1.
量子情報復習会
宇津木健
1

2.
ベクトル空間
2













nz
z
z
|
| 2
1

■ ある量子状態は、複素数を要素に持つベクトルで表される
複素数
z1=a+ib
■ エルミート共役 （複素共役&転置、随伴共役）
n次元の複素ベクトル空間Cnケット記号
   **
2
*
1
*
2
1
*
~
|
||| n
T
n
T
zzz
z
z
z

























  †
ブラ記号
ダガー

3.
内積、外積、テンソル積
3
■ 内積
  22
2
2
1
2
1
**
2
*
1 ~
|
~| n
n
n zzz
z
z
z
zzz 












 
内積は、２つのベクトルからスカラーを作る
■ 外積
 




























2*
2
*
1
2
2
*
12
*
1
*
21
2
1
**
2
*
1
2
1
~
~~~~
~
~
|
||
nnn
n
n
n zzzzz
zzz
zzzzz
zzz
z
z
z

外積は、２つのベクトル
から行列を作る
■ テンソル積













































































'
|
'2
'
1
'
|
'2
'
1
2
'
|
'2
'
1
1
2
1
2
1
|'
|
'
'
|
'|'||
nz
z
z
n
nz
z
z
nz
z
z
nn
z
z
z
z
z
z
z
z
z

テンソル積は、２つのベクトル
からベクトルを作る

4.
■ ベクトル|z>は線形従属
■ 直交
■ Gram-Schmidtの直交化手法
直交してないベクトル群（w1,w2）から
正規直交しているベクトル群（v1,v2 ）を作る方法
ベクトル空間の決まり
4
■ ベクトルℤは線形独立
|z>
|z>
|x>
|y>
|x>
|y>
|z> = a|x>+b|y> |z> =???
<x|z> = 0
|x>
|z>
11
1
1
1
1
ww
w
w
w
v 
w1
w2
v1
v2
1212
1212
2
vv
vv
ww
ww
v



Step1 Step2

5.
量子ビット(Quantum-bit, qubit)
5
■ 量子ビットの表し方
■ 最も単純な量子ビットの例（均等な重ね合わせ状態）
■ 量子ビットの物理的な実現方法
例 光子の偏光状態、光子の存在、スピンの向き、電子のエネルギー状態
光子のスリットの通った方、超電導閉回路内の電流向き(D-wave)…
■ 量子ビットは正規直交基底
⇒絶対値１で内積が0となるベクトルの組













1
0
1|,
0
1
0|







β
α
β|α||ψ 10
量子ビット 量子状態







1
1
2
1
1
2
1
0
2
1
|||ψ
α2 ,β2 は、
観測確率を表す。
0状態と1状態が、50%/50%で現れる
量子状態
122
 βα

6.
量子状態
6
■ 1qubitの量子状態
■ 2qubitの量子状態 ⇒ テンソル積で表す
■ n-qubitの重ね合わせ
n-qubit ⇒ 2nの状態を表現可能
■ 量子エンタングルメント（量子もつれ）
 10 β|α||ψ
   



11100100
11011000
101021
bd|bc|ad|ac|
|bd||bc||ad||ac|
d|c|b|a||ψ|ψ
2状態の重ね合わせ
4状態の
重ね合わせ
 1100 β|α||ψ
何だかの物理的な操作で、
片方の状態が確定するともう片方も確定する
状態を生成することができる。
物理的な実現方法
・対生成（エネルギーから粒子と反粒子が生成）

7.
ブロッホ球表示
7






 1
2
sin0
2
cos|

  ii
ee
 10 β|α||ψ
1qubitの量子状態
α=a+ib, β=c+id:実数自由度4つで、制約条件α2+β2=1
から実数自由度は3
⇒実数γ、θ、φで書き換える
1qubit量子状態のブロッホ球表示（それぞれ確率は？）
■ 1qビットの量子状態を球面上にマッピング

8.
線形オペレータ
8
■ 線形オペレータ（線形演算子、線形作用素）
＝行列Aをベクトル|Ψ>（量子状態）に掛け算
■ 固有ベクトルと固有値
・ある演算子（行列）Aを正規直交基底|i>の外積で表すと計算に便利
・そのためにAの固有値 “λi” と固有ベクトル”|i>”を求める必要がある
 
  0det
0


IA
iIA
i
i

iiA i
定義

i
i iiA 
目的 方法
 '|ψA|ψ
 '|ψ|ψ
A
量子状態を操作
＝量子計算

9.
線形オペレータ
9
IUU †
AA †
・固有値の絶対値が1（eiφ で表せる）
・正規 UU†=U†U ⇒スペクトル分解可能
・固有ベクトルが直交
・正規 AA†=A†A ⇒スペクトル分解可能
■ ユニタリーオペレータ
■ エルミートオペレータ
・射影オペレータ
正規
エルミート ユニタリー
I
射影 正
・正のオペレータ

10.
スペクトル分解
10
■

11.
量子計算
11
■ 回路図
初期状態
■ ユニタリー性
■ テンソル積
観測

12.
量子計算１
12
■ 単一qビットゲート（行列とブラケット[外積]）
Ｘ
Ｙ
Ｚ
Ｈ
■ ブロッホ球表現
■ 単一qビットゲートの分解

13.
量子計算２
13
■ 2qビットゲート（行列とブラケット）
C-NOT
■ 非クローン化定理

14.
量子計算３
14
■ 3qビットゲート（行列とブラケット）

15.
量子テレポーテーション
15
■ 回路図
■ 計算
■ 意味

16.
数学的公理(axiom)と量子力学的公理(postulate)の違い
16

17.
行列の規格化
17

18.
Schrodinger方程式
18

19.
ハミルトニアンと時間発展
19

20.
ユニタリティ
20

21.
一般の可逆関数ゲート
21

22.
密度行列
22

23.
射影測定とPOVM測定
23