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SVM本勉強会
Chapter7.	
  分割法
Waseda Univ.	
  Hamada	
  Lab.	
  B4
Taikai Takeda
Twitter:	
  @bigsea_t
Self-­‐Introduction
üTaikai Takeda
üTwitter:	
  @bigsea_t
üHamada	
  Lab.	
  B4
üInterests
§ Bioinformatics
§ Machine  Learning
üHobby
§ Sports
§ swimming,  badminton,  rowing,…
§ Drinking
§ beer,  sake,  wine,…
2
分割法とは
ü背景
§ ⼤大規模なデータでのSVMの学習は計算コストが
⼤大きい
§ 𝑁個の未知変数を持つ⼆二次計画問題は𝑂(𝑁$)の計算時間
§ 汎⽤用的な最適化アルゴリズムではなくSVMに特化
したもの(分割法)を⽤用いることで効率率率化できる
ü概要
§ 訓練集合をすべて使うのでなく,⼀一部のみを使って
⼩小規模な最適化問題を繰り返し解く
3
分割法の種類
üSMO
§ 訓練集合のサイズを最⼩小とした分割法
§ カーネルSVMに⽤用いられる
üDCDM
§ SMOでさらに線形SVMに特化した分割法
§ 主問題と双対問題の関係をうまく利利⽤用する
4
分割法における双対問題
ü⼀一般の分割法(decomposition	
  method)
§ 訓練集合の部分集合である作業集合(working  set)で
学習を⾏行行う
§ 作業集合	
   𝑆 ⊆ [𝑛]
§ それ以外 𝑆̅ = [𝑛]	
   𝑆
5
𝑂( 𝑆 $)で解ける
SMOアルゴリズム
üSMO(Sequential	
  Minimal	
  Optimization)
§ 作業集合のサイズ 𝑆 = 2とした分割法
§ 制約条件より, 𝑆 = 2が最⼩小(minimal)である
(後述)
§ 双対問題の解を解析的に得られる
§ LIBSVMという有名なソフトで採⽤用
6
SMO	
  -­‐ 学習の流流れ
1. 良良さそうな2変数を選ぶ
2. 2変数の最適化(解析解が存在)
3. 停⽌止条件を満たすまで1,2	
  の繰り返し
7
SMO	
  – 事前準備
ü双対変数 𝛼1 1∈[3]の変数変換
8
この制約条件のため
1つのβだと値を動かせない
→2つがminimal
cf 変換前のOP
SMO	
  -­‐ 2変数最適化
ü𝛽<, 𝛽>, 𝑠 ≠ 𝑡の2変数の更更新
𝛽< ← 𝛽< + Δ𝛽<
𝛽> ← 𝛽> + Δ𝛽>
ü制約条件∑ 𝛽11∈[3] = 0より,
Δ𝛽> = −Δ𝛽<
→実質的に𝚫𝜷 𝒔だけが⾃自由変数
9
SMO	
  -­‐ 2変数最適化
üΔ𝛽<に関する制約は𝑦<, 𝑦>の値によって変化
L
	
  	
  	
  	
  0 ≤ 𝛽∘ + Δ𝛽∘ ≤ 𝐶	
   𝑖 𝑓	
   𝑦∘ = +1
−𝐶 ≤ 𝛽∘ + Δ𝛽∘ ≤ 0	
   𝑖 𝑓	
   𝑦∘ = −1
§ 𝛽∘	
  は𝛽< 𝑜𝑟𝛽>	
  
ü全4パターンを書き下すと,
10
これらをまとめて
𝐿 ≤ Δ𝛽< ≤ 𝑈
と表現する
SMO	
  -­‐ 2変数最適化
ü結局,Δ𝛽<に関する最適化問題は
⼆二次関数の最⼩小化問題に帰着される
11
SMO	
  -­‐ 2変数最適化
üΔ𝛽<の解析解
12
𝑳 𝑯
MIN
𝑳 𝑯
MIN
𝑳 𝑯
MIN
SMO	
  – 変数選択
ü𝛽<, 𝛽>の選び⽅方の⽅方針
→最適性条件を⼀一番満たしていないペアを選ぶ
üSVMの双対変数𝜶の最適性条件
13
SMO	
  – 変数選択
最適性条件の整理理
14
SMO	
  – 変数選択
ü最適性条件を最も満たしてないペアの選択
§ ⼯工夫しないと𝑂(𝑛]
)の計算量量
§ 実際には毎回更更新されるのが𝛼<, 𝛼>のみであること
を利利⽤用して𝑂(𝑛)で計算できる
15
SMO	
  – 変数選択
ペアの選択における計算の⼯工夫
16
𝛽1 = 𝑦1 𝛼1, 𝑖 ∈ [𝑛]
𝛽< ← 𝛽< + Δ𝛽<
𝛽> ← 𝛽> + Δ𝛽>
Δ𝛽> = −Δ𝛽<
üカーネル⾏行行列列𝐾1_の計算上の⼯工夫
§ 変数選択,2変数最適化の各ステップで
カーネル関数𝐾1_の値を𝑂(𝑛)個使う
§ カーネル関数の計算量量は通常𝑂 𝑑 → 全部で𝑂(𝑛𝑑)
§ cf.
§ カーネル関数の値は最適化の過程で変化しないので
予め計算してキャッシュしておく
§ Δ𝛽<の更更新の計算量量は𝑂(𝑛)となる
§ 訓練集合が⼤大規模な場合で全ての𝐾1_をキャッシュでき
ない場合には直近に使った𝐾1_のみをキャッシュする
§ SVMのスパース性より選ばれる変数に偏りがあるので
うまくいく
SMO	
  – カーネル⾏行行列列のキャッシュ
17
SMO -­‐ まとめ
üアルゴリズムの流流れ
1. 変数選択:
最適性条件を最も満たしていない変数を選ぶ
2. 2変数最適化:
⼆二次⽅方程式の最⼩小値を求める問題なので
解析解が存在
3. 停⽌止条件を満たすまで1,2  の繰り返し
18
DCDMアルゴリズム
üDCDM(Dual	
  Coordinate	
  Descent	
  Method)
§ 線形SVMに特化した分割法
§ SMOよりはやい
§ 主問題と双対問題の関係を利利⽤用
19
DCDMアルゴリズム – 事前準備
バイアスのない線形SVM
ü決定関数
§ 𝑓 𝒙 = 𝒘c
𝒙
§ cf.  バイアスあり:𝑓 𝒙 = 𝒘c
𝒙 + 𝑏
ü主問題
ü双対問題
ü⼊入⼒力力の拡張
§ バイアスまで正則化してしまう
→データの標準化などの前処理理が必要
§ e.g.  𝒙1e = 𝒙1 −
f
3
∑ 𝒙11∈[3]
20
バイアス項が消えたので等式制約も消えた
𝑐𝑓.	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
𝜕𝐿
𝜕𝑏
= − j 𝛼1 𝑦1 = 0
1∈3
	
  	
  → 	
  	
  j 𝛼1 𝑦1 = 0
1∈3
DCDMアルゴリズム – 学習の流流れ
ü最⼩小の作業集合𝑆に対して最適化を繰り返す
§ 等式がないため 𝑆 = 1が最⼩小作業集合
ü最適化の計算コストが⼩小さい
→変数選択を⾏行行わないで𝛼f, … , 𝛼3と順番に選択
21
DCDMアルゴリズム – 1変数最適化
ü双対変数𝛼<の更更新
§ 𝛼< ← 𝛼< + Δ𝛼<
§ 𝑆 = 𝛼< , s ∈ [𝑛]
üΔ𝛼<に関する双対問題
ü2次関数最⼩小化の解析解
22
DCDMアルゴリズム – 1変数最適化
線形性の利利⽤用による計算の⾼高速化
ü
fm∑ nopoqo∈ r
pqq
の計算で𝑄_<と𝑄<<が必要
ü𝑄<<は𝑸⾏行行列列の対⾓角成分なので𝑂(𝑛)のキャッシュ
ü𝑄_<には主変数𝒘と双対変数𝜶の関係の利利⽤用
§ 𝒘 = ∑ 𝛼_ 𝑦_ 𝒙__∈ 3 , Qvw = yvywKvw
§ 1 − ∑ 𝛼_ 𝑄_<_∈ 3 = 1 − 𝒘c 𝒙< 𝑦<
§ 1 − ∑ 𝛼_ 𝑄_<_∈ 3 :𝑂 𝑛] ⇒ 1 − 𝒘c 𝒙< 𝑦<:𝑂(𝑑)
§ 𝐰のキャッシュO(𝑑)は必要
§ 𝒘は双対変数の更更新のたびに必要
§ 𝒘 ← 𝒘 + Δ𝛼< 𝒙< 𝑦<:𝑂(𝑑)
⇒ 𝑶(𝒏 + 𝒅)のキャッシュで𝑶(𝒅)の計算量量
cf.	
  SMOでは𝑂(𝑛])のキャッシュで𝑂(𝑛)の計算量量
23
DCDM-­‐まとめ
ü𝛼f, … , 𝛼3と順番に最適化していく
ü線形性を利利⽤用して計算を⾼高速化できる
24
References
ü⽵竹内⼀一郎郎,烏⼭山昌幸, (2015),サポートベクトルマシン,講談社
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