SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  198
R.D.M.Résistance des Matériaux
Institut de Technologie du Cambodge
2007-2008 Vong Seng
Plan du Cours1- Introduction
2- Actions
3- Contraintes
4- Déformation
5- Propriétés Mécaniques des Matériaux
6- Caractéristiques Géométriques d’une Section
7- Types d’Appuis
8- Eléments de Réduction
9- Traction et Compression Simple
10- Flexion pure
11- Flexion Cisaillante
12- Flexion Gauche
13- Flexion Composée
14- Flexion des Pièces Courbes
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
16- Calcul des Déplacements de la Poutre
17- Flambement des Pièces Longes
18- Torsion
19- Concentration des Contraintes
20- Critère de Défaillance et Contraintes Permises
1- Introduction
1.1- Le but
L’étude de la résistance des matériaux a pour but d’assurer
qu’on utilise dans une pièce donnée, une quantité minimale de
matériau, tout en satisfaisant aux exigences suivantes :
- Résistance : la pièce doit pouvoir supporter et transmettre les
charges externes qui lui sont imposées ;
- Rigidité : la pièce ne doit pas subir de déformation excessive
lorsqu’elle est sollicitée ;
- Stabilité : la pièce doit conserver son intégrité géométrique
afin que soient évitées des conditions d’instabilité
(flambement) ;
- Endurance : la pièce, si elle est soumise à un chargement
répété, doit pouvoir tolérer sans rupture un certain nombre de
cycles de sollicitation variable (fatigue) ;
- Résilience : enfin, dans le cas où un chargement dynamique
est à prévoir (impact), la pièce doit pouvoir absorber une
certaine quantité d’énergie sans s’en trouver trop endommagée.
1- Introduction
1.2- Hypothèses de base
Les hypothèses de bas que nous posons sont les suivantes :
- Un matériau continu n’a ni fissures ni cavités.
- Un matériau homogène a les mêmes propriétés en tout point.
- Un matériau isotrope a, en un point donné, les mêmes
propriétés dans toutes les directions.
- Les forces internes à l’état initial, dites « résiduelle », sont
souvent présentes dans les matériaux. Si ces forces ne sont
pas suffisamment faibles pour être jugées négligeables, il faut
soit tenir compte en les mesurant expérimentalement, soit
les réduire par les techniques spéciales (par exemple le
traitement thermique).
1.3- Méthode de résolution
On résout un problème de résistance des matériaux selon une
démarche systématique qui comporte les trois étapes
fondamentales suivantes :
1- Introduction
- L’étude des forces et des conditions d’équilibre ;
- L’étude des déplacements et de la compatibilité géométrique ;
- L’application des relations forces/déplacements
Les conditions d’exigences pour études des équilibres du
corps sont équilibre de translation et équilibre de
rotation
0F =∑
0M =∑
Dans un système de coordonnées cartésiennes (axes des x,
des y et des z), ces équations vectorielles sont équivalentes
aux six scalaires ci-dessous:
Équilibres de translation :
Suivante axe X : ΣFx = 0
Suivante axe Y : ΣFy = 0
Suivante axe Z : ΣFz = 0
Équilibres de rotation :
Autour de l’axe X : ΣMx = 0
Autour de l’axe Y : ΣMy = 0
Autour de l’axe Z : ΣMz = 0
2- Actions
2.1- Types des actions
On distingue les actions suivantes :
a.) leur mode d’action :
- Action direct : (les charges en général) forces
concentrées ou réparties
- Actions indirectes : déformations imposées ou entravées
b.) leur variation dans le temps :
- Actions permanentes, désignées par G ou g : poids propre des
structures, poids propre des éléments non structuraux,
poussée des terres, déformations imposées par leur mode de
construction de la structure, tassements,...
- Actions variables, désignée par Q ou q : charge d’exploitation,
poids de certains éléments en phase constructive, charge de
montage, charge mobiles et leurs effets, vent, déformations
imposées par les variations de températures,...
- Actions accidentelles : chocs et explosions, incendie,
affaissements accidentels, tremblements de terre, ...
2- Actions
2.2- Forces externes
Ce sont les charges appliquées (ou sollicitations) sur un système
par des forces ou des couples, ce qui permet de quantifier et
d’idéaliser l’interaction entre deux systèmes mécaniques. Par
exemples les charges d’exploitation, les pressions, le vent, son
poids propre,... etc.
2- Actions
- Forces de surface (ou forces surfaciques) :
Elles sont causées par le contact entre deux corps. Pour le cas
particulier, la surface de contact est beaucoup plus petite par
rapport à la surface totale du corps, on peut les idéaliser
comme une force concentrée (ou charge concentrée) telle que
cette force est appliquée en un point. Et on peut encore les
idéaliser comme une force répartie linéaire (ou charge répartie
linéaire) si la force est appliquée au long une surface étroite.
- Forces de volume (ou forces volumiques)
Un corps est exercé par une force sans contact physiquement
en direct avec un autre corps. Cette force due à la gravité ou au
champ électromagnétique et elle représente normalement une
force concentrée exercée au centre de gravité du corps
s’appelant le poids propre.
2- Actions
2.3- Forces internes
L’étude des matériaux relève qu’il existe des forces d’attraction
et de répulsion intermoléculaire, forces qui sont en équilibre et
qui maintiennent un certain espacement entre les molécules.
Sous l’action de sollicitations externes, cet équilibre est modifié,
ce qui entraîne la déformation du matériau. Les forces
engendrées par l’action des sollicitations sont appelées forces
internes. Le matériau doit être suffisamment résistant pour
supporter l’action des forces internes sans se détériorer : c’est
là l’essence même de l’étude de la résistance des matériaux.
2- Actions
Effort normal (N) : C’est la force interne exercée normale à la
facette considérée.
Effort tranchant (T) : C’est la force interne exercée tangente à
la facette considérée.
Moment fléchissant ou moment de flexion (Mf) : C’est le couple
interne exercé autour de l’axe perpendiculaire au plan de
structure étudiée.
Moment de torsion (Mt) : C’est le couple interne exercé autour
de l’axe de la poutre étudiée.
3- Contraintes
En chaque point M d'un solide, il existe des forces intérieures
que l'on met en évidence en effectuant une coupure du solide,
par une surface S, en deux parties A et B. La partie A est en
équilibre sous l'action des forces extérieures qui lui sont
directement appliquées et des forces intérieures réparties sur la
coupure.
Considérons un point M de S. Soit dS un élément infinitésimal
de la surface S entourant M et le vecteur unitaire,
perpendiculaire en M à S et dirigé vers l'extérieur de la partie A.
Nous appellerons cet ensemble facette en M.
n
n
( , )
d F
T M n
dS
=
Soit la force qui s'exerce sur cette facette. On appelle
vecteur contrainte sur la facette en M, la quantité :n
3- Contraintes
( , ) ( , )T M n T M n− = −
Le vecteur contraint peut être
décomposé en sa composante
suivant et sa projection sur
la facette
n
3- Contraintes
x xy xz
yx y yz
zx zy z
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
i
j
k
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
( , ) ( , ) ( , )T M i T M j T M k
Composantes sur
3- Contraintes
3.1- Equations d’équilibre
Plan de contrainte xy
0xz zxτ τ= =
0yz zyτ τ= =
0zσ =
3- Contraintes
Equilibre de translation selon x
Equilibre de translation selon y
Equilibre de translation selon y
3- Contraintes
0xyx xz
xf
x y z
τσ τ∂∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂
0yx y yz
yf
x y z
τ σ τ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂
0zyzx z
zf
x y z
ττ σ∂∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂
xy yxτ τ=
xz zxτ τ=
yz zyτ τ=
Equilibre de l'état de contrainte en trois dimensions
Equilibre de translation
Equilibre de rotation
3- Contraintes
3.2- L’état de contrainte dans un plan selon des
directions arbitraires
3- Contraintes
x y x y
x' xy
x y x y
y' xy
x y
x'y' xy
cos2 sin 2
2 2
cos2 sin 2
2 2
sin 2 cos2
2
σ + σ σ − σ
σ = + θ + τ θ
σ + σ σ − σ
σ = − θ − τ θ
σ − σ
τ = − θ + τ θ
3- Contraintes
Cercle de Mohr
3- Contraintes
3- Contraintes
Direction et contrainte principale
Dans le plan de
contrainte , il existe 2
directions telles que
– la contrainte normale
est extrémale (max ou
min)
– les contraintes
tangentielles sont
nulles
3- Contraintes
– directions principales
valeurs principales
– directions
valeurs
4- Déformation
Sous l'action des forces appliquées, les points du solide se
déplacent. Il en résulte, pour des fibres infinitésimales de
matière, des variations de longueur et des variations d'angle
appelées déformations.
4- Déformation
Déformation normale
Déformation de cisaillement
4- Déformation
L'état de déformation en trois dimensions
4- Déformation
L’état plan de déformation
0zε =
0yz zyγ γ= =
0xz zxγ γ= =
4- Déformation
x
y
A B
C
A’
B’
C’
v
u
dy
dx
dx
x
v
∂
∂
xd
x
u
u
∂
∂
+
dy
y
u
∂
∂
dy
y
v
v
∂
∂
+
1β
2β
x
u
x
v
tan βtan βββ)B'A'(C'angle
2
π
y
v
dy
dyvdy
y
v
vdy
AC
ACC'A'
x
u
dx
dxudx
x
u
udx
AB
ABB'A'
2121
∂
∂
+
∂
∂
≈
+≈+=−=
∂
∂
=
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
++
=
−
=
∂
∂
=
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++
=
−
=
xy
y
x
γ
ε
ε
4.1- Relation entre
déplacement et
déformation
2D
4- Déformation
3D
x
w
z
u
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
zx
yz
xy
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
γ
γ
γ
ε
ε
ε
4- Déformation
4.2- L’état de déformation dans un plan selon
des directions arbitraires
4- Déformation
Composants de dx' sur
axes x et y
4- Déformation
4- Déformation
Déformation selon des directions x' et y'
4- Déformation
Cercle de Mohr
2
xy
xy
γ
ε =
4- Déformation
Direction et déformation
principale
Dans le plan de
déformation , il existe 2
directions telles que
– la déformation normale est
extrémale (max ou min)
– les déformations de
cisaillements sont nulles
4- Déformation
– directions principales
valeurs principales
– directions
valeurs
4- Déformation
Jauge de déformation
Wheatstone Bridge
4- Déformation
Quarter-Bridge Circuit
Half-Bridge Circuit
Full-Bridge Circuit
Use of Dummy Gauge to Eliminate
Temperature Effects
4- Déformation
Rosette
5- Propriétés Mécaniques des Matériaux
5.1- Essais de traction
Matériaux ductiles : acier doux
Matériaux ductiles : aluminium
x xEσ ε=
5- Propriétés Mécaniques des Matériaux
Striction
Matériaux fragiles
exemples : verre, béton, fonte
5- Propriétés Mécaniques des Matériaux
On se souvient que la déformation est la "variation de
longueur d'une longueur originellement unitaire"
f i
i i
L L L
L L
ε
− Δ
= = fL
iL
longueur final
longueur initial
Cette déformation, appelé déformation norminale, est d'une
grande utilité dans les applications courants
Déformations réelles
Pour de grandes déformation, cependand, on a quelquefois à la
déformation réelle, qu'on définit comme étant la somme des
déformations "instantanées"
L
L
ε ε
Δ
= Δ =∑ ∑ L longueur instantané
LΔ Lallongement de
0LΔ →
0
ln
f
i
L f
L
i
LdL
d
L L
ε
ε ε= = =∫ ∫
on obtientLorsque
5- Propriétés Mécaniques des Matériaux
5.2- Essais divers
Essai de compression
Essai de fatigue
courbe de Wöhler
Essai de fluage
sur métal à
haute
température
fluage d'une
éprouvette de
béton comprimé
Essai brésilien
5- Propriétés Mécaniques des Matériaux
Rupture par fluage
fluage Recouvrance
Relaxation
- Essai de résilience
5- Propriétés Mécaniques des Matériaux
5.3- Relations générales entre contraintes et
déformations dans le domaine élastique
Coefficient de Poisson
y z
x x
ε ε
ν
ε ε
= − = −
x xEσ ε=
0 0,5ν≤ ≤
0,3ν =
La valeur accordée à bon
nombre de matériaux
métalliques est
x
y z
E
σ
ε ε ν= = −
Relations générales
5- Propriétés Mécaniques des Matériaux
Déformation normale
selon x due à xσ
Déformation normale
selon x due à
yσ
Déformation normale
selon x due à zσxσ
Déformation normale
selon x due à zσ
yσ
Déformation normale
selon x,y et z
et
Déformation de cisaillement
selon x,y et z
5- Propriétés Mécaniques des Matériaux
0x y zσ σ σ= = =
Relation entre E et G
0x yε ε= =
5- Propriétés Mécaniques des Matériaux
6- Caractéristiques Géométriques d’une Section
6.1- Le centroïde de la section
x
A
y
A
S ydA
S xdA
=
=
∫
∫
Moment statique ou
premier moment de
section
Lorsqu'une section A dont le contour est de forme complexe
peut être décompée en plusieur sous-sections simples
Le centroïde de la section
x
y
6- Caractéristiques Géométriques d’une Section
6.2- Moment d'inertie de section
Moment d'inertie ou
seconde moment de
section par rapport à
l'axe des x et à l'axe
des y
Produit d'inertie
Moment d'inertie polaire
6- Caractéristiques Géométriques d’une Section
6.3- Transfer d'axes parallèles
6- Caractéristiques Géométriques d’une Section
( )
( )
( )( )
22
'
22
'
' '
' cos sin
' cos sin
' ' cos sin cos sin
x
A A
y
A A
x y
A A
I y dA y x dA
I x dA x y dA
I x y dA x y y x dA
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
= = −
= = +
= = + −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
6.4- Rotation d'axes
6- Caractéristiques Géométriques d’une Section
6.5- Axes principaux
Cercle de Mohr
6- Caractéristiques Géométriques d’une Section
x
i i
i
x A
x
A
=
∑
∑
2
ix iix
I I y A= +∑ ∑
2
iy iyi
I I x A= +∑ ∑
ixy iixi yi
I I x y A= +∑ ∑
ii
i
y A
y
A
=
∑
∑
2
x ix
I I y A= − ∑
2
y iy
I I x A= − ∑
xy ix y
I I xy A= − ∑
6.6- Applications
( )
2
i iix x
I I y y A= + −∑ ∑
( )
2
i iy yi
I I x x A= + −∑ ∑
( )( )i iix y xi yi
I I x x y y A= + − −∑ ∑
2 2
i i iix x
I I y A y A= + −∑ ∑ ∑
2 2
i
i i iy y
I I x A x A= + −∑ ∑ ∑
i i iix y xi yi
I I x y A xy A= + −∑ ∑ ∑
ou bien
y
x
y
6- Caractéristiques Géométriques d’une Section
?
n
1
2
3
ix iy iA i ix A iiy A i iix y A
2
i ix A
2
iiy A ix
I
iy
I i ix y
I
i i
i
x A
x
A
=
∑
∑
ii
i
y A
y
A
=
∑
∑
i ix A∑iA∑Σ
2
i ix A∑iiy A∑
2
iiy A∑ iixy A∑ ix
I∑ iy
I∑ i ix y
I∑
2 2
i i iix x
I I y A y A= + −∑ ∑ ∑
2 2
i
i i iy y
I I x A x A= + −∑ ∑ ∑
i i iix y xi yi
I I x y A xy A= + −∑ ∑ ∑
tan 2
( ) / 2
x y
x y
I
I I
θ
−
=
−
2
2
max
min 2 2
x y x y
x y
I I I I
I I
+ −⎛ ⎞
= ± +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Tableau de calcul
7- Types d’Appuis
7.1- Système Plans
a.) Encastrement
b.) Articulation ou rotule
0 degré de liberté
3 composantes de réaction
1 degré de liberté
2 composantes de réaction
7- Types d’Appuis
c.) Glissière
- Glissière avec articulation
d.) Rouleau
1 degré de liberté
2 composantes de réaction
2 degré de liberté
1 composante de
réaction
2 degré de liberté
1 composante de
réaction
7- Types d’Appuis
e.) Appui déformable, appui élastique
Un appui est dit déformable lorsqu'il
peut subir des déplacements suivant
les directions de certaines
composantes de réaction
Un appui déformable est dit
élastique lorsque la
composante de
déplacement considérée
est une fonction linéaire de
la composante de réaction
correspondante
7- Types d’Appuis
f.) Appui concordants, appui non concordants
On dit que les appuis sont concordants lorsque les
composantes de réaction sont toutes nulles en l'absence de
sollicitations extérieures
Pour les systèmes hyperstatiques, le manque de concordance
d'un appui est représenté par le déplacement (translation ou
rotation) qu'il subit depuis la position concordante jusqu'à la
position réelle
Pour les systèmes isostatiques quant à leurs appuis, les
réactions de liaison sont obtenus uniquement grâce aux
équations d'équilibre et les appuis sont toujours concordants
7- Types d’Appuis
7.2- Système Spatiaux
Encastrement Articulation
0 degré de liberté
6 composantes de réaction
1 degré de liberté
5 composantes de réaction
7- Types d’Appuis
Appui sphéreique Rouleau
3 degré de liberté
3 composantes de réaction
5 degré de liberté
1 composantes de réaction
7- Types d’Appuis
7.3- Détermination des réactions d'appuis
Systéme plan
Équilibres de translation :
Suivante axe X : ΣFx = 0
Suivante axe Y : ΣFy = 0
Équilibres de rotation :
Autour de l’axe Z : ΣMz = 0
=
1R
2R
3R
8- Eléments de Réduction
8.1- Les hypothèses de RDM pour les poutres
Une poutre est définie par le
déplacement d'une aire de centre
de gravité G le long d'une fibre
moyenne G0G1. Cette section
reste perpendiculaire à la fibre
moyenne
Après déformation de la poutre, les sections
normales à la fibre moyenne reste planes et
orthogonales à la fibre déformée
Hypothèse de Navier-Bernoulli
8- Eléments de Réduction
Dans une section éliognée des points d'application des forces
concentrées (forces données et réactions d'appuis), les
contraintes et les déformations ne dépendent que de la
résultante et du moment résultant du système de forces dans
cette section
Principe de Saint Venant
8- Eléments de Réduction
8.2- Pricipe de la coupe - Eléments de réduction
8- Eléments de Réduction
8- Eléments de Réduction
8- Eléments de Réduction
Convention du sign
N > 0 T > 0 M > 0
8- Eléments de Réduction
8.3- Détermination des éléments de réduction
Métode de coupure
- Détermination
des réactions
En utilisant les
équations
d'équilibre
- Coupe la structure
En utilisant le
pricipe de la coupe
- Détermination des
éléments de réduction
En utilisant les équations
d'équilibre
8- Eléments de Réduction
;
- Diagram des éléments
de réduction
8- Eléments de Réduction
Métode d'intégration
Relations entre q, T, M
8- Eléments de Réduction
Cas générale: relations entre n,N et q, T, M
9- Traction et Compression Simple
9.1- Poutre sollicitée par son poids propre, en traction
9- Traction et Compression Simple
9- Traction et Compression Simple
9- Traction et Compression Simple
9.2- Poutre de section variable et poutre d'égale résistance
9- Traction et Compression Simple
9.3- Pièce formée de deux matériaux
1
i i
i n
k k
k
E
N N
E
=
Ω
=
Ω∑
Cas général (n matériaux différents)
9- Traction et Compression Simple
9.4- Enveloppe cylindrique en paroi mince soumise à pression
Formule des chaudiers
10- Flexion Pure
10.1- Introduction
10- Flexion Pure
10.2- Flexion pure en régime élastique
10- Flexion Pure
x
y y
ds a y
s R R
ε
−
= = =
x x
y
Ey
E
R
σ ε
−
= =
10- Flexion Pure
10- Flexion Pure
10.2.1- Relation moment fléchissant - courbure
10- Flexion Pure
10.2.2- Relation moment fléchissant - contrainte
x x
y
Ey
E
R
σ ε
−
= = z
x
z
C y
I
σ = −
z
x
z
M y
I
σ =
(Equation de Navier)
/
M M
I v W
σ = = /W I v= Module de flexion élastique
10- Flexion Pure
10- Flexion Pure
10- Flexion Pure
10- Flexion Pure
10- Flexion Pure
10- Flexion Pure
11- Flexion Cisaillante
11- Flexion Cisaillante
11- Flexion Cisaillante
11.1- Distribution des Contraintes de Cisaillement
Théorie Approchée de Jourawski
11- Flexion Cisaillante
Contrainte de cisaillement
Contrainte rasante
11- Flexion Cisaillante
11- Flexion Cisaillante
11- Flexion Cisaillante
11- Flexion Cisaillante
11.2- Exemple de répartion des Contraintes de
Cisaillement
11- Flexion Cisaillante
11- Flexion Cisaillante
11.3- Déformations résultant des contraintes tangentielles
11- Flexion Cisaillante
11.4- Contrainte induite par Ty et contrainte
tangentielle résultante
11- Flexion Cisaillante
11- Flexion Cisaillante
11- Flexion Cisaillante
11- Flexion Cisaillante
11- Flexion Cisaillante
11.5- Contrainte tangentielle dues à Ty dans les poutre en
parois minces à section ouverte. Flux de cisaillement
11- Flexion Cisaillante
11- Flexion Cisaillante
11- Flexion Cisaillante
11- Flexion Cisaillante
11.6- Centre de cisaillement
Flux de cisaillement
12- Flexion Gauche
12.1- Etudes de la flexion gauche dans les axes principaux
d'inertie
12- Flexion Gauche
12- Flexion Gauche
12.2- Etudes de la flexion gauche dans les axes orthogonaux
quelconques
12- Flexion Gauche
2 3 2 2
2 3
3 2 3 3
2 3
E E
P I C
R R
E E
I P C
R R
⎧
− − =⎪
⎪
⎨
⎪ + =
⎪⎩
12- Flexion Gauche
ou
2/E R
3/E R
13- Flexion Composée
=
13- Flexion Composée
13- Flexion Composée
13- Flexion Composée
13- Flexion Composée
13.1- Centre de pression - Noyau central
13- Flexion Composée
13.2- Détermination du noyau central
13- Flexion Composée
Tracé point par point du contour du noyau central
13- Flexion Composée
13- Flexion Composée
13- Flexion Composée
13.3- Applications de la notion de noyau central
- Les constructions réalisées en matériaux résistant mal en traction
13- Flexion Composée
- Béton précontraint
13- Flexion Composée
- Flexion composée des poutres en matériaux ne restant pas à la
traction
13- Flexion Composée
13- Flexion Composée
14- Flexion des pièces courbes
14- Flexion des pièces courbes
14- Flexion des pièces courbes
14- Flexion des pièces courbes
14- Flexion des pièces courbes
14- Flexion des pièces courbes
14- Flexion des pièces courbes
14- Flexion des pièces courbes
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
15.1- Axe neutre plastic
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
15.2- Flexion élasto-plastique
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
15.3- Rotule plastique
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
15.4- Contraintes résiduelles dues à une flexion élasto-plastique
16- Calcul des Déplacements de la Poutre
Déplacement de translation : déplacement
Déplacement
Déplacement axial : allongement ou raccourcissement
Déplacement transversal : flèche
Déplacement de rotation : rotation
La courbure à point x du au moment fléchissant
1 M
R EI
= −
La courbure de la courbe )(xfy = à point x
2/32
)'1(
"1
y
y
R +
=
'y 2
' 0y ≈petit
MEIy −="
"
M
y
EI
= −
ou
T
dx
dM
EIy −=−=)'"(
)()""( xq
dx
dT
EIy =−=
EI
xq
yIV )(
=
Equation différentielle du 4e ordre,
elle demande 4 conditions aux
limites pour résoudre
16- Calcul des Déplacements de la Poutre
1- Conditions aux limites géométriques
y est imposé
θ='y est imposé
2- Conditions aux limites statiques
"EIyM −= est imposé ou "y est imposé
'''EIyT −= '''yest imposé ou est imposé
3- Conditions aux limites de passage
Conditions de continuité et conditions d’équilibre d’un point
16- Calcul des Déplacements de la Poutre
17- Flambement des Pièces Longes
17.1- Compression excentrée d'une tige droite tenant compte
du déplacement du point d'application de la charge
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17.2- Charge critique de flambement
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17.3- Compression centrée d'une tige ayant une légère
courbure initiale
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17.4- Probleme d'Euler (Cas Idéal), Flambement par
bifurcation de l'état d'éqilibre
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17.4- Différents cas de conditions d'appuis, longueur de
flambement et contrainte critique
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
17- Flambement des Pièces Longes
18- Torsion
18.1- Torsion d'un barreau cylindrique
18- Torsion
18- Torsion
18- Torsion
18- Torsion
18- Torsion
18.2- Torsion d'un barreau non cylindrique
18- Torsion
19- Concentration des Contraintes
due à la force de traction
19- Concentration des Contraintes
Les formules extraits de
19- Concentration des Contraintes
19- Concentration des Contraintes
Pour le cas de réduction de section
19- Concentration des Contraintes
Les graphiques pour déterminer K
19- Concentration des Contraintes
19- Concentration des Contraintes
Pour les matériaux ductiles
19- Concentration des Contraintes
ou à l'endroit de réduction de section
due à la flextion
19- Concentration des Contraintes
Cas le trou percé au milieu de la poutre, par de problème
de concentration des contraintes
19- Concentration des Contraintes
La distribution des
contraintes à l'endroit de
réduction de section due à
la torsion
20- Critères de déffaillance
20- Critères de déffaillance
20- Critères de déffaillance
20- Critères de déffaillance
+=
(*)
20- Critères de déffaillance
(*)
20- Critères de déffaillance
20- Critères de déffaillance
20- Critères de déffaillance

Contenu connexe

Tendances

Flexion Simple.pptx
Flexion Simple.pptxFlexion Simple.pptx
Flexion Simple.pptxSimoMagri
 
Cours 1 RDM.pptx
Cours 1 RDM.pptxCours 1 RDM.pptx
Cours 1 RDM.pptxRamyBechker
 
Cours r.d.m btps3
Cours r.d.m btps3Cours r.d.m btps3
Cours r.d.m btps3sabdou
 
3 descente de_charge_2d_ensam_2007_compresse
3 descente de_charge_2d_ensam_2007_compresse3 descente de_charge_2d_ensam_2007_compresse
3 descente de_charge_2d_ensam_2007_compresseFessal Kpeky
 
poussees-et-butees
poussees-et-buteespoussees-et-butees
poussees-et-buteesSoumiaNadiri
 
Exercices rdm diplomes 05 14
Exercices  rdm diplomes 05 14Exercices  rdm diplomes 05 14
Exercices rdm diplomes 05 14m.a bensaaoud
 
SBA1 - EC2 - Chap 5 - Flexion simple - ELU
SBA1 - EC2 - Chap 5 - Flexion simple - ELUSBA1 - EC2 - Chap 5 - Flexion simple - ELU
SBA1 - EC2 - Chap 5 - Flexion simple - ELUMarwan Sadek
 
Bases - Liaisons - liberté
Bases - Liaisons - libertéBases - Liaisons - liberté
Bases - Liaisons - libertéebugnet
 
Analyse matricielle appliquée aux structures méthode des éléments finis
Analyse matricielle appliquée aux structures méthode des éléments finisAnalyse matricielle appliquée aux structures méthode des éléments finis
Analyse matricielle appliquée aux structures méthode des éléments finisJOEL M. ZINSALO, Ph.D.
 
Mecanique rationnelle kadi ali
Mecanique rationnelle kadi aliMecanique rationnelle kadi ali
Mecanique rationnelle kadi aliSmee Kaem Chann
 
Chap compression simple 1
Chap compression simple 1Chap compression simple 1
Chap compression simple 1Zahir Hadji
 
Cours deplacements simplifies
Cours deplacements simplifiesCours deplacements simplifies
Cours deplacements simplifiesm.a bensaaoud
 
Poly etsher assemblage construction mã©tallique callaud 2003
Poly etsher assemblage construction mã©tallique callaud 2003Poly etsher assemblage construction mã©tallique callaud 2003
Poly etsher assemblage construction mã©tallique callaud 2003Mohamed Yassine Benfdil
 

Tendances (20)

Résistance des matériaux
Résistance des  matériaux Résistance des  matériaux
Résistance des matériaux
 
Flexion Simple.pptx
Flexion Simple.pptxFlexion Simple.pptx
Flexion Simple.pptx
 
Cours 1 RDM.pptx
Cours 1 RDM.pptxCours 1 RDM.pptx
Cours 1 RDM.pptx
 
Cours r.d.m btps3
Cours r.d.m btps3Cours r.d.m btps3
Cours r.d.m btps3
 
Cours rdm notions
Cours rdm notionsCours rdm notions
Cours rdm notions
 
Chapitre 1 rdm
Chapitre 1 rdmChapitre 1 rdm
Chapitre 1 rdm
 
3 descente de_charge_2d_ensam_2007_compresse
3 descente de_charge_2d_ensam_2007_compresse3 descente de_charge_2d_ensam_2007_compresse
3 descente de_charge_2d_ensam_2007_compresse
 
poussees-et-butees
poussees-et-buteespoussees-et-butees
poussees-et-butees
 
Exercices rdm diplomes 05 14
Exercices  rdm diplomes 05 14Exercices  rdm diplomes 05 14
Exercices rdm diplomes 05 14
 
SBA1 - EC2 - Chap 5 - Flexion simple - ELU
SBA1 - EC2 - Chap 5 - Flexion simple - ELUSBA1 - EC2 - Chap 5 - Flexion simple - ELU
SBA1 - EC2 - Chap 5 - Flexion simple - ELU
 
Examen RDM 2014-2015
Examen RDM 2014-2015Examen RDM 2014-2015
Examen RDM 2014-2015
 
cours-plaques
cours-plaquescours-plaques
cours-plaques
 
Cours de beton_precontraint_
Cours de beton_precontraint_Cours de beton_precontraint_
Cours de beton_precontraint_
 
Bases - Liaisons - liberté
Bases - Liaisons - libertéBases - Liaisons - liberté
Bases - Liaisons - liberté
 
Analyse matricielle appliquée aux structures méthode des éléments finis
Analyse matricielle appliquée aux structures méthode des éléments finisAnalyse matricielle appliquée aux structures méthode des éléments finis
Analyse matricielle appliquée aux structures méthode des éléments finis
 
Mecanique rationnelle kadi ali
Mecanique rationnelle kadi aliMecanique rationnelle kadi ali
Mecanique rationnelle kadi ali
 
Cours rdm
Cours rdmCours rdm
Cours rdm
 
Chap compression simple 1
Chap compression simple 1Chap compression simple 1
Chap compression simple 1
 
Cours deplacements simplifies
Cours deplacements simplifiesCours deplacements simplifies
Cours deplacements simplifies
 
Poly etsher assemblage construction mã©tallique callaud 2003
Poly etsher assemblage construction mã©tallique callaud 2003Poly etsher assemblage construction mã©tallique callaud 2003
Poly etsher assemblage construction mã©tallique callaud 2003
 

En vedette

Structure métallique
Structure métallique Structure métallique
Structure métallique Sami Sahli
 
RDM programme @ Edinburgh an institutional approach
RDM programme @ Edinburgh an institutional approachRDM programme @ Edinburgh an institutional approach
RDM programme @ Edinburgh an institutional approachJisc
 
Peeling of composite sandwich structure yang sebenar
Peeling of composite sandwich structure yang sebenarPeeling of composite sandwich structure yang sebenar
Peeling of composite sandwich structure yang sebenarIIUM
 
Chapitre 8 flexion pure
Chapitre 8 flexion pureChapitre 8 flexion pure
Chapitre 8 flexion pureMouna Souissi
 
Chapitre 9 flexion simple
Chapitre 9 flexion simpleChapitre 9 flexion simple
Chapitre 9 flexion simpleMouna Souissi
 
Exercices coprrigés sur les torseurs
Exercices coprrigés sur les torseursExercices coprrigés sur les torseurs
Exercices coprrigés sur les torseursm.a bensaaoud
 

En vedette (9)

Plan d'action Champlain - Opération poutre de support
Plan d'action Champlain  - Opération poutre de supportPlan d'action Champlain  - Opération poutre de support
Plan d'action Champlain - Opération poutre de support
 
Structure métallique
Structure métallique Structure métallique
Structure métallique
 
RDM programme @ Edinburgh an institutional approach
RDM programme @ Edinburgh an institutional approachRDM programme @ Edinburgh an institutional approach
RDM programme @ Edinburgh an institutional approach
 
Peeling of composite sandwich structure yang sebenar
Peeling of composite sandwich structure yang sebenarPeeling of composite sandwich structure yang sebenar
Peeling of composite sandwich structure yang sebenar
 
Chapitre 8 flexion pure
Chapitre 8 flexion pureChapitre 8 flexion pure
Chapitre 8 flexion pure
 
Chapitre 9 flexion simple
Chapitre 9 flexion simpleChapitre 9 flexion simple
Chapitre 9 flexion simple
 
L3 c 04-flexion
L3 c 04-flexionL3 c 04-flexion
L3 c 04-flexion
 
Rapport
RapportRapport
Rapport
 
Exercices coprrigés sur les torseurs
Exercices coprrigés sur les torseursExercices coprrigés sur les torseurs
Exercices coprrigés sur les torseurs
 

Similaire à Résistance des Matérieaux

01 résistance des matériaux
01 résistance des matériaux01 résistance des matériaux
01 résistance des matériauxAdilZa2
 
polycopie_Hadjazi_Khamis.pdf
polycopie_Hadjazi_Khamis.pdfpolycopie_Hadjazi_Khamis.pdf
polycopie_Hadjazi_Khamis.pdfdayzen1
 
ch_1_rdm.pdf
ch_1_rdm.pdfch_1_rdm.pdf
ch_1_rdm.pdfdayzen1
 
Vdocuments.site cours de-structurepdf
Vdocuments.site cours de-structurepdfVdocuments.site cours de-structurepdf
Vdocuments.site cours de-structurepdfBlerivinci Vinci
 
Cours de mécanique des milieux continus
Cours de mécanique des milieux continusCours de mécanique des milieux continus
Cours de mécanique des milieux continusIsraël Mabiala
 
bien comprendre exposé la resistance aux efforts.ppt
bien comprendre exposé la resistance aux efforts.pptbien comprendre exposé la resistance aux efforts.ppt
bien comprendre exposé la resistance aux efforts.pptJabirArif
 
Mécanique des structures et RDM - Exercices corrigés
Mécanique des structures et RDM - Exercices corrigés Mécanique des structures et RDM - Exercices corrigés
Mécanique des structures et RDM - Exercices corrigés Hani sami joga
 
Notion Theorique des quantites des mouvements.pptx
Notion Theorique des quantites des mouvements.pptxNotion Theorique des quantites des mouvements.pptx
Notion Theorique des quantites des mouvements.pptxFall66
 
Polycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_zPolycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_zMohamed Nader Dallaj
 
Analyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.ppt
Analyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.pptAnalyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.ppt
Analyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.pptArmandKambire
 
Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigésRésistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigésHani sami joga
 
Chapitre 4 resistance-au_cisaillement_des_sols
Chapitre 4 resistance-au_cisaillement_des_solsChapitre 4 resistance-au_cisaillement_des_sols
Chapitre 4 resistance-au_cisaillement_des_solsabdelkrim abdellaoui
 

Similaire à Résistance des Matérieaux (20)

01 résistance des matériaux
01 résistance des matériaux01 résistance des matériaux
01 résistance des matériaux
 
polycopie_Hadjazi_Khamis.pdf
polycopie_Hadjazi_Khamis.pdfpolycopie_Hadjazi_Khamis.pdf
polycopie_Hadjazi_Khamis.pdf
 
ch_1_rdm.pdf
ch_1_rdm.pdfch_1_rdm.pdf
ch_1_rdm.pdf
 
Vdocuments.site cours de-structurepdf
Vdocuments.site cours de-structurepdfVdocuments.site cours de-structurepdf
Vdocuments.site cours de-structurepdf
 
rdm-cours.pdf
rdm-cours.pdfrdm-cours.pdf
rdm-cours.pdf
 
Cours2 elements mecaniques.ppt
Cours2 elements mecaniques.pptCours2 elements mecaniques.ppt
Cours2 elements mecaniques.ppt
 
Support du cours
Support du cours Support du cours
Support du cours
 
Cours de mécanique des milieux continus
Cours de mécanique des milieux continusCours de mécanique des milieux continus
Cours de mécanique des milieux continus
 
RDM
RDM RDM
RDM
 
bien comprendre exposé la resistance aux efforts.ppt
bien comprendre exposé la resistance aux efforts.pptbien comprendre exposé la resistance aux efforts.ppt
bien comprendre exposé la resistance aux efforts.ppt
 
Mécanique des structures et RDM - Exercices corrigés
Mécanique des structures et RDM - Exercices corrigés Mécanique des structures et RDM - Exercices corrigés
Mécanique des structures et RDM - Exercices corrigés
 
Notion Theorique des quantites des mouvements.pptx
Notion Theorique des quantites des mouvements.pptxNotion Theorique des quantites des mouvements.pptx
Notion Theorique des quantites des mouvements.pptx
 
Polycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_zPolycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm ii_licence_2_genie_civil_harichan_z
 
Analyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.ppt
Analyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.pptAnalyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.ppt
Analyse Limite ( J-F Remacle ) resistance.ppt
 
Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigésRésistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés
 
cours_mmd_slide_player.ppt
cours_mmd_slide_player.pptcours_mmd_slide_player.ppt
cours_mmd_slide_player.ppt
 
Mécanique des-sols3
Mécanique des-sols3Mécanique des-sols3
Mécanique des-sols3
 
RDM.pdf
RDM.pdfRDM.pdf
RDM.pdf
 
Chapitre 4 rdm
Chapitre 4 rdmChapitre 4 rdm
Chapitre 4 rdm
 
Chapitre 4 resistance-au_cisaillement_des_sols
Chapitre 4 resistance-au_cisaillement_des_solsChapitre 4 resistance-au_cisaillement_des_sols
Chapitre 4 resistance-au_cisaillement_des_sols
 

Plus de Thim Mengly(ម៉េងលី,孟李)

Plus de Thim Mengly(ម៉េងលី,孟李) (20)

Matlab commands
Matlab commandsMatlab commands
Matlab commands
 
Introduction to-matlab
Introduction to-matlabIntroduction to-matlab
Introduction to-matlab
 
Matlab by Prof.Keang Sè Pouv
Matlab by Prof.Keang Sè PouvMatlab by Prof.Keang Sè Pouv
Matlab by Prof.Keang Sè Pouv
 
Assignment fluid year 3
Assignment fluid  year 3Assignment fluid  year 3
Assignment fluid year 3
 
មេកានិកនៃសន្ទនីយ៍
មេកានិកនៃសន្ទនីយ៍មេកានិកនៃសន្ទនីយ៍
មេកានិកនៃសន្ទនីយ៍
 
fluid khmer-Chapter6
fluid khmer-Chapter6fluid khmer-Chapter6
fluid khmer-Chapter6
 
fluid khmer-Chapter5
fluid khmer-Chapter5fluid khmer-Chapter5
fluid khmer-Chapter5
 
fluid khmer-Chapter 4
fluid khmer-Chapter 4fluid khmer-Chapter 4
fluid khmer-Chapter 4
 
fluid khmer-Chapter 3
fluid khmer-Chapter 3fluid khmer-Chapter 3
fluid khmer-Chapter 3
 
fluid khmer-Chapter 2
fluid khmer-Chapter 2fluid khmer-Chapter 2
fluid khmer-Chapter 2
 
ក្រប់គ្រងសំណង់
ក្រប់គ្រងសំណង់ក្រប់គ្រងសំណង់
ក្រប់គ្រងសំណង់
 
Math cad lesson etc by Sok Raksmey
Math cad lesson etc by Sok RaksmeyMath cad lesson etc by Sok Raksmey
Math cad lesson etc by Sok Raksmey
 
ប្រវត្តិសម្តេចHun sen
ប្រវត្តិសម្តេចHun senប្រវត្តិសម្តេចHun sen
ប្រវត្តិសម្តេចHun sen
 
ប្រវត្តិសម្តេចHun sen
ប្រវត្តិសម្តេចHun senប្រវត្តិសម្តេចHun sen
ប្រវត្តិសម្តេចHun sen
 
ស្រីហិតោបទេស​១
ស្រីហិតោបទេស​១ស្រីហិតោបទេស​១
ស្រីហិតោបទេស​១
 
Report of Visit Internship
Report of Visit Internship Report of Visit Internship
Report of Visit Internship
 
Important Comment used in AutoCAD 2D Khmer Guide
Important Comment used in AutoCAD 2D Khmer Guide Important Comment used in AutoCAD 2D Khmer Guide
Important Comment used in AutoCAD 2D Khmer Guide
 
Traveaux Pratique Topographie à l'ITC-I3-GRU32
Traveaux Pratique Topographie à l'ITC-I3-GRU32Traveaux Pratique Topographie à l'ITC-I3-GRU32
Traveaux Pratique Topographie à l'ITC-I3-GRU32
 
Projet irrigation-samras
Projet irrigation-samrasProjet irrigation-samras
Projet irrigation-samras
 
Project Of Irrigation at Stoeung Chhinit, Kg.Thom, KHmer
Project Of Irrigation at Stoeung Chhinit, Kg.Thom, KHmer Project Of Irrigation at Stoeung Chhinit, Kg.Thom, KHmer
Project Of Irrigation at Stoeung Chhinit, Kg.Thom, KHmer
 

Résistance des Matérieaux

  • 1. R.D.M.Résistance des Matériaux Institut de Technologie du Cambodge 2007-2008 Vong Seng
  • 2. Plan du Cours1- Introduction 2- Actions 3- Contraintes 4- Déformation 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section 7- Types d’Appuis 8- Eléments de Réduction 9- Traction et Compression Simple 10- Flexion pure 11- Flexion Cisaillante 12- Flexion Gauche 13- Flexion Composée 14- Flexion des Pièces Courbes 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique 16- Calcul des Déplacements de la Poutre 17- Flambement des Pièces Longes 18- Torsion 19- Concentration des Contraintes 20- Critère de Défaillance et Contraintes Permises
  • 3. 1- Introduction 1.1- Le but L’étude de la résistance des matériaux a pour but d’assurer qu’on utilise dans une pièce donnée, une quantité minimale de matériau, tout en satisfaisant aux exigences suivantes : - Résistance : la pièce doit pouvoir supporter et transmettre les charges externes qui lui sont imposées ; - Rigidité : la pièce ne doit pas subir de déformation excessive lorsqu’elle est sollicitée ; - Stabilité : la pièce doit conserver son intégrité géométrique afin que soient évitées des conditions d’instabilité (flambement) ; - Endurance : la pièce, si elle est soumise à un chargement répété, doit pouvoir tolérer sans rupture un certain nombre de cycles de sollicitation variable (fatigue) ; - Résilience : enfin, dans le cas où un chargement dynamique est à prévoir (impact), la pièce doit pouvoir absorber une certaine quantité d’énergie sans s’en trouver trop endommagée.
  • 4. 1- Introduction 1.2- Hypothèses de base Les hypothèses de bas que nous posons sont les suivantes : - Un matériau continu n’a ni fissures ni cavités. - Un matériau homogène a les mêmes propriétés en tout point. - Un matériau isotrope a, en un point donné, les mêmes propriétés dans toutes les directions. - Les forces internes à l’état initial, dites « résiduelle », sont souvent présentes dans les matériaux. Si ces forces ne sont pas suffisamment faibles pour être jugées négligeables, il faut soit tenir compte en les mesurant expérimentalement, soit les réduire par les techniques spéciales (par exemple le traitement thermique). 1.3- Méthode de résolution On résout un problème de résistance des matériaux selon une démarche systématique qui comporte les trois étapes fondamentales suivantes :
  • 5. 1- Introduction - L’étude des forces et des conditions d’équilibre ; - L’étude des déplacements et de la compatibilité géométrique ; - L’application des relations forces/déplacements Les conditions d’exigences pour études des équilibres du corps sont équilibre de translation et équilibre de rotation 0F =∑ 0M =∑ Dans un système de coordonnées cartésiennes (axes des x, des y et des z), ces équations vectorielles sont équivalentes aux six scalaires ci-dessous: Équilibres de translation : Suivante axe X : ΣFx = 0 Suivante axe Y : ΣFy = 0 Suivante axe Z : ΣFz = 0 Équilibres de rotation : Autour de l’axe X : ΣMx = 0 Autour de l’axe Y : ΣMy = 0 Autour de l’axe Z : ΣMz = 0
  • 6. 2- Actions 2.1- Types des actions On distingue les actions suivantes : a.) leur mode d’action : - Action direct : (les charges en général) forces concentrées ou réparties - Actions indirectes : déformations imposées ou entravées b.) leur variation dans le temps : - Actions permanentes, désignées par G ou g : poids propre des structures, poids propre des éléments non structuraux, poussée des terres, déformations imposées par leur mode de construction de la structure, tassements,... - Actions variables, désignée par Q ou q : charge d’exploitation, poids de certains éléments en phase constructive, charge de montage, charge mobiles et leurs effets, vent, déformations imposées par les variations de températures,... - Actions accidentelles : chocs et explosions, incendie, affaissements accidentels, tremblements de terre, ...
  • 7. 2- Actions 2.2- Forces externes Ce sont les charges appliquées (ou sollicitations) sur un système par des forces ou des couples, ce qui permet de quantifier et d’idéaliser l’interaction entre deux systèmes mécaniques. Par exemples les charges d’exploitation, les pressions, le vent, son poids propre,... etc.
  • 8. 2- Actions - Forces de surface (ou forces surfaciques) : Elles sont causées par le contact entre deux corps. Pour le cas particulier, la surface de contact est beaucoup plus petite par rapport à la surface totale du corps, on peut les idéaliser comme une force concentrée (ou charge concentrée) telle que cette force est appliquée en un point. Et on peut encore les idéaliser comme une force répartie linéaire (ou charge répartie linéaire) si la force est appliquée au long une surface étroite. - Forces de volume (ou forces volumiques) Un corps est exercé par une force sans contact physiquement en direct avec un autre corps. Cette force due à la gravité ou au champ électromagnétique et elle représente normalement une force concentrée exercée au centre de gravité du corps s’appelant le poids propre.
  • 9. 2- Actions 2.3- Forces internes L’étude des matériaux relève qu’il existe des forces d’attraction et de répulsion intermoléculaire, forces qui sont en équilibre et qui maintiennent un certain espacement entre les molécules. Sous l’action de sollicitations externes, cet équilibre est modifié, ce qui entraîne la déformation du matériau. Les forces engendrées par l’action des sollicitations sont appelées forces internes. Le matériau doit être suffisamment résistant pour supporter l’action des forces internes sans se détériorer : c’est là l’essence même de l’étude de la résistance des matériaux.
  • 10. 2- Actions Effort normal (N) : C’est la force interne exercée normale à la facette considérée. Effort tranchant (T) : C’est la force interne exercée tangente à la facette considérée. Moment fléchissant ou moment de flexion (Mf) : C’est le couple interne exercé autour de l’axe perpendiculaire au plan de structure étudiée. Moment de torsion (Mt) : C’est le couple interne exercé autour de l’axe de la poutre étudiée.
  • 11. 3- Contraintes En chaque point M d'un solide, il existe des forces intérieures que l'on met en évidence en effectuant une coupure du solide, par une surface S, en deux parties A et B. La partie A est en équilibre sous l'action des forces extérieures qui lui sont directement appliquées et des forces intérieures réparties sur la coupure. Considérons un point M de S. Soit dS un élément infinitésimal de la surface S entourant M et le vecteur unitaire, perpendiculaire en M à S et dirigé vers l'extérieur de la partie A. Nous appellerons cet ensemble facette en M. n n
  • 12. ( , ) d F T M n dS = Soit la force qui s'exerce sur cette facette. On appelle vecteur contrainte sur la facette en M, la quantité :n 3- Contraintes ( , ) ( , )T M n T M n− = − Le vecteur contraint peut être décomposé en sa composante suivant et sa projection sur la facette n
  • 13. 3- Contraintes x xy xz yx y yz zx zy z σ τ τ τ σ τ τ τ σ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ i j k ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ ( , ) ( , ) ( , )T M i T M j T M k Composantes sur
  • 14. 3- Contraintes 3.1- Equations d’équilibre Plan de contrainte xy 0xz zxτ τ= = 0yz zyτ τ= = 0zσ =
  • 15. 3- Contraintes Equilibre de translation selon x Equilibre de translation selon y Equilibre de translation selon y
  • 16. 3- Contraintes 0xyx xz xf x y z τσ τ∂∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ 0yx y yz yf x y z τ σ τ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ 0zyzx z zf x y z ττ σ∂∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ xy yxτ τ= xz zxτ τ= yz zyτ τ= Equilibre de l'état de contrainte en trois dimensions Equilibre de translation Equilibre de rotation
  • 17. 3- Contraintes 3.2- L’état de contrainte dans un plan selon des directions arbitraires
  • 18. 3- Contraintes x y x y x' xy x y x y y' xy x y x'y' xy cos2 sin 2 2 2 cos2 sin 2 2 2 sin 2 cos2 2 σ + σ σ − σ σ = + θ + τ θ σ + σ σ − σ σ = − θ − τ θ σ − σ τ = − θ + τ θ
  • 21. 3- Contraintes Direction et contrainte principale Dans le plan de contrainte , il existe 2 directions telles que – la contrainte normale est extrémale (max ou min) – les contraintes tangentielles sont nulles
  • 22. 3- Contraintes – directions principales valeurs principales – directions valeurs
  • 23. 4- Déformation Sous l'action des forces appliquées, les points du solide se déplacent. Il en résulte, pour des fibres infinitésimales de matière, des variations de longueur et des variations d'angle appelées déformations.
  • 25. 4- Déformation L'état de déformation en trois dimensions
  • 26. 4- Déformation L’état plan de déformation 0zε = 0yz zyγ γ= = 0xz zxγ γ= =
  • 27. 4- Déformation x y A B C A’ B’ C’ v u dy dx dx x v ∂ ∂ xd x u u ∂ ∂ + dy y u ∂ ∂ dy y v v ∂ ∂ + 1β 2β x u x v tan βtan βββ)B'A'(C'angle 2 π y v dy dyvdy y v vdy AC ACC'A' x u dx dxudx x u udx AB ABB'A' 2121 ∂ ∂ + ∂ ∂ ≈ +≈+=−= ∂ ∂ = −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ++ = − = ∂ ∂ = −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ++ = − = xy y x γ ε ε 4.1- Relation entre déplacement et déformation 2D
  • 29. 4- Déformation 4.2- L’état de déformation dans un plan selon des directions arbitraires
  • 30. 4- Déformation Composants de dx' sur axes x et y
  • 32. 4- Déformation Déformation selon des directions x' et y'
  • 33. 4- Déformation Cercle de Mohr 2 xy xy γ ε =
  • 34. 4- Déformation Direction et déformation principale Dans le plan de déformation , il existe 2 directions telles que – la déformation normale est extrémale (max ou min) – les déformations de cisaillements sont nulles
  • 35. 4- Déformation – directions principales valeurs principales – directions valeurs
  • 36. 4- Déformation Jauge de déformation Wheatstone Bridge
  • 37. 4- Déformation Quarter-Bridge Circuit Half-Bridge Circuit Full-Bridge Circuit Use of Dummy Gauge to Eliminate Temperature Effects
  • 39. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux 5.1- Essais de traction Matériaux ductiles : acier doux Matériaux ductiles : aluminium x xEσ ε=
  • 40. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux Striction Matériaux fragiles exemples : verre, béton, fonte
  • 41. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux On se souvient que la déformation est la "variation de longueur d'une longueur originellement unitaire" f i i i L L L L L ε − Δ = = fL iL longueur final longueur initial Cette déformation, appelé déformation norminale, est d'une grande utilité dans les applications courants Déformations réelles Pour de grandes déformation, cependand, on a quelquefois à la déformation réelle, qu'on définit comme étant la somme des déformations "instantanées" L L ε ε Δ = Δ =∑ ∑ L longueur instantané LΔ Lallongement de 0LΔ → 0 ln f i L f L i LdL d L L ε ε ε= = =∫ ∫ on obtientLorsque
  • 42. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux 5.2- Essais divers Essai de compression Essai de fatigue courbe de Wöhler Essai de fluage sur métal à haute température fluage d'une éprouvette de béton comprimé Essai brésilien
  • 43. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux Rupture par fluage fluage Recouvrance Relaxation - Essai de résilience
  • 44. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux 5.3- Relations générales entre contraintes et déformations dans le domaine élastique Coefficient de Poisson y z x x ε ε ν ε ε = − = − x xEσ ε= 0 0,5ν≤ ≤ 0,3ν = La valeur accordée à bon nombre de matériaux métalliques est x y z E σ ε ε ν= = − Relations générales
  • 45. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux Déformation normale selon x due à xσ Déformation normale selon x due à yσ Déformation normale selon x due à zσxσ Déformation normale selon x due à zσ yσ Déformation normale selon x,y et z et Déformation de cisaillement selon x,y et z
  • 46. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux 0x y zσ σ σ= = = Relation entre E et G 0x yε ε= =
  • 47. 5- Propriétés Mécaniques des Matériaux
  • 48. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section 6.1- Le centroïde de la section x A y A S ydA S xdA = = ∫ ∫ Moment statique ou premier moment de section Lorsqu'une section A dont le contour est de forme complexe peut être décompée en plusieur sous-sections simples Le centroïde de la section x y
  • 49. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section 6.2- Moment d'inertie de section Moment d'inertie ou seconde moment de section par rapport à l'axe des x et à l'axe des y Produit d'inertie Moment d'inertie polaire
  • 50. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section 6.3- Transfer d'axes parallèles
  • 51. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section ( ) ( ) ( )( ) 22 ' 22 ' ' ' ' cos sin ' cos sin ' ' cos sin cos sin x A A y A A x y A A I y dA y x dA I x dA x y dA I x y dA x y y x dA θ θ θ θ θ θ θ θ = = − = = + = = + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6.4- Rotation d'axes
  • 52. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section 6.5- Axes principaux Cercle de Mohr
  • 53. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section x i i i x A x A = ∑ ∑ 2 ix iix I I y A= +∑ ∑ 2 iy iyi I I x A= +∑ ∑ ixy iixi yi I I x y A= +∑ ∑ ii i y A y A = ∑ ∑ 2 x ix I I y A= − ∑ 2 y iy I I x A= − ∑ xy ix y I I xy A= − ∑ 6.6- Applications ( ) 2 i iix x I I y y A= + −∑ ∑ ( ) 2 i iy yi I I x x A= + −∑ ∑ ( )( )i iix y xi yi I I x x y y A= + − −∑ ∑ 2 2 i i iix x I I y A y A= + −∑ ∑ ∑ 2 2 i i i iy y I I x A x A= + −∑ ∑ ∑ i i iix y xi yi I I x y A xy A= + −∑ ∑ ∑ ou bien y x y
  • 54. 6- Caractéristiques Géométriques d’une Section ? n 1 2 3 ix iy iA i ix A iiy A i iix y A 2 i ix A 2 iiy A ix I iy I i ix y I i i i x A x A = ∑ ∑ ii i y A y A = ∑ ∑ i ix A∑iA∑Σ 2 i ix A∑iiy A∑ 2 iiy A∑ iixy A∑ ix I∑ iy I∑ i ix y I∑ 2 2 i i iix x I I y A y A= + −∑ ∑ ∑ 2 2 i i i iy y I I x A x A= + −∑ ∑ ∑ i i iix y xi yi I I x y A xy A= + −∑ ∑ ∑ tan 2 ( ) / 2 x y x y I I I θ − = − 2 2 max min 2 2 x y x y x y I I I I I I + −⎛ ⎞ = ± +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Tableau de calcul
  • 55. 7- Types d’Appuis 7.1- Système Plans a.) Encastrement b.) Articulation ou rotule 0 degré de liberté 3 composantes de réaction 1 degré de liberté 2 composantes de réaction
  • 56. 7- Types d’Appuis c.) Glissière - Glissière avec articulation d.) Rouleau 1 degré de liberté 2 composantes de réaction 2 degré de liberté 1 composante de réaction 2 degré de liberté 1 composante de réaction
  • 57. 7- Types d’Appuis e.) Appui déformable, appui élastique Un appui est dit déformable lorsqu'il peut subir des déplacements suivant les directions de certaines composantes de réaction Un appui déformable est dit élastique lorsque la composante de déplacement considérée est une fonction linéaire de la composante de réaction correspondante
  • 58. 7- Types d’Appuis f.) Appui concordants, appui non concordants On dit que les appuis sont concordants lorsque les composantes de réaction sont toutes nulles en l'absence de sollicitations extérieures Pour les systèmes hyperstatiques, le manque de concordance d'un appui est représenté par le déplacement (translation ou rotation) qu'il subit depuis la position concordante jusqu'à la position réelle Pour les systèmes isostatiques quant à leurs appuis, les réactions de liaison sont obtenus uniquement grâce aux équations d'équilibre et les appuis sont toujours concordants
  • 59. 7- Types d’Appuis 7.2- Système Spatiaux Encastrement Articulation 0 degré de liberté 6 composantes de réaction 1 degré de liberté 5 composantes de réaction
  • 60. 7- Types d’Appuis Appui sphéreique Rouleau 3 degré de liberté 3 composantes de réaction 5 degré de liberté 1 composantes de réaction
  • 61. 7- Types d’Appuis 7.3- Détermination des réactions d'appuis Systéme plan Équilibres de translation : Suivante axe X : ΣFx = 0 Suivante axe Y : ΣFy = 0 Équilibres de rotation : Autour de l’axe Z : ΣMz = 0 = 1R 2R 3R
  • 62. 8- Eléments de Réduction 8.1- Les hypothèses de RDM pour les poutres Une poutre est définie par le déplacement d'une aire de centre de gravité G le long d'une fibre moyenne G0G1. Cette section reste perpendiculaire à la fibre moyenne Après déformation de la poutre, les sections normales à la fibre moyenne reste planes et orthogonales à la fibre déformée Hypothèse de Navier-Bernoulli
  • 63. 8- Eléments de Réduction Dans une section éliognée des points d'application des forces concentrées (forces données et réactions d'appuis), les contraintes et les déformations ne dépendent que de la résultante et du moment résultant du système de forces dans cette section Principe de Saint Venant
  • 64. 8- Eléments de Réduction 8.2- Pricipe de la coupe - Eléments de réduction
  • 65. 8- Eléments de Réduction
  • 66. 8- Eléments de Réduction
  • 67. 8- Eléments de Réduction Convention du sign N > 0 T > 0 M > 0
  • 68. 8- Eléments de Réduction 8.3- Détermination des éléments de réduction Métode de coupure - Détermination des réactions En utilisant les équations d'équilibre - Coupe la structure En utilisant le pricipe de la coupe - Détermination des éléments de réduction En utilisant les équations d'équilibre
  • 69. 8- Eléments de Réduction ; - Diagram des éléments de réduction
  • 70. 8- Eléments de Réduction Métode d'intégration Relations entre q, T, M
  • 71. 8- Eléments de Réduction Cas générale: relations entre n,N et q, T, M
  • 72. 9- Traction et Compression Simple 9.1- Poutre sollicitée par son poids propre, en traction
  • 73. 9- Traction et Compression Simple
  • 74. 9- Traction et Compression Simple
  • 75. 9- Traction et Compression Simple 9.2- Poutre de section variable et poutre d'égale résistance
  • 76. 9- Traction et Compression Simple 9.3- Pièce formée de deux matériaux 1 i i i n k k k E N N E = Ω = Ω∑ Cas général (n matériaux différents)
  • 77. 9- Traction et Compression Simple 9.4- Enveloppe cylindrique en paroi mince soumise à pression Formule des chaudiers
  • 78. 10- Flexion Pure 10.1- Introduction
  • 79. 10- Flexion Pure 10.2- Flexion pure en régime élastique
  • 80. 10- Flexion Pure x y y ds a y s R R ε − = = = x x y Ey E R σ ε − = =
  • 82. 10- Flexion Pure 10.2.1- Relation moment fléchissant - courbure
  • 83. 10- Flexion Pure 10.2.2- Relation moment fléchissant - contrainte x x y Ey E R σ ε − = = z x z C y I σ = − z x z M y I σ = (Equation de Navier) / M M I v W σ = = /W I v= Module de flexion élastique
  • 92. 11- Flexion Cisaillante 11.1- Distribution des Contraintes de Cisaillement Théorie Approchée de Jourawski
  • 93. 11- Flexion Cisaillante Contrainte de cisaillement Contrainte rasante
  • 97. 11- Flexion Cisaillante 11.2- Exemple de répartion des Contraintes de Cisaillement
  • 99. 11- Flexion Cisaillante 11.3- Déformations résultant des contraintes tangentielles
  • 100. 11- Flexion Cisaillante 11.4- Contrainte induite par Ty et contrainte tangentielle résultante
  • 105. 11- Flexion Cisaillante 11.5- Contrainte tangentielle dues à Ty dans les poutre en parois minces à section ouverte. Flux de cisaillement
  • 109. 11- Flexion Cisaillante 11.6- Centre de cisaillement Flux de cisaillement
  • 110. 12- Flexion Gauche 12.1- Etudes de la flexion gauche dans les axes principaux d'inertie
  • 112. 12- Flexion Gauche 12.2- Etudes de la flexion gauche dans les axes orthogonaux quelconques
  • 113. 12- Flexion Gauche 2 3 2 2 2 3 3 2 3 3 2 3 E E P I C R R E E I P C R R ⎧ − − =⎪ ⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩
  • 119. 13- Flexion Composée 13.1- Centre de pression - Noyau central
  • 120. 13- Flexion Composée 13.2- Détermination du noyau central
  • 121. 13- Flexion Composée Tracé point par point du contour du noyau central
  • 124. 13- Flexion Composée 13.3- Applications de la notion de noyau central - Les constructions réalisées en matériaux résistant mal en traction
  • 125. 13- Flexion Composée - Béton précontraint
  • 126. 13- Flexion Composée - Flexion composée des poutres en matériaux ne restant pas à la traction
  • 129. 14- Flexion des pièces courbes
  • 130. 14- Flexion des pièces courbes
  • 131. 14- Flexion des pièces courbes
  • 132. 14- Flexion des pièces courbes
  • 133. 14- Flexion des pièces courbes
  • 134. 14- Flexion des pièces courbes
  • 135. 14- Flexion des pièces courbes
  • 136. 14- Flexion des pièces courbes
  • 137. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  • 138. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  • 139. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique 15.1- Axe neutre plastic
  • 140. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  • 141. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  • 142. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  • 143. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  • 144. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique 15.2- Flexion élasto-plastique
  • 145. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  • 146. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
  • 147. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique 15.3- Rotule plastique
  • 148. 15- Comportement au-delà du Domaine Elastique 15.4- Contraintes résiduelles dues à une flexion élasto-plastique
  • 149. 16- Calcul des Déplacements de la Poutre Déplacement de translation : déplacement Déplacement Déplacement axial : allongement ou raccourcissement Déplacement transversal : flèche Déplacement de rotation : rotation
  • 150. La courbure à point x du au moment fléchissant 1 M R EI = − La courbure de la courbe )(xfy = à point x 2/32 )'1( "1 y y R + = 'y 2 ' 0y ≈petit MEIy −=" " M y EI = − ou T dx dM EIy −=−=)'"( )()""( xq dx dT EIy =−= EI xq yIV )( = Equation différentielle du 4e ordre, elle demande 4 conditions aux limites pour résoudre 16- Calcul des Déplacements de la Poutre
  • 151. 1- Conditions aux limites géométriques y est imposé θ='y est imposé 2- Conditions aux limites statiques "EIyM −= est imposé ou "y est imposé '''EIyT −= '''yest imposé ou est imposé 3- Conditions aux limites de passage Conditions de continuité et conditions d’équilibre d’un point 16- Calcul des Déplacements de la Poutre
  • 152. 17- Flambement des Pièces Longes 17.1- Compression excentrée d'une tige droite tenant compte du déplacement du point d'application de la charge
  • 153. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 154. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 155. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 156. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 157. 17- Flambement des Pièces Longes 17.2- Charge critique de flambement
  • 158. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 159. 17- Flambement des Pièces Longes 17.3- Compression centrée d'une tige ayant une légère courbure initiale
  • 160. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 161. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 162. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 163. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 164. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 165. 17- Flambement des Pièces Longes 17.4- Probleme d'Euler (Cas Idéal), Flambement par bifurcation de l'état d'éqilibre
  • 166. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 167. 17- Flambement des Pièces Longes 17.4- Différents cas de conditions d'appuis, longueur de flambement et contrainte critique
  • 168. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 169. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 170. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 171. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 172. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 173. 17- Flambement des Pièces Longes
  • 174. 18- Torsion 18.1- Torsion d'un barreau cylindrique
  • 179. 18- Torsion 18.2- Torsion d'un barreau non cylindrique
  • 181. 19- Concentration des Contraintes due à la force de traction
  • 182. 19- Concentration des Contraintes Les formules extraits de
  • 183. 19- Concentration des Contraintes
  • 184. 19- Concentration des Contraintes Pour le cas de réduction de section
  • 185. 19- Concentration des Contraintes Les graphiques pour déterminer K
  • 186. 19- Concentration des Contraintes
  • 187. 19- Concentration des Contraintes Pour les matériaux ductiles
  • 188. 19- Concentration des Contraintes ou à l'endroit de réduction de section due à la flextion
  • 189. 19- Concentration des Contraintes Cas le trou percé au milieu de la poutre, par de problème de concentration des contraintes
  • 190. 19- Concentration des Contraintes La distribution des contraintes à l'endroit de réduction de section due à la torsion
  • 191. 20- Critères de déffaillance
  • 192. 20- Critères de déffaillance
  • 193. 20- Critères de déffaillance
  • 194. 20- Critères de déffaillance += (*)
  • 195. 20- Critères de déffaillance (*)
  • 196. 20- Critères de déffaillance
  • 197. 20- Critères de déffaillance
  • 198. 20- Critères de déffaillance