Qu’est-ce que le bayésianisme objectif? Federica Russo Université catholique de Louvain
Dans cet exposé: <ul><li>Le calcul de la probabilité </li></ul><ul><ul><li>Axiomes, Conséquences, et Théorème de Bayes </l...
Le calcul de la probabilité <ul><li>Axiomes </li></ul><ul><ul><li>Soit  S  un ensemble d’énoncés et  P  une fonction qui s...
<ul><li>Conséquences: </li></ul><ul><li>a. P (  A) = 1    P (A) </li></ul><ul><li>b. P (A) = P (B) si dans tout mod èle ...
<ul><li>Indépendence unconditionnelle: </li></ul><ul><li>A et B sont unconditionnellement indépendents ssi  </li></ul><ul>...
Interprétations de la probabilité <ul><li>Classique/Logique </li></ul><ul><ul><li>Proba: rapport entre le nombre de cas fa...
Interprétations de la probabilité Une classification alternative <ul><li>Classique/Logique </li></ul><ul><li>Physique </li...
Interprétation classique <ul><li>Laplace, Pascal, Bernoulli (Jakob) </li></ul><ul><li>La proba est le rapport entre </li><...
Interprétation logique <ul><li>Généralisation de </li></ul><ul><li>l’interprétation classique </li></ul><ul><li>Basée sur ...
Interprétation fréquentiste <ul><li>La proba d’un attribut A dans une classe de référence finie B est la fréquence rélativ...
Interprétation propensionnelle <ul><li>La probabilité est dans le monde,  </li></ul><ul><li>non pas dans notre t ête … </l...
Bayésianisme <ul><li>Une position épistémologique sur le raisonnement scientifique </li></ul><ul><ul><li>Le raisonnement s...
Bayésianisme <ul><li>Une interprétation de la probabilité </li></ul><ul><ul><li>Les probas sont des degrés </li></ul></ul>...
Bayésianisme subjectif <ul><li>Probabilités et paris: </li></ul><ul><ul><li>Les probas sont les quotients de pari  </li></...
Problème… <ul><li>Aribitrarieté:  </li></ul><ul><li>Deux sujets avec les m ê mes infos </li></ul><ul><li>Peuvent choisir d...
Bayésianisme empiriquement basé <ul><li>Ajouter la contrainte « empirique »: </li></ul><ul><ul><li>Les degrés de croyance ...
Bayésianisme objectif <ul><li>Ajouter la contrainte empirique  et </li></ul><ul><li>la contrainte logique: </li></ul><ul><...
Contraintes empiriques <ul><li>Principe de vérité </li></ul><ul><ul><li>Si un sujet sait que  u  est vrai, son degré </li>...
Contraintes logiques <ul><li>Une extension du principe d’indifférence  </li></ul><ul><li>Principe d’entropie maximale </li...
Quels avantages? <ul><li>Pas d’arbitrarieté </li></ul><ul><li>Contenu empirique </li></ul><ul><li>Plusieurs source de « ev...
En résumé: <ul><li>Selons les bayésiens les probas doivent </li></ul><ul><li>satisfaires aux axiomes du calcul </li></ul><...
En résumé: <ul><li>Bayésien subjectif </li></ul><ul><ul><li>Je peux choisir toute valeur de proba entre 0 et 1 </li></ul><...
Desiderata: que voulons-nous d’une inteprétation?  <ul><li>Objectivité </li></ul><ul><ul><li>Rendre compte de l’objectivit...
Application: épidémiologie du cancer <ul><li>Problème:  </li></ul><ul><li>l’épidémiologie a un double objectif </li></ul><...
On marchande …   Parcimonie    Variété      Epistémologie   Calculi     Objectivité Bayes Obj Bayes Emp- B...
Vendu! <ul><li>Fréquentisme- cum -Bayésianisme objectif </li></ul><ul><ul><li>Le pluralisme est une option faisable </li><...
Application: modélisation causale  54  4  13  34  12  2 X 1 Economic development X 2 Social development X 3 Sanitary...
Probas bayésiennes objectives <ul><li>Intuitivement:  </li></ul><ul><li>Les résultats d’un modèle causal expriment une cro...
Test d’hypothèse <ul><li>Idée de base: </li></ul><ul><li>comparer l’hypothèse avec les observations </li></ul><ul><li>Élém...
Interprétation des probas <ul><li>D’un point de vue fréquentiste: </li></ul><ul><ul><li>Nous évaluons la proba d’obtenir <...
Example <ul><li>« le paramètre inconnu    se trouve dans l’intervalle </li></ul><ul><li>(  1 ,   2 ) , niveau de confia...
Hypothèse nulle contre hypothèse alternative <ul><li>On test l’hypothèse nulle contre </li></ul><ul><li>l’hypothèse altern...
La réponse du fréquentiste <ul><li>Les 2 hypothèses ne peuvent pas être traitées </li></ul><ul><li>de la même manière: </l...
La contre-réponse du bayésien <ul><li>Il n’y a pas de région de rejet a construire, </li></ul><ul><li>mais de probabilités...
Guide pour l’action <ul><li>Décisions pour les résultats des tests </li></ul><ul><ul><li>Probas bayésiennes objectives per...
Pourquoi des probas bayésienne objectives? <ul><li>Parce que: </li></ul><ul><li>1) elles ont du sens dans le cas unique </...
En résumé <ul><li>J’ai rappelé </li></ul><ul><ul><li>Le formalisme du calcul de la probabilité </li></ul></ul><ul><ul><li>...
Et en suite …? <ul><li>Le pluralisme est-il une position tenable ? </li></ul><ul><li>Dans quels autres contextes peut-on <...
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Russo Ihps Oct07 Objectivebayesianism

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Russo Ihps Oct07 Objectivebayesianism

  1. 1. Qu’est-ce que le bayésianisme objectif? Federica Russo Université catholique de Louvain
  2. 2. Dans cet exposé: <ul><li>Le calcul de la probabilité </li></ul><ul><ul><li>Axiomes, Conséquences, et Théorème de Bayes </li></ul></ul><ul><li>Interprétations du calcul </li></ul><ul><ul><li>Classique/Logique </li></ul></ul><ul><ul><li>Fréquentiste/Propensionnelle </li></ul></ul><ul><ul><li>Bayésienne </li></ul></ul><ul><li>Le bayésianisme </li></ul><ul><ul><li>Comme position épistémologique </li></ul></ul><ul><ul><li>Comme interprétation de la probabilité </li></ul></ul><ul><li>Bayésianisme s </li></ul><ul><ul><li>Subjectif </li></ul></ul><ul><ul><li>Empiriquement basé </li></ul></ul><ul><ul><li>Objectif </li></ul></ul><ul><li>Applications </li></ul><ul><ul><li>En epidemiologie du cancer </li></ul></ul><ul><ul><li>En modélisation causale </li></ul></ul>
  3. 3. Le calcul de la probabilité <ul><li>Axiomes </li></ul><ul><ul><li>Soit S un ensemble d’énoncés et P une fonction qui satisfait aux axiomes de Kolmogorov: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>1. P(A)  0 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>P(A) =1 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>si A est vrai dans tout modèle </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>3. P(A  B)= P(A) + P(B) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>si A, B sont mutuellement exclusifs </li></ul></ul></ul>
  4. 4. <ul><li>Conséquences: </li></ul><ul><li>a. P (  A) = 1  P (A) </li></ul><ul><li>b. P (A) = P (B) si dans tout mod èle A  B </li></ul><ul><li>c. P (A  B) = P (A) + P (B)  P (A  B) </li></ul><ul><li>Probabilité Conditionnelle: </li></ul><ul><li>P (A | B) = P (A  B) / P (B) if P (B)  0 </li></ul><ul><li>Théorème de Bayes: </li></ul><ul><li>P (B | A) = P (A | B) P (B) / P (A) </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Indépendence unconditionnelle: </li></ul><ul><li>A et B sont unconditionnellement indépendents ssi </li></ul><ul><li>P (A | B) = P (A) ou </li></ul><ul><li>P (A | B) = P (B) ou </li></ul><ul><li>P (A | B) = P (A) P (B) </li></ul><ul><li>Indépendence conditionnelle: </li></ul><ul><li>A est conditionnellement independent de B si C ssi </li></ul><ul><li>P (A | B  C) = P (A | C) </li></ul>
  6. 6. Interprétations de la probabilité <ul><li>Classique/Logique </li></ul><ul><ul><li>Proba: rapport entre le nombre de cas favorables </li></ul></ul><ul><ul><li>et le nombre de cas possibles </li></ul></ul><ul><li>Subjective </li></ul><ul><ul><li>Proba: expression quantitative du degrée </li></ul></ul><ul><ul><li>de croyance, support ou confirmation </li></ul></ul><ul><li>Objective </li></ul><ul><ul><li>Proba: expression quantitative d’une </li></ul></ul><ul><ul><li>charactéristique objective du monde </li></ul></ul>
  7. 7. Interprétations de la probabilité Une classification alternative <ul><li>Classique/Logique </li></ul><ul><li>Physique </li></ul><ul><ul><li>Fréquentiste </li></ul></ul><ul><ul><li>Propensionnelle </li></ul></ul><ul><li>Bayésienne </li></ul><ul><ul><li>Subjective </li></ul></ul><ul><ul><li>Empiriquement basée </li></ul></ul><ul><ul><li>Objective </li></ul></ul>
  8. 8. Interprétation classique <ul><li>Laplace, Pascal, Bernoulli (Jakob) </li></ul><ul><li>La proba est le rapport entre </li></ul><ul><li>le nombre de cas favorables et </li></ul><ul><li>le nombre de cas possibles. </li></ul><ul><li>Pensez au jeu de dés </li></ul><ul><li>Proba assignée en absence de « evidence » </li></ul><ul><li>Equipossibilité, ou le Principe d’indifférence </li></ul><ul><li>de Keynes </li></ul>
  9. 9. Interprétation logique <ul><li>Généralisation de </li></ul><ul><li>l’interprétation classique </li></ul><ul><li>Basée sur le principe d’indifférence </li></ul><ul><li>Donne un « account » le plus général </li></ul><ul><li>possible du degré de support </li></ul><ul><li>ou de confirmation </li></ul><ul><li>Pensez à la fonction c de Carnap </li></ul>
  10. 10. Interprétation fréquentiste <ul><li>La proba d’un attribut A dans une classe de référence finie B est la fréquence rélative de la recurrence de A en B (Venn) </li></ul><ul><li>Extension aux classes de références infinies par la limite de la fréquence (von Mises, Reichenbach) </li></ul>
  11. 11. Interprétation propensionnelle <ul><li>La probabilité est dans le monde, </li></ul><ul><li>non pas dans notre t ête … </li></ul><ul><li>La proba est une propension, disposition </li></ul><ul><li>ou tendence d’une situation physique </li></ul><ul><li>de délivrer un certain résultat ou </li></ul><ul><li>une fréquence </li></ul><ul><li>Popper voulez rendre compte </li></ul><ul><li>des probabilités en mécanique quantique </li></ul>
  12. 12. Bayésianisme <ul><li>Une position épistémologique sur le raisonnement scientifique </li></ul><ul><ul><li>Le raisonnement scientifique se fait en accord </li></ul></ul><ul><ul><li>avec le calcul de la probabilité </li></ul></ul><ul><ul><li>Cette position permet d’apprendre </li></ul></ul><ul><ul><li>de l’expérience (par conditionnalisation) </li></ul></ul><ul><ul><li>Le système formel impose des contraintes </li></ul></ul><ul><ul><li>sur les probabilités </li></ul></ul>
  13. 13. Bayésianisme <ul><li>Une interprétation de la probabilité </li></ul><ul><ul><li>Les probas sont des degrés </li></ul></ul><ul><ul><li>de croyance rationnelle </li></ul></ul><ul><ul><li>Differents bayesianimes sont </li></ul></ul><ul><ul><li>en désaccord sur comment former </li></ul></ul><ul><ul><li>ces degrés de croyance </li></ul></ul>
  14. 14. Bayésianisme subjectif <ul><li>Probabilités et paris: </li></ul><ul><ul><li>Les probas sont les quotients de pari </li></ul></ul><ul><ul><li>Un pari hollandais est une serie de paris: </li></ul></ul><ul><ul><li>(i) singulièrement acceptables par le parieur </li></ul></ul><ul><ul><li>(ii) collectivement portent à une perte, quoi qu’il arrive </li></ul></ul><ul><li>Statique de l’opinion: </li></ul><ul><ul><li>Si les degrés de croyance du parieur ne respettent pas les axiomes, le parieur est susceptible du pari hollandais </li></ul></ul><ul><ul><li>Si les degrés de croyance du parieur respettent les axiomes, le parieur n’est pas susceptible du pari hollandais </li></ul></ul><ul><li>Cinématique de l’opinion: </li></ul><ul><ul><li>La conditionnalisation est la seule règle cohérente pour mettre à jour les probas </li></ul></ul><ul><li>Obéissance au calcul est condition nécessaire et suffisante </li></ul><ul><li>pour la rationnalité </li></ul>
  15. 15. Problème… <ul><li>Aribitrarieté: </li></ul><ul><li>Deux sujets avec les m ê mes infos </li></ul><ul><li>Peuvent choisir des probas différentes, </li></ul><ul><li>tout en étant rationnels </li></ul>Solution… Le bayésianisme empiriquement basé et objectif imposent d’autres contraintes sur les probas
  16. 16. Bayésianisme empiriquement basé <ul><li>Ajouter la contrainte « empirique »: </li></ul><ul><ul><li>Les degrés de croyance se forment </li></ul></ul><ul><ul><li>à partir des fréquences connues </li></ul></ul>
  17. 17. Bayésianisme objectif <ul><li>Ajouter la contrainte empirique et </li></ul><ul><li>la contrainte logique: </li></ul><ul><ul><li>En présence d’infos empiriques, e.g. fréquences, </li></ul></ul><ul><ul><li>celles-ci doivent ê tre incorporées </li></ul></ul><ul><ul><li>En absence de toute infos, il faut être </li></ul></ul><ul><ul><li>le plus ambigu possible, c-à-d, </li></ul></ul><ul><ul><li>les probas tendent vers la valeure moyenne </li></ul></ul>
  18. 18. Contraintes empiriques <ul><li>Principe de vérité </li></ul><ul><ul><li>Si un sujet sait que u est vrai, son degré </li></ul></ul><ul><ul><li>de croyance en u , P( u ) = 1 </li></ul></ul><ul><li>Principe de calibration </li></ul><ul><ul><li>Si un sujet connaît que la « chance » de u est P*( u ), </li></ul></ul><ul><ul><li>son degré de croyance en u devrait être P( u )=P*( u ) </li></ul></ul><ul><li>Connaissance des fréquences </li></ul><ul><ul><li>Si un sujet sait que la fréquence relative </li></ul></ul><ul><ul><li>d’un événement est r , son degré de croyance </li></ul></ul><ul><ul><li>que le prochain cas se produira est r </li></ul></ul>
  19. 19. Contraintes logiques <ul><li>Une extension du principe d’indifférence </li></ul><ul><li>Principe d’entropie maximale </li></ul><ul><ul><li>Un sujet doit adopter, parmi toutes les fonctions </li></ul></ul><ul><ul><li>de probabilité qui satisfont aux contraintes </li></ul></ul><ul><ul><li>imposées par sa connaissance d’arrière plan, </li></ul></ul><ul><ul><li>une fonction P qui maximise l’entropie </li></ul></ul>
  20. 20. Quels avantages? <ul><li>Pas d’arbitrarieté </li></ul><ul><li>Contenu empirique </li></ul><ul><li>Plusieurs source de « evidence » </li></ul>
  21. 21. En résumé: <ul><li>Selons les bayésiens les probas doivent </li></ul><ul><li>satisfaires aux axiomes du calcul </li></ul><ul><li>Example: </li></ul><ul><ul><li>A= demain il va plevoir à Paris </li></ul></ul><ul><ul><li>P(A) est un degré de croyance en A </li></ul></ul><ul><ul><li>Alors, P(A)+P(  A)=1 </li></ul></ul><ul><ul><li>Je connai s seulement la probabilité physique </li></ul></ul><ul><ul><li>(fréquence ou propension) de A, </li></ul></ul><ul><ul><li>disons que cette proba est entre .2 et .3 </li></ul></ul>
  22. 22. En résumé: <ul><li>Bayésien subjectif </li></ul><ul><ul><li>Je peux choisir toute valeur de proba entre 0 et 1 </li></ul></ul><ul><li>Bayésien empiriquement basé </li></ul><ul><ul><li>Mon degré de croyance doit ê tre basé </li></ul></ul><ul><ul><li>sur ma connaissance empirique, </li></ul></ul><ul><ul><li>donc je dois choisir entre .2 et .3, </li></ul></ul><ul><ul><li>toute valeur sera acceptée </li></ul></ul><ul><li>Bayésien objectif </li></ul><ul><ul><li>Mon degré de croyance doit être basé </li></ul></ul><ul><ul><li>sur la connaissance empirique et </li></ul></ul><ul><ul><li>doit être les plus ambigu possible. </li></ul></ul><ul><ul><li>.3 est la valeure qui approche le plus .5 </li></ul></ul>
  23. 23. Desiderata: que voulons-nous d’une inteprétation? <ul><li>Objectivité </li></ul><ul><ul><li>Rendre compte de l’objectivité de la proba </li></ul></ul><ul><li>Calculi </li></ul><ul><ul><li>Expliquer comment raisonner sur la proba </li></ul></ul><ul><li>Épistémologie </li></ul><ul><ul><li>Expliquer comment connaître la proba </li></ul></ul><ul><li>Variété </li></ul><ul><ul><li>Faire face à la grande varieté d’énoncés probabilistes </li></ul></ul><ul><li>Parcimonie </li></ul><ul><ul><li>Être ontologiquement parcimonieux </li></ul></ul>
  24. 24. Application: épidémiologie du cancer <ul><li>Problème: </li></ul><ul><li>l’épidémiologie a un double objectif </li></ul><ul><ul><li>Établir un énoncé générique </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Les non-fumeurs ont un risque majeur (25%) de développer le cancer du poumon si leurs épouses sont des fumeurs </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Établir un énoncé singulier </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Michelle a un cancer du sein métastatique et elle survivra plus de 5 ans avec un probabilité de 0.4 </li></ul></ul></ul><ul><li>Ces deux énoncés sont probabilistes </li></ul>
  25. 25. On marchande …   Parcimonie    Variété      Epistémologie   Calculi     Objectivité Bayes Obj Bayes Emp- Basé Bayes Subj Freq Prop Class/ Log
  26. 26. Vendu! <ul><li>Fréquentisme- cum -Bayésianisme objectif </li></ul><ul><ul><li>Le pluralisme est une option faisable </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Énoncés génériques requièrent </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>une interprétation fréquentiste </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Énoncés singuliers requièrent </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>une interprétation bayesienne objective </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Le bayésianisme objectif a des vertus </li></ul></ul><ul><ul><li>pragmatiques </li></ul></ul>
  27. 27. Application: modélisation causale  54  4  13  34  12  2 X 1 Economic development X 2 Social development X 3 Sanitary infrastructures X 4 Use of sanitary infrastructures X 5 Age structure Y Mortality
  28. 28. Probas bayésiennes objectives <ul><li>Intuitivement: </li></ul><ul><li>Les résultats d’un modèle causal expriment une croyance (rationnelle) « evidence-based » sur des relations causales </li></ul><ul><li>Bayésianisme, basé empiriquement ou bayésianisme objectif </li></ul>
  29. 29. Test d’hypothèse <ul><li>Idée de base: </li></ul><ul><li>comparer l’hypothèse avec les observations </li></ul><ul><li>Éléments du test: </li></ul><ul><ul><li>Hypothèse nulle: la variation observée est aléatoire </li></ul></ul><ul><ul><li>Hypothèse alternative: la variation observée est réelle </li></ul></ul><ul><ul><li>Statistique de test </li></ul></ul><ul><li>L’hypothèse nulle est acceptée ou rejetée </li></ul><ul><li>selon la valeur-p chosie </li></ul>
  30. 30. Interprétation des probas <ul><li>D’un point de vue fréquentiste: </li></ul><ul><ul><li>Nous évaluons la proba d’obtenir </li></ul></ul><ul><ul><li>l’échantillon si l’hypothèse est vraie </li></ul></ul><ul><ul><li>« la probabilité de l’hypothèse » n’a pas de sens </li></ul></ul><ul><ul><li>car c’est un événement unique </li></ul></ul><ul><li>D’un point de vue bayésien: </li></ul><ul><ul><li>Nous pouvons évaluer la probabilité </li></ul></ul><ul><ul><li>d’une hypothèse </li></ul></ul>
  31. 31. Example <ul><li>« le paramètre inconnu  se trouve dans l’intervalle </li></ul><ul><li>(  1 ,  2 ) , niveau de confiance 95%» </li></ul><ul><li>Ce n’est pas la proba du paramètre! </li></ul><ul><li>Si on tire nombreux échantillons de la même taille et </li></ul><ul><li>on construit les mêmes intervalles autour de  , </li></ul><ul><li>on peut s’attendre que 95% des intervalles contiennent  </li></ul><ul><li>Le fréquentiste ne peut pas évaluer la proba </li></ul><ul><li>de l’hypothèse elle-même </li></ul>
  32. 32. Hypothèse nulle contre hypothèse alternative <ul><li>On test l’hypothèse nulle contre </li></ul><ul><li>l’hypothèse alternative </li></ul><ul><li>Acceptation ou rejet concernent directement </li></ul><ul><li>l’hypothèse nulle et in directement </li></ul><ul><li>l’hypothèse alternative </li></ul><ul><li>Sous l’interprétation bayésienne objective </li></ul><ul><li>les 2 hypothèses sont tout aussi probable, </li></ul><ul><li>au moins que « evidence » n’indique le contraire </li></ul>
  33. 33. La réponse du fréquentiste <ul><li>Les 2 hypothèses ne peuvent pas être traitées </li></ul><ul><li>de la même manière: </li></ul><ul><ul><li>Il est plus grave d’accepter l’hypothèse alternative </li></ul></ul><ul><ul><li>quand elle est fausse </li></ul></ul><ul><ul><li>que de rejeter l’hypothèse nulle quand elle est vraie </li></ul></ul><ul><li>Le fréquentiste doit limiter sa région de rejet </li></ul><ul><li>pour restreindre la probabilité </li></ul><ul><li>d’une erreur de type II </li></ul>
  34. 34. La contre-réponse du bayésien <ul><li>Il n’y a pas de région de rejet a construire, </li></ul><ul><li>mais de probabilités a posteriori à calculer </li></ul><ul><li>Le choix entre l’hypothèse nulle et </li></ul><ul><li>l’alternative est faite sur la base des a posteriori </li></ul>
  35. 35. Guide pour l’action <ul><li>Décisions pour les résultats des tests </li></ul><ul><ul><li>Probas bayésiennes objectives permettent </li></ul></ul><ul><ul><li>de décider entre les a posteriori des hypothèses </li></ul></ul><ul><li>Décisions en matière de politique publique </li></ul><ul><li>(sciences sociales) </li></ul><ul><li>Décisions en matière d’individus </li></ul><ul><li>(sciences médicale) </li></ul>
  36. 36. Pourquoi des probas bayésienne objectives? <ul><li>Parce que: </li></ul><ul><li>1) elles ont du sens dans le cas unique </li></ul><ul><li>2) elles ne laissent pas de place </li></ul><ul><li>à l’arbitrarieté </li></ul>
  37. 37. En résumé <ul><li>J’ai rappelé </li></ul><ul><ul><li>Le formalisme du calcul de la probabilité </li></ul></ul><ul><ul><li>Les majeures interprétations </li></ul></ul><ul><li>J’ai présenté le bayésianisme </li></ul><ul><ul><li>En tant que position épistémologique </li></ul></ul><ul><ul><li>En tant qu’interprétation de la probabilité </li></ul></ul><ul><li>J’ai distingué </li></ul><ul><ul><li>Le bayésianisme subjectif </li></ul></ul><ul><ul><li>Le bayésianisme empiriquement basé </li></ul></ul><ul><ul><li>Le bayésianisme objectif </li></ul></ul><ul><li>J’ai appliqué le bayésianisme objectif </li></ul><ul><ul><li>En épidémiologie du cancer </li></ul></ul><ul><ul><li>En modélisation causale </li></ul></ul>
  38. 38. Et en suite …? <ul><li>Le pluralisme est-il une position tenable ? </li></ul><ul><li>Dans quels autres contextes peut-on </li></ul><ul><li>appliquer le bayésianisme objectif? </li></ul><ul><li>… </li></ul>

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