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MAT2. 1
Rappel Mathématique
Microéconomie 3-851-07
I. Fonctions à une seule variable
• QUELQUES RÈGLES DE DÉRIVATION (rapp el)
1. Multiplication de deux fonctions
xd
ud
v+
xd
vd
u=)vu(
xd
d
•
Exem pl e: x=u 2
1+x2=v
]x2x[
xd
d 2
)1( +• = x2x2+2x
2
•+• )1(
= xx6=xx4+x2 222
22 ++
2. Division de deux fonctions
.
v
dx
dv
u-
dx
du
v
=
v
u
dx
d
2
••






Exem pl e: x=u 2
1+x2=v






+x2
x
dx
d 2
1
=
)+x2(
)2(x-x2)+x2(
2
2
1
1 •
MAT2. 2
=
)+x2(
x2+x2
=
)+x2(
x2-x2+x4
2
2
2
22
11
3. Règle de chaîne
])u(f[
dx
d
=
dx
du
])u(f[
ud
d
•
Exem pl e: u=)u(f,+x2=u 2
1
])+x2([
xd
d 2
1 = )+x2(4=2)+x2(2 11 •
• OPTIMISATION (sans contraint e)
Soit )(xf la fonction que l’on cherche à optimiser.
Condition de premier ordre (CPO) : 0)]([ *
=xf
dx
d
(condition nécessaire)
Condition de second ordre (CSO) : 0)]([ *
2
2
<xf
dx
d
pour un maximum
: 0)]([ *
2
2
>xf
dx
d
pour un minimum.
• FONCTIONS CONCAVES, QUASI CONCAVES, CONVEXES,
QUASI CONVEXES
Les théories du consommat eur et du producteur que nous allons étudier font
référence à des fonctions d'utilité et de production sur lesquelles certaines
hypothèses sont faites. Ces hypothèses reposent, entre autres, sur les notions de
MAT2. 3
concavité et de convexité des fonctions.
Définition :
Une fonction f(x) est une fonction convexe si, pour tous points x 1 , x 2 de son
domaine et pour tout ,1<<0, λλ
.)x(f)-1(+)x(f)x)-1(+x(f 2121 λλλλ ≤
(Une fonction est strictement convexe si la dernière inégalité est stricte, à
savoir, )x(f)-1(+)x(f<)x)-1(+x(f 2121 λλλλ et )xx 21 ≠ .
Similairement, une fonction concave est définie de la même manière mais le
sens de l'inégalité est renversé.
Exemples:
Définition:
f(x1)
x1
f(x2)
λx1 + (1 - λ)x2
xx1 λx1 + (1 - λ)x2
x2
x2
f(x1)
f(x)
f(x2)
x
f(λx1+(1- λ)x2)
λf(x1)+(1- λ)f(x 2)
λf(x1)+(1- λ)f(x 2)
f(λx1+(1- λ)x2)
f(x) Fonction concav eFonction conv ex e
MAT2. 4
Une fonction f(x) est quasi convexe si, pour tous points x1 , x2 de son domaine, on a
0<λ<1
ou, de manière équivalente:
}{ )(),(max))1(( 2121 xfxfxxf ≤−+ λλ
Similairement f(x) est quasi concave si
ou, de manière équivalente:
Exem pl e s:
)())1(()()( 22121 xfxxfxfxf ≤−+⇒≤ λλ
x1
λx1 + (1 - λ)x2
x2f(x1)f(λx1 + (1 - λ)x2)
f(x2)
f(x)
x
x1
λx1 + (1 - λ)x2 xf(λx1 + (1 - λ)x2)f(x1)
f(x2)
f(x)
Fonction Quasi Concave Fonction pas Quasi Concave
}{ )(),(min))1(( 2121 xfxfxxf ≥−+ λλ
)())1(()()( 12121 xfxxfxfxf ≥−+⇒≤ λλ
MAT2. 5
x2
• DIFFÉRENTIELLE TOTALE
Soit .)x(f=y
Alors dx)x(’f=dy est la différentielle totale et on a ydy ∆≠ , i.e. dy est
une approximation de .)x(f-)x+x(f=y ∆∆
Graphiquement:
y= f(x)
xx x+ ∆x
f(x)
f(x+ ∆x)
A
B
C
dy
∆y
∆x
dx
MAT2. 6
dy = dx)x(’f = pent e de la tang e n t e en x • dx
= AB=CB
CB
AB
•
AB = .ydy ∆≈
II. Fonctions à deux ou plusieurs variable s
• DÉRIVÉES PARTIELLES
Les fonctions avec lesquelles nous allons travailler sont, en général, continues, dérivables
et ont des dérivées partielles de premier ordre et de second ordre qui sont continues. Il
faut donc savoir les calculer leurs dérivées partielles et aussi les interpréter
→ Exemples de fonctions usuelles :
3/2
2
3/1
1 xxu =
nynxu  32 +=
→ Calcul des dérivées partielles
Exemple : Soit la fonction de production :
22
3236 LKKLQ −−=
MAT2. 7
L
Q
∂
∂
= LK 636 − (dérivée partielle de premier ordre par rapport à L)
K
Q
∂
∂
= KL 436 − (dérivée partielle de premier ordre par rapport à K)
2
2
L
Q
∂
∂
= 





∂
∂
∂
∂
L
Q
L
= - 6 (dérivée partielle de second ordre par rapport à L)
2
2
K
Q
∂
∂
= 





∂
∂
∂
∂
K
Q
K
= - 4 (dérivée partielle de second ordre par rapport à K)
KL
Q
∂∂
∂2
= 





∂
∂
∂
∂
K
Q
L
= 





∂
∂
∂
∂
L
Q
K
=
LK
Q
∂∂
∂2
= 36 (dérivée partielle croisée de second
ordre)
→ Les principales règles de dérivation s’appliquent :
1. Produit de deux fonctions
( )vu
x
•
∂
∂
=
x
u
v
x
v
u
∂
∂
+
∂
∂
( )vu
y
•
∂
∂
=
y
u
v
y
v
u
∂
∂
+
∂
∂
Exemple: 2
xu =
yxv += 2
[ ])2(2
yxx
x
+•
∂
∂
= xyxx 2)2(22
•++•
= xyxx 242 22
++ = xyx 26 2
+
[ ])2(2
yxx
y
+•
∂
∂
= 0)2(12
•++• yxx = 2
x
2. Quotient de deux fonctions






∂
∂
v
u
x
=
2
v
x
v
u
x
u
v
∂
∂
•−
∂
∂
•
MAT2. 8






∂
∂
v
u
y
=
2
v
y
v
u
y
u
v
∂
∂
•−
∂
∂
•
Exemple: 2
xu =
yxv += 2






+∂
∂
yx
x
x 2
2
= 2
2
)2(
22)2(
yx
xxyx
+
•−•+
= 2
22
)2(
224
yx
xxyx
+
−+
= 2
2
)2(
22
yx
xyx
+
+






+∂
∂
yx
x
y 2
2
= 2
2
)2(
10)2(
yx
xyx
+
•−•+
= 2
2
)2( yx
x
+
−
3. Règle de chaîne
[ ])(uf
x∂
∂
= [ ]
x
u
uf
du
d
∂
∂
•)(
[ ])(uf
y∂
∂
= [ ]
y
u
uf
du
d
∂
∂
•)(
Exemple: ,2 yxu += 2
)( uuf =
[ ]2
)2( yx
x
+
∂
∂
= 2)2(2 •+ yx = 4(2x+y)
[ ]2
)2( yx
y
+
∂
∂
= 1)2(2 •+ yx = )2(2 yx +
• DIFFÉRENTIELLE TOTALE
Soit )y,x(f=Z .
MAT2. 9
Alors dZ = dy
y
)y,x(f
+dx
x
)y,x(f oooo
•
∂
∂
•
∂
∂
est une approximation
de
Z∆ = )y,x(f-)y+y,x+x(f oooo ∆∆ ,
i.e., dZ ≅ Z∆
Évidemment, plus les variations ∆x et ∆y seront petites, meilleure sera
l'approximation.
Exemple : xxyyxfz +== 3),( ; )2,2(),( 00 =yx ; 5,0=dx et 3,0=dy
z∆ = ),( 00 dyydxxf ++ - ),( 00 yxf
= 5,2(f , )3,2 - 2(f , 2)
= (3 )5,23,25,2 +•• - (3 )222 +••
= 19,75 - 14 = 5,75
dz =
x
yxf
∂
∂ ),( 00
dx +
y
yxf
∂
∂ ),( 00
dy
= [ ]),()13( 00 yxy + dx + [ ]),(3 00 yxx dy
= 7 • 0,5 + 6 • 0,3 = 3,5 + 1,8 = 5,3
• HOMOGÉNÉITÉ DES FONCTIONS
Définition :
Une fonction )x,...,x,x(f n21 est homogène de degré r si et seulement
si pour tout
MAT2. 10
.)x,...,x,x(f=)x,...,x,x(f,0> n21
r
n21 λλλλλ
Exem pl e: )z,y,x(f = z-zy+x2 323
)z,y,x(f λλλ = )z(-)z()y(+)x(2
323
λλλλ
= z-zy+x2 332333
λλλ
= )z-zy+x2( 3233
λ
= )z,y,x(f3
λ
f est homogène de degré 3.
Théorè m e d'Euler :
Une fonction )x,...,x,x(f n21 est homogène de degré r ssi
.x
x
)x,...,x(f
=)x,...,x(fr i
i
n1
n
1i=
n1 •
∂
∂
∑
Exem pl e: z-zy+x2=)z,y,x(f 323
y
)z,y,x(f
;x6=
x
)z,y,x(f 2
∂
∂
∂
∂
=
z3-zy2=
z
)z,y,x(f
;z
22
∂
∂
z
z
f
+y
y
f
+x
x
f
•
∂
∂
•
∂
∂
•
∂
∂
= z)z3-zy2(+yz+xx6 222
•••
= z3-zy3+x6 323
= )z-zy+x2(3 323
MAT2. 11
= )z,y,(xf3
f est homogène de degré 3.
• FORMES QUADRATIQUES
On peut déterminer si une fonction est convexe ou concave grâce au comportement de la forme
quadratique associée à sa matrice hessienne (la matrice des dérivées secondes de la fonction).
Voyons tout d'abord quelques définitions et quelques exemples.
Une forme quadratique est une fonction de n variables qui peut être écrite de la façon suivante :
où les aij sont des constantes.
En termes de matrices, la forme quadratique s'écrit:
.x’
Ax où x est un vecteur de dimension n × 1
et A une matrice symétrique n × n .
Exemple:
,
x A x
∑∑= =
=
n
i
n
i
jiij xxaxf
1 1
)(
2
33121
2
1321 24),,( xxxxxxxxxf +++=
[ ]




















=
3
2
1
321321
202
005,0
25,01
),,(
x
x
x
xxxxxxf
MAT2. 12
Définition:
Une forme quadratique Axx' est dite définie positive si Axx' > 0, ∀x ≠0
Définition:
Une forme quadratique Axx' est dite semi-définie positive si Axx' > 0 et s'il existe x ≠0 pour
lequel Axx,
= 0
Note : Pour des formes quadratiques définies négatives ou semi-définies négatives, les définitions
sont similaires sauf en ce qui concerne les inégalités qui doivent alors être renversées (< 0 ).
Théorème de Sylvester:
i) Une forme quadratique Axx' est définie positive si et seulement si tous les
principaux mineurs successifs de la matrice A sont positifs (i.e. > 0).
ii) Une forme quadratique Axx' est définie négative si et seulement si tous les
principaux mineurs successifs de la matrice A alternent en signe, le premier étant
négatif (i.e. > 0).
Illustration du théorème :
Soit A la matrice 3 × 3 suivante:
Les principaux mineurs successifs de A sont les trois déterminants suivants:










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
MAT2. 13
(les principaux mineurs successifs de A sont les déterminants des sous-matrices de A obtenues en
enlevant successivement la dernière colonne de droite et la rangée d'en bas).
La forme quadratique Axx' est donc définie positive si chacun de ces trois déterminants est
positif. Elle sera définie négative si ces déterminants alternent en signe, en commençant par :
11a < 0, puis
2221
1211
aa
aa
> 0, etc…
Exemple:
Axx' est définie positive.
Remarque :
i) Cependant, pour déterminer si une forme quadratique est semi-définie positive, il ne suffit pas
que les principaux mineurs successifs soient non négatifs (i.e. ≥ 0). Il faut que tous les mineurs
principaux soient non négatifs, ce qui implique le calcul de plusieurs déterminants. Par exemple,
dans le cas de A la matrice 3 3× vue plus haut, il faut vérifier que :
11a ≥ 0, ,022 ≥a ;033 ≥a
2221
1211
aa
aa
,0≥
3331
1311
aa
aa
,0≥
3332
2322
aa
aa
;0≥
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
.0≥
ii) Pour déterminer si une forme quadratique est semi-définie négative, il faut que tous les
mineurs principaux d’ordre impair soient non positifs (i.e. ≤ 0) et que tous les mineurs
principaux d’ordre pair soient non négatifs (i.e. ≥ 0). Par exemple, dans le cas de A la matrice 3
3× vue plus haut, il faut vérifier que :
013
502
031
212
;05
31
12
;0211 >=>=>=a
502
031
212
=A
333231
232221
131211
2221
1211
11 ,,
aaa
aaa
aaa
aa
aa
a
MAT2. 14
11a ≤ 0, ,022 ≤a ;033 ≤a
2221
1211
aa
aa
,0≥
3331
1311
aa
aa
,0≥
3332
2322
aa
aa
;0≥
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
.0≤
Théorème:
i) Une fonction f(x1,x2,…,xn) est convexe si et seulement si sa matrice hessienne H (ou la forme
quadratique associée Hxx'
) est semi-définie positive. Si Hxx'
est définie positive, f(x1,x2,
…,xn) est strictement convexe.
ii) De la même manière, la fonction f(x1,x2,…,xn) est concave si et seulement si sa matrice
hessienne (ou la forme quadratique associée Hxx '
) est semi-définie négative. Si Hxx'
est
définie négative, f(x1,x2,…,xn) est strictement concave.
Exemple 1: Soit 2
221
2
121 32),( xxxxxxf −−−=
= ;22 21 xx −−
2
21 ),(
x
xxf
∂
∂
= ;62 21 xx −−
2
1
21
2
),(
x
xxf
∂
∂
= -2; 2
2
21
2
),(
x
xxf
∂
∂
= -6; 2
),(),(
12
21
2
21
21
2
−=
∂
∂
=
∂
∂
xx
xxf
xx
xxf
, de sorte que:
la matrice hessienne =H












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
21
2
12
21
2
21
21
2
2
1
21
2
),(),(
),(),(
x
xxf
xx
xxf
xx
xxf
x
xxf
= 





−−
−−
62
22
Or, -2 < 0 et =H
62
22
−−
−−
= 8 ,0> ce qui implique que la forme
quadratique Hxx'
est définie négative et la fonction
2
221
2
121 32),( xxxxxxf −−−= est strictement convexe.
1
21 ),(
x
xxf
∂
∂
MAT2. 15
Exemple 2 : Soit 2
332
2
2231
2
1321 3),,( xxxxxxxxxxxf +++−+=
311 2 xxf += ; 322 21 xxf ++−= ; 3213 6xxxf ++=
;1;0;2 131211 === fff
;1;2;0 232221 === fff
,6;1;1 333231 === fff de sorte que la matrice hessienne
H =










333231
232221
131211
fff
fff
fff
=










611
120
102
.
On vérifie facilement que:
;0211 >=f et
ff
ff
04
20
02
2221
1211
>==
611
120
102
= 2
61
12 - 0
61
10 + 1
11
20 =
20 > 0.
Ainsi, la forme quadratique est Hxx'
est définie positive et la fonction
2
332
2
2231
2
1321 3),,( xxxxxxxxxxxf +++−+= est strictement convexe.
• OPTIMISATION AVEC CONTRAINTE
Méthode de Lagrange (présentée à l’aide d’un exemple)
Optimiser xxyyxf +=3),( sous la contrainte que =−−= yxyxg 28),( 0,
où ),( yxf mesure le rendement d’une terre,
x : la quantité de fertilisant
y : la quantité d’insecticide.
1. On forme une nouvelle fonction appelée le lagrangien de la façon suivante :
),,( λyxL = ),( yxf + λ ),( yxg
= fonction objectif + multiplicateur × fonction contrainte
MAT2. 16
de Lagrange
)28(3),,( yxxxyyxL −−++= λλ
Note : l’introduction du multiplicateur de Lagrange permet de transformer un problème
d’optimisation avec contrainte à deux variables ( x et y ) en un problème d’optimisation
sans contrainte à trois variables ( x , y et λ).
2. On optimise cette nouvelle fonction à 3 variables, i.e. le lagrangien ),,( λyxL . Les
conditions de premier ordre (CPO) s’écrivent :
013/ =−+=∂∂ λyxL
023/ =−=∂∂ λxyL
028/ =−−=∂∂ yxL λ
On solutionne ce système d’équations et on trouve ( ),, ***
λyx :
.6/39,6/11,6/26 ***
=== λyx
Note : En principe, à ce stade-ci, on doit calculer les conditions de second ordre (CSO) et
vérifier si le point stationnaire ( ),, ***
λyx représente un minimum ou un maximum. Toutefois,
en ce qui nous concerne, ce sont les propriétés de la fonction objectif (concave ou convexe)
ou encore le contexte économique du problème posé qui déterminera la nature du point
stationnaire.
III. Calcul matriciel
• DÉFINITIONS
MAT2. 17
→ Vecteur : vecteur de dimension n :












=
nx
x
x
x 2
1
→ Matrice : matrice d’ordre n×m :












=
nmnn
m
m
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
l’élément ija de la matrice A se trouve à la ième
ligne et jème
colonne.
• NOTATION
[ ]nxxxx ,,, 21
,
= (vecteur ligne)












=
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
'
(matrice transposée)
MAT2. 18












=
100
010
001
I matrice identité.
• OPÉRATIONS
→ Addition
→ Multiplication
Exemple :










−
03
12
82





 −
2301
0142
=










−
−−
03126
2583
1622812
23×A × 42×B = 43×C
Note : Pour que la multiplication des matrices puisse se faire, il faut que le nombre de colonnes
de la matrice A soit égal au nombre de lignes de la matrice .B
MAT2. 19
→ Produit scalaire : [ ]nxxx ...21












ny
y
y
2
1
= ∑i
ii yx = k
→ ='
xx












nx
x
x
2
1
[ ]nxxx ...21 =














2
21
2
2
212
121
2
1
nnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xxxxx
matrice carrée n ×n
• RÉSOUDRE UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
bxA = où A est une matrice carrée d’ordre n
Il existe différentes méthodes :
→ par substitution
→ à l’aide de la matrice inverse :
bAx 1−
= où A
Aadj
A =−1
avec =Aadj matrice transposée des cofacteurs de A
MAT2. 20
note : 1) la matrice que l’on obtient à partir de A en supprimant sa i ième
ligne et sa
j ième
colonne est notée ijA ;
2) le (i,j) ième
mineur de A ou le mineur associé à l’élément ija de A , noté ijM
, est le déterminant de la matrice ijA : ijij AM det= ;
3) le (i,j) ième
cofacteur de A , noté ijC , est le scalaire : ij
ji
ij MC +
−= )1( .
→ par la règle de Cramer :
pour bxA =
A
x
j
j
∆
= où j∆ est le déterminant de la matrice que l’on obtient (à
partir de A ) en remplaçant la j ième
colonne de A par b .
Exemple : soit 2
332
2
2231
2
1321 3),,( xxxxxxxxxxxf +++−+= . Trouvons le min ou la
max de cette fonction.
Les dérivées partielles de premier ordre sont données par :
311 2 xxf += ; 322 21 xxf ++−= ; 3213 6xxxf ++=
On en déduit les CPO :
311 2 xxf += = 0
322 21 xxf ++−= = 0
3213 6xxxf ++= = 0
qui peuvent aussi s’écrire sous forme matricielle :
MAT2. 21










=




















0
1
0
611
120
102
3
2
1
x
x
x
En appliquant la règle de Cramer, on trouve la solution de ce système d’équations :
MAT2. 22
20
110
21
)1(
610
121
100
31
1 =
−
==
+
AA
x
MAT2. 23
20
1161
12
)1(
601
110
102
22
2 =
−
==
+
AA
x
MAT2. 24
20
201
12
)1(
011
120
002
11
3
−
=
−
==
+
AA
x
.
De plus, puisque la fonction ),,( 321 xxxf est strictement convexe (ceci
a déjà été vérifié dans un exemple précédent), nous savons que :
MAT2. 25
*
x =










−
=










20/2
20/11
20/1
*
3
*
2
*
1
x
x
x
est un minimum de la fonction ),,( 321 xxxf .
• PROPRIÉTÉS DES MATRICES
→ Matrice symétrique : '
AA = , jiij aa = ),( ji∀
Exemple :










−
403
012
321
→ matrices définies et semi- définies :
Soit A une matrice carrée. xAx'
donne une forme quadratique qui s’écrit :
MAT2. 26
=xAx'
[] 











2
1
2221
1211
21
x
x
aa
aa
xx
=
[ ] 





++
2
1
222112221111 ,
x
x
xaxaxaxa
= 2
22221121221
2
111 xaxxaxxaxa +++
= 2
2222112
2
111 2 xaxxaxa ++ .
Rappel : la matrice A est définie positive si xAx'
> 0 0≠∀x .
Remarque : Parfois on ne veut pas que la propriété soit satisfaite pour
toutes les valeurs de x , mais seulement pour des valeurs de x qui
respectent une certaine contrainte, par exemple, .0=xb
Exemple : On dira que la matrice A est définie positive sous la contrainte
0=xb , si
MAT2. 27
.0:0'
=∀> xbquetelsxlesetxxAx
Exemple : La fonction f est strictement concave si sa matrice hessienne
F satisfait la propriété :
.00'
≠∀< xxFx
La fonction g est strictement quasi- concave si sa matrice
hessienne G satisfait la propriété :
.00
,
'
=





∂
∂
∀< x
x
g
quetelsxlesetxxGx

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  • 1. MAT2. 1 Rappel Mathématique Microéconomie 3-851-07 I. Fonctions à une seule variable • QUELQUES RÈGLES DE DÉRIVATION (rapp el) 1. Multiplication de deux fonctions xd ud v+ xd vd u=)vu( xd d • Exem pl e: x=u 2 1+x2=v ]x2x[ xd d 2 )1( +• = x2x2+2x 2 •+• )1( = xx6=xx4+x2 222 22 ++ 2. Division de deux fonctions . v dx dv u- dx du v = v u dx d 2 ••       Exem pl e: x=u 2 1+x2=v       +x2 x dx d 2 1 = )+x2( )2(x-x2)+x2( 2 2 1 1 •
  • 2. MAT2. 2 = )+x2( x2+x2 = )+x2( x2-x2+x4 2 2 2 22 11 3. Règle de chaîne ])u(f[ dx d = dx du ])u(f[ ud d • Exem pl e: u=)u(f,+x2=u 2 1 ])+x2([ xd d 2 1 = )+x2(4=2)+x2(2 11 • • OPTIMISATION (sans contraint e) Soit )(xf la fonction que l’on cherche à optimiser. Condition de premier ordre (CPO) : 0)]([ * =xf dx d (condition nécessaire) Condition de second ordre (CSO) : 0)]([ * 2 2 <xf dx d pour un maximum : 0)]([ * 2 2 >xf dx d pour un minimum. • FONCTIONS CONCAVES, QUASI CONCAVES, CONVEXES, QUASI CONVEXES Les théories du consommat eur et du producteur que nous allons étudier font référence à des fonctions d'utilité et de production sur lesquelles certaines hypothèses sont faites. Ces hypothèses reposent, entre autres, sur les notions de
  • 3. MAT2. 3 concavité et de convexité des fonctions. Définition : Une fonction f(x) est une fonction convexe si, pour tous points x 1 , x 2 de son domaine et pour tout ,1<<0, λλ .)x(f)-1(+)x(f)x)-1(+x(f 2121 λλλλ ≤ (Une fonction est strictement convexe si la dernière inégalité est stricte, à savoir, )x(f)-1(+)x(f<)x)-1(+x(f 2121 λλλλ et )xx 21 ≠ . Similairement, une fonction concave est définie de la même manière mais le sens de l'inégalité est renversé. Exemples: Définition: f(x1) x1 f(x2) λx1 + (1 - λ)x2 xx1 λx1 + (1 - λ)x2 x2 x2 f(x1) f(x) f(x2) x f(λx1+(1- λ)x2) λf(x1)+(1- λ)f(x 2) λf(x1)+(1- λ)f(x 2) f(λx1+(1- λ)x2) f(x) Fonction concav eFonction conv ex e
  • 4. MAT2. 4 Une fonction f(x) est quasi convexe si, pour tous points x1 , x2 de son domaine, on a 0<λ<1 ou, de manière équivalente: }{ )(),(max))1(( 2121 xfxfxxf ≤−+ λλ Similairement f(x) est quasi concave si ou, de manière équivalente: Exem pl e s: )())1(()()( 22121 xfxxfxfxf ≤−+⇒≤ λλ x1 λx1 + (1 - λ)x2 x2f(x1)f(λx1 + (1 - λ)x2) f(x2) f(x) x x1 λx1 + (1 - λ)x2 xf(λx1 + (1 - λ)x2)f(x1) f(x2) f(x) Fonction Quasi Concave Fonction pas Quasi Concave }{ )(),(min))1(( 2121 xfxfxxf ≥−+ λλ )())1(()()( 12121 xfxxfxfxf ≥−+⇒≤ λλ
  • 5. MAT2. 5 x2 • DIFFÉRENTIELLE TOTALE Soit .)x(f=y Alors dx)x(’f=dy est la différentielle totale et on a ydy ∆≠ , i.e. dy est une approximation de .)x(f-)x+x(f=y ∆∆ Graphiquement: y= f(x) xx x+ ∆x f(x) f(x+ ∆x) A B C dy ∆y ∆x dx
  • 6. MAT2. 6 dy = dx)x(’f = pent e de la tang e n t e en x • dx = AB=CB CB AB • AB = .ydy ∆≈ II. Fonctions à deux ou plusieurs variable s • DÉRIVÉES PARTIELLES Les fonctions avec lesquelles nous allons travailler sont, en général, continues, dérivables et ont des dérivées partielles de premier ordre et de second ordre qui sont continues. Il faut donc savoir les calculer leurs dérivées partielles et aussi les interpréter → Exemples de fonctions usuelles : 3/2 2 3/1 1 xxu = nynxu  32 += → Calcul des dérivées partielles Exemple : Soit la fonction de production : 22 3236 LKKLQ −−=
  • 7. MAT2. 7 L Q ∂ ∂ = LK 636 − (dérivée partielle de premier ordre par rapport à L) K Q ∂ ∂ = KL 436 − (dérivée partielle de premier ordre par rapport à K) 2 2 L Q ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ L Q L = - 6 (dérivée partielle de second ordre par rapport à L) 2 2 K Q ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ K Q K = - 4 (dérivée partielle de second ordre par rapport à K) KL Q ∂∂ ∂2 =       ∂ ∂ ∂ ∂ K Q L =       ∂ ∂ ∂ ∂ L Q K = LK Q ∂∂ ∂2 = 36 (dérivée partielle croisée de second ordre) → Les principales règles de dérivation s’appliquent : 1. Produit de deux fonctions ( )vu x • ∂ ∂ = x u v x v u ∂ ∂ + ∂ ∂ ( )vu y • ∂ ∂ = y u v y v u ∂ ∂ + ∂ ∂ Exemple: 2 xu = yxv += 2 [ ])2(2 yxx x +• ∂ ∂ = xyxx 2)2(22 •++• = xyxx 242 22 ++ = xyx 26 2 + [ ])2(2 yxx y +• ∂ ∂ = 0)2(12 •++• yxx = 2 x 2. Quotient de deux fonctions       ∂ ∂ v u x = 2 v x v u x u v ∂ ∂ •− ∂ ∂ •
  • 8. MAT2. 8       ∂ ∂ v u y = 2 v y v u y u v ∂ ∂ •− ∂ ∂ • Exemple: 2 xu = yxv += 2       +∂ ∂ yx x x 2 2 = 2 2 )2( 22)2( yx xxyx + •−•+ = 2 22 )2( 224 yx xxyx + −+ = 2 2 )2( 22 yx xyx + +       +∂ ∂ yx x y 2 2 = 2 2 )2( 10)2( yx xyx + •−•+ = 2 2 )2( yx x + − 3. Règle de chaîne [ ])(uf x∂ ∂ = [ ] x u uf du d ∂ ∂ •)( [ ])(uf y∂ ∂ = [ ] y u uf du d ∂ ∂ •)( Exemple: ,2 yxu += 2 )( uuf = [ ]2 )2( yx x + ∂ ∂ = 2)2(2 •+ yx = 4(2x+y) [ ]2 )2( yx y + ∂ ∂ = 1)2(2 •+ yx = )2(2 yx + • DIFFÉRENTIELLE TOTALE Soit )y,x(f=Z .
  • 9. MAT2. 9 Alors dZ = dy y )y,x(f +dx x )y,x(f oooo • ∂ ∂ • ∂ ∂ est une approximation de Z∆ = )y,x(f-)y+y,x+x(f oooo ∆∆ , i.e., dZ ≅ Z∆ Évidemment, plus les variations ∆x et ∆y seront petites, meilleure sera l'approximation. Exemple : xxyyxfz +== 3),( ; )2,2(),( 00 =yx ; 5,0=dx et 3,0=dy z∆ = ),( 00 dyydxxf ++ - ),( 00 yxf = 5,2(f , )3,2 - 2(f , 2) = (3 )5,23,25,2 +•• - (3 )222 +•• = 19,75 - 14 = 5,75 dz = x yxf ∂ ∂ ),( 00 dx + y yxf ∂ ∂ ),( 00 dy = [ ]),()13( 00 yxy + dx + [ ]),(3 00 yxx dy = 7 • 0,5 + 6 • 0,3 = 3,5 + 1,8 = 5,3 • HOMOGÉNÉITÉ DES FONCTIONS Définition : Une fonction )x,...,x,x(f n21 est homogène de degré r si et seulement si pour tout
  • 10. MAT2. 10 .)x,...,x,x(f=)x,...,x,x(f,0> n21 r n21 λλλλλ Exem pl e: )z,y,x(f = z-zy+x2 323 )z,y,x(f λλλ = )z(-)z()y(+)x(2 323 λλλλ = z-zy+x2 332333 λλλ = )z-zy+x2( 3233 λ = )z,y,x(f3 λ f est homogène de degré 3. Théorè m e d'Euler : Une fonction )x,...,x,x(f n21 est homogène de degré r ssi .x x )x,...,x(f =)x,...,x(fr i i n1 n 1i= n1 • ∂ ∂ ∑ Exem pl e: z-zy+x2=)z,y,x(f 323 y )z,y,x(f ;x6= x )z,y,x(f 2 ∂ ∂ ∂ ∂ = z3-zy2= z )z,y,x(f ;z 22 ∂ ∂ z z f +y y f +x x f • ∂ ∂ • ∂ ∂ • ∂ ∂ = z)z3-zy2(+yz+xx6 222 ••• = z3-zy3+x6 323 = )z-zy+x2(3 323
  • 11. MAT2. 11 = )z,y,(xf3 f est homogène de degré 3. • FORMES QUADRATIQUES On peut déterminer si une fonction est convexe ou concave grâce au comportement de la forme quadratique associée à sa matrice hessienne (la matrice des dérivées secondes de la fonction). Voyons tout d'abord quelques définitions et quelques exemples. Une forme quadratique est une fonction de n variables qui peut être écrite de la façon suivante : où les aij sont des constantes. En termes de matrices, la forme quadratique s'écrit: .x’ Ax où x est un vecteur de dimension n × 1 et A une matrice symétrique n × n . Exemple: , x A x ∑∑= = = n i n i jiij xxaxf 1 1 )( 2 33121 2 1321 24),,( xxxxxxxxxf +++= [ ]                     = 3 2 1 321321 202 005,0 25,01 ),,( x x x xxxxxxf
  • 12. MAT2. 12 Définition: Une forme quadratique Axx' est dite définie positive si Axx' > 0, ∀x ≠0 Définition: Une forme quadratique Axx' est dite semi-définie positive si Axx' > 0 et s'il existe x ≠0 pour lequel Axx, = 0 Note : Pour des formes quadratiques définies négatives ou semi-définies négatives, les définitions sont similaires sauf en ce qui concerne les inégalités qui doivent alors être renversées (< 0 ). Théorème de Sylvester: i) Une forme quadratique Axx' est définie positive si et seulement si tous les principaux mineurs successifs de la matrice A sont positifs (i.e. > 0). ii) Une forme quadratique Axx' est définie négative si et seulement si tous les principaux mineurs successifs de la matrice A alternent en signe, le premier étant négatif (i.e. > 0). Illustration du théorème : Soit A la matrice 3 × 3 suivante: Les principaux mineurs successifs de A sont les trois déterminants suivants:           333231 232221 131211 aaa aaa aaa
  • 13. MAT2. 13 (les principaux mineurs successifs de A sont les déterminants des sous-matrices de A obtenues en enlevant successivement la dernière colonne de droite et la rangée d'en bas). La forme quadratique Axx' est donc définie positive si chacun de ces trois déterminants est positif. Elle sera définie négative si ces déterminants alternent en signe, en commençant par : 11a < 0, puis 2221 1211 aa aa > 0, etc… Exemple: Axx' est définie positive. Remarque : i) Cependant, pour déterminer si une forme quadratique est semi-définie positive, il ne suffit pas que les principaux mineurs successifs soient non négatifs (i.e. ≥ 0). Il faut que tous les mineurs principaux soient non négatifs, ce qui implique le calcul de plusieurs déterminants. Par exemple, dans le cas de A la matrice 3 3× vue plus haut, il faut vérifier que : 11a ≥ 0, ,022 ≥a ;033 ≥a 2221 1211 aa aa ,0≥ 3331 1311 aa aa ,0≥ 3332 2322 aa aa ;0≥ 333231 232221 131211 aaa aaa aaa .0≥ ii) Pour déterminer si une forme quadratique est semi-définie négative, il faut que tous les mineurs principaux d’ordre impair soient non positifs (i.e. ≤ 0) et que tous les mineurs principaux d’ordre pair soient non négatifs (i.e. ≥ 0). Par exemple, dans le cas de A la matrice 3 3× vue plus haut, il faut vérifier que : 013 502 031 212 ;05 31 12 ;0211 >=>=>=a 502 031 212 =A 333231 232221 131211 2221 1211 11 ,, aaa aaa aaa aa aa a
  • 14. MAT2. 14 11a ≤ 0, ,022 ≤a ;033 ≤a 2221 1211 aa aa ,0≥ 3331 1311 aa aa ,0≥ 3332 2322 aa aa ;0≥ 333231 232221 131211 aaa aaa aaa .0≤ Théorème: i) Une fonction f(x1,x2,…,xn) est convexe si et seulement si sa matrice hessienne H (ou la forme quadratique associée Hxx' ) est semi-définie positive. Si Hxx' est définie positive, f(x1,x2, …,xn) est strictement convexe. ii) De la même manière, la fonction f(x1,x2,…,xn) est concave si et seulement si sa matrice hessienne (ou la forme quadratique associée Hxx ' ) est semi-définie négative. Si Hxx' est définie négative, f(x1,x2,…,xn) est strictement concave. Exemple 1: Soit 2 221 2 121 32),( xxxxxxf −−−= = ;22 21 xx −− 2 21 ),( x xxf ∂ ∂ = ;62 21 xx −− 2 1 21 2 ),( x xxf ∂ ∂ = -2; 2 2 21 2 ),( x xxf ∂ ∂ = -6; 2 ),(),( 12 21 2 21 21 2 −= ∂ ∂ = ∂ ∂ xx xxf xx xxf , de sorte que: la matrice hessienne =H             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 21 2 12 21 2 21 21 2 2 1 21 2 ),(),( ),(),( x xxf xx xxf xx xxf x xxf =       −− −− 62 22 Or, -2 < 0 et =H 62 22 −− −− = 8 ,0> ce qui implique que la forme quadratique Hxx' est définie négative et la fonction 2 221 2 121 32),( xxxxxxf −−−= est strictement convexe. 1 21 ),( x xxf ∂ ∂
  • 15. MAT2. 15 Exemple 2 : Soit 2 332 2 2231 2 1321 3),,( xxxxxxxxxxxf +++−+= 311 2 xxf += ; 322 21 xxf ++−= ; 3213 6xxxf ++= ;1;0;2 131211 === fff ;1;2;0 232221 === fff ,6;1;1 333231 === fff de sorte que la matrice hessienne H =           333231 232221 131211 fff fff fff =           611 120 102 . On vérifie facilement que: ;0211 >=f et ff ff 04 20 02 2221 1211 >== 611 120 102 = 2 61 12 - 0 61 10 + 1 11 20 = 20 > 0. Ainsi, la forme quadratique est Hxx' est définie positive et la fonction 2 332 2 2231 2 1321 3),,( xxxxxxxxxxxf +++−+= est strictement convexe. • OPTIMISATION AVEC CONTRAINTE Méthode de Lagrange (présentée à l’aide d’un exemple) Optimiser xxyyxf +=3),( sous la contrainte que =−−= yxyxg 28),( 0, où ),( yxf mesure le rendement d’une terre, x : la quantité de fertilisant y : la quantité d’insecticide. 1. On forme une nouvelle fonction appelée le lagrangien de la façon suivante : ),,( λyxL = ),( yxf + λ ),( yxg = fonction objectif + multiplicateur × fonction contrainte
  • 16. MAT2. 16 de Lagrange )28(3),,( yxxxyyxL −−++= λλ Note : l’introduction du multiplicateur de Lagrange permet de transformer un problème d’optimisation avec contrainte à deux variables ( x et y ) en un problème d’optimisation sans contrainte à trois variables ( x , y et λ). 2. On optimise cette nouvelle fonction à 3 variables, i.e. le lagrangien ),,( λyxL . Les conditions de premier ordre (CPO) s’écrivent : 013/ =−+=∂∂ λyxL 023/ =−=∂∂ λxyL 028/ =−−=∂∂ yxL λ On solutionne ce système d’équations et on trouve ( ),, *** λyx : .6/39,6/11,6/26 *** === λyx Note : En principe, à ce stade-ci, on doit calculer les conditions de second ordre (CSO) et vérifier si le point stationnaire ( ),, *** λyx représente un minimum ou un maximum. Toutefois, en ce qui nous concerne, ce sont les propriétés de la fonction objectif (concave ou convexe) ou encore le contexte économique du problème posé qui déterminera la nature du point stationnaire. III. Calcul matriciel • DÉFINITIONS
  • 17. MAT2. 17 → Vecteur : vecteur de dimension n :             = nx x x x 2 1 → Matrice : matrice d’ordre n×m :             = nmnn m m aaa aaa aaa A 21 22221 11211 l’élément ija de la matrice A se trouve à la ième ligne et jème colonne. • NOTATION [ ]nxxxx ,,, 21 , = (vecteur ligne)             = nmmm n n aaa aaa aaa A 21 22212 12111 ' (matrice transposée)
  • 18. MAT2. 18             = 100 010 001 I matrice identité. • OPÉRATIONS → Addition → Multiplication Exemple :           − 03 12 82       − 2301 0142 =           − −− 03126 2583 1622812 23×A × 42×B = 43×C Note : Pour que la multiplication des matrices puisse se faire, il faut que le nombre de colonnes de la matrice A soit égal au nombre de lignes de la matrice .B
  • 19. MAT2. 19 → Produit scalaire : [ ]nxxx ...21             ny y y 2 1 = ∑i ii yx = k → =' xx             nx x x 2 1 [ ]nxxx ...21 =               2 21 2 2 212 121 2 1 nnn n n xxxxx xxxxx xxxxx matrice carrée n ×n • RÉSOUDRE UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES bxA = où A est une matrice carrée d’ordre n Il existe différentes méthodes : → par substitution → à l’aide de la matrice inverse : bAx 1− = où A Aadj A =−1 avec =Aadj matrice transposée des cofacteurs de A
  • 20. MAT2. 20 note : 1) la matrice que l’on obtient à partir de A en supprimant sa i ième ligne et sa j ième colonne est notée ijA ; 2) le (i,j) ième mineur de A ou le mineur associé à l’élément ija de A , noté ijM , est le déterminant de la matrice ijA : ijij AM det= ; 3) le (i,j) ième cofacteur de A , noté ijC , est le scalaire : ij ji ij MC + −= )1( . → par la règle de Cramer : pour bxA = A x j j ∆ = où j∆ est le déterminant de la matrice que l’on obtient (à partir de A ) en remplaçant la j ième colonne de A par b . Exemple : soit 2 332 2 2231 2 1321 3),,( xxxxxxxxxxxf +++−+= . Trouvons le min ou la max de cette fonction. Les dérivées partielles de premier ordre sont données par : 311 2 xxf += ; 322 21 xxf ++−= ; 3213 6xxxf ++= On en déduit les CPO : 311 2 xxf += = 0 322 21 xxf ++−= = 0 3213 6xxxf ++= = 0 qui peuvent aussi s’écrire sous forme matricielle :
  • 24. MAT2. 24 20 201 12 )1( 011 120 002 11 3 − = − == + AA x . De plus, puisque la fonction ),,( 321 xxxf est strictement convexe (ceci a déjà été vérifié dans un exemple précédent), nous savons que :
  • 25. MAT2. 25 * x =           − =           20/2 20/11 20/1 * 3 * 2 * 1 x x x est un minimum de la fonction ),,( 321 xxxf . • PROPRIÉTÉS DES MATRICES → Matrice symétrique : ' AA = , jiij aa = ),( ji∀ Exemple :           − 403 012 321 → matrices définies et semi- définies : Soit A une matrice carrée. xAx' donne une forme quadratique qui s’écrit :
  • 26. MAT2. 26 =xAx' []             2 1 2221 1211 21 x x aa aa xx = [ ]       ++ 2 1 222112221111 , x x xaxaxaxa = 2 22221121221 2 111 xaxxaxxaxa +++ = 2 2222112 2 111 2 xaxxaxa ++ . Rappel : la matrice A est définie positive si xAx' > 0 0≠∀x . Remarque : Parfois on ne veut pas que la propriété soit satisfaite pour toutes les valeurs de x , mais seulement pour des valeurs de x qui respectent une certaine contrainte, par exemple, .0=xb Exemple : On dira que la matrice A est définie positive sous la contrainte 0=xb , si
  • 27. MAT2. 27 .0:0' =∀> xbquetelsxlesetxxAx Exemple : La fonction f est strictement concave si sa matrice hessienne F satisfait la propriété : .00' ≠∀< xxFx La fonction g est strictement quasi- concave si sa matrice hessienne G satisfait la propriété : .00 , ' =      ∂ ∂ ∀< x x g quetelsxlesetxxGx