3.pdf

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Черкаський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти
НАБЛИЖЕНІ ОБЧИСЛЕННЯ ТА ЇХ ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ
Методичний посібник
Лукашенко Тетяна Борисівна,
вчитель математики
Чорнобаївськоїзагальноосвітньої
школи І-ІІІ ступенів №1
Чорнобаївськоїселищної ради
Черкаської області
ЧЕРКАСИ-2022

ЛУКАШЕНКО ТЕТЯНА БОРИСІВНА НАБЛИЖЕНІОБЧИСЛЕННЯ ТА ЇХПРАКТИЧНЕ
ЗАСТОСУВАННЯ
2
Теоретичнийматеріал «Наближені обчислення та їх практичнезастосування»
Наближені обчислення та їх практичне застосування. Курс за вибором для
учнів 9 класу. Допрофільненавчання / Упорядник:–Лукашенко Т.Б.-Чорнобай,
2022 р.
Матеріали посібника відповідають програмі факультативного курсу для
учнів 9 класу «Наближені обчислення та їх практичне застосування.», автор
Єргіна О.В. (Збірник програм з математики для допрофільної підготовки та
профільного навчання (у двох частинах). Х.: Видавництво «Ранок». – 2011, ч.
1) і призначені для проведення курсів за вибором, факультативних занять,
математичного гуртка, тижня математики в школі.
Матеріали, які містить посібник дають можливість зрозумітиправильне
місце математики в системі наук, ii прикладний характер, нададуть
можливість краще зрозумітипроцес математичного моделювання,
допоможуть навчитися коректно записувативідповідь до задач практичного
змісту в тому випадку, коли така відповідь є наближеною I хоча наближені
обчислення вже втратили своюактуальність як засіб раціоналізаціі обчислень
(цей засіб успішно замінили калькулятор i комп’ютер), актуальним
залишається питання залежності ступеня точностіодержаного результату.

3
ЗМІСТ
Передмова 4
Програмакурсу за вибором «Наближеніобчислення та їх практичне
застосування»
7
Календарне планування 11
Тема 1. Наближені значення в математиці 12
1.1. Наближені значення чисел i величин 12
1.2. Округлення 15
1.3. Ціла i дробовачастиничисла 17
1.4. Стандартнийвигляд числа 18
Тема 2. Похибки вимірювань 20
2.1. Абсолютна та відносна похибки 20
2.2. Оцінка похибок 22
2.3. Правильні цифри наближеного значення 25
Тема 3. Наближені обчислення 27
3.1. Дії над наближеними значеннями 27
3.2. Значущі цифри числа 30
3.3. Правило підрахунку цифр 33
3.4 Правильні цифри наближеного значення 35
3.5. Дії з числами, записаними у стандартному вигляді 38
Тема 4. Наближені обчислення – їх практичне застосування 40
4.1. Розв’язування прикладних задач 40
4.2. Практичні роботи 44
Списоквикористаних джерел 47

4
ПЕРЕДМОВА
На сучасномуетапі розвитку людства, коли математика знайшла широке
застосування у всіх галузях людської діяльності, особливо актуальним стає
формування належного рівня математичних компетентностей підростаючого
покоління в контексті Концептуальних засад реформування середньої освіти
«Нова українськашкола».
За С.Раковим, під поняттям «математична компетентність» розуміють
спроможність особистостібачити та застосовуватиматематику в реальному
житті, розуміти зміст і метод математичного моделювання, будувати
математичну модель, досліджувати її методами математики, інтерпретувати
отримані результати, оцінювати похибку обчислень [4].
Математичні компетентності:
1. Процедурнакомпетентність – уміння розв’язуватитиповіматематичні
задачі.
Напрями набуття:
• використовуватина практиці алгоритм розв’язання типовихзадач;
• уміти систематизувати типові задачі, знаходити критерії зведення задач до
типових; уміти розпізнавати типову задачу або зводитиїї до типової;
• уміти використовуватирізні інформаційні джерела для пошуку процедур
розв’язувань типовихзадач (підручник, довідник, Інтернет-ресурси).
2. Логічна компетентність – володіння дедуктивним методом доведення та
спростування тверджень, необхідно:
• володіти і використовуватина практиці понятійний апарат дедуктивних
теорій (поняття, визначення понять;висловлювання, аксіоми, теореми і їх
доведення, контр приклади до теорем тощо);
• відтворювати дедуктивні доведення теореми та доведення правильності
процедурирозв’язання типовихзадач;

5
• здійснювати дедуктивні обґрунтування правильностірозв’язання задач та
шукати логічні помилки у неправильних дедуктивних міркуваннях;
• використовуватиматематичну та логічну символіку на практиці.
3. Технологічна компетентність – володіння сучаснимиматематичними
пакетами. (пакети символьнихперетворень, динамічної геометрії – Gran –
2Д(3Д), електронні таблиці (Excel);
необхідно:
• оцінювати похибки при використаннінаближених обчислень;
• будувати комп’ютернімоделі для предметної області задачіз метою їх
евристичного,наближеного або точного розв’язання.
4. Дослідницька компетентність – володіння методами дослідження
практичних та прикладних задач математичними методами.
Напрямки набуття:
• формулювати математичні задачі;
• будувати аналітичні моделі задач;
• висувати та перевіряти справедливість гіпотез, спираючись на відомі
методи (індукція, аналогія, узагальнення), а також на власний досвід
досліджень;
• інтерпретувати результати, отриманіформальними методами;
• систематизуватиотримані результати, досліджувати межі справедливості
отриманих результатів, установлювати зв’язкиз попередніми результатами,
шукати аналогії в інших розділах математики.
5. Методологічна компетентність – уміння оцінювати доцільність
використання математичних методів для розв’язання практичнихта
прикладних задач [4].
Мета посібника – поглибити і розширитизнання учнів, здобутіпід час
вивчення шкільного курсу математики, сформуватиматематичні
компетентності.

6
Основнізавдання:
- формувати стійкий інтерес учнів до математики;
- виявляти і розвиватиматематичні здібностіучнів;
- формувати вміння розв’язуватизадачіна кмітливість;
- розширюватиі поглиблювати міжпредметні зв’язки;
- підвищувати загальну математичну культуру;
- зацікавити дітей вивченням математики.
Матеріали, які містить посібник допоможуть сформуватив учнів
правильне розуміння місця математики в системі наук, її прикладний
характер, нададуть можливість краще зрозумітипроцес математичного
моделювання, допоможуть навчитися коректно записувати відповідь до задач
практичного змісту в тому випадку, коли така відповідь є наближеною. I хоча
наближені обчислення вже втратили своюактуальність як засіб
раціоналізаціі обчислень (цей засіб успішно замінили калькулятор i
комп’ютер), актуальним залишається питання залежності ступеня точності
одержаного результатувід ступеня точностівихідних даних i навпаки
Матеріали посібника відповідають програміфакультативного курсу для
учнів 9 класу «Наближені обчисленнятаїх практичне застосування»,автор
Єргіна О.В. (Збірник програм з математики для допрофільної підготовкита
профільного навчання (у двох частинах). Х.: Видавництво «Ранок». – 2011, ч.
1) і призначені для проведення курсів за вибором,факультативних занять,
математичного гуртка, тижня математики в школі.
Посібник апробованийна заняттях цього курсу за вибором у 9 – му класі
Чорнобаївськійзагальноосвітній школі І-ІІІ ступенів Чорнобаївської
селищної ради Черкаської області.

7
Програма курсу за вибором «Наближеніобчисленнята їх практичне
застосування»,9 клас
Пояснювальна записка
Зміст шкільної математичної освіти весь час набуває уточнення й
трансформації. Відбуваються відповідні зміни i в навчальних програмах
загальноосвітніх навчальних закладів. Трансформації та уточнень набув i
розділ «Елементи прикладної математики» з курсу алгебри 9 класу, в якому
основнуприділено вивченню математичного моделювання, відсотковим
розрахункам, поняттю про статистику i суттевому зменшено кількість годин
на вивчення наближених обчислень. Томузавданням даного курсу є
доповнення алгебри 9 класу основними методаминаближених обчислень для
тих здобівачів освіти, які надалі продовжать навчання за профілями
природничо— математичного напрямустаршої профільної школи, в яких
наближені обчислення є одним із засобів розв’язування задач практичного
спрямування, точностіодержаних результатів (фізико—математичний,
фізичний, технологічний тощо). Уміння виконувати дії з наближеними
значеннямивикористовуютьсяi в курсі геометрії при розв’язуванні
трикутників, у фізиці при виконанні лабораторнихробіт, зокремапри
визначенні точностівимірювань i похибки результатів.
Kypc допоможесформуватив учнів правильне розуміння місця
математики в системі наук, ii прикладний характер, надасть можливість
краще зрозуміти процес математичного моделювання, допоможенавчитися
коректно записувати відповідь до задач практичного змісту в тому випадку,
коли така відповідь є наближеною. I хоча наближені обчислення вже
втратили своюактуальність як засіб раціоналізаціі обчислень (цей засіб
успішно замінили калькулятор i комп’ютер), актуальним залишається
питания залежності ступеня точностіодержаного результату від ступеня
точностівихідних даних i навпаки.

8
У курсі запропоновано повторитиправила округлення чисел,
опрацювати поняття похибки, познайомитися з поняттямицілої та дробової
частин числа, засвоїтиправило підрахунку цифр, сформуватинавички
виконання арифметичних дій з наближеними значеннями, запису числа у
стандартномувигляді та знаходження цілої та дробової частинчисла.
Мета кypcy:
• забезпечити цілісність системи математичної підготовки учнів;
• сприятиреалізації прикладної спрямованостіматематики;
• створитиміцне підгрунтя для подальшого навчання у профільних класах
природничо-математичногонапрямуу старшій школі.
Курс призначенийдля учнів 9 класів, що мають на меті продовжитина-
вчання у класах природничо—математичногонапрямустаршої профільної
школи, i розрахованийна 8 академічних годин. Вивчення курсу доцільно
проводитипротягомоднісї чвертіпісля вивчення теми «Нерівності».

9
ЗМІСТ ПРОГРАМИ
9 клас (1 год на тиждень, разом 8 год. Вивчення курсудоцільно проводити
протягом однієї чвертіпісля вивчення теми «Нерівності».)
Тема 1. Наближенізначення в математиці(1 година)
- наближені значення чисел i величин;
- округлення;
- ціла i дробовачастиничисла;
- стандартний вигляд числа .
• Основнамета: вдосконалюватиуявлення про наближені значення чисел i
величин:
• виконувати різні формизаписунаближених значень;
• запам’ятатиправила округлення чисел;
• знати означення цілої та дробової частинчисла;
• уміти округлятичисла i значення величин, знаходити цілу i дробову
частини числа, записуватичисло a6o його наближене значення у
стандартномувигляді.
Тема 2. Похибки вимірювання (2 годин)
- абсолютна та відносна похибки;
- оцінка похибок;
- правильні цифри наближеного значення.
• Основнамета:
• мати уявлення про абсолютнута відносну похибки, точність вимірювання
i наближення, правильні, сумнівні та неправильні цифри наближеного
значення;
• yміти знаходити абсолютну i відносну похибки, правильні цифри
наближення;
• оцінювати похибки.
• виконувати різні формизаписунаближених значень;

10
Тема 3. Наближеніобчислення (3 години)
- дії над наближеними значеннями;
- значущі цифри числа;
- правило підрахунку цифр;
- дії з числами, записаними у стандартномуВИГПЯД1
• Основнамета: вдосконалюватиуявлення про наближені значення чисел i
величин:
• мати уявлення про значущі цифри числа;
• Запам’ятати правило підрахунку цифр для виконання дій з наближеними
значеннями;
• уміти виконувати арифметичні дії з наближеними значеннями, в тому
числі записаними в стандартномувигляді, підносити ïx до степеня i
добуватикорінь;
• виконувати арифметичні дії з числами, записаними
у стандартномувигляді.
Тема 4. Практичне застосування наближених обчислень (2 години)
- практичні роботита розв’язування прикладнихзадач
• Основнамета:
• уміти виконувати практичні роботи, внаслідок яких одержуються
наближені значення, виконувати дії з одержаними даними, правильно
записувати результат проведенихпрактичних робіт i розв’язаних
прикладних задач.

11
ОРІЄНТОВНЕ КАЛЕНДАРНЕ ПЛАНУВАННЯ
№ Тема заняття Кількість
годин
Дата
1 Наближені значення чисел i величин. Округлення.
Ціла i дробова частини числа. Стандартний вигляд
числа.
1
2 Абсолютна та відносна похибки. Оцінка похибок. 1
3 Правильні цифри наближеного значення. 1
4 Дії над наближеними значеннями. 1
5 Значущі цифри числа. Правило підрахунку цифр. 1
6 Дії з числами, записаними у стандартномувигляді. 1
7 Практичні роботи та розв’язування прикладних задач. 1
8 Практичні роботита розв’язування прикладнихзадач. 1

12
ТЕМА 1. НАБЛИЖЕНІ ЗНАЧЕННЯ В МАТЕМАТИЦІ
1.1. Наближені значення чисел i величин
На практиці ми майже ніколи не знаємо точних значень величин. Ніякі
ваги, які б точні вони не були, не показують вагу абсолютно точно; будь-
термометр показує температуру з тією чиіншою похибкою;ніякий амперметр
не може дати точних показань струму і т. д. До того ж наше око не в змозі
абсолютно правильно прочитати показання вимірювальних приладів. Тому,
замість того щоб мати справу зі справжніми значеннямивеличин, ми змушені
оперувати з їх наближеними значеннями.
Наближені значення дістають внаслідок вимірювань. Числа, що
зустрічаються на практиці, бувають двох видів. Одні дають істинне значення
величини, інші – тільки приблизне. Перші називають точними, другі
– наближеними. Точне значення величини вдається знайти лише в деяких
випадках.
ПРИКЛАД 1. Можна точно вказати число вагонів залізничного поїзда.
Точно підрахувати, скільки учнів є одночасно в класі.
ПРИКЛАД 2. У книзі 512 сторінки, число 512 – точне.
У шестикутнику 9 діагоналей, число 9 – точне.
На екскурсію поїхало 29 учнів, то число 29 – точне.
Проте здебільшого доводиться мати справу лише з наближеними значеннями
величин.
Найчастіше зручно користуватися наближенимичисламизамість точного, тим
паче, що у багатьох випадках точне число взагалі знайти неможливо. Числа,
які миназиваємо наближеними, інакше кажучи, вірними тільки приблизно, але
не абсолютно точно, постійно зустрічаються нам в житті на практиці.
Наближені числа можуть виходити передусім при рахунку предметів, якщо

13
цих предметів надто багато і їх чому – або важко або навіть не можна
підрахувати точно. Звичайно, в результаті рахунку предметів можуть
виходити і точні числа, якщо предметів не надто багато, якщо їх число не
занадто швидко міняється і якщо їх без утруднень можна підраховувати.
ПРИКЛАД 3. Лише приблизно оцінюють:
– кількість глядачів телепередачі;
– кількість перелітних птахів;
– кількість дерев у ліси.
Чи можна виміряти довжину рейки точно? Ні. Навіть якщо почуєте, що
довжина якоїсь рейки дорівнює, наприклад, 9,42783 м, не вірте цьому. Адже
довжину такої рейки з точністю до сотої долі міліметра не можна виміряти.
Результат кожного вимірювання – наближене значення величини.
Наближені числа записуються за допомогою десяткових дробів.
ПРИКЛАД 4. Число 2,19563 у розрахунку, якого не треба високої точності,
можна округлити, замінивши його числом 2,196, або навіть числом 2,20, які
є наближеними значеннями числа 2,19563 з надлишком.
Отже, в різних випадках і в різних обставинах рахунок предметів може
приводити і до точного і до наближеного числа.
Знаючи межі значення деякої величини, можна оцінити значення іншої
величини, яка залежить від першої.
ПРИКЛАД 5. Нехай відомі наближені значення (в см) з недостачею і з
надлишком довжини, а сторони рівностороннього трикутника:
5,4 ≤ а ≤ 5,5.
Треба знайти межі периметра Р.

14
РОЗВ'ЯЗАННЯ. Периметр рівностороннього трикутника обчислюється за
формулою:
Р = 3а
З умови а ≥ 5,4 випливає, що 3а ≥ 16,2.
З умови а ≤ 5,5 випливає, що 3а ≤ 16,5.
Числа 16,2 і 16,5 – наближені значення периметра (в см) з недостачею і
надлишком:
16,2 ≤ Р ≤ 16,5.
Записати розв’язання можна і так:
5,4 ≤ а ≤ 5,5,
5,4 ∙ 3 ≤ 3а ≤ 5,5 ∙ 3,
тобто
16,2 ≤ Р ≤ 16,5.
Наближені значення зазвичай записують так, щоб по запису можна було
судити про точність наближення.
ПРИКЛАД 6. На рулоні шпалер написано, що його довжина дорівнює
18 ± 0,3 м.
Цей запис означає, що довжина рулону дорівнює 18 м з точністю до 0,3 м,
тобто. точне значення довжиниможе відрізнятися від наближеного значення,
рівного 18 м, не більше ніж на 0,4 м. Іншими словами довжина рулону
повинна знаходитися між 18 – 0,3 = 17,7 і 18 + 0,3 = 18,03

15
1.2. Округлення
Округлення чисел використовується нами постійно. У повсякденному
житті людина користується двома видами чисел: точними і наближеними. У
квадрата 4 сторони, число 4 є точним. Але на практиці ми не знаємо точних
значень величин. Так, ми не можемо порахувати точно скільки людей
проживаєна тимчасово окупованійтериторії. Та й у багатьохвипадках знання
про наближеному числідає розуміння суті справи, і понад точне значення і не
завжди потрібно.Наприклад на просте питання: «Скільки тобі років?»
Малоймовірно, що учень буде відповідати: «Мені 10 років, 6 місяців 5 днів, 3
години 2 хвилини і т. д.» Всі розуміють, що інформація про днях, годинах
прожитих не є важливою для прийняття рішення, наприклад, в який клас йти
цій дитині Те ж саместосується івідстані, наприклад, між містами. Буде трохи
комічно почути, що поїзд проїхав 536км 905м 65см 12мм. І все-таки, чому не
приділяється увага метрах, сантиметрах, адже це підвищує точність
розрахунків. Насправдіідея проста, якщо миговоримопро великій відстані, то
метри і сантиметри вже не мають такого великого значення і ця інформація
навіть є зайвою. Ми частіше говоримо, що школяреві трохи більше 10 років,
або поїзд проїхав трохи менше, ніж 537 км
У цих прикладах ми використовуємо замість точних наближені значення,
тобто округляємо.
Округлення числа полягає у відкиданні в ньому всіх цифр, що випливають
задеяким розрядом.Прицьомуякщо округленечисло ціле, то відкинуті цифри
цілої частини заміняють нулями.
Округлення звичайно роблять за наступним правилом.
Якщо перша відкинута цифра, менше п'яти, то попередня цифра не
міняється.
Якщо перша відкинута цифра, більше п'яти, то попередня цифра
збільшується на одиницю.

16
Якщо перша відкинута цифра, дорівнює п'яти, то придатне кожне із
зазначених правил, але найчастіше округляють так, щоб остання
збережена цифра, була парною. Якщо вона непарна, то до неї додають
одиницю, якщо ж парна, то залишають без змін (правило парної цифри).
ПРИКЛАД 7. Округлити число  = 3,14159... до а) одного; б) трьох; в)
чотирьох десяткових знаків.
РОЗВ'ЯЗАННЯ.
а) 3,14159  3,1 (округлення до 0,1);
б) 3,14159  3,142 (округлення до 0,001);
в) 3,14159  3,1416 (округлення до 0,0001).)
При округленні цілих чисел звичайно замість відкинутих цифр записують не
нулі, а число 10 у відповідному степені. Степінь числа 10 указує на число
округлених знаків.
ПРИКЛАД 8. Округлити число 246250 до а) сотень тисяч; б) десятків
тисяч; в) сотень.
а) 246250  2
5
10
 (округлення до
5
10 );
б) 246250  25
4
10
 (округлення до 104);
в) 246250  2462
2
10
 (округлення до 102). )
Якщо при округленні числа останні зберігають нулі, то їх варто записувати.
Так, число 1,2997, округлене до 0,001, приймає вид 1,300.

17
1.3. Ціла i дробова частини числа
Цілою частиною дійсного числа а називають найбільше ціле число, яке не
перевищує даного числа а. Ціла частина числа а позначається [a] (ант’є від а).
З означення цілої частини випливає, що [a] ≤ a, причому рівність [a] = a
досягається лише тоді, коли число а – ціле.
Приклад 9. [0] = 0; [17] = 17; [11,38] = 11; [
2
5
] = 0; [-2,1] = - 3; [–100] = –100.
Дробовою частиною дійсного числа а називають різницю між числом а і
його цілоючастиною[a]. 3 Дробовучастинучислаапозначають символом {a},
тобто {a} = а – [a]. Оскільки завжди а – [a] ≥ 0, то {a} ≥ 0 для будь якого
дійсного числа a.
Приклад 10 . {11} = 0; {45,52} = 0,52; { 19/5 }= {3 5 / 4 } = 5 /4 ; {-75} = 0;
{– 4,32} = – 4,32 – [–4,32]= –4,32 – (–5) = 0,68; { 46/11 } = -46/11– [– 46/11] =
– 42/11-(-5)=9/11 ; {e} = e – [e] = e – 2; {– π} = -π – [-π] = -π – (-4) = 4 – π.
Дробовачастиначисла може набувати тільки невід’ємних значень, менших за
одиницю. Справді,
[a] ≤ a < [a] + 1,
0 ≤ a– [а] < 1 та
0 ≤ {a}<1

18
1.4. Стандартний вигляд числа
Перед нами завдання: “Запишіть число у стандартномувигляді”. Але перед
цим, хотілося б обговорити, навіщо нам взагалі потрібен запис числав
стандартномувигляді.Припустимо, нам потрібно записати масу Землі в
кілограмах. Самі розумієте, важить наша Земля чимало, і якщо записувати її
масу не в стандартномувигляді, то це буде дуже громіздко і незручно.
Виходить, що число, записане в стандартному вигляді, набагато зручніше
використовувати. Оцініть самі, як виглядаємаса Землі, записана в
стандартномувигляді.
Записати число в стандартному вигляді означає, що його потрібно
представити у вигляді добутку якогось числа, назвемо його х і множника
десять в степені n. Степінь n обов’язково повинен бути цілим числом, його
називають порядком числа. А х може бути більше або дорівнює одиниці, але
обов’язково повинен бути менше десяти. Х× 𝟏𝟎𝒏
і 1≤x≤10

19
Виходить, що для того, щоб число записати в стандартному вигляді,
потрібно поставити кому після першої зліва цифри відмінною від нуля і
отримане число помножитина десять у відповідному необхідному степені. На
скільки знаків перенесете кому, такий показник степеня і пишіть у десятки.
Приклад 11. Записати числа в стандартному вигляд: 0,00347; 0,00005;
0,00012;1 470 000; 800 000; 34 620 000.
РОЗВ'ЯЗАННЯ. 0,00347=3,47× 10−3; 0,00005 =5× 10−5; 0,00012= 1,2×
10−4;
1 470 000=1,47× 106; 800 000=8× 105; 34 620 000=3,462× 107

20
ТЕМА 2. ПОХИБКИ ВИМІРЮВАНЬ
2.1. Абсолютната відносна похибки
Якщо а0 — деяке число (відоме точно або не точно), а а — число,
прийняте за наближене значення числа а0, то помилкою наближеного числа а
називають різницю а0 — а. Звичайно точне число а0 не відомо, тому помилку
наближеного числа а визначитинеможна. Однакмайже завждиможнавказати
число, що оцінює цю помилку. Число 0
)
( 
 a , що задовольняє нерівності
|а0 - а| < )
(a
 ,
називається абсолютною похибкою (точніше граничною абсолютною
похибкою) наближеного числа а.
Чим ближче між собою числа |а0 — а| й )
(a
 , тим точніше абсолютна
похибка оцінює фактичну помилку.
Як абсолютна похибка )
(a
 наближеного числа а беруть по можливості
найменше із чисел, що задовольняють нерівності (1).
Нерівність (1) рівносильна нерівностям
а — )
(a
 а0  а + )
(a
 ,
які умовно записують у такий спосіб: а0 = а ± )
(a
 , тобто а0 приблизно
дорівнює а з абсолютною похибкою )
(a
 .
Абсолютну похибкою іноді називають оцінкою точності наближеного
числа. Абсолютна похибка фізичних приладів дана в (табл.2.1.)
)
1
(

21
Таблиця 2.1.
Абсолютна похибка фізичних приладів
Приклад 1. Нехай відомо точне число А=784,2737, а його наближене
значення a=784.274. Обчислити абсолютну похибку.
Інколи абсолютнапохибка )
(a
 числаа, прийнятогозанаближенезначення
числаа0,незавждиєзручноюхарактеристикоюстепеніточностіа якнаближення
до а0.
Тому, крім величини абсолютної похибки, необхідно ще знати її
відношення до вимірюваного (або що обчислює) величині, в основному
виражає у відсотках.
Відносною похибкою наближеного числа а називається відношення
абсолютної похибки )
(a
 до модуля цього числа. Відносна погрішність
позначається через )
(a
 :
a
a
a


)
(

або у відсотках
)
2
(

22
0
0
100
)
( 


a
a
a
 .
У технічних розрахунках точність вимірів звичайно характеризують
відносноюпохибкою. Результат вважають хорошим, якщо відносна похибка не
перевищує 0,1 %.
З формули (2) слідує, що
)
(
)
( a
a
a 


 .
Приклад 2 . Визначити(в процентах) граничнувідноснупохибку
наближеного числа а = 35,148 ± 0,00074
РОЗВ'ЯЗАННЯ. Використаємо формулу(2). Тоді:
2.2. Оцінка похибок
В обчислювальнiйматематицiнайчастiше використовуються неточнi
величини, а їх наближенi значення. Похибкоюназивають величину, що
характеризуєточнiсть результату. Їх можнаподiлити на групи:
1. Неусувнi похибки – пов’язанiiз неточностями вхiднихданих. Вона може
бути пов’язаназ – похибкамиприладiв, якимивимiрювались результати
експерименту(якщо вонивикористовуютьсяприрозв’язаннiзадачi); –
константами, якiфiгурують в постановцiзадачi(бiльшiсть фiзичних констант
визначаютьсялише наближено); – невiдповiдностямиматематичноїмоделi
реальнiй задачi(на практицiматематичнi формулювання вiдповiдають
)
3
(

23
iдеалiзованим моделям, а прививченнiприроднихявищдоводиться брати
умови, якi спрощують задачу).Назва«неусувна» вiдповiдаєїї природi:вона не
контролюєтьсяв процесiчисельногорозв’язкузадачi, а може бути зменшена
лише за рахунокбiльш точногоописуфiзичноїзадачiта бiльш точного
визначення параметрiв.
2. Похибки методу– з’являються призастосуваннiнаближених методiв
замiсть точних, що робитьсяу випадках, коли для отримання точного
розв’язкупотрiбно виконатинеобмеженучинеприйнятно великукiлькiсть
арифметичнихоперацiй, що в багатьохвипадках простонеможливо. Похибку
методуможнарегулювати, її намагаються звестидо величини, якав декiлька
разiв менша занеусувну похибку. Подальше зниження є недоцiльним,
оскiлькиточнiсть результатiв не пiдвищується, протезбiльшується обсяг
обчислень.
3. Похибки обчислень– виникають пiд час введення та виведення даних в
ЕОМ та виконання математичнихоперацiй, що вiдбувається внаслiдок
заокруглень. Для наближенихметодiв питання стiйкостiвiдносно похибок
займає важливе мiсце привиборiметоду розв’язання. Переваганадається
пiдходам з меншою кiлькiстю розрахункiв не лише для скорочення обсягута
часуобчислень,похибканадеякомукроцiвпливає на результативсiх
наступних обчислень. Якщо похибка, якабула зробленанаперших кроках
обчислень, наподальшихкрокахне збiльшується (приумовi, що решта
обчисленьзробленiточно), або залишається тогосамогопорядку, то
обчислювальнийпроцесназиваєтьсястiйким по вiдношенню до початкової
похибки;якщо ця похибказростаєнакожномуподальшомукроцi, то процес
обчисленьназивається нестiйким.
Приклад 3. На гiпотетичнiй «десятковiй» ЕОМз мантисоюдовжиною4
знаходять сумучиселвiд найменшого до найбiльшого та в зворотньому
напрямкувiд найбiльшого до найменшого:

24
S = 0, 2764 + 0, 3944 + 1, 475 + 26, 46 + 1364.
В якомувипадку обчислювальнапохибкабудеменшою?
РОЗВ'ЯЗАННЯ. ЗнайдемосумуS˜ вiд найменшого до найбiльшого:
S˜ 1 = 0, 2764 + 0, 3944 = 0, 6708 ≈ 0, 671;
S˜2 = 0, 671 + 1, 475 = 2, 146 ≈ 2, 15;
S˜ 3 = 2, 15 + 26, 46 = 28, 61 ≈ 29;
S˜ 4 = 29 + 1364 = 1393;
S˜ ≈ 1393.
Знайдемо сумуS вiд найбiльшого до найменшого:
S1 = 1364 + 26, 46 ≈ 1364 + 26 = 1390;
S2 = 1390 + 1, 475 ≈ 1390 + 1 = 1391;
S3 = 1391 + 0, 3944 ≈ 1391 + 0 = 1391;
S4 = 1391 + 0, 2764 ≈ 1391 + 0 = 1391;
S ≈ 1391.
Знайдемо точнезначення суми(будемо вважати, що мантисане
обмежена4 розрядами):
4 S = 0, 2764+0, 3944+1, 475+26, 46+1364 = 1392, 6058 ≈ 1393.
Отже, похибкаменша придодаваннiвiд найменших чиселдо найбiльших.
Дiйсно, для запобiгання зростання обчислювальноїпохибкиобчислення
проводятьпочинаючиз найменших по модулюзначень.
4. Повна похибка – сума всiх похибок, якiвиникають прирозв’язаннi
конкретноїзадачi. Для довiльної задачiвiдбувається накопичення похибок
рiзного походження.Оцiнка величиниповної похибкиєдостатньоскладною
задачею, томузазвичайобмежуютьсядослiдженням похибококремихтипiв.

25
2.3. Правильніцифри наближеногозначення
У наближенихобчисленняхзаписи 25,6і 25,600 відрізняютьсяодинвід
одного. Учислі 25,6 точні(правильні) лише цифрицілих і їхні десятічастини,
а в числі 25,600 також сотіі тисячнічастини.
Прийнято вважати, що k-та цифранаближеного числа а точною(правильною),
якщо абсолютнапохибкацього числанеперевищує половиниодиниці k-
го розрядуцієї цифри. Всі цифри, якістоять лівіше від правильної, також
правильні. У протилежномувипадкуцифру k-го розрядуназивають
сумнівною. Сумнівноюцифроюназивають ту, яка стоїть безпосередньоза
крайньоюсправаправильноюцифрою. Цифри, якістоять справавід сумнівної
цифри, називаються неправильними.Неправильніцифриповиннібути
відкинуті шляхом округлення яку вихідних даних, так і у кінцевому
результатірозрахунку.
Зауважимо, що поняття правильноїцифричиславажко сприймається
учнями. Томудоцільно запропонуватиїм системувправ, якідопоможуть
засвоїтицейматеріал і свідомо використовуватийогонапрактиці.
Розглядаємопослідовнотакі випадки:
1. Межа абсолютноїпохибкинаближеногозначеннячиславиражається
числом 10-n, наприклад:5,347±0,01; 42,2356±0,001.
2. Межа абсолютноїпохибкинаближеного значеннявиражаєтьсячислом,
яке має одну значущуцифру відмінну від одиниці, наприклад:2,1436±0,0005;
405,34±0,02.
3. Межа абсолютноїпохибкинаближеного значеннявиражаєтьсячисломз
кількома значущимицифрами, наприклад:2,374±0,015; 3754±25.
Наведемо прикладивправ кожноговиду.
1. Для визначення правильнихцифр, підписують межуточностіпід
наближеним значенням (розрядпід розрядом)
5,847 42,2356

26
0,01 0,001
Тодів записучислаусі цифри, які стоять над цифрою1і зліва від неї,
правильні.
Для наочностіправильніцифричисламожна відділити вертикальноюрискою:
цифриправильні цифри правильні
5,84 7 42,235 6
0,01 0,001
2. Якщо в записумежі точностіпершазліва значуща цифра відмінна від
одиниці, то всіцифри наближення, якістоять вліво від розряду,у якому
записанацифра α, правильні. Наприклад, 2,1436±0,0005; у наближенні 2,1436
правильнимиє перші чотирицифри. Можназаписати:
2,143 6 405,3 4
0,000 5 0,0 2
3. Аналогічно діємо й у випадку, коли межа точностівиражається числомз
кількома значущимицифрами:
2,3746±0,015; 3754±25
2,3 74 37 54
0,0 15 25
Згодом, колиучнізасвоятьправило визначення правильнихцифр, вонине
вдаються до такихзаписів, а виконують ці вправиусно.

27
ТЕМА 3. НАБЛИЖЕНІ ОБЧИСЛЕННЯ
3.1. Діїнад наближеними значеннями
Обчислення з наближенимиданимипостійно використовуєтьсяв
практичнихзавданнях, прицьомурезультатобчислень зазвичайокруглюють.
Результатдій з наближенимичисламиє теж наближенечисло. Виконуючи
деякі дії над точнимичислами, можнатак само отриматинаближенічисла.
При складанніі відніманнінаближенихчисел врезультатіслідзберігати
стількидесятковихзнаків,скількиїх в наближеномуданомуз найменшим
числом десятковихзнаків, т.е. залишаютьврезультатістількизнаків
після коми, скількиїх міститься вменш точномуданому.
ПРИКЛАД 3. Дано х ≈ 17,2 і у ≈ 8,407. Знайтинаближене значення
суми х і у.
РОЗВ'ЯЗАННЯ. Маємо:х + у ≈ 25,607.
З цих наближених значень 17,2 і 8,407 менш точним є перше. Округливши
результатпо першомуданому, т. е. до десятих, отримаємо:х + у ≈ 25,6.
ПРИКЛАД 4. Дано х ≈ 6,784 і у ≈ 4,91.Знайтинаближене значення
різниці х і у.
РОЗВ'ЯЗАННЯ . Маємо: х – у ≈ 1,874.З цих наближених
значень 6,784 і 4,91 менш точним є друге. Округливширезультатпо
другомуданому, тобтодо сотих, отримаємо:х – у ≈ 1,87.

28
ПРИКЛАД 5. Знайдіть різницюнаближених значень х = 1,52 ± 0,01 і
у = 0,27 ± 0,02.
РОЗВ'ЯЗАННЯ. Цим наближеним значенням відповідають подвійні
нерівності 1,51 ≤ х ≤ 1,53 і 0,25 ≤ у ≤ 0,29.
Помножимо усічастиниостанньоїподвійноїнерівностіна –1, отримаємо
–0,29 ≤ –у≤ –0,25.
Додавшицю подвійну нерівність до першої, отримаємо
1,22 ≤ х – у ≤ 1,28, або х – у = 1,25 ± 0,03.
Трохиінакше поступають примноженніі діленні наближених значень. Тут
округлення робиться з урахуванням відносноїточностіданих. В цьому
випадку знаходять твір або часткунаближених значень і результат
округлюють по менш точномуданому, маючизважаючинавідноснуточність.
Для цього початковіданіі отриманийрезультатзаписують в стандартному
виді
а × 10n,
і множник а результатуокруглюють,залишаючив нім стільки знаків після
коми, скільки їх має відповідниймножникв менш точномуданому.
ПРИКЛАД 6: Дано х ≈ 0,86 і у ≈ 27,1.Знайти наближенезначення
добутку х і у.
РОЗВ'ЯЗАННЯ . Перемноживши 0,86 и 27,1, отримаємо:
ху ≈ 23,306.Запишемо ці числаі результатв стандартномувиді:
0,86 = 8,6 × 10-1; 27,1 = 2,71 × 101; 23,306 = 2,3306 × 101.

29
У множнику 8,6 однацифрапісля коми, а в множнику 2,71 дві цифрипісля
коми. Округлимо число 2,2306 по першому даному, т. е. до десятих.
Отримаємо:ху ≈ 2,3 × 101 = 23.
ПРИКЛАД 7. Дано х ≈ 60,2 і у ≈ 80,1.Знайтинаближене значення
добутку х і у.
РОЗВ'ЯЗАННЯ. Відомо, що усівиписаніцифри вірні, так що істинні
величиниможуть відрізнятися від наближених лише сотими, тисячнимиі так
далі долями.
У добуткуотримуємо 4822,02. Тут можуть бути невірними не лише цифри
сотихі десятих, але і цифриодиниць.
Нехай, наприклад, співмножникиотриманіокругленням точних
чисел 60,23 і 80,14. Тодіточнийдобутокбуде 4826,8322, так що цифра
одиниць в наближеномутворі (2) відрізняється від точної
цифри (6) на 4 одиниці.
ПРИКЛАД 8. Дано х ≈ 563,2 і у ≈ 32. Знайдемо наближенезначення
частки х і у.
РОЗВ'ЯЗАННЯ. Розділивши 563,2 на 32, отримаємо:х : у ≈ 17,6.
Запишемо ці числа і результатв стандартномувиді:563,2 = 5,632 × 102;
32 = 3,2 × 10; 17,6 = 1,76 × 10.
З цього записувидно, що число 1,76 слід округлитипо другомуданому, т. е.
до десятих. Отримаємо:х : у ≈ 1,8 × 10 ≈ 18.

30
При множенніі діленнінаближенихчисел требав результатах
зберігатистількизначущихцифр, скількиїх було в наближеномуданомуз
найменшим числом значущихцифр.
Таким чином, прискладанні, відніманні, множенніі діленні наближених
значень результатокругляєтьсяпо менш точномуданому. Прицьомупри
складанніі відніманні ці числа записуютьсяв десятковихдробахі менш точне
дане визначаєтьсяпо абсолютнійточності, а при множенніі діленні ці числа
записуютьсяв стандартномувидіі менш точнедане визначаєтьсяпо відносній
точності.
Теорія наближених обчисленьдозволяє:
– знаючи міруточностіданих,оцінитиміруточностірезультатів;
– братиданузналежною міроюточність, достатнійдля забезпечення
необхідній точностірезультату;
– раціоналізуватипроцесобчислення, звільнившийоговідтих викладень,
які невплинуть на точність результату.
3.2. Значущіцифри числа
Всі правильніцифричисла, починаючиз першої зліва, відмінної від нуля, і
включаючипершу сумнівну цифру, називаються значущимицифрами. Всі
інші цифриназиваються незначущими.Наприклад, у числі 0,0507три
значущих цифри;перші два нулі незначущі, нуль між п’ятіркоюі семіркою –
значущий.
Записуючиостаточнірезультатинаближенихобчислень,незначущіцифри
числавідкидають. При цьомукожнечислозаписуватимемояк добуток
деякого степенічисла10 на число, всі цифриякогозначущі.Якщо з
наближенимичисламивиконуватимутьсяобчислення, то в них, крім
значущих, треба зберігатище однуабо дві сумнівні цифри.

31
У числі 2500 – чотиризначущихцифри(нулі в числі 2500 – значущіцифри;
точно відомо, що одиниць ідесятків у числі 2500 немає).
Запис 47200·103 або 0,47200·108 означає, що в числі 47 200 000триостанні
цифрине значущі, а всіінші – значущі.
Запис результатів вимірювання має відповідати такожточностівимірювання.
Наприклад, якщо товщинапластинки після обчисленьстановить 4,5568
мм при абсолютнійпохибцівимірювання 0,02 мм, то такий запис числане
відповідає теорії похибоквимірювання. Середнєарифметичнезначення для
товщинипластинки в цьомуразіслід округлитидо 4,56 мм.
При цьому кожне число записуватимемояк добуток деякого степеня
числа 10 на число, всі цифри якогозначущі. Якщо з наближеними
числами виконуватимуться обчислення, то в них, крім значущих, треба
зберігати ще одну або дві сумнівні цифри.
Приклад 9. Визначити значущі цифри чисел, якщо всі цифри в його
записі вірні: 4,570345; 0,007614; 0,03105600; 3750000; 3,75·106.
Розв’язання. 1. x=4,570345 – всі цифри в запису цього числа значущі;
2. x=0,007614 – значущі цифри тільки 7,6,1,4;
3. x=0,03105600 – значущі цифри 3,1,0,5,6,0,0 (два останні нулі в запису
числа є значущими);
4. x=3750000 – всі цифри значущі;
5. x=3,75·106 – значущі цифри тільки 3,7,5.
Приклад 10. Дано x*=14,537 і відомо, що Δ(x*)=0,04. Скільки вірних
значущих цифр має число x*?

32
Розв’язання. Маємо Δ(x*)>0,5·10–2 і Δ(x*)<0,5·10–1. Отже у числа
x* вірними будуть значущі цифри 1,4,5, а цифри 3 і 7 – сумнівні.
Приклад 3. Нехай x*=8,677142 і Δ(x*)=3·10–4. Скільки вірних значущих
цифр має число x*?
Розв’язання. ОскількиΔ(x*)=0,3·10–3<0,5·10–3, то x* має вірні три
значущі цифри після коми, тобто вірними будуть значущі цифри
8,6,7,7.
Приклад 11. Нехай x*=0,046725 і Δ(x*)=0,008. Скільки вірних
значущих цифр має число x*?
Розв’язання.Маємо Δ(x*)=0,0·10–2>0,5·10–2. Отже, у числа x* всі
значущі цифри сумнівні.

33
3.3. Правильні цифри наближеногозначення
Розрізняють обчислення:
1) із суворим урахуванням похибок;
2) без суворого обліку.
У менш відповідальних обчисленняхз наближеними числами
користуються другим способом, заснованим на так званих правилах
підрахунку цифр.
У цих правилах використовують поняття:
1) десятковихзнаків;
2) значущих цифр;
3) точних і сумнівних цифр.
Нагадаємо, що десятковими знаками числаназивають усі його
цифри, які стоять правіше коми.
Приклад 11.Скільки десятковихзнаків мають числа.
Розв’язання. Числа3,5 і 3,05 мають відповідно один і два
десятковихзнака.
Значущими цифрами числа називають всі його цифри,
починаючи з першої зліва відмінною від нуля, Крім нулів, що стоять

34
в кінці запису числа на місці відкинутих при округленні чисел (як уже
зазначалося, ці нулі зазвичайпідкреслюють або пишуть меншими).
Приклад 12: Скільки значущих цифр в числі 3,5 і числі 0,0307.
Розв’язання.Вчислі3,5 - дві значущі цифри, в числі 0,0307 - три
значущі цифри.
Якщо межа абсолютної похибкинаближеного числа дорівнює
половині одиницірозрядуостанньоїйого цифри, то всіцифри цього
числа називають точними. Якщо ж ця межа більше половиниодиниці
розрядуостанньої цифричисла, то остання цифра такого числа
називається сумнівною.
Приклад 12. У числах 2,06 ( 0,005); 2,06 ( 0,01); 35000(1000) записати
точні і сумнівні цифри.
Розв’язання.У числі 2,06 ( 0,005)цифри 2, 0 точні, а 6 - сумнівна. У
числі 2,06 (0,01)цифри 2, 0 точні, а 6 - сумнівна. У числі 35000,
Отриманомув результаті округлення до тисяч, цифри 3 і 5 точні, а всі
три нуля - сумнівні.
Правила підрахунку цифр тісно пов'язаніз принципом А. Н. Крилова
(1863-1945). Наближене числослід писати так, щоб в ньому всі
значущі цифри, крім останньої,були вірні і лише останняцифра
була б сумнівна і при цьомуне більше як на одну одиницю.

35
Якщо наближене число записано: х ≈ 3,72, то це означає, що воно задано
з точністю до сотих, або х ≈ 3,72 (0,01). Якщо ж відомо, що х ≈ 3,72
(0,02)то, згідно з принципом А. Н. Крилова, його треба написати так: х ≈
3,7.
3.4. Правило підрахунку цифр
Обчислення з наближеними числами, записаними у такий спосіб,
виконують як над точнимичислами, але, дотримуючисьтаких правил:
1. При додаванні і відніманні наближених чисел в результаті слід
зберігати стільки десятковихзнаків, скільки їх в наближеному
даному з найменшим числом десятковихзнаків.
Приклад 13.
Знайти суму наближених чисел 127,42; 67,3; 0,12 і 3,03.
Розвязання. 127,42 +67,3+ 0,12 + 3,03= 197,87 ≈ 197,9.
Приклад 14. Знайти різницю чисел: 418,7 і 39,832.
Розвязання. 418,7-39,832= 378,87 ≈ 378,9.

36
2. При множенні і діленні наближених чисел в результаті треба
зберегтистільки значущих цифр, скільки їх є в даномучислі з
найменшою кількістю значущихцифр.
Приклад 15. Перемножити наближені числа 3,4 і 12,32.
Розв’язання. 3,4 х12,32 = 41,888 ≈ 42.
Приклад 16. Площа прямокутної ділянки приблизно дорівнює 7,6 м2
,
Ширина - 2,38 м. Чому дорівнює її довжина?
Розв’язання. Довжинадорівнюєчастці від ділення 7,6 на 2,38.
L = 7,6 :2,38= 3,19 ≈3,2 м.
Останню цифру в частці 9 можна було і не писати, а, отримавши в
остачі дві значущі цифри, помітивши, що залишок більше половини
дільника, округлити частку з надлишком.
3. При зведенні наближених чисел в квадрат і куб в результаті
зберігається стільки значущих цифр, скільки їх в даномучислі.
2,32
= 5,29 ≈ 5,3. 0,83
=0,512≈ 0,5.
4. В проміжних результатах слід брати однією цифрою більше, ніж
рекомендують попередні правила.
5. Якщо деякі дані мають більше десятковихзнаків (при діях першого
ступеня) або більше значущих цифр (при діях 2-й і 3-й ступенів), ніж

37
інші, то попередньо їх слід округлити, зберігаючи лише одну
запаснуцифру.
6. Якщо дані можна брати з довільною точністю, то для отримання
результату з k цифрами дані слід брати з таким числом цифр, яке дає
згідно з правилами (1-4) це «k + 1» цифру в результаті.
Застосуванняправил.
Застосування правил підрахунку цифр розглянемо на прикладі.
Приклад 14. Знайти значення х = [(a - b) c] / (a + b), a = 9,31;b = 3,1;
c = 2,33.
Розв’язання. a - b = 9,31 - 3,1 = 6,21;
(a - b) c = 6,21 х2,33 ≈ 14,5;
a + b = 9,31 + 3,1 = 12,4;
х = 14,5 / 12,4 ≈1,2.
Відповідь. х ≈1,2.
Примітка. Сформульовані раніше правила підрахунку цифр
мають імовірнісний сенс:вони більш вірогідні, хоча існують
приклади, які не задовольняють цим правилам. Тому обчислення
способом підрахунку цифр - найгрубіший спосіб оцінки похибки
результатів дій. Однак він дуже простий і зручний, а точність таких
обчислень цілком достатня для більшості технічних розрахунків. Тому
цей спосіб широко розповсюджений в обчислювальній практиці.
У більш відповідальних обчисленняхкористуються способом
кордонівабо способом граничнихпохибок.

38
3.5. Дії з числами,записаними у стандартномувигляді.
Щоб додати або відняти числа, записані в стандартному вигляді,
потрібно записати числа з одним спільним найменшим порядком,
виконати необхідні дії та результат записати у стандартномувигляді.
Приклад 13. Знайди суму та різницю та запиши результат в
стандартномувигляді: 1)1,1× 106
+7,8× 107
2) 3,2× 10−3
-0,2× 10−2.
Розв’язання:1)1,1× 106
+7,8× 107
=1,1× 106
+78× 106
=79,1× 106
;
2) 3,2× 10−3
-0,2× 10−2.
=3,2× 10−3
-2× 10−3
=1,2 × 10−3
.
Відповідь.1) 79,1× 106
;2) 1,2 × 10−3
.
Щоб помножити числа , записані в стандартному вигляді, потрібно
окремо перемножити числовіта степеневі частини,а отриманий
результат запсати в стандартномувигляді.
(а× 𝟏𝟎 𝒎
) × (𝒃 × 𝟏𝟎𝒏)
=ab× 𝟏𝟎𝒎+𝒏
Приклад 14. Знайди добутокта запиши результат в стандартному
вигляді: ( 3,5× 10−7
) ×(3× 10−5
)
Розв’язання: ( 3,5× 10−7
) ×(3× 10−5
)=(3,5×3)×(10−7
× 10−5
)=10,5×
10−7+(−5)
=10,5× 10−12
=1,05× 10−11

39
Відповідь:1,05× 10−11
.
Щоб поділити числа, записані в стандартному вигляді, потрібно
окремо поділити числовіта степеневі частини та результати
перемножити, а отриманий результат записати в стандартномувигляді.
Приклад 15. Знайди частку та запиши результат в стандартному
вигляді: ( 3,15× 10−7
)∶(3× 10−5
).
Розв’язання. ( 3,15× 10−7
) ×(3× 10−5
)=(3,15:3)×(10−7
:10−5
)=1,05×
10−7−(−5)
=1,05× 10−2
.
Відповідь. 1,05× 10−2
.

40
ТЕМА 4. НАБЛИЖЕНІ ОБЧИСЛЕННЯ – ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
4.1. Розв’язуванняприкладнихзадач
Математика – наука не тільки для вчених. Вона потрібна всім. Коли ми
йдемо в магазин, робимо ремонт, садимо квіти чи косимо газони –
математика нам стане в нагоді. Багато хто вважає, що математика нудна,
відірвана від повсякденногожиття, наука. Може і ви так думаєте.
Запропонованізадачі покажуть наскільки простою, захоплюючоюі красивою
може бути математика. Запропонованізадачі буде розв’язуватине складно ,
проте вони можуть пригодитися у житті, адже скоро декому з
дев’ятикласників прийдеться опановувати різні професії та застосовувати
знання для повсякденногожиття:
Прикладнізадачів фізиці. Визначеннягустини рідини.
Задача №1
Об'єм рідини визначили з точністю до 1см3 (наприклад, мензуркоюз
відповідною ціною поділки) V=15±1см3, а її масу — з точністю до 0,5г,
т=19±0,5г. Визначити густину рідини і назвати її.
Р о з в’ я з а н н я. Виконуємо обчислення заметодом меж:
18,5г<т<19,5г;
14см3<V<16см3.
Розрахунковаформула ρ=m/V.
За правилами знаходження верхньої та нижньої меж частки записуємо:
13.5г/16см3<ρ<19.5г/14см3
Обчислюючи, заправилами отримуємо ρ=1,275±0,119г/см3.

41
Густину, близьку до знайденої, має гліцерин ρ=1,26г/см3.
Відповідь. ρ=1,275±0,119г/см3.
Прикладнізадачів математиці. Розв'язуваннятрикутників
Задача №2. (Вимірювання відстані до недоступної точки). З пункту А до
недоступної точкиC (мал. 1) потрібно збудувати кладку. Обрахувати її
довжину з точністю до сантиметрів .
Мал.1
Р о з в’ я з а н н я. Цю задачуми вже розв’язувалиу 8-му класі за допомогою
подібностітрикутників. Розглянемо тепер інший спосіб - за допомогою
теореми синусів.
1) Позначимо на місцевості точку В і виміряємо довжину відрізка AB. Нехай
AB = с. Потім виміряємо (наприклад, за допомогоюастролябії)кути А і В,
нехай ∠А = a, ∠B = .
2) За теоремоюсинусів:
ad
3) ∠C = 180° - (∠A + ∠B), тому sin C = sin (180° - (а + )) = = sin (а + ).
Остаточно отримаємо:

42
Відповідь.
Задача №3. (Вимірювання висоти предмета, основаякого недоступна).
Знайти висоту дерева CH, якщо точка H - недоступна, з точністю до
сантиметрів (мал. 2).
Мал. 2
Р о з в’ я з а н н я. Цю задачуми також розв’язувалиу 8-му класі за
допомогоюспіввідношень між сторонамиі кутами в прямокутних
трикутниках CHA і CHB. Розглянемо ще один спосіб розв’язування.
1) На прямій, що проходить через основупредмета - точку H, виберемо дві
точки А і B, відстань між якими дорівнюєа. Виміряємо кути САН і CBH,
нехай ∠САН = а, ∠CBH = .
2) Із трикутника ABC:
Оскільки ∠CAB = 180° - а, то ∠ACB = 180° - ( + 180° - а) = = а - .
Тоді
Відповідь.

43
Задача №4. (Обчислення площфігур). Скільки літрів бензину потрібно для
того, щоб скоситипрямокутнийстадіон біля школи довжиною96м і
шириною в 1,5 рази меншою, якщо на косіння стадіону біля нашої школи,
площа якого 4128м² , витратили 8 л бензину? Результат округлити до
десятих.
Р о з в’ я з а н н я. 1)96: 1,5 = 64 (м) – (ширина стадіону)
2)96 × 64= 6144( м²) - (площа стадіону)
3)4128: 8=516 (м² ) - ( на 516 м² необхідно 1 л бензину)
4)6144 : 516= 11,90697 л ≈11,9 л
Відповідь. 11,9 л бензину необхідно для того , щоб скоситистадіон.
Задача № 5. Скільки дошокдовжиною4,5 м і шириною0,125 м потрібно
для настилання підлоги ,довжина якої 8,2 м , а ширина – 6 м ?
Р о з в’ я з а н н я. 1)4,5 ×0,125 = 0,5625 м² -(площа однієї дошки)
2)8,2 × 6 = 49,2 м² - (площа підлоги)
3) 49,2 : 0,5625 = 87,46666≈ 88 дошок
Відповідь. 88 дошок
Задача № 6. Знайти периметр і площу прямокутника, знаючи межі, в яких
знаходяться довжинийого сторіну сантиметрах: 5,3<х<5,5; 3,6<у<3,8.
Р о з в’ я з а н н я. Насамперед маємо нерівність: 8,9<х+у<9,3, звідки
17,8<2(х+у)<18,6. Таким чином, Р=18,2±0,4(см). Оскільки межа абсолютної
похибки дорівнює 0,4, то результат можна округлити до цілих: Р=18см.
Обчислимо площу S=ху.

44
5,3<х<5,5
3,6<у<3,8
19,08<ху<20,90;
19<S<21;
S=20±1см2.
Правильними є цифри 2 і 0; S=20см2.
Відповідь.18см, 20см2.
Задача № 7. (ЗНО).ГораФудзі відкрита для сходження на неї лише з 1
липня до 27 серпня щороку. За цей період близько 200 000 людей сходять на
горуФудзі. Скільки в середньомулюдей сходить на гору Фудзі щодня?
A) 340; B) 710; C) 3400; D) 7100; E )7400
Р о з в’ я з а н н я. ГораФудзі відкрита для сходження проягом 31+17=48
днів. Обчислимо, якільки людей всередньомусходять на гору200 000:48 ≈
4 167 осіб. Найближча відповідь до цієї кількості – С.
Відповідь. C)3400.
4.2. Практичні роботи
Практична домашняробота 1. Витрати емалевої фарби ПФ-115 на
одношаровепокриття становить 180г на 1 кв.м. Чи вистачить 9 кг емалі , щоб
пофарбувати підлогу класної кімнати?
Хід роботи.
1.Виміряти довжину та ширину кімнати.
2.Знайти площу класної кімнати (довжину помножитина ширину)

45
3.Площу кімнати помножитина (переводимо грамив кілограми)
180г= 0,18 кг
4.Якщо отримане число менше 9 кг , або дорівнює 9 кг- то вистачить
фарби. Якщо отримане число більше 9 кг – не вистачить фарби
Практична робота 2. У піцерії пропонують два види круглої піци однакової
товщини, але різного розміру. Діаметр меншої піци дорівнює30 см, і вона
коштує 130 грн. Діаметр більшої піци дорівнює 40 см, і вона коштує 140 грн.
Яку із піц вигідніше купити?
Хід роботи.
1.Товщина піц однакова, тому потрібно порівняти площі.
2.Очислитиплощі піц.
3. Обрахувати скільки коштує 1см2 кожної піци і зробитивисновок.
Однією з умов «правильного»зведення покрівлі вважається вибір
будматеріалів і грамотно складений кошторис на їх придбання. Томутак
важливо знати, як розрахуватиплоща даху. Багато хто вдається для цього до
онлайн калькуляторах, які широко представлені на різних сайтах в інтернеті.
Проте професіонали рекомендують виконувати обчислення «вручну» з
урахуванням особливостейконкретного об'єкта.
При уважному розглядістає очевидним, що коло найбільш часто
зустрічаються форм окремо взятих скатів обмежується елементарними
геометричнимифігурами, такими як:
 прямокутник/ квадрат;
 трапеція;
 паралелограм.
Звичайно ж, дизайн сучасних покрівель набагато різноманітніше і, як
правило, при цьому не обходиться без серйозногоускладнення конструкції
даху: змінюються її форма, розміри. Однак навіть у цьому випадку «трьома
китами», на яких ґрунтується розрахунок, залишаються елементарні фігури.

46
Будь-яку за складністю для підрахунку площа розбивають на ряд більш
простих. Шукана площа, таким чином, є не що інше як сума площ складових
елементів.
Практична робота 3. На малюнку червоним кольоромпоказаначастина
поверхні даху, яку потрібно замінити. Зробити необхідні виміри і
обрахувати на якій площі потрібно замінити покрівлю. Взяти масштаб, який
би на вашу думку відповідав дійсності.

47
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1.Бевз Г. П. Алгебра: Підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл.— 2—re
вид.— К.: Освіта, 2017.— 176 с.
2.Корінь Г. Вивчаємо наближені обчислення // Математика в школі.—
2003.— № 2.— С. 35—42.
3.КравчукВ., Підручна М., Янченко Г. Алгебра. Пробний підручник для 9
класу.— 2—re вид, перероб. i допов. / За ред. 3. І. Слєпкань.— Тернопіль:
Підручники i посібники, 2004.— 248 с.
4.Раков С. А. Математична освіта: компетентнісний підхід з використанням
ІКТ. – Х.: Факт, 2005. – 360 с.
5.Швець В., Кліндухова В. Вивчення наближених обчислень у курсі мате-
матики основнойшколи // Математика в школі.— 2008.— № 2.— С. 3—8;
№ 3.— С. 10—15.
6.Швець В., Кліндухова В. Наближені обчислення у 7—8 класах ff
Математика в школі.— 2008.— № 6.— С. 12—17.
7.Швець В., Кліндухова В. Наближені обчислення у 9 класі // Математика в
школі.— 2008.— № 9.— С. 16—22.

3.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 3.pdf

Similar to 3.pdf (20)

More from Репетитор Історія України

More from Репетитор Історія України (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (14)

3.pdf