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觀念4 路程與位移-24-31.pdf

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  1. 1. 22 ◎觀念 4 路程與位移 【90、100、102】 1. 位移與路徑長(路程) a.定義 圖 4-1 位移與路徑長示意圖 打桌球時,右方選手將球打給 左方選手,桌球移動的路徑長為綠 色曲線的長度;位移的大小為紅色 直線的長度,位移的方向則為箭頭 指向。 當物體移動時,物體「位置的變化量」稱為位移,具有大小和方向。位移的大小是指起點 到終點的直線長度,位移的方向就是起點指向終點的方向。而物體實際移動路線的總長度則稱 為路徑長或路程,具有大小但不具方向性。 b.路徑長不同,位移可能相同 圖 4-2 由學校走到圖書館的路線雖然路程不同, 但其位移大小和方向都相同。 如圖 4-2 所示,若想從學校走到圖書館, 有○ 1 、○ 2 、○ 3 三種不同的路程可選擇。雖然 三條路線實際經過的路程不同,但起點和終 點相同,所以這三條路線的位移大小、方向 都相同,其位移方向都是由學校指向圖書館 的方向。 ▲ 平面坐標的位移方向可用方位描述或用箭號表示,如圖 4-2 學校到圖書館的位移方向為東北方,記 為↗。數線上的位移方向可用正、負號表示即可,如下列所述。 2. 數線上的位移 圖 4-3 位移示意圖 如果物體沿一直線移動,起點的位置坐標為 x 1,終點的位置坐標為 x 2,則用物體位置的坐 標差 x 2-x 1 就可以表示位移,即:位移=終點的位置坐標-起點的位置坐標=x 2-x 1。 計算結果的數值大小代表起點到終點的直線距離,而正、負值只代表位移的方向。位移為 正值,表示物體沿正方向移動;位移為負值,表示物體沿負方向移動。位移常用的單位為公 里、公尺或公分。 ○ 1 ○ 2 ○ 3
  2. 2. 23 ◎ 例題 4-1【翰版 108】 那默在邊長各為 27 公尺的球場打棒球,若他將球擊出後,每 5 秒跑一個壘包,其運動路徑如右圖所 示。請問在 20 秒內,他運動的路徑長、位移各為多少公尺? ◎ 例題 4-2【康版 110】 阿康上體育課時要測驗折返跑,跑步路線如下圖所示,他沿一直線從起點跑至大樹下,再折返回到 起點,總共來回兩趟,請問: (1)大樹的位置坐標為何?請標示於上圖方框中。 (2)整個跑步過程的位移為何? (3)整個跑步過程的路徑長為何? ◎ 探索小 Q【南版 110】 右圖為中山高速公路北上的里程路標,請問: (1)路標上標示的數字是以何處為參考點?數字代表的是位移或路程? (2)嘉義與大林之間的路程相距多遠? (3)大林的地理位置是在嘉義的北方或南方? 答: (1)參考點為該路標的位置,數字代表的是 。 (2)嘉義與大林之間的路程為 公里。 (3)此里程是北上的路標,因此會先到達嘉義(距路標 5 公里),再到達大林(距路標 19 公里), 因此,大林的地理位置是在嘉義的 方。 ◎ 例題 4-3【翰版 111】 辦公大樓的電梯,在上班時間陸續由 1F 上升到 3F、8F,接著回到 5F 後再到 9F,最終停在 1F。若此 大樓每層樓高度為 3 公尺,試求: (1)電梯移動的路徑長。 (2)電梯的位移。(以 1F 為原點,上方為正)
  3. 3. 24 3. 位置與時間:在生活中,許多物體的位置並非規律變化,而是隨時間任意的移動,因此無法以簡 單的數線明確描述物體位置與時間的關係。要清楚描述物體隨時間改變的情形,可以完整記錄物 體每秒的所在位置,並繪成位置(x)與時間(t)關係圖。 a.數線:很難完整描述物體隨時間運動的情形 b.x-t 關係圖:多了時間的要素,更能清楚描述物體移動情形 以圖 4-4 為例,將物體每秒的所在位置記錄成表 4-1,然後我們可以將這些數據描繪在以時間 為橫軸、位置為縱軸的座標圖上,如圖 4-5 所示,來描述物體位置與時間的關係,如此便可清楚 知道物體在每一個時間點的位置。 ★ 考前複習 1. 路程與位移 路程(路徑長、距離)(足) 位移 定義 行經軌跡長度總和 位置的變化量 數值 a.僅有大小,無方向性(一 律為正值) b.計算:分段(分成直線片 段)相加。 a.平面運動:大小為起點到終點的直線長度,方向為起點 指向終點的方向(可用方位或箭號表示)。 b.直線運動:可用數線協助計算,即:位移=末位置-初 位置,若為正值表示往正方向,負值表示往負方向。 比較 路徑長與位移兩者僅能比較大小,即:路徑長≥位移大小。 a.物體移動軌跡為曲線或直線有折返:路徑長>位移大小。 b.直線無折返:路徑長=位移大小。 2. 常考例子 起點與終點相同,位移相同 起點與終點重合,位移=0 甲、乙、丙三路徑的位移相同 從本壘→一壘→二壘→三壘→本壘的位移為零 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 起點 終點 (公尺) 圖 4-4 物體在數線上的移動情形 路徑長≥位移大小 曲線 直線 表 4-1 物體所在位置與時間關係 時間(秒) 0 1 2 3 4 距原點的位置 (公尺) 2 -1 -4 -2 0 0 1 2 3 4 5 1 2 -1 -2 -3 -4 時間 (秒) 位置 (公尺) 圖 4-5 物體位置與時間的關係圖 甲 乙 丙
  4. 4. 25 ★ 試題精選 4 1. 甲、乙、丙三人騎腳踏車沿筆直的公路向東前進,0 至 5 秒期間距離出發點的位置和時間的關係記 錄如下表所示,則在第 4 秒和第 5 秒之間,何者的位移最大? 時間(秒) 0 1 2 3 4 5 甲位置(公尺) 0 5 10 10 10 10 乙位置(公尺) 0 2 4 6 8 10 丙位置(公尺) 0 3 6 9 12 15 (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)三者相同。【90 練習Ⅰ】 2. 小豪與家人到某遊樂園遊玩,入園時服務人員發給每人一張遊園小火車路線圖,如右圖所示。圖 中右方為遊園小火車路線上的各站名稱,箭頭表示小火車行駛的方向。則搭乘小火車在哪兩站之 間移動時,其位移大小與路徑長(路程)相等? (A)到 (B)到 (C)到 (D)到。【100 基測Ⅰ】 3. 甲、乙、丙三人沿不同的路徑由 A 地至 B 地,如右圖所示,則三人的位移大小關係為何? (A)甲>乙>丙 (B)甲<乙<丙 (C)甲=乙=丙 (D)乙>丙>甲 4. 阿峰在棒球比賽中擊出全壘打後,由本壘出發依序經過一壘、二壘、三壘後回到本壘,所經過的 路線形成一個正方形,如右圖所示。則阿峰經過下列何處時,與本壘間的位移大小最大? (A)一壘 (B)二壘 (C)三壘 (D)本壘。【102 試辦】 5. 阿輝今天要去參加校外教學,早上從羅東國中出發到達林場,下午再到中山公園考察,放學時回 到了羅東國中,根據阿輝身上的 GPS 定位器紀錄,阿輝一共走了 10 公里,試問 10 公里代表的是 下列哪一個物理量?(A)位移 (B)路程 (C)速度 (D)速率 6. 高速公路的兩旁都設有里程碑,用來指示公路之里程。若臺中交流道里程為 178.6 公里,則下列敘 述何者錯誤? 設施名稱 里程(公里) 基隆端 0.0 桃園交流道 19.1 臺中交流道 178.6 新營服務處 284.1 高雄端 372.7 (A)高速公路以基隆端為起點 (B)高雄端 372.7 公里為終點 (C)臺中交流道里程為 178.6 公里,代表所經過的路線長及向南方 (D)臺中交流道里程為 178.6 公里,不是代表起點到終點的直線長度
  5. 5. 26 7. 右圖的道路是邊長 100 公尺的正六邊形,今甲由 A 沿順時鐘方向走至 E,乙由 A 沿逆時鐘方向走 至 E,則兩人的位移與路程是否相等? (A)位移相等,路徑不等 (B)位移不等,路程相等 (C)位移與路程均相等 (D)位移與路程均不等 ◎ 回家練習 4-1(每題 20 分,共 100 分) 1. 下列哪一物理量,同時表示物體位置移動的大小及移動的方向? (A)位置 (B)路徑長 (C)位移 (D)距離 2. 下列關於位移和路徑長的區別敘述,何者正確? (A)路徑長具方向性,位移則無 (B)位移的大小恆等於路徑長 (C)位移的大小恆大於路徑長 (D)位移的大小可能等於路徑長 3. 關於位移與路徑長的描述,下列何者正確? (A)位移的大小恆小於路徑長 (B)位移的大小不會大於路徑長 (C)位移的大小恆等於路徑長 (D)位移的大小不可能等於路徑長 4. 在什麼情況下,位移大小與路徑長相等? (A)物體做圓周運動時 (B)物體在直線上運動時 (C)物體沿直線運動且沒有折返時 (D)物體的起點與終點相同時 5. 有關位移與路徑長的描述: 庭庭:「位移恆小於等於路徑長」 秦秦:「物體做直線運動時,位移一定等於路徑長」 辰辰:「位移能夠清楚知道物體實際運動軌跡和方向」 則三人的敘述何者正確?(A)庭庭 (B)秦秦 (C)辰辰 (D)三人敘述都錯 ◎ 回家練習 4-2 直線運動 (每題 10 分,共 100 分) 1. 物體在一直線上朝同一方向運動,其位置與時間的關係如下表,則下列哪一時段內物體運動的路 程最大? 時間(秒) 0 1 2 3 4 位置(公尺) 16 9 5 2 0 (A) 0~1 秒內 (B) 1~2 秒內 (C) 2~3 秒 (D) 3~4 秒 2. 甲、乙、丙三人沿筆直的道路向東前進,0 到 5 秒期間距離出發點的位置和時間的關係紀錄如下表 所示,則在第 2 秒和第 5 秒之間,何者的位移最大? 時間(秒) 0 1 2 3 4 5 甲位置(公尺) 0 5 10 10 10 10 乙位置(公尺) 0 2 4 6 8 10 丙位置(公尺) 0 -3 -6 -9 -12 -15 (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)三者相同 3. 奧運游泳會場上的游泳名將,得到金牌的日本蛙王,在游泳池練習。他由 A 側開始游,以折返的 方式連續游了 3 趟,(來回一次算一趟)如右圖所示;試問蛙王游完的位移和路徑長分別是多少 公尺? (A) 0,300 (B) 0,600 (C) 300,300 (D) 300,0 4. 以北方為正方向,小汽車由+10 m 處運動至-15 m 處,則位移為何? (A)向北 10 m (B)向南 15 m (C) 25 m,無方向 (D)向南 25 m
  6. 6. 27 5. 在一直線上,以 O 為原點,O 點的右邊以正數表示,左邊以負數表示,現在有一隻小蟲由直線上 -4cm 的位置向右爬行 10cm,試問小蟲的位移是多少 cm ?(A)+14 (B)+6 (C)+10 (D)-14 6. 軒軒在長 50 公尺的游泳池中,游到對岸後再折返回到原出發點,後來覺得體力還夠就再游到對岸 才休息,則軒軒這次運動的位移大小和路徑長依序為? (A) 50 公尺、100 公尺 (B) 0 公尺、100 公尺 (C) 100 公尺、150 公尺 (D) 50 公尺、150 公尺 7. 一物體在直線上運動,如下圖,由甲向右到乙,再由乙折返移動到丙,則此期間之路徑長及位移 分別為下列何項? (A) 28 cm、-4 cm (B) 16 cm、+4 cm (C)-4 cm、28 cm (D)+4 cm、16 cm 8. 有一甲蟲,由下圖中的 A 點爬到 B 點,則下列哪一組數字分別表示位移及路程? (A) 3、4 (B) 3、7 (C) 7、3 (D) 4、4 9. 一隻蟑螂在附圖的直線上爬行,試問其爬行路徑為下列何者時,路徑長最大? (A)C→O→A→O→A→B (B)O→A→B (C)B→A→O→C (D)A→O→C→O→A 10.下圖為四個物體的移動情形,則哪些物體的位移相同? (A)甲、乙 (B)乙、丙 (C)丙、丁 (D)甲、乙、丙 ◎ 回家練習 4-3 平面運動 (每題 10 分,共 100 分) 1. 大雄沿半徑為 200 公尺的圓周跑四圈回到起點,則他的位移大小為多少公尺? (A) 618 (B) 0 (C) 200 (D) 400 2. 小誠繞半徑 50 公尺的圓形跑道順時鐘跑步,由甲點到乙點跑完半圈,則小誠的位移為何? (A)向東 100 公尺 (B)向東 157 公尺 (C)向西 100 公尺 (D)向西 157 公尺 3. 右圖為一學生在 400 公尺圓形跑道上進行跑步,由 A 點出發沿跑道逆時鐘方向跑,其中 B 點為離 A 點 1/3 圈,C 點為離 A 點 1/2 圈。請問該生跑到那一個位置時的位移大小最大? (A) A (B) B (C) C (D)三處位移相等 4. 有一時鐘的秒針長 l0 公分,當秒針的針尖從數字 l2 走到 6 的位置時,請問針尖的位移大小和路徑 長各為多少公分? (A)都為 20 公分 (B)位移為 31.4 公分,路徑長為 20 公分 (C)都為 31.4 公分 (D)位移為 20 公分,路徑長為 31.4 公分 5. 宗謙向北走 10 公里,再向東走 8 公里,又向南走 4 公里,其位移大小? (A) 6 公里 (B) 10 公里 (C) 14 公里 (D) 22 公里 6. 喬喬向西走 3 公尺,再向南走 4 公尺,試問她的位移大小及所走的路徑長各為多少? (A) 5 m、7 m (B) 7 m、5 m (C) 1 m、7 m (D) 7 m、1 m
  7. 7. 28 7. 如附圖,甲生由 A 點出發經 B 點、C 點至 D 點,則甲生之位移為多少? (A)40 公尺 (B)20 公尺 (C)40 公尺向右 (D)20 公尺向右 8. 如右圖所示,正六邊形道路的邊長均為 10 公尺,小英由 A 沿順時鐘方向走至 F,則小英的位移大 小和路徑長分別為多少? (A)50 公尺、50 公尺 (B)50 公尺、10 公尺 (C)10 公尺、50 公尺 (D)10 公尺、10 公尺 9. 大寶帶全家出遊,從飯店出發後行經高速公路,看到標示中和交流道 36 km,龍潭交流道為 68 km, 則下列敘述何者正確? (A)大寶從飯店到中和交流道的路程為 36 km (B)大寶從飯店到中和交流道的位移為 36 km (C)中和交流道至龍潭交流道的路程為 104 km (D)中和交流道至龍潭交流道的路程為 32 km 10.今年第一個颱風「尼莎」若 7 月 29 日上午 10 點的中心位置在圖中的 A 點,7 月 30 日早上 8 點的 中心位置在圖中的 B 點,若圖中小方格長度為 l00 公里,則這段時間「尼莎」颱風中心位移大小 為多少公里? (A) 300 (B) 400 (C) 500 (D) 600 ◎ 進階練習 4 1. 福財下班後去學校操場跑步,他沿半徑 200 公尺的圓形操場跑六分之一圈,其位移大小為多少公 尺?(A)33.3 (B) 200 (C) 33.3×3.14 (D) 100 2. 有一時鐘的分針長 20 公分,當分針針尖從數字 12 走到 2 的位置,試問分針針尖的位移大小為多 少公分?(A)20 (B)20√2 (C)20√3 (D)10√2 3. 如附圖所示,彥臣沿一斜面將重物往上推,斜面高度為 6 公尺,斜面長度為 10 公尺,若彥臣從坐 標原點處開始推動,則關於此過程的敘述,下列何者錯誤? (A)當彥臣到達最高點,其最短路徑長為 10 公尺 (B)當彥臣到達最高點,x 方向的位移為 8 公尺 (C)當彥臣到達最高點,y 方向的位移為 6 公尺 (D)當彥臣到達最高點,路徑長=6+8=14 公尺 知識補給站:向量的正、負 在描述位移、速度及加速度等具方向性的物理量時,可以正、負符號表示其方向,當方向為 正時,正號可省略。由於正號的標示為非必要,且習慣上省略,因此在編寫上統一不標示正號。 【康版 110】 知識補給站:位移與路徑長 物體位置的變化量稱為位移,具有方向性。位移的大小(量值)是指起點到終點的直線距 離;而位移的方向則是由起點指向終點的方向。位移僅與起點的位置和終點的位置有關,與運動 的路徑無關。 物體在空間中運動所經過的路線或軌跡的總長度,稱為路徑長,不具有方向性。【康版 110】
  8. 8. 29 知識補給站:物體的運動方式 物體的運動都是由 3 種簡單的運動方式:移動、轉動、振動,組合而成。 1. 移動:物體上的各點位置在同一時間內做相同的改變,例如行駛中的汽車等。 2. 轉動:物體方位隨時間而改變,例如花式溜冰選手在冰上原地旋轉、蹺蹺板的運動及門扉的旋 轉等。 3. 振動:物體狀態隨時間而往復改變,例如彈簧來回伸縮運動及水面上的枯葉隨水波上下起伏運 動等。【康版 110】 知識補給站:位移 當質點由初位置 x1 移到末位置 x2 時,其末位置和初位置的差,稱為位移,也就是位置的變化 量。通常變化量的定義,是用後來的位置減原來的位置。由於位置向量的相減為位移,可知位移 也是向量。若討論的是一維的情況,則向量的方向可由正負號來表示。【翰版 111】 知識補給站:位置與時間 描述物體在空間的運動和其隨時間變化的科學,稱為運動學。也就是說,如果知道一個物體 的位移、速度或加速度對時間的關係,就能清楚的描述此物體在任何時候的位置、速度及加速 度,亦等於說明了物體的運動情形。【翰版 108】

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