Chapitre :

Fonctions plusieurs variables - Caclul
différentiel et dérivées partielles.
Leçon 3

2.

Différentielle

Défin...
Exercice : Soit la fonction

Montrer que

est différentiable.

Lien entre différentielle et dérivées partielles.
On défini...
Preuve du théorème.

Exemple
=
admet des dérivées partielles en

l
Alors

l

n’est pas différentiable.

40
http://tawfik-m...
Généralisation :
Définition
Soit

un ouvert.

Et
On dit que

est différentielle au point a. s’il existe

Une application l...
2.

..........
..........
3.

si est differentiable en un point a.

..........
..........
4.

;

..........
5.

.............
Théorème
.
1.

Si

est différentiable en un point

2.

Si f est

alors

alors

admet des dérivées partielles. Et on a

est...
..........
Preuve du Théorème

..........

..........

..........
Corollaire
Sous les mêmes hypothèses que le théorème que...
2.

Cordonnées polaires dans

..........

..........
..........
3.

Coordonnées cylindriques

4.

Coordonnées sphériques

...
Formules de Taylor à l’ordre
On ne considère que les fonctions numériques :

.

Généralisation du TAF
Soit
Soit
Théorème d...
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Cours d'analyse fonctions plusieurs variables - leçon 3 - t.masrour

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Cours d'analyse fonctions plusieurs variables - leçon 3 - t.masrour

  1. 1. Chapitre : Fonctions plusieurs variables - Caclul différentiel et dérivées partielles. Leçon 3 2. Différentielle Définition de la Différentiabilité. Définition 6 ( Différentiabilité ). On dit que tq pour est différentiable en un point assez petit en une certaine norme et L’ lc ’l on ait : lc l quand appelée la différentielle de en a on la note où Remarques 38 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  2. 2. Exercice : Soit la fonction Montrer que est différentiable. Lien entre différentielle et dérivées partielles. On définit les projections : Chacune de ces projections est linéaire , et est donc différentiable. Notation , On a ainsi une base canonique pour les différentielles. Si Théorème Soit et . 1. Si est différentiable an et on a : 2. Si est sur alors , 39 http://tawfik-masrour.blogpost.com alort est définie en alors : admet des dérivées partielles du 1er ordre au point est différentiable sur et on a alors T. Masrour - Analyse 2
  3. 3. Preuve du théorème. Exemple = admet des dérivées partielles en l Alors l n’est pas différentiable. 40 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  4. 4. Généralisation : Définition Soit un ouvert. Et On dit que est différentielle au point a. s’il existe Une application linéaire Avec On dit que , est : (une matrice quand sur . si chaque est L’application est la différentielle de Jacobienne de en . ) sur . au point , on la note = matrice associé à = Matrice Et Exemples : 1. .......... 41 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  5. 5. 2. .......... .......... 3. si est differentiable en un point a. .......... .......... 4. ; .......... 5. .......... 42 http://tawfik-masrour.blogpost.com .......... T. Masrour - Analyse 2
  6. 6. Théorème . 1. Si est différentiable en un point 2. Si f est alors alors admet des dérivées partielles. Et on a est différentiable et on a (*) Fonctions composées Soit et , ; ; ; . Théorème Si est différentiable en un point différentiable en et ; différentiable en alors est Lemme Si est linéaire de Soit sa matrice canonique (qui lui est associée dans la base canonique). Soit : Alors Preuve 43 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  7. 7. .......... Preuve du Théorème .......... .......... .......... Corollaire Sous les mêmes hypothèses que le théorème que le théorème. ; . alors Exemple 1. 44 http://tawfik-masrour.blogpost.com et . T. Masrour - Analyse 2
  8. 8. 2. Cordonnées polaires dans .......... .......... .......... 3. Coordonnées cylindriques 4. Coordonnées sphériques 45 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2
  9. 9. Formules de Taylor à l’ordre On ne considère que les fonctions numériques : . Généralisation du TAF Soit Soit Théorème des Accroissements Finis est , Il existe tels que , telle que Preuve : 46 http://tawfik-masrour.blogpost.com T. Masrour - Analyse 2

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