‫סיבוכיות‬
‫תירגול‬
1

‫הגדרה‬
:
‫פונקציה‬ ‫הוא‬ ‫אלגוריתם‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬
‫כ‬
"
‫באורך‬ ‫קלט‬ ‫לכל‬ ‫ש‬
‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫מבצע‬ ‫האלגוריתם‬
‫צעדים‬
‫הגדרות‬
:
‫יהיו‬
‫אזי‬
‫ש‬ ‫מתקיים‬
:
‫סיבוכיות‬ ‫פונקציות‬
1

‫תרגיל‬
:
‫הוכח‬
‫פתרון‬
:
‫נראה‬
1
)
2
)
1
)
‫עבור‬ ‫הנדרש‬ ‫ומתקיים‬
‫סיבוכיות‬ ‫פונקציות‬
2

2
)
‫עבור‬
‫מתקיים‬
‫לכן‬
‫עבור‬
:
‫ומתקיים‬
‫עבור‬ ‫הנדרש‬
‫סיבוכיות‬ ‫פונקציות‬
3

4
‫הגדרה‬
:
‫תוים‬ ‫ולכתוב‬ ‫לקרוא‬ ‫ניתן‬ ‫ממנו‬ ‫מסרט‬ ‫מורכבת‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬
,
‫קורא‬ ‫ראש‬
/
‫כותב‬
,
‫ומערכת‬
‫הסרט‬ ‫לפי‬ ‫שפועלת‬ ‫חישובית‬
.
‫פורמלית‬
,
‫טיורינג‬ ‫מכונת‬
‫שביעייה‬ ‫היא‬
:
‫א‬
"
‫השפה‬ ‫של‬ ‫ב‬
(
‫קלט‬
)
‫א‬
"
‫של‬ ‫ב‬
(
)
‫הפנימיים‬ ‫המצבים‬ ‫קבוצת‬
‫מעבר‬ ‫פונקציית‬
‫התחלתי‬ ‫מצב‬
‫מקבל‬ ‫מצב‬
‫דוחה‬ ‫מצב‬
‫טיורינג‬ ‫מכונות‬

‫תחילת‬
‫ריצה‬
:
‫סרט‬
‫ולאחריו‬ ‫הקלט‬ ‫את‬ ‫מכיל‬ ‫המכונה‬
‫ריקים‬ ‫תאים‬
.
‫הקורא‬ ‫הראש‬
/
‫נמצא‬ ‫כותב‬
‫הסרט‬ ‫בתחילת‬
.
‫המצב‬
‫המצב‬ ‫הוא‬ ‫הפנימי‬
‫ההתחלתי‬
.
‫מעבר‬
:
‫המצב‬ ‫ואת‬ ‫לראש‬ ‫מתחת‬ ‫שנמצא‬ ‫התו‬ ‫את‬ ‫כקלט‬ ‫מקבלת‬ ‫המעבר‬ ‫פונקציית‬
‫הנוכחי‬ ‫הפנימי‬
.
‫לראש‬ ‫מתחת‬ ‫שייכתב‬ ‫התו‬ ‫את‬ ‫כפלט‬ ‫מוציאה‬ ‫הפונקציה‬
,
‫את‬
‫החדש‬ ‫הפנימי‬ ‫המצב‬
,
‫הראש‬ ‫יזוז‬ ‫אליו‬ ‫הכיוון‬ ‫ואת‬
.
‫ריצה‬ ‫סיום‬
:
‫מקבל‬ ‫למצב‬ ‫מגיעה‬ ‫המכונה‬ ‫אם‬
,
‫ומקבלת‬ ‫עוצרת‬ ‫היא‬
.
‫אם‬
‫למצב‬ ‫מגיעה‬ ‫המכונה‬
‫דוחה‬
,
‫עוצרת‬ ‫היא‬
‫ודוחה‬
.
‫טיורינג‬ ‫מכונות‬
5

‫הגדרות‬
:
‫מ‬
"
‫ט‬
‫מכריעה‬
(
decides
)
‫שפה‬
‫אם‬
‫לכל‬
:
‫את‬ ‫מקבלת‬
.
‫את‬ ‫דוחה‬
.
‫מ‬
"
‫ט‬
‫מזהה‬
(
recognizes
)
‫שפה‬
‫אם‬
‫לכל‬
:
‫את‬ ‫מקבלת‬
.
‫את‬ ‫דוחה‬
‫עוצרת‬ ‫לא‬ ‫או‬
.
‫טיורינג‬ ‫מכונות‬
6

‫תרגיל‬
:
‫תהי‬
‫הפלינדרומים‬ ‫שפת‬
.
‫מ‬ ‫ליבנות‬ ‫צריך‬
"
‫את‬ ‫שמכריעה‬ ‫ט‬
.
‫פתרון‬
:
‫של‬ ‫פתרון‬ ‫נראה‬
‫מצבים‬ ‫מעבר‬ ‫ותרשים‬ ‫אלגוריתם‬
.
‫אלגוריתם‬
:
‫בסרט‬ ‫הראשון‬ ‫שבתא‬ ‫התו‬ ‫את‬ ‫וזכור‬ ‫קרא‬
,
‫אותו‬ ‫מחק‬ ‫ואז‬
.
‫ריק‬ ‫שאינו‬ ‫בסרט‬ ‫האחרון‬ ‫לתא‬ ‫הגעה‬ ‫עד‬ ‫הסרט‬ ‫על‬ ‫עבור‬
.
‫שזכרת‬ ‫מהתו‬ ‫שונה‬ ‫התו‬ ‫אם‬
,
‫דחה‬
.
‫אחרת‬
,
‫הנוכחי‬ ‫התא‬ ‫מחק‬
,
‫ריק‬ ‫שאינו‬ ‫בסרט‬ ‫הראשון‬ ‫לתא‬ ‫חזור‬
,
‫התהליך‬ ‫על‬ ‫וחזור‬
.
‫כזה‬ ‫ואין‬ ‫ריק‬ ‫לא‬ ‫תא‬ ‫מחפשים‬ ‫הריצה‬ ‫במהלך‬ ‫אם‬
(
‫בודד‬ ‫תו‬ ‫מכיל‬ ‫או‬ ‫ריק‬ ‫הסרט‬
)
,
‫קבל‬
.
‫ריצה‬ ‫זמן‬ ‫סיבוכיות‬
:
‫מקום‬ ‫סיבוכיות‬
:
‫טיורינג‬ ‫מכונות‬
7

‫מצבים‬ ‫מעבר‬ ‫תרשים‬
:
‫טיורינג‬ ‫מכונות‬
8
q0
q4
q1
q5
q2
q3
qrej
qacc
qrej
qcc
qacc
(
‫זוגי‬ ‫פלינדרום‬
)
(
‫אי‬ ‫פלינדרום‬
-
‫זוגי‬
) (
‫אי‬ ‫פלינדרום‬
-
‫זוגי‬
)

P
‫השפות‬ ‫מחלקת‬
‫ע‬ ‫להכרעה‬ ‫שניתנות‬
"
‫פולינומיאלי‬ ‫בזמן‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫י‬
.
‫ב‬ ‫לשפות‬ ‫דוגמאות‬
:
•
‫סופית‬ ‫שפה‬ ‫כל‬
•
‫הפלינדרומים‬ ‫שפת‬
•
‫קודקודים‬ ‫וזוג‬ ‫גרפים‬
‫כ‬
"
‫בין‬ ‫מסלול‬ ‫קיים‬ ‫ש‬
‫ל‬
.
•
‫בגודל‬ ‫קליקה‬ ‫בהם‬ ‫שקיימת‬ ‫גרפים‬
-
‫עבור‬
‫קבוע‬
.
‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬
9

‫א‬ ‫חישוב‬
-
‫דטרמיניסטי‬
‫המוגדרת‬ ‫מעבר‬ ‫פונקציית‬ ‫יש‬ ‫דטרמיניסטית‬ ‫טיורינג‬ ‫למכונת‬
:
‫א‬ ‫טיורינג‬ ‫למכונת‬
-
‫המוגדרת‬ ‫מעבר‬ ‫פונקציית‬ ‫יש‬ ‫דטרמיניסטיות‬
:
‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬
10

‫מ‬
"
‫ט‬
‫דטרמיניסטית‬
:
‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬
11
…
1
1
1
0
1
0
0
1
…
1
1
1
1
1
0
0
1
q2
q4

‫מ‬
"
‫ט‬
‫א‬
-
‫דטרמיניסטית‬
:
‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬
12
…
1
1
1
0
1
0
0
1
…
1
1
1
0
1
0
0
1
q2
q4
…
1
0
1
0
1
0
0
1
q3
…
1
0
1
0
1
0
0
1
…
1
0
1
0
1
0
0
1
…
1
0
1
0
1
0
0
1
…
1
0
1
0
1
0
0
1

NP
(
‫ע‬ ‫הגדרה‬
"
‫א‬ ‫חישוב‬ ‫י‬
-
‫דטרמיניסטי‬
)
‫השפות‬ ‫מחלקת‬
‫ע‬ ‫להכרעה‬ ‫שניתנות‬
"
‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫י‬
‫א‬
-
‫דטרמיניסטית‬
‫פולינומיאלי‬ ‫בזמן‬
.
‫א‬ ‫חישוב‬
-
‫אקראי‬ ‫חישוב‬ ‫לא‬ ‫הוא‬ ‫דטרמיניסטי‬
.
‫המכונה‬ ‫כאילו‬ ‫כך‬ ‫על‬ ‫לחשוב‬ ‫ניתן‬
"
‫מנחשת‬
"
‫את‬
‫האפשריים‬ ‫הצעדים‬ ‫מבין‬ ‫הנכון‬ ‫הצעד‬
.
‫הגדרה‬
:
‫מ‬
"
‫א‬ ‫ט‬
"
‫ד‬
‫מכריעה‬
‫שפה‬
‫אם‬
‫ו‬ ‫עוצרת‬ ‫היא‬ ‫לכל‬
:
‫מקבלת‬ ‫שבסופו‬ ‫חישוב‬ ‫מסלול‬ ‫קיים‬
‫את‬
.
‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬
13

NP
(
‫ע‬ ‫הגדרה‬
"
‫מוודא‬ ‫עד‬ ‫י‬
)
‫השפות‬ ‫מחלקת‬
‫ע‬ ‫לוודא‬ ‫שניתן‬
"
‫פולינומיאלי‬ ‫בזמן‬ ‫דטרמיניסטית‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫י‬
.
‫מ‬
"
‫שפה‬ ‫מוודאת‬ ‫ט‬
‫אם‬
‫לכל‬
‫ו‬ ‫עוצרת‬ ‫היא‬
:
‫עד‬ ‫קיים‬
(
‫ב‬ ‫תלוי‬
)
‫כ‬
"
‫ש‬
‫מקבלת‬
.
‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬
14

‫ב‬ ‫לשפות‬ ‫דוגמאות‬
:
•
‫ב‬ ‫שנמצאת‬ ‫שפה‬ ‫כל‬
.
•
‫המילטוני‬ ‫מעגל‬ ‫בהם‬ ‫שקיים‬ ‫גרפים‬
.
•
‫בגודל‬ ‫קליקה‬ ‫בהם‬ ‫שקיימת‬ ‫גרפים‬
-
‫גודל‬ ‫על‬ ‫הגבלה‬ ‫ללא‬
.
‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬
15

‫משפט‬
:
‫שקולות‬ ‫ל‬ ‫שראינו‬ ‫ההגדרות‬ ‫שתי‬
‫פתרון‬
:
‫נראה‬
1
)
2
)
1
)
‫שקיימת‬ ‫נניח‬
‫קיים‬ ‫בשפה‬ ‫ולכל‬
‫ל‬
‫ההגדרה‬ ‫פי‬
,
‫את‬ ‫ונראה‬
:
‫א‬ ‫באופן‬ ‫בוחרת‬
"
‫מחרוזת‬ ‫ד‬
.
‫את‬ ‫מריצה‬
‫הקלט‬ ‫עם‬
,
‫אמ‬ ‫ומקבלת‬
"
‫קיבלה‬ ‫זו‬ ‫ריצה‬ ‫ם‬
.
‫נכונות‬
:
‫מקבלת‬
‫בריצת‬ ‫קיים‬
‫מקבל‬ ‫מסלול‬
‫קיים‬
‫כ‬
"
‫ש‬
‫מקבלת‬
‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬
16

2
)
‫שקיימת‬ ‫נניח‬
‫את‬ ‫ונראה‬ ‫את‬ ‫שמכריעה‬
:
‫ע‬ ‫שמוכתב‬ ‫במסלול‬ ‫על‬ ‫את‬ ‫מריצה‬
"
‫י‬
,
‫אמ‬ ‫ומקבלת‬
"
‫זו‬ ‫ריצה‬ ‫ם‬
‫קיבלה‬
.
‫נכונות‬
:
‫כ‬ ‫קיים‬
"
‫ש‬
‫מקבלת‬
‫בריצת‬ ‫קיים‬
‫מקבל‬ ‫מסלול‬
‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬
17