Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều và chiều toàn phương, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Văn Bình
PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN
PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC ĐẾN 6 CHIỀU
VÀ CHIỀU TOÀN PHƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Văn Bình
PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG GIẢI
ĐƯỢC ĐẾN 6 CHIỀU VÀ CHIỀU TOÀN PHƯƠNG
Chuyên ngành: Hình học và tôpô
Mã số : 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. Lê Anh Vũ
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

3. 3
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Lê
Anh Vũ và TS. Dương Minh Thành. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn
sâu sắc đến quý Thầy. Quý Thầy đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi tiếp xúc với
các nguồn tài liệu quý trong và ngoài nước, giảng giải và chỉ dẫn tận tình,
đầy trách nhiệm cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Hơn nữa, Thầy đã
dành nhiều thời gian và công sức để đọc và chỉnh sửa luận văn cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô khoa Toán trường Đại Học Sư
Phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là quý Thầy Cô tổ Hình học. cũng như
quý Thầy Cô giảng dạy lớp cao học khóa 21 trường Đại học sư phạm thành
phố Hồ Chí Minh đã cung cấp những kiến thức chuyên môn cần thiết cho tôi
để làm nền tảng cho việc hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Ban phản biện đã đọc và
cho tôi nhiều nhận xét, đánh giá bổ ích về luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ chức Hành chính,
Phòng Sau đại học, Phòng Kế hoạch - tài chính trường Đại học sư phạm
thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Huệ cùng toàn
thể các đồng nghiệp và bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến trao đổi từ các bạn đồng nghiệp
trong Seminar định kì của nhóm nghiên cứu chuyên ngành Hình học - Tôpô
trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.
Luận văn không thể hoàn thành nếu thiếu sự chia sẻ, khích lệ, động viên
của gia đình tôi. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn của mình đến gia đình.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Văn Bình

4. 4
Bảng chỉ dẫn các kí hiệu
 Tập hợp các số tự nhiên
 Trường số thực
 Trường số phức
End( )V Không gian các toán tử tuyến tính trên không gian vector V
Mat( )n Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường 
( )ngl Đại số Lie các ma trận vuông cấp n trên trường số phức
sl (n )
Đại số Lie các ma trận vuông cấp n có vết bằng 0 trên trường số
phức
o(n )
Đại số Lie các ma trận X vuông cấp n trên trường số phức thỏa
mãn t
X X= −
(2 )nso
Đại số Lie các ma trận X vuông cấp 2n trên trường số phức thỏa
mãn 0t
X J JX+ =với
0
0
n
n
I
J
I
 
=  
 
, n
I là ma trận đơn vị cấp n
(2 1)n +so
Đại số Lie các ma trận X vuông cấp 2 1n + trên trường số phức
thỏa mãn 0t
X J JX+ =với
1 0 0
0 0
0 0
n
n
J I
I
 
 =  
 
 
, n
I là ma trận đơn vị
cấp n
(2 )nsp
Đại số Lie các ma trận X vuông cấp 2n trên trường số phức thỏa
mãn 0t
X J JX+ =với
0
0
n
n
I
J
I
 
=  − 
, n
I là ma trận đơn vị cấp n
Der( )A Đại số các ánh xạ đạo hàm trên A
Rad( )g Căn của đại số Lie g
Span( )A Không gian con nhỏ nhất chứa A
tr( )A Vết của ma trận A
dim( )g Chiều của không gian vector g
q
d ( )g Chiều toàn phương của đại số Lie toàn phương g
⊕ Tổng trực tiếp
⊥
⊕ Tổng trực tiếp trực giao
3 *
( )∧ g Không gian các 3-dạng phản xứng trên *
g
dup( )g Số dup của một đại số Lie toàn phương không giao hoán
rank( )A Hạng của ma trận A
Ker( )A Hạt nhân của toán tử tuyến tính A
Im( )A Ảnh của toán tử tuyến tính A
Cen( )g Không gian các centromorphism của g

5. 5
Cen ( )I
g Không gian các centromorphism khả nghịch của g
det( )A Định thức của ma trận A

6. 6
Mở đầu
Trong luận văn các không gian vector chủ yếu được xét trên trường số phức
 và hữu hạn chiều.
Nghiên cứu về các đại số Lie, đặc biệt là những nghiên cứu về các đại số
Lie nửa đơn, là một lĩnh vực nghiên cứu rộng trong toán học và có nhiều ứng
dụng trong vật lí. Một trong những công cụ hữu hiệu được sử dụng khá nhiều
trong nghiên cứu các đại số Lie nửa đơn là dạng Killing nhờ các tính chất đối
xứng, bất biến và không suy biến của nó. Chẳng hạn tiêu chuẩn Cartan trong
bài toán phân loại các đại số Lie nói rằng g là một đại số Lie nửa đơn nếu và
chỉ nếu dạng Killing không suy biến trên ×g g. Do đó người ta đặt ra một câu
hỏi rằng, cho một đại số Lie g (không nhất thiết nửa đơn), liệu có tồn tại một
dạng song tuyến tính có tính chất đối xứng, bất biến và không suy biến giống
như dạng Killing trên g hay không? Trong trường hợp tồn tại một dạng song
tuyến tính như thế thì g được gọi là một đại số Lie toàn phương.
Đại số Lie toàn phương đã được nghiên cứu từ lâu nhưng gần đây mới được
quan tâm nghiên cứu khi xuất hiện nhiều công cụ dành cho các đại số Lie toàn
phương [6], [14], [16], [17] cũng như người ta thấy mối liên hệ của chúng với
một số bài toán vật lí (xem [13] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Bản thân
khái niệm đại số Lie toàn phương và các công cụ của nó hoàn toàn có thể tổng
quát lên cho trường hợp các siêu đại số Lie toàn phương (xem [5]) hoặc áp
dụng cho nhiều đại số không kết hợp khác (xem [2], [6] và một số tài liệu
trích dẫn trong đó). Chú ý rằng, các đại số Lie toàn phương vẫn được xem xét
trong trường hợp vô hạn chiều [14].
Trong luận văn này chúng tôi sẽ tiếp cận các đại số Lie toàn phương theo
hướng quen thuộc, đó là nghiên cứu các đại số Lie toàn phương thấp chiều.
Cách tiếp cận này có lợi điểm ở chổ có thể xem xét nhiều khái niệm khá phức
tạp của lớp các đại số Lie toàn phương trên những ví dụ cụ thể ở chiều thấp và
sau đó tổng quát trở lại các khái niệm đó. Một lợi điểm khác là thông qua việc
phân loại hoặc nghiên cứu các tính chất đáng chú ý trên các đại số Lie toàn

7. 7
phương thấp chiều, chúng ta hi vọng sẽ phát hiện nhiều lớp con đặc biệt của
lớp các đại số Lie toàn phương cũng như tìm thấy những công cụ nghiên cứu
mới. Do đó chúng tôi cố gắng trình bày đầy đủ các khái niệm với nhiều ví dụ,
các chứng minh được diễn giải chi tiết và các tính toán được mô tả cụ thể.
Kết quả phân loại đến 4 chiều trong trường hợp giải được đã được thực
hiện trong [18] nhưng ở đây chúng tôi sẽ tiến hành chứng minh lại kết quả đó
bằng một cách ngắn gọn hơn nhờ áp dụng Phân tích Witt (xem [9]) và một kết
quả trong [17]. Hơn nữa, kết quả này chúng tôi cũng kiểm chứng thông qua
phương pháp mở rộng kép, một phương pháp khá hiệu quả trong nghiên cứu
các đại số Lie toàn phương. Trường hợp này có thể xem như là ví dụ cơ bản
đầu tiên cho các trường hợp còn lại trong các chương tiếp theo.
Đối với việc phân loại trường hợp giải được 5 chiều, công việc này đã
được thực hiện trong [11] bằng công cụ mở rộng kép. Trường hợp này đã
được phân loại trong [11] bằng công cụ mở rộng kép. Hơn nữa chúng tôi cũng
áp dụng chính phương pháp đó để phân loại các đại số Lie toàn phương cơ
bản rút gọn và thu được kết quả giống như trong [17] khi sử dụng những ứng
dụng của các đại số Lie phân bậc và tích super-Poisson. Qua cách làm của
chúng tôi, độc giả có thể thấy những hạn chế của phương pháp sử dụng Phân
tích Witt và do đó đòi hỏi phải sử dụng phương pháp phân loại tốt hơn, chẳng
hạn bằng mở rộng kép, nếu muốn phân loại trong trường hợp số chiều lớn hơn
5.
Cho đến nay, phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều
vẫn là một bài toán mở. Bằng cách áp dụng các kết quả từ mở rộng kép trong
[13] và [15] kết hợp với kết quả phân loại các quỹ đạo phụ hợp của đại số Lie
cổ điển ( )mo trong [10] và [11], chúng tôi chứng minh được rằng trong
trường hợp bất khả phân, các đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều vẫn
còn là mở rộng kép một chiều của một đại số giao hoán và do đó ta nhận được
một phân loại gồm 3 họ đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều bất khả
phân. Phân loại này đúng đến đẳng cấu đẳng cự. Kiểu mở rộng kép của một
đại số Lie giao hoán là kiểu mở rộng kép đã được phân loại hoàn toàn. Các đại

8. 8
số Lie toàn phương thu được từ kiểu mở rộng kép này được gọi là các đại số
Lie toàn phương kì dị.
Trong luận văn này chúng tôi trình bày thêm một cách tiếp cận khác đến
các đại số Lie toàn phương thông qua việc nghiên cứu 3-dạng liên kết với
chúng. Từ phân loại 3-dạng liên kết này trong các không gian đến 5 chiều
chúng tôi cũng chứng minh được rằng mọi đại số Lie toàn phương giải được
không giao hoán đến 6 chiều đều là các đại số Lie toàn phương kì dị. Kết quả
này trùng với kết quả thu được từ phương pháp mở rộng kép.
Một trong những đặc trưng lí thú trong nghiên cứu các đại số Lie toàn
phương là tính toán chiều toàn phương của chúng, tức là tính toán chiều của
không gian sinh bởi các dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến trên một đại
số Lie toàn phương cho trước. Cho đến nay, công thức tổng quát cho chiều
toàn phương đối với một đại số Lie toàn phương bất kì vẫn là bài toán mở.
Người ta chỉ mới tính toán công thức một cách chính xác cho chiều toàn
phương của lớp các đại số Lie đơn, lớp các đại số Lie rút gọn và lớp các đại số
Lie toàn phương kì dị hoặc chỉ thu được các chặn dưới và chặn trên của chiều
toàn phương trong trường hợp tổng quát (xem [4], [11] và một số tài liệu trích
dẫn trong đó). Trong Chương 3, chúng tôi sẽ trình bày một cách chi tiết cách
tính chiều toàn phương của một đại số Lie toàn phương và áp dụng nó cho các
đại số Lie toàn phương thu được từ phân loại trên. Kết quả chúng tôi nhận
được là công thức tường minh cho từng đại số.
Vì nội dung luận văn chỉ khảo sát bài toán phân loại các đại số Lie giải
được đến 6 chiều và tính chiều toàn phương của chúng nên luận văn của
chúng tôi có tên là “Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 6
chiều và chiều toàn phương”.
Phần nội dung chính của luận văn được chia làm 3 chương. Chương đầu
tiên dành chủ yếu để giới thiệu những định nghĩa và một số kết quả cơ bản
trên đại số Lie và đại số Lie toàn phương. Vì đại số Lie toàn phương là đối
tượng xuất hiện rất tự nhiên từ việc tổng quát trường hợp đại số Lie nửa đơn
với dạng Killing nên chúng tôi chỉ tập trung giới thiệu những tính chất đặc

9. 9
biệt của dạng Killing và một số kết quả quen thuộc liên quan đến đại số Lie
nửa đơn liên quan đến việc tổng quát hóa này. Đối với đại số Lie toàn
phương, chúng tôi chỉ giới thiệu những kiến thức cần thiết liên quan đến việc
phân loại các đại số Lie toàn phương giải được và tính toán chiều toàn
phương. Chương thứ hai chủ yếu dành để khảo sát các đại số Lie toàn phương
cơ bản và tiến hành phân loại lại bằng phân tích Witt. Chương thứ ba trình bày
chi tiết của việc phân loại và tính toán chiều toàn phương của các đại số Lie
toàn phương đến 6 chiều. Chúng tôi cũng trình bày thêm cách tiếp cận đến các
đại số Lie toàn phương thấp chiều thông qua 3-dạng liên kết với chúng. Phần
cuối của luận văn là một số kết luận và kiến nghị.

10. 10
Chương 1
Mở đầu về đại số Lie và đại số Lie toàn phương
1.1 Đại số Lie
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Cho g là một không gian vector trên trường  . Ta nói g
là một đại số Lie nếu trên g được trang bị phép toán (gọi là tích Lie)
[.,.]:
( , ) [ , ]X Y X Y
× →

g g g
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Phép toán [ ].,. là một ánh xạ song tuyến tính;
ii) Phép toán [ ].,. là phản xứng, tức là [ , ] 0X X = với mọi X ∈g ;
iii) [ ,[ , ]] [ ,[ , ]] [ ,[ , ]] 0X Y Z Y Z X Z X Y+ + =với mọi , ,X Y Z ∈g
(đồng nhất thức Jacobi).
Số chiều của đại số Lie g chính là số chiều của không gian vector g .
1.1.2 Đại số Lie con và các ideal
Định nghĩa 1.2 Cho đại số Lie g . Một không gian vector con A của g
được gọi là một đại số Lie con của g nếu [ , ]X Y A∈ với mọi ,X Y ∈g.
Định nghĩa 1.3 Cho đại số Lie g . Một không gian vector con I của g
được gọi là một ideal của g nếu [ , ]X Y I∈ với mọi ,X Y I∈ ∈g .
Cho đại số Lie g ta kí hiệu [ , ] {[ , ]| , }X Y X Y= ∈g g g được gọi là đại số
dẫn xuất của đại số Lie g và là một ideal của g . Kí hiệu
( ) { |[ , ] 0, }Z X X Y Y= ∈ = ∀ ∈g g g là ideal tâm của g.
Định nghĩa 1.4 Cho đại số Lie g trên trường  . Ta kí hiệu
(1) (2) (1) (1) ( ) ( 1) ( 1)
[ , ], [ , ], , [ , ]n n n− −
= = … =g g g g g g g g g . Khi đó đại số Lie g được
gọi là giải được nếu tồn tại {0}m∈  sao cho ( )
{0}m
=g .

11. 11
Định nghĩa 1.5 Cho đại số Lie g trên trường  . Ta kí hiệu
1 2 1 1
[ , ], [ , ], , [ , ]n n−
= = … =g g g g g g g g g . Khi đó đại số Lie g được gọi là lũy
linh nếu tồn tại {0}m∈ sao cho {0}m
=g .
Định nghĩa 1.6 Cho 1
g và 2
g là hai đại số Lie trên trường  . Khi đó ánh
xạ tuyến tính 1 2
:ϕ →g g được gọi là một đồng cấu đại số Lie nếu bảo toàn
tích Lie, tức là ([ , ]) [ ( ), ( )]X Y X Yϕ ϕ ϕ= , với mọi 1
,X Y ∈g .
Cho đại số Lie g . Ta kí hiệu Rad( )g là ideal giải được lớn nhất của g .
Định nghĩa 1.7 Một đại số Lie {0}≠g là nửa đơn nếu nó không có một
ideal giải được khác {0} (hay Rad( ) {0}=g ).
Định nghĩa 1.8 Một đại số Lie không giao hoán g là đơn nếu nó không có
một ideal nào ngoài {0} và g .
1.1.3 Dạng Killing
Định nghĩa 1.9 Cho đại số Lie g trên trường số phức  . Dạng Killing
trên g là một ánh xạ song tuyến tính, đối xứng xác định bởi
( , ): tr(ad ad ), , .X Y X Y X Yκ= ∀ ∈ g
Bổ đề 1.10
a) Nếu :φ →g g là một tự đẳng cấu đại số Lie của g thì
( ( ), ( )) ( , )X Y X Yκ φ φ κ= ;
b) Dạng Killing thỏa mãn tính chất
([ , ], ) ( ,[ , ])X Y Z X Y Zκ κ= ;
c) Nếu I là một ideal của g thì thu hẹp của κ trên I cũng
là một dạng Killing.
Chứng minh. Trước hết ta nhắc lại một tự đẳng cấu :φ →g g sẽ bảo toàn
tích Lie. Ta có ad( ( ))( ) [ ( ), ]X Y X Yφ φ= nên
1 1
ad( ( ))( ) [ ( ), ] [ , ( )] ( ad( ) )( ).X Y X Y X Y X Yφ φ φ φ φ φ− −
= = =° °
Ngoài ra,
1 1 1
ad( ( )) ad( ( )) ad( ) ad( ) ad( ) ad( )X Y X Y X Yφ φ φ φ φ φ φ φ− − −
° =° ° ° ° ° =° ° ° .

12. 12
Ta đã biết vết của các ma trận tương đương thì bằng nhau vì vậy
1
tr(ad( ( )) ad( ( )))tr( ad( ) ad( ) )tr(ad( ) ad( )).X Y X Y X Yφ φ φ φ−
° ° ° ° °
Ta sẽ chứng minh vết của phép biến đổi tuyến tính
ad([ , ]) ad( ) ad( ) ad([ , ]) 0X Y Z X Y Z° − ° =. Ta có thể viết
(ad( ) ad( ) ad( ) ad( )) ad( ) ad( ) (ad( ) ad( ) ad( ) ad( ))
ad( ) (ad( ) ad( )) (ad( ) ad( )) ad( ).
X Y Z X Z X Y Z Z Y
X Z Y Y X Z
° − ° ° − ° ° − °
= ° ° − ° °
Từ tr( ) 0AB BA− =, nên phép biến đổi tuyến tính trên có vết bằng 0.
Nếu I là ideal của g. Từ [ , ]I I⊂g một biểu diễn phụ hợp thương của I
trên / Ig là tầm thường. Ngoài ra với ,X Y I∈ ta có
/
( , ) tr (ad( ) ad( )) tr (ad( ) ad( )) tr (ad( ) ad( )) ( , ).I I
X Y X Y X Y X Y X Yκ κ= ° = ° + ° =g g g g
□
Định lí 1.11 (Định lí Engel)
Cho V là một không gian vector. Giả sử L là một đại số Lie con của
( )Vgl thỏa mãn mọi phần tử của L là một phép biến đổi tuyến tính lũy linh
của V . Khi đó tồn tại một cơ sở của V để mọi phần tử của L được biểu diễn
bằng một ma trận tam giác trên nghiêm ngặt.
Định lí 1.12 (Định lí Lie)
Cho V là một không gian vector phức n −chiều và L là một đại số Lie con
giải được của ( )Vgl . Khi đó tồn tại một cơ sở của V để mọi phần tử của L
được biểu điễn bởi một ma trận tam giác trên.
Mệnh đề 1.13 Nếu ( )V⊂g gl là một đại số Lie con thỏa mãn tr( ) 0XY =
với mọi ,X Y ∈g thì [ , ]g g là lũy linh.
Định lí 1.14 (Tiêu chuẩn Cartan thứ nhất)
Đại số Lie g là giải được nếu và chỉ nếu ( ,[ , ]) 0κ =g g g .

13. 13
Chứng minh. Xét ad( ) / ( )Z=g g g , trong đó
( ) { |[ , ] 0, }Z a X Y Y= ∈ = ∀ ∈g g g là tâm của g. Hiển nhiên ( ,[ , ]) 0κ =g g g
suy ra ([ , ],[ , ]) 0κ =g g g g , nên tr( ) 0XY = với mọi
, [ad( ),ad( )] ad([ , ])X Y ∈ =g g g g . Từ Mệnh đề 1.13
[[ad( ),ad( )],[ad( ),ad( )]]g g g g là lũy linh, nên ad( )g giải được. Nên tồn tại
một số *
r ∈ sao cho ( )
ad( ) 0r
=g , nên ( )
( )r
Z⊂g g . Do đó ( 1)
0r+
=g nên g
là giải được.
Ngược lại, theo Định lí Lie 1.12 ta có thể chọn một cơ sở thích hợp để mọi
phần tử X ∈g thì ad( )X là một ma trận tam giác trên. Ngoài ra mọi phần tử
của ad([ , ])g g đều là tổ hợp tuyến tính của các phần tử có dạng
ad( ) ad( ) ad( ) ad( )X Y X Y° − ° với ,X Y ∈g nên là ma trận tam giác trên
nghiêm ngặt. Do đó hiển nhiên ta có tr(ad( ) ad( )) 0X Y° =với mọi
, [ , ]X Y∈ ∈g g g .
Định lí 1.15 (Tiêu chuẩn Cartan thứ hai)
Đại số Lie được gọi là nửa đơn nếu và chỉ nếu dạng Killing của nó là
không suy biến.
Chứng minh. Nếu g không là nửa đơn khi đó tồn tại một ideal không giao
hoán 0I ≠ . Chọn , 0X I X∈ ≠ . Ta cần ad( )X là hạt nhận của dạng Killing.
Thật vậy, với Y ∈g là một phần tử bất kì. Từ I là một ideal, ad( ) ad( )Y X°
biến g thành I và ad( ) ad( ) ad( )X Y X° ° biến g thành 0. Ta có
ad( ) ad( ) ad( ) ad( ) 0Y X Y X° ° ° =hay 2
(ad( ) ad( )) 0Y X° =, nên ad( ) ad( )Y X°
là lũy linh. Mà vết của một phép biến đổi lũy linh bằng 0. Do đó
( , ) tr(ad( ) ad( ))Y X Y Xκ= ° với mọi Y ∈g.
Ngược lại, Nếu dạng Killing của g là suy biến, hạt nhân là một ideal khác
0. Thật vậy, nếu X ∈g thỏa ( , ) 0,X Y Yκ = ∀ ∈g thì
([ , ], ) ( ,[ , ])Z X Y X Z Yκ κ= theo Bổ đề 1.10 (ii). Gọi ideal này là I . Theo Bổ
đề 1.10 (iii) dạng thu hẹp của g tới I là dạng Killing của I , vì vậy dạng

14. 14
Killing của I là 0. Theo tiểu chuẩn Cartan thứ nhất thì I là giải được và vì
vậy g là không nửa đơn.
1.2 Đại số Lie toàn phương
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.16 Cho một không gian vector phức g . Một dạng song tuyến
tính :B → g . Được gọi là
i) đối xứng nếu ( , ) ( , )B X Y B Y X= với mọi ,X Y ∈g;
ii)không suy biến nếu ( , ) 0B X Y = với mọi Y ∈g thì 0X = ;
iii) bất biến (hay còn gọi là kết hợp) nếu
([ , ], ) ( ,[ , ]), , , .B X Y Z B X Y Z X Y Z= ∀ ∈g
Một đại số Lie g trên đó tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng, không
suy biến và bất biến được gọi là một đại số Lie toàn phương. Đại số Lie toàn
phương thường được kí hiệu là ( , )Bg .
1.2.2 Các ví dụ về đại số Lie toàn phương
Ví dụ 1.17 Trong 3
 với tích Lie là tích có hướng, dạng toàn phương là
tích vô hướng.
Ví dụ 1.18 Cho Span{ , }X Y=g trong đó tích Lie cho bởi [ , ] 0X Y = . Dạng
song tuyến tính đối xứng B cho bởi ( , ) 1B X Y = , các trường hợp còn lại bằng
0.
Ví dụ 1.19 Cho { }Span , , ,X P Q Z=g trong đó tích Lie cho bởi
[ , ] ,[ , ] ,[ , ]X P P X Q Q P Q Z= =− =, các trường hợp còn lại tầm thường. Dạng
song tuyến tính đối xứng B cho bởi ( , ) ( , ) 1B X Z B P Q= = , các trường hợp còn
lại bằng 0.
Ngoài ra trong phần phân loại cũng chỉ ra các ví dụ về các đại số Lie toàn
phương giải được 5, 6 chiều.
1.2.3 Một số kết quả về đại số Lie toàn phương
Định nghĩa 1.20 Cho đại số Lie toàn phương ( , )Bg và V là một không
gian vector con của g , khi đó ta định nghĩa thành phần trực giao của g là

15. 15
{ | ( , ) 0, }.V X B X Y Y V⊥
= ∈ = ∀ ∈g
Theo [6] cho ,V W là các không gian vector con của g . Khi đó ta có các
tính chất sau:
a) 0⊥
=g ;
b) Nếu V W⊂ thì V W⊥ ⊥
⊃ ;
c) ( )V W V W⊥ ⊥ ⊥
+ = ∩ và ( )V W V W⊥ ⊥ ⊥
∩ ⊃ + ;
d) ( )V V⊥ ⊥
= và dim dim dimV V ⊥
+ =g.
Một phần tử X ∈g được gọi là tự đẳng hướng nếu ( , ) 0B X X = . Một không
gian con V của g được gọi là tự đẳng hướng hoàn toàn nếu ( , ) 0B X Y = với
mọi ,X Y V∈ . Trong trường hợp này, hiển nhiên ta có V V ⊥
⊂ .
Ta có một số tính chất khá lí thú của các đại số Lie toàn phương như sau:
Mệnh đề 1.21 Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương. Định nghĩa ánh
xạ *
:φ →g g , ( )( ) ( , )X Y B X Yφ = với *
g là không gian đối ngẫu của g . Khi đó φ
là một đẳng cấu, đồng thời biểu diễn phụ hợp và đối phụ hợp của g tương
đương với nhau bới φ .
Chứng minh. Giả sử g là một đại số Lie trên g được trang bị một tích vô
hướng bất biến B . Biểu diễn phụ hợp ad và đối phụ hợp *
ad được định nghĩa
như sau:
ad : End( ) v?i ad( )( ) [ , ] vàX Y X Y→ =g g
* * *
ad : End( ),ad ( )( ) ad( )X f f X→ =− °g g
Cho *
:φ →g g là ánh xạ được xác định bởi ( ) ( ,.)X B Xφ = . Do B không suy
biến nên φ là một đẳng cấu. Hơn nữa ta có
*
( ad( )( )) ([ , ], ) ( ,[ , ]) (ad ( ) ( )) , , , .X Y Z B X Y Z B Y X Z X Y Z X Y Zφ φ° = =− = ° ∀ ∈g
Điều đó chứng tỏ *
ad( ) ad ( ) ,X X Xφ φ° = ° ∀ ∈g , nghĩa là ad và *
ad là tương
đương.
□
Nghiên cứu các đại số Lie toàn phương có thể quy về nghiên cứu các đại số
Lie toàn phương bất khả phân nhờ phân tích sau:

16. 16
Mệnh đề 1.22 Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương.
a) Nếu I là một ideal của g . Khi đó I⊥
cũng là một ideal của g .
Hơn nữa, nếu thu hẹp của B trên I I× không suy biến thì thu hẹp của
B trên I I⊥ ⊥
× cũng không suy biến, [ , ] {0}I I⊥
= và
{0},I I I I⊥ ⊥
∩ = = ⊕g .
b) Nếu ( )Z g là tâm của g thì ( ) [ , ]Z ⊥
=g g g và
dim ( ) dim[ , ] dim .Z + =g g g g
Chứng minh.
a) Nếu I là một ideal của g . Lấy ,A I X⊥
∈ ∈g, ta có
([ , ], ) ( ,[ , ]) 0B A X Y B A X Y= = với mọi Y I∈ (do I là ideal của g ). Do đó
[ , ]A X I⊥
∈ . Suy ra I⊥
là một ideal của g .
Giả sử |I IB × không suy biến. Lấy X I⊥
∈ thỏa mãn ( , ) 0B X I⊥
= thì X I∈ và
( , ) 0B X I = . Do |I IB × không suy biến nên 0X = . Suy ra |I I
B ⊥ ⊥
×
không suy
biến.
Nếu ,I I⊥
là các ideal của g thì ([ , ], ) ( ,[ , ]) 0B I I X B I I X⊥ ⊥
= = với mọi X ∈g
và do B không suy biến trên g nên [ , ] {0}I I⊥
= .
Nếu X I I⊥
∈ ∩ thì ( , ) 0B X I = . Do B không suy biến trên I nên 0X = . Do
đó {0}I I⊥
∩ = .
Ta có {0} ( ) ( )I I I I I I⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
= ∩ = ∩ = ⊕ , suy ra 0 (( ) )I I I I⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
= ⊕ = ⊕
hay I I⊥
= ⊕g .
b) Nếu
( ) [ , ] {0} ([ , ], ) 0 ( ,[ , ]) 0 [ , ]X Z X B X B X X ⊥
∈ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ ∈g g g g g g g g . Nên
( ) [ , ]Z ⊥
=g g g và dim ( ) dim[ , ] dimZ + =g g g g .
□
Nếu thu hẹp của B trên I I× không suy biến thì ta gọi I là một ideal
không suy biến của g và I I⊥
= ⊕g . Vì tổng trực tiếp là tổng trực tiếp trực
giao nên ta dùng kí hiệu sau: I I
⊥
⊥
= ⊕g .

17. 17
Định nghĩa 1.23 Một đại số Lie toàn phương g là bất khả phân nếu g
phân tích thành hai ideal 1 2
⊥
= ⊕g g g thì 1 {0}=g hoặc 2 {0}=g .
Định nghĩa 1.24 Cho ( , )Bg và ( , )B′ ′g là hai đại số Lie toàn phương. Ta
nói ( , )Bg và ( , )B′ ′g đẳng cấu đẳng cự nếu tồn tại một đẳng cấu đại số Lie
:A ′→g g thỏa mãn
( ( ), ( )) ( , ), , .B A X A Y B X Y X Y′ = ∀ ∈g
Trong trường hợp này ta cũng nói A là một đẳng cấu đẳng cự. Như vậy,
A là một đẳng cấu đẳng cự nếu và chỉ nếu A vừa là đẳng cấu vừa là đẳng cự.
Chú ý rằng, tính chất đẳng cấu và tính chất đẳng cấu đẳng cự không tương
đương nhau, ví dụ: Cho (3)=g o và κ là dạng Killing. Khi đó A là tự đẳng cấu
đại số Lie của g nếu và chỉ nếu ( )A O∈ g . Do đó ( , )κg và ( , )λκg là không
đẳng cấu đẳng cự khi 0λ ≠ .
Sau đây chúng tôi giới thiệu một cách phân tích khác được đưa ra trong
[17], gọi là phân tích rút gọn. Phân tích này cho phép ta chuyển bài toán
nghiên cứu các đại số Lie toàn phương về bài toán nghiên cứu các đại số Lie
toàn phương có tâm tự đẳng hướng hoàn toàn (sai khác một ideal tâm không
suy biến).
Mệnh đề 1.25 ([17])
Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương không giao hoán. Khi đó tồn tại
một ideal tâm z và một ideal {0}≠l sao cho
i) ,
⊥
= ⊕g z l ở đây ( , | )B ×z zz và ( , | )B ×l ll là các đại số Lie toàn phương và l
không giao hoán.
ii) Tâm ( )Z l của l là tự đẳng hướng hoàn toàn, tức là ( ) [ , ]Z ⊂l l l , và
1
dim( ( )) dim( ) dim([ , ]).
2
Z ≤ ≤l l l l
iii) Cho ′g là một đại số Lie toàn phương và :A ′→g g là một đẳng cấu đại
số Lie. Khi đó
⊥
′ ′= ⊕g z l

18. 18
ở đây ( )A′ =z z thuộc tâm, ( ) , ( )A Z⊥
′ ′=l z l tự đẳng hướng hoàn toàn, l và ′l
đẳng cấu với nhau. Hơn nữa, nếu A là một đẳng cấu đẳng cự thì l và ′l đẳng
cấu đẳng cự.
Định nghĩa 1.26 Một đại số Lie toàn phương g khác {0} được gọi là một
đại số Lie rút gọn nếu tâm tự đẳng hướng hoàn toàn.
Từ tính chất bất biến và không suy biến của dạng song tuyến tính xác định
trên g, ta dễ dàng chứng minh được[ , ] ( )Z ⊥
=g g g . Do đó ( )Z g tự đẳng hướng
hoàn toàn khi và chỉ khi ( ) [ , ]Z ⊂g g g .
Sau đây chúng tôi xin giới thiệu phân tích Witt được trình bày trong [9]
như sau:
Mệnh đề 1.27 Cho V là một không gian vector phức được trang bị một
dạng song tuyến tính không suy biến B . Giả sử U là một không gian con tự
đẳng hướng hoàn toàn của V . Khi đó tồn tại một không gian con tự đẳng
hướng hoàn toàn W và một không gian con F không suy biến của V sao cho
dim dim , ( )W U F U W ⊥
= = ⊕ và ( )V F U W
⊥
= ⊕ ⊕ .
1.2.4 3-dạng trên một đại số Lie toàn phương
Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương không giao hoán. Khi đó dạng
song tuyến tính B sẽ xác định một 3-dạng 3 *
( )I ∈Λ g như sau:
( , , ): ([ , ], ), , , .I X Y Z B X Y Z X Y Z= ∀ ∈g
Ta gọi I là 3-dạng liên kết với ( , )Bg . Gọi {.,.} là móc super-Poisson trên
đại số các dạng phản xứng trên *
( )∧ g . Theo [17] thì 3-dạng I thỏa mãn
{ , } 0I I = .
Ngược lại, cho một không gian vector toàn phương ( , )Bg và một 3-dạng
3 *
( )I ∈Λ g khác 0 thỏa mãn { , } 0I I = thì có một cấu trúc đại số Lie toàn
phương không giao hoán trên g sao cho I là 3-dạng liên kết với g (xem
[17]).
Kí hiệu *
{ | 0}IV Iα α= ∈ ∧ =g . Khi đó số dup của một đại số Lie toàn
phương không giao hoán g được định nghĩa bởi

19. 19
dup( ) : dim( ),IV=g
trong đó I là 3-dạng liên kết với g .
Mệnh đề 1.28 Cho g là một đại số Lie toàn phương không giao hoán và I
là 3-dạng liên kết với g . Khi đó
a) { }dup( ) 1,30,I ∈ và dim([ , ]) 3≥g g .
b) I khả phân nếu và chỉ nếu dim([ , ]) 3=g g .
Định nghĩa 1.29 Cho g là một đại số Lie toàn phương không giao hoán.
a) g được gọi là đại số Lie toàn phương thông thường nếu
dup( ) 0=g .
b) g được gọi là đại số Lie toàn phương kì dị nếu dup( ) 1≥g .
c) g là một đại số Lie toàn phương kì dị loại 1 nếu dup( ) 1=g .
d) g là một đại số Lie toàn phương kì dị loại 3 nếu dup( ) 3=g .
Mệnh đề 1.30 Cho g là một đại số Lie toàn phương kì dị. Khi đó g là rút
gọn nếu và chỉ nếu g là bất khả phân.
Các đại số Lie toàn phương kì dị có mối liên hệ chặt chẽ với khái niệm mở
rộng kép (sẽ được định nghĩa trong phần tiếp theo) thông qua định lí sau.
Định lí 1.31
a) Mọi đại số Lie toàn phương kì dị loại 1S là giải được và là
một mở rộng kép.
b) Đại số Lie toàn phương là kì dị và giải được khi và chỉ khi là
một mở rộng kép.
1.2.5 Mở rộng kép của một đại số Lie toàn phương
Định nghĩa 1.32 Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương. Ánh xạ tuyến
tính :D →g g được gọi là một đạo hàm của g nếu
([ , ]) [ ( ), ] [ , ( )], , .D X Y D X Y X D Y X Y= + ∀ ∈g
Nếu thêm điều kiện
( ( ), ) ( , ( )), ,B D X Y B X D Y X Y=− ∀ ∈g
thì ta nói D là một đạo hàm phản xứng của g .

20. 20
Ta kí hiệu Der ( )a g là không gian các đạo hàm phản xứng của g , hiển nhiên
nó là đại số con của đại số Der( )g chứa các đạo hàm của g .
Chú ý 1.33 Từ tính chất bất biến của dạng song tuyến tính, các đạo hàm
trong của một đại số Lie toàn phương đều là đạo hàm phản xứng. Tuy nhiên
điều ngược lại không đúng.
Định nghĩa 1.34 (xem [14] và [16]) Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn
phương và C là một đạo hàm phản xứng của g . Trên không gian vector
e f= ⊕ ⊕ g g
ta định nghĩa phép toán [ , ] [ , ] ( ( ), ) ,[ , ] ( )X Y X Y B C X Y f e X C X=+ =gg
và
[ , ] 0f =g với mọi ,X Y ∈g.
Khi đó g trở thành một đại số Lie, hơn nữa g còn là một đại số Lie toàn
phương với dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến B được xác định
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0B e e B f f B e B f= = = =g g , ( , ) ( , )B X Y B X Y= và ( , ) 1B e f = với mọi
,X Y ∈g. Trong trường hợp này, ta gọi g là Mở rộng kép của g bởi C .
Người ta còn gọi g là mở rộng của g bởi đại số Lie một chiều thông qua
đạo hàm C . Trường hợp mở rộng kép bởi một đại số Lie nhiều chiều có thể
tìm thấy trong [16]. Tuy nhiên mở rộng kép một chiều là đủ để nghiên cứu
trong trường hợp giải được bởi kết quả như sau (xem [12], [14] hoặc [16]).
Mệnh đề 1.35 Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương giải được không
giao hoán n chiều. Khi đó g là mở rộng kép một chiều của một đại số Lie
toàn phương giải được 2n − chiều.
Chú ý 1.36 Một trường hợp đặc biệt của mở rộng kép một chiều là khi g
giao hoán. Khi đó C là một ánh xạ phản xứng thuộc đại số ( )o g và tích Lie
trên g được định bởi [ , ] ( )e X C X= và [ , ] ( ( ), )X Y B C X Y f= với mọi ,X Y ∈g.
Trường hợp này ta gọi g một cách đơn giản là một mở rộng kép. Các mở
rộng kép đã được phân loại trong [11].
Mệnh đề 1.37 (xem Mệnh đề 2.3 trong [11] trang 16)

21. 21
Mọi mở rộng kép của một không gian vector toàn phương bằng đạo hàm
phản xứng khác 0 đều là đại số Lie toàn phương giải được kì dị.
Mệnh đề 1.38
i) Cho g là một mở rộng kép của q bởi C với q là một đại số
Lie giao hoán thì
[ , ] ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ( ), ) , , ,X Y B f X C Y B f Y C X B C X Y f X Y= − + ∀ ∈g
ii) trong đó ad( )C e= . Hơn nữa ( )f Z∈ g và |C C=q .
iii) Cho ′g là một mở rộng kép của q bởi , , 0C Cλ λ λ′ = ∈ ≠ thì
g và ′g là đẳng cấu đẳng cự.
Chứng minh.
i) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
ii) Ta có ( )e f
⊥
′=⊕ ⊕ = g q g . Kí hiệu [.,.]' là tích Lie trên ′g .
Định nghĩa :A ′→g g với
1
( ) , ( )A f f A e eλ
λ
= = và i| dA =q q thì
([ , ]) ( ) [ ( ), ( )]A e X C X A e A X ′
= = và ([ , ]) [ ( ), ( )]A X Y A X A Y ′
= với mọi
,X Y ∈q. Vì vậy A là một đẳng cấu, đẳng cự.
□
Chú ý 1.39 Cho g là một đại số Lie toàn phương kì dị và giải được. Xem g
như là một mở rộng kép của hai không gian vector toàn phương q và ′q :
( ) and ( ) .e f e f
⊥ ⊥
′ ′ ′= ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕   g q g q
Cho ad( ) |C e= q và ad( ) |C e ′′ ′= q . Từ đó idg hiển nhiên là một đẳng cấu đẳng
cự, tồn lại một đẳng cự :A ′→q q và một số , 0λ λ∈ ≠ thỏa mãn
1
C AC Aλ −
′ = .
Bổ đề 1.40 Cho V là một không gian vector toàn phương thỏa mãn
( )V e f
⊥
′= ⊕ ⊕  q với e,f đẳng hướng và ( , ) 1B e f = . Cho g là một đại số Lie
toàn phương kì dị và giải được với dim dimV=g thì tồn tại một ánh xạ phản
xứng :C′ ′ ′→q q thỏa mãn V được xem như là một mở rộng kép của ′q bởi C′
và đẳng cấu đẳng cự với g .

22. 22
Chứng minh. Xem [11] trang 21. □
Trong phần tiếp theo chúng tôi kí hiệu  ( 2)
i
s n + là tập hợp lớp các đại số
Lie giải được chia theo quan hệ tương đương là hai đại số Lie giải được được
gọi là tương đương nhau nếu có một phép đẳng cấu đẳng cự giữa chúng.
Ngoài ra chúng tôi cũng kí hiệu 1
( ( ))no là tập hợp các ( )O n -quỹ đạo của
không gian xạ ảnh 1
( ( ))no của ( )no với tác động cảm sinh từ tác động phụ
hợp của ( )O n lên ( )no . Khi đó ta có mệnh đề sau (xem [11] trang 22).
Mệnh đề 1.41 Tồn tại một song ánh  1
: ( ( )) ( 2)
i
sn nθ → +o  .
Mệnh đề 1.42 (xem [13]) Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương và
0ad ( )C X= g là một đạo hàm trong của g . Khi đó mở rộng kép g của g bởi C
là khả phân.
Chứng minh. Trên g ta định nghĩa phép toán
0 0[ , ] [ , ] ([ , ], ) ;[ , ] [ , ] và [ , ] 0.X Y X Y B X X Y f e X X X f=+ = =gg
g
Khi đó 0 ( )e X Z− ∈ g . Nghĩa là g khả phân vì 0( , ) 1B e X f− =và ( )f Z∈ g .
Mệnh đề 1.43 (xem [15]) Cho g và
′
g lần lượt là các mở rộng kép của g
bởi các đạo hàm trong phản xứng D và D'. Nếu ad ( )D D X′− =g với một X
nào đó thuộc g thì g và
′
g đẳng cấu đẳng cự.
Mệnh đề 1.44 Cho ( , )Bg là đại số Lie kim cương. Khi đó mọi đạo hàm
phản xứng của g đều là đạo hàm trong.
Chứng minh. Giả sử Span , , ,Z P Q X=g với tích Lie được xác định:
[ , ] ,[ , ] ,[ , ]X P P X Q Q P Q Z= =− =, dạng song tuyến tính đối xứng được cho bởi
( , ) ( , ) 1B X Z B P Q= = , các trường hợp khác bằng 0. Gọi D là một đạo hàm
phản xứng của g . Lưu ý rằng ( )Z Z= g là không gian con ổn định với D , tức
là ( ( )) ( )D Z Z⊂g g . Do đó ta có thể giả sử ( ) ,D Z xZ x= ∈. Vì D phản xứng
nên ta có:
( ( ), ) ( , ( )) ( , ) .B D X Z B X D Z B X xZ x=− =− =−

23. 23
Do đó ta có thể giả sử ( ) , , , ,D X xX yP zQ wZ x y z w=− + + + ∈ . Do [ , ]g g
cũng là một không gian con ổn định đối với D nên ta có thể viết:
( ) và ( )D P aP bQ cZ D Q a P b Q c Z′ ′ ′= + + = + +
với , , , , ,a b c a b c′ ′ ′∈.
Ta có ( ) ([ , ]) [ ( ), ] [ , ( )]D P D X P D X P X D P= = + . Suy ra 0x b= = và c z= − .
Một cách tương tự đối với ( )D Q , ta nhận được c y′ = − và 0a′ = .
Dựa vào tính chất phản xứng của D , ta có ( ( ), ) 0B D X X = , hay 0w = .
Tương tự ( ( ), ) ( , ( ))B D P Q B P D Q= − , suy ra a b′= − . Do đó ta có ma trận của D
đối với cơ sở { , , , }X P Q Z là:
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
y a
D
z a
z y
 
 
 =
 −
 
− − 
Dễ dàng thấy được ad ( )D aX yP zQ= − +g và do đó D là một đạo hàm trong
của g .
□
Chú ý 1.45 Từ kết quả này cộng với Mệnh đề 1.42 cho ta kết quả là mọi
mở rộng kép của đại số Lie kim cương đều khả phân.
Dưới đây là một số ví dụ về mở rộng kép của một đại số Lie toàn phương.
Ví dụ 1.46 Cho Span ,q X Y= là đại số Lie toàn phương giải được 2 chiều,
theo Mệnh đề 3.1.1 a) q phải giao hoán (nghĩa là [ , ] 0qX Y = ). Trên q ta định
nghĩa dạng toàn phương :B q q′ × →  thỏa mãn ( , ) 1B X Y′ = , các trường hợp
còn lại tầm thường. Ta sẽ tiến hành mở rộng kép bằng đạo hàm phản xứng
1 0
.
0 1
C
 
=  − 
Đặt q e f= ⊕ ⊕ g và định nghĩa tích Lie trên g như sau:
[ , ] [ , ] ( ( ), ) ,[ , ] ( ) ,[ , ] ( )qX Y X Y B C X Y f f e X C X X e Y C Y Y′=+ =====− , các
trường hợp còn lại tầm thường. Dạng song tuyến tính trên g được xác định

24. 24
( , ) ( , ) 1B X Y B e f= = , các trường hợp còn lại bằng 0. Với kết quả này ta thu
được đại số Lie toàn phương (đại số Lie kim cương).
Ví dụ 1.47 Cho Span , ,q X Y Z= là đại số Lie toàn phương giao hoán 4 chiều
(nghĩa là [ , ] 0qU V = với mọi ,U V q∈ ). Trên q ta định nghĩa dạng toàn phương
( , ) ( , ) 1B X Z B Y Y′ ′= = , các trường hợp còn lại bằng 0. Ta sẽ tiến hành mở rộng
kép bằng đạo hàm phản xứng
0 1 0
0 0 1 .
0 0 0
C
 
 = − 
  
Đặt q e f= ⊕ ⊕ g và định nghĩa tích Lie trên g toán như sau:
[ , ] [ , ] ( ( ), ) ,[ , ] ( ) ,[ , ] ( )qY Z Y Z B C Y Z f f e Y C Y X e Z C Z Y′=+ =====− , các
trường hợp còn lại bằng 0. Dạng song tuyến tính trên g được xác định
( , ) ( , ) ( , ) 1B X Z B Y Y B e f= = = , các trường hợp còn lại bằng 0. Với kết quả này
ta thu được đại số Lie toàn phương cơ bản 5 chiều.
Ví dụ 1.48 Cho Span , , ,q X Y Z T= là đại số Lie toàn phương giao hoán 4
chiều (nghĩa là [ , ] 0qU V = với mọi ,U V q∈ ). Trên q ta định nghĩa dạng toàn
phương ( , ) ( , ) 1B X T B Y Z′ ′= = , các trường hợp còn lại bằng 0. Ta sẽ tiến hành
mở rộng kép bằng đạo hàm phản xứng
0 1 0 0
0 0 0 0
.
0 0 0 0
0 0 1 0
C
 
 
 =
 
 
− 
Đặt q e f= ⊕ ⊕ g và định nghĩa tích Lie trên g như sau:
[ , ] [ , ] ( ( ), ) ,[ , ] ( ) ,[ , ] ( )qY Z Y Z B C Y Z f f e Y C Y X e Z C Z T′=+ =====− , các
trường hợp còn lại bằng 0. Dạng song tuyến tính trên g được xác định
( , ) ( , ) ( , ) 1B X T B Y Z B e f= = = , các trường hợp còn lại bằng 0. Với kết quả này
ta thu được đại số Lie toàn phương cơ bản 6 chiều.

25. 25
1.2.6 Chiều toàn phương
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một đặc trưng của đại số Lie toàn
phương đó là chiều toàn phương, chiều toàn phương của một đại số Lie toàn
phương g được kí hiệu là qd ( )g . Đó là số chiều của ( )g không gian các dạng
song tuyến tính đối xứng và bất biến trên g . Cũng liên quan đến vấn đề này
chúng ta sẽ tìm hiểu thêm centromorphism của g , centromorphism đóng vai
trò trung tâm trong việc tính chiều toàn phương của g .
Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương. Mỗi dạng song tuyến tính đối
xứng B' trên g xác định được một đồng cấu :D →g g thỏa mãn
( , ) ( ( ), )B X Y B D X Y′ = với mọi ,X Y ∈g. D là một ánh xạ đối xứng (đối với B ),
nghĩa là ( ( ), ) ( , ( ))B D X Y B X D Y= với mọi ,X Y ∈g.
Bổ đề 1.49
a) B' bất biến khi và chỉ khi D thỏa mãn
([ , ]) [ ( ), ] [ , ( )], , .D X Y D X Y X D Y X Y= = ∀ ∈g
b) B' không suy biến khi và chỉ khi D khả nghịch.
Chứng minh.
a) Lấy , ,X Y Z ∈g , ta có
([ , ], ) ( ([ , ]), ), ( ,[ , ]) ( ( ),[ , ]).B X Y Z B D X Y Z B X Y Z B D X Y Z′ ′= =
b) Do B bất biến nên ( ( ),[ , ]) ([ ( ), ], )B D X Y Z B D X Y Z= và B không
suy biến nên B' bất biến khi và chỉ khi ([ , ]) [ ( ), ]D X Y D X Y= , tương tự ta
chứng minh được ([ , ]) [ , ( )]D X Y X D Y= .
c) Giả sử B' không suy biến. Với một phần tử X thuộc g thỏa mãn
( ) 0D X = thì ( ( ), ) 0B D X =g . Nên có một ( , ) 0B X′ =g , suy ra 0X = và D
khả nghịch. Ngược lại, nếu D khả nghịch thì ( , ) 0B X′ =g , dẫn tới
( ( ), ) 0B D X =g . Do B không suy biến nên ( ) 0D X = . Vậy 0X = và B'
không suy biến.
□

26. 26
Định nghĩa 1.50 Cho ( , )Bg là đại số Lie toàn phương. Một đồng cấu đối
xứng :D →g g thỏa mãn
([ , ]) [ ( ), ] [ , ( )], ,D X Y D X Y X D Y X Y= = ∀ ∈g
được gọi là một centromorphism.
Không gian các centromorphism được kí hiệu là Cen( )g và không gian con
sinh bởi centromorphism khả nghịch trong Cen( )g được kí hiệu là Cen ( )I g .
Nhắc lại Bổ đề 2.1 trong [4] như sau:
Bổ đề 1.51 Cho một đại số Lie toàn phương ( , )Bg , khi đó không gian các
centromorphism Cen( )g bằng không gian con sinh bởi các centromorphism
khả nghịch Cen ( )I g .
Chứng minh. Cho D là một centromorphism khả nghịch và Cen( )ϕ ∈ g .
Một cơ sở cố định  của g . Kí hiệu ( )M D và ( )M ϕ tương ứng là ma trận
liên kết với D và ϕ trong  . Xét đa thức ( ) det( ( ) ( ))P x M xM Dϕ= − . Do ( )P x
là đa thức khác 0 vì vậy tồn tại một số λ ∈ thỏa mãn ( ) 0P λ ≠ . Do đó Dϕ λ−
là khả nghịch, vì vậy ( ) Cen ( )ID Dϕ ϕ λ λ= − + ∈ g . Điều này chứng tỏ
Cen( ) Cen ( )I=g g .
□
Từ Bổ đề 1.51 cho ta thấy ghi Cen( )g và Cen ( )I g là như nhau, từ đó để tính
chiều toàn phương qd ( )g của một đại số Lie toàn phương g ta mô tả những
centromorphism khả nghịch của g , sau đó tính chiều của không gian sinh bởi
các centromorphism khả nghịch đó. Hay nói cách khác qd ( ) dim(Cen( ))=g g .
Phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất liên quan đến Cen( )g và
công thức tính chiều toàn phương liên quan đến đại số Lie toàn phương rút
gọn và kì dị.
Mệnh đề 1.52 Cho Cen( )D∈ g khi đó:
a) Nếu Cen( )D∈ g thì Cen( )n
D ∈ g với 2n ≥ ;
b) Nếu Cen( )D∈ g và D khả nghịch thì 1
Cen( )D−
∈ g ;

27. 27
c) ( )Z g và [ , ]g g là hai không gian con ổn định của D nghĩa
( ( )) ( )D Z Z⊂g g và ([ , ]) [ , ]D ⊂g g g g .
Chứng minh. a) Nếu Cen( )D∈ g . Giả sử Cen( )n
D ∈ g hay với mọi ,X Y ∈g.
Ta có
( ( ), ) ( , ( ))n n
B D X Y B X D Y=
và
([ , ]) [ ( ), ] [ , ( )].n n n
D X Y D X Y X D Y= =
Với mọi ,X Y ∈g, ta cần chứng minh
1 1
( ( ), ) ( , ( ))n n
B D X Y B X D Y+ +
=
và
1 1 1
([ , ]) [ ( ), ] [ , ( )].n n n
D X Y D X Y X D Y+ + +
= =
Thật vậy, với mọi ,X Y ∈g. Ta có
1 1
( ( ), ) ( ( ( )), ) ( ( ), ( )) ( , ( ))n n n n
B D X Y B D D X Y B D X D Y B X D Y+ +
= = =
và
1 1
([ , ]) ( ([ , ])) ([ ( ), ]) [ ( ), ].n n n n
D X Y D D X Y D D X Y D X Y+ +
= = =
Chứng minh tương tự ta được 1 1
([ , ]) [ , ( )]n n
D X Y X D Y+ +
= .
b) Chứng minh 1
Cen( )D−
∈ g . Với mọi ,X Y ∈g. Ta có
1 1 1 1 1 1
( ( ), ) ( ( ), ( ( ))) ( ( ( )), ( )) ( , ( ))B D X Y B D X D D Y B D D X D Y B X D Y− − − − − −
= = =
và
1 1 1 1 1 1
([ , ]) ([ ( ( )), ]) ( ([ ( ), ])) [ ( ), ].D X Y D D D X Y D D D X Y D X Y− − − − − −
= = =
Chứng minh tương tương tự ta được 1 1
([ , ]) [ , ( )]D X Y X D Y− −
= .
c) Chứng minh ( ( )) ( )D Z Z⊂g g . Lấy ( )X Z∈ g . Với mọi Y ∈g , xét
[ ( ), ] ([ , ]) 0D X Y D X Y= = .
Tiếp theo ta chứng minh ([ , ]) [ , ]D ⊂g g g g . Lấy ,X Y ∈g, xét
([ , ]) [ ( ), ] [ , ].D X Y D X Y= ∈ g g
□

28. 28
Mệnh đề 1.53 Cho Der ( )aδ ∈ g là một đạo hàm phản xứng của g . Giả thiết
Cen( )D∈ g thỏa mãn D và δ giao hoán (nghĩa là D Dδ δ° = ° ). Khi đó D δ° là
một đạo hàm phản xứng của g .
Chứng minh. Do
( )([ , ]) ([ ( ), ]) ([ , ( )]) [( )( ), ] [ ,( )( )]D X Y D X Y D X Y D X Y X D Yδ δ δ δ δ° = + = ° + °
và (( )( ), ) ( ,( )( ))B D X Y B X D Yδ δ° =− ° với mọi ,X Y ∈g, suy ra Der ( )aD δ° ∈ g . □
Chúng ta đã biết rằng mọi đạo hàm trong đều là đạo hàm phản xứng, do đó
từ Mệnh đề 1.53 nếu X ∈g và Cen( )D∈ g thì D và adX là giao hoán và
ad Der ( )X aD° ∈ g .
Một công thức chung cho qd ( )g đến nay vẫn còn là một bài toán mở. Tuy
nhiên có một số trường hợp cụ thể đã được nghiên cứu, Hệ quả 2.1 trang 266
trong [4] đã nói rằng:
Hệ quả 1.54 Cho g là một đại số Lie toàn phương.
a) Nếu g là một đại số Lie đơn hoặc một chiều thì qd ( ) 1=g ;
b) Nếu g là một đại số Lie reductive nhưng không đơn và cũng không một
chiều thì
q
dim ( )(1 dim( ( )))
d ( ) ( ) ;
2
Z Z
s
+
= +
g g
g g
c) Nếu g là một đại số Lie không reductive thì
q
dim ( )(1 dim( ( )))
1 ( ) d ( )
2
Z Z
s
+
+ + ≤
g g
g g
trong đó ( )Z g là tâm của g và ( )s g là số ideal đơn trong phân tích Levi
của g.
Mệnh đề. 1.55 Cho g là một đại số Lie toàn phương kì dị rút gọn và
( )D∈ g là một ánh xạ đối xứng thì
a) D là một centromorphism khi và chỉ khi tồn tại µ ∈ và một ánh xạ đối
xứng : ( )Zϕ →g g thỏa mãn [ , ]| 0ϕ =g g và idD µ ϕ= + . Hơn nữa D khả nghịch
khi và chỉ khi 0µ ≠ .

29. 29
b) q
dim( ( ))(1 dim( ( )))
d ( ) 1
2
Z Z+
= +
g g
g .
Chứng minh. Xem [11] trang 33-35. □
Theo Mệnh đề 1.22 chúng ta có thể chuyển bài toán nghiên cứu một đại số
Lie toàn phương bằng việc nghiên cứu các đại số Lie toàn phương bất khả
phân. Theo Mệnh đề 1.30 một đại số Lie toàn phương kì dị là bất khả phân khi
và chỉ khi nó rút gọn. Theo Mệnh đề 1.37 và Mệnh đề 1.44 thì mọi đại số Lie
toàn phương giải được đến 6 chiều đều kì dị. Vì vậy trong phần sau chúng ta
chỉ xét các đại số Lie toàn phương giải được bất khả phân đến 6 chiều, do đó
chúng kì dị và rút gọn nên số chiều của chúng được tính theo công thức
q
dim( ( ))(1 dim( ( )))
d ( ) 1 .
2
Z Z+
= +
g g
g
Cũng trong phần tính chiều toàn phương chúng tôi sẽ trình bày một cách
khác dựa vào các centromorphism để kiểm chứng lại công thức trên.

30. 30
Chương 2
Đại số Lie toàn phương cơ bản
Khái niệm đại số Lie toàn phương cơ bản được đưa ra trong [17], dựa trên
việc nghiên cứu 3-dạng phản xứng liên kết với một đại số Lie toàn phương
trong trường hợp I khả phân.
Định nghĩa 2.1 ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương cơ bản nếu 3-dạng
phản xứng liên kết với nó khả phân.
Mệnh đề 2.2 ([17])
Cho V là một không gian vector và I là k − dạng trên *
( )k
V∧ . Khi đó
dim IV k≥ và nếu 0I ≠ thì I khả phân khi và chỉ khi dim IV k= . Nếu IV có cơ
sở là 1{ , , }kω ω… thì I có dạng 1 kI αω ω= ∧…∧ với α ∈ .
Đại số Lie toàn phương cơ bản có một số tính chất đáng chú ý sau đây:
Mệnh đề 2.3 ([17])
a) g là một đại số Lie toàn phương cơ bản không giao hoán nếu và chỉ nếu
dim([ , ]) 3=g g ;
b) Nếu g là một đại số Lie toàn phương cơ bản thì quỹ đạo đối phụ hợp
của g có số chiều lớn nhất bằng 2.
Chú ý rằng phân loại các đại số Lie phức sao cho quỹ đạo đối phụ hợp của
chúng có số chiều lớn nhất bằng 2 đã được giải quyết trong bài báo [3], trong
đó các tác giả đã sử dụng nhiều công cụ sâu sắc trong lí thuyết Lie. Kết quả
thu được ngoài các đại số Lie toàn phương cơ bản được liệt kê dưới đây còn
có thêm các đại số Lie giải được là tích nửa trực tiếp của đại số Lie một chiều
 với đại số Lie giao hoán n
 , 1n ≥ . Trong khi đó việc chứng minh Mệnh đề
2.3 b) chỉ đơn giản là sử dụng Mệnh đề 2.3 a).
Để chuẩn bị cho phần tiếp theo chúng tôi nhắc một số khái niệm liên quan
như sau:
Cho ( , )Bg là một không gian vector toàn phương. Khi đó

31. 31
1. ,X Xι ∈g là đạo hàm của *
( )∧ g được định nghĩa bởi
1 2 1 1 2 1( )( , , , ) ( , , , , ),X r rX X X X X X Xι − −Ω … =Ω …
trong đó *
1 2 1( ), , , , .r
rX X X −Ω∈Λ … ∈g g
2. Trên g chọn một cơ sở trực giao cố định 1{ , , )}nX X… . khi đó tích
super-Poisson trên *
( )∧ g được định nghĩa
1 * *
1
{ , }: ( 1) ( ) ( ), ( ), ( ).j j
n
k k
X X
j
ι ι+
=
′ ′ ′Ω Ω = − Ω ∧ Ω ∀Ω∈∧ Ω ∈∧∑ g g
3. Với *
( )k
Ω∈Λ g , ta định nghĩa ánh xạ * *
ad ( ): ( ) ( )P Ω ∧ → ∧g g bởi
*
ad ( )( ) { , }, ( ).P
′ ′ ′Ω Ω = Ω Ω ∀Ω ∈Λ g
Khi đó ad ( )P Ω là một super-đạo hàm có bậc 2k − của đại số *
( )∧ g .
Bằng cách áp dụng tính chất của tích super-Poisson được định nghĩa trên
đại số các dạng đa tuyến tính phản xứng trên một đại số Lie toàn phương, G.
Pinczon và R. Ushirobira đã phân loại hoàn toàn các đại số Lie toàn phương
cơ bản trong [17].
Mệnh đề 2.4 Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương cơ bản không giao
hoán. Khi đó g là tổng trực tiếp trực giao của các ideal z và l , ở đây z là
ideal thuộc tâm và l đẳng cấu đẳng cự với một trong các đại số Lie sau:
a) dim( ) 3, (3)= =l l sl .
b) dim 4,=l l là đại số Lie kim cương.
c) { 1 2 1 2Spand }im 5, , , , ,Z Z T X X= =l l , dạng song tuyến tính đối xứng B được
xác định bởi ( , ) ,1 , 2, ( , ) 1,i j ijB X Z i j B T Tδ= ≤ ≤ = các trường hợp còn lại bằng 0
và tích Lie được cho bởi 1 2 1 2[ , ] ,[ , ]X X T X T Z= = − và 2 1[ , ]X T Z= , các trường
hợp còn lại tầm thường.
d) { }1 2 3 1 2 3dim 6, , , , ,Spa ,n Z Z Z X X X= =l l , dạng song tuyến tính đối xứng B
được xác định bởi ( , ) ,1 , 3i j ijB X Z i jδ= ≤ ≤ , các trường hợp còn lại bằng 0 và

32. 32
tích Lie được cho bởi 1 2 3 2 3 1[ , ] ,[ , ]X X Z X X Z= = và 3 1 2[ , ]X X Z= , các trường
hợp còn lại tầm thường.
Chứng minh. Giả sử ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương cơ bản không
giao hoán. Theo Mệnh đề 1.25, khi đó g là tổng trực tiếp trực giao của các
ideal z và l , ở đây z là ideal thuộc tâm và l là một đại số Lie toàn phương rút
gọn. Hơn nữa [ , ] [ , ]=l l g g .
Theo Mệnh đề 1.25 b), dim([ , ]) dim( ) 2dim([ , ])≤ ≤l l l l l và dim([ , ]) 3=l l nên ta
được 3 dim 6≤ ≤l . Từ đó ta có thể xét lần lượt các trường hợp như sau:
a) dim 3,=l tức là [ , ]=l l l . Trong trường hợp này l là một đại số Lie đơn và
phân loại của chúng đã biết trong lí thuyết Lie, đó là (3)=l sl .
b) dim 4=l . Ta có dim( ( )) 1Z =l nên tồn tại một không gian con i hai chiều
tự đẳng hướng hoàn toàn thỏa mãn ( )Z ⊂l i . Nên ( ) [ , ]Z ⊥
=l l l , ta có [ , ]⊂i l l .
Ngoài ra tồn tại không gian con tự đẳng hướng hoàn toàn ′i thỏa mãn ′= ⊕l i i .
Cho { } { },Span Span, ,Z P X Q′= =i i với ( )Z Z= l và
( , ) ( , ) 1, ( , ) ( , ) 0B Z X B P Q B Z Q B X P= = = = . Ngoài ra
{ } { }* * * *
Span Span( ) , , ( ), ( ), ( ) .Z P Q X Q P Zφ φ φ⊥
= =l
Do Il khả phân nên * * *
,I P Q Xα α= ∧ ∧ ∈l . Thay P bằng
1
P
α
, Q bằng
Qα và có thể chọn 1α = . Khi đó
* * * * * * * * *
[ , ] [ ( ) ( ) ( ) ]( , ),P Q XA B P Q X Q P Q X P P Q X Z A Bι ι ι= ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧ với mọi
, .A B∈l
Từ đó ta tính được
* * *
* * *
[ , ] ( )( , )
( )( , , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
QX P P Q X X P P
P Q X Q X P P
B Q Q B Q X B Q P
B P Q B P X B P P P P
B Z Q B Z X B Z P
ι= ∧ ∧
= ∧ ∧
= =
tính tương tự ta được [ , ] ,[ , ] ,[ , ] [ , ] [ , ] 0X Q Q P Q Z Z X Z P Z Q=− = ===.

33. 33
c) dim 5=l . Ta có dim( ( )) 2Z =l . nên tồn tại một không gian con tự đẳng
hướng hoàn toàn ′l và không gian con một chiều ′′l thỏa mãn ( )Z ′ ′′= ⊕ ⊕l l l l
và ( ( ) , ) 0B Z l′ ′′⊕ =l l . Khi đó ta có thể tìm được cơ sở 1 2{ , }Z Z của ( )Z l , cơ sở
1 2{ , }X X của l và cơ sở { }T của ′′l thỏa mãn ( , ) ,i j ijB Z X δ= với 1 , 2i j≤ ≤ và
( , ) 1B T T = . Ngoài ra
{ } { }* * * *
1 2 1 2Span S( ) , , (pan ), ( ), ( ) .Z X X T Z Z Tφ φ φ⊥
= =l
Do Il khả phân nên * * *
1 2 ,I X X Tα α= ∧ ∧ ∈l . Thay 1X bằng 1
1
X
α
, 1Z bằng
1Zα và có thể chọn 1α = . Khi đó
2
* * * * * *
1 2 1 2
1
1
ad ( ) ( ) ( )
2 i iP X Z T T
i
I X X T X X Tι ι ι ι
=
− =− ∧ ∧ ∧ − ∧ ∧ ∧∑l , nên
2
* * * * * *
1 2 1 2
1
[ , ] ( )( , ) ( )( , )iX i T
i
X Y X X T X Y Z X X T X Y Tι ι
=
= ∧ ∧ + ∧ ∧∑ , với mọi ,X Y ∈l .
Từ đó ta tính được 1 2 1 2[ , ] ,[ , ]X X T X T Z= = − và 2 1[ , ]X T Z= , các trường hợp
còn lại bằng 0.
d) dim 6=l . Ta có ( ) 3Z =l , nên ( ) [ , ] ( )Z Z ⊥
= =l l l l . Từ đó có một không gian
con tự đẳng hướng hoàn toàn ′l thỏa mãn ( )Z ′= ⊕l l l . Do |φ ′l là một đẳng cấu
từ ′l vào *
( )Z l , ta có thể chọn cơ sở 1 2 3{ , , }Z Z Z của ( )Z l và cơ sở 1 2 3{ , , }X X X
của ′l thỏa mãn ( , ) ,i j ijB Z X δ= với 1 , 3i j≤ ≤ . Khi đó
{ } { }* * * *
1 2 3 1 2 3Span Span( ) , , ( ), ( ), ( ) .Z X X X Z Z Zφ φ φ⊥
= =l
Do ( , , ) ([ , ], )I X Y Z B X Y Z=l , với mọi , ,X Y Z ∈l . Từ *
( ) )IV Z ⊥
=l
l , do Il khả
phân nên * * *
1 2 3I X X Xα= ∧ ∧l , với α ∈ . Thay 1X bằng 1
1
X
α
, 1Z bằng 1Zα và
có thể chọn 1α = . Khi đó
3
* * *
1 2 3
1
1
ad ( ) ( )( , )
2 iP X i
i
I X X X X Y Zι
=
− =− ∧ ∧∑l , với mọi
,X Y ∈l .
Từ đó ta tính được 1 2 3 2 3 1[ , ] ,[ , ]X X Z X X Z= = và 3 1 2[ , ]X X Z= , các trường hợp
còn lại bằng 0 □

34. 34
Chương 3
Phân loại đại số Lie toàn phương giải được đến
6 chiều và chiều toàn phương
3.1 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 4 chiều và
chiều toàn phương
3.1.1 Phân loại nhờ Phân tích Witt
Sau đây chúng tôi nhắc lại kết quả phân loại các đại số Lie toàn phương
giải được có số chiều bé hơn hoặc bằng 4. Kết quả này có thể tìm thấy trong
[18] nhưng ở đây chúng tôi sẽ cải tiến nó để đưa ra một chứng minh gọn hơn
nhờ một kết quả đáng chú ý trong [17] rằng nếu g là một đại số Lie toàn
phương không giao hoán thì dim[ , ] 3≥g g .
Mệnh đề 3.1 Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương giải được có số
chiều bé hơn hoặc bằng 4. Khi đó ta có các trường hợp sau:
a) Nếu dim( ) 3≤g thì g giao hoán;
b) Nếu dim( ) 4=g và g không giao hoán thì g đẳng cấu đẳng cự với đại số
Lie Kim cương.
Chứng minh. Vì g giải được nên [ , ] ≠g g g. Do đó nếu dim( ) 3≤g thì g phải
giao hoán và ta nhận được khẳng định a). Nếu dim( ) 4=g thì g không giao
hoán, ta sẽ chứng minh g rút gọn. Thật vậy, nếu g không rút gọn thì tồn tại
một vector X thuộc tâm của g thỏa mãn ( , ) 0B X X ≠ . Điều này chứng tỏ
I X=  là một ideal không suy biến của g và do đó I I
⊥
⊥
= ⊕g (theo Mệnh đề
1.22 Chú ý rằng I⊥
là một đại số Lie toàn phương giải được 3 chiều nên I⊥
phải giao hoán. Do đó g giao hoán. Mẫu thuẫn này chứng tỏ g phải rút gọn,
tức là ( ) [ , ]Z ⊂g g g .
Vì [ , ] {0}≠g g và dim([ , ]) 3≥g g nên dim([ , ]) 3=g g . Do đó dim( ( )) 1Z =g . Ta
giả sử ( )Z g sinh bởi vector Z . Vì ( )Z g tự đẳng hướng hoàn toàn nên theo
phân tích Witt (xem Mệnh đề 1.27) tồn tại một không gian con 1 chiều tự

35. 35
đẳng hướng hoàn toàn W và một không gian con 2 chiều F không suy biến
của g sao cho ( ( ) )F Z W
⊥
=⊕ ⊕g g .
Hơn nữa, ta có thể chọn một vector cơ sở X của W và một cơ sở { , }P Q
của F sao cho ( , ) ( , ) 1B X Z B P Q= = và ( , ) ( , ) 0B P P B Q Q= = .
Vì [ , ] ( )Z ⊥
=g g g nên { }Span[ , ] , ,Z P Q=g g . Do [ , ],[ , ],[ , ] [ , ]X P X Q P Q ∈ g g nên
ta có thể giả sử 1 1 1 2 2 2[ , ] ,[ , ]X P a Z b P c Q X Q a Z b P c Q= + + = + + , và
3 3 3[ , ]P Q a Z b P c Q= + + với , , ,1 3i i ia b c i∈ ≤ ≤ .
Ta có ( ,[ , ]) ([ , ], ) 0B X X P B X X P= = , suy ra 1 1 1( , ) 0B X a Z b P c Q+ + =, suy ra
1 0a = .
Tính toán tương tự, ta có ( ,[ , ]) 0B P X P = dẫn đến 1 0c = , tức là 1[ , ]X P b P= .
Từ tính bất biến của B và cách làm giống như trên, ta thu được 2[ , ]X Q c Q=
và 3[ , ]P Q a Z= . Hơn nữa từ ([ , ], ) ( ,[ , ]) ([ , ], )B X P Q B X P Q B X Q P= = − nên ta có
1 2 3 0b c a=− = ≠ .
Đổi cơ sở { , , , }Z P Q X bằng cách đặt 3:Z a Z= và
3
:
X
X
a
= ta được
[ , ] ,[ , ]X P P X Q Q= = − và [ , ]P Q Z= . Chú ý rằng phép đổi cơ sở này là một
phép đẳng cấu đẳng cự nên g đẳng cấu đẳng cự với đại số Lie kim cương. □
Chú ý 3.2 Trong trường hợp g không giải được thì chỉ có 2 trường hợp
(3)=g o (đại số Lie đơn 3 chiều) hoặc (3) X= ⊕ g o (trường hợp này g không
rút gọn).
3.1.2 Tính chiều toàn phương
Sau đây là phần tính toán chiều toàn phương của đại số Lie toàn phương
giải được trên.
Để tính chiều toàn phương ta phải tìm ma trận biểu diễn của
centromorphism khả nghịch :D →g g của g
muốn vậy ta phải tính ( ), ( )D X D P , ( ), ( )D Q D Z .
Do ( )D X ∈g, nên ( )D X phải có dạng ( ) ; , , ,D X aX bP cQ dZ a b c d= + + + ∈ .
Ta có

36. 36
0 ([ , ]) [ , ( )] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ]D X X X D X X aX bP cQ dZ a X X b X P c X Q d X Z= = = + + + = + + +
suy ra 0b c= = . Nên ( ) ; ,D X aX dZ a d=+ ∈.
Ta có
( ) ([ , ]) [ ( ), ] [ , ] [ , ] [ , ] 0D P D X P D X P aX dZ P a X P d Z P aP aP= = = + = + = + = .
Tương tự ta có ( )D Q aQ= và ( )D Z aZ= .
Do đó
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
a
a
D
a
d a
 
 
 =
 
 
 
ta nhận thấy D chỉ phụ thuộc vào a,d. Do đó
qd ( ) 2.=g
Một cách khác ( )Z Z= g , nên dim ( ) 1Z =g . Vì đại số Lie này là một đại số
Lie kì dị rút gọn nên áp dụng công thức trong Mệnh đề 1.55, ta có
q
dim( ( ))(1 dim( ( ))) 1(1 1)
d ( ) 1 1 2.
2 2
Z Z+ +
=+ =+ =
g g
g
3.2 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều và
chiều toàn phương
3.2.1 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều
Giả sử ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều bất khả phân.
Hiển nhiên g phải là một đại số Lie toàn phương rút gọn. Khi đó chỉ có 2
trường hợp: dim( ( )) 1Z =g và dim( ( )) 2Z =g . Ta sẽ lần lượt xét hai trường hợp
này như sau:
(i) Nếu dim( ( )) 1Z =g . Giả sử ( )Z Z= g . Khi đó tồn tại một vector tự đẳng
hướng Y và một không gian con F của g sao cho ( , ) 1B Z Y = và
( )F Z Y
⊥
= ⊕ ⊕ g , ở đây ( )F Z Y ⊥
= ⊕  . Ta có thể chọn một cơ sở { , , }P Q X
của không gian F sao cho ( , ) ( , ) 1B P X B Q Q= = , trường hợp còn lại bằng 0.
Vì [ , ] ( )Z ⊥
=g g g nên { }Spa[ , ] , , ,n Z P Q X=g g . Hơn nữa
([ , ], ) ([ , ], ) 0.B Y X Y B Y X X= =

37. 37
Ta có thể giả sử 1 1[ , ]Y X a X b Q= + với 1 1,a b ∈ . Tương tự ta thu được các
tích Lie như sau:
2 2 3 3 4 4 5 5[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ]Y Q a X b P Y P a Q b P X Q a X b Z X P a Q b Z=+ =+ =+ =+ và
6 6[ , ]Q P a Q b Z= + trong đó , ,2 6i ia b i∈ ≤ ≤ .
Từ tính chất bất biến của B ta thu được 1 5 3 1 4 2,a b b b b b==− ==− ,
2 6 3a b a= = − và 4 6 5a a a= = − . Do đó ta viết lại như sau:
[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ]Y X xX yQ Y Q zX yP Y P zQ xP X Q wX yZ X P wQ xZ= + = − =− − = + =− +
và [ , ]Q P wP zZ= + ở đây , , ,x y z w∈ .
Nếu 0w ≠ , đặt các vector [ , ], [ , ]A X Q B X P= = và [ , ]C Q P= . Khi đó
2 2 2
[ , ] [ , ] ,[ , ]A B w X Q w A B C w C=− =− =− và 2
[ , ]C A w B= − . Điều này chứng tỏ
không gian vector { }Span , ,U A B C= trở thành một đại số con của g và đại số
này không giải được. Điều này mâu thuẫn với g giải được. Do đó 0w = .
Dễ dàng kiểm tra được rằng vector ( )zX xQ yP Z− + ∈ g . Hơn nữa 3 số z,x,y
không đồng thời triệt tiêu. Điều này dẫn tới dim( ( )) 1Z >g và do đó trường hợp
này không xảy ra.
(ii) Nếu dim( ( )) 2Z =g . Ta giả sử { }1 2Spa( ) ,nZ Z Z=g . Theo phân tích Witt
(xem Mệnh đề 1.27) tồn tại các vector 1 2,X X và T thỏa mãn:
{ }1 2 1 2, , ,an ,Sp Z Z T X X=g , không gian { }1 2Span ,W X X= tự đẳng hướng hoàn
toàn, dạng song tuyến tính đối xứng B được xác định bởi
( , ) ,1 , 2, ( , ) 1i j ijB X Z i j B T Tδ= ≤ ≤ = , các trường hợp còn lại bằng 0.
Vì [ , ] ( )Z ⊥
=g g g nên { }1 2Spa[ , ] ,n ,Z Z T=g g . Do đó ta có thể giả sử rằng
1 2 1 1 2 2 3 1 1 1 2 2[ , ] ,[ , ]X X a Z a Z a T X T b Z b Z yT= + + = + + và 2 1 1 2 2[ , ]X T c Z c Z zT= + + ,
với , , , , , ,1 2i i ia b c x y z i∈ ≤ ≤ .
Do B bất biến nên ta dễ dàng suy ra 1 2 1 2 2[ , ] ,[ , ]X X xT X T b Z= = và
2 1 1[ , ]X T c Z= , ở đây 2 1 0x b c=− = ≠ (cách làm hoàn toàn tương tự như trong
chứng minh Mệnh đề 1.31). Đổi cơ sở bằng cách đặt 1
1 :
X
X
x
= và 1 1:Z cZ= (đây

38. 38
là một phép đẳng cấu đẳng cự) ta được tích Lie xác định bởi:
1 2 1 2[ , ] ,[ , ]X X T X T Z= = − và 2 1[ , ]X T Z= .
Từ i) và ii) ta thu được kết quả phân loại trong trường hợp giải được 5
chiều như sau:
Mệnh đề 3.3 Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều
bất khả phân. Khi đó tồn tại một cơ sở 1 2 1 2{ , , , , }Z Z T X X của g sao cho
( , ) ,1 , 2, ( , ) 1i j ijB X Z i j B T Tδ= ≤ ≤ = , các trường hợp còn lại bằng 0 và tích Lie
được xác định bởi 1 2 1 2[ , ] ,[ , ]X X T X T Z= = − và 2 1[ , ]X T Z= , các trường hợp còn
lại tầm thường.
3.2.2 Tính chiều toàn phương
Sau đây là phần tính toán chiều toàn phương của đại số Lie toàn phương
giải được bất khả phân trên.
Để tính chiều toàn phương ta phải tìm ma trận biểu diễn của
centromorphism khả nghịch :D →g g của g muốn vậy ta phải tính
1 2( ), ( )D X D X , 1 2( ), ( ), ( )D T D Z D Z .
Do 1( )D X ∈g, nên 1( )D X phải có dạng
1 1 2 1 2( ) ; , , , ,D X aX bX cT dZ eZ a b c d e= + + + + ∈ .
Mà 1 1 1 10 ([ , ]) [ , ( )] 0D X X X D X b c= = ⇒ = = . Nên
1 1 1 2( ) ; , ,D X aX dZ eZ a d e= + + ∈ .
1 2 1 2 1 1 2 2( ) ([ , ]) [ ( ), ] [ , ]D T D X X D X X aX dZ eZ X aT= = = + + = .
2 1 1 1 1 2 2( ) ([ , ]) [ , ( )] [ , ]D Z D T X T D X T aX dZ eZ aZ= = = + + = .
1 2 2 2 2 1( ) ([ , ]) [ , ( )] [ , ] [ , ]D Z D X T X D T X aT a X T aZ= = = = = .
Tương tự như tính 1( )D X , ta có 2 2 1 2( ) ; , ,D X b X d Z e Z b d e′ ′ ′ ′ ′ ′= + + ∈ . Mà
1 2 1 2([ , ]) [ , ( )]D X X X D X b T′= = và 1 2 1 2([ , ]) [ ( ), ]D X X D X X aT= = .
Suy ra a b′= , do đó 2 2 1 2( ) ; , ,D X aX d Z e Z a d e′ ′ ′ ′= + + ∈. Ta có
1 2 1 2( , ( )) ( ( ), )B X D X B D X X d e′= ⇔= . Nên 2 2 1 2( ) ; , ,D X aX eZ e Z a e e′ ′= + + ∈ .
Do đó

39. 39
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
a
D a
d e
e e
 
 
 
 =
 
 
 ′ 
ta nhận thấy D chỉ phụ thuộc vào a,d,e,e'. Do đó
qd ( ) 4.=g
Một cách khác, ta nhận thấy 1 2( )Z Z Z= ⊕ g . Do đó dim( ( )) 2Z =g . Vì đại
số Lie này là một đại số Lie kì dị rút gọn nên áp dụng công thức trong Mệnh
đề 1.55 ta có
q
dim( ( ))(1 dim( ( )) 2(1 2)
d ( ) 1 1 4.
2 2
Z Z+ +
=+ =+ =
g g
g
3.3 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều và
chiều toàn phương
3.3.1 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều
Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương không giao hoán giải được bất
khả phân và dim 6=g . Khi đó theo Mệnh đề 1.37 và Mệnh đề 1.44 thì g là
một đại số toàn phương giải được Lie kì dị. Do đó theo Định lí 1.31 thì g là
một mở rộng kép của một đại số Lie toàn phương giải được 4 chiều. Theo
Mệnh đề 1.30 thì g còn là đại số Lie toàn phương rút gọn, nên chiều toàn
phương được tính theo công thức
q
dim( ( ))(1 dim( ( )))
d ( ) 1 .
2
Z Z+
= +
g g
g
Theo [11], một đại số Lie toàn phương giải được bất khả phân 6 chiều được
phân loại đúng đến đẳng đẳng cấu đẳng cự qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.4 Cho ( , )Bg là một đại số Lie toàn phương giải được, bất khả
phân và dim 6=g . Giả sử 1 2 3 1 2 3Span{ , , , , , }X X X Z Z Z=g , ở đây dạng song tuyến
tính đối xứng B được xác định bởi ( , ) ,1 , 3i j ijB X Z i jδ= ≤ ≤ , các trường hợp
còn lại bằng 0. Khi đó g đẳng cấu với một trong các đại số Lie sau:

40. 40
i) 6,1 1 2 3 2 3 1:[ , ] ,[ , ]X X Z X X Z= =g và 3 1 2[ , ] ,X X Z= các trường hợp còn lại
bằng 0;
ii) 6,2 3 1 1 3 2 2 3 1 1 3 2 2 1 1 3( ):[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ]X Z Z X Z Z X X X X X X Z X Zλ λ λ== =− =− =g
và 2 2 3[ , ]Z X Zλ= với 0λ ≠ , các trường hợp còn lại bằng 0. Trong trường hợp
này 6,2 1( )λg và 6,2 2( )λg đẳng cấu nếu và chỉ nếu 1 2λ λ= ± hoặc 1
2
1
λ
λ
= ;
iii) 6,3 3 1 1 3 2 1 2 3 1 1 2 3 2 2:[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ]X Z Z X Z Z Z X X X X X X X= = + =− − =−g và
1 1 2 2 2 1 3[ , ] [ , ] [ , ]Z X Z X Z X Z= = = .
Chứng minh. Giả sử ( , )Bg là đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều bất
khả phân. Khi đó g là là mở rộng kép của một đại số Lie toàn phương ( , )B′h
giải được 4 chiều bởi một đạo hàm phản xứng nào đó. Vì g bất khả phân nên
theo Mệnh đề 1.44, h phải giao hoán và do đó g là mở rộng kép một chiều
của đại số Lie giao hoán 4 chiều. Theo [11], phân loại đẳng cấu các mở rộng
kép như thế tương đương với phân loại các quỹ đạo phụ hợp trong không gian
xạ ảnh của ( )o h . Để thỏa mãn điều kiện g bất khả phân, chỉ có 3 quỹ đạo
tương ứng với 3 trường hợp của ( )C ∈o h như sau:
1 2 3
0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
, ( ) ,
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1
C C C
λ
λ
λ
     
     
     = = =
     − −
     
− − − −     
ở đây cơ sở 1 2 1 2{ , , , }Z Z X X của h được chọn trước thỏa mãn
1 1 2 2( , ) ( , ) 1B Z X B Z X′ ′= = , các trường hợp còn lại bằng 0. Khi đó 6,1 6,2 6,3, ( ),λg g g
lần lượt là mở rộng kép của h bởi 1 2, ( )C C λ và 3C . Chú ý rằng, cũng trong
[11], 6,2 1( )λg và 6,2 2( )λg đẳng cấu nếu và chỉ nếu 1 2λ λ= . □
3.3.2 Tính chiều toàn phương
a. Chiều toàn phương của đại số Lie toàn phương 6,1g
Để tính chiều toàn phương ta phải tìm ma trận biểu diễn của
centromorphism khả nghịch :D →g g của g muốn vậy ta phải tính
1 2( ), ( )D X D X , 3 1 2 3( ), ( ), ( ), ( )D X D Z D Z D Z .

41. 41
Do 1 6,1( )D X ∈g , nên 1( )D X phải có dạng
1 1 1 2 2 3 3 4 1 5 2 6 3( )D X a X a X a X a Z a Z a Z= + + + + + , trong đó 1 2 3 4 5 6, , , , ,a a a a a a ∈ .
Ta có 1 1 1 10 (0) ([ , ]) [ , ( )]D D X X X D X= = = , suy ra 2 3 0a a= = . Nên
1 1 1 4 1 5 2 6 3( )D X a X a Z a Z a Z= + + + , trong đó 1 4 5 6, , ,a a a a ∈.
2 3 1 3 1 1 2( ) ([ , ]) [ , ( )]D Z D X X X D X a Z= = = .
3 1 2 1 2 1 3( ) ([ , ]) [ ( ), ]D Z D X X D X X a Z= = = .
Tương tự ta có 2 1 2 5 1 5 2 6 3( )D X a X a Z b Z b Z= + + + , trong đó 1 5 5 6, , ,a a b b ∈ .
1 2 3 2 3 1 1( ) ([ , ]) [ ( ), ]D Z D X X D X X a Z= = = .
3 1 3 6 1 6 2 6 3( )D X a X a Z b Z c Z= + + + , trong đó 1 6 6 6, , ,a a b c ∈.
Vì vậy
1
1
1
4 5 6 1
5 5 6 1
6 6 6 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
a
a
a
D
a a a a
a b b a
a b c a
 
 
 
 
=  
 
 
 
  
ta nhận thấy D chỉ phụ thuộc vào 1 4 5 6 5 6 6, , , , , ,a a a a b b c . Do đó qd ( ) 7=g .
Một cách khác, ta nhận thấy 1 2 3( )Z Z Z Z= ⊕ ⊕  g . Do đó dim( ( )) 3Z =g .
Vì đại số Lie này là một đại số Lie kì dị rút gọn nên áp dụng công thức trong
Mệnh đề 1.55, ta có
q
dim( ( ))(1 dim( ( ))) 3(1 3)
d ( ) 1 1 7.
2 2
Z Z+ +
=+ =+ =
g g
g
b. Chiều toàn phương của đại số Lie toàn phương 6,2 ( )λg
Để tính chiều toàn phương ta phải tìm ma trận biểu diễn của
centromorphism khả nghịch :D →g g của g muốn vậy ta phải tính
1 2( ), ( )D X D X , 3 1 2 3( ), ( ), ( ), ( ).D X D Z D Z D Z
Do 3 6,2( )D X ∈g nên 3( )D X phải có dạng
3 1 2 3 1 2 3( )D X aX bX cX dZ eZ fZ= + + + + + , trong đó , , , , ,a b c d e f ∈ .
Ta có

42. 42
3 3 3 30 ([ , ]) [ , ( )]D X X X D X= = , suy ra 0a b d e= = = = . Nên
3 3 3( )D X cX fZ= + , trong đó ,c f ∈ .
1 3 1 3 1 1( ) ([ , ]) [ ( ), ]D Z D X Z D X Z cZ= = = .
2 3 2 3 2 2
1 1
( ) ([ , ]) [ ( ), ]D Z D X Z D X Z cZ
λ λ
= = = .
3 1 1 1 1 3( ) ([ , ]) [ ( ), ]D Z D Z X D Z X cZ= = = .
1 1 3 1 3 1( ) ([ , ]) [ , ( )]D X D X X X D X cX= = = .
2 2 3 2 3 2
1 1
( ) ([ , ]) [ , ( )]D X D X X X D X cX
λ λ
= = = .
Vì vậy
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
c
c
c
D
c
c
f c
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
ta nhận thấy D chỉ phụ thuộc vào c,f. Do đó qd ( ) 2=g .
Một cách khác, ta nhận thấy 3( )Z Z= g . Do đó dim( ( )) 1Z =g . Vì đại số Lie
này là một đại số Lie kì dị rút gọn nên áp dụng công thức trong Mệnh đề
1.55, ta có
q
dim( ( ))(1 dim( ( ))) 1(1 1)
d ( ) 1 1 2.
2 2
Z Z+ +
=+ =+ =
g g
g
c. Chiều toàn phương của đại số Lie toàn phương 6,3g
Để tính chiều toàn phương ta phải tìm ma trận biểu diễn của
centromorphism khả nghịch :D →g g của g muốn vậy ta phải tính
1 2( ), ( )D X D X , 3 1 2 3( ), ( ), ( ), ( )D X D Z D Z D Z .
Do 3 6,3( )D X ∈g nên 3( )D X phải có dạng
3 1 2 3 1 2 3( )D X aX bX cX dZ eZ fZ= + + + + + ,
trong đó , , , , ,a b c d e f ∈ . Ta có

43. 43
3 3 3 30 ([ , ]) [ , ( )]D X X X D X= = , suy ra 0a b d e= = = = . Nên 3 3 3( )D X cX fZ= + ,
trong đó ,c f ∈ .
Tương tự
1 3 1 3 1 1( ) ([ , ]) [ ( ), ]D Z D X Z D X Z cZ= = = .
2 3 2 1 3 2 1 2( ) ([ , ] ) ([ , ]) ( )D Z D X Z Z D X Z D Z cZ= −= − = .
2 3 2 3 2 2( ) ([ , ]) [ ( ), ]D X D X X D X X cX=− =− =.
1 1 3 2 1 3 2 1( ) ([ , ] ) ([ , ]) ( )D X D X X X D X X D X cX= −= − = .
3 2 1 2 1 3( ) ([ , ]) [ , ( )]D Z D Z X Z D X cZ= = = .
Vì vậy
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
c
c
c
D
c
c
f c
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
ta nhận thấy D chỉ phụ thuộc vào c,f. Do đó qd ( ) 2=g .
Một cách khác, ta nhận thấy 3( )Z Z= g . Do đó dim( ( )) 1Z =g . Vì đại số Lie
này là một đại số Lie kì dị rút gọn nên áp dụng công thức trong Mệnh đề
1.55, ta có
q
dim( ( ))(1 dim( ( ))) 1(1 1)
d ( ) 1 1 2.
2 2
Z Z+ +
=+ =+ =
g g
g
3.3.3 Phân loại 3-dạng trên một không gian vector phức và đại số Lie
toàn phương kì dị
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một cách tiếp cận khác đến phân loại
các đại số Lie toàn phương giải được thấp chiều. Như chúng ta đã thấy ở trên,
mọi đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều đều kì dị. Kết quả này được
chứng minh thông qua việc phân loại một cách cụ thể theo số chiều tăng dần.
Tuy nhiên, bằng cách phân loại (đúng đên đẳng cấu) 3-dạng trên một không
gian vector V với 1 dim 5V≤ ≤ , chúng tôi cũng chứng minh được rằng mọi đại
số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều đều kì dị và do đó ta thu được toàn

44. 44
bộ đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều nhờ phương pháp mở rộng
kép và phân loại quỹ đạo của không gian xạ ảnh của đại số ( )no . Phương pháp
chủ yếu là thay đổi cơ sở của không gian đối ngẫu *
V .
Ta thấy rằng nếu dim 1V = hoặc 2 chiều và 3 *
( )I V∈Λ là 3-dạng trên V thì
0I = . Do đó ta chỉ còn xét trường hợp V lớn hơn 2 chiều khi đó 0I ≠ .
Trường hợp dim 3V =
Nếu 0I ≠ thì tồn tại một cơ sở { }1 2 3, ,α α α của *
V thỏa mãn
1 2 3, 0I a aα α α= ∧ ∧ ≠ . Thay 1α bằng 1
1
a
α , ta được 1 2 3I α α α= ∧ ∧ .
Trường hợp dim 4V =
Ta sẽ chứng minh rằng mọi 3-dạng trên V là khả phân. Gọi { }1 2 3 4, , ,α α α α
là một cơ sở của *
V . Khi đó I có dạng
1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4I a b c dα α α α α α α α α α α α= ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧
trong đó , , ,a b c d ∈ . Ta có thể viết lại
1 2 3 4 1 2 3 4( ) ( ) .I a b c dα α α α α α α α= ∧ ∧ + + + ∧ ∧
Nếu 3 4 0a bα α+ =hoặc 1 2 0c dα α+ =thì I khả phân. Nếu 3 4 0a bα α+ ≠ và
1 2 0c dα α+ ≠ , do đó ta có thể giả sử 0a ≠ và 0c ≠ . Chuyển cơ sở của *
V như
sau
1 1 2
2 2 4
3 3 4 4 4
1 1
c d
c a
a b
β α α
β α α
β α α β α
= +
= −

+ =

=



Khi đó
1 1 2 4
2 2 4
3 3 4 4 4
1
1
d
d
c a
c
c
a
b
a a
α β β β
α β β
α β β α β
= − −



= +
= − =







45. 45
thay vào 3.1 ta được
1 2 3.I β β β= ∧ ∧
Do đó I khả phân.
Trường hợp dim 5V =
Bổ đề 3.5 Cho 1V là một không gian vector phức 4-chiều và J là 2-dạng
trên 1V . Khi đó tồn tại một cơ sở { }1 2 3 4, , ,β β β β của *
1V thỏa mãn
1 2 3 4 ,J p qβ β β β= ∧ + ∧
trong đó ,p q∈.
Chứng minh. Gọi 1 2 3 4{ , , , }β β β β là một cơ sở của *
1V , khi đó J có dạng:
1 2 3 4 2 3 4 3 4( ) ( ) ,J a b c d e fβ β β β β β β β β= ∧ + + + ∧ + + ∧
trong đó , , , , ,a b c d e f ∈ .
a) Nếu 2 3 4 0a b cβ β β+ + =và 3 4 0d eβ β+ =thì ta có kết quả trên.
b) Nếu 2 3 4 0a b cβ β β+ + =và 3 4 0d eβ β+ ≠ thì ta có thể giả sử 0d ≠ . Khi đó
thay 3 4
c
d
β β′ = , 2 2 4
f
d
β β β′= − , ta cũng nhận được kết quả như trên.
c) Nếu 2 3 4 0a b cβ β β+ + ≠ và 3 4 0d eβ β+ =thì ta có thể giả sử 0a ≠ vì nếu
0a = lại quay về phần b). Ta thay 2 2 3 4
b c
a a
β β β β′ = + + ta thu được kết quả trên.
d) Nếu 0f = , ta có thể giả sử 0d ≠ . Sau đó thay 3 3 4
e
d
β β β′= + ta được c).
e) Nếu 2 3 4 0a b cβ β β+ + ≠ và 3 4 0d eβ β+ ≠ , ta có thể giả sử 0d ≠ . Sau đó
thay 3 3 4
e
d
β β β′= + ta được d). Tóm lại J chỉ có dạng
1 2 3 4 ,J p qβ β β β= ∧ + ∧
trong đó ,p q∈. □
Trên *
V chọn cơ sở { }1 2 3 4 5, , , ,α α α α α thỏa mãn 3-dạng I có dạng
1 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 ,I a b c dα α α α α α α α α α α α α= ∧ Ω + ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧
trong đó 2 3 3 4p qα α α αΩ= ∧ + ∧ và , , , , ,a b c d p q∈ .

46. 46
Bổ đề 3.6 Mọi 3-dạng I đều có dạng
1 1,I Iα= ∧ Ω +
trong đó 1 0I = hoặc 1I khả phân. Hơn nữa I là một trong các dạng sau
a) 1I α= ∧ Ω .
b) 1 2 3 4 5( ), 0I a b aα α α α α= ∧ Ω + ∧ ∧ + ≠ .
c) 1 2 3 4 5( ) , 0I c d cα α α α α= ∧ Ω + + ∧ ∧ ≠ .
d) 1 2 3 5 4( ) , , 0I a c a cα α α α α= ∧ Ω + ∧ − ∧ ≠ .
Chứng minh. Trước hết ta có thể viết lại
1 2 3 4 5 2 3 4 5( ) ( )I a b c dα α α α α α α α α= ∧ Ω + ∧ ∧ + + + ∧ ∧ . Nếu 4 5 0a bα α+ =hoặc
2 4 0c dα α+ =thì I có dạng a), b) hoặc c). Nếu 4 5 0a bα α+ ≠ và 2 4 0c dα α+ ≠
thì ta có thể giả sử 0a ≠ và 0c ≠ . Sau đó thay 2 2 3 4 4 5,
d b
c a
α α α α α α′ ′=+ =+ .
Khi đó ta có
1 2 3 4 2 4 5.I a cα α α α α α α′′ ′ ′= ∧ Ω + ∧ ∧ + ∧ ∧
Nghĩa là I có dạng d).
Mệnh đề 3.7 Nếu I là 3-dạng bất khả phân trên V thì tồn tại một cơ sở
{ }1 2 3 4 5, , , ,α α α α α của *
V thỏa mãn I có dạng
1 2 3 4 5( ).I a bα α α α α= ∧ ∧ + ∧
Chứng minh. Theo Bổ đề 3.5 ta có thể chọn 1 2 3 4 5{ , , , , }α α α α α là một cơ sở
của *
V thỏa mãn I có dạng
1 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 ,I a b c dα α α α α α α α α α α α α= ∧ Ω = ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧
trong đó 2 3 4 5p qα α α αΩ= ∧ + ∧ với , , , , ,a b c d p q∈ .
Theo Bổ đề 3.6 thì I là một trong 4 dạng trên. Ta sẽ chứng minh trong 3
dạng b), c), d), sau khi loại bỏ phần khả phân ta có thể đưa về dạng a). Thật
vậy, dạng b) và c) là tương đương nhau nên ta chỉ xét dạng b). Ta có thể viết
lại như sau
1 2 3 4 5 2 3 4 5
2 3 1 4 5 1 4 5
( ) ( )
( ) .
I p q a b
p a b q
α α α α α α α α α
α α α α α α α α
= ∧ ∧ + ∧ + ∧ ∧ +
= ∧ ∧ + + + ∧ ∧

47. 47
Thay 4 1 4 5
p b
a a
α α α α′= + + , ta được
4 2 3 1 5( ).I a qα α α α α′= ∧ ∧ − ∧
Từ d) ta viết lại
2 3 1 4 1 2 4 5( ) ( ) .I p a q cα α α α α α α α= ∧ ∧ + + + ∧ ∧
Nếu 0p q= = thì 2 3 3 5( )I a cα α α α= ∧ ∧ − + là khả phân.
Nếu 0p ≠ , ta thay 1 1 4
a
p
α α α′= + thì
2 3 1 1 2 4 5( )I p q cα α α α α α α′ ′= ∧ ∧ + + ∧ ∧
và 2 1 2
q
c
α α α′ ′= + thì
2 3 1 4 5( ).I p cα α α α α′ ′= ∧ ∧ + ∧ □
Hệ quả 3.8 Cho V là một không gian vector, *
V là không gian đối ngẫu
và I là 3-dạng trên V . Ta định nghĩa
*
{ | 0} và dup( ) dim( ).I IV V I V Vα α= ∈ ∧ = =
thì dup( ) 0V ≠ nếu 1 dim( ) 5V≤ ≤ .
Chứng minh. Nếu 0I = thì *
IV V= . Nếu I là một 3-dạng khả phân thì
dup( ) 3V = . Giả sử I bất khả phân. Do dim( ) 5V ≤ khi đó chỉ có trường hợp
dim( ) 5V = . Trong trường hợp này theo Mệnh đề 3.8 với , 0a b ≠ thì dup( ) 1V = .
Hệ quả 3.9 Cho g là một đại số Lie toàn phương không giao hoán thỏa
mãn dim[ , ] 5≤g g . Khi đó g là kì dị.
Chứng minh. Ta có 3
( )II W∈Λ trong đó ([ , ])IW φ= g g (Hệ quả 1.28). Do
dim[ , ] 5≤g g nên dup( ) 0≠g và g là một đại số Lie kì dị.
Hệ quả 3.10 Cho g là một đại số Lie toàn phương giải được không giao
hoán thỏa mãn dim( ) 6≤g . Khi đó g là kì dị.
Chứng minh. Từ g là giải được nên [ , ] ≠g g g và dim[ , ] 5≤g g . Áp dụng Hệ
quả 3.9 ta có điều cần chứng minh.

48. 48
Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày một số kết quả về đại số Lie toàn
phương thấp chiều cũng như đặc trưng về chiều toàn phương của chúng.
Chúng tôi tiếp cận vấn đề qua hai phương pháp cơ bản trong nghiên cứu các
đại số Lie toàn phương: Mở rộng kép và 3-dạng liên kết. Chú ý rằng còn một
cách tiếp cận khác theo phương pháp Mở rộng *
T trong tài liệu [6] cũng như
những phân loại ở chiều thấp với nhiều tiêu chuẩn khác đã được thực hiện, ví
dụ bởi nhóm tác giả G. Favre (cho trường hợp lũy linh đến 7 chiều) hay nhóm
tác giả S. Benayadi (cho trường hợp đại số Lie toàn phương symplectic đến 8
chiều). Đây cũng là những vấn đề khá lý thú trong nghiên cứu các đại số Lie
toàn phương.
Một câu hỏi đặt ra đối với chúng tôi là vậy với số chiều lớn hơn, như 7
chiều thì lớp các đại số Lie toàn phương giải được không kì dị (dup( ) 0=g ) là
gì? Có những tính chất hay những bất biến gì không? Có lẽ công việc đầu tiên
là phân loại các đại số Lie toàn phương giải được không kì dị 7 chiều và sau
đó với các số chiều lớn hơn. Từ đó chúng ta hi vọng sẽ tìm thấy một lớp đủ
lớn các đại số Lie toàn phương giải được không kì dị để khảo sát ra những
tính chất và những bất biến cho lớp này.
Như ta đã biết Mở rộng kép của một đại số Lie toàn phương giao hoán bằng
đạo hàm phản xứng cho ta đại số Lie toàn phương giải được kì dị. Do đó để
tìm ra các đại số Lie toàn phương giải được không kì dị 7 chiều ta có thể xét
các mở rộng kép của đại số Lie toàn phương cơ bản 5 chiều
( { }1 2 1 2, , ,an ,Sp Z Z T X X=g ) bởi những đạo hàm phản xứng của nó sau khi loại
đi các đạo hàm trong như sau
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
a b
c a
D
a c
b a
 
 − 
 =
 
− − 
 − 
trong đó ( , , ) (0,0,0), , ,a b c a b c≠ ∈.

49. 49
Kết quả ta được đại số Lie toàn phương giải được, không giao hoán
3 3X Z⊕ ⊕ g . Tích Lie được định nghĩa là
3 1 1 2
3 2 1 2
3 1 1 2
3 2 1 2
1 1 3
1 2 3
2 1 3
2 2 3
1 2
2 1
1 2
[ , ]
[ , ]
[ , ]
[ , ]
[ , ]
[ , ]
[ , ]
[ , ]
[ , ]
[ , ]
[ , ]
X Z aZ cZ
X Z bZ aZ
X X aX bX
X X cX aX
Z X aZ
Z X cZ
Z X bZ
Z X aZ
T X Z
T X Z
X X T
= +
= −
=− −
=− +
=
=
=
= −
=
= −
=
Khi này 3-dạng liên kết là
* * * * * * * * * * *
1 2 1 2 3 1 1 2 3 2( ) ( ) ,I X X T aX cX X Z bX aX X Z= ∧ ∧ + + ∧ ∧ + − ∧ ∧
trong đó ( , , ) (0,0,0), , ,a b c a b c≠ ∈.
Từ đó ta được các đại số Lie toàn phương giải được không kì dị gồm
1. Nếu 1, 0a b c= = = thì
* * * * * * * * *
1 2 1 3 1 2 3 2.I X X T X X Z X X Z= ∧ ∧ + ∧ ∧ − ∧ ∧
Nên dup( ) 0=g , do đó đại số Lie này không kì dị.
2. Nếu 0, 1, 0a b c≠ = = thì
* * * * * * * * * *
1 2 1 3 1 1 2 3 2( ) .I X X T aX X Z X aX X Z= ∧ ∧ + ∧ ∧ + − ∧ ∧
Nên dup( ) 0=g , do đó đại số Lie này không kì dị.
3. Nếu 0, 1, 0a b c= = ≠ thì
* * * * * * * * *
1 2 2 3 1 1 3 2.I X X T cX X Z X X Z= ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧
Nên dup( ) 0=g , do đó đại số Lie này không kì dị.
4. Nếu 1, 0, 0a b c= = ≠ thì
* * * * * * * * * *
1 2 1 2 3 1 2 3 2( ) .I X X T X cX X Z X X Z= ∧ ∧ + + ∧ ∧ − ∧ ∧
Nên dup( ) 0=g , do đó đại số Lie này không kì dị.
5. Nếu 0, 0, 0a b c≠ ≠ ≠ thì

50. 50
* * * * * * * * * * *
1 2 1 2 3 1 1 2 3 2( ) ( ) .I X X T aX cX X Z bX aX X Z= ∧ ∧ + + ∧ ∧ + − ∧ ∧
Nên dup( ) 0=g , do đó đại số Lie này không kì dị.
Công việc còn lại là tìm xem các đại số Lie toàn phương không kì dị trên có
đẳng cấu đẳng cự với nhau không? Khi đó bài toán phân loại các đại số Lie
toàn phương giải được 7 chiều không kì dị kết thúc. Chúng tôi hy vọng trong
thời gian tới sẽ giải quyết triệt để điều này và trong các số chiều lớn hơn, cũng
như tìm ra những bất biến, những tính chất đặc trưng cho lớp các đại số Lie
toàn phương giải được không kì dị.

51. 51
Mục lục
Lời cảm ơn ........................................................................................................ 3
Bảng chỉ dẫn các kí hiệu ................................................................................... 4
Mở đầu .............................................................................................................. 6
Chương 1 Mở đầu về đại số Lie và đại số Lie toàn phương........................... 10
1.1 Đại số Lie............................................................................................... 10
1.1.1 Định nghĩa....................................................................................... 10
1.1.2 Đại số Lie con và các ideal ............................................................. 10
1.1.3 Dạng Killing.................................................................................... 11
1.2 Đại số Lie toàn phương ......................................................................... 14
1.2.1 Định nghĩa....................................................................................... 14
1.2.2 Các ví dụ về đại số Lie toàn phương .............................................. 14
1.2.3 Một số kết quả về đại số Lie toàn phương...................................... 14
1.2.4 3-dạng trên một đại số Lie toàn phương......................................... 18
1.2.5 Mở rộng kép của một đại số Lie toàn phương................................ 19
1.2.6 Chiều toàn phương.......................................................................... 25
Chương 2 Đại số Lie toàn phương cơ bản ..................................................... 30
Chương 3......................................................................................................... 34
Phân loại đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều và chiều toàn phương
......................................................................................................................... 34
3.1 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 4 chiều và chiều toàn
phương......................................................................................................... 34
3.1.1 Phân loại nhờ Phân tích Witt .......................................................... 34
3.1.2 Tính chiều toàn phương .................................................................. 35
3.2 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều và chiều toàn
phương......................................................................................................... 36
3.2.1 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều ................ 36
3.2.2 Tính chiều toàn phương .................................................................. 38
3.3 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều và chiều toàn
phương......................................................................................................... 39

52. 52
3.3.1 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều.......... 39
3.3.2 Tính chiều toàn phương .................................................................. 40
3.3.3 Phân loại 3-dạng trên một không gian vector phức và đại số Lie toàn
phương kì dị ............................................................................................. 43
Kết luận ........................................................................................................... 48
Mục lục............................................................................................................ 51
Tài liệu tham khảo........................................................................................... 53
Chỉ mục ........................................................................................................... 55

53. 53
Tài liệu tham khảo
[1] Karin Erdmann and Mark J. Wildon, Introduction to Lie
Algebras, Springer, 2006.
[2] I. Ayadi and S.Benayadi, Symmetric Novikov superalgebras,
J.Math. Phys, 51 (2) (2010), 023501.
[3] D. Arnal, M. Cahen and J. Ludwig, Lie groups whose
coadjoint orbits are of dimension smaller or equal to two, Lett. Math.
Phys, 33, no. 2 (1995), 183-186.
[4] S. Benayadi, Socle and some invariants of quadratic Lie
superalgebras, J. of Algebra 261 (2003) 245-291.
[5] H. Benamor and S. Benayadi, Double extension of quadratic
Lie superalgebras, Comm. Algebra 27 (1999) 67-88.
[6] M. Bordemann, Nondegenerate invariant bilinear forms on
nonassociative algebras, Acta. Math. Uni. Comenianac, Vol. LXVI,
2(1997), 151-201.
[7] N. Bourbaki, Éléments de Mathématiques. Algèbre, Algèbre
Multilinèaire, Vol. Fasc. VII, Livre II, Hermann, Paris, 1958.
[8] N. Bourbaki, Éléments de Mathématiques. Algèbre, Formes
sesquilinéaires et formes quadratiques, Fasc. XXIV, Livre II, Hermann,
Paris (1959), 211 pages.
[9] N. Bourbaki, Éléments de Mathématicques. Algèbre, Formes
sesquilinéaires et formes quadratiques, Fasc. XXIV, Livre II, Hermann,
Paris (1959), 211 pages.
[10] D. H. Collingwood and W. M. McGovern, Nilpotent Orbits
in Semisimple Lie Algebras, Van Nostrand Reihnhold Mathematics
Series, New York (1993), 186 pages.
[11] M.T. Duong, G. Pinczon and R. Ushirobira, A new invariant
of quadratic Lie algebras, J. Alg. Rep. Theory, online first 2011, DOI:
10.1007/s10468-011- 9284-4.

54. 54
[12] G. Favre and L. J. Santharoubane, Symmetric, invariant,
non-degenerate bilinear form on a Lie algebra, J. Algebra 105 (1987),
451- 464.
[13] J.M. Figueroa-O’Farrill, S. Stanciu, On the structure of
symmetric self-dual Lie algebras, J. Math. Phys. 37 (8) (1996).
[14] V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras, Cambridge
University Press, 1985.
[15] A. Medina, Groupes de Lie munis de métriques bi-
invariantes, Tôhoku Math. Journ. 37(1985), 405 – 421.
[16] A. Medina and P. Revoy, Algèbres de Lie et produit scalaire
invariant, Ann. Sci. Éc. Norm. Sup., 4ème sér. t.18 (1985) 553-561.
[17] G. Pinczon and R. Ushirobira, New Applications of Graded
Lie Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie Algebras, and
Cohomology, J. of Lie Theory, 17 (2007), 633-667.
[18] F. Zhu and Z. Chen, Novikov algebras with associative
bilinear forms, J. Physics A: Math. Theor. 40 (2007) 14243-14251.

55. 55
Chỉ mục