1 4k + 3 ⎠
k =1
n
⎛ 6 6 ⎞
จะได Sn = ∑ ⎝ 4k − 1 − 4k + 3 ⎠
⎜ ⎟
k =1
⎛ 6⎞ ⎛6 6 ⎞ ⎛ 6 6 ⎞ ⎛ 6 6 ⎞
= ⎜ 2 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ − ⎟
⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 11 ⎠ ⎝ 11 15 ⎠ ⎝ 4n − 1 4n + 3 ⎠
6
= 2−
4n + 3
⎛ 6 ⎞
lim S
n →∞ n
= lim 2 −
n →∞ ⎜ ⎟ = 2
⎝ 4n + 3 ⎠
∞
ดังนั้น ∑ ⎛ 6 − 6 ⎞ = 2
⎜ ⎟
k =1⎝ 4k − 1 4k + 3 ⎠
1 1⎛1 1 ⎞
5. พิจารณา = ⎜ − ⎟
k(k + 4) 4⎝k k+4⎠
1 1 1 1
ดังนั้น Sn = + + + ... +
1⋅ 5 2⋅6 3⋅ 7 n(n + 4)
1 ⎛⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞
= ⎜ ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ +
4 ⎝ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 2 6 ⎠ ⎝ 3 7 ⎠ ⎝ 4 8 ⎠ ⎝ 5 9 ⎠ ⎝ 6 10 ⎠
⎛1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞⎞
⎜ − ⎟ + ... + ⎜ − ⎟⎟
⎝ 7 11 ⎠ ⎝ n n + 4 ⎠⎠
1⎛ 1 1 1⎞ 1⎛ 1 1 1 1 ⎞
= ⎜1 + + + ⎟ + ⎜ − − − − ⎟
4 ⎝ 2 3 4 ⎠ 4 ⎝ n +1 n + 2 n + 3 n + 4 ⎠

19. 19
⎛1⎛ 1 1 1⎞ 1⎛ 1 1 1 1 ⎞⎞
เนื่องจาก lim Sn
n →∞
= lim ⎜ ⎜ 1 + + + ⎟ + ⎜ − − − − ⎟⎟
⎝ ⎝ 2 3 4 ⎠ 4 ⎝ n +1 n + 2 n + 3 n + 4 ⎠⎠
n →∞ 4
1⎛ 1 1 1⎞
= ⎜1 + + + ⎟
4⎝ 2 3 4⎠
25
=
48
1 1 1 1 25
ดังนั้น อนุกรม + + + ... + + ... เปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ
1⋅ 5 2⋅6 3⋅ 7 n(n + 4) 48
6. ระยะทางทีชายคนนี้เริ่มกระโดดจนถึงตําแหนงต่ําสุดมีระยะทาง 250 ฟุต
่
ชายคนนี้จะลอยขึ้นสูงเปนระยะทาง 55% ของระยะทางที่เขาดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุด
มีคาเทากับ 11 ของระยะทางที่เขาดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุด
20
ระยะทางที่ชายคนนี้ลอยขึ้นครั้งที่ 1 แลวดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุดมีระยะทาง
11 11 11
คือ 250 ⎛ 20 ⎞ + 250 ⎛ 20 ⎞ = 500 ⎛ 20 ⎞ ฟุต
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ระยะทางที่ชายคนนี้ลอยขึ้นครั้งที่ 2 แลวดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุดมีระยะทางคือ
11 11 11 11 11 2
250 ⎛ 20 ⎞⎛ 20 ⎞ + 250 ⎛ 20 ⎞⎛ 20 ⎞ = 500 ⎛ 20 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ฟุต
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ระยะทางที่ชายคนนี้ลอยขึ้นแลวดิ่งลงเปนเชนนีไปเรื่อย ๆ
้
จะไดระยะทางที่ชายคนนี้เคลื่อนที่ลอยขึ้นและดิ่งลงทั้งหมดเทากับ
2 3
⎛ 11 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎛ 11 ⎞
250 + 500 ⎜ ⎟ + 500 ⎜ ⎟ + 500 ⎜ ⎟ + ...
⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠
⎛ 11 ⎛ 11 ⎞2 ⎛ 11 ⎞3 ⎞
= 250 + 500 ⎜ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... ⎟
⎜ 20 ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎟
⎝ ⎠
⎛ 11 ⎞
⎜ ⎟
= 250 + 500 ⎜ 20 ⎟
11
⎜1− ⎟
⎜ ⎟
⎝ 20 ⎠
⎛ 11 ⎞
= 250 + 500 ⎜ ⎟
⎝9⎠
= 861.11
ดังนั้น ในการกระโดดบันจีจัมปครั้งนี้ ชายคนนี้เคลื่อนที่ลอยขึ้นและดิ่งลงเปนระยะทาง
ทั้งหมด 861.11 ฟุต