9. คำาอุปสรรคแทน 10 ยกกำาลังเลขลบ (ค่าน้อยกว่า 1)
คำาอุปสรรค ความหมาย สัญลักษณ์
deci- 10-1
D
centi- 10-2
C
milli- 10-3
m
micro- 10-6 µ
nano- 10-9
n
pico- 10-12
p
femto- 10-15
f
atto- 10-18
a
10. ตัวอย่าง
300,000,000 เมตรต่อวินาที = 3 x108
เมตรต่อ
วินาที
60,000,000 g = 60 x106
g
= 60 Mg
= 60,000 x 103
g
= 60,000 kg
10 km = 103
m
2 ms = 2 x 10-3
ms = 0.002 s
22. ตัวอย่าง 5 จงเปลี่ยนอัตราเร็ว
36 ไมล์/ชั่วโมงให้เป็น
เมตร/วินาที เมื่อ 1 ไมล์ =
1.6 km
=
436 36 /
9
mi h m s= ×
วิธี
ทำา
1 ไมล์ = 1.6
km = 1600 m1 h = 3600
s1600 4
1 /
3600 9
mi m
m s
h s
= =
23. ตัวอย่างที่ 6 ถังบรรจุนำ้ามัน
รถยนต์ มีนำ้ามันในถัง 10 ลิตร
สถานีบริการนำ้ามันเติมนำ้ามัน
ด้วยอัตรา 5 ลิตร/นาที ถ้าเติม
นำ้ามันเป็นเวลา 96 วินาที จะ
มีนำ้ามันภายในถังทั้งหมดเท่าไร
วิธี
ทำา ปริมาณนำ้ามันทั้งหมด =
มีอยู่เดิม + ที่เติมมีอยู่เดิม =
10 ลิตร
5 5 0.083
min 60
L L L
ss
= =
24. ดังนั้น ถ้าเติมนำ้ามันเป็น
เวลา 96 วินาที
จะได้
นำ้ามัน
96 0.083 8Ls L
s
× =
ปริมาณนำ้ามันทั้งหมด =
มีอยู่เดิม + ที่เติม= 10 + 8 L
= 18 L
ตอบ
35. กฎการกฎการ
เปลี่ยนกลุ่มเปลี่ยนกลุ่ม( ) ( )CBACBAR
++=++=
+ +
A
B
C
A
B
C
R
BA
+
( ) CBAR
++=
A
B
C
R
CB
+
( )CBAR
++=
47. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
( Unit Vector )
ˆ ˆx yA A i A j= +
ˆ ˆx yB B i B j= +
กำาหนดให้
แล
ะ
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )
ˆ ˆ( ) ( )
ˆ ˆ
x y x y
x x y y
x y
C A B
A i A j B i B j
A B i A B j
C i C j
= +
= + + +
= + + +
= +
50. ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
x y z
x y z
A A i A j A k
B B i B j B k
= + +
= + +
ผลคูณเชิงสเกลาร์
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( )
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
x x y y z z
A B A i B i A i B j A i B k
A j B i A j B j A j B k
A k B i A k B j A k B k
A B A B A B
• = + +
+ + +
+ + +
= + +
g g g
g g g
g g g
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1
ˆ ˆ ˆ ˆ 0
ˆ ˆˆ ˆ 0
ˆ ˆˆ ˆ 0
i i j j k k
i j j i
i k k i
j k k j
= = =
= =
= =
= =
g g g
g g
g g
g g
51. ผลคูณเชิงสเกลาร์
Ex. จงหามุมระหว่างเวกเตอร์
ทั้ง 2 ดังนี้2 3 4A i j k= + + 2 3B i j k= − +
วิธีทำา 2 1
3 2
4 3
x x
y y
z z
A B
A B
A B
= =
= = −
= =
จา
ก
cos
cos
x x y y z z
A B A B
A B A B A B
A B
θ
θ
=
+ +
=
g
2 2 2
2 2 2
(2)(1) (3)( 2) (4)(3) 8
2 3 4 29
1 ( 2) 3 14
x x y y z zA B A B A B
A
B
+ + = + − + =
= + + =
= + − + =
53. ผลคูณเชิงเวกเตอร์
sin
C A B
C A B θ
= ×
=
การครอสการครอส
เวกเตอร์เวกเตอร์
ถ้
า
0 180θ = o o
และ จะทำาให้ผลการครอ
สมีค่าเท่ากับศูนย์
θ
A
B
A B×
54. ผลคูณเชิงเวกเตอร์
A B B A× = − ×
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )
x y z x y z
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
A B A i A j A k B i B j B k
A i B i A i B j A i B k
A j B i A j B j A j B k
A k B i A k B j A k B k
× = + + × + +
= × + × + ×
+ × + × + ×
+ × + × + ×
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
i i j j k k
i j k j i k
i k j k i j
j k i k j i
× = × = × =
× = × = −
× = − × =
× = × = −
55. ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y xC A B A B A B i A B A B j A B A B k= × = − + − + −
ผลคูณเชิงเวกเตอร์
x y z
x y z
i j k
A B A A A
B B B
× =
xC yC zC
56. Ex. เวกเตอร์ A มีขนาด 6 หน่วยทิศ
+x เวกเตอร์ B มีขนาด 4 หน่วย อยู่บน
ระนาบ xy ทำามุม 30๐
กับแกน +x และ
ทำามุม60๐
กับแกน +y จงหาผลลัพธ์ของ
A x B
sin (6)(4)sin30 12A B A B θ× = = =o
วิธี
ทำา
จากกฎมือขวาผลลัพธ์ของ จะ
อยู่ในทิศ +z
A B×
57. เราสามารถเขียนองค์ประกอบของ
AcและB บนแกน x y และ z ได้
ดังนี้6 0
4cos30 4cos60 0
x y z
x y z
A A A
B B B
= = =
= = =o o
(0)(0) (0)(2) 0
(0)(2 3) (6)(0) 0
(6)(2) (0)(2 3) 12
ˆ12
x
y
z
C
C
C
C k
= − =
= − =
= − =
=
เวกเตอร์ C จะมีทิศอยู่ในแกน +z ส่วน
ขนาดจะเท่ากับ
2 2 2
12x y zC C C+ + = หน่
วย
69. เวกเตอร์ที่ขนานกัน ถ้ามีทิศทางเดียวกันนำาขนาดมาบวกกัน ทิศทาง
ของเวกเตอร์ลัพธ์ไปทางเดิม ถ้าเวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้ามนำาขนาด
ของเวกเตอร์มาลบกัน เวกเตอร์ลัพธ์มีทิศทางไปทางเวกเตอร์ที่มีค่า
มากกว่า
เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกัน ให้นำาเวกเตอร์ทั้งมาบวกกัน โดยชุดที่ทิศทาง
ขนานกันไว้ด้วยกัน จะได้ผลบวกของเวกเตอร์สองชุดตั้งฉากกัน นำา
ผลบวกทั้งสองชุดมาคำานวณโดยใช้ทฤษฎีพีทากอรัส ดังสูตรต่อไปนี้
ให้ เป็นผลบวกของเวกเตอร์ในแนวแกน X
เป็์่นผลบวกของเวกเตอร์ในแนวแกน Y
ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ เท่ากับ
ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์จะทำามุมกับแกน X ซึ่งมีค่า tan ของมุมนั้นเท่ากับ
70. เวกเตอร์ที่ไม่ตั้งฉากกัน ในกรณีนี้จะต้องทราบขนาดของ
มุมระหว่างเวกเตอร์กับแกน X หรือแกน Y จึงจะคำานวณได้
วิธีการคือ หาองค์ประกอบของเวกเตอร์ในแนวแกน X
และแกน Y ของแต่ละเวกเตอร์ ดังรูป
หลังจากนั้นนำาองค์ประกอบแต่ละแกนมารวมกัน จะเหลือเวก
เตอร์เพียงสองเวกเตอร์ตั้งฉากกัน หลังจากนั้นจึงหาผลบวก
ของเวกเตอร์ตามวิธีที่เวกเตอร์ตั้งฉากกัน
71. การคูณเวกเตอร์ มีสองวิธีคือ
Dot Product ผลคูณของเวกเตอร์ เป็นปริมาณ
สเกลลาร์
ขนาดของผลคูณหาได้จาก
สมการ
โดยที่ A และ B เป็นขนาดของ
เวกเตอร์ที่นำามาคูณกัน
เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ที่นำามา
คูณกัน
Croos Product ผลคูณของเวกเตอร์ เป็น
ปริมาณเวกเตอร์
ขนาดของผลคูณหาได้จากสมการ
โดยที่ A และ B เป็นขนาดของเวก
เตอร์ที่นำามาคูณกัน
เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ที่นำามา
72. แนวคิด
การคูณเวกเตอร์แบบ Dot Product
สูตรในการคำานวณ
แทนค่าในสูตร
ผลคูณจึงมีค่าเท่ากับ 0
การคูณเวกเตอร์แบบ Cross Product
สูตรในการคำานวณ
แทนค่าในสูตร
ผลคูณจึงมีค่าเท่ากับ 20
ทิศทางของผลคูณจะเป็นเส้นที่ตั้งฉาก
กับระนาบของเวกเตอร์ A และ B
โดยใช้นิ้วสี่นิ้วของมือขวา งอจากเวก
เตอร์ A ไปหาเวกเตอร์ B หัวแม่มือชี้ทิศของเวกเตอร์ที่
เป็นผลคูณ
96. Ernest Rutherford (1871-1937)
Ernest Rutherford
was born on August 30,
1871, in Nelson, New
Zealand
http://nobelprize.org/chemistry/laureates/1908/rutherford-bio.html
98. Rutherford's gold foil experiment
Caption
Rutherford's experiment provided evidence that the positively
charged part of the atom consisted of a tiny, dense object at
the atom's center.
Notes
The history of Rutherford's experiment reveals a wonderful
example of a careful, scrupulous scientist working hard to
remain focused on observation as the basis for his
conclusions:
It would have been very easy for Rutherford to have dismissed
the minor differences between what he saw and what he
expected to see.
107. เมื่อ E = พลังงาน (J)
m = มวล (kg)
c = ความเร็วแสง (c = 3 x 108
m/s)
ส่วนมากมวลของอนุภาคต่าง ๆ และนิวเคลียสมี
หน่วยเป็น u ซึ่ง 1u = 1.66 x 10-27
kg
เมื่อ 1u คำานวณหาพลังงาน จะได้ 931 Mev
(อ่าน Mev ว่า เมกะอิเล็กตรอนโวลต์)
ซึ่งของ 1 Mev = 1.6 x 10-13
J
E = mc2
108. The Binding Energy of a Nucleus
http://sol.sci.uop.edu/~jfalward/nuclearphysics/nuclearphysics.html
109. Albert Einstein (1879-1955)
Albert Einstein (March 14, 1879
– April 18, 1955) was a
German-born American
theoretical physicist who is
widely regarded as the greatest
scientist of the 20th century.
He proposed the theory of
relativity and also made major
contributions to the
development of quantum
mechanics, statistical mechanic
s, and cosmology.
He was awarded the 1921
Nobel Prize for Physics for his
explanation of the photoelectric
effect and "for his services to Thhttp://www.mlahanas.de/Physics/Bios/AlbertEinstein.html
136. ตัวอย่าง
ถ้าความเร็วของรถเก๋งที่เวลา t ใด ๆ เป็นไปตามสมการ
จงหา
a) ความเร็วที่เปลี่ยนไปในช่วงเวลา t1 = 1.0 s และ t2
= 3.0 s
b) ความเร่งเฉลี่ยในช่วงเวลา t1 = 1.0 s และ t2 = 3.0 s
c) ความเร่งขณะใด ณ เวลา t = 2.0 s
23
50060 t)m/s.(m/sv +=
154. ตัวอย่าง
โยนลูกบอลขึ้นไปในแนวดิ่งจากระดับดาดฟ้า
ตึกสูง ขณะลูกบอลหลุดจากมือมีความเร็ว 15
m/s หลังจากนั้นลูกบอลตกกลับลงมาอย่าง
อิสระและเฉียดขอบตึก ตกลงไปพื้นล่าง ถ้าที่
ตำาแหน่งของตึก g = 9.8 m/s2
จงหา
a) ตำาแหน่งและความเร็วที่เวลา t = 1.0 s และ t =4.0
s หลังจากออกจากมือ
b) ความเร็วของลูกบอลที่ตำาแหน่ง 5 m จากระดับ
เพดานตึก
c) ตำาแหน่งสูงสุดของลูกบอลและเวลาที่ใช้ตั้งแต่เริ่ม
ต้นจยถึงตำาแหน่งสูงสุดนั้น
156. Quiz I
1. รถยนต์หยุดนิ่งที่ตำาแหน่งสัญญาณไฟจราจร หลัง
จากสัญญาณไฟเขียวรถยนต์ออกวิ่งไปตามถนนใน
แนวเส้นตรง โดยตำาแหน่งที่เวลา t สอดคล้องกับ
x = bt2
+ ct3
เมื่อ b = 1.40 m/s2
และ c = 0.15
m/s3
จงหาคำานวณ
ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 1.0 s ถึง t = 10.0
s
ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง ณ เวลา t = 5.0 s
2. รถไฟใต้ดินเริ่มต้นวิ่งจากหยุดนิ่งออกจากสถานีและ
เร่งเครื่องด้วยอัตรา
1.80 m/s2
เป็นเวลา 12 s จากนั้นจึงวิ่งด้วยความเร็ว
คงที่ต่อไปเป็นเวลา
50 s และผ่อนความเร็วลงด้วยอัตรา 3.50 m/s2
จน
174. Uniform Circular Motion
พิจารณาการเคลื่อนที่ดัง
รูป
( )
r
v
a
r
v
t
v
r
tv
v
r
r
vv
r
r
v
v
2
2
=∴
=
∆
∆
∆
=
∆
=∆
∆
=
∆
175. Uniform Circular Motion
ความเร็วเชิงมุม (ω) คือ อัตราการ
เปลี่ยนแปลงของมุม
r
r
r
s
π
π
θ
2
2 =
=
dt
d
rv
dt
d
r
dt
ds
rs
θ
ωω
θ
θ
==
=∴
=
,
176. ตัวอย่างการคำานวณ
An audio CD
rotates at 150 r
pm (revolutions
per minute).
What is the
linear speed of
a small scratch
on the CD that i
s 10 cm from th
วิธีทำา
