Методы вычислений. Лекция 1, 2

Методы вычислений
Лекции 1, 2

Кафедра теоретической механики

Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
yudintsev@termech.ru

16 февраля 2013 г.

Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 16 февраля 2013 г. 1 / 55

1 Математическое моделирование
Компьютерное моделирование

2 Программное обеспечение
Коммерческое ПО
Свободное ПО
Математические библиотеки

3 Виды погрешности
Абсолютная и относительная погрешности
Погрешность функции

4 Машинная арифметика, стандарт IEEE-754
Стандарт IEEE-754
Ошибки

5 Задания


Литература

1 Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и
обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Выская школа,
2001.
2 Формалёв В. Ф. ,Ревизников Д. Л. Численные методы. М.:
Физматлит. 2004.
3 Дж. Голуб, Ч. Ван. Лоун, Матричные вычисления. М.: Мир, 1990.
4 Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие для вузов. 2-е
изд., испр. М.: Наука. 1987.
5 Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ алгебра, обыкновенные
дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1975.


Математическое моделирование

Начала математики

Первые элементы математики, как науки, возникли тысячи лет
назад в связи с необходимостью решения практических задач:
вычисления площадей, решения задач навигации (Вавилон,
Египет).
В Греции математика стала развиваться как “теоретическая ”
наука.
В XX веке с развитием техники появилось множество
практических задач, где необходимым или даже единственно
возможным было численное решение.



Моделирование

Решение практической задачи

Эксперимент Математическое моделирование

Моделирование – это замещение одного объекта (оригинала) другим
(моделью) и фиксация и изучение свойств модели. Замещение
производится с целью упрощения, удешевления, ускорения изучения
свойств оригинала.
Математическая модель – модель построенная с помощью
математических понятий.



Прикладная математика

Прикладная математика – область математики, рассматривающая
применение математических методов, алгоритмов в других областях
науки и практики.



Этапы математического моделирования

1 Формулировка математической модели.
2 Математический анализ (аналитическое или численное решение).
3 Осмысление решения, анализ результатов, сравнение с
экспериментом.



Вычислительная математика

Многие математические задачи невозможно решить, используя
классические методы, или получаемое решение не пригодно к
использованию из-за громоздкости.
Системы линейных уравнений большой размерности:

Ax = B.

Нелинейные уравнения:
f(x) = 0.
Большинство дифференциальных уравнений, описывающие,
например, динамику сложных механических систем.

y (x) = f(x, y).



Вычислительная математика

Увеличение количества сложных задач с развитием техники привело к
возникновению большого раздела математики, который называется
вычислительной математикой.
Разработка и исследование вычислительных алгоритмов, их
применение к решению конкретных задач составляет содержание
вычислительной математики.
Вычислительную математику определяют в широком смысле как
раздел математики, исследующий широкий круг вопросов,
связанных с использованием ЭВМ.
В узком смысле вычислительную математику определяют как
теорию численных методов и алгоритмов решения поставленных
математических задач.



Задачи вычислительной математики

Приближение множеств в функциональных пространствах.
Приближение функций заданных на функциональных
пространствах.
Разработка рациональных алгоритмов и методов решения задач в
условиях применения ЭВМ.



Применение вычислительных методов
Открытие планеты Нептун

К 40-м годам XIX в. точные наблюдения показали, что Уран едва
заметно уклоняется от того пути, по которому он должен
следовать с учетом возмущений со стороны всех известных
планет.
Леверье (во Франции) и Адамс (в Англии) высказали
предположение, что на Уран него действует притяжение еще не
известного тела. Они почти одновременно рассчитали, где за
Ураном должно быть неизвестное тело, производящее своим
притяжением эти отклонения.
Планета была найдена в телескоп на указанном ими месте в
1846 г. Её назвали Нептуном.


Математическое моделирование Компьютерное моделирование

Новые возможности

Возможность решения задач, решение которых ранее было
практически невозможным.
Развились целые области математики, которые не могли бы
существовать без компьютеров (нелинейная динамика,
хаотическая динамика).



Новые сложности

Пересмотр традиционных докомпьютерных методов вычислений.
Формальный перенос привычных алгоритмов для вычислений
вручную на машинный язык приводит к ошибкам и
неэффективным программам;
Усложнение алгоритмов. Математическая библиотека/программа
как “черный ящик”;



Этапы компьютерного моделирования

Модель

Алгоритм

Программа


Программное обеспечение Коммерческое ПО

Коммерческое ПО

Mathematica (Wolfram Research)
Универсальная система, ориентированная как на аналитическое
так и на численное решение задач. Функциональный язык
программирования.
MATLAB – MATrix LABoratory (MathWorks)
Ориентирована на использование численных методов для
решения задач. Базовым элементом системы является матрица.
Maple.
MathCad.


Программное обеспечение Свободное ПО


OCTAVE
аналог MATLAB: многие программы, написанные для MATLAB
работают в OCTAVE с небольшими модификациями;
R
система для проведения статистических расчётов;
sagemath
Разрабатывается как свободная замена
MATLAB/Mathematica/Maple. Позволяет решать задачи алгебры,
комбинаторики, вычислительной математики и матанализа.


Программное обеспечение Свободное ПО


SciLab
Maxima имеет широкий набор средств для проведения
аналитических, численных вычислений и построения графиков.
По набору возможностей система близка к таким коммерческим
системам как Maple и Mathematica.
Python
с научными“ библиотеками NumPy, SciPy, Matplotlib по
”
возможностям не уступает MATLAB при потенциально более
высокой вычислительной эффективности.


Программное обеспечение Математические библиотеки

Математические библиотеки

GNU Scientific Library – обширная библиотека
математических функций.
NAG – библиотека математических функция для различных языков
программирования : C, C++, Fortran, Java, Python, .NET, пакетов:
MATLAB, Maple, Excel).
BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) – библиотека базовых
функций для работы с векторами и матрицами.
LAPACK++ – C++ интерфейс для работы с LAPACK и BLAS.
ODEPACK – библиотека для решения различных типов
дифференциальных уравнений.


Виды погрешности

x1
f (x) ⇒ y = f (x)dx ⇒ y
x0

Варианты решения задачи:
1 замена f (x) на более простую легко интегрируемую функцию
f ∗ (x), близкую к f (x).
x1
f ∗ (x) ⇒ y ∗ = f ∗ (x)dx ⇒ y ∗
x0

2 замена интеграла суммой . . . dx → ...

f (x) ⇒ y ∗∗ = f (x) ⇒ y ∗∗


Виды погрешности

Устранимая и неустранимая погрешность

При численном решении математических и прикладных задач
почти неизбежно появление на том или ином этапе погрешностей.
Погрешность – это отклонение приближенного решения от
истинного решения.

Погрешность

Неустранимая Устранимая

Погрешность модели Погрешность метода

Погрешность исходных данных Погрешность вычислений


Виды погрешности Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютная погрешность

a(x ∗ ) = |x ∗ − x| – абсолютная погрешность – разность между
точным и приближенным значением (x – точное значение, x ∗ –
приближенное значение).
точное значение обычно неизвестно, поэтому вместо a(x ∗ )
используют наименьшую верхнюю границу A(x ∗ ) ≥ a(x ∗ ) –
предельная абсолютная погрешность.

x=3.14 – приближенное значение числа π с погрешностью
0.00159...; предельную абсолютную погрешность можно считать
равной 0.0016.



Относительная погрешность

Абсолютная погрешность позволяет судить о точности числа,
только если известно само это число (точное или приближенное).
Для безмасштабной“ оценки точности используется
”
безразмерная величина – относительная погрешность:

A(x ∗ )
∆(x ∗ ) =
x∗

x=3.14 – приближенное значение числа π с погрешностью
0.00159.... Предельная относительная погрешность:
0.0016/3.14=0.00051=0.051%.



Способы записи приближенных чисел

3.1400 ± 0.0016, 3.1415 ± 0.01;
от 3.1384 до 3.1416;
3.14 – использование в записи только верных значащих цифр.

Значащими цифрами в десятичной записи числа называются все
цифры, начиная с первой ненулевой слева.
Значащая цифра называется верной, если абсолютная
погрешность числа не превосходит половины единицы разряда,
соответствующего этой цифре.
Приближенные числа следует записывать, сохраняя только
верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа
52400 равна 50, то это число должно быть записано в виде
524 · 102 или 0.524 · 105 .



Округление чисел

При округлении числа x, записанного в системе с основанием β

x = ±[a1 β n + a2 β n−1 + a3 β n−2 + . . . + am β n−m+1 + . . .]

до m разрядов,

если если
1 1
am+1 + am+2 β −1 + ... < β, am+1 + am+2 β −1 + ... > β,
2 2

x ∗ = ±[a1 β n + . . . + am β n−m+1 ] x ∗ = ±[a1 β n + . . . + (am + 1)β n−m+1 ]



Округление чисел

При округлении возникает дополнительная погрешность, не
превышающая половины единицы разряда последней значащей
цифры округленного числа.
Чтобы после округления все знаки были верны, погрешность до
округления должна быть не больше половины единицы того
разряда, до которого предполагают делать округление.


Погрешность функции

Виды погрешности Погрешность функции

Абсолютная погрешность функции

Пусть известны абсолютные и относительные погрешности
аргументов функции f (x1 , x2 , . . . , xn ).
Абсолютная погрешность функции (при малых абсолютных
погрешностях)
n
∗ ∗ ∂f (x)
af ∗ = f (x1 , . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xn ) = axi∗
∂xi x=ξ
i=1

∂f (x) ∂f (x)
полагая, что ∂xi ≈ ∂xi
x=ξ x=x ∗

n n
∂f (x) ∂f (x)
Af ∗ ≤ Axi∗ или Af ∗ = Axi∗
∂xi x=x ∗ ∂xi x=x ∗
i=1 i=1



Относительная погрешность функции

n ∂f (x) n
Af ∗ ∂xi x=x ∗
∆f ∗ = = Axi∗ = (ln f (x ∗ )) x Axi∗
|f (x ∗ )| f (x ∗)
i=1 i=1

Если известна относительная погрешность аргументов, то

n
∆f ∗ = xi ∗ (ln f (x ∗ )) x ∆xi∗
i=1



Погрешность суммы x ∗ = x1 + x2 + . . . + xn
∗ ∗ ∗

при сложении приближенных величин их абсолютные
погрешности складываются Af ∗ = n Axi∗ .
i=1
относительная погрешность суммы будет заключена между
наибольшей и наименьшей относительной погрешности
слагаемых:
n
Af ∗ xi ∗
∆f ∗ = = ∆x ∗
|f (x ∗ )| x∗ i
i=1

x∗ 1 + x∗ 2 + x∗ 3 + . . . + x ∗n
∆f ∗ ≤ M ∗
=M
x
x ∗1 + x ∗2 + x ∗3 + . . . + x ∗n
∆f ∗ ≥ m =m
x∗



Погрешность разности x ∗ = x1 − x2
∗ ∗

При вычитании абсолютная погрешность будет равна сумме
абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:
Af ∗ = Ax1 + Ax2 .
∗ ∗

относительная погрешность будет больше чем относительная
погрешность каждого операнда:
n
Af ∗ x1 ∗ ∆x1 ∗ + x2 ∗ ∆x2 ∗
∆x ∗ = =
|f (x ∗ )| x∗
i=1

Если уменьшаемое и вычитаемое близки друг к другу, то дробь
будет очень велика, поэтому следует избегать непосредственного
вычитания двух близких величин.



Объем сферического слоя
Пример ошибки, возникающей при вычитании близких величин

Необходимо найти объем сферического слоя с внутренним радиусом r
и внешним радиусом r + a.
Формула 1:
4
V = π (r + a)3 − r 3 (1)
3
Формула 2:
4
V = π 3r 2 a + 3ra2 + a3 (2)
3
При r = 1.0 × 108 , a = 1.0 × 10−9 формула (1) при вычислении в
системе MATLAB дает неверный результат V = 0. Вычисляя объем по
формуле (2), получим V = 1.25664 × 108 .



Погрешность произведения x ∗ = x1 x2
∗ ∗

Абсолютная погрешность:
x∗ x∗
Af ∗ = ∗ Ax1 + ∗ Ax2
∗ ∗
x1 x2

При произведении приближенных чисел относительные
погрешности складываются:

∆f ∗ = ∆x1 + ∆x2 .
∗ ∗


Машинная арифметика,
стандарт IEEE-754

Машинная арифметика, стандарт IEEE-754 Стандарт IEEE-754

Стандарт IEEE-754

Стандарт разработан ассоциацией IEEE (Institute of Electrical and
Electronics Engineers) и используется для представления
действительных чисел в двоичном коде.
Используется многими микропроцессорами, логическими
устройствами и программными средствами.
Разработан в 1985 году.
Наименование IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic
”
(ANSI/IEEE Std 754-1985)“
Особенности стандарта необходимо учитывать при программной
реализации численных алгоритмов.



Форматы чисел стандарта IEEE-754

числа одинарной точности
sinlge precision – 32 бита
числа двойной точности
double precision – 64 бита
числа расширенной одинарной точности
single extended precision – ≥ 43 бита
числа расширенной двойной точности
double extended precision – ≥ 79 бит (обычно используют 80)
Для записи чисел используется форма с плавающей точкой.



Нормализованная и денормализованная форма

Нормализованная форма числа 1251 = 12.51 × 102 = 0.1251 × 104
1251 = 1.251 × 103
Денормализованная форма
для записи чисел близких к нулю, используется
денормализованная форма записи
денормализованные числа находятся ближе к нулю, чем
нормализованные.
денормализованные числа разбивают минимальный разряд
нормализованного числа на некоторое подмножество.



IEEE-754: Число одинарной точности (single precision)

4 байта на число.
Смещение экспоненты: 28 − 1 = 127. Смещение экспоненты
позволяет не вводить знаковый бит, а записывать в отведенные 8
бит значение
Es = E + 127

S. Знак Es . Смещенная экспонента M. Мантисса
1 бит 8 бит 23 бита



IEEE-754: Число двойной точности

8 байта на число.
Смещение экспоненты: 211 − 1 = 1023.

Es = E + 1023

S. Знак Es . Смещенная экспонента M. Мантисса
1 бит 11 бит 52 бит



Знак Показатель степени Мантисса Значение
0 00 . . . 00 00 . . . 00 Положительный ноль
1 00 . . . 00 00 . . . 00 Отрицательный ноль
1/0 00 . . . 00 < Es < 11 . . . 11 любая Нормализованное число
1/0 00 . . . 00 не ноль Денормализованное число
0 11 . . . 11 00 . . . 00 +∞
1 11 . . . 11 00 . . . 00 −∞
1/0 11 . . . 11 не ноль NaN



Формула восстановления“ нормализованного числа
”
(b−1) +1
F = (−1)s 2(Es −2 ) (1 + M /2n )

b – количество бит, отводимых под экспоненту;
Es – смещенная экспонента;
M – остаток мантиссы;
n – количество бит, отводимых под мантиссу.

single precision

F = (−1)s 2Es −127 (1 + M/223 )
double precision

F = (−1)s 2Es −1023 (1 + M/252 )



Формула восстановления“ денормализованного числа
”

(b−1) +2
F = (−1)s 2(Es −2 ) (M /2n )

b – количество бит, отводимых под экспоненту;
Es – смещенная экспонента;
M – остаток мантиссы;
n – количество бит, отводимых под мантиссу.



Пример

Запишем число 9.25
910 = 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 10012
0.2510 = 0 · 2−1 + 1 · 2−2 = 0.012
9.2510 = 1001.012 = 1.00101 · 23
Смещенная экспонента Es = 3 + 127 = 10000010
Остаток мантиссы M = 00101
Запись числа 9.25 в формате single

0 10000010 00101000000000000000000
Знак Es Остаток мантиссы



Максимальное по модулю нормализованное число:

2127 2 − 2−23 = 3.40282347 × 1038

Минимальное по модулю нормализованное число (single):

2−126 1 + 0 2−23 = ±1.17549435 × 10−38

Максимальное по модулю денормализованое число (single):

2−126 1 − 223 )=±1.17549421×10−38

Минимальное по модулю денормализованое число (single):

2−126 2−23 = ±1.40129846 × 10−45



Точность представления числа в стандарте IEEE-754

В ЭВМ представимы лишь конечный набор рациональных чисел
специального вида.
Эти числа образуют представимое множество вычислительной
машины.
Для всех остальных чисел x возможно лишь их приближенное
представление с ошибкой, которую принято называть ошибкой
представления (или ошибкой округления).
Пример непредставимого числа
0.110 = 0.000110011001100110011 . . ..




Абсолютная максимальная ошибка для числа в формате IEEE-754
равна в пределе половине шага чисел.
Шаг чисел удваивается с увеличением экспоненты двоичного
числа на единицу.
Чем дальше от нуля, тем шире шаг чисел в формате IEEE754 по
числовой оси.




Предел максимальной абсолютной ошибки будет равен 1/2 шага
числа:
single : A(x ∗ ) = 2Es −22−127 /2 = 2(Es −150)
double : A(x ∗ ) = 2Es −51−1023 /2 = 2(Es −1075)




Относительная погрешность нормализованного числа

2E −150 1
∆(x ∗ ) = M
=
2E −127 1 + 223
223 +M

Относительная погрешность денормализованного числа

2E −150 1
∆(x ∗ ) = M
=
2E −126 223 2M



Погрешность чисел одинарной точности

x∗ a (x ∗ ) ∆ (x ∗ ), %
2−149 ≈ 1.401298 × 10−45 2−150 ≈ 0.700649 × 10−45 50
2−148 ≈ 2.802597 × 10−45 2−150 ≈ 0.700649 × 10−45 25
1.0 2−23 ≈ 1.192 × 10−7 11.9209 × 10−6
100 2−17 ≈ 7.6294 × 10−6 7.62939 × 10−6
1.0 × 1010 210 ≈ 1.024 × 103 10.24 × 10−6



Погрешность чисел двойной точности

x∗ a (x ∗ ) ∆ (x ∗ ), %
2−1074 ≈ 4.940656 × 10−324 2−1075 ≈ 2.470328 × 10−324 50
2−1073 ≈ 9.881313 × 10−324 2−1075 ≈ 2.470328 × 10−324 25
1.0 2−52 ≈ 2.220446 × 10−16 11.9209 × 10−6
100 2−17 ≈ 7.6294 × 10−6 2.220446 × 10−14
1.0 × 1010 2280 ≈ 1.942669 × 1084 1.699641 × 10−14


Машинная арифметика, стандарт IEEE-754 Ошибки

Сложение и вычитание чисел

Значащих цифр в мантиссе двоичного числа в формате Single не
более 24.
Если числа отличаются более чем в 223 (для single) и 252 (для
double), то операции сложения и вычитания между этими
числами невозможны.
300 =
1.00101100000000000000000 ×28
0.00001 =
0.00000000000000000000000010100111110001011011 ×28
300 + 0.00001 = 300


Задания

Задание 1.

Вычислите приближенное значение функции и оцените абсолютную
погрешность результата. Запишите результат в форме f ∗ ± A(f ∗ ).

№ f (x, y ) x∗ A(x ∗ ) y∗ A(y ∗ )
1 x + 2xy 0.13 0.002 1.121 0.001
2 2x + xy 0.13 0.002 1.121 0.001
x+2y
3 x 0.13 0.002 1.121 0.001
x+2y
4 x 0.13 0.002 1.121 0.001
2y −x
5 y 0.13 0.002 1.121 0.001
2x+y
6 2x 0.13 0.002 1.121 0.001
7 x + 2xy 0.203 0.002 1.506 0.001
8 2x + xy 0.205 0.002 1.505 0.001
x+2y
9 x 0.051 0.002 0.911 0.001
x+2y
10 x 0.063 0.002 1.121 0.001


Задания

№ f (x, y ) x∗ A(x ∗ ) y∗ A(y ∗ )
x+2y
11 y 0.325 0.002 1.221 0.001
2x+y
12 2x 2 0.235 0.002 2.121 0.001
x+y
13 x 0.051 0.002 0.911 0.001
1+y 2
14 x 0.063 0.002 1.121 0.001
x 2 +y
15 y 0.325 0.002 1.221 0.001
x+y
16 1+x 0.235 0.002 2.121 0.001
2
17 2x + y 0.203 0.002 1.506 0.001
18 2x + y 2 0.205 0.002 1.505 0.001
19 2x 2 + y 0.203 0.003 1.506 0.002
20 2x + y 2 0.205 0.004 1.505 0.002


Задания

Задание 2.

Запишите десятичное число n10 в формате single2 в соответствии с
правилами стандарта IEEE-754.

№ n10 № n10
1 12.15 11 0.251
2 129.1 12 1.253
3 135.6 13 9.445
4 158.6 14 125.3
5 0.153 15 6.525
6 253.2 16 3.214
7 31.45 17 2.125
8 21.21 18 1.562
9 15.12 19 1.521
10 12.81 20 0.093


Задания

Источники

1 Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие для вузов. 2-е
изд., испр. М.: Наука. 1987.
2 http://www.softelectro.ru/ieee754.html


Методы вычислений. Лекция 1, 2

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (9)

Similaire à Методы вычислений. Лекция 1, 2

Similaire à Методы вычислений. Лекция 1, 2 (20)

Plus de Theoretical mechanics department

Plus de Theoretical mechanics department (20)

Методы вычислений. Лекция 1, 2