Teoria de-errores-

Laboratorio de Circuitos Eléctricos II pág. 1
“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación”
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
CURSO : LAB. DE CIRCUITOSELECTRICOSII
DOCENTE : QUISOCALA HERRERA, JHIMMY ALBERT
TEMA : TEORIA DE ERRORES
FACULTAD : INGENIERIA MECANICAELECTRICA
ALUMNO : CANAZAMAMANI,Uber Carlos
SEMESTRE : VI
F. ENTREGA : Sábado, 16 de mayo de 2015
PUNO-PERU
2015

CONTENIDO:
 INTRODUCCION…………………………………………………………………………….3
 FUNDAMENTO TEORICO………………………………………………………………4
 OBJETIVOS……………………………………………………………………………………..5
 Historia de la medición y sus errores …………………………………………. 5
 Antecedentes…………………………………………………………………………………6
 Instrumentos de medición…………………………………………………………….10
 Errores, precisión, tolerancia y compensación……………………………….15
 Causas de los errores…………………………………………………………………....17
 El error clasificación ………………………………………………………………….….17
 Métodos de los mínimos cuadrados……………………………………………...31
 Medidas directas……………………………………………………………………………35
 Medidas indirectas………………………………………………………………………..39
 Exactitud………………………………………………………………………………………..48
 Valor representativo de varias medidas y su imprecisión………………51
 Redondeo:……………………………………………………………………………………..56
 CONCLUCION………………………………………………………………………………..61
 BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………….……….61

INTRODUCCIÓN
El resultado de toda medición siempre tiene cierto grado de incertidumbre.
Esto se debe a las limitaciones de los instrumentos de medida, a las
condicionesen quese realiza la medición, así como también, a las
capacidadesdel experimentador. Es por ello que para tener una idea correcta
de la magnitud con la que se está trabajando, es indispensableestablecer los
límites entre los cuales se encuentra el valor real de dicha magnitud. La teoría
de erroresestablece estos límites.
Se caracteriza por ser de carácter variable, es decir que al repetir un
experimento en condiciones idénticas, los resultadosobtenidos no son iguales
en todos los casos. Las diferenciasen los resultadosde las mediciones no
siguen ningún patrón definido y son producto de la acción conjunta de una
serie de factoresque no siempre están identificados. Este tipo de error se
trabaja estadísticamente. El error accidentalse puede minimizar aumentando
el número de mediciones.
El error total es igual a la suma de estos tres tipos de errores. Aún cuando el
error total se pueda minimizar, es imposible eliminarlo del todo debido a que
el error deescala siempreestá presente. Por lo tanto, el error totalno tiende
a cero sino a cierto valor constante.
A la par con los mencionadosexisten otrostipos de errorescomo son por
ejemplo los erroresestáticos y los erroresdinámicos. Los erroresestáticos se
originan debido a las limitaciones de los instrumentosde medida o por las
leyes físicas que gobiernan su comportamiento. En un micrómetro se
introduceun error estático cuando se aplica al eje una fuerza excesiva. Los
erroresdinámicosse originan debido a que el instrumento de medida no
respondelo suficientemente rápido para seguir los cambios de la variable
medida. Pero cualquier tipo adicionalde error se puedeclasificar en uno de
los gruposmencionadosanteriormente.

OBJETIVOS
El objetivo de la Teoría de Erroreses identificar las diversas fuentes que
generan error en la medición, determinar el verdadero valor de las
magnitudesfísicas medidasde forma directa (medir la altura de un cilindro
con el calibrador Vernier) eindirecta (medir el volumen de un cilindro,
midiendo su altura y diámetro con el calibrador Vernier).
Ademáses muy importanteen esta práctica que el alumno se familiaricey
posea un adecuado manejo de los equiposde medición de laboratorio.
La teoría de errores, sobrela base de LAN mediciones a ejecutar, nos
permitirá determinar cuatro cuestiones.
* Hallar el Valor Más Probabledela magnitud (VMP)
* Hallar el valor del error aparentede cada medición (v)
* Hallar el valor del error del VMP. También llamado Error Medio Cuadrático
(EMC.)
* Hallar el valor del error relativo de las mediciones (
FUNDAMENTO TEORICO
1.1) HISTORIA DELA MEDICIONY SUS ERRORES
Historia de la medición. Uno de los primerosconceptosdesarrolladospor el
hombrefue el de número, pues tenía la necesidad de poder expresar
numéricamentetodo lo quese encontraba a su alrededor. Entoncesel

hombrecomenzó a medir mediante un simple conteo de objetos. Más tarde, y
por propiasnecesidades de su desarrollo, enunció el concepto de medida,
realizando las primerasmediciones a partir de unidadesmuy rudimentarias
1.2) Antecedentes
Las primerasmediciones realizadas estuvieron relacionadascon la masa, la
longitud y el tiempo, y posteriormentelas de volumen y ángulo como una
necesidad debido a las primerasconstruccionesrealizadaspor el hombre.
Así, por ejemplo, en las primerasmediciones de longitud se empleaba el pie,
el palmo, el brazo, etc., queconstituyeron, al mismo tiempo, los primeros
patronesde medición (patronesnaturales), queeran fácilmente
transportablesy presentaban una relativa uniformidad.
Además, se comparaban masasdeacuerdo con la sensibilidad muscular o se
medían distancias relacionándolascon el tiempo, a partir de lo que se podía
recorrer a pié en un día y otras mediciones por el estilo.
Todas estas unidadesde medida resultaban imperfectas, ya que variaban de
individuo en individuo y de un lugar a otro, lo que comenzó a crear
dificultades a la hora de establecer las primerasrelaciones comerciales entre
los hombres.
No obstante, estos primerospasos condujeron alorigen de la Matemática, y
de la Metrología o ciencia de la medición. Esta última se deriva de la primera y
otras ciencias puras. A medida que paso el tiempo, el propio desarrollo del
comercio, la industria y la ciencia, fueron obligando a un desarrollo paulatino
de las mediciones quetan importantepapel desempeñan hoy día en las
relaciones entre los hombres, ya que forman partede nuestra vida cotidiana,
de la producción, la distribución, la investigación etcétera.
La concepción de la medición:
“La medición es la forma de determinar tamañosla cantidad o la extensión de
algo. Es la manera de describir un objeto”.

La medición es la acción y el efecto de medir. Este verbo, con origen en el
término latino metro, se refierea comparar una cantidad con su respectiva
unidad, con el fin de averiguar cuántas veces la segunda está contenida en la
primera.
En otras palabras, una medición es la determinación de la proporción entrela
dimensión o suceso de un objeto y una determinada unidad de medida. Para
posibilitar la medición, la dimensión del objeto y la unidad deben ser de la
misma magnitud.
Historia de la Medición
Howard Metro y kilogramo patron.jpg
Hace algunossiglos, medir resultaba algo muy complicado. Como decíamos,
medir es simplemente comparar, ycada persona, cada pueblo, cada país
comparaba lascosas con lo que más se le antojaba. Por ejemplo, usaban la
medida mano para medir distancias, y aún hoy mucha gente, cuando no tiene
una regla o una cinta métrica, mide el ancho de la puerta con la mano o el
largo del patio con pasos. El problema con esto es obvio: todos los seres
humanosno tienen los pies ni las manos del mismo tamaño, o sea, también un
problema de medidas.
Los sistemas más rarosde medición coexistían hasta la Revolución Francesa,
allá por el año 1789. En esta época de tumulto y grandescambios, los
franceses, enardecidospor su afán de cambiar y ordenar el mundo, decidieron
que tenían que fundar un sistema de mediciones racionaly único que fuera
superior a todos los demás. Mientras los políticos se dedicaban a mandar a
sus enemigos a la guillotina, la Asamblea Nacional(francesa) le encomendó
en 1790 a la Academia de Ciencias que creara este nuevo sistema.

El nuevo sistema tenía que:
 Estar basado en cosas que permanecieran estables en la Naturaleza. No,
por ejemplo, el largo de un pie, porquecomo bien se sabe el largo de los
pies, como el de las narices, varía de persona en persona.
 Estar basado en pocas formasde medir quese conectaran unascon otras
de manera lógica. Por ejemplo, una vez definido el centímetro, se define al
litro como el volumen de algo que entra en un cubo de 10 cm de lado, y se
define el kilogramo como el peso de un litro de agua.
 Debía ser un sistema decimal, es decir, dondelos múltiplos de las
unidadesvariaran de 10 en 10. Así, un decámetro es igual a 10 metros, un
hectómetro es igual a 10 decámetros, y así sucesivamente.
Nacimiento del metro
Después de mucho pensar, los científicos de la época se pusieron de acuerdo
en que la unidad de medición debería tener que ver con el planeta Tierra. Y se
propuso: ¿por quéno hacer que la unidad de longitud sea la diez millonésima
parte de un cuarto de meridiano terrestre?
Pues un meridiano terrestre es la distancia queva desde el Polo Norte al Polo
Sur y vuelta al Polo Norte, es decir, una vuelta completa al planeta pasando
por ambos polos. La Academia de Ciencias, le encomendó a un grupo de
aventurerosque fueran a medir, no todo un meridiano, que es muy largo, sino
un cuarto de meridiano, queigual es bastante. Estos medidoresmidieron la
distancia de la ciudad de Dunkirk, FRANCIA, hasta la de Barcelona, España.
A partir de esa medición y mediante observaciones astronómicasse pudo
calcular el largo del cuarto de meridiano terrestre. A ese número se le dividió
por diez millones. El largo que resultó de esa cuenta se usó para fabricar una
barra de platino bautizándola con el nombrede metro.
Entonces, se hicieron y guardaron variascopiasdel metro patrón en una
bóveda de seguridad, protegida dela herrumbre, elfrío, el calor y los
ladrones. También se decidió que el kilogramo sería, por definición, el peso
del agua quecabe en un cubo de un décimo de metro de lado (es decir, 10
centímetros). También se construyó y guardó una pesa patrón de
exactamente un kilogramo junto con el metro. A partir de ese momento,

todas las mediciones fueron comparacionescon esa barra y esa pesa de
platino.
Conceptos de interés
 Medir: determina el número de veces que la magnitud a medir contiene la
unidad de medida. Resultado; producto del número demedida por la
unidad en magnitudestangibles (longitudes, superficies, volúmenes).
Suelen designarsepor medida. Verificar; comprobación quese cumplen los
limites de medida o bien solamente el máximo o el mínimo.
 Error de medición: la inexactitud que se acepta como inevitable al
comparar una magnitud con su patrón de medida. El error de medición
depende de la escala de medida empleada, y tiene un límite. Los errores
de medición se clasifican en distintas clases (accidentales, aleatorios,
sistemáticos, etc.).
 Tolerancia: La tolerancia se refierea un margen permisible, en la
dimensión nominalo el valor especificado de una pieza manufacturada. El
propósito de una tolerancia es especificar un margen para las
imperfeccionesen la manufactura deuna parteo un componente.
 Incertidumbre: Desdeel punto de vista de la metrología, se define
incertidumbrecomo la característica asociada al resultado de una
medición, que define el espacio bidireccionalcentrado en el valor ofrecido
por el instrumento de medida, dentro del cualse encuentra con una
determinada probabilidad estadística el valor medido. La expresión de la
medida de cualquier magnitud, no debe considerarsecompleta, si no
incluye la evaluación de incertidumbreasociada a su proceso de medición.
 Exactitud: En ingeniería, ciencia, industria y estadística, se denomina
exactitud a la capacidad de un instrumento de medir un valor cercano al
valor de la magnitud real. Suponiendo variasmediciones, no estamos
midiendo el error de cada una. Sino la distancia a la que se encuentra la
medida realde la media de las mediciones. (cuán calibrado está el aparato
de medición)
Necesidad e Importancia dela medición:
Las mediciones ofrecen los medios exactos y precisos para describir las
característicasy el tamaño de las partes. En esta época de la producción en
masa, es frecuenteque las partesse hagan en una localidad y se ensamblan

en otras. Las mediciones proporcionan esecontrolal brindar la información en
términos comprensiblespara todo el mundo.
Las razones básicas que justifican la medición:
1.1 La medición proporciona una manera decontrolar la forma en que se
dimensionen sus partes.
1. Segundo ofrece, el medio para controlar el dimensionado de las partes
que hacen para otros.
2. Es una manera de describir físicamente una parte.
El resultado de medir es conocido como medida. Al realizar una medición, se
debe tener cuidado para no alterar el sistema que se observa. Detodas
formas, hayque considerar que siemprelas medidas se realizan con algún tipo
de error, ya sea por las imperfecciones del instrumental, las limitaciones del
medidor o los erroresexperimentales.
El patrón que permite realizar las mediciones se conoce como unidad de
medida y debe cumplir con tres condicionesbásicas:
1. Ser inalterable (no puede cambiar con el tiempo ni en función de quién
realice la medida),
2. Ser universal (puedeser utilizado en todos los países)
3. Ser fácilmente reproducible.
Cuando una medición se concreta a través de un instrumento de medida, se
habla de una medición directa. En cambio, en los casos en que no existe el
instrumento adecuado (porqueel valor a medir es muygrandeo muy
pequeño, por ejemplo), la medición se realiza a través de una variableque
permite calcular otra distinta. En estos casos, se dice que la medición es
indirecta.
2.1) Instrumentos demedición

Para medir masa:
Howard balanza digital.jpg
1. balanza
2. báscula
3. espectrómetro de masa
4. catetómetro
Para medir tiempo
1. calendario
2. cronómetro
3. reloj
4. reloj atómico
5. datación radiométrica

Para medir longitud:
Howard cinta métrica.jpg
1. Cinta métrica
2. Regla graduada
3. Calibre
4. vernier
5. micrómetro
6. reloj comparador
7. interferómetro
8. odómetro
Para medir ángulos:
1. goniómetro
2. sextante
3. transportador

Para medir temperatura:
Howard termómetro.jpg
1. termómetro
2. termopar
3. pirómetro
Para medir presión:
1. barómetro
2. manómetro
3. tubo de Pitote (utilizado para determinar la velocidad)
Para medir velocidad:
Howard velocímetro.jpg
1. tubo de Pitote (utilizado para determinar la velocidad)
2. velocímetro
3. anemómetro (utilizado para determinar la velocidad del viento)
4. tacómetro (Para medir velocidad de giro de un eje)

Para medir propiedades eléctricas:
1. electrómetro (mide la carga)
2. amperímetro (midela corriente eléctrica)
3. galvanómetro (midela corriente)
4. óhmetro (mide la resistencia)
5. voltímetro (mide la tensión)
6. vatímetro (midela potencia eléctrica)
7. multímetro (mide todos los anterioresvalores)
8. puente de Wheatstone
9. osciloscopio
Para medir otras magnitudes:
1. caudalímetro (utilizado para medir caudal)
Howard sismógrafo.jpg
2. colorímetro
3. espectroscopio
4. microscopio
5. espectrómetro
6. contador geiger
7. radiómetro deNichols
8. sismógrafo
9. pHmetro (mideel pH)
10.pirheliómetro
11.maculometro

3) Errores, precisión, tolerancia y compensación.
mediciones, tipos de errores, causa de los errores, notación.
3.1) Precisión:
Definición y métodos para aumentar la precisión en las mediciones. 2.3
Tolerancia: Definición, exigencias del Reglamento Nacional de Mensuras,
exigencias impuestas por el valor económico de la obra, por la seguridad que
debe ofrecer, etc. 2.4 Compensación: Definición, cálculo dela compensación.
Apéndice.
3.2) Generalidades:
La teoría de erroreses una ciencia fundamentalpara todaslas materias donde
se manejan y analizan grandesvolúmenes de datosprovenientes de
observaciones directaso mediciones realizadas en laboratorio o trabajos de
campo, tales como los que se desarrollan en topografía, geodesia, física,
química y sobretodo estadística.
Esta ciencia, parte de la estadística, fue desarrollada porelmatemático
alemán KarlFriedrich Gaussa partir de sus estudiosalgebraicosy
complementada luegoporelinglésSir Isaac Newton quien aplica su teoría del
análisismatemático a la estadística y más tarde por el francésPierre Simón
Laplace quien con su teoría de las probabilidadesle da a la estadística y la
teoría de errores carácter de ciencia.
Existen variosprocedimientospara cumplir los objetivos de la teoría de
errores, algunosincluyen procedimientospropiosdel análisis matemático,
como integrales, derivadas, logaritmosNeperianos, etc. no pareceser
necesario en estos apuntestal profundización sobre un tema que no reviste
capital importancia para las prácticastopográficas, por lo que solo se verá una
versión básica del tema, que se adecua al tema predominanteen el ámbito
topográfico, la medición en todos sus aspectos. No obstante en el CD de este
apuntese puede encontrar una versión más completa de esta teoría, para
quien quiera profundizar en el tema.

Cuando se efectúa la medición de una distancia para conocer su magnitud,
solo se obtiene un valor aproximado dela misma, debido a variadascausas y
efectos que afectan a todaslas mediciones por lo que es imposible conocer
con certeza y perfección la verdadera magnitud medida y el error quese ha
cometido al hacerlo. Es objetivo de la teoría de erroreshallar el valor más
cercano posible al verdadero de la magnitud que medimos y el error que
hemos cometido duranteel trabajo de campo.
Para ello se efectúa una serie de n mediciones de la magnitud a medir (donde
n es un número entero, positivo y de un valor absoluto suficientemente
grandecomo para alcanzar la precisión requerida por el trabajo a realizar).
Estan mediciones, en general, nos proporcionan magnitudesquedifieren
entre sí por valores muy pequeñosya que los errorescometidos son,
generalmente, pequeños y pasarían desapercibidossino fueran objeto de
observación. Al estudiar estos pequeñoserrorespodemos, por medio de
artificiosmatemáticos llegar a un valor tan aproximado alverdadero de la
magnitud, y al error cometido, como se quiera.
Tenemos entonces por razones físicas, y también lógicas, dos premisas
fundamentalesobtenidasempíricamente:
 El valor exacto de una magnitud no se llega a conocer nunca.
 Siempreque se mide se cometen errores, es imposible evitarlos.
ACLARACION: En el lenguaje técnico utilizado eltérmino <<error >> utilizado
repetidamente en esta unidad essinónimo de vacilación o indeterminación, no
de equivocación ya que estossucesos, llamadoserroresgroseros, no serán
consideradosen este estudio porsu absoluta impredecibilidad.
4) Causas de los errores
Son numerosaspero solo nombraremoslas más importantes:
 Indeterminación delos extremosde la magnitud a medir (por ej. el
ancho de una calle sin líneas municipalesperfectamente determinadas
o el ángulo o la distancia determinada por dos señales muy gruesas).

 Limitaciones de nuestros sentidos, principalmenteel de la vista, cuya
acuidad visiva es de aproximadamente00°01' 00"; disminuyendo con la
edad o enfermedades.
 Imperfección o inadecuación de los instrumentos utilizados, tanto por
fabricación, malos
Tratos, falta de mantenimiento, o razones económicas.
 Condicionespsicofísicas del operador como ser cansancio, estrés,
enfermedades, apuro y por qué no falta de responsabilidad o
experiencia.
 Imprecisión intrínseca de los métodos de cálculo, como cuando se
utilizan calculadorasy la cantidad de decimales no son suficientes para
las precisiones requeridas.
 Condicionesatmosféricas adversasque puedan alterar los resultadosde
las medicione
5) EL ERROR: CLASIFICACIÓN
De lo dicho anteriormente, los valores obtenidos cuando medimos
magnitudesfísicas, no tenemos cómo asegurar que corresponden alvalor
verdadero. Por ello, necesitamos determinar cuál es el grado de
incertidumbreo error de la cantidad obtenida. Entendemos aquí por error a la
indeterminación o incerteza propia delproceso de medición yno lo tomamos
como si fuera una equivocación por el operador. Matemáticamente
expresaremosel resultado de la medición como:
X = Dm ± E
DondeE es la incertidumbre, incerteza o error cometido en el proceso de
medición. Esta expresión nosestá indicando que el valor de la magnitud
medida se encuentra comprendida en el intervalo de númerosreales
comprendido entreDm - E y Dm + E. Gráficamente:
Dm - E DmDm + E X
A los fines de sistematizar el tratamiento de los errorescometidos
comenzaremospor clasificarlos en función de sus posibles causas en:

2.2.1.- ERROR MÍNIMO
Al analizar las cifrassignificativas, mencionamosqueel objeto, los
instrumentos, el operario, ofrecen limitaciones en el número decifras que
podemosmedir. Es decir, cada uno de los sistemas que intervienen en el
proceso de medición, introduceuna incerteza o error en el valor medido. Ellos
son:
Error de definición (edad): está determinado porla naturaleza del objeto a
medir. (Las rugosidadesde un cuerpo aparentemente de superficielisa, que
por más que mejoremos el orden de cifra significativa, llega un momento que
no puedemejorarse)
Error de apreciación (gap): esel mínimo valorde medida que puede medirel
instrumento. (Una cinta de sastre tendrá una apreciación de 1 cm o 0,5 cm)
Error de interacción (en): surge como resultado de la interacción entre
operario, instrumento yobjeto. Seintroduceeste error en la medida que
perturbamosel sistema objeto de nuestra medición. (Medir con un
cronómetro manual, tiemposdel orden da magnitud de nuestra capacidad de
reacción)
Error de exactitud (exea): surge de la fidelidad con la que un instrumento
recoge los datosde la realidad. (Un amperímetro clase 0,2, esdecir, que a
plena escala se comete un error deapreciación de 0,2 para 100 divisiones)
Podemosexpresar el error mínimo (emir) como que:
Emir = edad + en + gap + exea
En muchoscasos, de acuerdo a las necesidades de precisión del problema se
efectuarán una medición o varias mediciones. Para acotar los errores
experimentales podemosproceder de las siguientes maneras:
5.1) ERRORES SISTEMÁTICOS Y CAUSALES
SISTEMÁTICOS: Son aquellosque ocurren siempre en una misma dirección. Por
ejemplo, si la aguja de la balanza del señor que nosvende verdura en el
mercado está un poquito corrida del cero, ya sea a la derecha o a la izquierda,
el valor del peso de verdura quenos pese sufrirá sistemáticamente una
incertidumbrepor exceso o por defecto respectivamente. Cuando midamos
en otra balanza calibrada más correctamente, nosdaremoscuenta del error y
podremosinformar a nuestro verdulero para que efectúe la corrección

necesaria. No obstante, es probableque si no le avisamos, este señor no tome
conocimiento del error de su balanza, puesto que cono mide siempre con el
mismo instrumento, será difícil que se percate de dicho error sistemático.
Concluimosentonces que un error sistemático no es fácilmente detectable,
porquese producen siempre en una misma dirección, lo podemos identificar
cuando usamosotros aparatosu otrosmétodos de medición. Así podemos
cometer erroressistemáticos de medición cuando:
*el instrumento está mal calibrado (nuestro ejemplo)
*fallas en el aparato de medición (balanza mal construida, milímetrosmás
grandeso chicos)
*operador con poca o nada de experiencia en las mediciones (mala ubicación
del ojo para mirar es decir error de paralaje)
*influencia del ambiente (aumento de la temperatura)
Una vez conocidoses posible eliminarlos.
5.2) CASUALES OACCIDENTALES:
Son aquellosque se cometen en forma azarosa, esdecir, no podemospredecir
cualesson las causasy corregirlas. Los valores de las magnitudes medidas, se
cometen por exceso o por defecto. Admiten por lo tanto, para una cantidad
grandede medidas un tratamiento estadístico a diferencia de los anteriores.
Algunosejemplos de estos son:
*variaciones de las condiciones externas en forma accidental(variación de la
tensión domiciliaria)
*error en la apreciación del instrumento (no se estima correctamentela
división de la escala con la quese está midiendo)
*limitaciones impuesta por el propio objeto (superficierugosa)
5.3) ACOTACIÓNDEERRORES EN UNA SOLA MEDICIÓN:
En el caso de efectuar una sola medición podemosdeterminar:
Error absoluto (E): Es la diferencia entre elvalor verdadero (V) y el valor
medido (Dm). Pero nosotrossabemosquepor más exacto que sea el
instrumento, por más experimentadosque sea el operador, yaún
condicionando otrascircunstancias, el valor verdadero de una magnitud física

no existe, Por lo que el error absoluto no pasa de ser una definición teórica
que podemosestimar con el error de apreciación
E = VV. - Dm
Error de apreciación (E): es la menorlectura que puede efectuarse con el
instrumento. Por ejemplo,
Si medimos con una regla milimetrada, el E = 1 mm = 0,1 cm = 10-3 m
Si medimos con una regla en centímetro, el E = 1cm = 0,1 dm = 10-2 m
Error de estimación (EE.): Un operador podría considerar quesi está midiendo
con una regla milimetrada puede “ver” hasta la mitad o 1/2 de la menor
apreciación del instrumento, es decir 0,5 ms. En este caso el error cometido
en la medición recibe el nombrede error de estimación. Es decir, es la menor
medida que un operadorpuede estimarcon un determinado instrumento de
medición.
3.- ¿Cuánto cree que puede estimar como menor valor de medida:
 en una regla milimetrada
 en la balanza del verdulero
 en tu reloj
 en la cinta métrica
 en el contador dekilómetros de un auto
 en el velocímetro de una moto
Sucedeque podemos medir el largo de nuestra mesa de trabajo y el ancho del
aula con una regla milimetrada. El error que se comete en amboscasos no
producela misma incidencia en el valor final. Es decir que un error de 0,5 mm
no tiene la misma relevancia en ambos casos considerados. Para determinar la
precisión o calidad con la quese efectúa la medición, se calcula el:
Error relativo: es el cociente entre el error absoluto y el valormedido.
E
Er = _
Dm

Calcula el error relativo para los casos mencionados, compara losresultados y
elabora una conclusión.
Y para poder independizar el error cometido de la medida y poder informar el
resultado con precisión, se calcula también el:
Error porcentual(E%): Es el error relativo multiplicado porcien (100)
E% = Er. 100
Determina el error porcentualen las mediciones efectuadas anteriormente.
El error porcentualexpresa que por cada 100 unidadesmedidas se comete Er
de error.
4 ¿Quéexpresa tu error porcentualcalculado? Compara losdoscasos.
5.4) ACOTACIÓNDEERRORES PARA VARIAS MEDICIONES
El problema que se nos plantea ahora es cómo informamosdelresultado de
nuestras mediciones, si disponemosde una gran cantidad de datos o valores
medidos. Supusimosque los erroresaccidentales permiten un tratamiento
estadístico.
El mejor valor
El primer problema que debemos enfrentar es cuál es la mejor medida. Para
ello calculamos el valor promedio de los Mí valores medidos:
Dm = Mi / m
La justificación de porquehemospropuesto el promedio como el mejor valor,
es que al considerar quelos errores accidentales son azarosos, el error
cometido en cada medición es
Ei = Mi - Dm
Por lo que las desviaciones por exceso o defecto se compensan, es decir:
Ei = (Vi - Dm) = 0
De dondedespejando Dm, resulta la expresión dada inicialmente en este
apartado.
Podemosahora completar la tabla inicialmente planteada. Es importante
tener en cuenta que los valores obtenidosresultan de que un sólo observador

efectúe las mismas mediciones, con el mismo instrumento y bajo las mismas
condicionesde replicabilidad (no de reproductividad).
Error cuadrático medio
Concluimosque la determinación del mejor valor para la magnitud que
estamos midiendo es el promedio matemático de las Mí medidas realizadas. El
siguiente problema a resolver es cómo informamosdelas incertezas o
desviaciones cometidas en el proceso de medición. Para ello vamos a calcular
el error delpromedio. Con ello queremosacotarlo en función de las
mediciones realizadas.
El error cuadrático medio de cada medición es:
Observamos que hemos obtenido una expresión que nosinforma del error
promedio de cada medición, que aunqueaumente el número de ellas, tanto el
numerador como el denominador, están afectadosproporcionalmente, por lo
que resulta independientedel número de mediciones realizadas. Por otro
lado, nos da la calidad o precisión de la medición
realizada, como consecuencia de la construcción de su expresión. Si su valor
es grande, lasmediciones efectuadas se desvían bastante del Dm, caso
contrario sucede con un valor más pequeño.
Error cuadrático medio del promedio
Podemosplantearnosahora el problema de acotar el error delpromedio, para
ello calculamos el error cuadrático medio del promedio:
Observemos que a medida queaumente m, E disminuirá, es decir podemos
acotar el mejor valor. Esta última expresión nos da un intervalo de incerteza
de nuestra medición. Por cálculosque no desarrollaremosen este breve
trabajo, la certeza de encontrar el valor verdadero en el intervalo
mencionado, es de un 63,8%.
Estamos en condiciones ahora de expresar el resultado del proceso de
medición como

V = Dm ± E
PROPAGACIÓNDEERRORES
En muchoscasos podrá planteársenosel problema de acceder a mediciones
de ciertas magnitudes a través de otras en forma indirecta, ya sea por no
poseer los instrumentosadecuadoso por sólo poseer una expresión
matemática a través de la cual se la define cuantitativamente. Tal es el caso
del volumen de un cuerpo q través de las longitudes de sus aristas, o el caudal
de un río a través del volumen por minuto de agua que circula, etc.
Reflexionando podemosconcluir que el Dm de la medición indirecta
dependerá de los valores promedioso mejores valores de las magnitudesque
se miden en forma directa.
Para facilitar el proceso de acotación de los erroresejemplificaremoscon:
a) SiV = A + B entonces EV = EA + EB
b) SiV = A. B entonces ERV = ERA ERB
c) Si V = A/ B entonces ERV = ERA + ERB
d) SiV = En entonces ERV = n ERA
Ocurreque al medir las distintas magnitudes directas, no todas son medidas
con el mismo número de cifras significativas. En este caso, se tomará como
criterio determinar el orden del error de la magnitud indirecta como aquella
del orden del menor número de cifrassignificativas. Para ello se realizará el
redondeo correspondiente.
2.2.6.- Relación entremagnitudesmedidas: correlación devalores
Los hechos de la Naturaleza se nos presentan como un gran interrogante. Los
físicos, químicos, geólogos, biólogos, etc., pretendemosexplicar esos hechos y
para ello apelamos a medir magnitudes cuyas relaciones queremos descubrir.
Esta postura acerca de cómo es el trabajo del científico, es una más entre
otras queactualmente son aceptadas por la Filosofía y Epistemología de la
Ciencia.
Después de recoger los datos, los ordenamosen una tabla y luego los
graficamos. Podemosindagar aquícuáles la posible relación entre las mismas.
Una vez detectada la posible relación matemática, podemos enunciar la ley
física y las condicionesbajo las cuales ésta se verifica. Llegamos así a descubrir

una regularidad y podemospredecir resultados con la nueva ley.
Reflexionamosacerca de los valores medidos y sabemos que ellos poseen
errorespropiosdel proceso de medición, por lo que acotarlosdebido a la gran
cantidad de datos disponibles, nos brindaría información acerca dela
pertinencia o no de la ley encontrada.
ERRORES ATMOSFERICOS
La naturaleza actúa sobretodos los elementos que la rodean y sóbrelos que
están interactuando con ella, por esa razón los equipos y herramientas
también son afectadospor factorescomo la temperatura, presión
atmosférica, altitud, electro magnetismo, cargaseléctricas adyacentes a las
zonas de trabajo, humedad, radiaciones, nubosidad yrefracción solar entre
otros.
ERRORES SISTEMÁTICOS
Tienen que ver con la ocurrencia persistente de datos que poco apoco se van
acumulando, por ejemplo cuando se tiene una cinta métrica que está
alongada y no se ha patronado correctamente, cuando un bastón con prisma
reflector está desplomado y se toma línea sobreel o se mide distancias
tomándolo como referencia cierta. Dependiendo de la longitud de un
segmento o segmentos a medir este topo de erroresse acumula y podría ser
exagerado al final del tramo haciendo que el resultado de la suma o resta de
magnitudesdifiera de la realidad en campo. Para reducir estos efectos
negativos generadospor erroresrepetitivos acumulables, es recomendable
revisar, ajustar, verificar, calibrar y patrona constantemente los equipospara
estar seguros de que no van a fallar, se debe utilizar todoslos medios
disponibles para hacer más fácil el trabajo evitando rutas difíciles a menos que
sea necesario, se recomienda seguir procedimientos técnicos probados, para
lograr buenosresultados. En cuanto a la temperatura quetambién afecta las
mediciones de los equipos y herramientas, se hadeprocurar conservar los
equipos en lugaresapropiados para evitar quesean afectadospor el frio o
calor excesivos, una cinta métrica se puedealongar o contraer sin que nos
demos cuenta, arrojando dimensionesincorrectas, un equipo de medición
angular puedeproporcionar o grabar un dato errado sise le expone
directamente al
Sol o si está desajustado, un cálculo incorrecto puede transmitir dicho error a
una serie de datos que dependan del dato inicial y sumado a la probabilidad
de ocurrencia de erroresadicionalesen la cadena de colección de taos, puede

terminar en deformar lasfigurasgeométricas o líneas de los segmentos que se
han de representar en un esquema o plano.
2.1.8. ERRORES ACCIDENTALES
Cuando un Topógrafo, Cadenero o Auxiliar no conoce a fondo los conceptos
técnicos y procedimientos puede equivocarseen una medida por afán o a
causa de una caída golpe, mala posición, también es posible que se equivoque
dando un dato descriptivo de una figura o el nombrede un elemento al
topógrafo haciendo querecolecte un dato en el orden incorrecto o con un
nombrediferente, un operador deequipospuede equivocarse en una altura
instrumental inicial, puede armar un bastón con las piezas equivocadas, puede
dar línea de ceros atrás o poner la mira en un punto BM o DELTA
confundiéndose con una estaca o vértice cercano al requerido realmente,
esto causará confusiones en los cálculos y en el peor delos casos requerirá
repetir el trabajo.
2.1.9. ERRORES EN PRECISION Y EXACTITUD
Para hablar de estos errores, debemos tener un concepto claro acerca de lo
que significa Precisión y Exactitud.
2.1.9.1. Precisión:
Se refiere a la posibilidad de encontrar el mismo dato en variasmediciones
del mismo valor, con un instrumento quedebe estar calibrado y verificado
respecto a un Patrón, como ejemplo para el caso dela precisión encontramos
la precisión de fábrica cola que un teodolito o estación se identifica, algunos
tienen precisiones angularesque van desde los000°00´10” eincluso hasta
cantidades menoresque el segundo 000°00´00.01dependiendo dela
configuración ymarca del dispositivo, en cuanto a medición de distancias hay
equipos quellegan a darresultados comprobados dehasta 0.5
milimetros,obviamente a esto se debe sumar un factor de error por efecto de
distancias largasy de los factores atmosféricosde los que ya hablamosen el
numeral2.1.3 deeste texto.
Erroresgroseroso equivocaciones: Se deben a inexperiencia o
irresponsabilidad deloperador. En generalsu valor absoluto es grandey por lo
tanto fácil de localizar dentro de una serie de mediciones. Las observaciones
que han dado origen a estos valores se descartan ya que no pueden ser
tenidas en cuenta para el cálculo pues harían decaer estrepitosamente la
precisión.

Erroressistemáticos: Tienen su origen en causas permanentes y por lo tanto
actúan siempre con el mismo signo y módulo. Son ocasionadospor
imperfeccionesde los instrumentos, por factoresmeteorológicoso por la
llamada "ecuación personaldel operador"tendencia de cada operador a
“redondear” lasmediciones hacia abajo o hacia arriba, también forma de
posicionarsefrente al instrumento, acuidad visiva individual y formas
característicasde bisector, nivelar, etc.
En general se los puedecalcular con suficiente precisión y por lo tanto anular.
Tampoco son tenidos en cuenta para el cálculo.
ErroresAccidentales: Son aquellos queresponden únicamente a las leyes del
azar, absolutamente fortuitos, se encuentran presentes en todo tipo de
mediciones, pueden ser tanto positivos como negativos, y en grandesseries
tienden a anularseentre sí.
Por su imponderabilidad selos denomina también casuales o irregulares, yde
ellos se ocupa fundamentalmentela teoría de errores.
No obstante su irregularidad cumplecon ciertas pautascomo lo ha
demostrado la experiencia, estas son:
 Los errorespositivos y negativos de un mismo módulo se producen con
igual probabilidad.
 Los errorespequeñosse producen con mayor frecuencia que los
erroresgrandes.
VMP: Es la media aritmética (promedio) deuna serie de n valores obtenidos
mediante mediciones. Si tenemos una serie de < n > valores l (lecturas)
(l1;l2;l3;...; en), el VMP (también llamado
en estadística) se obtiene mediante la siguiente fórmula:
Reglas para expresar una medida y su error
Toda medida debe de ir seguida por la unidad, obligatoriamentedel Sistema
InternacionaldeUnidades de medida.

Cuando un físico mide algo debe tener gran cuidado para no producir una
perturbación en el sistema que está bajo observación. Por ejemplo, cuando
medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemosen contacto con un
termómetro. Pero cuando los ponemosjuntos, algo de energía o "calor"se
intercambia entre el cuerpo y el termómetro, dando como resultado un
pequeño cambio en la temperatura del cuerpo que deseamos medir. Así, el
instrumento de medida afecta de algún modo a la cantidad que deseábamos
medir
Además, todas las medidas están afectadas en algún grado por un error
experimental debido a las imperfeccionesinevitables del instrumento de
medida, o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben de
registrar la información.
1.-Todo resultado experimentalo medida hecha en el laboratorio debede ir
acompañada delvalor estimado del error de la medida y a continuación, las
unidadesempleadas.
Por ejemplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido
297±2 ms.
De este modo, entendemosque la medida de dicha magnitud está en alguna
parte entre295 mm y 299 ms. En realidad, la expresión anterior no significa
que se está seguro de que el valor verdadero esté entre los límites indicados,
sino que hay cierta probabilidaddequeesté ahí.
Una medida de una velocidad expresada de la forma
6051.78±30 m/s
Es completamenteridícula, ya que la cifra de las centenas puede ser tan
pequeña como 2 o tan grandecomo 8. Las cifrasque vienen a continuación 1,
7 y 8 carecen de significado y deben de ser redondeadas. La expresión
correcta es
6050±30 m/s
Una medida de 92.81 con un error de 0.3, se expresa

92.8±0.3
Con un error de 3, se expresa
93±3
Con un error de 30 se expresa
90±30
2.- Los erroresse deben dar solamente con una única cifra significativa.
Únicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la
segunda cifra 5 o 0).
3.-La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error,
expresadosen las mismas unidades, deben de corresponder almismo orden
de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).
 Expresiones incorrectaspor la regla 2
24567±2928 m
23.463±0.165 cm
345.20±3.10mm
 Expresiones incorrectaspor la regla 3.
24567±3000 cm
43±0.06 m
345.2±3 m
 Expresiones correctas
24000±3000 m
23.5±0.2 cm
345±3 m

43.00±0.06 m
6) MÉTODO DE LOS CUADRADOS MÍNIMOS
El proceso de acotación mencionado en el párrafo anterior, comienza con la
compensación de los erroresque se cometen en cada medición disponible.
Otra consideración quepodemos realizar es que las magnitudespuedan estar
relacionadasen forma lineal. Con estas dos condicionespodemossuponer
que:
 la relación entre las magnitudesX e Y medidas están relacionadascon la
expresión:
Y = a X + b
 la expresión de a y b está dada por:
Y para una recta que pasa por el origen, la expresión es
Y = a X
Donde
Veamosun ejemplo.
En el laboratorio seefectuaron mediciones de la tensión de una fuente con un
voltímetro de apreciación E = ,05 V y la intensidad de corriente quecirculaba
por un circuito con un amperímetro de 0,02 A de apreciación, obteniéndose
los siguientes valores:
V(Volt) I(A)
0,80 0,20

1,30 0,30
1,70 0,40
2,20 0,50
2,65 0,60
3,10 0,70
3,45 0,80
3,85 0,90
El problema siguiente fuedeterminar la expresión que relaciona tales
magnitudes, partiendo del hecho de que ésta existe.
Si representamosen los ejes coordenadosVoltvs Intensidad de corrienteen
Ampere, obtenemos:
V (volt)
I (ampere)
Observamos que la distribución de los puntos es casi lineal, por lo que
suponemosuna relación:
V = k I ya quepara V = 0, no circula corrientepor el conductor.
K = 4,49 V/A
Por lo que V = 4,49*I [V]
Hemos encontrado la expresión matemática conocida como Ley de
Ohm. Todos los conductoresque obedecen esta ley, de llaman conductores
Óhmicos.
5 ¿Podríasgraficar la recta cuya expresión fue obtenida?
Seguramenteestas observando, que no todos los puntos pertenecen a la recta
cuya expresión encontramosy la cualfue dibujada. Recordemosque partimos
de la condición que considera que el error cometido en las abscisas es mínimo
y por lo tanto despreciable frente al error cometido con los valores de la
ordenada.

En general, el error medio cuadrático cometido en el cálculo de los
parámetrosde la recta vienen dadospor:
En el caso más general:
En el caso en que la recta pasa por el origen:
6 Calcula el error en el parámetro a en nuestro ejemplo. Luego, expresa el
valor con su respectivo error.
En general, no sólo existen relaciones lineales entre dos variables, sino que
podemosencontrar funcionescuadráticas, deproporcionalidad inversa, y
otras, más complicadasque escapan a nuestra capacidad de trabajo. A
continuación, se grafican doscasos, se efectúa el cambio de variable más
adecuado y se gráfica la nueva expresión. Deesta manera se confirma la
relación funcionalprimeramentepropuesta.
y = k x2
Cambio de variable
u = x2
y = k u y = k u
Grafiquemos
A continuación en la próxima página presentamosun mapa conceptualdel
proceso de medición.
¡La Física nos es sino... resolución de problemas!
¿Cómo resolver un problema?

Para responder esta pregunta, primero trataremosdedefinir qué es un
problema.
“Problemasson situacionesque plantean interrogantesydificultadespara las
cualesno hayuna solución única ypreestablecida” (Hayes1981, Bender y
Millán 1986)
Se sugiere para resolver problemas:
 concretar la situación planteada (inicialmenteun tanto ambigua, confusa,
incierta),
 identificar incógnitas,
 reconocer datos,
 Identificar un hilo conductor de la solución buscada.
conoce, o bien investigar nuevas relaciones (búsqueda bibliográfica), lo que
llevará a proponer como hipótesis, las posibles soluciones.
problemática planteada
condicionesbajo las cuales se los resolvieron, enumerando posiblesnuevos
problemasque surgen del planteo original.
final, por ejemplo: para medir largasdistancias con precisión nos debería
utilizar medidas a pasos o con cinta métrica tendida y desnivelada sobreel
suelo, para trasladar un nivel a larga distancia no se debería confiar en
procedimientos básicos como una manguera deniveles, para hacer
levantamientos de alta precisión con estaciones totales o teodolitos se debe
utilizar plomadaso bases nivel antes con prismasfijos quegaranticen que se
apuntelos hilos de la mira del equipo al punto requerido. Todosestos criterios
técnicos entre otros, optimizan los trabajos y agregan confiabilidad a la
información, su omisión generalmente trae por consecuencia el efecto del
error.

7.1) Medidasdirectas
Un experimentador quehaga la misma medida varias veces no obtendrá, en
general, el mismo resultado, no sólo por causas imponderablescomo
variaciones imprevistas de las condiciones de medida: temperatura, presión,
humedad, etc., sino también, por las variacionesen las condicionesde
observación del experimentador.
Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias
medidas con el fin de corregir loserroresaleatorios, los resultadosobtenidos
son x1, x2,...en se adopta como mejor estimación del valor verdadero, elvalor
medio <x>, que viene dado por
El valor medio, se aproximará tanto másal valor verdadero de la magnitud
cuanto mayor sea el número de medidas, ya que los erroresaleatorios de
cada medida se va compensando unoscon otros. Sin embargo, en la práctica,
no debe pasarsede un cierto número de medidas. En general, es suficiente
con 10, e incluso podrían bastar 4 o 5.
Cuando la sensibilidad del método o de los aparatosutilizados es pequeña
comparada con la magnitud de los erroresaleatorios, puede ocurrir quela
repetición de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso,
está claro que el valor medio coincidirá con el valor medido en una sola
medida, y no se obtiene nada nuevo en la repetición de la medida y del
cálculo del valor medio, por lo que solamente será necesario en este caso
hacer una sola medida.
De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, que suponeque estos se
producen por causasaleatorias, se toma como la mejor estimación del error,
el llamado error cuadrático definido por

El resultado del experimento se expresa como
<x>±Dx y la unidad de medida
4.-La identificación del error de un valor experimentalcon el error cuadrático
obtenido de n medidas directas consecutivas, solamente es válido en el caso
de que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que
aquél que viene definido por la resolución del aparato de medida.
Es evidente, por ejemplo, tomando el caso más extremo, que si el resultado
de las n medidas ha sido el mismo, el error cuadrático, deacuerdo con la
formula será cero, pero eso no quieredecir que el error dela medida sea
nulo. Sino, que el error instrumentales tan grande, queno permiteobservar
diferenciasentre las diferentesmedidas, y por tanto, el error instrumental
será el error de la medida.
Ejemplos:
El siguiente Applese puede utilizar para calcular el valor medio de una serie
de medidas y el error cuadrático. Seintroducecada una de las medidas en el
controlárea de texto del Apple, y se pulsa RETORNO, de este modo las
medidas aparecen en una columna. A continuación, sepulsa el botón titulado
Calcular. El botón titulado Borrar limpia el área de texto y lo prepara para la
introducción deotra serie de medidas.
1. Si al hacer una medida de la intensidad con un amperímetro cuya
división o cifra significativa más pequeña es 0.01 A, la lectura es 0.64 A,
y esta lectura es constante (no se observan variaciones al medir en
diferentes instantes), tomaremos 0.64 como el valor de la medida y
0.01 A como su error. La medida se expresará así
0.64±0.01A

2. Supongamosquehemos medido un determinado tiempo, t, cuatro
veces, y disponemosde un cronómetro quepermite conocer hasta las
décimas de segundo. Los resultados han sido: 6.3, 6.2, 6.4 y6.2 s. De
acuerdo a lo dicho anteriormente, tomaremoscomo valor medido el
valor medio:
El error cuadrático será
Este error se expresa con una sola cifra significativa, (regla 2), Dt=0.05 s. Pero
el error cuadrático esmenor que el error instrumental, quees 0.1 s, por lo
que debemos tomar este último como el error dela medida, y redondear en
consecuencia el valor medio, (regla 3) por lo queel resultado final de la
medida es
t=6.3±0.1 s
3. Consideremosun ejemplo similar al anterior, pero en que los valores
obtenidos para el tiempo están más dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 y6.5 s. Se
encuentra que el valor medio es 5.975, yel error cuadrático 0.2286737.
El error cuadrático es en este caso mayor que el error instrumental, por
lo que debemos tomarlo como el error dela medida. Siguiendo la regla
2, lo debemos redondear a 0.2 (una sola cifra significativa). Y de
acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el mismo número de
decimales), expresamosla medida finalmentecomo
t=6.0±0.2 s

7.1.1) Error absoluto yerror relativo
Los erroresde los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores
absolutos. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto
y el valor medio. Es decir
Donde<x>se toma en valor absoluto, de forma que he es siempre positivo.
El error relativo es un índice de la precisión de la medida. Es normalque la
medida directa o indirecta de una magnitud física con aparatos
convencionales tenga un error relativo del orden del uno por ciento o mayor.
Erroresrelativos menores son posibles, pero no son normales en un
laboratorio escolar.
7.2) Medidasindirectas
En muchoscasos, el valor experimental de una magnitud se obtiene, de
acuerdo a una determinada expresión matemática, a partir de la medida de
otras magnitudesde las que depende. Setrata de conocer el error en la
magnitud derivada a partir de los erroresde las magnitudesmedidas
directamente.
Funcionesde una sola variable
Si se desea calcular el índice de refracción n de un vidrio midiendo el ángulo
crítico θ, tenemos que n=1/seno. Simedimos el ángulo θ es fácilcalcular el
índice de refracción n. Pero si conocemosel error de la medida del ángulo,
necesitamos conocer el error del índice de refracción.
Sea una función y=y(x). Como se aprecia en la figura, si el error Ex es pequeño.
El error Yse calcula del siguiente modo

Y=tanθ·Δx
Pero tan es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa
x
Como la pendiente puedeser positiva, si
la función es creciente o negativa si la
función es decreciente, en general
tendremosque
Sea y=cosax
Sea x=20±3 º,
y=cos20=0.9397
El error Ex=0.05 rad
Y=|sen20|·0.05=0.02
y=0.94±0.02

Un ejemplo importantey frecuenteen el laboratorio sobrelas medidas
indirectas es el siguiente:
4. Supongamosquequeremosmedir el periodo P de un oscilador, es
decir, el tiempo que tarda en efectuar una oscilación completa, y
disponemosde un cronómetro queaprecia las décimas de segundo, 0.1
s. Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones, por ejemplo
4.6 s, dividiendo este tiempo entre 10 resulta P=0.46 s, que es el
periodo "medio".
Obtenemos para el error DP=0.01 s. Por tanto, la medida la podemos
expresar como
P=0.46±0.01s
Es evidente, que podemosaumentar indefinidamentela resolución
instrumentalpara medir P aumentando el número deperiodos queincluimos
en la medida directa de t. El límite está en nuestra paciencia y la creciente
probabilidad decometer errorescuando contamosel número de oscilaciones.
Por otra parte, el oscilador no se mantiene con la misma amplitud
indefinidamente, sino que separa al cabo de un cierto tiempo.
Función de varias variables
La magnitud y viene determinada por la medida de variasmagnitudes p, q, r,
etc., con la que está ligada por la función
y=f (p, q, r...).
El error de la magnitud y viene dado por la siguiente expresión.
Casos más frecuentes

La medida de los lados de un rectángulo son 1.53±0.06 cm, y10.2±0.1cm,
respectivamente. Hallar el área del rectángulo y el error de la medida
indirecta.
El área es z=1.53×10.2=15.606 cm2
El error relativo del área Dz/z se obtiene aplicando la fórmula del producto de
dos magnitudes.
El error absoluto con una sola cifra significativa es 0.6. Deacuerdo con la regla
3, la medida del área junto con el error y la unidad se escribirá como
15.6±0.6 cm2
Funcionesde dos variables
Queremoscalcular la aceleración de la gravedad g, midiendo el periodo P de
un péndulo de longitud l
 El periodo de un péndulo
La expresión del error Kg dela variable dependiente g

Supongamosquemedimosel periodo P y la longitud l del péndulo
P=1.396±0.004 s
l=92.95±0.1 cm
Calculamosla aceleración de la gravedad y el error
g=979.035cm/s2
Kg=4.28
Expresamoscorrectamentela medida y el error de g
979±4 cm/s2
 Ley de Snell de la refracción
Cálculo del error en la medida del índice de
refracción n.
Sea i=20±1 º y r=13±1 º
Se calcula el índice de refracción y el error
n=1.52
En=0.136
Expresamoscorrectamentela medida y el error de n

n=1.5±0.1
Tipos de errores
Error de redondeo:
Se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todaslas cifrasque
resultan de operacionesaritméticas como los productosy los cocientes,
teniendo que retener en cada operación el número de cifrasque permita el
instrumento de cálculo que se esté utilizando.
Existen dostipos de erroresde redondeo:
* Error deredondeo inferior: se desprecian los dígitos queno se pueden
conservar dentro de la memoria correspondiente.
* Error deredondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo
del número en particular:
Para númerospositivos, el último dígito que se puede conservar en la
localización de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito
despreciado es mayor o igual a 5.
Para númerosnegativos, el último dígito que se puede conservar en la
localización de la memoria se reduceen una unidad si el primer dígito
despreciado es mayor o igual a 5.
Error por truncamiento:
Existen muchosprocesosque requieren la ejecución de un número infinito de
instruccionespara hallar la solución exacta de un determinado problema.
Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso
debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solución exacta que se
pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma. Al error producido
por la finalización prematura deun proceso se le denomina error de
truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones es el
desarrollo en serie de Taylor r. Este es independiente de la manera de realizar
los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.

Error numérico total:
Se entiende como la suma de los erroresde redondeo y truncamiento
introducidosen el cálculo. Mientras más cálculos se tengan que realizar para
obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando.
Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más
términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea
mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).
Erroreshumanos:
Son los errorespor negligencia o equivocación. Las computadoraspueden dar
númeroserróneos por r su funcionamiento. Actualmentelas computadoras
son muy exactas y el error es atribuido a los hombres. Se pueden evitar con un
buen conocimiento de los principiosfundamentalesy con la posesión de
métodos y el diseño de la solución del problema. Loserroreshumanospor
negligencia son prácticamenteinevitables pero se pueden minimizar.
Error inherente:
En muchasocasiones, los datos con quese inician los cálculos contienen un
cierto error debido a que se han obtenido mediante la medida experimental
de una determinada magnitud física. Así por ejemplo, el diámetro de la
sección de una varilla de acero presentará un error según se haya medido con
una cinta métrica o con un pie de rey. A este tipo de error se le denomina
error inherente.
Error absoluto:
Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y
su valor calculado o redondeado:
Error absoluto = [exacto - calculado]
Debido a que la definición se dio en términosdel valor absoluto, el error
absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de erroressiempre se
incrementa juntos, sin reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el
redondeo y otros erroresrara vez están en la misma dirección, es posible que
una suma ("algebraica") de erroressea cero, con aproximadamentela mitad

de los errorespositiva y la otra mitad negativa. Pero también es demasiado
optimista esperar que errorescon signo sumen cero a menudo. Un enfoque
realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, están
estadísticamente distribuidos.
Error relativo:
Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado.
Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor
exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de estas
dos cantidades. La mayor parte de las veces utilizaremos
Error relativo= [exacto - calculado]/ [exacto]
El error relativo es una mejor medida del error queel error absoluto, en
especial cuando se utilizan sistemas numéricosde punto flotante. Puesto que
los elementos de un sistema de punto flotanteno están distribuidos de
manera uniforme, la cantidad de redondeosposibles dependede la magnitud
de los númerosque se redondean. El denominador dela ecuación de arriba
compensa este efecto.
Una característica relacionada de error relativo es que los efectos de escalar la
variable (es decir, de multiplicarla por una constante distinta de cero,
incluyendo cambios en la unidad de medición) se cancelan. Una buena medida
del error debería ser "invariante de las escalas", de modo que al cambiar de
yardasa pulgadas, digamos, no debería amplificar el error aparentepor 36,
como sucedería en la ecuación de arriba. Sibien las matemáticas purasse
inclinarían a utilizar el error absoluto, en generalel error relativo se emplea en
las ciencias aplicadas.
Algunasveces conviene multiplicar el error relativo por 100 (por ciento) para
ponerlo en una base porcentual.
Propagación delerror

Las consecuencias de la existencia de un error en los datos de un problema
son más importantesde lo que aparentemente puedeparecer.
Desafortunadamente, esto erroresse propagan yamplifican al realizar
operacionescon dichos
datos, hasta el punto de que puede suceder queel resultado carezca de
significado. Con el propósito de ilustrar esta situación, seguidamente se
calcula la diferencia entre los números:
a = 0.276435 b = 0.2756
Si los cálculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por
aproximación ytrabajando con tres dígitos de mantisa, los valores
aproximadosa dichos númerosy el error relativo cometido es:
a = 0.276 error relativo= 1.57x10-3
b = 0:276 error relativo= 1.45x10-3
Si ahora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia entre
los aproximadosse obtiene:
a - B = 0:000835
a'- b'= 0.0
Debe observarseque el error relativo de la diferencia aproximada es del
100%. Este ejemplo, extraordinariamentesencillo, ponede manifiesto como
el error deredondeo de los datos se ha amplificado alrealizar una única
operación, hasta generar un
resultado carente de significado.
8.1) Exactitud:

Tiene que ver con el acercamiento de un datomedido a la magnitud real,
como ejemplo hipotéticopensemos que tenemos el Patrón internacional
demedida con el que se definió la magnitud de unmetro, lo medimos con un
flexómetro común y alcomparar nosda un dato exactamente igual o
porejemplo si tenemos una red de mojonesmonitoreados por una red GPS de
alta precisión yarmamosuna Estación total sobre ellos y confirmamosquela
medida es igual o que sea cerca bastante en coordenadas N,E,Z aldato oficial
de los mojones previamente monitoreados. Para lasmagnitudes lineales o de
distancia se ha definido gradosde precisión recomendables páralos
levantamientos Topográficos, como ejemplotenemosel siguiente cuadro:Para
el caso de magnitudesangularesse toma encuenta un error permisibley se
compara con unasumatoria deángulos especifica dependiendo de lafigura
geométrica o número de vértices delpolígono, si el resultado de las
mediciones difiereexcesivamente del valor requerido o especificadopara el
trabajo este debería ser revisado, re medidoy recalculado si es necesario para
cumplir con elobjetivo.
La teoría de erroresconstituye una rama del conocimiento científico que, a los
efectos de la enseñanza, queda en un terreno intermedio entre el de las
teorías científicas y el de la práctica experimental.
La limitación de los elementos físicos disponibles para realizar un sistema de
medida hace que las señales de salida discrepen de las que se obtendrían con
un sistema ideal. Estas discrepancias se denominan errores y, dado que
algunas de ellas son inevitables, el objetivo es reducirlas de modo que a partir
de la salida se pueda determinar el valor de la entrada con una incertidumbre
aceptable. El número de cifras con que se exprese un resultado debe
concordar con la incertidumbre que tenga asociada.
Los errores de un sistema se determinan a partir de su calibración, que
consiste en aplicarle entradas conocidas y comparar su salida con la obtenida
con un sistema de medida de referencia, más exacto.
Según su naturaleza los errores pueden ser sistemáticos o aleatorios.
Error Sistemático

Un error sistemático tiene siempre la misma amplitud cuando las condiciones
del sistema son las mismas, o bien varía de acuerdo con una ley conocida
cuando una de dichas condiciones cambia de una forma predeterminada.
Error Aleatorio
Un error aleatorio tiene una magnitud que cambia de unas a otras ocasiones a
pesar de que las condiciones del sistema sean las mismas.
Los errores aleatorios se manifiestan cuando se mide repetidamente la misma
magnitud con el mismo instrumento y el mismo método, y presentan las
siguientes propiedades:
1. Los errores aleatorios positivos y negativos de igual valor absoluto tienen la
misma probabilidad del producirse.
2. Los errores son tanto menos probables cuando mayor sea su valor.
3. Al aumentar el número de medidas, la media aritmética de los errores
aleatorios de una muestra tiende a cero.
4. Para un método de medida determinado, los errores aleatorios no exceden
de cierto valor.
Las medidas que lo superan deben repetirse y, en su caso, estudiarse por
separado.
La calibración permite corregir los errores sistemáticos y estimar la magnitud
de los errores aleatorios (pero no corregirlos)
Errores Estáticos y Errores Dinámicos
Según que se manifiesten cuando las señales de entrada son lentas o rápidas,
los errores se denominan estáticos o dinámicos.
Un error estático afecta a las señales lentas, por ejemplo de frecuencia inferior
a 0,01 Hz. Un error dinámico afecta a las señales rápidas, y es una
consecuencia de la presencia de elementos que almacenan energía. Dado que
en la respuesta dinámica se consideran dos fases, la respuesta transitoria y la
respuesta estacionaria, se habla de error dinámico transitorio y error dinámico
estacionario.
El error dinámico de un sistema depende de su orden y de la forma de la señal
de entrada.

Las señales consideradas habitualmente son el escalón, la rampa y las
sinodales. Los sistemas de orden cero no tienen error dinámico. Los sistemas
de primer y de segundo orden tienen un error dinámico para las entradas en
rampa y sinodales, incluso en régimen estacionario, y tienen un error
dinámico para las entradas en escalón sólo durante la fase transitoria. En los
sistemas de segundo orden la fase transitoria dura tanto más cuanto menor
sea el amortiguamiento. El error dinámico para entradas sinodales incluye un
retardo y un error deamplitud, pero normalmenteal hablar de error dinámico
se suele sobrentender el error de amplitud.
¿Es indicio de haber realizado una buena medida que al repetirla obtengamos
el mismo valor?
Obtener exactamente el mismo valor al repetir la medida es un indicio de que
el instrumento es muy "fiel", pero tanta fidelidad lo que ponede manifiesto es
una falta de "sensibilidad".
Ejemplo: Si medimos la longitud de una mesa con una regla graduada en cm
(no tiene divisiones de mm) y obtenemos 80 cm, el resultado será: 80 ± 1 cm.
Si medimos la mesa con una regla tan poco sensible no vamos a notar
diferencia entre una medida y otra, obtendremossiempre 80 cm.
Si el aparato es digital se toma como imprecisión la que indica el fabricante.
LA EXPRESIÓNDEUNA MEDIDA SIEMPREDEBEESTAR ACOMPAÑADA DESU
IMPRECISIÓN
Si medimos el tiempo que tarda en completarse una oscilación de un péndulo
con un reloj que mide centésimas de segundo, obtenemosdistintos valores
cada vez. Aquíla sensibilidad del aparato aumenta y su fidelidad disminuye los
erroresaccidentales que afectan a cada medida.
Un aparato muyfiel es, casi siempre, poco sensible
El "valor real" de la magnitud nunca se puede conocer con total precisión o
certidumbre. Sirealizamos la medida con técnicas e instrumentoscada vez

más precisos, los resultadostienden gradualy asintóticamente a un valor que
denominaremos"valor verdadero".
Existen otraslimitaciones intrínsecas al proceso de medida. Si las dimensiones
que medimos son del tamaño atómico aparecen implicaciones cuánticas por
el fuerteimpacto de la sonda que mide sobre el objeto a medir.
¿Cuáldebe ser el número de medidas que hay que realizar para reflejar una
medida exacta?
Si repetimos la medida y obtenemosvalores diferentes, en principio debemos
realizar tres medidas. Como valor verdadero de la magnitud medida tomamos
la media aritmética ( ) de las tres y hallamos la dispersión (D) de esas
medidas.
Para hallar la dispersión (D) de las medidasrestamos la menor de ellas de la
mayor y obtenemosel valor "D".
Hallamosel % de dispersión, %D:
Si en la medida , tenemos una dispersión D, el % de dispersión será:
Si el % de la dispersión (%D) es menor que el 5% es suficiente realizar tres
medidas. En caso contrario realizaremosde 6 a 10.
Si el %D > 8 debemos realizar 15 medidas.
Los erroresaccidentales se compensan haciendo varias medidas
9) Valor representativo de variasmedidas y su imprecisión
Si debemos realizar varias medidas - recuerda quelo determina %D-, debemos
decidir cual de ellas representa el "valor verdadero"y con queimprecisión la
conocemos.
Como valor de la medida se puede tomar la moda, la mediana o la media
aritmética.

Normalmenteen física tomamos la media aritmética
La media aritmética se halla sumando todaslas medidas y diviendo entre el
número de ellas:
Si una de las medidasestá claramenteapartada de las demás, se desprecia (es
evidente que viene de un error de medida y no merece estra representada en
la media).
La imprecisión que establecemos para la media aritmética de varias medidas
se le llama la imprecisión absoluta (Ea) .
La imprecisión absoluta de varias medidas(Ea), se halla sumando las
cantidades quese desvía cada medida de la media aritmética, tomadasen
valor absoluto (sin tener en cuenta el signo) y divididas por el número de ellas.
La fórmula dela imprecisión (Ea) es:
La imprecisión que acompaña al resultado es la que tiene mayor valor entre:
* la imprecisión absoluta (Ea)
* la sensibilidad del aparato (menor división).
El valor que estimamos como verdadero (x) estará comprendido entrelos
valores de la media aritmética aumentada y disminuída del Ea o de la
sensibilidad del aparato.
El "valor verdadero"nunca lo conoceremoscon total precisión y estará
comprendido entre"la media aritmética menos la imprecisión y la media
aritmética más la imprecisión".

La imprecisión también se puederepresentar por la desviación standard, que
no trataremosaquí. Es un concepto semejante a la imprecisión absoluta que
formula la teoría de erroresde Gauss. Su expresión es:
También se llama error cuadrático medio, por lo tanto Dx equivale a Ea
Expresión numérica del resultado de la medida y su imprecisión.
El valor que estimamos como verdadero (x) estará comprendido entrelos
valores de la media aritmética aumentada y disminuída del Ea.
La imprecisión que acompaña al resultado (a la media aritmética) es la mayor
de las doscantidades siguientes:
la imprecisión absoluta de la medida (Ea)
o la sensibilidad del aparato (menor división).
El valor elegido entre los dos es el error absoluto.
El "valor verdadero"nunca lo conoceremoscon exactitud y estará
comprendido entrela media aritmética menos la imprecisión y la media
aritmética más la imprecisión (recuerda quela imprecisión puede ser la Ea o la
sensibilidad del aparato)
Cualquier valor medido debe darse acompañado desu imprecisión (error
absoluto) y sus unidades.

Ejemplo: masa X=45,00 ±0,01 kg
El número 45,00 tiene 4 cifras significativas
Su valor estará comprendido entre44,99 Kg y45,01 Kg
Ejemplos
Existen unasreglas para expresar la imprecisión y el resultado de la medida.
1.- Si realizamos una sola medida, el resultado se acompaña alvalor leído en
el aparato demedida ± la sensibilidad del mismo.
Si para medir una longitud grandedebemos llevar el metro varias veces sobre
la magnitud a medir, el error totales la suma de los errores. Esta medida es de
mala calidad. Por ejemplo: medir una pared con una cinta métrica que
llevamos sobre la pared y que tenemos que mover sobre ella acumula un
error iguala la sensibilidad de la cinta por el número de veces que la movimos
sobre la pared. Aunqueunasveces montemossobre la anterior medida y
otras nosadelantemos para calcular el error debemosponernosen las
condicionesmás desfavorables.
2.- Si debemos realizar varias medidas - recuerda quelo determina %D-,
debemos decidir de todas ellas cual representa el "valor verdadero"y con que
imprecisión la conocemos.
La imprecisión que acompaña al resultado (a la media aritmética) es la mayor
de las doscantidades siguientes: la imprecisión absoluta de la medidas(Ea), o
la sensibilidad del aparato (menor división).
Subir
9.1)Redondeo:
¿Con cuántas cifrassignificativas se da la imprecisión y cómo condiciona esta
la correcta expresión de la medida?

Suponemosqueestamos segurosde que todas las cifras con las que
expresamosla imprecisión son ciertas (no hay incertidumbreacerca de su
valor y son todas significativas)
La imprecisión debe darse con una sola cifra significativa: se tomará la cifra
más significativa de la imprecisión.
Esta cifra se redondeará según la que le siga. Si es mayor de 5, se incrementa
en una unidad y si es menor de 5, se deja como está.
La imprecisión se dará con dos cifras significativas si la primera es un uno. En
este caso la segunda cifra sólo podrá ser un 0 ó un 5, redondeándosea estos
valores según las que le sigan.
Ejemplos:
Ea incorrecto Ea correcto
0,00423 0,004
0,89 0,9
26 30
0,123 0,10
0,138 0,15
El número de cifras significativas del resultado lo determina la imprecisión. La
cifra menos significativa del resultado será del orden decimal determinado por
la cifra significativa de la imprecisión.
Ejemplo: 34,123 ±0,001
La cifra significativa de la imprecisión correspondea las milésimas y la cifra
menos significativa del resultado (el 3) está en el orden de las milésimas.
Ejemplos de resultadosincorrectosy su equivalente correcto

Incorrectos Correctos
453 ± 0,51 453, 0 ± 0, 5
0, 0237 ± 0,01 0, 02 ± 0, 01
5, 897 ± 0,028 5,99 ± 0,03
56,789 ±0,138 56,79 ±0,15
34567 ±3427 34000 ±3000
332 ± 120 300 ± 100
Notación científica
A menudo usamosnúmeros con muchosceros (muy grandeso muy
pequeños) que pueden escribirse abreviadamenteusando potencias de 10.
Esto permite tener, con una simple ojeada, idea de su orden de magnitud,
permite operar másfácilmente e incluso revisar rápidamenteoperaciones
realizadas con ellos.
Utilizando la notación científica el número se escribe como el producto de dos
partes: un número comprendido entre1 y 10 y una potencia de 10. Se
representa el número con un sólo entero seguido de todaslas cifras
significativas y multiplicado por la potencia de 10 que corresponda para lograr
la equivalencia.
Ej: 0,0001230=1,230·10 -4
120000000=1,2·10 8
Orden de magnitud.
En los cálculos aproximadosy en descripcionesgenerales, como cuando
decimos "es una distancia de unos .....", sesuele expresar la cantidad por su
orden de magnitud, para lo cualse toma por redondeo la potencia de 10 más
próxima al número.

Ejemplos
Una longitud de 8· 10 -6
m decimos que es del orden de magnitud de 10 - 5
m (
del orden de las 10 micras).
Una longitud de 1,2· 10 3
m tiene un orden de magnitud de 103
(del orden de
los km)
Error absoluto. Error relativo
Error absoluto es igual a la imprecisión que acompaña a la medida. Nos da
idea de la sensibilidad del aparato o de las cuidadosas que han sido las
medidas por lo poco dispersas que resultaron.
Ea=imprecisión=incertidumbre
El error absoluto nos indica el grado de aproximación y da un indicio de la
calidad de la medida. El conocimiento de la calidad se complementa con el
error relativo.
Error relativo es el cociente entre el error absoluto y el que damos como
representativo (la media aritmética).
Se puede dar en % de error relativo. Indica la calidad de la medida. Por
ejemplo: si cometemos un error absoluto de un metro al medir la longitud de
un estadio de fútbolde 100 m y tambien un metro al medir la distancia
Santiago-Madrid 600.000 m, elerror relativo será 1/100 para la medida del
estadio y 1 / 600.000 para Santiago-Madrid.Mucha máscalidad en la segunda
medida.

Cambio de escala
Al realizar medidas con aparatosen los que podemosvariar la escala debemos
escoger la adecuada para reducir el error.
Así debemos proceder:
1º.- Comenzar por la escala más alta para proteger el aparato (Por ejemplo
cuando usamosun amperímetro).
2º.- Emplear la escala en la que el valor a medir lleve la aguja a la parte más
alta de la escala sin salirse de ella. El error relativo quecometemos es menor.
Ejemplo: Vamosa medir el voltaje de una pila próximo a 1,5 V
Si empleamos la escala del polímetro de 0 a 50 voltios, la aguja quedará en el
fondo de la escala (recorrerá sólo el primer 3% de la escala). Si el valor de la
menor división es 1 v, este valor es casi igual al voltaje a medir (error
relativo=1/1,5 ¡enorme!)
Si cambiamosde escala y usamosuna de 0 a 10 V, los 1,5 v llevarán la aguja al
15%de la escala. La menor división es ahora 0,2 V y el error relativo=0,2/1.5.
Esta medida es mucho mejor.

CONCLUSIÓN
De acuerdo con lo que hemos observado, y los datos obtenidos en los ejercicios, tenemos
que cada vez que se efectúe el conjunto de operaciones requeridas para medir una
determinada magnitud, se obtendrá un número que solamente en forma aproximada
representa la medida buscada. Por lo tanto, cada resultado de una medición está afectado
por un cierto error.
En vista de la monografía realizada tenemos muchos puntos que rescatar , en la realidad se
encuentran un sinfín de medidas con errores pequeños por no decir insignificantes que no
afectan mucho en el calculo esto se da en las grandes medidas como mega proyectos , pero
en cálculos pequeños se tiene que tener mucho cuidado por que afecta muchoen el error.

BIBLIOGRAFIA
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http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/medidas/medidas.htm
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de-errores-en-las-mediciones/
TEORIADE ERRORES EN TOPOGRAFIA | Alejandro Figueredo Morales - Academia.edu.
(n.d.). Retrieved May 15, 2015, from
http://www.academia.edu/9460124/TEORIA_DE_ERRORES_EN_TOPOGRAFIA
TEORIADE ERRORES: INTRODUCCIÓN.(n.d.). Retrieved May 15, 2015, from
http://www.mariangaspi.blogspot.com/2006/02/introduccin_114036934701951189.
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