El documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo que una coordenada es la distancia al origen y la otra es el ángulo respecto al eje polar, y cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas. También explica cómo graficar ecuaciones polares y calcular áreas en el plano polar.

1. Sistema de Coordenadas Polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera
coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la
segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
Este sistema consiste en señalar un punto que es el origen de las coordenadas y
a partir de él se señala un segmento de recta horizontal denominado línea inicial o
eje polar, en el cual se marca la escala que se desee, para medir distancias. Una
vez hecho esto, para indicar la posición de un punto cualquiera del plano,
trazamos la recta desde el punto en cuestión hasta el origen del sistema y se
mide el ángulo por el eje polar y la recta. La medida del ángulo y de la distancia
del punto al origen son las coordenadas polares del punto.
En este tipo de representación los puntos del plano tienen asociados dos
coordenadas: su distancia al polo y el ángulo con el eje polar. A la distancia se le
suele llamar radio y se designa por la letra r o la letra griega r(rho), al ángulo se le
suele designar por la letra griega q (theta). El valor θ crece en sentido
antihorario y decrece en sentido horario.

2. Gráfica de una Ecuación Polar
La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para los
cuales
x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ).
En otros términos, la gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el
plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación
dada.
Cambio de sistema de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.
Para la solución de ciertos problemas es necesario saber cómo pasar de un
sistema de
Coordenadas a otro. Las relaciones son las siguientes:
x = r cosθ, y = rsenθ, r=
Que son las ecuaciones de cambio, para cambiar las coordenadas de un punto o
de una ecuación cartesiana en polar y viceversa.
Trazado de una curva dada su ecuación polar.
Para localizar puntos o para bosquejar las gráficas, se hace en papel coordenado
polar, que se construye de la siguiente forma: A partir de un punto que es el polo,
se trazan círculos concéntricos igualmente espaciados. Los puntos situados sobre
el lado terminal del ángulo corresponden a valores positivos de las distancias y los
puntos situados sobre la prolongación del lado terminal del serán para los valores
negativos de las distancias, Para graficar una ecuación polar, procedemos
igualmente que con las ecuaciones cartesianas, dando valores al ángulo θ entre 0
y 360 , haciendo uso de preferencia del papel coordenado polar.

3. AREA DE UNA REGION EN EL PLANO DE COORDENADAS POLARES
Ahora, bien cuando se quiere hallar el área comprendida entre dos gráficas
polares, se emplea el procedimiento conocido de sustraer un área de otra. Aunque
en el siguiente ejemplo los cálculos no fueron sencillos, con frecuencia, determinar
los límites de integración es la parte más desafiante para hallar el área de una
región polar.
Ejemplo .- Hallar el área de la región A comprendida dentro del caracol
r  1 2 cos y el exterior del circulo r  2

4. Solución: Si observamos la figura se puede apreciar las dos ecuaciones
donde el área A entre ellos esta sombreada. Los puntos de intersección del círculo
y el caracol están dados por:
1  2 cos   2 , igualando
1 2  2 cos   0
1 1 1
 1  2 cos   0 , entonces: 2 cos  = 1, luego cos   , por lo que   cos y
2 2
además     / 3
Estos valores son los límites de integración que se necesitan, luego:

5. π π
A
1

3 
2 π  
 2

1  2cosθ  2  dθ
2



0
3
 2
 4cosθ  4cos θ  3 dθ
3
π
3
 
  4cosθ  2cos2θ  1 d Linealidad y Teorema Fundamenta l del Cálculo.
0
π 5 2
 (4cosθ  sen2θ  θ) 3  3 π Unidades cuadradas (u )
0 2 3
Ejemplos de graficas en coordenadas polares:
ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS

6. ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS

7. UNA ROSA DENTRO DE OTRA

8. CARDIOIDES

9. Limacones o caracoles:

10. Caracol con hendidura o caracol con concavidad

11. La circunferencia

12. LEMNISCATA

13. CONCOIDES DE NICÓMENES

14. CISOIDE DE DIOCLES

15. PARÁBOLA

16. ESPIRAL
El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de
Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y

17. matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un
estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre
las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo.
Espiral de Fermat

18. Espiral recíproca o espiral hiperbólica.

19. Espiral logarítmica