1) Un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) consiste en dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolver el S.E.L. es encontrar el punto donde se intersectan las dos rectas representadas por las ecuaciones. 2) Existen tres tipos de soluciones para un S.E.L. dependiendo de la intersección de las rectas: compatible determinado si se intersectan en un punto, compatible indeterminado si coinciden, e incompatible si son paralelas. 3) Los métodos para resolver un S.E.L. son sustitución, igual

1. MATEMÁTICA
Sistemas de ecuaciones lineales
(S.E.L.)
Docentes: Susana Hueicha - Rocío Leal
Docente Diferencial: Verónica Jara
Cursos: Primero Medio A - Primero Medio B
Temuco, Julio de 2020

2. Ecuación lineal con dos incógnitas
Una ecuación lineal* con dos incógnitas es una igualdad algebraica del tipo:
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄, donde 𝒙 e 𝒚 son las incógnitas, y 𝒂, 𝒃 y 𝒄 son números
conocidos.
Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de
valores (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) que hacen cierta la igualdad.
Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones y si
las representamos forman una recta.
*Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal.
Recordemos…

3. Ejemplo: 3𝑥 + 𝑦 = 12,
El coeficiente de 𝑥 es 3, coeficiente de 𝑦 es 1 y el término independiente es 12.
Una solución de la ecuación es (1, 9) ya que 3 ∙ (1) + 9 = 12
Para obtener más soluciones se da a “𝑥” el valor que queramos y se calcula “𝑦”. Para
esto es conveniente despejar la variable “𝑦”.
𝑥 𝑦 = 12 – 3𝑥 (x,y)
0 12 – 3 ∙ 𝟎 = 12 (0,12)
1 12 – 3 ∙ 𝟏 = 9 (1,9)
2 12 – 3 ∙ 𝟐 = 6 (2,6)
3 12 – 3 ∙ 𝟑 =3 (3,3)
Si representamos los
puntos en un sistema
de ejes coordenados,
forman una recta.
Recordemos…

4. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales (S.E.L.) con dos incógnitas está formado por dos
ecuaciones lineales de las que se busca una solución en común.
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 son números reales y “𝑥” e “𝑦” variables.
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
Obs: Dos sistemas con la misma solución se dicen equivalentes.
Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de
valores (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) que verifican las dos ecuaciones a la vez.
Resolver el sistema es encontrar una solución (punto en común) que satisfaga ambas
ecuaciones, esto es, encontrar el punto donde se intersectan ambas rectas.

5. Ejemplo:
Si se representa en una tabla algunos valores de x e y, se puede verificar que coinciden en un
punto en común correspondiente al (−1, −1).
𝑥 𝒚 =
−𝟕 − 𝟑𝒙
𝟒
-1 −1
0 −
7
4
1 −
5
2
2 −
13
4
el punto de intersección es (−1, −1).
𝑥 𝒚 =
𝒙 − 𝟏
𝟐
-1 −1
0 −
1
2
1 0
2
1
2
3𝑥 + 4𝑦 = −7
𝑥 − 2𝑦 = 1
1
2
1 2
2
1

6. Existen métodos, llamados algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones. Estos son:
sustitución, igualación y reducción.
Método de sustitución
Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir la expresión
obtenida en la otra ecuación, se llega así a una ecuación de primer grado con una sola incógnita;
hallada ésta se calcula la otra.
Ejemplo: Despejamos x en la 2da ecuación 𝐱 = 𝟏 + 𝟐𝐲
Sustituimos en la 1era 𝟑 (𝟏 + 𝟐𝐲) + 𝟒𝐲 = −𝟕
Desarrollamos la ecuación 𝟑 + 𝟔𝐲 + 𝟒𝐲 = −𝟕
Despejamos la variable y 𝟏𝟎𝐲 = −𝟏𝟎 → 𝐲 = −𝟏
Reemplazamos en 𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒚 𝒙 = 𝟏 + 𝟐 ∙ −𝟏 → 𝒙 = 𝟏 − 𝟐 → 𝒙 = −𝟏
Por lo tanto, el punto solución es (−1, −1).
3𝑥 + 4𝑦 = −7
𝑥 − 2𝑦 = 1
1
2

7. Método de igualación
Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones
obtenidas. De nuevo obtenemos una ecuación de primer grado con una sola incógnita.
Ejemplo: Despejamos x en ambas
ecuaciones
𝒙 =
−𝟕−𝟒𝒚
𝟑
y 𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒚
Igualamos −𝟕 − 𝟒𝒚
𝟑
= 𝟏 + 𝟐𝒚
Despejamos la variable y −𝟕 − 𝟒𝒚 = 𝟑 + 𝟔𝒚
𝟏𝟎𝐲 = −𝟏𝟎
−𝟏 = 𝐲
Reemplazamos en 𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝐲 𝒙 = 𝟏 + 𝟐 ∙ −𝟏 → 𝒙 = 𝟏 − 𝟐 → 𝒙 = −𝟏
Por lo tanto, el punto solución es (−1, −1).
3𝑥 + 4𝑦 = −7
𝑥 − 2𝑦 = 1
1
2

8. Método de reducción
Consiste en eliminar una de las incógnitas sumando las dos ecuaciones. Para ello se multiplica
una de las ecuaciones o ambas por un número de modo que los coeficientes de x o de y sean
iguales y de signo contrario.
Ejemplo:
Por lo tanto, el punto solución es (−1, −1).
Multiplicamos por 2 la 2da ecuación 𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏 /∙ 𝟐
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟐
Se obtiene
ฬ
𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = −𝟕
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟐
Sumando ambas ecuaciones 𝟓𝒙 = −𝟓
Despejamos la variable x 𝒙 = −𝟏
Reemplazamos en cualquier
ecuación 𝐱 = −𝟏 −𝟏 − 𝟐𝒚 = 𝟏 → −𝟐 = 𝟐𝒚 → 𝒚 = −𝟏
3𝑥 + 4𝑦 = −7
𝑥 − 2𝑦 = 1
1
2
1)
2)

9. Análisis de las soluciones de un S.E.L.
En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada ecuación representa una
recta en el plano. Resolver un sistema es estudiar la situación de estas rectas en el plano,
que pueden ser:
Ejemplo 1:
Por lo tanto, el punto solución es (3, −1).
𝑥 + 𝑦 = 2
2𝑥 + 𝑦 = 5
1
2
Se despeja una variable, en este
caso “𝒚” de la 1era ecuación
𝐲 = 𝟐 − 𝒙
Sustituimos en la 2da ecuación 𝟐𝐱 + (𝟐 − 𝐱) = 𝟓
Se resuelve la ecuación,
despejando x
𝟐𝒙 + 𝟐 − 𝒙 = 𝟓 → 𝒙 = 𝟑
Reemplazamos en 𝐲 = 𝟐 − 𝒙 𝒚 = 𝟐 − 𝟑 → 𝒚 = −𝟏

10. Al realizar la gráfica de este sistema
se obtienen rectas secantes que
intersectan en un único punto. Por lo
tanto, el sistema tiene solución y es
única.
Este tipo de sistemas se llama
compatible determinado.
A su vez, se puede observar que esto se produce si los coeficientes de x e y en el sistema
no son proporcionales.
𝑎
𝑑
≠
𝑏
𝑒
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
1
2
≠
1
1

11. Ejemplo 2:
Al eliminarse las variables
¿Qué ocurre con la solución?
3𝑥 − 6𝑦 = 3
𝑥 − 2𝑦 = 1
1
2
Se despeja una variable, en este
caso “𝒙” de la 2da ecuación
𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒚
Sustituimos en la 1era ecuación 𝟑 𝟏 + 𝟐𝐲 − 𝟔𝐲 = 𝟑
Se resuelve la ecuación,
despejando y
𝟑 + 𝟔𝒚 − 𝟔𝒚 = 𝟑
𝟎𝒚 = 𝟎
𝟎 = 𝟎

12. Al realizar la gráfica de este sistema
se obtienen rectas coincidentes que
intersectan en todos sus puntos. Por
lo tanto, el sistema tiene infinitas
soluciones.
Este tipo de sistemas se llama
compatible indeterminado.
A su vez, se puede observar que esto se produce si los coeficientes de x e y, además los
términos libres son proporcionales.
𝑎
𝑑
=
𝑏
𝑒
=
𝑐
𝑓
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
3
1
=
−6
−2
=
3
1

13. Ejemplo 3:
¿0=1?
¿Qué ocurre en este caso con la solución?
𝑥 + 2𝑦 = 1
2𝑥 + 4𝑦 = 3
1
2
Se despeja una variable, en este
caso “𝒙” de la 1era ecuación
𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝒚
Sustituimos en la 2da ecuación 𝟐 𝟏 − 𝟐𝐲 + 𝟒𝐲 = 𝟑
Se resuelve la ecuación,
despejando y
𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟒𝒚 = 𝟑
𝟎𝒚 = 𝟏
𝟎 = 𝟏

14. Al realizar la gráfica de este sistema
se obtienen rectas paralelas que no
intersectan en algún punto. Por lo
tanto, el sistema no tiene solución.
Este tipo de sistemas se llama
incompatible.
A su vez, se puede observar que esto se produce si los coeficientes de x e y son
proporcionales entre sí, pero no proporcionales a los términos libres.
𝑎
𝑑
=
𝑏
𝑒
≠
𝑐
𝑓
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
1
2
=
2
4
≠
1
3

15. En síntesis, tenemos que en la representación gráfica las rectas son:
 Secantes (se intersectan en un punto), el sistema tiene solución única, se llama
Compatible Determinado.
 Coincidentes (se intersecta en todos sus puntos), el sistema tiene infinitas soluciones,
se llama Compatible Indeterminado.
 Paralelas (no se intersectan), el sistema no tiene solución, se llama Incompatible.
𝑎
𝑑
≠
𝑏
𝑒
𝑎
𝑑
=
𝑏
𝑒
=
𝑐
𝑓
𝑎
𝑑
=
𝑏
𝑒
≠
𝑐
𝑓