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Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (1)

Équations de Lagrange
Si l’on choisit q i , i = 1,..., n
comme coordonnées généralisées, on peut définir pour un
système linéaire à n degrés de liberté : n
n
L’énergie potentielle :

L’énergie cinétique :
L’énergie de dissipation :

Ep =

1
2

Ec =

∑∑ k q q
ij i

où k ij = k ji

j

i =1 j=1
n n

1
2

 
où m
∑∑ m q q
1
 
E = ∑∑ c q q
2
ij i

j

i =1 j=1

n

ij

= m ji

n

d

ij i

j

où c ij = c ji

i =1 j=1

Les équations de Lagrange s’écrivent alors :

d  ∂E c

dt  ∂q i
 

 ∂E c ∂E d ∂E p
−
 ∂q + ∂q + ∂q = f i
i
i
i


Les seconds membres représentent les forces généralisées autres que celles dérivant du potentiel
n
n
Ep , et telles que le travail global des forces extérieures s’écrive :

dW =

∑
i =1

T.MASROUR

f i dq i soit

dW
=
dt


∑f q

i i

i =1

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Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (2)
Remarque : 1. Pour calculer les dérivées

les variables


q i et q i

sont supposées indépendantes entre elles et ne sont pas fonctions du temps

2. Quant au calcul des dérivées

les variables


q i et q i

∂E c ∂E c
et
i
∂q
∂q i

d  ∂E c

dt  ∂q i
 






doivent être considérées comme fonctions du temps

Applications. En appliquant les équations de Lagrange, on obtient n équations linéaires caractérisant
l’état vibratoire du système :
n

∑ m q

ij j


+m ijq j + k ijq j = f i

( i = 1;....; n )

j=1

T.MASROUR

Pag
Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (3)
Dans le cas d’un système en vibrations libres et dissipatif, on obtient
n

∑ m q

ij j


+m ijq j + k ijq j = 0

( i = 1;....; n )

j=1

On cherche un vecteur solutions sous la
forme :

q i = a i e jω t

( i = 1;....; n )

Obtenant ainsi un système de n équations algébriques
linéaires et homogènes par rapport aux coeff ai

∑ (k
n

j=1

ij

)

− m ijω2 a j = 0

( i = 1;....; n )

Système qui n’admet de solution non triviale que si le déterminant
est non nul çad :

K − Mω 2 = 0

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Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (4)
L’équation d’annulation du déterminant est une équation de degré n en le carré de la fréquence (appelée
équation caractéristique du système.
Sa résolution donne les pulsations propres en nombre au plus égal à n !!!!
Les oscillations correspondant à ces différentes pulsations sont appelées les modes propres ou
fondamentaux du système.

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Exemple triple pendule.

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Exemple triple pendule (2)

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Système à 2 (n) degrés de liberté
- Méthode de la base modale Une des méthodes élégantes de résolution d'un système a n degrés de
liberté est la méthode de la base modale qui consiste a ramener le
problème de n ddl couplés, a un ensemble de systèmes a 1 ddl découplés
–
–

en normalisant l'équation du mouvement par rapport a la masse.
en réalisent une transformation de coordonnées pour se placer dans la base modale
ou les équations du mouvement sont découples.

Soit le système à n degrés de liberté écrit sous sa forme matricielle
dont on veut déterminer la réponse libre pour les conditions
initiales :

La première étape consiste a normaliser la matrice masse. En utilisant le changement de
variable
et en multipliant le système d'équations du mouvement par

On remarque alors que :
Finalement, le système peut s‘écrire :
Les conditions initiales se réécrivent :

T.MASROUR

Pag
n degrés de liberté : « cadre générale »
Soit le système à n degrés de liberté. En générale
l’équation du mouvement s’écrit sous la forme
matricielle suivante:
1) Vibrations libre non amorties
1.1) Méthode générale

..
 

. 

 
 

 
 

[M ] +[C ] +[ K ]{q} ={F (t )}
q
q
 
 

[ M ] q  + [ K ]{ q} = { 0}
 
..

 

Découpler les équations par un changement de base.
M symétrique définie positive  M est inversible. Alors on peut écrire

[ M ] − 1[ K ]

.. 
 
−1
q  +[ M] [ K ]{q} = {0}
 
 

est en générale non symétrique  Recherche des valeurs propres et vecteurs propres

M est symétrique et définie positive  il existe une base de vecteurs propres φi
il existe aussi n valeurs propres >=0

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T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations - chapitre1-1ddl chapitre2-n ddl(2)

  • 1. Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (1) Équations de Lagrange Si l’on choisit q i , i = 1,..., n comme coordonnées généralisées, on peut définir pour un système linéaire à n degrés de liberté : n n L’énergie potentielle : L’énergie cinétique : L’énergie de dissipation : Ep = 1 2 Ec = ∑∑ k q q ij i où k ij = k ji j i =1 j=1 n n 1 2   où m ∑∑ m q q 1   E = ∑∑ c q q 2 ij i j i =1 j=1 n ij = m ji n d ij i j où c ij = c ji i =1 j=1 Les équations de Lagrange s’écrivent alors : d  ∂E c  dt  ∂q i    ∂E c ∂E d ∂E p −  ∂q + ∂q + ∂q = f i i i i  Les seconds membres représentent les forces généralisées autres que celles dérivant du potentiel n n Ep , et telles que le travail global des forces extérieures s’écrive : dW = ∑ i =1 T.MASROUR f i dq i soit dW = dt  ∑f q i i i =1 Pag
  • 2. Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (2) Remarque : 1. Pour calculer les dérivées les variables  q i et q i sont supposées indépendantes entre elles et ne sont pas fonctions du temps 2. Quant au calcul des dérivées les variables  q i et q i ∂E c ∂E c et i ∂q ∂q i d  ∂E c  dt  ∂q i       doivent être considérées comme fonctions du temps Applications. En appliquant les équations de Lagrange, on obtient n équations linéaires caractérisant l’état vibratoire du système : n ∑ m q ij j  +m ijq j + k ijq j = f i ( i = 1;....; n ) j=1 T.MASROUR Pag
  • 3. Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (3) Dans le cas d’un système en vibrations libres et dissipatif, on obtient n ∑ m q ij j  +m ijq j + k ijq j = 0 ( i = 1;....; n ) j=1 On cherche un vecteur solutions sous la forme : q i = a i e jω t ( i = 1;....; n ) Obtenant ainsi un système de n équations algébriques linéaires et homogènes par rapport aux coeff ai ∑ (k n j=1 ij ) − m ijω2 a j = 0 ( i = 1;....; n ) Système qui n’admet de solution non triviale que si le déterminant est non nul çad : K − Mω 2 = 0 T.MASROUR Pag
  • 4. Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (4) L’équation d’annulation du déterminant est une équation de degré n en le carré de la fréquence (appelée équation caractéristique du système. Sa résolution donne les pulsations propres en nombre au plus égal à n !!!! Les oscillations correspondant à ces différentes pulsations sont appelées les modes propres ou fondamentaux du système. T.MASROUR Pag
  • 6. Exemple triple pendule (2) T.MASROUR Pag
  • 7. Système à 2 (n) degrés de liberté - Méthode de la base modale Une des méthodes élégantes de résolution d'un système a n degrés de liberté est la méthode de la base modale qui consiste a ramener le problème de n ddl couplés, a un ensemble de systèmes a 1 ddl découplés – – en normalisant l'équation du mouvement par rapport a la masse. en réalisent une transformation de coordonnées pour se placer dans la base modale ou les équations du mouvement sont découples. Soit le système à n degrés de liberté écrit sous sa forme matricielle dont on veut déterminer la réponse libre pour les conditions initiales : La première étape consiste a normaliser la matrice masse. En utilisant le changement de variable et en multipliant le système d'équations du mouvement par On remarque alors que : Finalement, le système peut s‘écrire : Les conditions initiales se réécrivent : T.MASROUR Pag
  • 8. n degrés de liberté : « cadre générale » Soit le système à n degrés de liberté. En générale l’équation du mouvement s’écrit sous la forme matricielle suivante: 1) Vibrations libre non amorties 1.1) Méthode générale ..   .          [M ] +[C ] +[ K ]{q} ={F (t )} q q     [ M ] q  + [ K ]{ q} = { 0}   ..   Découpler les équations par un changement de base. M symétrique définie positive  M est inversible. Alors on peut écrire [ M ] − 1[ K ] ..    −1 q  +[ M] [ K ]{q} = {0}     est en générale non symétrique  Recherche des valeurs propres et vecteurs propres M est symétrique et définie positive  il existe une base de vecteurs propres φi il existe aussi n valeurs propres >=0 T.MASROUR Pag