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Notions de vibrations

Vibration : Un corps est dit en vibration lorsqu'il est animé
d'un mouvement oscillatoire autour d'une position de
référence.
Le nombre de cycles complets du mouvement dans une
période de temps d'une seconde est appelé fréquence et
est mesuré en hertz (Hz).

T.MASROUR

Pag
Système masse ressort
- mise en équation-

Le système constitué d’une masse, d’un ressort et d’un amortisseur est le plus
simple des systèmes, pourtant il permet d’expliquer l’essentiel des
phénomènes qu’on a traité:
L’équilibre des forces :
M X’’ = F1 +
F2
+ Fe sin (w t)
(Inertie) (ressort) (amortisseur) (extérieure)

M
M
M

Position minimale
 Déplacement minimal

Position d’équilibre
T.MASROUR

Position maximale
 Déplacement maximal
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Système masse ressort
- mise en équation-

l’équilibre des forces intérieures et
extérieures :
M X’’

=

(force Inertie)

M X’’

F1

M

(ressort)

 L’équation qui décrit le
mouvement est:

x

M X’’ + K X = 0
Le but est de connaître la position x
de la masse M à chaque instant, si
on résout l’équation précédente on
trouve:

M

F1= - K X

X = a sin (2 π f t) = a sin (w t)
avec f = √( K/ M) fréquence propre
(en rad/s)
T.MASROUR

Pag
Reconstitution de la vibration
Le mouvement de la masse M autour de sa position d’équilibre, engendre avec le
temps une vibration qui est une fonction du temps
Amplitude

Signal vibratoire

M
M

M
M

M

M

M

M

M

Temps
T.MASROUR

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Notions de vibrations
- Grandeurs caractéristiques -

Cette fonction de temps ou signal vibratoire X = a sin (2 π f t) est
caractérisée par un ensemble de paramètres.

x
a : Amplitude
C'est la plus grande valeur
que la variable x(t) peut
prendre

t

T: période
T: période C'est
l'intervalle de temps au
bout duquel la variable
x(t) reprend la même
valeur dans la même
direction

w = 2 π f : appelée vitesse angulaire, ou
pulsation naturelle exprimée en
radian/seconde [rad/s]

f = 1/ T : C'est le nombre de périodes par unité de temps,
s’exprime en Hz ou cycle / seconde

T.MASROUR

Pag
Notions de vibrations
- Grandeurs caractéristiques -

x1, x2

Déphasage φ

a2

a1

wt

Si les amplitudes des deux vibrations x1 et x2 ne sont pas atteintes en même
temps, x2 est décalé par rapport à x1 de la grandeur ϕ qui représente le temps qui
s’écoule entre la vibration x1 et x2. Elle est exprimée en unités d'angle.
On écrit :

x1 = a1 sin (w t)
x2 = a2 sin (w t - φ)
T.MASROUR

Pag
Système masse ressort avec force d’excitation
- mise en équation-

Si on écrit l’équilibre des forces
intérieures et extérieures du système
masse M, ressort K on trouve
l’équation suivante:
M X’’ =

F1

+

Fe sin (w t)

(Inertie) (ressort)

M X’’

(extérieure)

 L’équation qui décrit le
mouvement est:

M
Fe sin wt

x

M X’’ + K X = Fe sin (w t)
Le but est de connaître la position x
de la masse M à chaque instant, si
on résout l’équation précédente on
trouve:

M

F1= - K X

X = a sin (w t + φ)
a =
(1

F
K
fe 2
−
(
) )
f0

T.MASROUR

Pag
Notion de résonance
F
K
a=
fe 2
(1 −
(
) )
f0

Si on excite la masse M avec une force dont la fréquence de répétition
est proche de la fréquence naturelle du système (masse ressort)
l’amplitude augmente  ce phénomène est appelé résonance.
Amplitude a

F0 = √(K/M)

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Fréquence
d’excitation fe

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Système masse ressort amorti

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Oscillation libre amortie : Mise en équation
 Soit l'oscillateur harmonique amorti par effet visqueux (proportionnel à la vitesse)
X

 L'équation de son mouvement est :

 En supposant une dépendance en temps de la forme ert, on peut
écrire l'équation caractéristique associée à cette équation du
mouvement :

X

M

k

c

 Les solutions de l'équation caractéristique sont :

T.MASROUR

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Oscillation libre amortie : Oscillateur sur amorti
En introduisant les
termes :

On peut alors réécrire l'équation du mouvement sous la forme :
La solution générale de cette équation différentielle linéaire est :
où A et B sont des constantes arbitraires déterminées d'après les conditions initiales.
3 cas sont observés suivant le signe de Δ = c²- 4km :
l'oscillateur est dit sur amorti.

 Si
Amplitude

t

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Oscillation libre amortie : Oscillateurs critique
et sous amorti
l'amortissement est critique.

 Si
Amplitude

t

l'oscillateur est dit sous amorti.

 Si

C'est le cas de la plupart des oscillateurs mécaniques courants.
Amplitude

t

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Oscillation libre amortie : Oscillateur sous amorti
Ce dernier résultat est celui d'un régime pseudo-p ériodique dont
on remarque que la pseudo pulsation ωp = ω0√(1 –ξ²) diffère de la
pulsation naturelle non amortie ω0 par le terme √(1 –ξ²) lui même
fonction de l'amortissement ξ; ωp << ω0

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Oscillation amortie avec excitation harmonique
L'équation du mouvement pour un oscillateur harmonique amorti soumis a une force
extérieure F(t) s'écrit :
Le cas le plus simple est celui d'une force harmonique,(par exemple F(t) = F cos(ωt + θ).
La solution générale de l'équation du mouvement est alors une combinaison linéaire de la
solution générale de l'équation sans second membre (régime des oscillations libres), et
d'une solution particulière de l'équation avec second membre. On peut re-écrire l’équation
comme :
et passer en notation complexe

soit en notation complexe

On considère une solution particulière sous la forme :

soit en notation complexe

L'équation du mouvement s‘écrit alors en notation complexe :
A partir de cette dernière notation, l'amplitude complexe X de la solution particulière s'obtient
facilement :
On peut exprimer le module et la phase
du déplacement x(t) comme :
On peut exprimer la fonction de transfert H(ω)

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Oscillation amortie avec excitation harmonique
Résonance

 L’amplitude X est maximum pour
Dans ce cas on a la résonance d’amplitude

Xr=

2ξ 1− ξ 2

tgφ =

 Et pour

ω=,
ω 1
0

X st

ω = 1− 2 2
ξ
ω0

où

F
X st =
k

1−2ξ2

ξ

=
tgφ ∞ φ π
= et
2
X =X st
2ξ

T.MASROUR

Pag
Théorème de superposition
Si x1(t) est solution de l’équation du mouvement et si x2(t) l'est également,
alors x(t) = x1(t) +x2(t) est aussi solution de cette équation.

Le théorème de superposition tient au fait que l‘équation différentielle de l'oscillateur
harmonique est linéaire.
Dans le cas d'une équation différentielle non linéaire, il ne s'applique plus.

T.MASROUR

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Oscillation amortie avec excitation périodique quelconque
Lorsque la force extérieure est quelconque mais périodique, de période T, elle peut s‘écrire
sous la forme d'une série de Fourier :

La solution à cette excitation est alors déterminée en faisant usage du théorème de superposition
et les résultats à une excitation harmonique (voir TD).

T.MASROUR

Pag
Oscillation amortie avec excitation quelconque
Avant de déterminer la réponse à une excitation quelconque, il faut déterminer la réponse à une impulsion :
h(t). L'excitation, infiniment brève communique au système une certaine quantité de mouvement initiale p0
sans que le système n'ait encore le temps de se déplacer. L'oscillateur continue sur un mouvement de
vibrations libres.
En prenant le cas d'un oscillateur sous amorti pour lequel :
les conditions initiales précédentes se traduisent comme :

La réponse impulsionnelle h(t) est donc

T.MASROUR

Pag
Oscillation amortie avec excitation quelconque
Nous pouvons maintenant déterminer la réponse q(t) à une excitation quelconque Q(t) causale Cette solution
s‘écrit sous la forme d'un produit de convolution2

En reportant l'expression de h(t), on aboutit à l'intégrale de Duhamel (décomposition de la force
en échelons élémentaires):

Pour un système très faiblement amorti,

Voir TD

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Plan de phase
Généralement, on représente un mouvement par la variation de l’un de ses paramètres en fonction du
temps. Pour certaines applications, il peut être intéressant de considérer la variation de la vitesse en
fonction de l’amplitude. On obtient alors le plan de phase (en ordonnées la vitesse et en abscisses
l’amplitude).

Système conservatif
Le mouvement d’un système mécanique en translation est représenté par
Si l’on pose,

on obtient

et

D’où, en intégrant :

C’est une intégrale première de l’équation du mouvement qui se représente par une ellipse
que l’on peut encore écrire sous la forme :
Avec X0 amplitude initiale, v=0 pour t=0. Cette relation est l’équation d’un cercle

T.MASROUR

Pag
Plan de phase
Système dissipatif
La relation s’écrit :
En faisant intervenir la vitesse, on a :

Le premier membre de cette équation représente la pente de la courbe donnant
v/ω 0 en fonction de x, en chaque point (x, v/ 0 ) de la courbe, il est possible de
ω
calculer le second membre, ce qui permet de tracer ainsi, en chaque point du plan de
phase, des tangentes aux courbes intégrales. Il est plus commode de considérer
Les isoclines ] sur lesquelles la tangente en chaque point de la courbe a pour
équation :
Si

l’isocline coïncide avec la tangente à la courbe au point

(x,v/ω0) ce qui correspond à l’équation :

T.MASROUR

Pag
Plan de phase
Équation du second degré en (v/ω0)/x dont les racines sont :
Posons
le système est pseudo-périodique, il n’y a pas d’isocline réelle ayant les mêmes
directions que les tangentes aux courbes du plan de phase
le système est apériodique et il existe deux isoclines coïncidant avec les courbes
qui leur sont tangentes
les deux isoclines précédentes sont confondues.

T.MASROUR

Pag
Intérêt de la méthode plan de phase
 Cette méthode permet, par une deuxième intégration, de
calculer la période d’un système conservatif linéaire.
puisque
Alors

 Son principal intérêt est qu’elle peut être étendue à des
systèmes conservatifs non linéaires.

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Plan de phase : Exemple

T.MASROUR

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T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre1-1ddl

  • 1. Notions de vibrations Vibration : Un corps est dit en vibration lorsqu'il est animé d'un mouvement oscillatoire autour d'une position de référence. Le nombre de cycles complets du mouvement dans une période de temps d'une seconde est appelé fréquence et est mesuré en hertz (Hz). T.MASROUR Pag
  • 2. Système masse ressort - mise en équation- Le système constitué d’une masse, d’un ressort et d’un amortisseur est le plus simple des systèmes, pourtant il permet d’expliquer l’essentiel des phénomènes qu’on a traité: L’équilibre des forces : M X’’ = F1 + F2 + Fe sin (w t) (Inertie) (ressort) (amortisseur) (extérieure) M M M Position minimale  Déplacement minimal Position d’équilibre T.MASROUR Position maximale  Déplacement maximal Pag
  • 3. Système masse ressort - mise en équation- l’équilibre des forces intérieures et extérieures : M X’’ = (force Inertie) M X’’ F1 M (ressort)  L’équation qui décrit le mouvement est: x M X’’ + K X = 0 Le but est de connaître la position x de la masse M à chaque instant, si on résout l’équation précédente on trouve: M F1= - K X X = a sin (2 π f t) = a sin (w t) avec f = √( K/ M) fréquence propre (en rad/s) T.MASROUR Pag
  • 4. Reconstitution de la vibration Le mouvement de la masse M autour de sa position d’équilibre, engendre avec le temps une vibration qui est une fonction du temps Amplitude Signal vibratoire M M M M M M M M M Temps T.MASROUR Pag
  • 5. Notions de vibrations - Grandeurs caractéristiques - Cette fonction de temps ou signal vibratoire X = a sin (2 π f t) est caractérisée par un ensemble de paramètres. x a : Amplitude C'est la plus grande valeur que la variable x(t) peut prendre t T: période T: période C'est l'intervalle de temps au bout duquel la variable x(t) reprend la même valeur dans la même direction w = 2 π f : appelée vitesse angulaire, ou pulsation naturelle exprimée en radian/seconde [rad/s] f = 1/ T : C'est le nombre de périodes par unité de temps, s’exprime en Hz ou cycle / seconde T.MASROUR Pag
  • 6. Notions de vibrations - Grandeurs caractéristiques - x1, x2 Déphasage φ a2 a1 wt Si les amplitudes des deux vibrations x1 et x2 ne sont pas atteintes en même temps, x2 est décalé par rapport à x1 de la grandeur ϕ qui représente le temps qui s’écoule entre la vibration x1 et x2. Elle est exprimée en unités d'angle. On écrit : x1 = a1 sin (w t) x2 = a2 sin (w t - φ) T.MASROUR Pag
  • 7. Système masse ressort avec force d’excitation - mise en équation- Si on écrit l’équilibre des forces intérieures et extérieures du système masse M, ressort K on trouve l’équation suivante: M X’’ = F1 + Fe sin (w t) (Inertie) (ressort) M X’’ (extérieure)  L’équation qui décrit le mouvement est: M Fe sin wt x M X’’ + K X = Fe sin (w t) Le but est de connaître la position x de la masse M à chaque instant, si on résout l’équation précédente on trouve: M F1= - K X X = a sin (w t + φ) a = (1 F K fe 2 − ( ) ) f0 T.MASROUR Pag
  • 8. Notion de résonance F K a= fe 2 (1 − ( ) ) f0 Si on excite la masse M avec une force dont la fréquence de répétition est proche de la fréquence naturelle du système (masse ressort) l’amplitude augmente  ce phénomène est appelé résonance. Amplitude a F0 = √(K/M) T.MASROUR Fréquence d’excitation fe Pag
  • 9. Système masse ressort amorti T.MASROUR Pag
  • 10. Oscillation libre amortie : Mise en équation  Soit l'oscillateur harmonique amorti par effet visqueux (proportionnel à la vitesse) X  L'équation de son mouvement est :  En supposant une dépendance en temps de la forme ert, on peut écrire l'équation caractéristique associée à cette équation du mouvement : X M k c  Les solutions de l'équation caractéristique sont : T.MASROUR Pag
  • 11. Oscillation libre amortie : Oscillateur sur amorti En introduisant les termes : On peut alors réécrire l'équation du mouvement sous la forme : La solution générale de cette équation différentielle linéaire est : où A et B sont des constantes arbitraires déterminées d'après les conditions initiales. 3 cas sont observés suivant le signe de Δ = c²- 4km : l'oscillateur est dit sur amorti.  Si Amplitude t T.MASROUR Pag
  • 12. Oscillation libre amortie : Oscillateurs critique et sous amorti l'amortissement est critique.  Si Amplitude t l'oscillateur est dit sous amorti.  Si C'est le cas de la plupart des oscillateurs mécaniques courants. Amplitude t T.MASROUR Pag
  • 13. Oscillation libre amortie : Oscillateur sous amorti Ce dernier résultat est celui d'un régime pseudo-p ériodique dont on remarque que la pseudo pulsation ωp = ω0√(1 –ξ²) diffère de la pulsation naturelle non amortie ω0 par le terme √(1 –ξ²) lui même fonction de l'amortissement ξ; ωp << ω0 T.MASROUR Pag
  • 14. Oscillation amortie avec excitation harmonique L'équation du mouvement pour un oscillateur harmonique amorti soumis a une force extérieure F(t) s'écrit : Le cas le plus simple est celui d'une force harmonique,(par exemple F(t) = F cos(ωt + θ). La solution générale de l'équation du mouvement est alors une combinaison linéaire de la solution générale de l'équation sans second membre (régime des oscillations libres), et d'une solution particulière de l'équation avec second membre. On peut re-écrire l’équation comme : et passer en notation complexe soit en notation complexe On considère une solution particulière sous la forme : soit en notation complexe L'équation du mouvement s‘écrit alors en notation complexe : A partir de cette dernière notation, l'amplitude complexe X de la solution particulière s'obtient facilement : On peut exprimer le module et la phase du déplacement x(t) comme : On peut exprimer la fonction de transfert H(ω) T.MASROUR Pag
  • 15. Oscillation amortie avec excitation harmonique Résonance  L’amplitude X est maximum pour Dans ce cas on a la résonance d’amplitude Xr= 2ξ 1− ξ 2 tgφ =  Et pour ω=, ω 1 0 X st ω = 1− 2 2 ξ ω0 où F X st = k 1−2ξ2 ξ = tgφ ∞ φ π = et 2 X =X st 2ξ T.MASROUR Pag
  • 16. Théorème de superposition Si x1(t) est solution de l’équation du mouvement et si x2(t) l'est également, alors x(t) = x1(t) +x2(t) est aussi solution de cette équation. Le théorème de superposition tient au fait que l‘équation différentielle de l'oscillateur harmonique est linéaire. Dans le cas d'une équation différentielle non linéaire, il ne s'applique plus. T.MASROUR Pag
  • 17. Oscillation amortie avec excitation périodique quelconque Lorsque la force extérieure est quelconque mais périodique, de période T, elle peut s‘écrire sous la forme d'une série de Fourier : La solution à cette excitation est alors déterminée en faisant usage du théorème de superposition et les résultats à une excitation harmonique (voir TD). T.MASROUR Pag
  • 18. Oscillation amortie avec excitation quelconque Avant de déterminer la réponse à une excitation quelconque, il faut déterminer la réponse à une impulsion : h(t). L'excitation, infiniment brève communique au système une certaine quantité de mouvement initiale p0 sans que le système n'ait encore le temps de se déplacer. L'oscillateur continue sur un mouvement de vibrations libres. En prenant le cas d'un oscillateur sous amorti pour lequel : les conditions initiales précédentes se traduisent comme : La réponse impulsionnelle h(t) est donc T.MASROUR Pag
  • 19. Oscillation amortie avec excitation quelconque Nous pouvons maintenant déterminer la réponse q(t) à une excitation quelconque Q(t) causale Cette solution s‘écrit sous la forme d'un produit de convolution2 En reportant l'expression de h(t), on aboutit à l'intégrale de Duhamel (décomposition de la force en échelons élémentaires): Pour un système très faiblement amorti, Voir TD T.MASROUR Pag
  • 20. Plan de phase Généralement, on représente un mouvement par la variation de l’un de ses paramètres en fonction du temps. Pour certaines applications, il peut être intéressant de considérer la variation de la vitesse en fonction de l’amplitude. On obtient alors le plan de phase (en ordonnées la vitesse et en abscisses l’amplitude). Système conservatif Le mouvement d’un système mécanique en translation est représenté par Si l’on pose, on obtient et D’où, en intégrant : C’est une intégrale première de l’équation du mouvement qui se représente par une ellipse que l’on peut encore écrire sous la forme : Avec X0 amplitude initiale, v=0 pour t=0. Cette relation est l’équation d’un cercle T.MASROUR Pag
  • 21. Plan de phase Système dissipatif La relation s’écrit : En faisant intervenir la vitesse, on a : Le premier membre de cette équation représente la pente de la courbe donnant v/ω 0 en fonction de x, en chaque point (x, v/ 0 ) de la courbe, il est possible de ω calculer le second membre, ce qui permet de tracer ainsi, en chaque point du plan de phase, des tangentes aux courbes intégrales. Il est plus commode de considérer Les isoclines ] sur lesquelles la tangente en chaque point de la courbe a pour équation : Si l’isocline coïncide avec la tangente à la courbe au point (x,v/ω0) ce qui correspond à l’équation : T.MASROUR Pag
  • 22. Plan de phase Équation du second degré en (v/ω0)/x dont les racines sont : Posons le système est pseudo-périodique, il n’y a pas d’isocline réelle ayant les mêmes directions que les tangentes aux courbes du plan de phase le système est apériodique et il existe deux isoclines coïncidant avec les courbes qui leur sont tangentes les deux isoclines précédentes sont confondues. T.MASROUR Pag
  • 23. Intérêt de la méthode plan de phase  Cette méthode permet, par une deuxième intégration, de calculer la période d’un système conservatif linéaire. puisque Alors  Son principal intérêt est qu’elle peut être étendue à des systèmes conservatifs non linéaires. T.MASROUR Pag
  • 24. Plan de phase : Exemple T.MASROUR Pag
  • 25. Plan de phase : Exemple T.MASROUR Pag