Exercícios de Pré-cálculo

1. Pré-Cálculo 2020-2 EP 09 – GABARITO 1 de 11
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2
Profa. Maria Lúcia Campos
Profa. Marlene Dieguez
EP 09 – Equações, inequações e gráficos – seno e cosseno
GABARITO
____________________________________________________________________________
Exercício 1: Nos exercícios a seguir, encontre a solução e marque no círculo trigonométrico.
a) sen 3𝑥 = −1, 𝑥 ∈ [−𝜋, 2𝜋].
b) sen 𝑥 . cos(2𝑥 − 𝜋) = 0.
c) 2 sen 4𝑥 − 1 = 0, 𝑥 ∈ [0,2𝜋].
d) sen 3𝑥 − sen(−3𝑥) = −1.
e) sen2
𝑥 + cos 𝑥 + 1 = 0.
f) sen 2𝑥 + sen 4𝑥 = 0.
g) sen2
𝑥 −cos2
𝑥 =
1
2
, 𝑥 ∈ [0,2𝜋].
h) 2sen2
𝑥 + sen 𝑥 − 1 = 0, 𝑥 ∈ [−𝜋, 3𝜋].
i) cos 2𝑥−cos2
𝑥 = 0.
j)
1
sen2 𝑥
= 5 − 8 sen2
𝑥, em [0,2𝜋].
Resolução:
a) sen 3𝑥 = −1, mudando a variável, fazendo 𝑡 = 3𝑥, temos sen 𝑡 = −1.
Resolvendo em 𝑡, temos que sen 𝑡 = −1 ⟺ 𝑡 =
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋.
Voltando à variável 𝑥 original, 3𝑥 =
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 =
3𝜋
2∙3
+
2𝑘𝜋
3
⟺ 𝑥 =
𝜋
2
+
2𝑘𝜋
3
Agora vamos atribuir valores inteiros para 𝑘 e verificar se 𝑥 =
𝜋
2
+
2𝑘𝜋
3
∈ [−𝜋, 2𝜋].
𝑥 =
𝜋
2
+
2∙0∙𝜋
3
=
𝜋
2
∈ [−𝜋, 2𝜋]., 𝑥 =
𝜋
2
+
2∙1∙𝜋
3
=
7𝜋
6
∈ [−𝜋, 2𝜋],
𝑥 =
𝜋
2
+
2∙(2)∙𝜋
3
=
11𝜋
6
∈ [−𝜋, 2𝜋], 𝑥 =
𝜋
2
+
2∙(3)∙𝜋
3
=
15𝜋
6
=
5𝜋
2
∉ [−𝜋, 2𝜋],
𝑥 =
𝜋
2
+
2∙(−1)∙𝜋
3
= −
𝜋
6
∈ [−𝜋, 2𝜋], 𝑥 =
𝜋
2
+
2∙(−2)∙𝜋
3
= −
5𝜋
6
∈ [−𝜋, 2𝜋]
𝑥 =
𝜋
2
+
2∙(−3)∙𝜋
3
= −
9𝜋
6
= −
3𝜋
2
∉ [−𝜋, 2𝜋].

2. Pré-Cálculo 2020-2 EP 09 – GABARITO 2 de 11
Logo, o conjunto solução é: 𝑆 = {−
5𝜋
6
, −
𝜋
6
,
𝜋
2
,
7𝜋
6
,
11𝜋
6
}
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) sen 𝑥 . cos(2𝑥 − 𝜋) = 0 ⟺ sen 𝑥 = 0 𝑜𝑢 cos(2𝑥 − 𝜋) = 0.
Resolvendo cada equação acima, sen 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑘𝜋.
Para resolver cos(2𝑥 − 𝜋) = 0, fazemos uma mudança de variável, fazendo 𝑡 = 2𝑥 − 𝜋.
Resolvendo a equação na nova variável, temos cos 𝑡 = 0 ⟺ 𝑡 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋.
Voltando à variável 𝑥 original, 2𝑥 − 𝜋 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ 2𝑥 =
𝜋
2
+ 𝜋 + 𝑘𝜋 ⟺ 2𝑥 =
𝜋
2
+ (𝑘 + 1)𝜋.
Como {(𝑘 + 1)𝜋, 𝑘Î ℤ} = {𝑘𝜋, 𝑘Î ℤ}, podemos simplificar acima
escrevendo 2𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋
E, agora, resolvendo a última equação, temos 2𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 =
𝜋
4
+
𝑘𝜋
2
.
Logo os valores de 𝑥 que resolvem a equação equação original,
sen 𝑥 . cos(2𝑥 − 𝜋) = 0 são: 𝑥 = 𝑘𝜋 ou 𝑥 =
𝜋
4
+
𝑘𝜋
2
.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) 2 sen 4𝑥 − 1 = 0 ⟺ sen 4𝑥 =
1
2
. Fazendo 𝑡 = 4𝑥 e resolvendo em 𝑡,
sen 𝑡 =
1
2
⟺ 𝑡 =
p
6
+ 2𝑘p ou 𝑡 = (p −
p
6
) + 2𝑘p =
5p
6
+ 2𝑘p.
Voltando à variável 𝑥 original, 4𝑥 =
p
6
+ 2𝑘p ou 4𝑥 =
5p
6
+ 2𝑘p.
Resolvendo cada uma,
4𝑥 =
p
6
+ 2𝑘p ⟺ 𝑥 =
p
24
+
𝑘p
2
Ou
4𝑥 =
5p
6
+ 2𝑘p ⟺ 𝑥 =
5p
24
+
𝑘p
2
.
Vamos examinar para quais valores inteiros de 𝑘 os valores 𝑥 =
p
24
+
𝑘p
2
e 𝑥 =
5p
24
+
𝑘p
2
pertencem ao
intervalo solicitado, [0,2𝜋].
p
24
+
0∙p
2
=
p
24
∈ [0,2𝜋],
p
24
+
1∙p
2
=
13p
24
∈ [0,2𝜋],
p
24
+
2∙p
2
=
25p
24
∈ [0,2𝜋],
p
24
+
3∙p
2
=
37p
24
∈ [0,2𝜋],
p
24
+
4∙p
2
=
49p
24
∉ [0,2𝜋] ,
5p
24
+
0∙p
2
=
5p
24
∈ [0,2𝜋],
5p
24
+
1∙p
2
=
17p
24
∈ [0,2𝜋]
5p
24
+
2∙p
2
=
29p
24
∈ [0,2𝜋],
5p
24
+
3∙p
2
=
41p
24
∈ [0,2𝜋],
5p
24
+
4∙p
2
=
53p
24
∉ [0,2𝜋].
Assim, a solução é: 𝑆 = {
p
24
,
5p
24
,
13p
24
,
17p
24
,
25p
24
,
29p
24
,
37p
24
,
41p
24
}
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Pré-Cálculo 2020-2 EP 09 – GABARITO 3 de 11
d) sen(3𝑥) − sen(−3𝑥) = −1.
Sabemos que sen(−3𝑥) = − sen(3𝑥), substituindo na equação acima,
sen(3𝑥) + sen(3𝑥) = −1 ⟺ 2sen(3𝑥) = −1 ⟺ sen(3𝑥) = −
1
2
.
Fazendo mudança de variável, 𝑡 = 3𝑥 e resolvendo a equação em 𝑡,
sen(𝑡) = −
1
2
⟺ 𝑡 = (p +
p
6
) + 2kp =
7p
6
+ 2kp ou
sen(𝑡) = −
1
2
⟺ 𝑡 = (2p −
p
6
) + 2kp =
11p
6
+ 2kp,
Voltando à variável 𝑥 original, 3𝑥 =
7p
6
+ 2kp ou 3𝑥 =
11p
6
+ 2kp.
Resolvendo-as, 3𝑥 =
7p
6
+ 2kp ⟺ 𝑥 =
7p
18
+
2kp
3
ou
3𝑥 =
11p
6
+ 2kp ⟺ 𝑥 =
11p
18
+
2kp
3
Solução 𝑆 = {𝑥 =
7p
18
+
2kp
3
ou 𝑥 =
11p
18
+
2kp
3
, 𝑘Î ℤ}.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e) sen2
𝑥 + cos 𝑥 + 1 = 0
Usando a identidade trigonométrica fundamental sen2
𝑥 + cos2
𝑥 = 1 ⟺ sen2
𝑥 = 1 − cos2
𝑥 ,
então 1 − cos2
𝑥 + cos 𝑥 + 1 = 0 , logo −cos2
𝑥 + cos 𝑥 + 2 = 0.
Fazendo a mudança 𝑡 = cos 𝑥 e resolvendo a equação do 2º grau,
−𝑡2
+ 𝑡 + 2 = 0, temos: 𝑡 = 2 (não serve porque t = cos 𝑥 ≤ 1) ou 𝑡 =
−1. Logo cos 𝑥 = −1,
portanto 𝑆 = {p + 2𝑘 p; 𝑘 Îℤ}.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f) Pela identidade do arco duplo, temos sen 2𝑥 + sen 4𝑥 = 0 ⇔ sen 2𝑥 + 2 sen 2𝑥 cos 2𝑥 = 0.
sen 2𝑥 (1 + 2 cos 2𝑥) = 0 ⇔ sen 2𝑥 = 0 𝑜𝑢 cos 2𝑥 = −
1
2
Resolvendo a primeira equação, sen 2𝑥 = 0 ⇔ 2𝑥 = 𝑘p ⇔ 𝑥 =
𝑘p
2
.
Resolvendo a segunda equação,
cos 2𝑥 = −
1
2
⇔ 2𝑥 =
2p
3
+ 2kp ou 2𝑥 = −
2p
3
+ 2kp ⇔
⇔ 𝑥 =
p
3
+ kp ou 𝑥 = −
p
3
+ kp
Logo, {𝑆 =
𝑘p
2
ou
p
3
+ 𝑘p ou −
p
3
+ 𝑘p, 𝑘Î ℤ}.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Pré-Cálculo 2020-2 EP 09 – GABARITO 4 de 11
g) Como cos 2𝑥 = cos2
𝑥 − sen2
𝑥 = −(sen2
𝑥 −cos2
𝑥 ), temos que a equação dada
sen2
𝑥 −cos2
𝑥 =
1
2
é equivalente a cos 2𝑥 = −
1
2
, portanto,
2𝑥 = ±
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 ⟹ 𝑥 =
𝜋
3
+ 𝑘1𝜋 ou 𝑥 = −
𝜋
3
+ 𝑘2𝜋.
Os valores de 𝑘1, tais que os x correspondentes pertencem a [0,2π] são
0 e 1; os de 𝑘2 são 1 e 2.
Portanto, S = {
π
3
,
2π
3
,
4π
3
,
5π
3
}.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
h) 2sen2
𝑥 + sen 𝑥 − 1 = 0. Fazendo 𝑡 = sen 𝑥 e resolvendo a equação 2𝑡2
+ t − 1 = 0, obtemos as
raízes t= −1 ou 𝑡 =
1
2
.
Logo, sen 𝑥 = −1 ou sen 𝑥 =
1
2
. Portanto, 𝑥 =
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, ou 𝑥 =
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋
ou 𝑥 =
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋. Escolhendo os valores de k , tais que as soluções
pertençam a [−π, 3π], obtemos S = {−
π
2
,
π
6
,
5π
6
,
3π
2
,
13π
6
,
17π
6
}.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
i) cos 2𝑥−cos2
𝑥 = 0
cos 2𝑥=cos2 𝑥−sen2 𝑥
⇔ cos2
𝑥 − sen2
𝑥 −cos2
𝑥 = 0 ⇔ − sen2
𝑥 = 0 ⇔.
⇔ sen 𝑥 = 0. Logo, 𝑆 = {𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
j)
1
sen2 𝑥
= 5 − 8 sen2
𝑥. Mudando a variável, fazendo 𝑡 = sen 𝑥, obtemos
1
𝑡2 = 5 − 8𝑡2
. Resolvendo
em 𝑡 ≠ 0,
1
𝑡2
= 5 − 8𝑡2
⇔ 1 = 5𝑡2
− 8𝑡4
⇔ 8𝑡4
− 5𝑡2
+ 1 = 0.
Mudando para uma terceira variável, fazendo 𝑦 = 𝑡2
, obtemos 8𝑦2
− 5𝑦 + 1 = 0. Resolvendo a equação
de segundo grau em 𝑦, o discriminante ∆= 25 − 32 = −7 < 0. Logo a equação não tem solução na
variável 𝑦. Portanto também não tem solução na variável 𝑡 e na variável 𝑥. Solução 𝑆 = ∅.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercício 2: Nos exercícios de 1) a 5) resolva e marque o conjunto solução no círculo trigonométrico.
a) sen 𝑥 ≥
1
2
, 𝑥 ∈ [0,2𝜋].
b) cos 𝑥 <
√3
2
, 𝑥 ∈ [0,2𝜋].
c) 2 cos2
𝑥 + cos 𝑥 − 1 < 0.
d) cos 2𝑥 − 6 cos 𝑥 + 5 ≥ 0, 𝑥 ∈ [0,2𝜋].

5. Pré-Cálculo 2020-2 EP 09 – GABARITO 5 de 11
Resolução:
a) A equação associada é sen 𝑥 =
1
2
, e as soluções no intervalo [0,2𝜋] são 𝑥 =
𝜋
6
e 𝑥 =
5𝜋
6
.
Agora podemos marcar no círculo os pontos correspondentes aos valores de
ordenadas maiores ou iguais ao valor
1
2
(marcados em vermelho). Observamos que
esses pontos se situam no arco de círculo marcado em verde e correspondem aos
ângulos 𝑥 que estão compreendidos entre
𝜋
6
e
5𝜋
6
ou coincidem com
𝜋
6
ou com
5𝜋
6
. Portanto
𝜋
6
≤ 𝑥 ≤
5𝜋
6
, ou seja a solução é 𝑆 = [
𝜋
6
,
5𝜋
6
].
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A equação associada é cos 𝑥 =
√3
2
, e as soluções no intervalo [0,2𝜋] são 𝑥 =
𝜋
6
e 𝑥 =
11𝜋
6
.
Agora podemos marcar no círculo os pontos correspondentes aos valores de
abscissas menores que o valor
√3
2
(marcados em vermelho). Observamos que esses
pontos se situam no arco de círculo marcado em verde e correspondem aos
ângulos 𝑥 que estão compreendidos entre
𝜋
6
e
11𝜋
6
.
Portanto
𝜋
6
< 𝑥 <
11𝜋
6
, ou seja a solução é 𝑆 = (
𝜋
6
,
11𝜋
6
).
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 cos2
𝑥 + cos 𝑥 − 1 < 0. Fazendo a mudança de variável, 𝑡 = cos 𝑥, obtemos a inequação 2 𝑡2
+ 𝑡 −
1 < 0. A equação associada é 2 𝑡2
+ 𝑡 − 1 = 0, cujas soluções são 𝑡 = −1 e 𝑡 =
1
2
.
Como o coeficiente de 𝑡2
é igual a 2 > 0, o trinômio é negativo entre as raízes, ou seja, −1 < 𝑡 <
1
2
.
Voltando à variável original 𝑥, temos que resolver a inequação −1 < cos 𝑥 <
1
2
.
Para todo número real 𝑥, sabemos que cos 𝑥 ≥ −1.
Logo temos que resolver as inequações cos 𝑥 ≠ −1 e cos 𝑥 <
1
2
.
A equação associada à inequação cos 𝑥 ≠ −1 é cos 𝑥 = −1, resolvendo-a, 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
A equação associada à inequação cos 𝑥 <
1
2
é cos 𝑥 =
1
2
, as soluções em [0,2𝜋] são 𝑥 =
𝜋
3
e 𝑥 =
5𝜋
3
,
em todos os reais são 𝑥 =
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 e 𝑥 =
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.

6. Pré-Cálculo 2020-2 EP 09 – GABARITO 6 de 11
Agora podemos marcar no círculo os pontos correspondentes aos valores de abscissas diferentes de −1
e menores que o valor
1
2
(marcados em vermelho). Observamos que esses
pontos se situam no arco de círculo marcado em verde, sem o ponto (−1, 0),
e correspondem aos ângulos 𝑥 que estão compreendidos entre
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 e
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 e são diferentes de 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
Portanto
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 <
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 e 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ , ou seja a
solução é: 𝑆 = (
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 , 𝜋 + 2𝑘𝜋) ∪ (𝜋 + 2𝑘𝜋,
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d) cos 2𝑥 − 6 cos 𝑥 + 5 ≥ 0
cos2𝑥=cos2 𝑥−sen2 𝑥
⇔ cos2
𝑥 − sen2
𝑥 − 6 cos 𝑥 + 5 ≥ 0 ⟺
sen2𝑥=1−cos2 𝑥
⇔ cos2
𝑥 − (1 − cos2
𝑥) − 6 cos 𝑥 + 5 ≥ 0 ⟺ 2cos2
𝑥 − 6 cos 𝑥 + 4 ≥ 0 .
Fazendo 𝑡 = cos 𝑥, temos 2𝑡2
− 6𝑡 + 4 ≥ 0, resolvendo 2𝑡2
− 6𝑡 + 4 = 0, encontramos 𝑡 = 1 ou 𝑡 = 2.
Como o coeficiente de 𝑡2
é igual a 2 > 0, o trinômio é positivo ou nulo se 𝑡 ≤ 1 ou 𝑡 ≥ 2.
Voltando a variável original, cos 2𝑥 − 6 cos 𝑥 + 5 ≥ 0 ⟺ cos 𝑥 ≤ 1 ou cos 𝑥 ≥ 2.
Mas cos 𝑥 ≤ 1 para todo 𝑥 ϵ ℝ. Logo a solução é 𝑆 = (−∞, ∞) = ℝ.
________________________________________________________________________
Exercício 3: Determine o domínio das funções
a) 𝑓(𝑥) =
sen 𝑥
1−cos𝑥
b) 𝑓(𝑥) = √1 − 2 cos 𝑥
Resolução:
a) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ; 1 − cos 𝑥 ≠ 0}.
1 − cos 𝑥 = 0 ⟺ cos 𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
Logo, 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} .
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ; 1 − 2cos 𝑥 ≥ 0}.
1 − 2cos 𝑥 ≥ 0 ⟺ 1 ≥ 2cos 𝑥 ⟺ cos 𝑥 ≤
1
2
.
A equação associada é cos 𝑥 =
1
2
, e as soluções em [0,2𝜋] são 𝑥 =
𝜋
3
e 𝑥 =
5𝜋
3
e na reta real são 𝑥 =
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 e 𝑥 =
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . Agora podemos
marcar no círculo os pontos correspondentes aos valores de abscissas
menores ou iguais ao valor
1
2
(marcados em vermelho). Observamos que esses pontos se situam no arco

7. Pré-Cálculo 2020-2 EP 09 – GABARITO 7 de 11
de círculo marcado em verde e correspondem aos ângulos 𝑥 que estão compreendidos entre
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋
e
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 , ou coincidem com
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 ou com
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋.
Portanto 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ;
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} = [
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋,
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋] , 𝑘 ∈ ℤ.
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Exercício 4: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Use pelo menos o domínio ]
2
,
0
[ p .
a) 𝑓(𝑥) = 3 sen(𝑥 − 𝜋)
b) 𝑔(𝑥) = 1 + 2 sen(4𝑥)
c) ℎ(𝑥) = −2 + 4cos (2𝑥)
d) 𝑗(𝑥) = |3 sen(𝑥 − 𝜋) |
e) 𝑘(𝑥) = 2 − 3 cos (
𝑥
2
− 𝜋)
Resolução:
a) 𝑓(𝑥) = 3 sen(𝑥 − 𝜋)
Ao multiplicarmos a função seno por um número real, modificamos a sua amplitude.
Como o número real que multiplicado a função 𝑦 = sen 𝑥 é igual a 3 > 1, o gráfico da função seno será
ampliado verticalmente, por um fator multiplicativo 3.
O fato de subtrairmos 𝜋 da variável 𝑥, significa que o gráfico da função 𝑦 = 3 sen 𝑥 será transladado
horizontalmente, 𝜋 unidades para direita.
Um esboço do gráfico de 𝑓 é:
Também podemos ver que para qualquer
ângulo,
−1 ≤ sen(𝑥 − 𝜋) ≤ 1 ⟺ −3 ≤ 3sen(𝑥 −
𝜋) ≤ 3. Isto significa que Im(𝑓) = [−3, 3].

8. Pré-Cálculo 2020-2 EP 09 – GABARITO 8 de 11
b) 𝑔(𝑥) = 1 + 2sen(4𝑥)
Uma possível sequência de transformações no gráfico da função seno até obter o gráfico da função 𝑓 é:
𝑦 = sen 𝑥
(1)
→ 𝑦 = sen(4𝑥)
(2)
→ 𝑦 = 2sen(4𝑥)
(3)
→ 𝑔(𝑥) = 1 + 2sen(4𝑥)
(1) Como o número real que está multiplicando a variável 𝑥 é igual a 4 > 1, haverá uma redução
horizontal no gráfico da função seno, com fator multiplicativo
1
4
.
Portanto, multiplicamos por
1
4
o período p
2 da função seno, e o período da função 𝑔 será igual a
1
4
× 2p
=
p
2
.
(2) Como o número real que está multiplicando sen(4𝑥) é igual a 2 > 1, haverá uma ampliação
vertical no gráfico de y = sen(4𝑥), com fator multiplicativo 2.
(3) O gráfico de 𝑔 será uma translação vertical do gráfico de y = 2sen(4𝑥), de 1 unidade para cima.
Um esboço desse gráfico é:
Observe que para qualquer ângulo,
−1 ≤ sen(4𝑥) ≤ 1 ⟹ −2 ≤ 2sen(4𝑥) ≤ 2 ⟹ −2 + 1 ≤ 1 + 2sen(4𝑥) ≤ 2 + 1
Logo −1 ≤ 1 + 2sen(4𝑥) ≤ 3 . Isto significa que Im(𝑔) = [−1, 3].

9. Pré-Cálculo 2020-2 EP 09 – GABARITO 9 de 11
c) ℎ(𝑥) = −2 + 4cos(2𝑥)
Uma possível sequência de transformações no gráfico da função cosseno até obter o gráfico da função 𝑓
é: 𝑦 = cos 𝑥
(1)
→ 𝑦 = cos(2𝑥)
(2)
→ 𝑦 = 4cos(2𝑥)
(3)
→ ℎ(𝑥) = −2 + 4cos(2𝑥)
(1) Como o número real que está multiplicando a variável 𝑥 é igual a 2 > 1, haverá uma redução
horizontal no gráfico da função cosseno, com fator multiplicativo
1
2
.
Portanto, multiplicamos por
1
2
o período 2𝜋 da função cosseno, e o período da função ℎ será igual a
1
2
× 2p = p .
(2) Como o número real que está multiplicando cos(2𝑥) é igual a 4 > 1, haverá uma ampliação vertical
no gráfico de y = cos(2𝑥), com fator
multiplicativo 4.
(3) O gráfico de ℎ será uma translação vertical do gráfico de y = 4cos(2𝑥), de 2 unidades para baixo.
Um esboço desse gráfico é:
Observe que para qualquer ângulo, 4
)
2
(
cos
4
4
1
)
2
(
cos
1 

−



− x
x
4
2
)
2
(
cos
4
2
4
2 +
−

+
−

−
−
 x . Logo 2
)
2
(
cos
4
2
6 
+
−

− x .
Isto significa que Im(ℎ) = [−6, 2].

10. Pré-Cálculo 2020-2 EP 09 – GABARITO 10 de 11
d) 𝑗(𝑥) = |3 sen(𝑥 − 𝜋)|
Esta função é o módulo da função f do item a).
Para esboçar o seu gráfico, devemos preservar a parte do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 3 sen(𝑥 − 𝜋), onde
𝑓(𝑥) ≥ 0 (a parte do gráfico que está acima do eixo x
O e os pontos que estão sobre o eixo x
O ) e
considerar o gráfico da função )
( x
f
− , onde 0
)
( 
x
f (fazemos uma reflexão com relação ao eixo x
O
, da parte do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 3 sen(𝑥 − 𝜋), que está abaixo do eixo x
O ).
Um esboço desse gráfico é:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e) 𝑘(𝑥) = 2 − 3 cos (
𝑥
2
− 𝜋)
Primeiramente vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a função:
𝑘(𝑥) = 2 − 3 cos (
𝑥
2
− 𝜋) =
⏟
cos(𝑎−𝜋)=−cos(𝑎)
2 + 3 cos (
𝑥
2
)
Uma possível sequência de transformações no gráfico da função cosseno até obter o gráfico da função 𝑘
é: 𝑦 = cos 𝑥
(1)
→ 𝑦 = cos (
𝑥
2
)
(2)
→ 𝑦 = 3cos (
𝑥
2
)
(3)
→ 𝑘(𝑥) = 2 + 3cos (
𝑥
2
)
(1) Como o número real que está multiplicando a variável 𝑥 é igual a
1
2
< 1, haverá uma ampliação
horizontal no gráfico da função cosseno, com fator multiplicativo 2.
Portanto, multiplicamos por 2 o período 2𝜋 da função cosseno, o período da função 𝑘 será igual a
2 × 2p = 4𝜋.

11. Pré-Cálculo 2020-2 EP 09 – GABARITO 11 de 11
(2) Como o número real que está multiplicando cos (
𝑥
2
) é igual a 3 > 1, haverá uma ampliação vertical no
gráfico de 𝑦 = cos (
𝑥
2
), com fator multiplicativo 3.
(3) O gráfico de 𝑘 será uma translação vertical do gráfico de 𝑦 = 3cos (
𝑥
2
), de 2 unidades para cima. Um
esboço desse gráfico é:
Observe que para qualquer ângulo, −1 ≤ cos (
𝑥
2
) ≤ 1 ⟹ −3 ≤ 3cos (
𝑥
2
) ≤ 3 ⟹ −3 + 2 ≤ 2 +
3cos (
𝑥
2
) ≤ 3 + 2 . Logo −1 ≤
2 + 3cos (
𝑥
2
) ≤ 5 . Isto
significa que Im(𝑘) = [−1, 5].