6. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 6 de 34
Veja agora uma forma, que julgamos eficiente, para encontrar a expressão da inequação |𝑥 − 1| < |𝑥 − 4|
sem o uso de valor absoluto:
Assim,
|𝑥 − 1| < |𝑥 − 4| ⇒
{
−𝑥 + 1 < −𝑥 + 4 , 𝑠𝑒 𝑥 < 1
0 < 3 , 𝑠𝑒 𝑥 = 1
𝑥 − 1 < −𝑥 + 4 , 𝑠𝑒 1 < 𝑥 < 4
3 < 0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 4
𝑥 − 1 < 𝑥 − 4 , 𝑠𝑒 𝑥 > 4
⇒
|𝑥 − 1| < |𝑥 − 4| ⇒
{
1 < 4 , 𝑠𝑒 𝑥 < 1
0 < 3 , 𝑠𝑒 𝑥 = 1
2𝑥 < 5 , 𝑠𝑒 1 < 𝑥 < 4
3 < 0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 4
−1 < −4 , 𝑠𝑒 𝑥 > 4
⇒
Então vamos resolver as quatro inequações acima:
(1) Se 𝑥 < 1 , 1 < 4 . Como 1 < 4 é verdade, a solução de (1) é 𝑆1 = (−∞ , 1)
(2) Se 𝑥 = 1 , 0 < 3 . Como 0 < 3 é verdade, a solução de (2) é 𝑆2 = {1}
(3) Se 1 < 𝑥 < 4 , 2𝑥 < 5 . Logo, 1 < 𝑥 < 4 e 2𝑥 < 5 ⇒ 1 < 𝑥 < 4 e 𝑥 <
5
2
⇒
1 < 𝑥 <
5
2
. A solução de (3) é 𝑆3 = (1 ,
5
2
).
(4) Se 𝑥 = 4 , 3 < 0 . Como 3 < 0 é falso, então 𝑥 = 4 , não é solução. A solução de (4) é
𝑆4 = ∅.
(5) Se 𝑥 > 4 , −1 < −4 . Com −1 < −4 é falso, então a solução de (5) é 𝑆5 = ∅.
A solução final é:
S = 𝑆1 ∪ 𝑆2 ∪ 𝑆3 ∪ 𝑆4 = (−∞ , 1) ∪ {1} ∪ (1 ,
5
2
) ∪ ∅ ∪ ∅ = (−∞ ,
5
2
) .
7. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 7 de 34
OBSERVAÇÃO: resolveremos essa questão novamente, de forma mais simples, após estudarmos o
trinômio do segundo grau. É importante aprendermos que temos várias formas de resolver uma
questão matemática.
(h) |𝑥| < 𝑥
(1) Suponhamos 𝑥 ≥ 0 :
Se 𝑥 ≥ 0 então |𝑥| = 𝑥 Se essa igualdade |𝑥| = 𝑥 é verdadeira então |𝑥| < 𝑥 é falsa.
Ou seja, se 𝑥 ≥ 0 , a equação |𝑥| < 𝑥 não tem solução.
(2) Suponhamos 𝑥 < 0:
Se 𝑥 < 0 como 0 ≤ |𝑥| então 𝑥 < |𝑥| Se essa desigualdade |𝑥| > 𝑥 é verdadeira então |𝑥| <
𝑥 é falsa. Ou seja, se 𝑥 < 0 , a equação |𝑥| < 𝑥 não tem solução.
Solução: 𝑆 = ∅
(i) |𝑥| > −𝑥 .
(1) Suponhamos 𝑥 > 0 :
𝑥 > 0 ⇒ −𝑥 < 0 ≤ |𝑥| ⇒ −𝑥 < |𝑥| ⇒ |𝑥| > −𝑥 . Logo, 𝑥 ∈ ℝ e 𝑥 > 0 é solução da
inequação |𝑥| > −𝑥 .
(2) Suponhamos 𝑥 ≤ 0:
𝑥 ≤ 0 ⇒ −𝑥 ≥ 0 ⇒ |𝑥| = |−𝑥| = −𝑥 . Assim, 𝑥 ∈ ℝ e 𝑥 ≤ 0 não é solução da inequação
|𝑥| > −𝑥 .
Portanto a solução da inequação |𝑥| > −𝑥 é 𝑆 = (0 , + ∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 > 0}.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercício 5: Resolva as equações e inequações indicadas abaixo usando propriedades algébricas e/ou
geométricas.
(a) |𝑥| = 4|𝑥| + 1
(b) |𝑥| = 4𝑥 + 1
(c) |𝑥 − 3| = 2𝑥 − 8
(d) |𝑥 − 5| = 2𝑥 − 3
(e) |2𝑥 − 1| < −5
(f) |2𝑥 − 1| < −5𝑥
RESOLUÇÃO:
(a) |𝑥| = 4|𝑥| + 1 ⇔ 4|𝑥| − |𝑥| = −1 ⇔ 3|𝑥| = −1 ⇔ |𝑥| = −
1
3
. Como |𝑥| ≥ 0 para
todo 𝑥 ∈ ℝ, não existe 𝑥 ∈ ℝ , tal que |𝑥| = −
1
3
. Solução 𝑆 = ∅.
8. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 8 de 34
(b) |𝑥| = 4𝑥 + 1 . . Como |𝑥| ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ , então 4𝑥 + 1 ≥ 0 . Assim,
4𝑥 + 1 ≥ 0 ⇒ 4𝑥 ≥ −1 ⇒ 𝑥 ≥ −
1
4
é uma exigência da equação |𝑥| = 4𝑥 + 1 .
Como |𝑥| = −𝑥, se 𝑥 < 0 e |𝑥| = 𝑥, se 𝑥 ≥ 0, vamos resolver a equação propondo duas
situações:
(1) −
1
4
≤ 𝑥 < 0
−
1
4
≤ 𝑥 < 0 ⇒ |𝑥| = −𝑥 ⇒ 4𝑥 + 1 = |𝑥| = −𝑥 ⇒ 4𝑥 + 1 = −𝑥 ⇒ 5𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = −
1
5
Como −
1
4
≤ −
1
5
< 0, então 𝑥 = −
1
5
é solução da equação dada.
(2) 𝑥 ≥ 0
Como 𝑥 ≥ 0 então |𝑥| = 𝑥 . Logo,
|𝑥| = 𝑥 ⇔ 𝑥 = |𝑥| = 4𝑥 + 1 ⇔ 4𝑥 + 1 = 𝑥 ⇔ 3𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = −
1
3
Como 𝑥 = −
1
3
< 0 , então 𝑥 = −
1
3
não é solução da equação dada.
Solução final, 𝑆 = {−
1
5
}.
(c) |𝑥 − 3| = 2𝑥 − 8
Como |𝑥 − 3| ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ , então 2𝑥 − 8 ≥ 0 . Assim,
2𝑥 − 8 ≥ 0 ⇒ 𝒙 ≥ 𝟒 é uma exigência da equação |𝑥 − 3| = 𝑥 − 4.
Pela definição de módulo:
|𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3 𝑠𝑒 𝑥 − 3 ≥ 0
−(𝑥 − 3) 𝑠𝑒 𝑥 − 3 < 0
⇒ |𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
−𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑥 < 3
Como a exigência da equação é 𝑥 ≥ 4 , basta considerar na definição de |𝑥 − 3| apenas a parte em
que 𝑥 ≥ 3 e então, temos que resolver a equação
|𝑥 − 3| = 𝑥 − 3 = 2𝑥 − 8 , 𝑥 ≥ 3 e 𝑥 ≥ 4 , ou seja, 𝑥 − 3 = 2𝑥 − 8 , 𝑥 ≥ 4.
Assim,
𝑥 ≥ 4 e 𝑥 − 3 = 2𝑥 − 8 ⇔ 𝑥 ≥ 4 e 2𝑥 − 𝑥 = 8 − 3 ⇔ 𝑥 ≥ 4 e 𝑥 = 5 ⇔
𝑥 = 5
A solução da equação é 𝑆 = {5} .
9. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 9 de 34
(d) |𝑥 − 5| = 2𝑥 − 3
Como |𝑥 − 5| ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ , então 2𝑥 − 3 ≥ 0 . Assim,
2𝑥 − 3 ≥ 0 ⇒ 𝒙 ≥
𝟑
𝟐
é uma exigência ou restrição da equação |𝑥 − 5| = 2𝑥 − 3.
Pela definição de módulo:
|𝑥 − 5| = {
𝑥 − 5 𝑠𝑒 𝑥 − 5 ≥ 0
−(𝑥 − 5) 𝑠𝑒 𝑥 − 5 < 0
⇒ |𝑥 + 5| = {
𝑥 − 5 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 5
−𝑥 + 5 𝑠𝑒 𝑥 < 5
Como a exigência da equação é 𝒙 ≥
𝟑
𝟐
, é preciso considerar na definição de |𝑥 − 5| tanto a parte
em que 𝑥 ≥ 5 quanto a parte em que 𝑥 < 5 . Assim, temos que resolver as equações:
(𝟏) |𝑥 − 5| = 𝑥 − 5 = 2𝑥 − 3 , 𝑥 ≥ 5 e 𝑥 ≥
𝟑
𝟐
ou seja, é 𝑥 − 5 = 2𝑥 − 3 , 𝑥 ≥ 5 .
(𝟐) |𝑥 − 5| = −𝑥 + 5 = 2𝑥 − 3 , 𝑥 < 5 e 𝑥 ≥
𝟑
𝟐
ou seja, é −𝑥 + 5 = 2𝑥 − 3 ,
𝟑
𝟐
≤ 𝑥 < 5 .
Resolvendo (1):
𝑥 ≥ 5 e 𝑥 − 5 = 2𝑥 − 3 ⇔ 𝑥 ≥ 5 e 2𝑥 − 𝑥 = −5 + 3 ⇔ 𝑥 ≥ 5 e 𝑥 = −2 . Logo, a
solução do caso (1) é ∅ .
Resolvendo (2):
3
2
≤ 𝑥 < 5 e − 𝑥 + 5 = 2𝑥 − 3 ⇔
3
2
≤ 𝑥 < 5 e 2𝑥 + 𝑥 = 5 + 3 ⇔
3
2
≤ 𝑥 < 5 e 3𝑥 = 8
⇔
3
2
≤ 𝑥 < 5 e 𝑥 =
8
3
⇔ 𝑥 =
8
3
.
A solução da equação original é a união das soluções das equações dos casos (1) e (2).
A solução é 𝑆 = {
8
3
}.
(e) |2𝑥 − 1| < −5
Como |2𝑥 − 1| ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ , então −5 < 0 ≤ |2𝑥 − 1| , ou seja, |2𝑥 − 1| > −5 para
todo 𝑥 ∈ ℝ, portanto a solução da equação é 𝑆 = ∅ .
10. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 10 de 34
(f) |2𝑥 − 1| < −5𝑥
Como |2𝑥 − 1| ≥ 0 então 0 ≤ |2𝑥 − 1| < −5𝑥 , portanto −5𝑥 > 0 e assim 𝒙 < 𝟎. Esta é uma
exigência ou restrição para essa inequação.
Usando a definição de módulo, temos:
|2𝑥 − 1| = {
2𝑥 − 1 , 2𝑥 − 1 ≥ 0
−(2𝑥 − 1), 2𝑥 − 1 < 0
⇒ |2𝑥 − 1| = {
2𝑥 − 1 , 𝑥 ≥
1
2
−2𝑥 + 1, 𝑥 <
1
2
Como a exigência da inequação é 𝑥 < 0 , basta considerar na definição de |2𝑥 − 1| apenas a parte
em que 𝑥 <
1
2
e então, temos que resolver a inequação
|2𝑥 − 1| = −2𝑥 + 1 < −5𝑥 , 𝑥 < 0 𝑒 𝑥 <
1
2
, ou seja, −2𝑥 + 1 < −5𝑥 , 𝑥 < 0.
Assim,
𝑥 < 0 e − 2𝑥 + 1 < −5𝑥 ⇔ 𝑥 < 0 e 5𝑥 − 2𝑥 < −1 ⇔ 𝑥 < 0 e 3𝑥 < −1 ⇔
𝑥 < 0 e 𝑥 < −
1
3
⇔ 𝑥 < 0 e 𝑥 < −
1
3
⇔ 𝑥 < −
1
3
A solução da inequação é 𝑆 = (− ∞ , −
1
3
) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 < −
1
3
} .
Exercício 6: Em cada expressão a seguir considere 𝑥 ∈ ℝ e faça o seguinte:
(I) Determine os possíveis valores da variável 𝑥 para que o resultado da expressão seja um valor real.
Dê a resposta em forma de desigualdades e em forma de intervalo e/ou união de intervalos
disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em comum).
(II) Encontre os valores da variável 𝑥 em que a expressão é nula.
(a) √10 − 6𝑥 (b)
√10−6𝑥
12𝑥−15
(c)
√10−6𝑥
12|𝑥|−15
(d)
12|𝑥|−15
√10−6𝑥
RESOLUÇÃO:
(a) √10 − 6𝑥
(I) Única restrição ou condição de existência da expressão: radicando positivo ou nulo,
ou seja, 10 − 6𝑥 ≥ 0. Resolvendo,
10 − 6𝑥 ≥ 0 ⟺ 10 ≥ 6𝑥 ⟺ 6𝑥 ≤ 10 ⟺ 3𝑥 ≤ 5 ⟺ 𝑥 ≤
5
3
.
Logo, os valores possíveis de 𝑥 são: {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤
5
3
}. Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,
5
3
].
11. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 11 de 34
(II) √10 − 6𝑥 = 0 ⟺ 10 − 6𝑥 = 0 ⟺ 6𝑥 = 10 ⟺ 𝑥 =
5
3
.
Portanto a expressão √10 − 6𝑥 é nula em 𝑥 =
5
3
.
(b)
√10−6𝑥
12𝑥−15
(I) Duas restrições ou condições de existência da expressão:
radicando positivo ou nulo, 10 − 6𝑥 ≥ 0 e denominador não nulo, 12𝑥 − 15 ≠ 0
• 10 − 6𝑥 ≥ 0, resolvida no item(a), 𝑥 ≤
5
3
.
• Resolvendo 12𝑥 − 15 ≠ 0
12𝑥 − 15 = 0 ⟺ 12𝑥 = 15 ⟺ 4𝑥 = 5 ⟺ 𝑥 =
5
4
.
Logo, 12𝑥 − 15 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠
5
4
.
Representando por 𝐴 o conjunto dos valores possíveis de 𝑥,
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤
5
3
𝑒 𝑥 ≠
5
4
}. Como
5
4
<
5
3
, temos que 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 <
5
4
𝑜𝑢
5
4
< 𝑥 ≤
5
3
}.
Em forma de união de intervalos disjuntos, 𝐴 = (−∞,
5
4
) ∪ (
5
4
,
5
3
].
(II) Observe que não basta encontrar os valores de 𝑥 em que o numerador é nulo, é preciso
respeitar os valores possíveis de 𝑥 em toda a expressão, que já encontramos no item anterior.
Assim,
√10−6𝑥
12𝑥−15
= 0 ⟺ √10 − 6𝑥 = 0 𝑒 𝑥 ∈ 𝐴 = (−∞,
5
4
) ∪ (
5
4
,
5
3
].
Primeiro vamos resolver a equação, no final vamos verificar se a solução ou soluções encontradas
respeitam os valores possíveis de 𝑥.
√10−6𝑥
12𝑥−15
= 0 ⟺ √10 − 6𝑥 = 0 ⟺ 10 − 6𝑥 = 0 ⟺ 6𝑥 = 10 ⟺ 3𝑥 = 5 ⟺ 𝑥 =
5
3
Como
5
3
∈ 𝐴 = (−∞,
5
4
) ∪ (
5
4
,
5
3
], a expressão
√10−6𝑥
12𝑥−15
é nula em 𝑥 =
5
3
.
(c)
√10−6𝑥
12|𝑥|−15
(I) Duas restrições ou condições de existência da expressão:
radicando positivo ou nulo, 10 − 6𝑥 ≥ 0 e denominador não nulo, 12|𝑥| − 15 ≠ 0
• 10 − 6𝑥 ≥ 0, resolvida no item(a), 𝑥 ≤
5
3
.
• Resolvendo 12|𝑥| − 15 ≠ 0
12. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 12 de 34
12|𝑥| − 15 = 0 ⟺ 12|𝑥| = 15 ⟺ 4|𝑥| = 5 ⟺ |𝑥| =
5
4
⟺
⟺ 𝑥 = −
5
4
𝑜𝑢 𝑥 =
5
4
.
Logo, 12|𝑥| − 15 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −
5
4
𝑒 𝑥 ≠
5
4
.
Representando por 𝐴 o conjunto dos valores possíveis de 𝑥,
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤
5
3
𝑒 𝑥 ≠ −
5
4
𝑒 𝑥 ≠
5
4
}. Como −
5
4
<
5
4
<
5
3
, temos que
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 < −
5
4
𝑜𝑢 −
5
4
< 𝑥 <
5
4
𝑜𝑢
5
4
< 𝑥 ≤
5
3
}.
Em forma de união de intervalos disjuntos, 𝐴 = (−∞, −
5
4
) ∪ (−
5
4
,
5
4
) ∪ (
5
4
,
5
3
].
(II) Observe que não basta encontrar os valores de 𝑥 em que o numerador é nulo, é preciso
respeitar os valores possíveis de 𝑥 em toda a expressão, que já encontramos no item anterior.
Assim,
√10−6𝑥
12|𝑥|−15
= 0 ⟺ √10 − 6𝑥 = 0 𝑒 𝑥 ∈ 𝐴 = (−∞, −
5
4
) ∪ (−
5
4
,
5
4
) ∪ (
5
4
,
5
3
].
Primeiro vamos resolver a equação, no final vamos verificar se a solução ou soluções encontradas
respeitam os valores possíveis de 𝑥.
√10−6𝑥
12|𝑥|−15
= 0 ⟺ √10 − 6𝑥 = 0 ⟺ 10 − 6𝑥 = 0 ⟺ 6𝑥 = 10 ⟺ 3𝑥 = 5 ⟺ 𝑥 =
5
3
.
5
3
∈ 𝐴 = (−∞, −
5
4
) ∪ (−
5
4
,
5
4
) ∪ (
5
4
,
5
3
].
Portanto a expressão
√10−6𝑥
12|𝑥|−15
é nula em 𝑥 =
5
3
.
(d)
12|𝑥|−15
√10−6𝑥
(I) Duas restrições ou condições de existência da expressão:
radicando positivo ou nulo, 10 − 6𝑥 ≥ 0 e denominador não nulo, √10 − 6𝑥 ≠ 0
Como √10 − 6𝑥 ≠ 0 ⟺ 10 − 6𝑥 ≠ 0, as duas restrições são: 10 − 6𝑥 ≥ 0 e 10 − 6𝑥 ≠ 0.
Resolvendo, 10 − 6𝑥 ≥ 0 e 10 − 6𝑥 ≠ 0 ⟺ 10 − 6𝑥 > 0 ⟺ 10 > 6𝑥 ⟺
⟺ 6𝑥 < 10 ⟺ 3𝑥 < 5 ⟺ 𝑥 <
5
3
.
Representando por 𝐴 o conjunto dos valores possíveis de 𝑥,
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 <
5
3
}. Em forma de intervalo 𝐴 = (−∞,
5
3
).
13. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 13 de 34
(II) Observe que não basta encontrar os valores de 𝑥 em que o numerador é nulo, é preciso
respeitar os valores possíveis de toda a expressão, que já encontramos no item anterior.
Assim,
12|𝑥|−15
√10−6𝑥
= 0 ⟺ 12|𝑥| − 15 = 0 𝑒 𝑥 ∈ 𝐴 = (−∞,
5
3
).
Primeiro vamos resolver a equação, no final vamos verificar se a solução ou soluções encontradas
respeitam os valores possíveis de 𝑥.
12|𝑥| − 15 = 0 ⟺ 12|𝑥| = 15 ⟺ 4|𝑥| = 5 ⟺ |𝑥| =
5
4
⟺ 𝑥 = −
5
4
𝑜𝑢 𝑥 =
5
4
−
5
4
<
5
3
e
5
4
<
5
3
, logo −
5
4
∈ 𝐴 = (−∞,
5
3
) e
5
4
∈ 𝐴 = (−∞,
5
3
).
Portanto a expressão
12|𝑥|−15
√10−6𝑥
é nula em 𝑥 = −
5
4
ou 𝑥 =
5
4
.
Exercício 7: Seja 𝑥 ∈ ℝ. Verifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique!
(a) √52 = 5
(b) √(−5)2 = −5
(c) √(−5)2 = 5
(d) √52 = ±5
(e) √𝑥2 = 𝑥, para ∀𝑥
(f) √𝑥2 = |𝑥|, para ∀𝑥
(g) √25(𝑥 − 1)2 = 5|𝑥 − 1|, para ∀𝑥
(h) √25(𝑥 − 1)2 = 5(𝑥 − 1), para ∀𝑥
(i) √(𝑥 − 1)6 = |𝑥 − 1|3
, para ∀𝑥
(j) √(𝑥 − 1)6
3
= (𝑥 − 1)2
, para ∀𝑥
(k)
√(𝑥−1)6
√(𝑥−1)6
3 = 𝑥 − 1, para ∀𝑥 ≠ 1
RESOLUÇÃO:
(a) Verdadeira.
Justificativa: Nesse caso de √𝑎 = 𝑏, 𝑎 = 52
= 25 e 𝑏 = 5, 𝑎 ≥ 0 e além disso, 𝑎 e 𝑏 atendem
às condições da definição de √𝑎 = 𝑏, que são: 𝑏 é o único 𝑏 ∈ ℝ , 𝑏 ≥ 0 tal que 𝑏2
= 𝑎.
(b) Falsa.
Justificativa: Nesse caso de √𝑎 = 𝑏, 𝑎 = (−5)2
= 25 e 𝑏 = −5.
A condição 𝑎 ≥ 0 é verdadeira, mas 𝑏 não atende a uma das condições da definição de √𝑎 = 𝑏, que
são: 𝑏 é o único 𝑏 ∈ ℝ , 𝑏 ≥ 0 tal que 𝑏2
= 𝑎. Pois, se 𝑏 = −5 < 0, então a condição 𝑏 ≥ 0 é falsa.
(c) Verdadeira.
Justificativa: Nesse caso de √𝑎 = 𝑏, 𝑎 = (−5)2
= 25 e 𝑏 = 5, 𝑎 ≥ 0 e além disso, 𝑎 e 𝑏
atendem às condições da definição de √𝑎 = 𝑏, que são: 𝑏 é o único 𝑏 ∈ ℝ , 𝑏 ≥ 0 tal que 𝑏2
= 𝑎.
14. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 14 de 34
(d) Falsa.
Justificativa: Nesse caso de √𝑎 = 𝑏, 𝑎 = (−5)2
= 25 e 𝑏 = −5 ou 𝑏 = 5.
Para 𝑏 = −5 , 𝑏 não atende a uma das condições da definição de √𝑎 = 𝑏, que são: 𝑏 é o único
𝑏 ∈ ℝ , 𝑏 ≥ 0 tal que 𝑏2
= 𝑎. Pois, se 𝑏 = −5 < 0, então a condição 𝑏 ≥ 0 é falsa.
(e) Falsa.
Justificativa: para provar que é falsa , basta mostrar um exemplo onde a igualdade não funciona, por
exemplo, para 𝑥 = −5, ficaria √(−5)2 = −5, o que é impossível, pela justificativa do item(b)
anterior.
(f) Verdadeira.
Justificativa: essa é uma das propriedades da raiz quadrada. Ela está provada no texto do EP01, na
página 10. Veja lá.
(g) Verdadeira.
Justificativa: √25(𝑥 − 1)2 = √25 √(𝑥 − 1)2 = 5|𝑥 − 1|.
Acima usamos √25 = 5 e duas propriedades,
(Raiz de produto) Como 𝑎 ≥ 25 𝑒 𝑏 = (𝑥 − 1)2
≥ 0 podemos aplicar √𝑎𝑏 = √𝑎√𝑏 . Assim,
√25(𝑥 − 1)2 = √25 √(𝑥 − 1)2
(propriedade √𝑎2 = |𝑎| ∀𝑎). Substituindo 𝑎 por (𝑥 − 1), temos que √(𝑥 − 1)2 = |𝑥 − 1|.
(h) Falsa.
Justificativa: √25(𝑥 − 1)2 = √25 √(𝑥 − 1)2 .
Mas, √(𝑥 − 1)2 ≠ 𝑥 − 1 no caso em que 𝑥 − 1 < 0. Por exemplo, para 𝑥 = −3:
√25(−3 − 1)2 = √25(−4)2 = √25 ∙ 16 = 5 ∙ 4 = 20 e
5(−3 − 1) = 5 ∙ (−4) = −20. E portanto, √25(−3 − 1)2 ≠ 5(−3 − 1).
(i) Verdadeira.
Justificativa: √(𝑥 − 1)6 = √((𝑥 − 1)3)2 =
⏞
(∗)
|(𝑥 − 1)3| = |(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)| =
= |𝑥 − 1| ∙ |𝑥 − 1| ∙ |𝑥 − 1| = |𝑥 − 1|3
para ∀𝑥.
(*) aqui usamos a propriedade de raiz quadrada: √𝑎2 = |𝑎| ∀𝑎.
Substituindo 𝑎 por (𝑥 − 1)3
, temos que √((𝑥 − 1)3)2 = |(𝑥 − 1)3
| para ∀𝑥.
(j) Verdadeira.
Justificativa: √(𝑥 − 1)6
3
= √((𝑥 − 1)2)3
3
=
⏞
(∗)
(𝑥 − 1)2
.
15. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 15 de 34
(*) aqui usamos a seguinte propriedade de raiz cúbica: √𝑎3
3
= 𝑎 , ∀𝑎.
Substituindo 𝑎 por (𝑥 − 1)2
, temos que √((𝑥 − 1)2)3
3
= (𝑥 − 1)2
, ∀𝑥.
(k) Falsa.
Justificativa: se 𝑥 ≠ 1, o denominador não se anula e, pelo que foi feito nos itens (i) e (j) acima,
√(𝑥−1)6
√(𝑥−1)6
3 =
√((𝑥−1)3)2
√((𝑥−1)2)3
3 =
|𝑥−1|3
(𝑥−1)2
=
|𝑥−1|2|𝑥−1|
(𝑥−1)2
=
⏞
(∗)
(𝑥−1)2|𝑥−1|
(𝑥−1)2
= |𝑥 − 1|, se 𝑥 ≠ 1.
(*) aqui usamos |𝑥 − 1|2
= (𝑥 − 1)2
pois
|𝑥 − 1|2
= |𝑥 − 1| |𝑥 − 1| = |(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)| = |(𝑥 − 1)2| =
⏞
(∗∗)
(𝑥 − 1)2
(**) como (𝑥 − 1)2
≥ 0, temos que |(𝑥 − 1)2| = (𝑥 − 1)2
.
Assim, se 𝑥 ≠ 1 temos que
√(𝑥−1)6
√(𝑥−1)6
3 = |𝑥 − 1| = {
𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 − 1 > 0 (𝑥 > 1)
−(𝑥 − 1) 𝑠𝑒 𝑥 − 1 < 0 (𝑥 < 1)
Portanto
√(𝑥−1)6
√(𝑥−1)6
3 = 𝑥 − 1 é falsa no caso 𝑥 < 1.
Exercício 8: Resolva cada equação ou inequação em ℝ.
(a) 2√𝑥2 = 𝑥 + 4
(b) √(𝑥 − 2)2 = 2𝑥 − 2
(c) (2𝑥 − 3)2
≤ 16
(d) (4 − 𝑥)2
> 5
(e) (3𝑥 − 6)2
> 𝑥2
(f) √𝑥2 ≤ 1 + √(𝑥 − 2)2
(g)
√𝑥3+𝑥2
|𝑥|
< 3
RESOLUÇÃO:
(a) 2√𝑥2 = 𝑥 + 4 ⟺ 2|𝑥| = 𝑥 + 4, pois √𝑥2 = |𝑥| e 2√𝑥2 = 2|𝑥|.
2√𝑥2 = 2|𝑥| ≥ 0. Logo, se 𝑥 + 4 < 0, nenhuma das duas equações acima têm solução.
Donde concluímos que é preciso atender a restrição 𝑥 + 4 ≥ 0, ou seja, 𝑥 ≥ −4.
Usando a definição de |𝑥| para resolver 2|𝑥| = 𝑥 + 4, temos
Caso 𝑥 ≥ 0 Nesse caso, |𝑥| = 𝑥. Assim,
𝑥 ≥ 0 e 2|𝑥| = 𝑥 + 4 ⟹ 𝑥 ≥ 0 𝑒 2𝑥 = 𝑥 + 4 ⟺ 𝑥 ≥ 0 𝑒 2𝑥 − 𝑥 = 4 ⟺ 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑥 = 4.
Como 4 > 0 > −4, temos que 𝑥 = 4 atende às duas restrições, 𝑥 ≥ 0 e 𝑥 ≥ −4,
logo 𝑥 = 4 é solução da equação original.
Caso 𝑥 < 0 temos que |𝑥| = −𝑥. Assim,
16. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 16 de 34
𝑥 < 0 e 2|𝑥| = 𝑥 + 4 ⟹ 𝑥 < 0 e 2(−𝑥) = 𝑥 + 4 ⟺ 𝑥 < 0 e −2𝑥 − 𝑥 = 4
𝑥 < 0 e −3𝑥 = 4 ⟺ 𝑥 < 0 e 𝑥 = −
4
3
.
Como −4 < −
4
3
< 0 temos que 𝑥 = −
4
3
atende às duas restrições, 𝑥 < 0 e 𝑥 ≥ −4,
logo 𝑥 = −
4
3
é solução da equação original.
Portanto a solução da equação 2√𝑥2 = 𝑥 + 4 é: 𝑆 = {−
4
3
, 4}.
(b) √(𝑥 − 2)2 = 2𝑥 − 2 ⟺ |𝑥 − 2| = 2𝑥 − 2.
(*) aqui usamos √𝑎2 = |𝑎| , ∀𝑎 , 𝑎 = (𝑥 − 2), √(𝑥 − 22 = |𝑥 − 2|.
√(𝑥 − 2)2 = |𝑥 − 2| ≥ 0, logo, se 2𝑥 − 2 < 0, nenhuma das duas equações acima têm solução.
Donde é preciso atender a restrição 2𝑥 − 2 ≥ 0.
Como 2𝑥 − 2 ≥ 0 ⟺ 2𝑥 ≥ 2 ⟺ 𝑥 ≥ 1, a restrição é 𝑥 ≥ 1.
Aplicando a definição de |𝑎| em |𝑥 − 2| para resolver a equação |𝑥 − 2| = 2𝑥 − 2, temos
Caso 𝑥 − 2 ≥ 0 nesse caso, 𝑥 ≥ 2 e |𝑥 − 2| = 𝑥 − 2. Assim,
𝑥 ≥ 2 e |𝑥 − 2| = 2𝑥 − 2 ⟹ 𝑥 ≥ 2 𝑒 𝑥 − 2 = 2𝑥 − 2 ⟺ 𝑥 ≥ 2 𝑒 𝑥 = 2𝑥 ⟺
𝑥 ≥ 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 ≥ 2 𝑒 𝑥 = 0.
Como 0 ≤ 0 < 2 temos que 𝑥 = 0 não atende à restrição, 𝑥 ≥ 2 , logo 𝑥 = 0 não
é solução da equação original.
Caso 𝑥 − 2 < 0 nesse caso, temos que 𝑥 < 2 e |𝑥 − 2| = −(𝑥 − 2). Assim,
𝑥 < 2 e |𝑥 − 2| = 2𝑥 − 2 ⟹ 𝑥 < 2 e -−(𝑥 − 2) = 2𝑥 − 2 ⟺
𝑥 < 2 e −𝑥 + 2 = 2𝑥 − 2 ⟺ 𝑥 < 2 e −𝑥 − 2𝑥 = −2 − 2 ⟺ 𝑥 < 2 e −3𝑥 = −4
⟺ 𝑥 < 2 e 𝑥 =
4
3
.
Como 1 <
4
3
< 2 temos que 𝑥 =
4
3
atende às restrições 𝑥 < 2 e 𝑥 ≥ 1, logo 𝑥 =
4
3
é
solução da equação original.
Portanto a solução da equação 2√𝑥2 = 𝑥 + 4 é: 𝑆 = {
4
3
}.
(c) (2𝑥 − 3)2
≤ 16.
Como (2𝑥 − 3)2
e 16 > 0, podemos aplicar a raiz quadrada nos dois lados da inequação [isso
significa que estamos aplicando a propriedade, para 𝑎 ≥ 0 e 𝑏 ≥ 0, temos 𝑎 ≤ 𝑏 ⟺ √𝑎 ≤ √𝑏 ]
22. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 22 de 34
(f)
3𝑥−|𝑥|
5+√𝑥−3
As únicas restrições para o domínio 𝐷 são: radicando positivo ou nulo e denominadora não nulo.
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 − 3 ≥ 0 e 5 + √𝑥 − 3 ≠ 0}. Resolvendo as restrições,
• 𝑥 − 3 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 3.
• para todo 𝑥 ≥ 3 temos que 5 + √𝑥 − 3 ≠ 0 pois
5 > 0 e √𝑥 − 3 ≥ 0 ⟹ 5 + √𝑥 − 3 ≥ 5 > 0 ⟹ 5 + √𝑥 − 3 > 0 ⟹ 5 + √𝑥 − 3 ≠ 0
Portanto, 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 3} = [ 3, ∞).
(g)
√𝑥−√3−𝑥
5𝑥−2√9𝑥+7
As restrições para o domínio 𝐷 são: cada um dos três radicandos deve ser positivo ou nulo e o
denominador não deve ser nulo. Logo,
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 0 e 3 − 𝑥 ≥ 0 e 9𝑥 + 7 ≥ 0 e 5𝑥 − 2√9𝑥 + 7 ≠ 0}. Resolvendo as restrições,
• 𝑥 ≥ 0, já está resolvido.
• 3 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 3 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑥 ≤ 3.
• 9𝑥 + 7 ≥ 0 ⟺ 9𝑥 ≥ −7 ⟺ 𝑥 ≥ −
7
9
• 5𝑥 − 2√9𝑥 + 7 = 0 ⟺ 2√9𝑥 + 7 = 5𝑥
Para resolver essa equação vamos considerar as restrições que 9𝑥 + 7 ≥ 0 e 5𝑥 ≥ 0 e aplicar a
propriedade de elevar ao quadrado os dois lados da equação. No final temos que testar se as
soluções satisfazem as duas restrições.
Restrições, 9𝑥 + 7 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −
7
9
e 5𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 0
2√9𝑥 + 7 = 5𝑥 ⟹ (2√9𝑥 + 7)
2
= (5𝑥)2
⟺ 4(9𝑥 + 7) = 25𝑥2
⟺ 36𝑥 + 28 =
25𝑥2
⟺ 25𝑥2
− 36𝑥 − 28 = 0 ⟺ 𝑥 =
−(−36)±√362−4∙25∙(−28)
2∙25
=
36±√1296+2800
50
=
=
36±√4096
50
=
36±64
50
⟺ 𝑥 =
100
50
ou 𝑥 = −
28
50
⟺ 𝑥 = 2 ou 𝑥 = −
14
25
.
Como −
7
9
< −
14
25
< 0 < 2, temos que 𝑥 = 2 é solução da equação e 𝑥 = −
14
25
não é solução da
equação, ou seja, 5𝑥 − 2√9𝑥 + 7 = 0 ⟺ 𝑥 = 2.
Logo, 5𝑥 − 2√9𝑥 + 7 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 2.
Logo, 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 0 e 𝑥 ≤ 3 e 𝑥 ≥ −
7
9
e 𝑥 ≠ 2} . Como −
7
9
< 0 < 2 < 3, temos que
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 0 ≤ 𝑥 < 2 ou 2 < 𝑥 ≤ 3} = [0, 2) ∪ (2, 3].
23. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 23 de 34
Exercício 10:
Em cada expressão a seguir considere 𝑥 ∈ ℝ, determine o seu domínio e analise o seu sinal.
(a) 𝐸(𝑥) = (√𝑥 − 10)(√𝑥 + 10)
(b) 𝐹(𝑥) = (√𝑥 − 10)
2
(c) 𝐻(𝑥) = (10 − √𝑥)(10 + √𝑥)
(d) 𝐴(𝑥) =
(2𝑥−1)(4−𝑥)
|𝑥−8|
(e) 𝐵(𝑥) =
(2𝑥−1)(4−𝑥)
(|2𝑥|−6)|𝑥−8|
(f) 𝐶(𝑥) =
√𝑥−4−3
𝑥2−4
RESOLUÇÃO:
(a) 𝐸(𝑥) = (√𝑥 − 10)(√𝑥 + 10)
A única restrição do domínio 𝐷 da expressão 𝐸(𝑥) é que o radicando seja positivo ou nulo, logo,
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 0} = [0, ∞].
Vamos analisar o sinal de cada expressão 𝐴(𝑥) = (√𝑥 − 10) e 𝐵(𝑥) = (√𝑥 + 10) e depois construir
a tabela de sinais para concluir o sinal do produto dessas expressões.
Para cada expressão temos que respeitar o domínio na análise de sinal.
Seja 𝐷1 = Domínio de 𝐴(𝑥) = √𝑥 − 10. 𝐷1 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 0} = [0, ∞].
• √𝑥 − 10 = 0 e 𝑥 ≥ 0 ⟺ √𝑥 = 10 e 𝑥 ≥ 0 ⇔ 𝑥 = 100
• √𝑥 − 10 > 0 e 𝑥 ≥ 0 ⟺ √𝑥 > 10 e 𝑥 ≥ 0 ⇔ √𝑥 > √100 e 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 > 100
• √𝑥 − 10 < 0 e 𝑥 ≥ 0 ⟺ √𝑥 < 10 e 𝑥 ≥ 0 ⇔ √𝑥 < √100 e 𝑥 ≥ 0 ⟺ 0 ≤ 𝑥 < 100.
Seja 𝐷2 = Domínio de 𝐵(𝑥) = √𝑥 + 10. 𝐷2 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 0} = [0, ∞].
• √𝑥 + 10 > 0 para todo 𝑥 ≥ 0 , pois
para todo 𝑥 ≥ 0 temos que √𝑥 ≥ 0 e 10 > 0 ⟹ √𝑥 + 10 ≥ 10 > 0 ⟹ √𝑥 + 10 > 0.
• √𝑥 + 10 = 0 e 𝑥 ≥ 0: não existe 𝑥, pois
como vimos acima, para todo 𝑥 ≥ 0 √𝑥 + 10 > 0 ⟹ √𝑥 + 10 ≠ 0
• √𝑥 + 10 < 0 𝑒 𝑥 ≥ 0: não existe 𝑥, pois
como vimos acima, para todo 𝑥 ≥ 0 √𝑥 + 10 > 0.
Tabela de sinais, colocando todos os valores reais na primeira linha da tabela.
24. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 24 de 34
Valores de 𝑥 (−∞, 0) 0 (0,100) 100 (100, ∞)
𝐴(𝑥) = √𝑥 − 10 𝑛𝑑 − − − − 0 + + +
𝐵(𝑥) = √𝑥 + 10 𝑛𝑑 + + + + + + + +
𝐸(𝑥) = (√𝑥 − 10)(√𝑥 + 10) 𝑛𝑑 − − − − 0 + + +
𝑛𝑑 significa que a expressão não é definida no intervalo ou valor de 𝑥 na primeira linha.
Observando a primeira e a última linha da tabela, podemos concluir o sinal de 𝐸(𝑥) =
(√𝑥 − 10)(√𝑥 + 10):
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 100
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 > 100 . Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (100, ∞).
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 0 ≤ 𝑥 < 100 . Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ [0, 100).
(b) 𝐹(𝑥) = (√𝑥 − 10)
2
A única restrição do domínio 𝐷 da expressão 𝐹(𝑥) é que o radicando seja positivo ou nulo, logo,
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 0} = [0, ∞].
Uma propriedade importante dos números reais é que o quadrado de qualquer número real é positivo
ou nulo e o único número que elevado ao quadrado é igual a zero é o próprio número zero. Ou seja,
𝑎2
> 0 para ∀𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, e também 𝑎2
= 0 ⟺ 𝑎 = 0.
Considerando 𝑥 ≥ 0,
(√𝑥 − 10)
2
> 0 para ∀(√𝑥 − 10) ∈ ℝ, √𝑥 − 10 ≠ 0, e também
(√𝑥 − 10)
2
= 0 ⟺ √𝑥 − 10 = 0. Logo,
• 𝐹(𝑥) = (√𝑥 − 10)
2
= 0 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ √𝑥 − 10 = 0 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ √𝑥 = 10 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 = 100.
• 𝐹(𝑥) = (√𝑥 − 10)
2
> 0 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ √𝑥 − 10 ≠ 0 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ √𝑥 ≠ 10 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺
⟺ 𝑥 ≠ 100 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ 0 < 𝑥 < 100 𝑜𝑢 𝑥 > 100
• 𝐹(𝑥) = (√𝑥 − 10)
2
< 0 𝑒 𝑥 ≥ 0, não existe 𝑥 ∈ ℝ.
Portanto, a análise de sinal de (√𝑥 − 10)
2
é:
• 𝐹(𝑥) = (√𝑥 − 10)
2
= 0 ⟺ 𝑥 = 100
• 𝐹(𝑥) = (√𝑥 − 10)
2
> 0 ⟺ 0 ≤ 𝑥 < 100 ou 𝑥 > 100 ⟺ 𝑥 ∈ [0,100) ∪ (100, ∞]
• 𝐹(𝑥) = (√𝑥 − 10)
2
< 0 , não existe 𝑥 ∈ ℝ.
25. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 25 de 34
(c) 𝐻(𝑥) = (10 − √𝑥)(10 + √𝑥)
A única restrição do domínio 𝐷 da expressão 𝐻(𝑥) é que o radicando seja positivo ou nulo, logo,
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 0} = [0, ∞].
𝐻(𝑥) = (10 − √𝑥)(10 + √𝑥) = −(√𝑥 − 10)(√𝑥 + 10) = −𝐸(𝑥)
Como no exercício (a) concluímos que
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 100
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 > 100 . Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (100, ∞).
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 0 ≤ 𝑥 < 100 . Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ [0, 100).
Então
𝐻(𝑥) = −𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 100
𝐻(𝑥) = −𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 0 ≤ 𝑥 < 100 .
Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ [0, 100)
𝐻(𝑥) = −𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 > 100 .
Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (100, ∞).
(d) 𝐴(𝑥) =
(2𝑥−1)(4−𝑥)
|𝑥−8|
Determinando o domínio 𝐷 de 𝐴(𝑥), a única restrição é denominador não nulo, ou seja, |𝑥 − 8| ≠ 0.
Resolvendo, |𝑥 − 8| = 0 ⟺ 𝑥 − 8 = 0 ⟺ 𝑥 = 8.
Assim, |𝑥 − 8| ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 8. Logo, 𝐷 = (−∞, 8) ∪ (8, ∞).
Determinando o domínio 𝐷1 e o sinal de 2𝑥 − 1,
Não há restrição para o domínio dessa expressão, logo 𝐷1 = ℝ.
• 2𝑥 − 1 = 0 ⟺ 2𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 =
1
2
• 2𝑥 − 1 > 0 ⟺ 2𝑥 > 1 ⟺ 𝑥 >
1
2
• 2𝑥 − 1 < 0 ⟺ 2𝑥 < 1 ⟺ 𝑥 <
1
2
Determinando o domínio 𝐷2 e o sinal de 4 − 𝑥,
Não há restrição para o domínio dessa expressão, logo 𝐷2 = ℝ.
26. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 26 de 34
• 4 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 4.
• 4 − 𝑥 > 0 ⟺ 4 > 𝑥 ⟺ 𝑥 < 4.
• 4 − 𝑥 < 0 ⟺ 4 < 𝑥 ⟺ 𝑥 > 4.
Determinando o domínio 𝐷3 e o sinal de |𝑥 − 8|,
Não há restrição para o domínio dessa expressão, logo 𝐷3 = ℝ.
• |𝑥 − 8| = 0 ⟺ 𝑥 − 8 = 0 ⟺ 𝑥 = 8
• |𝑥 − 8| > 0 ⟺ 𝑥 − 8 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 8, pois |𝑥 − 8| ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ.
• |𝑥 − 8| < 0, não existe 𝑥 ∈ ℝ, pois |𝑥 − 8| ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ.
Considerando os sinais das expressões acima podemos construir a tabela de sinais de 𝐴(𝑥).
Observe que
1
2
< 4 < 8 e temos que respeitar essa ordem na primeira linha da tabela.
Valores de 𝑥 (−∞,
1
2
)
1
2
(
1
2
, 4) 4 (4, 8) 8 (8, ∞)
2𝑥 − 1 − − − 0 + + + + + + + + + +
4 − 𝑥 + + + + + + + 0 − − − − − −
|𝑥 − 8| + + + + + + + + + + + 0 + + +
𝐴(𝑥) =
(2𝑥−1)(4−𝑥)
|𝑥−8|
− − − 0 + + + 0 − − − 𝑛𝑑 − − −
𝑛𝑑 significa que a expressão não é definida no intervalo ou valor de 𝑥 na primeira linha.
Observando a primeira e a última linha da tabela, podemos concluir o sinal de 𝐴(𝑥):
𝐴(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 =
1
2
ou 𝑥 = 4
𝐴(𝑥) > 0 ⟺
1
2
< 𝑥 < 4 . Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (
1
2
, 4).
𝐴(𝑥) < 0 ⟺ −∞ < 𝑥 <
1
2
𝑒 4 < 𝑥 < 8 𝑒 8 < 𝑥 < ∞ .
Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,
1
2
) ∪ (4, 8) ∪ (8, ∞) .
(e) 𝐵(𝑥) =
(2𝑥−1)(4−𝑥)
(|2𝑥|−6)|𝑥−8|
Determinando o domínio 𝐷 de 𝐵(𝑥), a restrição é denominador não nulo: (|2𝑥| − 6)|𝑥 − 8| ≠ 0
Resolvendo a restrição,
(|2𝑥| − 6)|𝑥 − 8| = 0 ⟺ |2𝑥| − 6 = 0 𝑜𝑢 |𝑥 − 8| = 0 . Resolvendo separadamente,
|2𝑥| − 6 = 0 ⟺ |2𝑥| = 6 ⟺ 2|𝑥| = 6 ⟺ |𝑥| = 3 ⟺ 𝑥 = −3 𝑜𝑢 𝑥 = 3.
27. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 27 de 34
e |𝑥 − 8| = 0 ⟺ 𝑥 − 8 = 0 ⟺ 𝑥 = 8.
Agora que temos que determinar o domínio e o sinal de cada expressão que é um fator do numerador
ou do denominador para usar na tabela de sinais de 𝐵(𝑥).
No exercício anterior já determinamos o domínio e análise de sinal de três dessas expressões e vamos
usar diretamente na tabela.
Determinando o domínio 𝐷4 e o sinal de |2𝑥| − 6,
Não há restrição para o domínio dessa expressão, logo 𝐷4 = ℝ.
• |2𝑥| − 6 = 0 ⟺ 2|𝑥| = 6 ⟺ |𝑥| = 3 ⟺ 𝑥 = −3 𝑜𝑢 𝑥 = 3
• |2𝑥| − 6 > 0 ⟺ 2|𝑥| > 6 ⟺ |𝑥| > 3 ⟺ 𝑥 < −3 𝑜𝑢 𝑥 > 3
• |2𝑥| − 6 < 0 ⟺ 2|𝑥| < 6 ⟺ |𝑥| < 3 ⟺ −3 < 𝑥 < 3 .
Considerando os sinais das expressões acima podemos construir a tabela de sinais de 𝐵(𝑥).
Observe que −3 <
1
2
< 3 < 4 < 8 e temos que respeitar essa ordem na primeira linha da tabela.
Valores de 𝑥 (−∞, −3) −3 (−3,
1
2
)
1
2
(
1
2
, 3) 3 (3,4) 4 (4, 8) 8 (8, ∞)
2𝑥 − 1 − − − − − − − 0 + + + + + + + + + + + + + + +
4 − 𝑥 + + + + + + + + + + + + + + + 0 − − − − − − −
|2𝑥| − 6 + + + 0 − − − − − − − 0 + + + + + + + + + + +
|𝑥 − 8| + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 + + +
𝐵(𝑥) =
(2𝑥 − 1)(4 − 𝑥)
(|2𝑥| − 6)|𝑥 − 8|
− − − 𝑛𝑑 + + + 0 − − − 𝑛𝑑 + + + 0 − − − 𝑛𝑑 − − −
𝑛𝑑 significa que a expressão não é definida no intervalo ou valor de 𝑥 na primeira linha.
Observando a primeira e a última linha da tabela, podemos concluir o sinal de 𝐵(𝑥):
𝐵(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 =
1
2
ou 𝑥 = 4
𝐵(𝑥) > 0 ⟺ −3 < 𝑥 <
1
2
𝑜𝑢 3 < 𝑥 < 4.
Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−3,
1
2
) ∪ (3, 4).
𝐵(𝑥) < 0 ⟺ −∞ < 𝑥 < −3 𝑜𝑢
1
2
< 𝑥 < 3 𝑜𝑢 4 < 𝑥 < 8 𝑜𝑢 8 < 𝑥 < ∞.
Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞, −3) ∪ (
1
2
, 3) ∪ (4, 8) ∪ (8, ∞).
28. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 28 de 34
(f) 𝐶(𝑥) =
√𝑥−4−3
𝑥2−4
Determinando o domínio 𝐷 de 𝐶(𝑥), são duas restrições.
• Radicando positivo ou nulo: 𝑥 − 4 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 4.
• Denominador não nulo: 𝑥2
− 4 ≠ 0.
𝑥2
− 4 = 0 ⟺ 𝑥2
= 4 ⟺ √𝑥2 = √4 ⟺ |𝑥| = 2 ⟺ 𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 2.
Logo, 𝑥2
− 4 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −2 𝑒 𝑥 ≠ 2.
Assim, 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 4 𝑒 𝑥 ≠ −2 𝑒 𝑥 ≠ 2}. Como −2 < 2 < 4, temos que
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 4} = [4, ∞).
Determinando o domínio e análise de sinal da expressão √𝑥 − 4 − 3:
Sendo 𝐷1 o domínio dessa expressão, a única restrição é 𝑥 − 4 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 4.
Logo 𝐷1 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 4} = [4, ∞).
• √𝑥 − 4 − 3 = 0 𝑒 𝑥 ≥ 4 ⟺ √𝑥 − 4 = 3 𝑒 𝑥 ≥ 4 ⟺ 𝑥 − 4 = 9 𝑒 𝑥 ≥ 4 ⟺ 𝑥 = 13.
• √𝑥 − 4 − 3 > 0 𝑒 𝑥 ≥ 4 ⟺ √𝑥 − 4 > 3 𝑒 𝑥 ≥ 4 ⟺ 𝑥 − 4 > 9 𝑒 𝑥 ≥ 4 ⟺ 𝑥 > 13.
• √𝑥 − 4 − 3 < 0 𝑒 𝑥 ≥ 4 ⟺ √𝑥 − 4 < 3 𝑒 𝑥 ≥ 4 ⟺ 𝑥 − 4 < 9 𝑒 𝑥 ≥ 4 ⟺ 4 ≤ 𝑥 < 13.
Resumindo a análise de sinal,
• √𝑥 − 4 − 3 = 0 𝑒 𝑥 ≥ 4 ⟺ 𝑥 = 13.
• √𝑥 − 4 − 3 > 0 𝑒 𝑥 ≥ 4 ⟺ 𝑥 > 13.
• √𝑥 − 4 − 3 < 0 𝑒 𝑥 ≥ 4 ⟺ 4 ≤ 𝑥 < 13.
Determinando o domínio e análise de sinal da expressão 𝑥2
− 4.
Sendo 𝐷2 o domínio dessa expressão, não há restrição, logo 𝐷2 = ℝ.
• 𝑥2
− 4 = 0 ⟺ 𝑥2
= 4 ⟺ √𝑥2 = √4 ⟺ |𝑥| = 2 ⟺ 𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 2.
• 𝑥2
− 4 > 0 ⟺ 𝑥2
> 4 ⟺ √𝑥2 > √4 ⟺ |𝑥| > 2 ⟺ 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 2.
• 𝑥2
− 4 < 0 ⟺ 𝑥2
< 4 ⟺ √𝑥2 < √4 ⟺ |𝑥| < 2 ⟺ −2 < 𝑥 < 2.
Considerando os sinais das expressões acima podemos construir a tabela de sinais de 𝐶(𝑥).
Observe que −2 < 2 < 4 < 13 e temos que respeitar essa ordem na primeira linha da tabela.
Por simplicidade, vamos construir a tabela considerando na primeira linha apenas os valores de 𝑥 e os
intervalos que estão no domínio 𝐷 da expressão 𝐶(𝑥), já determinado acima, 𝐷 = [4, ∞).
29. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 29 de 34
Valores de 𝑥 4 (4,13) 13 (13, ∞)
√𝑥 − 4 − 3 − − − − 0 + + +
𝑥2
− 4 + + + + + + + +
𝐶(𝑥) =
√𝑥 − 4 − 3
𝑥2 − 4
− − − − 0 + + +
Observando a primeira e a última linha da tabela, podemos concluir o sinal de 𝐶(𝑥):
𝐶(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 13
𝐶(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 > 13 . Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (13, ∞).
𝐶(𝑥) < 0 ⟺ 4 ≤ 𝑥 < 13 . Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ [4, 13).
Exercício 11: Considere 𝑥 ∈ ℝ e as expressões 𝐸(𝑥) =
(|𝑥|−1)(5−𝑥)
5+𝑥
e 𝐹(𝑥) =
8+𝑥
4−|𝑥|
(I) Analise o sinal de cada expressão 𝐸(𝑥) e 𝐹(𝑥).
(II) Determine o domínio de cada expressão
(a) 𝑟(𝑥) = √𝐸(𝑥)
(b) 𝑠(𝑥) = √𝐹(𝑥)
(c) 𝐴(𝑥) = 𝐸(𝑥) + 𝐹(𝑥)
(d) 𝐵(𝑥) = √𝐸(𝑥) + √𝐹(𝑥)
(e) 𝑚(𝑥) = (𝐸(𝑥)) × (𝐹(𝑥))
(f) 𝑛(𝑥) = √𝐸(𝑥) × √𝐹(𝑥)
(g) 𝑝(𝑥) = √(𝐸(𝑥)) × (𝐹(𝑥))
RESOLUÇÃO:
(I) Determinando o domínio e o sinal de 𝐸(𝑥) =
(|𝑥|−1)(5−𝑥)
5+𝑥
.
O domínio 𝐴 de 𝐸(𝑥) tem uma única restrição: 5 + 𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −5. Logo,
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ −5} = (−∞, −5) ∪ (−5, ∞).
Vamos determinar o domínio e o sinal de cada expressão que é um fator do numerador e/ou do
denominador de 𝐸(𝑥).
Domínio e sinal de |𝑥| − 1.
O domínio 𝐴1 dessa expressão não tem restrição, logo 𝐴1 = ℝ.
• |𝑥| − 1 = 0 ⟺ |𝑥| = 1 ⟺ 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 1.
• |𝑥| − 1 > 0 ⟺ |𝑥| > 1 ⟺ 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 > 1.
• |𝑥| − 1 < 0 ⟺ |𝑥| < 1 ⟺ −1 < 𝑥 < 1.
30. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 30 de 34
Domínio e sinal de 5 − 𝑥.
O domínio 𝐴2 dessa expressão não tem restrição, logo 𝐴2 = ℝ.
• 5 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 5.
• 5 − 𝑥 > 0 ⟺ 5 > 𝑥 ⟺ 𝑥 < 5.
• 5 − 𝑥 < 0 ⟺ 5 < 𝑥 ⟺ 𝑥 > 5.
Domínio e sinal de 5 + 𝑥.
O domínio 𝐴3 dessa expressão não tem restrição, logo 𝐴3 = ℝ.
• 5 + 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = −5.
• 5 + 𝑥 > 0 ⟺ 𝑥 > −5.
• 5 + 𝑥 < 0 ⟺ 𝑥 < −5 .
Pelos sinais das expressões acima podemos construir a tabela de sinais de 𝐸(𝑥) =
(|𝑥|−1)(5−𝑥)
5+𝑥
.
Observe que −5 < −1 < 1 < 5 e temos que respeitar essa ordem na primeira linha da tabela.
Valores de 𝑥 (−∞, −5) −5 (−5, −1) −1 (−1, 1) 1 (1, 5) 5 (5, ∞)
|𝑥| − 1 + + + + + + + 0 − − − 0 + + + + + + +
5 − 𝑥 + + + + + + + + + + + + + + + 0 − − −
5 + 𝑥 − − − 0 + + + + + + + + + + + + + + +
𝐸(𝑥) =
(|𝑥|−1)(5−𝑥)
5+𝑥
− − − 𝑛𝑑 + + + 0 − − − 0 + + + 0 − − −
𝑛𝑑 significa que a expressão não é definida no intervalo ou valor de 𝑥 na primeira linha.
Observando a primeira e a última linha da tabela, podemos concluir o sinal de 𝐸(𝑥):
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 5.
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ −5 < 𝑥 < −1 𝑜𝑢 1 < 𝑥 < 5.
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ −∞ < 𝑥 < −5 𝑜𝑢 − 1 < 𝑥 < 1 𝑜𝑢 5 < 𝑥 < ∞.
Determinando o domínio e o sinal de 𝐹(𝑥) =
8+𝑥
4−|𝑥|
.
O domínio 𝐵 de 𝐹(𝑥) tem uma única restrição: 4 − |𝑥| ≠ 0 . Resolvendo a restrição,
4 − |𝑥| = 0 ⟺ |𝑥| = 4 ⟺ 𝑥 = −4 𝑜𝑢 𝑥 = 4.
Logo, 4 − |𝑥| ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −4 𝑒 𝑥 ≠ 4.
Logo, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ −4 𝑒 𝑥 ≠ 4} = (−∞, −4) ∪ (−4, 4) ∪ (4, ∞).
31. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 31 de 34
Vamos determinar o domínio e o sinal de cada expressão que é um fator do numerador e/ou do
denominador de 𝐹(𝑥).
Domínio e sinal de 8+𝑥.
O domínio 𝐵1 dessa expressão não tem restrição, logo 𝐵1 = ℝ.
• 8 + 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = −8.
• 8 + 𝑥 > 0 ⟺ 𝑥 > −8.
• 8 + 𝑥 < 0 ⟺ 𝑥 < −8 .
Domínio e sinal de 4−|𝑥|.
O domínio 𝐵2 dessa expressão não tem restrição, logo 𝐵2 = ℝ.
• 4 − |𝑥| = 0 ⟺ |𝑥| = 4 ⟺ 𝑥 = −4 𝑜𝑢 𝑥 = 4.
• 4 − |𝑥| > 0 ⟺ 4 > |𝑥| ⟺ |𝑥| < 4 ⟺ −4 < 𝑥 < 4.
• 4 − |𝑥| < 0 ⟺ 4 < |𝑥| ⟺ |𝑥| > 4 ⟺ 𝑥 < −4 𝑜𝑢 𝑥 > 4.
Pelos sinais das expressões acima podemos construir a tabela de sinais de 𝐹(𝑥) =
8+𝑥
4−|𝑥|
.
Observe que −8 < −4 < 4 e temos que respeitar essa ordem na primeira linha da tabela.
Valores de 𝑥 (−∞, −8) −8 (−8, −4) −4 (−4, 4) 4 (4, ∞)
8 + 𝑥 − − − 0 + + + + + + + + + + +
4 − |𝑥| − − − − − − − 0 + + + 0 − − −
𝐹(𝑥) =
8+𝑥
4−|𝑥|
+ + + 0 − − − 𝑛𝑑 + + + 𝑛𝑑 − − −
𝑛𝑑 significa que a expressão não é definida no intervalo ou valor de 𝑥 na primeira linha.
Observando a primeira e a última linha da tabela, podemos concluir o sinal de 𝐹(𝑥):
𝐹(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 5.
𝐹(𝑥) > 0 ⟺ −∞ < 𝑥 < −8 𝑜𝑢 − 4 < 𝑥 < 4.
𝐹(𝑥) < 0 ⟺ −8 < 𝑥 < −4 𝑜𝑢 4 < 𝑥 < ∞.
(II) Domínio de cada expressão: todas as expressões dependem do sinal de 𝐸(𝑥) e 𝐹(𝑥).
Para facilitar a visualização vamos repetir a primeira e a última linha da tabela de sinais de 𝐸(𝑥) e
𝐹(𝑥).
32. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 32 de 34
Valores de 𝑥 (−∞, −5) −5 (−5, −1) −1 (−1, 1) 1 (1, 5) 5 (5, ∞)
𝐸(𝑥) =
(|𝑥|−1)(5−𝑥)
5+𝑥
− − − 𝑛𝑑 + + + 0 − − − 0 + + + 0 − − −
Valores de 𝑥 (−∞, −8) −8 (−8, −4) −4 (−4, 4) 4 (4, ∞)
𝐹(𝑥) =
8+𝑥
4−|𝑥|
+ + + 0 − − − 𝑛𝑑 + + + 𝑛𝑑 − − −
(a) 𝑟(𝑥) = √𝐸(𝑥)
A única restrição para o domínio 𝐷 dessa expressão é radicando 𝐸(𝑥) nulo ou positivo, ou seja,
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝐸(𝑥) ≥ 0 }. Observando a tabela de sinais de 𝐸(𝑥), concluímos que:
𝐷 = (−5, −1) ∪ {−1} ∪ {1} ∪ (1, 5) ∪ {5} = (−5, −1] ∪ [1, 5].
(b) 𝑠(𝑥) = √𝐹(𝑥)
A única restrição para o domínio 𝐷 dessa expressão é radicando 𝐹(𝑥) nulo ou positivo, ou seja,
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝐹(𝑥) ≥ 0 }. Observando a tabela de sinais de 𝐹(𝑥), concluímos que:
𝐷 = (−∞, −8) ∪ {−8} ∪ (−4, 4) = (−∞, −8] ∪ (−4, 4).
(c) 𝐴(𝑥) = 𝐸(𝑥) + 𝐹(𝑥)
Para calcular a soma é preciso calcular cada parcela da soma, ou seja, é preciso que 𝑥 pertença ao
domínio de 𝐸(𝑥) e 𝑥 pertença ao domínio de 𝐹(𝑥). Portanto o domínio 𝐷 de 𝐴(𝑥) é a interseção dos
domínios de 𝐸(𝑥) e 𝐹(𝑥).
Já temos o domínio 𝐴 de 𝐸(𝑥), 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ −5} = (−∞, −5) ∪ (−5, ∞).
Já temos o domínio 𝐵 de 𝐹(𝑥), 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ −4 𝑒 𝑥 ≠ 4} = (−∞, −4) ∪ (−4, 4) ∪ (4, ∞).
Logo, como 𝐷 = 𝐴 ∩ 𝐵, temos que 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ −5 𝑒 𝑥 ≠ −4 𝑒 𝑥 ≠ 4}.
(d) 𝐵(𝑥) = √𝐸(𝑥) + √𝐹(𝑥)
Para calcular a soma é preciso calcular cada parcela da soma, ou seja, é preciso que os radicandos
𝐸(𝑥) e 𝐹(𝑥) sejam positivos ou nulos. Sendo 𝐷 o domínio de 𝐵(𝑥),
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝐸(𝑥) ≥ 0 𝑒 𝐹(𝑥) ≥ 0} = {𝑥 ∈ ℝ; 𝐸(𝑥) ≥ 0 } ∩ {𝑥 ∈ ℝ; 𝐹(𝑥) ≥ 0}
33. Pré-Cálculo 2020-2 EP 01 – GABARITO 33 de 34
Observando cada tabela de sinal,
𝐷 = [(−5, −1] ∪ [1, 5]] ∩ [(−∞, −8] ∪ (−4, 4)] = (−4, −1] ∪ [1, 4).
(e) 𝑚(𝑥) = (𝐸(𝑥)) × (𝐹(𝑥))
Para calcular o produto é preciso calcular cada fator do produto, ou seja, é preciso que 𝑥 pertença ao
domínio de 𝐸(𝑥) e 𝑥 pertença ao domínio de 𝐹(𝑥). Portanto o domínio 𝐷 de 𝐴(𝑥) é a interseção dos
domínios de 𝐸(𝑥) e 𝐹(𝑥).
Logo, como 𝐷 = 𝐴 ∩ 𝐵, já determinamos no item (c), logo temos que
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ −5 𝑒 𝑥 ≠ −4 𝑒 𝑥 ≠ 4}.
(f) 𝑛(𝑥) = √𝐸(𝑥) × √𝐹(𝑥)
Para calcular o produto é preciso calcular cada fator do produto, ou seja, é preciso que os radicandos
𝐸(𝑥) e 𝐹(𝑥) sejam positivos ou nulos. Sendo 𝐷 o domínio de 𝐵(𝑥),
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝐸(𝑥) ≥ 0 𝑒 𝐹(𝑥) ≥ 0}.
Já determinamos no tem (d), logo 𝐷 = (−4, −1] ∪ [1, 4)
(g) 𝑝(𝑥) = √(𝐸(𝑥)) × (𝐹(𝑥))
A restrição para o domínio 𝐷 de 𝑝(𝑥) é que o radicando seja positivo ou nulo. Logo,
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; (𝐸(𝑥)) × (𝐹(𝑥)) ≥ 0}.
Para determinar 𝐷 vamos construir uma tabela de sinais para a expressão (𝐸(𝑥)) × (𝐹(𝑥)). Para isso
vamos usar os sinais das tabelas e de 𝐸(𝑥) e 𝐹(𝑥).
Repetimos aqui as duas tabelas para que possamos melhor visualizar a construção da nova tabela.
Valores de 𝑥 (−∞, −5) −5 (−5, −1) −1 (−1, 1) 1 (1, 5) 5 (5, ∞)
𝐸(𝑥) =
(|𝑥|−1)(5−𝑥)
5+𝑥
− − − 𝑛𝑑 + + + 0 − − − 0 + + + 0 − − −
Valores de 𝑥 (−∞, −8) −8 (−8, −4) −4 (−4, 4) 4 (4, ∞)
𝐹(𝑥) =
8+𝑥
4−|𝑥|
+ + + 0 − − − 𝑛𝑑 + + + 𝑛𝑑 − − −
