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EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS:

Ejercicio nº 1.-

Simplifica la siguiente fracción algebraica:

           2 x 3 + 10 x 2 + 16 x + 8
            4 x 3 + 8x 2 − 4x − 8


Ejercicio nº 2.-

Calcula y simplifica:

     x 4 − 3x 2 + 2x x 2 − 6x + 9
a)                  ⋅
       x 2 − 2x + 1    x 2 + 2x

     2 x + 4 2 x − 14
b)          −
      x+4      x −5


Ejercicio nº 3.-

Descompón en factores el dividendo y el divisor, y luego simplifica:

     3x 3 − 3x
      x5 − x


Ejercicio nº 4.-

Efectúa y simplifica:

   1              1 
a)  + x  ⋅  1 −      
   x            x + 1

             1      2x
b) 1 +           −
           2x − 1 4 x 2 − 1


Ejercicio nº 5.-


Calcula y simplifica:

       1    2x − 1 3x − 1
a)        +       −
     x −x
       2
             x −1    x

     x 2 − 6 x + 9 2 x − 10
b)                 :
     x 2 + 2 x − 15 x 2 − 25
Ejercicio nº 6.-

Descompón en factores el dividendo y el divisor y después simplifica:

          x 3 + 7 x 2 + 12 x
        x + 3 x 2 − 16 x − 48
         3




Ejercicio nº 7.-

Opera y simplifica:

        1         1 
a)  x − 2  ⋅  x + 2 
       x         x 

     x +1     2+ x
b)        +
     x − 2 x2 − 4x + x


Ejercicio nº 8.-

Descompón en factores el numerador y el denominador, y luego simplifica.

        x 3 − 49 x
        x 4 − 7x 3


Ejercicio nº 9.-

Opera y simplifica:

      2x  2 x     
a)       :      − 1
     x +1  x +1 
           

     x − 2 1 − 3x 2x 2 + 3
b)        −      +
      2x    3x 2   6x 4
RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS:

Ejercicio nº 1.-

Solución:

Descomponemos factorialmente el numerador y el denominador:

• Numerador → Sacamos factor común 2 y aplicamos la regla de Ruffini :

   2x3 + 10x2 + 16x + 8 = 2(x 3 + 5x 2 + 8x + 4)

                              1       5        8       4
                    −2            −2       −6          −4
                              1       3        2       0



   Volvemos a aplicar la regla de Ruffini y queda así :


   2x + 10x + 16x + 8 = 2 (x + 2) (x + 1)
     3          2                                       2



• Denominador → Sacamos factor común 4 y aplicamos la regla de Ruffini :
   4x + 8x − 4x − 8 = 4(x + 2x − x − 2)
     3    2              3    2



                                  1       2 −1 −2
                         −2               −2       0        2
                                  1       0 −1              0

   Ahora aplicamos identidades notables y queda así:

   4x + 8x − 4x − 8 = 4 (x + 2) (x + 1) (x − 1)
     3      2



• Simplificación:

                                   2 ( x + 2 ) ( x + 1)     ( x + 2) x + 2
                                                            2
   2 x 3 + 10 x 2 + 16 x + 8
                             =                            =          =
    4x + 8x − 4x − 8
         3      2
                               4 ( x + 2 )( x + 1)( x − 1) 2 ( x − 1) 2 x − 2


Ejercicio nº 2.-

Solución:

a) Efectuamos el producto:

   x 4 − 3 x 2 + 2x x 2 − 6 x + 9
                   ⋅              =
                                                   (            )(
                                    x 4 − 3x 2 + 2x ⋅ x 2 − 6x + 9       )
     x 2 − 2x + 1      x 2 + 2x                         (
                                        x 2 − 2x + 1 ⋅ x 2 + 2 x)(   )
   Factorizamos para simplificar:
• x4 − 3x2 + 2x = x (x3 − 3x + 2)

        Aplicamos Ruffini para calcular las raíces de las ecuación x − 3x + 2 = 0:
                                                                                                              3



                                        1           0     −3           2
                             1                      1         1       −2
                                        1           1     −2           0




   Volvemos a aplicar la regla de Ruffini y queda así :

        x − 3x + 2x = x (x − 1) (x + 2)
         4         2                            2



   • x − 6x + 9 = (x − 3)
         2                              2


   • x − 2x + 1 = (x − 1)
         2                              2


   • x + 2x = x (x + 2)
         2




   Por tanto:

    (x   4
                         )(
             − 3 x 2 + 2x ⋅ x 2 − 6 x + 9               ) = x ( x − 1) ( x + 2 ) ⋅ ( x − 3 )
                                                                           2                        2

                                                                                                        = ( x − 3)
                                                                                                                     2

             ( x − 2x + 1) ⋅ ( x
               2                   2
                                       + 2x     )                     ( x − 1)
                                                                                 2
                                                                                     ⋅ x ( x + 2)


b) m.c.m. ( x + 4 ) , ( x − 5 )  = ( x + 4 )( x − 5 )
                                

    2 x + 4 2 x + 14 ( 2 x + 4 )( x − 5 ) ( 2 x − 14 )( x + 4 )
           −        =                    −                      =
     x+4      x −5    ( x + 4 )( x − 5 ) ( x + 4 )( x − 5 )

        2 x 2 − 10 x + 4 x − 20 2 x 2 + 8 x − 14 x − 56 2 x 2 − 6 x − 20 − 2 x 2 + 6 x + 56
    =                          −                       =                                    =
            ( x + 4 )( x − 5 )     ( x + 4) ⋅ ( x − 5)           ( x + 4) ⋅ ( x − 5)

               36             36
    =                     = 2
        ( x + 4 )( x − 5 ) x − x − 20

Ejercicio nº 3.-


Solución:

3x 3 − 3x 3x x − 1
         =
               2

                   =
                        (     )
                       3x x 2 − 1
                                  = 2
                                     3              (             )
 x −x
   5
           x x −1
              4
                       (     )
                     x x −1 x +1
                        2       2
                                   x +1     (            )(            )
En el primer paso sacamos factor común y en el segundo paso aplicamos el producto notable
a2 − b2 = (a − b) (a + b) a la expresión x4 − 1.
Ejercicio nº 4.-


Solución:

a) Efectuamos cada paréntesis y luego multiplicamos:

   1             1  1+ x 2 x + 1− 1 1+ x 2     x   1+ x 2
    + x  ⋅ 1 −      =     ⋅        =       ⋅     =
   x           x + 1  x      x +1     x      x +1 x +1

b) Observamos que 4x2 −1 = (2x − 1 ) (2x + 1).

                                        (     )
    Así, el m.c.m. 1, ( 2 x − 1) , 4 x 2 − 1  = ( 2 x − 1)( 2 x + 1) .
                                             

   Luego:

               1       2x    ( 2x − 1)( 2x + 1)         2x + 1                 2x
   1+              − 2     =                    +                    −                     =
            2 x − 1 4 x − 1 ( 2 x − 1)( 2 x + 1) ( 2 x − 1)( 2 x + 1) ( 2 x − 1)( 2 x + 1)

        4 x 2 − 1 + 2x + 1 − 2x    4x 2
    =                           =
                4x − 1
                    2
                                  4x 2 − 1


Ejercicio nº 5.-


Solución:

                 (       )
a) m.c.m.  x 2 − x , ( x − 1) , x  = x ( x − 1)
                                  

      1    2x − 1 3 x − 1        1      x ( 2 x − 1) ( 3 x − 1)( x − 1)
         +       −        =           +             −                   =
    x −x2
            x −1     x      x ( x − 1) x ( x − 1)         x ( x − 1)

             1      2 x 2 − x 3 x 2 − 3 x − x + 1 1 + 2x 2 − x − 3 x 2 + 3 x + x − 1
    =             +           −                  =                                   =
        x ( x − 1) x ( x − 1)       x ( x − 1)                x ( x − 1)


        − x 2 + 3x x ( −x + 3) −x + 3
    =              =            =
        x ( x − 1)   x ( x − 1)   x −1

b) Efectuamos el cociente:

    x 2 − 6 x + 9 2 x − 10
                  : 2
                                    (             )(
                             x 2 − 6 x + 9 x 2 − 25
                           = 2
                                                             )
    x 2 + 2 x − 15 x − 25          (               )
                             x + 2 x − 15 ( 2 x − 10 )

   Factorizamos para simplificar:

   • x 2 − 25 = (x − 5) (x + 5) → Producto notable
2x − 10 = 2(x − 5)
   • x − 6x + 9 = (x − 3) por ser producto notable
        2                   2



   • x + 2x − 15 = (x + 5) (x − 3), sale aplicando Ruffini
        2



   Así:

    ( x − 6 x + 9 )( x − 25 ) = ( x − 3 ) ( x − 5 )( x + 5 ) = x − 3
        2            2                   2



   ( x + 2x − 15 ) ( 2x − 10 ) ( x + 5 )( x − 3 ) 2 ( x − 5 ) 2
        2




Ejercicio nº 6.-

Solución:

• Numerador → Sacamos factor común y descomponemos en factores el polinomio de grado 2
  que nos queda:

   x3 + 7x2 + 12x = x(x2 + 7x + 12)

   Aplicamos Ruffini y queda así:

   x + 7x + 12x = x(x + 4) (x + 3)
    3       2



• Denominador → Descomponemos aplicando Ruffini:

                      1     3 −16 −48
                4           4   28     48
                      1     7   12      0



   x + 7x + 12 es una expresión de 2º grado , que coincide con la del numerador. Así,
    2

   finalmente, el denominador descompuesto en factores será: x + 3 x − 16x − 48 = (x − 4) (x + 4)
                                                              3      2

   (x + 3)

• Simplificación de la fracción algebraica:

      x 3 + 7 x 2 + 12 x   x ( x + 4 )( x + 3 )      x
                         =                        =
   x + 3 x − 16 x − 48 ( x − 4 )( x + 4 )( x + 3 ) x − 4
    3       2




Ejercicio nº 7.-

Solución:

a) Observamos que tenemos el producto notable (a + b) · (a − b) = a − b .
                                                                       2   2



   Así:
     1         1         1   x6 − 1
    x − 2  ⋅  x − 2  = x2 − 4 =
       x         x         x     x4


                                     (            )
b) Calculamos el m.c.m. ( x − 2 ) , x 2 − 4 x + 4  que es ( x − 2 ) .
                                                   
                                                                     2



   x − 4x + 4 = (x − 2)
    2                   2



   Luego:

    x +1    2+ x       ( x + 1)( x − 2 ) 2 + x x 2 − 2 x + x − 2 + 2 + x       x2
         +           =                  +            =                   =
    x − 2 ( x − 2 )2       ( x − 2)
                                    2
                                          ( x − 2)
                                                   2
                                                        ( x − 2)
                                                                 2
                                                                           ( x − 2)
                                                                                    2




Ejercicio nº 8.-

Solución:


           = 3
              (
x 3 − 49 x x x − 49
                2
                       )=
                          x ( x − 7 )( x + 7 ) x + 7
                                              = 2
x − 7x
  4      3
             x ( x − 7)       x3 ( x − 7)       x

En el primer paso sacamos factor común; en el segundo paso aplicamos la identidad notable
a − b = (a + b) (a − b) a la expresión x − 49
 2    2                                 2




Ejercicio nº 9.-

Solución:

a) El paréntesis da prioridad a la resta:

     2x       2x   x +1 x −1
         −1=     −     =
    x +1     x +1 x +1 x +1

   Efectuamos el cociente:

     2x x − 1      2 x ( x + 1)   2x
         :     =                =
    x + 1 x + 1 ( x + 1)( x − 1) x − 1

b) m.c.m. (2x, 3x , 6x ) = 6x
                   2       4    4



   Así:

    x − 2 1 − 3 x 2 x 2 + 3 3 x ( x − 2 ) 2 x (1 − 3 x ) 2 x 2 + 3
                               3             2

         −       +         =             −              +          =
     2x    3x 2     6x 4        6x 4           6x 4        6x4


   =                                        =         =
                                                       (
     3 x 4 − 6 x 3 − 2x 2 + 6 x 3 + 2x 2 + 3 3 x 4 + 3 3 x + 1
                                                          4
                                                              )=
                                                                 x4 + 1
                          4                        4        4
                      6x                       6x        6x       2x 4
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  • 1. EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS: Ejercicio nº 1.- Simplifica la siguiente fracción algebraica: 2 x 3 + 10 x 2 + 16 x + 8 4 x 3 + 8x 2 − 4x − 8 Ejercicio nº 2.- Calcula y simplifica: x 4 − 3x 2 + 2x x 2 − 6x + 9 a) ⋅ x 2 − 2x + 1 x 2 + 2x 2 x + 4 2 x − 14 b) − x+4 x −5 Ejercicio nº 3.- Descompón en factores el dividendo y el divisor, y luego simplifica: 3x 3 − 3x x5 − x Ejercicio nº 4.- Efectúa y simplifica: 1   1  a)  + x  ⋅  1 −  x   x + 1 1 2x b) 1 + − 2x − 1 4 x 2 − 1 Ejercicio nº 5.- Calcula y simplifica: 1 2x − 1 3x − 1 a) + − x −x 2 x −1 x x 2 − 6 x + 9 2 x − 10 b) : x 2 + 2 x − 15 x 2 − 25
  • 2. Ejercicio nº 6.- Descompón en factores el dividendo y el divisor y después simplifica: x 3 + 7 x 2 + 12 x x + 3 x 2 − 16 x − 48 3 Ejercicio nº 7.- Opera y simplifica:  1   1  a)  x − 2  ⋅  x + 2   x   x  x +1 2+ x b) + x − 2 x2 − 4x + x Ejercicio nº 8.- Descompón en factores el numerador y el denominador, y luego simplifica. x 3 − 49 x x 4 − 7x 3 Ejercicio nº 9.- Opera y simplifica: 2x  2 x  a) : − 1 x +1  x +1   x − 2 1 − 3x 2x 2 + 3 b) − + 2x 3x 2 6x 4
  • 3. RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS: Ejercicio nº 1.- Solución: Descomponemos factorialmente el numerador y el denominador: • Numerador → Sacamos factor común 2 y aplicamos la regla de Ruffini : 2x3 + 10x2 + 16x + 8 = 2(x 3 + 5x 2 + 8x + 4) 1 5 8 4 −2 −2 −6 −4 1 3 2 0 Volvemos a aplicar la regla de Ruffini y queda así : 2x + 10x + 16x + 8 = 2 (x + 2) (x + 1) 3 2 2 • Denominador → Sacamos factor común 4 y aplicamos la regla de Ruffini : 4x + 8x − 4x − 8 = 4(x + 2x − x − 2) 3 2 3 2 1 2 −1 −2 −2 −2 0 2 1 0 −1 0 Ahora aplicamos identidades notables y queda así: 4x + 8x − 4x − 8 = 4 (x + 2) (x + 1) (x − 1) 3 2 • Simplificación: 2 ( x + 2 ) ( x + 1) ( x + 2) x + 2 2 2 x 3 + 10 x 2 + 16 x + 8 = = = 4x + 8x − 4x − 8 3 2 4 ( x + 2 )( x + 1)( x − 1) 2 ( x − 1) 2 x − 2 Ejercicio nº 2.- Solución: a) Efectuamos el producto: x 4 − 3 x 2 + 2x x 2 − 6 x + 9 ⋅ = ( )( x 4 − 3x 2 + 2x ⋅ x 2 − 6x + 9 ) x 2 − 2x + 1 x 2 + 2x ( x 2 − 2x + 1 ⋅ x 2 + 2 x)( ) Factorizamos para simplificar:
  • 4. • x4 − 3x2 + 2x = x (x3 − 3x + 2) Aplicamos Ruffini para calcular las raíces de las ecuación x − 3x + 2 = 0: 3 1 0 −3 2 1 1 1 −2 1 1 −2 0 Volvemos a aplicar la regla de Ruffini y queda así : x − 3x + 2x = x (x − 1) (x + 2) 4 2 2 • x − 6x + 9 = (x − 3) 2 2 • x − 2x + 1 = (x − 1) 2 2 • x + 2x = x (x + 2) 2 Por tanto: (x 4 )( − 3 x 2 + 2x ⋅ x 2 − 6 x + 9 ) = x ( x − 1) ( x + 2 ) ⋅ ( x − 3 ) 2 2 = ( x − 3) 2 ( x − 2x + 1) ⋅ ( x 2 2 + 2x ) ( x − 1) 2 ⋅ x ( x + 2) b) m.c.m. ( x + 4 ) , ( x − 5 )  = ( x + 4 )( x − 5 )   2 x + 4 2 x + 14 ( 2 x + 4 )( x − 5 ) ( 2 x − 14 )( x + 4 ) − = − = x+4 x −5 ( x + 4 )( x − 5 ) ( x + 4 )( x − 5 ) 2 x 2 − 10 x + 4 x − 20 2 x 2 + 8 x − 14 x − 56 2 x 2 − 6 x − 20 − 2 x 2 + 6 x + 56 = − = = ( x + 4 )( x − 5 ) ( x + 4) ⋅ ( x − 5) ( x + 4) ⋅ ( x − 5) 36 36 = = 2 ( x + 4 )( x − 5 ) x − x − 20 Ejercicio nº 3.- Solución: 3x 3 − 3x 3x x − 1 = 2 = ( ) 3x x 2 − 1 = 2 3 ( ) x −x 5 x x −1 4 ( ) x x −1 x +1 2 2 x +1 ( )( ) En el primer paso sacamos factor común y en el segundo paso aplicamos el producto notable a2 − b2 = (a − b) (a + b) a la expresión x4 − 1.
  • 5. Ejercicio nº 4.- Solución: a) Efectuamos cada paréntesis y luego multiplicamos: 1   1  1+ x 2 x + 1− 1 1+ x 2 x 1+ x 2  + x  ⋅ 1 − = ⋅ = ⋅ = x   x + 1 x x +1 x x +1 x +1 b) Observamos que 4x2 −1 = (2x − 1 ) (2x + 1). ( ) Así, el m.c.m. 1, ( 2 x − 1) , 4 x 2 − 1  = ( 2 x − 1)( 2 x + 1) .   Luego: 1 2x ( 2x − 1)( 2x + 1) 2x + 1 2x 1+ − 2 = + − = 2 x − 1 4 x − 1 ( 2 x − 1)( 2 x + 1) ( 2 x − 1)( 2 x + 1) ( 2 x − 1)( 2 x + 1) 4 x 2 − 1 + 2x + 1 − 2x 4x 2 = = 4x − 1 2 4x 2 − 1 Ejercicio nº 5.- Solución: ( ) a) m.c.m.  x 2 − x , ( x − 1) , x  = x ( x − 1)   1 2x − 1 3 x − 1 1 x ( 2 x − 1) ( 3 x − 1)( x − 1) + − = + − = x −x2 x −1 x x ( x − 1) x ( x − 1) x ( x − 1) 1 2 x 2 − x 3 x 2 − 3 x − x + 1 1 + 2x 2 − x − 3 x 2 + 3 x + x − 1 = + − = = x ( x − 1) x ( x − 1) x ( x − 1) x ( x − 1) − x 2 + 3x x ( −x + 3) −x + 3 = = = x ( x − 1) x ( x − 1) x −1 b) Efectuamos el cociente: x 2 − 6 x + 9 2 x − 10 : 2 ( )( x 2 − 6 x + 9 x 2 − 25 = 2 ) x 2 + 2 x − 15 x − 25 ( ) x + 2 x − 15 ( 2 x − 10 ) Factorizamos para simplificar: • x 2 − 25 = (x − 5) (x + 5) → Producto notable
  • 6. 2x − 10 = 2(x − 5) • x − 6x + 9 = (x − 3) por ser producto notable 2 2 • x + 2x − 15 = (x + 5) (x − 3), sale aplicando Ruffini 2 Así: ( x − 6 x + 9 )( x − 25 ) = ( x − 3 ) ( x − 5 )( x + 5 ) = x − 3 2 2 2 ( x + 2x − 15 ) ( 2x − 10 ) ( x + 5 )( x − 3 ) 2 ( x − 5 ) 2 2 Ejercicio nº 6.- Solución: • Numerador → Sacamos factor común y descomponemos en factores el polinomio de grado 2 que nos queda: x3 + 7x2 + 12x = x(x2 + 7x + 12) Aplicamos Ruffini y queda así: x + 7x + 12x = x(x + 4) (x + 3) 3 2 • Denominador → Descomponemos aplicando Ruffini: 1 3 −16 −48 4 4 28 48 1 7 12 0 x + 7x + 12 es una expresión de 2º grado , que coincide con la del numerador. Así, 2 finalmente, el denominador descompuesto en factores será: x + 3 x − 16x − 48 = (x − 4) (x + 4) 3 2 (x + 3) • Simplificación de la fracción algebraica: x 3 + 7 x 2 + 12 x x ( x + 4 )( x + 3 ) x = = x + 3 x − 16 x − 48 ( x − 4 )( x + 4 )( x + 3 ) x − 4 3 2 Ejercicio nº 7.- Solución: a) Observamos que tenemos el producto notable (a + b) · (a − b) = a − b . 2 2 Así:
  • 7. 1  1 1 x6 − 1  x − 2  ⋅  x − 2  = x2 − 4 =  x   x  x x4  ( ) b) Calculamos el m.c.m. ( x − 2 ) , x 2 − 4 x + 4  que es ( x − 2 ) .  2 x − 4x + 4 = (x − 2) 2 2 Luego: x +1 2+ x ( x + 1)( x − 2 ) 2 + x x 2 − 2 x + x − 2 + 2 + x x2 + = + = = x − 2 ( x − 2 )2 ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 Ejercicio nº 8.- Solución: = 3 ( x 3 − 49 x x x − 49 2 )= x ( x − 7 )( x + 7 ) x + 7 = 2 x − 7x 4 3 x ( x − 7) x3 ( x − 7) x En el primer paso sacamos factor común; en el segundo paso aplicamos la identidad notable a − b = (a + b) (a − b) a la expresión x − 49 2 2 2 Ejercicio nº 9.- Solución: a) El paréntesis da prioridad a la resta: 2x 2x x +1 x −1 −1= − = x +1 x +1 x +1 x +1 Efectuamos el cociente: 2x x − 1 2 x ( x + 1) 2x : = = x + 1 x + 1 ( x + 1)( x − 1) x − 1 b) m.c.m. (2x, 3x , 6x ) = 6x 2 4 4 Así: x − 2 1 − 3 x 2 x 2 + 3 3 x ( x − 2 ) 2 x (1 − 3 x ) 2 x 2 + 3 3 2 − + = − + = 2x 3x 2 6x 4 6x 4 6x 4 6x4 = = = ( 3 x 4 − 6 x 3 − 2x 2 + 6 x 3 + 2x 2 + 3 3 x 4 + 3 3 x + 1 4 )= x4 + 1 4 4 4 6x 6x 6x 2x 4