lógica matemática

1. Universidad​ ​Nacional​ ​de​ ​Loja
​ ​Facultad:​ ​Jurídica​ ​Social​ ​y​ ​Administrativa
​ ​​ ​Administración​ ​turística
Unidad:​​ ​1
Tema:​​ ​La​ ​lógica​​ ​Matemática​-Operadores​ ​​ ​lógicos-Proposiciones​ ​Lógicas
Alumna:​​ ​Tania​ ​Contento
Ciclo:​​ ​Primero
Paralelo:​​ ​“A”
Asignatura:​​ ​Matemática​ ​Básica
La​ ​lógica​​ ​Matemática
La lógica es la ciencia que se encarga de exponer las leyes, modos y formas del
razonamiento. Se trata de una ciencia formal que no tiene contenido, pero que se dedica al
estudio de las formas válidas de inferencia. Es decir, trata del estudio de los métodos y
principios​ ​utilizados​ ​para​ ​distinguir​ ​el​ ​razonamiento​ ​correcto​ ​del​ ​incorrecto.
La lógica matemática nos ayuda a establecer criterios de verdad, equivalencias lógicas tales
como el silogismo, hacer demostraciones de teoremas que participan en el análisis de
argumentos​ ​planteados.
​ ​Proposiciones​ ​Lógicas
Proposición Lógica: Es un enunciado que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la
vez.​ ​La​ ​proposición​ ​es​ ​un​ ​elemento​ ​fundamental​ ​de​ ​la​ ​lógica​ ​matemática​.
No​ ​son​ ​proposición:
● Oraciones​ ​imperativas​ ​(órdenes):​​ ​​por​ ​favor,​ ​tráeme​ ​esa​ ​silla.
● Oraciones​ ​exclamativas:​​ ​​¡Auxilio,​ ​me​ ​ahogo!
● Oraciones​ ​interrogativas:​​ ​​​ ​¿Qué​ ​día​ ​es​ ​hoy?
● Oraciones​ ​con​ ​incógnitas:​​ ​x+2=8
● Pensamientos​ ​poéticos.
Tipos​ ​de​ ​proposiciones
Proposición Simples: son las proposiciones que presentan una sola idea. No presentan
conectivas​ ​binarias.
● Oraciones​ ​afirmativas:​​ ​El​ ​dia​ ​esta​ ​nublado.
● Oraciones​ ​descriptivas:​​ ​La​ ​tiza​ ​es​ ​de​ ​color​ ​blanco.
● Oraciones​ ​explicativas:​​ ​​Los​ ​números​ ​pares​ ​son​ ​divisibles​ ​para​ ​dos.
Proposición Compuesta: ​Son aquellas que están formadas por dos o más ​proposiciones
simples​​ ​unidas​ ​por​ ​los​ ​operadores​ ​lógicos.
Operador​ ​lógico​ ​o​ ​conectivos.

2. Conector Simbol
o
Esquema Significado Valor​ ​De
Verdad
Tabla​ ​De
Verdad
Negacion (~)(¬) ¬p no,​ ​ni​ ​no​ ​es
cierto​ ​que,​ ​no
es​ ​verdad​ ​que.
Lo​ ​opuesto​ ​al
valor​ ​de​ ​la
proposición
Conjunción ⋀ p⋀q y,​ ​pero,​ ​más
(​.,;​)
Verdadero:​​ ​Si
ambas
proposiciones​ ​son
verdaderas
Disyunción V pVq “o” Falso:​ ​​Si​ ​ambas
proposiciones​ ​son
falsas
Disyunción
Exclusiva
v p​v​q “o...o..” Verdadero:​ ​​Si
una​ ​de​ ​las​ ​dos
proposiciones​ ​es
verdadero
Condicional → p→q “si...entonces.
.”
Falso:​​ ​Si​ ​la
primera
proposición​ ​es
verdadera​ ​y​ ​la
segunda
Bicondicional ↔ p↔q si​ ​y​ ​sólo​ ​si” Verdadero:​ ​​Si
ambas
proposiciones​ ​son
iguales

3. Ejemplos​ ​de​ ​proposiciones​ ​compuestas:
Conector Ejemplo Simbología
Negación No​ ​es​ ​cierto​ ​que​​ ​2​ ​es​ ​un​ ​número​ ​natural. ¬p
Conjunción: Compre dos entradas para aquel concierto ​pero no pude
ir.
p⋀q
Disyunción: Como mínimo termina tu tarea escolar ​o recoge aquellos
juguetes​ ​del​ ​suelo.
pVq
Disyunción
Exclusiva
O​​ ​bien​ ​voy​ ​al​ ​cine​ ​​o​​ ​bien​ ​voy​ ​a​ ​cenar​ ​con​ ​mis​ ​padres. p​v​q
Condicional Solo​ ​si​ ​​4​ ​es​ ​mayor​ ​que​ ​3​ ​​entonces​​ ​3​ ​es​ ​menor​ ​que​ ​6 p→q
Bicondicional
doble:
Una​ ​semana​ ​tiene​ ​7​ ​días​ ​​si​ ​y​ ​sólo​ ​si​​ ​un​ ​día​ ​tiene​ ​24​ ​horas. p↔q
Con cinco conectivas lógicas básicas se construyen proposiciones compuestas que pueden ser
tautologías,​ ​contradicciones​ ​o​ ​contingencias.
Tautología: ​Una proposición compuesta es una Tautología si al construir su tabla de verdad
el resultado en cada renglón es verdadero (V) independientemente de los valores de verdad
que​ ​tomen​ ​las​ ​proposiciones​ ​simples​ ​que​ ​intervienen.
Ejemplo:
Contradicción: Una proposición compuesta es una contradicción si al construir su tabla de
verdad el resultado en cada renglón es falso (F) independientemente de los valores de verdad
que​ ​tomen​ ​las​ ​proposiciones​ ​simples​ ​que​ ​intervienen.
Ejemplo:

4. Contingencia: ​Una proposición compuesta es una contingencia si al construir su tabla de
verdad no resulta tautología o contradicción, es decir, es una proposición que toma valores
verdaderos (V) en unos casos falsos (F) en otros, dependiendo de los valores de las
proposiciones​ ​que​ ​la​ ​componen.
Ejemplo:
RECORDAR:​​ ​Las​ ​proposiciones​ ​se​ ​representan​ ​con​ ​letras​ ​minúsculas​ ​a​ ​partir​ ​de​ ​la​ ​“​ ​p​ ​”
Leyes​ ​de​ ​la​ ​lógica​ ​proporcional
Una proposición lógica, compuesta por varias proposiciones representadas con letras y unidas
entre sí con símbolos lógicos, que tenga la propiedad de que cuando se reemplazan las letras
por proposiciones reales siempre resulta verdadera aunque algunas o todas esas proposiciones
sean​ ​falsas,​ ​es​ ​lo​ ​que​ ​se​ ​llama​ ​una​ ​​ley​ ​lógica.
Estos principios lógicos permiten transformar de los esquemas llamado origen a otro llamado
derivado que será de absoluta equivalencia, para ello es necesario usar de manera adecuada y
correcta​ ​cada​ ​uno​ ​de​ ​los​ ​principios​ ​lógicos.​ ​Los​ ​principios​ ​más​ ​comunes​ ​son:
Leyes Nombre
p​ ​˅​ ​(p​ ​˄​ ​q)​ ​≡​ ​p
p​ ​˄​ ​(p​ ​˅​ ​q)​ ​≡​ ​p
Ley​ ​de​ ​absorción

5. p​ ​˅​ ​(¬p​ ​˄​ ​q)​ ​≡​ ​p​ ​˅​ ​q
p​ ​˄​ ​(¬p​ ​˅​ ​q)​ ​≡​ ​p​ ​˄​ ​q
p​ ​∨​ ​p​ ​≡​ ​p
p​ ​∧​ ​p​ ​≡​ ​p
Leyes​ ​de​ ​idempotencia
∼​ ​(∼​ ​p)​ ​≡​ ​p Ley​ ​de​ ​doble​ ​negación
p​ ​∨​ ​q​ ​≡​ ​q​ ​∨​ ​p
p​ ​∧​ ​q​ ​≡​ ​q​ ​∧​ ​p
Leyes​ ​conmutativas
P∧¬P⇔F
P∨¬P⇔V
¬(¬P)⇔P
¬F⇔V
¬V⇔F
Complemento
p​ ​∨​ ​(q​ ​∨​ ​r)​ ​≡​ ​(p​ ​∨​ ​q)​ ​∨​ ​r
p​ ​∧​ ​(q​ ​∧​ ​r)​ ​≡​ ​(p​ ​∧​ ​q)​ ​∧​ ​r
Leyes​ ​asociativas
p​ ​∨(q​ ​∧​ ​r)​ ​≡​ ​(p​ ​∨​ ​q)​ ​∧​ ​(p​ ​∨​ ​r)
p​ ​∧​ ​(​ ​q​ ​∨​ ​r)​ ​≡​ ​(p​ ​∧​ ​q)​ ​∨​ ​(p​ ​∧​ ​r)
Leyes​ ​distributivas
∼​ ​(p​ ​∧​ ​q)​ ​≡​ ​∼​ ​p​ ​∨​ ​∼​ ​q
∼​ ​(p​ ​∨​ ​q)​ ​≡​ ​∼​ ​p​ ​∧​ ​∼​ ​q
Leyes​ ​de​ ​De​ ​Morgan
p​ ​⇒​ ​q​ ​≡​ ​∼​ ​p​ ​∨​ ​q Condicional
p​ ​⇔​ ​q​ ​≡(p⇒q)∧​ ​(q⇒p) Bicondicional
P​ ​∨​ ​F​ ​≡​ ​P
P​ ​∧​ ​V​ ​≡​ ​P
P∨F⇔​ ​P
P∨V⇔V
Leyes​ ​de​ ​identidad
Bibliografía:
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