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Séquence 3

Géométrie
Sommaire

1. Trigonométrie p.102
2. Géométrie dans l’espace p.112
3. Barycentres p.118
4. Produit scalaire dans le plan p.123
5. Translations et homothéties p.129
6. Exercices d’application p.133
7. Corrigés des exercices p.137

Séquence 3 101

Cned – Académie en ligne

1 Trigonométrie
A Repérage d’un point du cercle
trigonométrique
On considère un repère orthonormé ( O ; i , j ) et les points I et J tels que
OI = i et OJ = j .

Ꮿ B 1. Mesure d’un angle géométrique en radians

O
a Définition
A
Soient Ꮿ un cercle de centre O et de rayon 1 et A, B deux points de Ꮿ .

La mesure en radians de l’angle AOB est la longueur de l’arc AB .

Exemples La longueur d’un demi-cercle de centre O et de rayon 1 étant égale à π
(périmètre d’un cercle de centre O et de rayon 1 = 2π ), on en déduit que
la mesure en radians d’un angle plat est de π radians et de même celle
d’un angle droit (correspondant à la longueur d’un quart de cercle) est
π
de radians .
2
a Propriété
Les mesures d’un angle en degrés et en radians sont proportionnelles.

a Correspondances à connaître

Mesure en degrés 0 30 45 60 90 180 x

π π π π π
Mesure en radians 0 π ×x
6 4 3 2 180

2. Cercle trigonométrique et angles orientés
Un cercle trigonométrique est un cercle orienté de rayon 1.
Par convention, le sens direct (dit aussi positif) est le sens inverse des
aiguilles d’une montre. L’autre sens est dit indirect.

102 Séquence 3


a Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique
+ En « enroulant » la droite des réels sur le cercle trigono-
métrique Ꮿ de centre O comme le suggère la figure ci-
π contre (dans le sens direct si x > 0 et dans le sens indirect
si x < 0 ), on associe à tout réel x un unique point M du
cercle.
x Exemple : Au réel 0, on associe le point I ; au réel π le
π π
point A, à le point J, à − le point C…
π 2 2
2
J a Définition
M
Si au nombre réel x, on associe le point M, on dit que x est
une mesure en radians de l’arc orienté IM ou de l’angle
I
A 0 orienté de vecteurs (OI ; OM).
O

C
a Ensemble des mesures d’un angle orienté
de vecteurs ; mesure principale
π ̈ Réciproquement, à un point M du cercle, est associée une
2 famille de réels.
π 3π
Au point J sont, par exemple, associés les réels , − …
2 2
Ces nombres réels sont définis « modulo 2π ». Cela
signifie que leurs différences sont des multiples entiers
π
de 2π (correspondant à des nombres de tours complets
du cercle dans le sens indirect ou direct).
Si x est un tel réel, on note :
(OI ; OM) = x + 2k π ( k ∈» ) ou (OI ; OM) = x (modulo 2π ).
̈ De même, si M et N sont deux points du cercle trigonométrique respec-
tivement associés aux réels x et y, les mesures en radians de l’angle
orienté (OM ; ON) sont les réels y − x + 2k π avec k ∈» .
̈ Parmi toutes les mesures d’un angle orienté ( OM ; ON) , une seule
appartient à l’intervalle ] − π ; π ] . On l’appelle la mesure principale de
l’angle ( OM ; ON) .

Exemple 1 On considère le cercle trigonométrique Ꮿ ci-contre et A, B, C trois points de Ꮿ .
Déterminer une mesure des angles de vecteurs : ( OI ; OB ),( OI ; OC ) ,
( OC ; OB ) .
Ꮿ +
Placer sur le cercle les points D et E tels que :
B
j
I −4 π 13 π
( OI ; OD ) = (2 π )et ( OI ; OE ) = (2 π ).
O 3 4
i Déterminer la mesure principale des angles
C
(OI ; OD ) et (OI ; OE ).
A

Séquence 3 103


π
On a ( OI ; OB ) = π (2π ) (angle plat); ( OI ; OC ) = − (2π ) (C est sur la bis-
4
⎛ π ⎞ 5π 3π
sectrice de l’angle droit AOI ) et ( OC ; OB ) = π − ⎜ − ⎟ = =− (2π ).
⎝ 4⎠ 4 4
4π π
On peut placer D en utilisant le fait que − = −π −
D et que OBD est par suite équilatéral. 3 3
Ꮿ
4π 2π 2π 2π
π j De plus − + 2π = et ∈ ] − π ; π ] donc
3 3 3 3 3
I
B est la mesure principale de (OI ; OD)
O i
13π 16π 3π 3π 3π 3π
C = − = 4π − = 2 × 2π − =− (2π )
E 4 4 4 4 4 4
A avec
3π 3π
− ∈ ] − π ; π ] donc − est la mesure principale
4 4
de (OI ; OE) . De plus E est sur la bissectrice de AOB .

3. Angle orienté de deux vecteurs quelconques
a Définition
N Soient u et v deux vecteurs non nuls tels que u = OM
v et v = ON .
Ꮿ B On considère les points A et B points d’intersection
u M
A respectifs des demi-droites [OM) et [ON) avec le cer-
j cle trigonométrique de centre O.
O i Les mesures en radians de l’angle orienté de vecteurs
(u ; v ) sont les mesures en radians de (OA ; OB ).

a Propriétés
̈ Angles et colinéarité Soient u et v deux vecteurs non nuls.
u et v sont colinéaires de même sens si et seulement
si (u ; v ) = 0 (modulo 2π ).
u et v sont colinéaires de sens contraires si et
seulement si (u ; v ) = π (modulo 2π ).

̈ Relation de Chasles Pour tous vecteurs u , v , w non nuls, on a :
(u ; v ) + (v ; w ) = (u ; w ) (modulo 2π ).

104 Séquence 3


̈ Conséquences Pour tous vecteurs u , v non nuls, on a (modulo 2π) :

v ᕡ (v ; u ) = −(u ; v )
π
ᕢ ( −u ; −v ) = (u ; v )
–u
u
ᕣ ( −u ; v ) = (u ; v ) + π et (u ; −v ) = (u ; v ) + π
–v

4. Les méthodes
a Comment déterminer la mesure principale d’un angle
orienté
Pour calculer la mesure principale d’un angle orienté de mesure
(en radians) x, on décompose x sous la forme d’une somme de type
y + k × 2π avec y ∈] − π ; π ] et k ∈» alors y est la mesure principale
associée à x. On peut aussi si x est « grand » estimer « le nombre de
tours complets du cercle contenus dans cette mesure » puis ajouter ou
soustraire à x la mesure en radians de ce nombre de tours qui est donc
un multiple de 2π , afin d’obtenir un réel de ] − π ; π ].

Exemple 2 Déterminer la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
431π
.
6 431π
On calcule 6 (pour estimer le nombre de tours complets) :
2π
431π
6 = 431 36 (on arrondit à l’entier le plus proche).
2π 12
431π 431π − 432π π π π
Puis − 36 × 2π = = − avec − ∈ ] − π ; π ] donc −
6 6 6 6 6
est la mesure principale demandée.

a Comment utiliser les règles opératoires sur les
angles orientés
On peut utiliser les propriétés du 3. pour montrer le parallélisme de deux
droites, l’alignement de trois points ou l’orthogonalité de deux droites.
Si A, B, C, D sont 4 points deux à deux distincts, on a en particulier :

( )
(AB) // (CD) ⇔ AB ; CD = 0 ( modulo π )
( )
A, B, C alignés ⇔ AB ; AC = 0 ( modulo π ).

Exemple 3 OnconsidèrelespointsA,B,C,DetEtelsque ( AB ; AE ),( AB ; AD ) et ( AD ; AC )
2 π 3π 5π
ont pour mesures respectives − , et − .
3 4 12
Démontrer que les points A, C et E sont alignés.

Séquence 3 105


On calcule une mesure de l’angle orienté (AC ; AE).
On a d’après la relation de Chasles :

( AC ; AE ) =( AC ; AD )+( AD ; AB )+( AB ; AE )=−( AD ; AC ) − ( AB ; AD )+( AB ; AE )
5π 3π 2π −12π
soit ( AC ; AE ) = − − = = − π = π ( modulo 2π ).
12 4 3 12
Donc les vecteurs AC et AE sont colinéaires (de sens contraires) et les
points A, C, E sont bien alignés.

B Lignes trigonométriques
1. Les notions
a Définition
1
(O ; i , j ) est un repère orthonormé direct et Ꮿ est le cer-
M
sin x cle trigonométrique de centre O.
j x Soit x un réel et M le point de Ꮿ tel que ( i ; OM) = x (2π ).
P
–1 1
O i cos x
Alors, on a : cos x = abscisse de M et
sin x = ordonnée de M

–1 a Propriétés immédiates
ᕡ Pour tout k ∈»,
cos( x + 2kπ ) = cosx et sin( x + 2kπ ) = sinx . (car x et x + 2k π sont asso-
ciés au même point M de Ꮿ ).
ᕢ Pour tout réel x, on a : −1 ≤ cosx ≤ 1 et −1 ≤ sinx ≤ 1 .
ᕣ Pour tout réel x, on a : cos2 x + sin2 x = 1 . (théorème de Pythagore dans
OPM).

a Propriétés relatives aux angles associés
Pour tout réel x, on a :
M6 M5 ᕤ cos( − x ) = cosx et sin( − x ) = − sinx (point M2 )
x
M4 j M ᕥ cos( π + x ) = − cos x et sin( π + x ) = − sin x (point M3 )
x ᕦ cos( π − x ) = −cosx et sin( π − x ) = sin x (point M4 )
O i ⎛π ⎞ ⎛π ⎞
ᕧ cos
M3 M2 ⎜ 2 − x ⎟ = sin x et sin⎜ 2 − x ⎟ = cos x
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(point M5 )

⎛π ⎞ ⎛π ⎞
ᕨ cos
⎜ 2 + x ⎟ = − sin x et sin⎜ 2 + x ⎟ = cos x (point M6)
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

106 Séquence 3


Remarque a Valeurs particulières (à connaître par
cœur)
En connaissant
⎛ π⎞ 1 π π π π
cos ⎜ ⎟ = , on x 0
⎝ 3⎠ 2 6 4 3 2
⎛ π⎞
retrouve sin ⎜ ⎟ .
⎝ 3⎠ 3 2 1
En effet, cos x 1 0
2 2 2
⎛ π⎞ ⎛ π⎞
sin2 ⎜ ⎟ = 1 − cos2 ⎜ ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 1 2 3
1 3 sin x 0 1
= 1− = 2 2 2
4 4
⎛ π⎞
et comme sin ⎜ ⎟ > 0, a Formules d’addition
⎝ 3⎠
on en déduit que ᕩ cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b et
⎛ π⎞ 3 cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
sin ⎜ ⎟ = . µ sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a et
⎝ 3⎠ 2
sin (a – b) = sin a cos b – sin b cos a.

a Formules de duplication
¸ cos(2a ) = cos2 a − sin2 a = 2cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a

sin(2a ) = 2sina cosa .

2. Les méthodes
a Comment obtenir des valeurs remarquables asso-
ciées à une mesure
On utilise les valeurs particulières du tableau ci-dessus puis on utilise
les formules des angles associés.

Exemple 4 Compléter le tableau ci-dessous concernant les valeurs remarquables
π
des lignes trigonométriques associées à :
6

π π 7π 5π π 2π
x −
6 6 6 6 3 3

cos x

sin x

Séquence 3 107


x π π 7π π 5π π π π π 2π π π π
− =π+ =π− = − = + =π−
6 6 6 6 6 6 3 2 6 3 2 6 3
cos x 1 1
3 3 3 3
− − −
2 2 2 2 2 2
sin x 1 1 1 1 3 3
− −
2 2 2 2 2 2
Explication Valeurs On uti- On utilise ᕥ On utilise Valeurs On utilise ᕨ ou ᕦ
connues lise les ᕦ connues et les valeurs de la
formu- ou ᕧ colonne précédente.
les ᕤ et les
valeurs
de la 1ère
colonne.

a Comment obtenir de nouvelles valeurs
̈ On exprime le réel donné comme somme ou différence de réels dont
les lignes trigonométriques sont connues ou comme double ou moitié
d’un réel dont les lignes trigonométriques sont connues.
̈ On utilise ensuite les formules d’addition ou de duplication.

π π
Exemple 5 Déterminer les lignes trigonométriques du réel et du réel .
12 8
π π π
̈ On a = − donc d’après ᕩ :
12 3 4
⎛ π⎞ π π π π 1 2 3 2 2+ 6
cos ⎜ ⎟ = cos cos + sin sin = × + × =
⎝ 12 ⎠ 3 4 3 4 2 2 2 2 4
On obtient de même en appliquant µ :

⎛ π⎞ π π π π 6− 2
sin⎜ ⎟ = sin cos − sin cos = .
⎝ 12 ⎠ 3 4 4 3 4
π π ⎛ π⎞ ⎛ π⎞
̈ 2× = donc d’après ¸ : cos ⎜ ⎟ = 2cos2 ⎜ ⎟ − 1
8 4 ⎝ 4⎠ ⎝ 8⎠
⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 2 ⎛ π⎞ 2 +2
soit 2cos2 ⎜ ⎟ = cos ⎜ ⎟ + 1 = + 1 donc cos2 ⎜ ⎟ = puis
⎝ 8⎠ ⎝ 4⎠ 2 ⎝ 8⎠ 4

⎛ π⎞ 2 +2 2 +2 ⎛ π⎞
cos ⎜ ⎟ = = car cos ⎜ ⎟ > 0 .
⎝ 8⎠ 4 2 ⎝ 8⎠
⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞ 2− 2
De même, cos ⎜ ⎟ = 1 − 2sin2 ⎜ ⎟ d’où sin2 ⎜ ⎟ = puis
⎝ 4⎠ ⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠ 4

⎛ π⎞ 2− 2 ⎛ π⎞
sin⎜ ⎟ = car sin⎜ ⎟ > 0 .
⎝ 8⎠ 2 ⎝ 8⎠

108 Séquence 3


a Comment utiliser les valeurs remarquables pour
construire le point associé à une mesure
Pour placer le point du cercle trigonométrique associé à une mesure x en
radians, on peut utiliser cos x ou sin x qui nous donnent l’abscisse ou
l’ordonnée du point M.

5π
Exemple 6 Construire (précisément) le point M associé à la mesure en radians .
6
⎛ 5π ⎞ 1
On utilise le fait que sin⎜ ⎟ = (voir ci-dessus avec les angles asso-
M5π ⎝ 6⎠ 2
6 1/2 i ⎛ 5π ⎞
ciés) et que cos ⎜ ⎟ < 0 donc M est le point du cercle trigonométrique
⎝ 6⎠
O 1
i tel que : x M < 0 et y M = .
2
a Comment résoudre des équations trigonométriques
M(a) ̈ Pour résoudre une équation trigonométrique du type cos x = k (avec
k ∈[ −1 ; 1] sinon l’équation n’a pas de solution), on cherche un réel a
cos a
O
tel que cos a = k puis on utilise :
⎧ x = a + 2k π
M’(–a) ⎪
cos x = cos a ⇔ ⎨ ou avec k ∈» .
⎪ x = −a + 2k π
⎩
̈ Pour résoudre une équation trigonométrique du type sin x = k (avec
M’(π–a) M(a) de même, k ∈[ −1 ; 1]), on cherche un réel a tel que sin a = k puis on
sin a
utilise :
O
⎧ x = a + 2k π
⎪
sin x = sin a ⇔ ⎨ ou avec k ∈».
⎪ x = π − a + 2k π
⎩
̈ Il faut aussi tenir compte de l’ensemble dans lequel on résout l’équa-
tion et bien utiliser le cercle trigonométrique.

3
Exemple 7 Résoudre l’équation cosx = − dans » puis dans ] − π ; π ] .
2
⎛ 5π ⎞ 3 ⎛ π⎞
On a cos ⎜ ⎟ = − (éventuellement passer par cos ⎜ ⎟ et s’aider du
5π ⎝ 6⎠ 2 ⎝ 6⎠
6 j cercle pour trouver cela). ⎧ 5π
i ⎪x= + 2k π
⎪ 6
3 3 ⎛ 5π ⎞
2 5π Donc cos x = − ⇔ cos x = cos ⎜ ⎟ ⇔ ⎨ou k ∈».
6 2 ⎝ 6⎠ ⎪
⎪ x = − 5π + 2k π
⎪
⎩ 6
D’où l’ensemble des solutions de l’équation dans » est :
⎧ 5π ⎫
᏿ = ⎨ ± + 2k π ; k ∈» ⎬ (il y en a une infinité).
⎩ 6 ⎭
⎧ 5π ⎫
Dans ] − π ; π ] , ᏿ = ⎨ ± ⎬ (il y a exactement deux solutions).
⎩ 6⎭

Séquence 3 109


C Coordonnées cartésiennes
et coordonnées polaires
1. Les notions
a Définition
+
y M Soit M un point du plan rapporté au repère orthonormé
r direct (O ; i , j ) .
j ο
Un couple de coordonnées polaires de M est un couple du
O x
i type (r ; θ ) tels que r = OM et (i ; OM ) = θ (2π ).

a Propriétés ; lien avec les coordonnées cartésiennes

Cartésiennes Polaires

Coordonnées de M (x ; y) (r ; θ )

r et θ réels : r > 0 ; r est unique.
Propriétés x et y sont des réels.
θ est défini à 2π près.

Relation entre ces x y
coordonnées
x = r cosθ et y = r sinθ . r = x 2 + y 2 ; cosθ = ; sinθ = .
r r

2. Méthode pour passer des coordonnées car-
tésiennes aux polaires et réciproquement
On utilise les propriétés ci-dessus. Si besoin, on utilise les touches
Arccos ( ou cos−1 ) et Arcsin ( ou sin−1 ) de la calculatrice pour obtenir une
valeur approchée de θ .

Exemple 8 Déterminer les coordonnées polaires des points A et B de coordonnées
cartésiennes respectives (4 ; −4 ) et ( −6 ; 3 ) .
̈ A( 4 ; −4 ) : r = x 2 + y 2 = 42 + ( −4 )2 = 32 = 4 2
x 4 1 2
puis on cherche un réel θ tel que : cosθ = = = =
r 4 2 2 2
y −4 −1 − 2 π
et sinθ = = = = . θ = − convient (on utilise les lignes
r 4 2 2 2 4
π
trigonométriques associées à ).
4
Le point A a donc pour coordonnées polaires :

110 Séquence 3


Remarques
⎛ π⎞
Attention ! On utilise ⎜ 4 2 ; − 4 ⎟ .
⎝ ⎠
les valeurs de cos et
de sin pour détermi-
ner une valeur de θ
(une fois trouvée la
valeur de cosθ , on a 2 1
besoin en particulier
du signe de sinθ ). j i 4
Dans cet exemple, on
0
pouvait aussi utiliser 3 –π
4
le fait que le point 4
A est sur la droite
d ’ é q u a t i o n y = −x –4 A
tout en étant dans le
y = –x
quart du plan ᕤ.

̈ B( −6 ; 3) : r = x 2 + y 2 = ( −6 )2 + 32 = 45 = 3 5
x −6 −2
puis θ est tel que : cosθ = = = et
y 3 1 r 3 5 5
sinθ = = = .
r 3 5 5
On ne peut pas obtenir la valeur exacte de θ. On se place en mode
« Radian » sur la calculatrice :
⎛ 2 ⎞
Arc cos ⎜ − ⎟ 2, 68 . Regardons si cette valeur convient pour sinθ .
⎝ 5⎠
⎡π ⎤
Comme 2,68 ∈ ⎢ ; π ⎥ , on a bien avec cette valeur sinθ > 0 (et cos θ < 0 )
⎣2 ⎦
donc B a pour coordonnées polaires : ( 3 5 ; θ ) avec θ 2, 68.

V Voir exercices 1 à 6.

Séquence 3 111


Géométrie dans
2 l’espace
A Sections planes
1. Quelques propriétés utiles
̈ Trois points non alignés déterminent un plan.
̈ Deux plans distincts sont :
– soit sécants (leur intersection est une droite),
– soit strictement parallèles.
̈ Deux droites distinctes sont :
– soit non coplanaires,
– soit coplanaires (elles sont alors soit sécantes, soit strictement
parallèles).
̈ Une droite est :
– soit sécante à un plan (leur intersection est un point),
– soit parallèle à ce plan (elle est alors soit strictement parallèle au
plan, soit contenue dans le plan).
̈ Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’un coupe
l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.
̈ Si deux plans sécants ᏼ et ᏼ' contiennent respectivement deux droi-
tes parallèles (d ) et (d' ), alors leur intersection est parallèle à ces deux
droites (théorème du toit).
̈ Si une droite (d ) est parallèle à un plan ᏼ tout plan ᏼ' contenant (d )
et coupant ᏼ, le coupe suivant une parallèle à (d ).
̈ Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan, alors
elle est orthogonale à ce plan.

2. Méthodes
a Comment déterminer l’intersection de deux plans ᏼ et ᏼ'
̈ On cherche deux points A et B communs aux plans ᏼ et ᏼ' ; l’intersec-
tion de ᏼ et ᏼ' est alors la droite (AB).
̈ On cherche un point A commun aux deux plans et une droite (d ) de
l’un, parallèle à l’autre ; l’intersection de ᏼ et ᏼ' est alors la parallèle
à (d ) passant par A.
̈ On cherche un point A commun aux deux plans et on utilise un 3e plan
permettant d’appliquer la propriété : si deux plans sont parallèles,
alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersec-
tion sont parallèles.

112 Séquence 3


Exemple 9 ABCDEFGH est un cube, I est le milieu de ⎡CD ⎤ . Déterminer l’intersection
⎣ ⎦
des plans (AGI) et (ABE).
Le point A est commun aux plans (AGI) et (ABE).
H G Les plans (ABE) et (CDH) sont parallèles car ABCDEFGH est
un cube. Or l’intersection des plans (AGI) et (CDH) est la
J F droite (GI) car G et I sont deux points communs à ces deux
E
plans, donc l’intersection des plans (AGI) et (ABE) est la
droite parallèle à (GI) passant par A.
D C
I C’est la droite (AJ) où J est le milieu de ⎡EF ⎤ .
⎣ ⎦

A B

a Comment déterminer l’intersection d’une droite (d ) et d’un plan ᏼ
̈ On cherche une droite (d' ) du plan ᏼ coplanaire sécante avec la droite
(d ). L’intersection de la droite (d ) et du plan ᏼ est alors le point d’in-
tersection des droites (d ) et (d' ).
̈ Méthode du plan auxiliaire : on cherche un plan ᏼ' contenant (d ) puis
( )
on détermine l’intersection, une droite Δ , des plans ᏼ et ᏼ'. L’in-
tersection de la droite (d ) et du plan ᏼ est alors le point d’intersec-
( )
tion des droites (d ) et Δ .
Exemple 10 On considère un cube ABCDEFGH. I est un point de la face BCGF et J est un
point de la face DCGH, la droite (IJ) n’étant pas parallèle au plan (ABC).
Construire l’intersection de la droite (IJ) et du plan (ABC).
H G Dans le plan (BCG), notons I' le point d’intersection de
J la parallèle à (CG) passant par I et de la droite (BC).
F Dans le plan (DCG), notons J' le point d’intersection de
E I la parallèle à (CG) passant par J et de la droite (DC).
Les droites (II') et (JJ') sont parallèles car elles sont
C parallèles à la droite (CG).
D
J’ Les points I, I', J et J’ sont donc coplanaires et les droi-
I’ K tes (IJ) et (I'J') sont coplanaires sécantes (elles ne sont
pas coplanaires parallèles car (IJ) n’est pas parallèle à
A B (ABC)).
Notons K le point d’intersection des droites (IJ) et (I'J'). K appartient à (I'J')
qui est incluse dans le plan (ABC) donc K est un point du plan (ABC). De
plus, K appartient à (IJ). K est donc le point d’intersection de la droite (IJ)
et du plan (ABC).

a Comment déterminer la section d’un cube, d’un tétraèdre par
un plan ᏼ
On détermine les points d’intersection (s’ils existent) du plan ᏼ avec les
arêtes du polyèdre, en travaillant si nécessaire avec les droites portant
ces arêtes. La section du polyèdre par le plan ᏼ est alors le polygone
ayant pour sommets ces points d’intersection.

Séquence 3 113


Exemple 11 ABCDEFGH est un cube. I, J et K appartiennent respectivement aux arêtes
[GH], [GC] et [AD] comme sur la figure ci-dessous. Déterminer la section
du cube par le plan (IJK).
P
Les droites (IJ) et (CD) sont coplanaires sécantes
I G (incluses dans (CDG)). Notons M leur point d’inter-
( )
Q
H section. M ∈ IJK .
E Les droites (MK) et (BC) sont coplanaires sécantes (incluses
( )
F
J
dans (ABC)). Notons N leur point d’intersection. N ∈ IJK .
Les droites (IJ) et (DH) sont coplanaires sécantes (incluses
D C
( )
dans (DHG)). Notons P leur point d’intersection. P ∈ IJK .
Les droites (PK) et (EH) sont coplanaires sécantes (incluses
( )
M
K N dans (EHD)). Notons Q leur point d’intersection. Q ∈ IJK .
A B La section du cube par le plan (IJK) est le pentagone IJNKQ.

B Repérage
1. Vecteurs coplanaires
a Définition
Soient u , v et w trois vecteurs et A un point de l’es-
B
u pace.
A C Soient B, C et D les points tels que AB = u , AC = v et
w v AD = w .
D
On dit que les vecteurs u , v et w sont coplanaires
lorsque les points A, B, C et D sont coplanaires c’est-
à-dire qu’ils appartiennent à un même plan.

Remarques

̈ Les opérations sur les vecteurs du plan s’étendent à
l’espace (addition, relation de Chasles, multiplication
d’un vecteur par un réel, vecteurs colinéaires).
̈ Lorsque u et v ne sont pas colinéaires, on a :
u, v et w sont coplanaires ⇔ il existe des réels a et
b tels que w = au + bv .

2. Repérage cartésien dans l’espace
̈ Une base de l’ensemble des vecteurs de l’espace est un triplet (i , j ,k )
de vecteurs non coplanaires de l’espace.

̈ Un ( )
repère de l’espace est un quadruplet O ; i , j ,k où O est un point,
( )
origine du repère, et i , j ,k une base.

114 Séquence 3


⎛ x⎞
̈ u a pour coordonnées ⎜y ⎟
⎜ ⎟
⎜z⎟
dans la base (i , j ,k ) signifie
u = xi + y j + zk . ⎝ ⎠

̈ ( )
M a pour coordonnées x ; y ; z dans le repère O ; i , j ,k ( ) signifie

OM = xi + y j + zk .
⎛ x⎞ ⎛ x '⎞ ⎛ x + x '⎞ ⎛ λx ⎞
̈ Si u ⎜ y ⎟ et v ⎜ y '⎟ alors u + v ⎜ y + y ' ⎟ et λu ⎜ λy ⎟ , λ étant un réel.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠ ⎜ z '⎟
⎝ ⎠ ⎜ z + z '⎟
⎝ ⎠ ⎜ λz ⎟
⎝ ⎠
⎛ xB − x A ⎞
⎜ ⎟
̈ Le vecteur AB a pour coordonnées ⎜ y − y ⎟ .
B A
⎜ ⎟
⎝ zB − z A ⎠
̈ Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées
⎛ x A + x B y A + y B z A + zB ⎞
⎜ ; ; ⎟
⎝ 2 2 2 ⎠
̈ Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées sont
égales.

3. Distance entre deux points en repère ortho-
normal
Dans un repère orthonormé,

AB = AB = ( xB − x A )2 + (yB − y A )2 + (zB − z A )2
⎛ x⎞
et si u ⎜ y ⎟ , u = x 2 + y 2 + z 2 .
⎜ ⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠

4. Équations de quelques objets de l’espace
̈ Équations des plans parallèles aux plans de coordonnées ( λ ∈» )

Plan (O ; i , j ) (O ; i ,k ) (O ; j ,k )
Équation z =0 y =0 x =0

Équation d’un plan parallèle z=λ y =λ x =λ

̈ Équation d’une sphère centrée à l’origine.

Dans un repère orthonormé (O ; i , j ,k ), la sphère ᏿ de cen-

Séquence 3 115


tre O et de rayon r a pour équation x 2 + y 2 + z 2 = r 2 car
( )
M x ; y ; z ∈᏿ ⇔ OM = r ⇔ OM2 = r 2 .
̈ Équation d’un cône de sommet l’origine et ayant pour axe un axe du
repère.

( )
Dans un repère orthonormé O ; i , j ,k , le cône C de sommet O,

P
k α
M ( ) ⎤ π⎡
d’axe O ; k et de demi-angle au sommet α, α ∈ ⎥0 ; ⎢ , a pour
⎦ 2⎣
2 2 2 2
équation x + y = az où a = tan α car P étant le projeté
i O j
( )
orthogonal de M ≠ O sur O ; k on a :

( )
M x ; y ; z ∈C ⇔ POM = α ⇔ tanPOM = tanα
Remarque
PM
⇔ = tanα ⇔ PM2 = PO2 × tan2 α.
Pour un cône d’axe PO
( )
O;i , y 2 + z 2 = ax 2 et Les coordonnées du point O vérifient aussi l’équation
pour un cône d’axe obtenue.
( )
O; j , x 2 + z 2 = ay 2 .

̈ Équation d’un cylindre ayant pour axe un axe du repère.

( )
z
Dans un repère orthonormé O ; i , j ,k , le cylindre Γ d’axe Oz et ( )
de rayon r a pour équation x 2 + y 2 = r 2 car H étant le projeté ortho-
( )
r
H M gonal de M sur Oz , M( x ; y ; z ) ∈Γ ⇔ MH = r ⇔ MH2 = r 2 .
O y

x
Remarque

2 2
( )
Pour un cylindre d’axe Ox y + z = r et
2

2 2
( )
pour un cône d’axe Oy , x + z = r .2

Exemple 12 On considère un cube ABCDEFGH. Les vecteurs AB , BD et EG sont-ils
coplanaires ?
E
H On conserve le vecteur AB.

F G On a BD = AC' , C' étant le symétrique de C par rapport
C’
à D.
On a EG = AC car ACGE est un rectangle.
A
D Les points A, B, C et C' appartiennent au même plan
(ABC).
Donc les vecteurs AB, BD et EG sont coplanaires.
B C

116 Séquence 3


Exemple 13 Dans un repère de l’espace, on considère les points A −2 ; 3 ; 1 , ( )
( )
B(0 ; –3 ; 5) et C −5 ; 12 ; −5 .Montrer que A, B et C sont alignés.
Déterminons les coordonnées des vecteurs AB et AC (par exemple) :
⎛ xB − x A ⎞ ⎛ 0 − ( −2)⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ −3 − 3 ⎟ , AB ⎜ −6⎟ ;
AB ⎜ y B − y A ⎟ c’est-à-dire AB ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ 5−1 ⎟
⎝ ⎠ ⎜ 4⎟
⎝ ⎠
⎝ zB − z A ⎠ ⎛ −3⎞
de même : AC ⎜ 9 ⎟ .
⎜ ⎟
⎜ −6⎟
⎝ ⎠
Les coordonnées des vecteurs AB et AC sont proportionnelles. On a :
3
AC = − AB donc les vecteurs AB et AC sont colinéaires, et par consé-
2
quent, les points A, B et C sont alignés.

Exemple 14 ( )
L’espace est rapporté à un repère orthonormal O ; i , j ,k . On considère
la sphère ᏿ de centre O et de rayon 4, et le plan ᏼ d’équation z = 3.
Déterminer l’intersection de ᏼ avec ᏿.

Une équation de la sphère ᏿ est x 2 + y 2 + z 2 = 42 = 16.

( )
M x ; y ; z appartient à l’intersection de ᏼ avec ᏿
⎧z = 3
⎪ ⎧z = 3
⎪ ⎧
⎪z = 3
⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ .
2 2 2 2 2 2 2
⎩ x + y + z = 16 ⎩ x + y + 9 = 16 ⎩ x + y = 7
⎪ ⎪ ⎪

L’intersection de ᏼ avec ᏿ est donc le cercle de centre Ω 0 ; 0 ; 3 et ( )
de rayon 7 , tracé dans le plan ᏼ.

Exemple 15 ( )
L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; i , j ,k . Déterminer une
équation du cône (C) de révolution de sommet O, engendré par la rota-
( ) (
tion de la droite (OA) autour de l’axe O ; k , avec A 1 ; 2 ; 4 . )
Une équation de (C) est de la forme x 2 + y 2 = az 2 . La droite (OA) étant
( )
une génératrice du cône (C), A 1 ; 2 ; 4 est un point du cône donc on a :
5
x A2 + y A2 = az A2 c’est-à-dire 1 + 4 = a × 16 d’où a = . Une équation
16
5
du cône (C) est donc x 2 + y 2 = z 2 .
16

V Voir exercices 7 à 13.

Séquence 3 117


3 Barycentres
Sauf mention contraire, les résultats de ce chapitre sont valables dans le
plan et dans l’espace.

A Définitions
1. Barycentre de deux points pondérés
Soient A et B deux points. Soient α et β deux réels tels que α + β ≠ 0.
Il existe un unique point G tel que αGA + βGB = 0.
( ) (
Ce point G est appelé barycentre des points pondérés A ; α et B ; β . )
7
Exemple 16 A, B et C sont trois points du plan tels que AC =
AB .
4
Montrer que le point B est le barycentre des points A et C affectés de
coefficients que l’on déterminera.

On a : AC =
7
4
( )
AB donc 4 AC = 7AB d’où 4 AB + BC − 7AB = 0 d’après la

relation de Chasles.
On a donc : −3AB + 4BC = 0 c’est-à-dire 3BA + 4BC = 0. Par conséquent, B
( ) (
est le barycentre des points pondérés A ; 3 et C ; 4 . )

2. Barycentre de trois points pondérés

Soient A, B et C trois points. Soient α, β et γ trois réels tels que
α + β + γ ≠ 0.
Remarque Il existe un unique point G tel que
αGA + βGB + γ GC = 0.
La définition s’étend
au barycentre de n Ce point G est appelé barycentre des points pondérés
points pondérés où ( ) ( ) (
A ; α , B ; β et C ; γ . )
n ≥ 3.
On dit aussi que G est le barycentre du système pon-
{( ) ( ) ( )}
déré A ; α ; B ; β ; C ; γ .

118 Séquence 3


3. Isobarycentre
(
Le barycentre des n points pondérés A1 ; α , A2 ; α , …, An ; α , ) ( ) ( )
avec α réel non nul, est appelé isobarycentre des points A1, A2 , …,
An .

a Cas particuliers

̈ L’isobarycentre de deux points A et B distincts est le milieu du segment

⎡ AB ⎤ .
⎣ ⎦
̈ L’isobarycentre de trois points A, B et C distincts et non alignés est le
centre de gravité du triangle ABC.

B Propriétés
1. Homogénéité du barycentre

Soient α1, α2 , …, αn n réels tels que α1 + α2 + ... + αn ≠ 0.

Pour tout réel k non nul, le barycentre des n points pondérés A1; k α1 , ( )
( ) ( )
A2 ; k α2 , …, An ; k αn est le barycentre des n points pondérés
( ) ( ) (
A1 ; α1 , A2 ; α2 , …, An ; αn . )
2. Relation fondamentale
(
Soit G le barycentre des points pondérés A ; α et B ; β , α et β étant) ( )
deux réels tels que α + β ≠ 0.

(
Pour tout point M, on a : αMA + βMB = α + β MG et donc )
MG =
1
α +β
(
αMA + βMB . )
a Conséquences
̈ Le ( )
barycentre des points pondérés A ; α et B ; β , avec A et B dis- ( )
tincts, est sur la droite (AB).
̈ Coordonnées d’un barycentre :
( )
• Dans le plan muni d’un repère O ; i , j , les coordonnées du barycen-
αx + βxB
( ) (
tre G des points pondérés A ; α et B ; β sont : x G = A )
α +β
et
αy A + βy B
yG = (moyennes pondérées des coordonnées de A et B).
α +β
• Dans l’espace, la 3e coordonnée se calcule de la même façon.

Séquence 3 119


Remarque

Ces résultats s’étendent à n points pondérés, n étant un
entier naturel supérieur à 2.

Pour n = 3, on a MG =
1
α+β+γ
(
αMA + βMB + γ MC donc )
en particulier AG =
1
α+β+γ
(
β AB + γ AC . )
Le barycentre des points pondérés A ; α , B ; β et ( ) ( )
( )
C ; γ , avec A, B et C distincts et non alignés, appartient
au plan (ABC).

Exemple 17 Construction d’un barycentre
A, B et C étant trois points non alignés du plan, construire le barycentre
G du système {( A ; −2 ) ; (B ; 1) ; (C ; 4 )}.
Remarque
Pour tout point M, d’après la relation fondamentale,
( )
on a : −2MA + MB + 4MC = −2 + 1 + 4 MG = 3MG d’où
Si α1, α 2 , …, α n 2 1 4
MG = − MA + MB + MC.
sont n réels tels que 3 3 3
α1 + α 2 + ... + α n = 0, 1 4
En particulier pour M = A, on a : AG = AB + AC.
alors le vecteur 3 3
A
α1MA 1+ α 2 MA 2 +... + α n MA n
est un vecteur constant.

C
B

G

3. Associativité du barycentre ou théorème du
barycentre partiel
Remarque
Soient α, β et γ trois réels tels que α + β + γ ≠ 0.
Cette propriété s’étend Soit G le barycentre des points pondérés A ; α , ( )
à n points pondérés, n ( ) ( )
B ; β et C ; γ .
étant un entier naturel
Si α + β ≠ 0, alors G est le barycentre des points pon-
supérieur à 3.
( ) ( )
dérés H ; α + β et C ; γ , où H est le barycentre de
( ) (
A ; α et B ; β .)

120 Séquence 3


C Trois utilisations des barycentres
1. Montrer l’alignement de points
Pour montrer que trois points sont alignés, on peut interpréter un des
points comme barycentre des deux autres points affectés de coeffi-
cients.

Exemple 18 On considère un triangle ABC ; I est le milieu du segment ⎡BC ⎤ , J est le
⎣ ⎦
1
milieu du segment ⎡ AI ⎤ et K est le point défini par AK = AC . Montrer
⎣ ⎦ 3
que les points B, J et K sont alignés.

I est le milieu de ⎡BC ⎤ d’où I est l’iso-
⎣ ⎦
A
barycentre de B et C donc le barycentre
( ) (
des points pondérés B ; 1 et C ; 1 . )
K J est le milieu de ⎡ AI⎤ d’où J est l’iso-
⎣ ⎦
barycentre de A et I donc le barycentre
J ( ) ( )
des points pondérés A ; 2 et I ; 2 .
D’après l’associativité du barycentre, J
est alors le barycentre des points pon-
( ) ( ) (
dérés A ; 2 , B ; 1 et C ; 1 . )
C
1
B I De plus, on a:AK = AC donc
3
3AK = AC d’où 3AK = AK + KC d’après

la relation de Chasles et donc : 2KA + KC = 0. Par conséquent, K est le
( ) ( )
barycentre des points pondérés A ; 2 et C ; 1 .
( ) ( ) ( )
J barycentre des points pondérés A ; 2 , B ; 1 et C ; 1 . est alors le
( ) ( )
barycentre des points pondérés K ; 3 et B ; 1 d’après le théorème du
barycentre partiel.
Les points B, J et K sont donc alignés.

2. Montrer que des droites sont concourantes
On montre que toutes ces droites passent par le barycentre d’un même
système pondéré ; ce barycentre est alors le point de concours des droi-
tes considérées.

Exemple 19 ABCD est un tétraèdre. Les points I, J, K, L, M et N sont les milieux res-
pectifs des arêtes [AB], [AC], [AD], [BC], [BD] et [CD]. Les points A', B', C'
et D' sont les centres de gravité respectifs des triangles BCD, ACD, ABD
et ABC.
Montrer que les droites (IN), (JM), (KL), (AA'), (BB'), (CC') et (DD') sont
concourantes.

Séquence 3 121


A
I est le milieu de ⎡ AB ⎤ donc I est le
⎣ ⎦
K barycentre des points pondérés
( )
A ; 1 et B ; 1 ( ) .
D De même, J est le barycentre de
C’
I
B’
( ) ( )
A ; 1 et C ; 1 ; K est celui de
J
M ( ) ( )
A ; 1 et D ; 1 ; L est celui de

D’
A’
N ( ) ( )
B ; 1 et C ; 1 ; M est celui de
( ) ( )
B ; 1 et D ; 1 et N est le bary-

B (
centre de C ; 1 et D ; 1 . ) ( )
L Notons G le barycentre des points
C
( )(
pondérés A ; 1 , B ; 1 , C ; 1 et )( )
( )
D ; 1 .
D’après le théorème du barycentre partiel, G est aussi le barycentre de
( ) ( ) ( ) ( )
I ; 2 et N ; 2 mais aussi celui de J ; 2 et M ; 2 ainsi que celui de
( ) ( )
K ; 2 et L ; 2 . Le point G appartient donc aux droites (IN), (JM) et (KL).
A' est le centre de gravité du triangle BCD d’où A' est l’isobarycentre des points
( )( ) ( )
B, C et D donc le barycentre des points pondérés B ; 1 , C ; 1 et D ; 1 .
De même, B’ est le barycentre de ( A ; 1),(C ; 1) et (D ; 1) C'est celui de
( A ; 1), (B ; 1) et (D ; 1) et D' est le barycentre de ( A ; 1), (B ; 1) et (C ; 1).
D’après le théorème du barycentre partiel, G barycentre de ( A ; 1), (B ; 1),
(C ; 1) et (D ; 1) est aussi le barycentre de ( A ; 1) et ( A' ; 3), mais aussi celui
de (B ; 1) et (B' ; 3), celui de (C ; 1) et (C' ; 3), ainsi que celui de (D ; 1) et
(D' ; 3). Le point G appartient donc aux droites (AA'), (BB'), (CC') et (DD'). Les
droites (IN), (JM), (KL), (AA'), (BB'), (CC') et (DD') sont donc concourantes en G.

3. Déterminer un lieu géométrique
On introduit un barycentre, en vérifiant bien son existence, pour réduire
une somme de vecteurs à l’aide de la relation fondamentale.
Exemple 20 A, B, et C sont trois points distincts de l’espace. Déterminer l’ensemble Ᏹ
des points M de l’espace tels que 2MA − 3MB + 5MC = 3AB .
(
Soit G le barycentre des points pondérés A ; 2 , B ; −3 et C ; 5 . ) ( ) ( )
Le point G existe car 2 − 3 + 5 = 4 ≠ 0.

On a : 2MA − 3MB + 5MC = 3AB ⇔ 4MG = 3AB
3
⇔ 4MG = 3AB ⇔ GM =AB
4
donc 2MA − 3MB + 5MC = 3AB ⇔ M est sur la sphère de centre G et de
3
rayon AB.
4 3
L’ensemble Ᏹ est donc la sphère de centre G et de rayon AB.
4
V
Voir exercices 14 à 19.

122 Séquence 3


Produit scalaire dans
4 le plan
A Définition
Le produit scalaire des vecteurs u et v est le nombre réel noté u ⋅v que
l’on peut définir des façons suivantes.

1. Avec une projection orthogonale
B
u ⋅v = OA ⋅ OB = OA ⋅ OH où OA = u , OB = v et H est le
projeté orthogonal de B sur la droite (OA).

O H A
2. Avec le cosinus
B Si u et v sont deux vecteurs non nuls, alors
u ⋅v = OA × OB × cos AOB = u × v × cosθ où θ est une
θ mesure de l’angle géométrique associé aux vecteurs
O
A u et v et OA = u , OB = v .

3. Avec la norme uniquement
1⎛ 2 2 2⎞
u ⋅v = ⎜ u + v − u − v ⎟
2⎝ ⎠

4. Expression analytique dans une base ortho-
normée i , j ( )
Dans une base orthonormée
u ⋅v = xx '+ yy '.
(i , j ), ⎛ x⎞
si u ⎜ ⎟
⎝y ⎠
⎛ x '⎞
et v ⎜ ⎟ ,
⎝ y '⎠
alors

5. Cas particuliers
̈ Si u et v sont colinéaires de même sens alors u ⋅v = u × v .
̈ Si u et v sont colinéaires de sens contraires, alors u ⋅v = − u × v .
̈ Si u = 0 ou v = 0, alors u ⋅v = 0.
2 2 2
̈ u ⋅u = u = carré scalaire de u = u ; AB ⋅ AB = AB = AB2 .

Séquence 3 123


B Propriétés
1. Norme d’un vecteur, distance entre deux points
dans un repère orthonormé

⎛ x⎞
Dans un repère orthonormé, u ⎜ ⎟ a pour norme u = x 2 + y 2 et
⎝y ⎠

AB = AB = ( xB − x A )2 + (yB − y A )2 .

2. Produit scalaire et orthogonalité

Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v = 0.

3. Propriétés opératoires
Soient u , v et w trois vecteurs et k un réel.

̈ Propriété de symétrie : u ⋅v = v ⋅u .

̈ Propriété de linéarité : u ⋅ (v + w ) = u ⋅v + u ⋅w ( ) ( )
; u ⋅ kv = k × u ⋅v

2 2 2
̈ Egalités remarquables : u +v = u + 2u ⋅v + v

2 2 2
u −v = u − 2u ⋅v + v

(u + v ) ⋅(u − v ) = u
2 2
−v

C Applications du produit scalaire
1. Projeté orthogonal d’un vecteur sur un axe
v
La projection orthogonale d’un vec-
( )
teur v sur un axe Δ muni d’un vec-
teur unitaire u est le vecteur v ' défini

u v’
(Δ) ( )
par v ' = u ⋅v u .

124 Séquence 3


2. Équation d’une droite à l’aide d’un vecteur
normal dans un repère orthonormé
La droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0 a pour vecteur directeur
⎛ −b ⎞ ⎛a⎞
u ⎜ ⎟ et pour vecteur normal n⎜ ⎟ .
⎝ a⎠ ⎝ b⎠

a Méthode
Comment obtenir, dans un repère orthonormé, une équation de la droite
( )
(d ) passant par A x A ; y A et de vecteur normal n a ; b ( )
On utilise le résultat suivant :
( ) ()
M x ; y ∈ d ⇔ AM et n sont orthogonaux ⇔ AM ⋅ n = 0
(puis calcul à l’aide des coordonnées).

Exemple 21 (
Dans un repère orthonormé, on considère les points A −1 ; 5 B −2 ; 1 ) ( )
(
et C 4 ; 3 )
Déterminer une équation cartésienne de la perpendiculaire (d) à (BC)
passant par A.

⎛x −x ⎞ ⎛ 6⎞
BC ⎜ C B ⎟ c’est-à-dire BC ⎜ ⎟ est un vecteur normal à (d ). De plus,
⎝ y C − yB ⎠ ⎝ 2⎠

⎛ x − xA ⎞ ⎛ x + 1⎞
AM ⎜ ⎟ c’est-à-dire AM ⎜ .
⎝y −yA ⎠ ⎝ y − 5⎟
⎠

On a : ( ) ()
M x ; y ∈ d ⇔ AM et BC sont orthogonaux

( ) ( )
⇔ AM ⋅ BC = 0 ⇔ x + 1 × 6 + y − 5 × 2 = 0

( ) ()
M x ; y ∈ d ⇔ 6x + 6 + 2y − 10 = 0 ⇔ 6x + 2y − 4 = 0 ⇔ 3x + y − 2 = 0.

Une équation cartésienne de la droite (d ) est donc 3x + y − 2 = 0.

Remarque

⎛ 6⎞
On peut aussi dire que BC ⎜ ⎟ étant normal à (d ), une
⎝ 2⎠
équation de (d ) est de la forme 6x + 2y + c = 0 ; on déter-
mine ensuite c en utilisant le fait que A appartienne à (d )
et donc que 6x A + 2y A + c = 0.

Séquence 3 125


3. Équation d’un cercle Ꮿ …
a … défini par son centre Ω ( x Ω ; y Ω et de rayon r, dans
un repère orthonormé

( )
On utilise le résultat suivant : M x ; y ∈ Ꮿ ⇔ ΩM = r ⇔ ΩM2 = r 2 .

Exemple 22 Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Déterminer une équation du cercle Ꮿ de centre Ω 4 ; −2 et de rayon ( )
r = 3.
⎛ x − xΩ ⎞
( )
On a : M x ; y ∈ Ꮿ ⇔ ΩM2 = r 2 et comme ΩM ⎜ ⎟ c’est-à-dire
⎝ y − yΩ ⎠
⎛ x − 4⎞
ΩM ⎜
⎝y +2⎠
( )
) ( )
2
(
2
⎟ , on a : M x ; y ∈ Ꮿ ⇔ x − 4 + y + 2 = 9.
Une équation du cercle Ꮿ est donc ( x − 4 ) + (y + 2) = 9 soit, en déve-
2 2

loppant, x 2 + y 2 − 8x + 4y + 11 = 0.

Résultat général : dans un repère orthonormé, une équation du cercle Ꮿ

( )
de centre Ω x Ω ; y Ω et de rayon r est x − x Ω ( )2 + (y − y Ω )2 = r 2 .
a … défini par son diamètre ⎡ AB ⎤ , dans un repère ortho-
⎣ ⎦
normé
M On utilise le résultat suivant :
A M( x ; y ) ∈ Ꮿ ⇔ MA et MB sont orthogonaux
⇔ MA.MB = 0

B

Exemple 23 Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Déterminer une équation du cercle Ꮿ de diamètre ⎡ AB ⎤ avec A −3 ; 1
⎣ ⎦ ( )
(
et B 2 ; 5 )
( ) ( )( ) (
Ona : M x ; y ∈ Ꮿ ⇔ MA ⋅ MB = 0 ⇔ x A − x xB − x + y A − y y B − y = 0 )( )
( )
M x ; y ∈ Ꮿ ⇔ ( −3 − x )(2 − x ) + (1 − y )(5 − y ) = 0

⇔ x 2 + x − 6 + y 2 − 6y + 5 = 0 ⇔ x 2 + y 2 + x − 6y − 1 = 0

Une équation du cercle Ꮿ est donc x 2 + y 2 + x − 6y − 1 = 0.

126 Séquence 3


A
4. Formule d’Al Kashi
c b Soit ABC un triangle avec a = BC, b = AC et c = AB.

On a alors : a2 = b2 + c 2 − 2bc cos A.
C
a
B De même, on a : b2 = a2 + c 2 − 2ac cosB et c 2 = a2 + b2 − 2ab cos C.

Exemple 24 ABC est un triangle tel que AB = 5, AC = 7 et BAC = 50°. Calculer BC.
D’après la formule d’Al Kashi :

BC2 = AC2 + AB2 − 2AC × ABcos A = 49 + 25 − 70 × cos50° = 74 − 70cos50°

d’où BC = 74 − 70cos50° (BC 5, 39 ).

5. Théorème de la médiane
Soient ABC un triangle et I le milieu de ⎡BC ⎤ . On a alors :
⎣ ⎦
BC2
AB2 + AC2 = 2AI2 + .
2

Exemple 25 ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 8 et BC = 11.
I étant le milieu de ⎡BC ⎤ , calculer AI.
⎣ ⎦
BC2
D’après le théorème de la médiane, on a : AB2 + AC2 = 2AI2 + donc
2
1 ⎛ BC2⎞
1⎛ 121⎞ 121 79
AI2 = ⎜ AB2 + AC2 − ⎟ = ⎜ 36 + 64 − ⎟ = 50 − 4 = 4 .
2⎜⎝ 2 ⎟ 2⎝
⎠ 2 ⎠

79 79
Par conséquent, on a : AI = = ( AI 4, 44 ).
4 2

6. Triangle : sinus des angles, côtés et aire

Pour tout triangle ABC, en posant a = BC, b = AC et c = AB, en notant S
son aire, on a :
a b c 1 1 1
= = et S = bc sin A = ac sinB = ab sinC.
sin A sinB sinC 2 2 2

Exemple 26 ABC est un triangle tel que AB = 8, ABC = 30° et ACB = 45°. Calculer AC
et BC.
On a : BAC = 180° − ( 30° + 45° ) = 105°.
BC AC AB
= = donc
sinBAC sin ABC sin ACB

Séquence 3 127


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