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Vibrations dans les poutres.
Vibrations des poutres : Introduction
Introduction et hypothèses :
Les méthodes systèmatiques sont liées à la nature particulière des ensembles on en distingue 4 cas :
Les poutres : La matière est répartie le long d’une ligne moyenne
Les plaques : La matière est répartie le long d’une surface plane moyenne
Les coques : La matière est répartie le long d’une surface moyenne dans l’espace tridimensionnel.
Les corps à géométrie quelconque.

1. Hypothèses de la MMC pour les poutres :
Définition :
Une poutre est un solide t.q. 2 de ses dimensions sont petites devant une 3 ème, d’où la notion de
longueur, section droite et ligne moyenne autour de laquelle la matière est répartie.
La ligne moyenne est le lieu des centres de gravités des sections droites.

G
1

G
2
3. Contraintes et torseur des forces internes de liaison.


e2


e2

P
⊗

G


e1


e3

poutre
Section droite
G : centre de gravité de la section et P : un point courant de cette section.



GP = ye2 + ze3

Hyp : On a un état plan des contraintes et des forces de cohésion, on fait par exemples, le choix suivant

 
( e1 , e2 ) plan des forces


e3 : axe des moments.
2. Hypothèses de la MMC.
Hyp 1. : Petites vibrations autour de la position d’équilibre stable qui correspond à des petites
déformations dans le domaine élastique. Remarquons qu’on peut avoir de grands déplacements et petites
déformations, exples : déformations d’ailettes d turbines, éoliennes…

Hyp 2. : (Navier-Bernouilli)
Quand la poutre se déforme toute section droite reste droite (perpendiculaire) à la ligne moyenne et
inaltérée (aucune déformation ne s’effectue dans son plan : contour inchangée)

La section tourne en un seul bloc et se comporte comme un solide rigide.

G
1

G
2
3.1. Contraintes en un point.
Notons

σ

Le tenseur des contraintes :


σ11 ( P ) e1 : tenseur des contraintes normales


σ12 ( P ) e 2 : tenseur des contraintes tangentielles

σ12 ( P )

P

σ11 ( P )

G

Rq : Par hypothèses les contraintes tangentielles et normales ne dépendent que de la variable x.
3.2. Torseur des forces en un point.

T
Solide 2

Solide 1
P

M

G

N
Les actions du solide 2 sur le solide 1 sont

T=

∫∫

S


σ12 ds e 2

Où l’on noté :
Remarque :

N=

∫∫

S


σ11ds e1

N, T et M
M=

∫∫

S


GP ∧ τ ( P ) ds = −

∫∫

S


yσ11ds e3

τ ( P ) : Vecteur des contraintes en P suivant e1
M : ((moment causé par τ ( P ) ).e 3 ) porté par e 3
à cause de l’hypothèse des contraintes planes

 
( e1 , e2 ) plan des

forces


e3 : axe des moments.
4. Déplacements et vitesses des pts d’une même
section (Cinématique)
4.1. torseur des déplacements et torseur des vitesses (Exercice).
Ecrire le torseur des déplacements à partir des des déplacements

u ( x; t ) : déplacement longitudinal
v( x; t ) : déplacement transversal
4.2. Déformations : tenseur, torseur et loi de comportement (Exercice).

4.3. Etablissement des équations de la dynamique pour la poutre. (Exercice).
5. Equations aux dérivées partielles.
5.1. Equations.
Hypothèses : Il n y a que des forces réparties :


p( x , t ) suivant e 2
p( x , t )


e2

e1

 ∂N
∂ 2 u ( x, t )
Sur e1 :
= ρA
∂x
∂t 2

 ∂T
∂ 2 v( x , t )
Sur e 2 :
+ p ( x , t ) = ρA
∂x
∂t 2
- N( x )
 ∂M
∂ θ( x , t )
Sur e3 :
+ T = ρI
∂x
∂t 2

T+

- M( x )

*

2

N
∂u
=ε=
EA
∂x
T
GA '

M
∂θ
=χ=
EI
∂x
=γ=

∂v
−θ
∂x

G 0 ( x + dx )

G0 ( x)

*

- T( x )

6 équations

∂T
dx
∂x

dx

N+

M+

∂M
dx
∂x

∂N
dx
∂x
5.2. Vibrations libres longitudinales.
Hyp :

∂N
∂ 2 u ( x, t )
= ρA
∂x
∂t 2

p( x , t ) = 0

⇒

∂ 2u
∂t 2

−c

2

∂ 2u
∂x 2

N
∂u
∂N
∂ 2u
=
⇒
= EA 2
EA ∂x
∂x
∂x

et

= 0; où c =

E
vitesse de l' onde
ρ

!!!! Il faut 2 conditions initiales (t=0) et 2 conditions aux limites (généralement les extrémités)
Application :

N

N

l
Barre libre dont les extrémités sont soumises à des vibrations longitudinales.
 ∂u 
∂u
⇒
( t ) =  ∂u  ( t ) = 0 ∀t
N = 0 en x = 0 et en x =  ⇒ cond' n lim car N = EA



∂x
 ∂x x =0
 ∂x x =
La solution est alors donnée
par :

ou encore par u ( x, t ) =

u ( x, t ) =

∞

 kπ 
 kπc 
 kπc  
cos
x  A k cos
t  + B k sin 
t 


  
  
  
k =1

∑

∞

ω 
cos k x ( A k cos( ωk t ) + B k sin ( ωk t ) )
 c 
k =1

∑

si ωk =

kπ
c

5. Vibration longitudinale( traction-compression barres)

5.1. Solution théorique exacte.
Pendant la vibration longitudinale chaque élément de longueur dx de la barre (ou de la poutre) est
soumis alternativement à une traction et à une compression. Si la barre est suffisamment mince pour
qu’il soit possible de négliger les forces d’inertie transversales, les forces internes sont alors
essentiellement axiales. La loi de Hooke reliant la
contrainte

σ à la déformation ε peut s’écrire :

et la seconde loi de Newton relative à un élément de volume dV et de masse volumique ρ :

à partir de ces deux lois, on obtient la condition d’équilibre d’un élément de longueur dx compris entre deux
sections droites :
Et si la barre a une section constante :

Si, de plus, à une extrémité libre, on fixe une masse M la force d’inertie de M et la force élastique
s’équilibrent pour x=l ‘ (où l désigne la longueur de la barre)
Exemples de vibrations longitudinales.

Barre de section variable soumise à des vibrations longitudinales

Barre de section constante soumise à des vibrations longitudinales et ayant une masse M à son extrémité
libre
5.2. Vibrations libres transversales.
Hyp :

Poutre non chargée, cisaillement négligé et l’énergie cinétique de la rotation de la poutre
est faible devant celle de la translation

 ∂T
∂ 2 v( x , t )
Sur e 2 :
+ p ( x , t ) = ρA
∂x
∂t 2

p( x, t ) = 0 ⇒

 ∂M
∂ 2 θ( x , t )
Sur e3 :
+ T = ρI
∂x
∂t 2
Loi de comportement

or

∂2 θ
∂2
t

∂M
∂3v
T=−
= − EI 3
∂x
∂x

∂M
+T = 0
∂x

=0 ⇒

∂v
∂v
=γ=
−θ⇒
=θ
'
∂x
∂x
GA
T

∂T
∂ 2 v( x , t )
= ρA
∂x
∂t 2

M
∂θ
∂θ
∂2v
et
=χ=
⇒ M = EI
= EI 2
EI
∂x
∂x
∂x

en dérivant une fois il vient alors :

∂ 2 v( x , t )
∂t 2

EI ∂ 4 v( x , t )
+
=0
4
ρA ∂x
5.2. Vibrations libres transversales (2)
∂ 2 v( x , t )

On cherche des solutions à variables séparées de l’équation

v( x , t ) = φ( x ) q ( t )

où φ( x ) : forme propre de vibration

∂t 2

et q( t ) : une fonction du temps

φ( 4 )
ρA q ( 2 )
⇒
(x) = −
( t ) = α4 , ∀t, x
φ
EI q

⇒

Les solutions

:

d 4φ
dx 4

4

EI ∂ 4 v( x , t )
+
=0
ρA ∂x 4

= α φ et

d 2q
dt 2

+ α4

α = cste / x et t

EI
q=0
ρA

 2 EI

α
q( t ) = A cos
t − ϕ  et φ( x ) = Be sx avec s sol' n de l' éq caract :


ρA


B s 4 − α 4 e sx = 0 ⇒ s = ±α ou s = ±iα

(

)

⇒ φ( x ) = A1 sin ( αx ) + A 2 cos( αx ) + A 3sh ( αx ) + A 4 ch ( αx )
A et ϕ sont déterminés par les conditions initiales
A1 , A 2 , A 3 et A 4 sont déterminés par les conditions aux limites
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T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmc

  • 2. Vibrations des poutres : Introduction Introduction et hypothèses : Les méthodes systèmatiques sont liées à la nature particulière des ensembles on en distingue 4 cas : Les poutres : La matière est répartie le long d’une ligne moyenne Les plaques : La matière est répartie le long d’une surface plane moyenne Les coques : La matière est répartie le long d’une surface moyenne dans l’espace tridimensionnel. Les corps à géométrie quelconque. 1. Hypothèses de la MMC pour les poutres : Définition : Une poutre est un solide t.q. 2 de ses dimensions sont petites devant une 3 ème, d’où la notion de longueur, section droite et ligne moyenne autour de laquelle la matière est répartie. La ligne moyenne est le lieu des centres de gravités des sections droites. G 1 G 2
  • 3. 3. Contraintes et torseur des forces internes de liaison.  e2  e2 P ⊗ G  e1  e3 poutre Section droite G : centre de gravité de la section et P : un point courant de cette section.   GP = ye2 + ze3 Hyp : On a un état plan des contraintes et des forces de cohésion, on fait par exemples, le choix suivant   ( e1 , e2 ) plan des forces  e3 : axe des moments.
  • 4. 2. Hypothèses de la MMC. Hyp 1. : Petites vibrations autour de la position d’équilibre stable qui correspond à des petites déformations dans le domaine élastique. Remarquons qu’on peut avoir de grands déplacements et petites déformations, exples : déformations d’ailettes d turbines, éoliennes… Hyp 2. : (Navier-Bernouilli) Quand la poutre se déforme toute section droite reste droite (perpendiculaire) à la ligne moyenne et inaltérée (aucune déformation ne s’effectue dans son plan : contour inchangée) La section tourne en un seul bloc et se comporte comme un solide rigide. G 1 G 2
  • 5. 3.1. Contraintes en un point. Notons σ Le tenseur des contraintes :  σ11 ( P ) e1 : tenseur des contraintes normales  σ12 ( P ) e 2 : tenseur des contraintes tangentielles σ12 ( P ) P σ11 ( P ) G Rq : Par hypothèses les contraintes tangentielles et normales ne dépendent que de la variable x.
  • 6. 3.2. Torseur des forces en un point. T Solide 2 Solide 1 P M G N Les actions du solide 2 sur le solide 1 sont T= ∫∫ S  σ12 ds e 2 Où l’on noté : Remarque : N= ∫∫ S  σ11ds e1 N, T et M M= ∫∫ S  GP ∧ τ ( P ) ds = − ∫∫ S  yσ11ds e3 τ ( P ) : Vecteur des contraintes en P suivant e1 M : ((moment causé par τ ( P ) ).e 3 ) porté par e 3 à cause de l’hypothèse des contraintes planes   ( e1 , e2 ) plan des forces  e3 : axe des moments.
  • 7. 4. Déplacements et vitesses des pts d’une même section (Cinématique) 4.1. torseur des déplacements et torseur des vitesses (Exercice). Ecrire le torseur des déplacements à partir des des déplacements u ( x; t ) : déplacement longitudinal v( x; t ) : déplacement transversal 4.2. Déformations : tenseur, torseur et loi de comportement (Exercice). 4.3. Etablissement des équations de la dynamique pour la poutre. (Exercice).
  • 8. 5. Equations aux dérivées partielles. 5.1. Equations. Hypothèses : Il n y a que des forces réparties :  p( x , t ) suivant e 2 p( x , t )  e2  e1  ∂N ∂ 2 u ( x, t ) Sur e1 : = ρA ∂x ∂t 2  ∂T ∂ 2 v( x , t ) Sur e 2 : + p ( x , t ) = ρA ∂x ∂t 2 - N( x )  ∂M ∂ θ( x , t ) Sur e3 : + T = ρI ∂x ∂t 2 T+ - M( x ) * 2 N ∂u =ε= EA ∂x T GA ' M ∂θ =χ= EI ∂x =γ= ∂v −θ ∂x G 0 ( x + dx ) G0 ( x) * - T( x ) 6 équations ∂T dx ∂x dx N+ M+ ∂M dx ∂x ∂N dx ∂x
  • 9. 5.2. Vibrations libres longitudinales. Hyp : ∂N ∂ 2 u ( x, t ) = ρA ∂x ∂t 2 p( x , t ) = 0 ⇒ ∂ 2u ∂t 2 −c 2 ∂ 2u ∂x 2 N ∂u ∂N ∂ 2u = ⇒ = EA 2 EA ∂x ∂x ∂x et = 0; où c = E vitesse de l' onde ρ !!!! Il faut 2 conditions initiales (t=0) et 2 conditions aux limites (généralement les extrémités) Application : N N l Barre libre dont les extrémités sont soumises à des vibrations longitudinales.  ∂u  ∂u ⇒ ( t ) =  ∂u  ( t ) = 0 ∀t N = 0 en x = 0 et en x =  ⇒ cond' n lim car N = EA    ∂x  ∂x x =0  ∂x x = La solution est alors donnée par : ou encore par u ( x, t ) = u ( x, t ) = ∞  kπ   kπc   kπc   cos x  A k cos t  + B k sin  t             k =1 ∑ ∞ ω  cos k x ( A k cos( ωk t ) + B k sin ( ωk t ) )  c  k =1 ∑ si ωk = kπ c 
  • 10. 5. Vibration longitudinale( traction-compression barres) 5.1. Solution théorique exacte. Pendant la vibration longitudinale chaque élément de longueur dx de la barre (ou de la poutre) est soumis alternativement à une traction et à une compression. Si la barre est suffisamment mince pour qu’il soit possible de négliger les forces d’inertie transversales, les forces internes sont alors essentiellement axiales. La loi de Hooke reliant la contrainte σ à la déformation ε peut s’écrire : et la seconde loi de Newton relative à un élément de volume dV et de masse volumique ρ : à partir de ces deux lois, on obtient la condition d’équilibre d’un élément de longueur dx compris entre deux sections droites :
  • 11. Et si la barre a une section constante : Si, de plus, à une extrémité libre, on fixe une masse M la force d’inertie de M et la force élastique s’équilibrent pour x=l ‘ (où l désigne la longueur de la barre)
  • 12. Exemples de vibrations longitudinales. Barre de section variable soumise à des vibrations longitudinales Barre de section constante soumise à des vibrations longitudinales et ayant une masse M à son extrémité libre
  • 13. 5.2. Vibrations libres transversales. Hyp : Poutre non chargée, cisaillement négligé et l’énergie cinétique de la rotation de la poutre est faible devant celle de la translation  ∂T ∂ 2 v( x , t ) Sur e 2 : + p ( x , t ) = ρA ∂x ∂t 2 p( x, t ) = 0 ⇒  ∂M ∂ 2 θ( x , t ) Sur e3 : + T = ρI ∂x ∂t 2 Loi de comportement or ∂2 θ ∂2 t ∂M ∂3v T=− = − EI 3 ∂x ∂x ∂M +T = 0 ∂x =0 ⇒ ∂v ∂v =γ= −θ⇒ =θ ' ∂x ∂x GA T ∂T ∂ 2 v( x , t ) = ρA ∂x ∂t 2 M ∂θ ∂θ ∂2v et =χ= ⇒ M = EI = EI 2 EI ∂x ∂x ∂x en dérivant une fois il vient alors : ∂ 2 v( x , t ) ∂t 2 EI ∂ 4 v( x , t ) + =0 4 ρA ∂x
  • 14. 5.2. Vibrations libres transversales (2) ∂ 2 v( x , t ) On cherche des solutions à variables séparées de l’équation v( x , t ) = φ( x ) q ( t ) où φ( x ) : forme propre de vibration ∂t 2 et q( t ) : une fonction du temps φ( 4 ) ρA q ( 2 ) ⇒ (x) = − ( t ) = α4 , ∀t, x φ EI q ⇒ Les solutions : d 4φ dx 4 4 EI ∂ 4 v( x , t ) + =0 ρA ∂x 4 = α φ et d 2q dt 2 + α4 α = cste / x et t EI q=0 ρA  2 EI  α q( t ) = A cos t − ϕ  et φ( x ) = Be sx avec s sol' n de l' éq caract :   ρA   B s 4 − α 4 e sx = 0 ⇒ s = ±α ou s = ±iα ( ) ⇒ φ( x ) = A1 sin ( αx ) + A 2 cos( αx ) + A 3sh ( αx ) + A 4 ch ( αx ) A et ϕ sont déterminés par les conditions initiales A1 , A 2 , A 3 et A 4 sont déterminés par les conditions aux limites