Toan pt.de105.2011
- 1. 1
SỞ GD& ĐT PHÚ THỌ
Trêng thpt hïng v¬ng §Ò THI THö §¹I HäC N¡M 2011
(§Ò cã 01 trang) M«n:To¸n- Khèi A+ B
(Thêi gian lµm bµi 180 phót kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
I.phÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh:
C©uI:(2,0 ®iÓm) Cho hµm sè 3 2
3 2 y x x mx= - - + (1)
1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) khi m = 0.
2.T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i , cùc tiÓu vµ c¸c ®iÓm cùc ®¹i, cùc tiÓu c¸ch ®Òu ®êng th¼ng (d) y = x - 1.
C©u II:(2,0 ®iÓm)
1.Gi¶i ph¬ng tr×nh:
Cos2x + 3sin2x +5Sinx – 3Cosx =3
2.Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2 2 2 2 2 2
( )(1 ) 4
( )(1 ) 4
x y xy xy
x y x y x y
+ + =ì
í
+ + =î
C©u III:(1,0®iÓm): TÝnh tÝch ph©n :
5
2
ln( 1 1)
1 1
x
I dx
x x
- +
=
- + -
ò
C©u IV:(1,0 ®iÓm):Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ B víi AB =BC =a
AD = 2a.C¸c mÆt (SAC) vµ (SBD) cïng vu«ng gãc víi mÆt ®¸y(ABCD).BiÕt gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng(SAB)
vµ (ABCD) b»ng 0
60 .TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng CD vµ SB.
C©u V:(1,0 ®iÓm)
Cho x,y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n xy + yz + xz = 3xyz. H·y chøng minh r»ng:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
2 2 2
y x z
xy x zx z yz y
+ + ³
+ + +
.
II. phÇn riªng (3®iÓm)
ThÝ sinh chØ ®îc chän mét trong hai phÇn ( phÇn 1 hoÆc 2)
1.Theo ch¬ng tr×nh chuÈn:
C©u VI.a(2 ®iÓm)
1.Trong hÖ to¹ ®é Oxy ®êng th¼ng (d): x – y +1 =0 vµ ®êng trßn (C): 2 2
2 4 0 x y x y+ + - = .T×m ®iÓm
M thuéc ®êng th¼ng (d) mµ qua M kÎ ®îc hai ®êng th¼ng tiÕp xóc víi ®êng trßn (C) t¹i A vµ B sao
cho · 0
60 . AMB =
2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho A(2;0;1),B(3;1;2),C(2;0;-2) ,D(0;4;2).LËp ph¬ng tr×nh mÆt
ph¼ng (P) ®i qua A , B vµ c¸ch ®Òu C vµ D.
C©u VII.(1®iÓm): T×m hÖ sè 4 a cña 4
x trong khai triÓn Niut¬n ®a thøc 2
( ) ( 1) n
f x x x= + + víi n lµ sè tù
nhiªn tháa m·n:
2 3 1 11
0 1 2 3 3 3 4 1
3 ...
2 3 1 1
n
n
n n n n C C C C
n n
+
-
+ + + + =
+ +
.
2.Theo ch¬ng tr×nh n©ng cao:
C©u VI.b(2,0 ®iÓm)
1.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD biÕt ph¬ng tr×nh c¹nh BC:x + 2y - 4 = 0
ph¬ng tr×nh ®êng chÐo BD:3x + y – 7 = 0,®êng chÐo AC ®i qua M(-5;2).H·y t×m täa ®é c¸c ®Ønh cña
h×nh ch÷ nhËt ABCD.
2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho A(-3;5;-5), B(5;-3;7) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh:
x +y + z - 6 = 0 .
a)LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A,B vµ vu«ng gãc víi (P).
b)T×m ®iÓm M n»m trªn mÆt ph¼ng (P) sao cho 2 2
MA MB+ nhá nhÊt.
C©u VII.b(1,0 ®iÓm :Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 3
1 1
2 2
1
log ( 1) log (1 2)
2
x x- > + -
Thi thử Đại học www.toanpt.net
- 2. 2
Trêng thpt hïng v¬ng §¸p ¸n ®Ò THI THö §¹I HäC N¡M 2011
(§¸p ¸n cã 04 trang) M«n:To¸n- Khèi A-B
C©u §¸p ¸n §iÓm
I 1(1,0)
Víi m= 0 ta cã 3 2
3x 2 y x= - +
TX§:D = R
Sù biÕn thiªn: lim ;lim
x x
y y
®-¥ ®+¥
= -¥ = +¥ .
0,25
B¶ng biÕn thiªn: , 2 ,
3x 6x; 0 0 y y x= - = Û = hoÆc x=2
x -¥ 0 2 +¥
,
y + 0 - 0 +
y 2 +¥
-¥ -2
Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng ( ;0)-¥ vµ(2; )+¥
Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng (0:2)
0,5
Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x= 0 CD y =y(0) = 0
Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x =2 CT y =y(2) = -2
0,25
§å thÞ: 0,25
2.(1,0)
, 2 , 2
3x 6xm; 0 3 6 0 y y x x m= - = Û - - = (1)
§Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu th× ph¬ng tr×nh(1) ph¶i cã hai nghiÖm
ph©n biÖt hay m > -3.
0,25
T×m ®ùoc ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc ®¹i cùc tiÓu lµ
2( 1) 2
3 3
m m
y x= - + + -
Gi¶ sö A( 1 1 2 2 ; 2( 1) 2 ; ( ; 2( 1) 2 )
3 3 3 3
m m m m
x x B x x- + + - - + + - víi 1 2 , x x lµ c¸c
nghiÖm cña ph¬ng tr×nh(1)
0,25
d(A,d) = d(B,d) 1 2 x xÛ = (lo¹i do 1 2 x x¹ ) hoÆc 1 2
6
3
m
x x
m
-
+ =
+
Theo ViÐt ta cã 1 2 2 x x+ = suy ra m = 0 tháa m·n m > -3.
VËy ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu vµ c¸c ®iÓm cùc ®¹i cùc tiÓu c¸ch ®Òu
®êng th¼ng (d) th× m = 0.
0,25
C©u §¸p ¸n §iÓm
II 1(1,0)
- 3. 3
Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi(2sin 1)(3 osxsinx+2) 0 x c- = 0,5
3 os 2(1)
2sin 1 0(2)
Sinx C x
x
- =é
Û ê - =ë
Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) t×m ®îc
2 2
arcsin 2 ( ); arcsin 2 ( )
10 10
x k k Z x k k Za p a p p= - + + Î = - + - + Î
Víi
1 3
cos ;sin
10 10
a a
-
= =
Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) t×m ®îc
5
2 ( ); 2 (
6 6
x k k Z x k k Z
p p
p p= + Î = + Î )
VËy ph¬ng tr×nh cã 4 hä nghiÖm:
2 2
arcsin 2 ( ); arcsin 2 ( )
10 10
5
2 ( ); 2 ( )
6 6
x k k Z x k k Z
x k k Z x k k Z
a p a p p
p p
p p
= - + + Î = - + - + Î
= + Î = + Î
0,5
2(1,0®iÓm)
x = y = 0 lµ mét nghiÖm cña hÖ. 0, 25
NÕu 0 xy ¹ hÖ ®· cho t¬ng ®¬ng víi
2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
ì
+ + + =ï
ï
í
ï + + + =
ïî
§Æt
1 1
; u x v y
x y
= + = + ta cã hÖ 2 2
4
8
u v
u v
+ =ì
í
+ =î
(I)
Gi¶i hÖ (I) t×m ®îc u = v = 2.
0,5
Tõ u = v = 2 t×m ®îc x = y =1.VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt x = y = 1. 0,25
C©u (1,0®iÓm) 0,25
Đặt t= 1 1 x - + x = 2 Þ t = 2 x = 5 Þ t = 3 dx=2(t-1)dt 0,5
I = òò ==
-+-
-
3
2
3
2
2
ln
2
1 ) 1 (
ln ) 1 (
2 dt
t
t
dt
t t
t t
ln2
3 – ln2
2
0,5
C©u
IV(1
®iÓm)
0,25
- 4. 4
+) Gäi H = AC Ç BD => SH ^ (ABCD) & BH =
3
1
BD
KÎ HE ^ AB => AB ^ (SHE) => g((SAB);(ABCD)) = SHE = 600
.
Mµ HE =
3
1
AD =
3
2a
=> SH =
3
3 2a
=> VSABCD =
3
1
.SH.SABCD =
3
3 3
a 0,25
+) Gäi O lµ trung ®iÓm AD=>ABCO lµ hv c¹nh a =>DACD cã trung tuyÕn
SO =
2
1
AD
ð CD ^ AC => CD ^ (SAC) vµ BO // CD hay CD // (SBO) & BO ^
(SAC).
d(CD ; SB) = d(CD ; (SBO)) = d(C ; (SBO)).
0,25
Gäi I l giao ®iÓm cña BO v AC.
Theo tÝnh chÊt träng t©m tam gi¸c BCO => IH =
3
1 IC =
6
2 a => IS =
6
2 5 2 2 a
HS IH =+
kÎ CK ^ SI mµ CK ^ BO => CK ^ (SBO) => d(C;(SBO)) = CK
Trong tam gi¸c SIC cã : SSIC=
2
1 SH.IC =
2
1 SI.CK => CK =
5
3 2 . a
SI
IC SH
=
VËy d(CD;SB) =
5
3 2a
C©u
V(1,0
®iÓm)
Do x,y,z lµ c¸c sè d¬ng nªn ta cã
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
3 3
2 2 2
2 2 2
( ) ( )
2 2 2
xy yz zx xyz
x y z
a b c
P
a b b c c a
ab bc ca
P a b c
a b b c c a
+ + = Û + + =
= + + Û
+ + +
= + + - + +
+ + +
Ta cã:
2
2
2
2
a ab
a a b b b
b
=
+ + +
.Theo B§T C«si ta
cã
2
3 2 2 3
2
2 2
3
2 3
a ab
b b ab a b
b a b
+ + ³ Þ £
+
T¬ng tù ta cã:
2 2
3 3 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
;
2 3 2 3
ca cb
a c b c
c a b c
£ £
+ +
0,5
0,5
- 5. 5
Nªn 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2
3 ( )
3
P a b a c c b³ - + +
Theo B§T C«si ta cã: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3
. .1 . .1 . .1
1 1 1 2
( ) 1
3 3 3 3
a b a c c b ab ab cb cb ac ac
ab ab cb cb ac ac
ab bc ca
+ + = + +
+ + + + + +
£ + + = + + +
Ta cã : 2
3( ) ( ) 9 3 ab bc ca a b c ab bc ca+ + £ + + = Þ + + £ .
Nªn 1 P ³ .VËy
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
2 2 2
y x z
xy x zx z yz y
+ + ³
+ + +
.DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi
x= y=z=1.
C©u 1(1®iÓm)
§êng trßn (C) cã t©m I(-1;2) cã b¸n kÝnh 5 R = .Ta thÊy
· · 0 0
60 30 2 2 5 AMB AMI MI R= Û = Û = = (Do tam gi¸c AMI vu«ng t¹i A)
( ) ( ; 1) M d M t tÎ Û + .Nªn 2 2
2 5 ( 1) ( 1) 20 3 IM t t t= Û + + - = Û = ±
0,25
0,5
VI.a
(2,0
®iÓm)
Suy ra M(3;4) hoÆc M(-3;-2). 0,5
2(1 ®iÓm)
MÆt ph¼ng (P) ®i qua A,B c¸ch ®Òu C vµ D x¶y ra hai kh¶ n¨ng
(P) ®i qua A vµ B vµ song song víi CD.
MÆt ph¼ng (P) cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn ; (0; 6;6) n AB CD né ù= Û = -ë û
r uuuruuur r
LËp ®îc ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ:y – z + 1 = 0.
0,5
MÆt ph¼ng (P) ®i qua A,B vµ vµ trung ®iÓm I cña CD ta cã I(1;2;0)
VÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña (P) lµ ; ( 3;0;3) n AB AI né ù= Û = -ë û
r uuuruur r
LËp ®îc ph¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) : x – z – 1 = 0.
0,5
C©u
V.IIa
1,0
®iÓm Ta cã:
0 1 2 2
3 3 3 3 3
0 1 2 2 2
0 0 0 0 0
1 2 1
0 2 3
(1 ) ...
(1 ) ...
4 1
3 .3 .3 ... .3
1 2 3 3
n n n
n n n n
n n
n n n n
n n
n n n n
n
x C C x C x C x
x dx C dx C xdx C x dx C x dx
C C C
C
n
+
+ = + + + +
Þ + = + + + +
-
Û = + + + +
+
ò ò ò ò ò
Tõ gi¶ thiÕt suy ra:
1 11
4 1 4 1
10
1 1
n
n
n n
+
- -
= Û =
+ +
0,25
0,25
T×m ®îc sè h¹ng tæng qu¸t khi khai triÓn 2 10
( ) ( 1) f x x x= + + lµ :
10 . .
( , ,0 ,0 10)
k m m k
k C C x
m k N m k k
+
Î £ £ £ £
0,25
m + k = 4 4 m kÛ = - mµ 0 0 4 2 4 2 m k k k k k£ £ Þ £ - £ Û £ £ Þ = hoÆc k =
3,hoÆc k =4
2 k = th× m = 2. k =3 th× m = 1, k= 4 th× m=0
0,25
- 6. 6
VËy hÖ sè cña 4
x trong khai triÓn 2 10
( ) ( 1) f x x x= + + lµ
2 2 3 1 4 0
4 10 2 10 3 10 4 . . . 615. a C C C C C C= + + =
C©u
VI.b
2(1 ®iÓm)
0,5
0,5
C©u
VII.b
1,0
®iÓm
0,5
0,5
