20090924 姿勢推定と回転行列
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玉木徹: 「姿勢推定と回転行列」, 電子情報通信学会 スマートインフォメディアシステム研究会（SIS）信号処理研究会（SIP）オーディオビジュアル複合情報処理研究会（IPSJ-AVM）, 電子情報通信学会技術報告 SIP2009-48, SIS2009-23, Vol.109, No.202, pp.59-64, 広島大学, 広島 (2009 09).
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- 1. 姿勢推定と回転行列 玉木徹（広島大学） スマートインフォメディアシステム研究会（SIS） 信号処理研究会（SIP） オーディオビジュアル複合情報処理研究会（IPSJ-AVM） 2009年 9月24日(木) 広島大学 東千田キャンパス
- 2. 3次元の剛体変換 • 回転行列R • 並進ベクトルt – 3x3行列 – 3次元ベクトル – 直交行列 – 3次元の並進移動を表 – 行列式が＋１ す – 3次元の回転を表す – Rとtを合わせて特殊 – 特殊直交群SO(3) ユークリッド群SE(3) 姿勢推定＝Rとtを求める
- 3. 本日の姿勢推定 • 対応の与えられた点集 • 回帰に基づく姿勢推定 合のマッチング問題 大石岳史,増田智仁,倉爪亮,池内克史,創建期奈良大仏及 び大仏殿のデジタル復元,日本バーチャルリアリティ学会論 文誌, Vol. 10, No. 3, pp.429-436, 2005.10.
- 4. 大仏の形状スキャン 大石岳史,増田智仁,倉爪亮,池内克史,創建期奈良大仏及び大仏殿のデ ジタル復元,日本バーチャルリアリティ学会論文誌, Vol. 10, No. 3, pp.429- 436, 2005.10.
- 5. 遺跡の電子アーカイブ http://www.cvl.iis.u-tokyo.ac.jp/research/bayon/
- 6. 遺跡の電子アーカイブ http://www.cvl.iis.u-tokyo.ac.jp/research/bayon/
- 7. ＩＣＰ：対応が与えられていない 点集合同士のマッチング • Iterative Closest Point (ICP) (Cheng et. al, 1992) – 点集合マッチング手法 の代表的な手法 – その後多数の派生手法 が登場 対応が与えられていない点集合 ？ 点集合X 点集合Y 大石岳史,増田智仁,倉爪亮,池内克史,創建期奈良大仏及び大仏殿のデジタル復元,日本バー チャルリアリティ学会論文誌, Vol. 10, No. 3, pp.429-436, 2005.10.
- 8. ＩＣＰ：対応が与えられていない 点集合同士のマッチング • ICPの基本アルゴリズム 対応が与えられていない点集合 – 1. 仮対応を与える ？ • Xの各点にもっとも近いY の点を求める (closest point) – 2. パラメータを求める 点集合X 点集合Y • XをYに変換するパラメー タの推定 対応が与えられている点集合 点集合X 点集合Y
- 9. 対応の与えられた点集合の マッチング問題 対応が与えられている点集合 点集合X 点集合Y
- 10. 行列形式での定式化 Frobenius norm 3xn R t 3x3 3xn 3x1 1xn
- 11. 並進tの計算 重心位置の計算 点集合X 点集合Y 回転が与えられれば 並進も求められる
- 12. Rの推定問題への変形 重心位置を引くと： 点集合X’ 点集合Y’ 3xn 3x3
- 13. Lagrange乗数を用いた解法 [14] Umeyama, 1991 制約条件 最小化する項 直交行列 行列式が＋1 6つの異なるLagrange乗数を Lagrange乗数 要素に持つ3x3対称行列
- 14. SVDを用いた解法 [10] Arun et. al, 1987 [11] Schönemman, 1966 • Frobenius normと行列 • 目的関数の変形 のトレース(tr) • トレースの性質
- 15. SVDを用いた解法 [10] Arun et. al, 1987 [11] Schönemman, 1966 • トレースの最大値 特異値分解 (Singular Value Decomposition, SVD) 直交行列 対角行列 Schwarzの不等式 最大値を与えるのは
- 16. Schwarzの不等式 回転行列 • Schwarzの不等式 直交行列
- 17. SVDを用いた解法 [12] Kanatani, 1994 [14] Umeyama, 1991 • 行列式+1の制約 • Polar decomposition V,Uは直交行列 行列式が±1 polar部分（行列式が1）
- 18. 車輪の再発明 • Orthogonal Procrustes • Absolute Orientation Problem – 写真測量学・光学 – 心理学分野 （Photogrammetria, J. （Psychometrikaなど） Optical Soc. of America など） • Wahba’s Problem – 天文学分野 • Fitting corresponding point sets – コンピュータビジョン （IEEE PAMIなど）
- 19. Orthogonal Procrustes Problem Hurley et. al, 1962 [11] Schönemman, 1966 Procrustes. "Now then, you fellows; I [3] Schönemman et. al, 1970 mean to fit you all to my little bed!" [5] Akca, 2003 Chorus. "Oh lor-r!!" Orthogonal Procrustes Extended Orthogonal Procrustes Generalized Orthogonal Procrustes File:The Modern Bed of Procustes - Punch cartoon - Project Gutenberg eText 13961.png http://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_Modern_Bed_of_Proc ustes_-_Punch_cartoon_-_Project_Gutenberg_eText_13961.png
- 20. Wahba’s Problem Wahba, 1965 Prof. Grace Wahba [6] Shuster, 2006 (University of Wisconsin-Madison) [7] Markley, 1999 正の重み spacecraft座標系 基準座標系 での方向 での方向 http://www.stat.wisc.edu/~wahba/public/jpg/jsm.05/noether.html Grace Wahba, “Problem 65–1: A Least Squares Estimate of Spacecraft Attitude,” SIAM Review, Vol. 7, No. 3, July 1965, p. 409.
- 21. Absolute Orientation [8] Thompson, 1958 [16] Horn, 1987 [9] Horn et. al, 1988 ‘ E. H. Thompson, "An exact linear solution of the problem of absolute orientation," Photogrammetria 15(4), 163–179 (1958).
- 22. Fitting corresponding point sets [10] Arun et. al, 1987 [14] Umeyama, 1991 [12] Kanatani, 1994 大石岳史,増田智仁,倉爪亮,池内克史,創建期奈良大仏及び大仏殿のデジタル復元,日本バー チャルリアリティ学会論文誌, Vol. 10, No. 3, pp.429-436, 2005.10.
- 23. 本日の姿勢推定 • 対応の与えられた点集 • 回帰に基づく姿勢推定 合のマッチング問題 大石岳史,増田智仁,倉爪亮,池内克史,創建期奈良大仏及 び大仏殿のデジタル復元,日本バーチャルリアリティ学会論 文誌, Vol. 10, No. 3, pp.429-436, 2005.10.
- 24. 「今年のロボット」大賞2007 FANUC Robot M-430iA は、コンベア上を高速に流れてくる物品を 瞬時にピッキングする垂直多関節ロボットです。1台あたり毎分120 個の処理能力で24時間連続運転が可能です。iRVisionによるビ ジュアルトラッキング機能と組み合せて、コンベアでバラバラに供 給される物品も素早く整列し、箱詰めします。 M-430iAのビジュアルトラッキングによる高速ハンドリング 「今年のロボット」大賞2007 大賞（経済産業大臣賞）受賞 - 2007年12月のニュース - ファナック: http://www.fanuc.co.jp/ja/news/2007/0712/0712_robotaward.html
- 25. ピッキング：ロボットビジョンの応用 ロボットアーム カメラ 平面上の 形状認識 （商用化済み） 株式会社リンクス：産業別適用事例 http://www.linx.jp/applicate_example/halcon/index.html どうつかむのか？ （姿勢推定が必要） ？ ねじの山から 一本取り出す 人間の作業 （3自由度の姿勢推定）
- 26. 回帰に基づく姿勢推定手法 学習 推定 x1 x2 xn 学習画像 p パラメータ p1 p2 pn
- 27. 姿勢推定方法 学習画像 最小化問題（一般） 学習画像の姿勢パラメータ 簡単化（線形） 例：1自由度の姿勢パラメータ 最小ノルム解 一般化逆行列
- 28. 1自由度の姿勢表現に必要な条件 画像は学習画像の線形和 0° 330° 340° 350° 10° 20° 30° 学習 推定 角度 180° 330° 340° 350° 10° 20° 30° 姿勢表現に適さない：360°において不連続 sin,cos sin(0°) sin(340°) sin(350°) sin(10°) sin(20°) sin(30°) cos(0°) cos(340°) cos(350°) cos(10°) cos(20°) cos(30°) 姿勢表現に適している：すべてにおいて連続
- 29. 3自由度の姿勢表現の比較 回転軸 固定角 オイラー角 単位四元数 回転行列 回転量 連続性 一対一 回転量を qと-qが同じ ジンバルロック 角度で表すと× 姿勢を表す が存在 (sin,cos)で表すと○
- 30. 姿勢推定方法（3自由度） 学習画像 最小ノルム解 学習画像の姿勢パラメータ 学習 一般化逆行列 3自由度の姿勢パラメータ 推定 回転行列ではない！ 回転行列Riの要素 問題
- 31. Rの推定値の直交化 解くべき問題 前半の結果
- 32. 本日の姿勢推定 • 対応の与えられた点集 • 回帰に基づく姿勢推定 合のマッチング問題 大石岳史,増田智仁,倉爪亮,池内克史,創建期奈良大仏及 び大仏殿のデジタル復元,日本バーチャルリアリティ学会論 文誌, Vol. 10, No. 3, pp.429-436, 2005.10.
- 33. 3次元の剛体変換 • 回転行列R • 並進ベクトルt – 3x3行列 – 3次元ベクトル – 直交行列 – 3次元の並進移動を表 – 行列式が＋１ す – 3次元の回転を表す – Rとtを合わせて特殊 – 特殊直交群SO(3) ユークリッド群SE(3) 姿勢推定＝Rとtを求める
- 34. 姿勢推定と回転行列 玉木徹（広島大学） スマートインフォメディアシステム研究会（SIS） 信号処理研究会（SIP） オーディオビジュアル複合情報処理研究会（IPSJ-AVM） 2009年 9月24日(木) 広島大学 東千田キャンパス